（光学工程专业论文）湍流大气低阶像差对聚焦高斯涡旋光束焦面光强的影响.pdf

摘要 摘要 激光在大气中传输过程中因大气湍流的存而出现光束的迅速扩展，从而使激光远距 离光通信应用受到极大的限制。正因为如此，湍流对大气中传输激光束质量的影响引起 国内外很多学者的关注。而希望通过自适应光学技术减小湍流引起的像差，提高传输光 束质量，人们必须了解大气湍流各级子像差对传输光束波前的影响。因此，研究湍流各 级子像差对涡旋光束的影响，对湍流大气光传输理论的研究，对涡旋光束在大气光通信 中的实际应用，都具有重要的意义。一 本文主要研究湍流大气三种低阶像差对高斯背景聚焦涡旋光束焦面光强空间分布 的影响。通过利用大气像差的z e m i k e 多项式展开，研究了三种湍流低阶像差，即：倾 斜、散焦和象散对聚焦高斯涡旋光束的影响，同时分析了三种像差和湍流总像差的差异， 分别得出了三种大气湍流像差对聚焦高斯涡旋光束焦面光强分布的影响规律。在菲涅尔 一基尔霍夫衍射积分理论的基础上，利用z e m i k e 多项式的展开，得出了大气湍流中三 种低阶像差的波相位函数，并由此得出了斜程传输条件下三种像差对应的涡旋光束焦面 光强的分布方程。采用数值模拟的方法研究了不同湍流强度、传输距离和拓扑荷条件下 三种低阶像差的影响规律。 研究结果表明： l 、三种低阶像差中，倾斜像差的影响最大。在弱湍流区域，湍流倾斜像差为主要 影响，散焦和象散两种像差的影响可以忽略：在中等湍流区域倾斜像差的影响仍是最大。 2 、在弱湍流区域，散焦和象散两种像差影响很小，可以忽略；而在中等湍流区域， 散焦和象散两种像差的影响都十分显著，不能被忽略。 3 、在中等湍流区域，对于双拓扑荷的涡旋光束，湍流象散对其焦面中心处光强的 调制作用大于倾斜像差，并逐渐由涡旋光束形成高斯分布包络，因此湍流象散可以用来 控制和调制带有双拓扑荷的聚焦高斯涡旋光束焦面中心处的光强。 4 、湍流强度、传输距离和拓扑荷三个参数的变化，可以引起三种低阶像差影响下 涡旋光束焦面光强分布的变化。尤其对于湍流象散像差，拓扑荷的影响十分显著。 关键词：大气湍流，湍流倾斜像差，湍流散焦，湍流象散，涡旋光束，拓扑荷，湍 流强度。 a b s t r a c t a b s t r a c t b e c a u s eo ft h et u r b u l e n t ，t h em e r i to ft h el a s e rb e a m sh a sb e e nd e s t r o y e dw h e n p r o p a g a t i n gi nt h ea t m o s p h e r e ：t h eb e a ms p r e a d i n gr a p i d l y ，s ot h a tu s i n g o fl a s e rb e a m si na l o n gd i s t a n c ec o m m u n i c a t i o nh a sb e e nl i m i t e d s o t h eb e h a v i o r so ft h eo p t i c a lb e a m s p r o p a g a t i n g i nt u r b u l e n ta t m o s p h e r eh a v eg e n e r a t e dc o n s i d e r a b l ei n t e r e s ti nm a n yr e s e a r c h e r s w ek n o wt h a tw h e nw ee x p e c tt oi m p r o v et h ei m a g er e s o l u t i o na n dm e l i o r a t et h eq u a l i t yo f t h eb e a m sb ym e a n so fo p t i c a la d a p t i v et e c h n i q u e ，w en e e dt ok n o wt h ep r o p e r t yo ft h e m o d u l a t i n ga c t i o no fe v e r yt u r b u l e n ta b e r r a t i o no nt h eo p t i c a lb e a m s p e o p l ea r et r y i n g t of i n d as p e c i a lb e a mt od i m i n i s ht h ee f f e c to ft h et u r b u l e n c e s o ，i ti sv e r ys i g n i f i c a n tb o t hi n t h e o r e t i c a la n di na p p l i e dt oi n v e s t i g a t et h ee f f e c t so ft h el o w - o r d e rt u r b u l e n ta b e r r a t i o n so n t h ev o r t e xc a r r y i n gg a u s s i a nb e a m i nt h i sp a p e r , t h en o r m a l i z e da v e r a g e di n t e n s i t yd i s t r i b u t i o n s ，i ni m a g ep l a n e ，o ft h e b e a mu n d e rt h et i l ta b e r r a t i o n ，d e f o c u sa b e r r a t i o n ，a s t i g m a t i s ma b e r r a t i o n ，a n dt o t a lt u r b u l e n t a b e r r a t i o na r ec o m p a r e db yn u m e r i c a lc a l c u l a t i o n ，i nw e a ka n dm i d d l et u r b u l e n ta t m o s p h e r e r e s p e c t i v e l y f r e s n e l - k i r c h h o f fd i f f r a c t i o ni n t e g r a le q u a t i o n a n dz e r n i k ep o l y n o m i a l s e x p a n s i o no ft h ea t m o s p h e r i ca b e r r a t i o n sh a v eb e e nu s e d t od e d u c et h et h e o r e t i c a l e x p r e s s i o n a n dn u m e r i c a lc a l c u l a t i o nh a sb e e nu s e dt os t u d yt h er o l e so ft h et h r e ef a c t o r s ： t u r b u l e n ti n t e n s i t y , p r o p a g a t i o nd i s t a n c e ，a n dt o p o l o g i c a lc h a r g e t h er e s u l t sw eh a v eg o t ，w h i c h w i l lh a v es o m ei n s t r u c t i o nm e a n i n ga n dr e f e r e n c ev a l u et ot h et h e o r e t i c a ls t u d ya n dp r a c t i c a l a p p l i c a t i o n si nf r e es p a c el a s e rc o m m u n i c a t i o n s t h er e s u l t ss h o wt h a t ： 1 、t h ee f f e c to ft h et i l ta b e r r a t i o no nt h ei n t e n s i t yd i s t r i b u t i o no fo p t i c a lv o r t e xb e a mi st h e m o s tp o w e r f u le f f e c to ft h et h r e et u r b u l e n ta b e r r a t i o n s i nw e a kt u r b u l e n ta t m o s p h e r e ，t h et i l t a b e r r a t i o ni st h em a i ne f f e c t t h ee f f e c t so ft h eo t h e rt w oa b e r r a t i o n sc a nb ei g n o r e d ；i nm i d d l e t u r b u l e n ta t m o s p h e r e ，t h ee f f e c to ft i l ti ss t i l lm o s ts i g n i f i c a n t 2 、i nw e a kt u r b u l e n ta t m o s p h e r e ，t h ee f f e c t so fd e f o c u sa n da s t i g m a t i s ma b e r r a t i o ni n t u r b u l e n ta t m o s p h e r eo nt h ei n t e n s i t yd i s t r i b u t i o no fav o r t e xc a r r y i n gg a u s s i a nb e a mi ss o i n s i g n i f i c a n tt h a tc a nb ei g n o r e d h o w e v e r , i nm i d d l et u r b u l e n ta t m o s p h e r e ，t h ee f f e c t so f d e f o c u sa n da s t i g m a t i s mo nt h ei n t e n s i t yd i s t r i b u t i o ni ni m a g ep l a n e ，b e c o m ep r o n o u n c e da n d c a l l tb ei g n o r e d 3 、i nm i d d l et u r b u l e n ta t m o s p h e r e ，f o rt h ev o r t e xb e a m sw i t hd o u b l et o p o l o g i c a lc h a r g e s ， t h em o d u l a t i n ga c t i o no ft h ea s t i g m a t i s mo nt h eb e a mi se v e nl a r g e rt h a nt i l ta b e r r a t i o ni nt h e c e n t e ro ft h ef o c a lp l a n e ，e v e n t u a l l yf o r m i n gg a u s s i a nd i s t r i b u t i o ne n v e l o p e s oa s t i g m a t i s m c a nb eu s e dt oc o n t r o la n dr e g u l a t eb e a mc e n t e ri n t e n s i t y 4 、t h et h r e ef a c t o r s ，t u r b u l e n ti n t e n s i t y , p r o p a g a t i o nd i s t a n c e ，a n dt o p o l o g i c a lc h a r g ep l a y v e r yi m p o r t a n tr o l e si nt h ei n f l u e n c eo ft h et h r e ea b e r r a t i o n s t h et h r e ef a c t o r sv a r i a t i o n r e s u l t si nt h ec h a n g eo ft h ei n t e n s i t yd i s t r i b u t i o n so ft h eb e a m s e s p e c i a l l yf o r t h ea s t i g m a t i s m ， t h ei n f l u e n c eo ft h et o p o l o g i c a lc h a r g ei sv e r yp r o m i n e n t k e y w o r d s ：a t m o s p h e r i ct u r b u l e n c e ，t u r b u l e n tt i l t ，t u r b u l e n td e f o c u s ，t u r b u l e n ts t i g m a t i s m ， v o r t e xb e a m ，t o p o l o g i c a lc h a r g e ，t u r b u l e n ti n t e n s i t y i i 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取 得的研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文 中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也永包含本人为获得江南 大学或其它教育机构的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志 对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示谢意。 签名： 趑盎 日 期：型翌。基：垒 关于论文使用授权的说明 本学位论文作者完全了解江南大学有关保留、使用学位论文的规定： 江南大学有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允 许论文被查阅和借阅，可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库 进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文， 并且本人电子文档的内容和纸质论文的内容相一致。 保密的学位论文在解密后也遵守此规定。 签名： 赵盔照。 导师签名：乏渤 e l 期：趟丛 第一章绪论 第一章绪论 1 1 研究背景和意义 自从1 9 6 1 年第一台h e - n e 激光器诞生以来，激光以其特有的高强度，高单色性、高 相干性、空间分辨率和高方向性等诸多性质，引起了众多学者的兴趣。随着激光技术日 趋成熟，激光在大气中的应用j 下受到世界各国日益广泛的重视，如激光通信、激光雷达、 激光测距以及激光能量的输运等等。大气湍流引起的折射率随机起伏将导致传输激光束 振幅与相位等场参数的随机变化，产生诸如光束随机漂移，相位随机起伏，光束截面上 能量重新分布( 畸变，展宽，破碎等) ；能量集中度的下降，以及由此引起的强度起伏 ( 闪烁) 【l 】等湍流效应，这些湍流效应将不同程度限制不同激光工程系统的使用性能， 以至决定激光工程系统的技术可行性。因此，研究大气湍流对激光束的影响及产生的 效果，对自由大气光通信的发展具有重要的理论和应用意义【l 】。 目前，大气湍流中各种激光光束的传输和成像的特征研究已有大量研究报道。大气 湍流对各种聚焦高斯光束的光束质量、焦面光强分布的影响等方面的研究也取得了一定 的研究成果。然而，人们对构成大气湍流波像差中的各级子像差分别对各类光束传输特 性的影响程度如何却研究很少。 此外，由于涡旋光束具有与常规光束不同的成像和传输特性，所以也引起了人们极 大的兴趣【2 】- 【5 1 。涡旋光束具有轴对称的传播性质，此种光束的涡旋中心是一个暗核，在 此处光强消失【6 1 ，其在传播过程中也保持中心光强为零。涡旋光束的相位波前成螺旋形 分布，所以波矢量有方位项，且其绕着涡旋中心旋转。而正是因为这个旋转，光波携带 了轨道角动量【7 j 。 涡旋光束的每个光子带有固定的轨道角动量，这使得以光束的拓扑荷作为信息的载 体用于空间光通信成为可能。因此涡旋光束的传输特性的研究具有重要的理论和实际意 义。涡旋可以作为相位面上的一个奇点，该点的复振幅为零，即为复波动场的实部零值 与虚部零值的交叉点。而且围绕奇点的累积相位为2 z 的整数倍，该整数被称为拓扑荷 m 。拓扑荷为m 的涡旋光束的场的分布表达式可写为u ( p ，口) = u o ( p ) e x p ( i m 8 ) 。 因此研究涡旋光束在湍流介质中的传输和成像特性，显得相当重要。对大气湍流中 光传输理论的研究，对涡旋光束在大气光通信中的实际应用，都具有重要的意义，已经 引起了很多学者的兴趣。对于构成大气湍流像差各级子像差对涡旋光束的影响，对于研 究涡旋光束在湍流大气中传输时各因素的作用有重要意义，对自适应光学技术具有重要 的指导意义。 1 2 国内外研究现状和发展趋势 从上世纪4 0 年代大气湍流对光波影响研究开始，系统的光传播研究开始5 0 年代左 右。苏联学者t a t a r s k i i 引入k o l m o g o r o v 和o b u k h o v 法阵的湍流统计理论【8 】，并采用r y t o v 近似( 即平缓微扰法) ，求得湍流大气中波传播方程，取得了相当好的理论结果，从而 第一章绪论 奠定了光波在湍流大气中传播的理论基础。目前他的理论体系已经成为弱起伏条件下的 经典理论。 一般在弱起伏条件下，随机介质中的波传播问题用平缓微扰法可以很好的处理，在 强起伏条件下，渐进理论得以发挥作用。但是许多传播现象发生在从弱湍流到强湍流的 较大范围内，数值模拟方法则成为探索这一区域内传播问题的有效途径。 1 9 7 6 年，f l e c k t 9 l 开始采用“多相位屏法”模拟大气湍流对传输光束的作用，此后在 解决大气光产生问题时，这一方法被广泛应用。产生相位屏的方法已经发展了很多，这 些方法基本上可以由相位波前的表达方式分为两类：一种是为“取样法”，相位屏用二 维的网格点来表示。也称为“功率谱反演法”，因为此法是根据大气湍流的功率谱密度 函数得到大气扰动相位分布，谱反演法首先由m c 舀a m e y r 1 0 】提出，得到了广泛的应用和 发展。另一种方法是用正交的基函数来表示相位屏，成为“模拟法 ，而此法是根据大 气湍流的相位协方差函数得到各个正交基函数的系数。通常采用z e r n i k e 多项式作为正 交基函数，因此模拟法常常称为“z e m i k e 多项式展开法”。n o l l 1 1 l 和r a d d i e r 1 2 1 对此做了 大量深入的研究。 本文中即是用“z e m i k e 多项式展开法”来研究湍流大气中各低阶子像差对光束光 强的影响。 由于激光在大气中传输中湍流的存在导致光束迅速扩展，激光光束在远距离光通信 中的应用受到极大的限制。寻求特殊的光束以降低大气湍流对光束的影响，一直是人们 努力的方向。因而，大气湍流中各种激光光束的传输和成像的特征研究引起了普遍和广 泛的关注。大气湍流对各种聚焦高斯光束成像质量、焦面光强分布的影响等方面的研究 在国内外学者的努力下，已经并取得了一定的研究成果【1 3 】。 1 6 】。等。 目前国内外研究的现状和现有的研究成果主要有：大气湍流对一些特殊光束例如， 部分相干光束【2 2 】【2 3 1 、平顶高斯光束【2 4 】【2 5 】、余弦高斯光束和椭圆高斯光束【2 6 】等光束质量 的影响；近地面湍流大气中光束的漂移【2 2 1 、焦移【2 3 1 ，光束扩展【2 1 】【2 4 1 ，波前扭曲【2 5 】，相 位起伏【2 6 】和到达角的起伏【2 7 】等规律和特征的研究；湍流大气中光波斜程、闪烁问题的研 究；湍流尺度对大气成像系统分辨率的影响；以及对湍流效应的自适应光学补偿技术的 研究，等。 然而，我们知道在期望通过自适应技术达到高分辨成像和光束质量改善等领域，人 们需要了解大气湍流各级子像差对光波波前的影响，光束的调制作用的大小和性质。而 对于湍流各级子像差对光束的分别作用的研究还比较少见。 2 0 0 5 年，g a r yj b 1 2 8 2 9 1 研究了大气低阶湍流的影响和r y t o v 近似的适用范围， 在r y t o v 近似不适用的范围内，用一种新的方法，即低阶湍流法( l o t ) 推导出光强的 统计特性；接着于2 0 0 6 年研究了低阶大气湍流对高斯光束弱闪烁和衰减概率的影响， 建立了低阶湍流模型( l o tm o d e l ) ，对湍流的低阶子像差做了进一步的研究。 近几年来涡旋光束的产生及其传输特性引起了人们广泛的兴趣。研究表明，带有涡 旋相位因子的光束与普通光束相比，有着许多独特的性质。有关学者对涡旋光束的传输 特性做了大量的研究。例如，涡旋光束的深聚焦特性的研究1 3 0 】；p f i s c h e re ta 1 1 3 1 】深入 2 第一苹绪论 研究了涡旋光束的传输和衍射特性；印度学者r a k e s hk u m a r s i n g h t 3 2 】【3 3 】等系统研究了 在彗差、球差、散焦、象散等像差影响下高斯涡旋光束在孔径系统的焦面光强的分布。 由于涡旋光束应用于空间光通信的极大的潜力，因此，研究涡旋光束在湍流大气中 的传输特性就有重要的实用意义。2 0 0 5 ，张逸新等【3 4 】基于部分相干场互相干函数的r y t o v 近似和交叉谱密度近似讨论了部分相干涡旋光束在湍流大气中传输特性。紧接着，更多 关于涡旋光束在大气中传输的研究相继出现了。王涛等【3 5 】【3 6 】基于广义惠更斯菲涅耳原 理，分别研究了部分相干涡旋光束和涡旋光束在湍流介质中传输特性； f f l o s s m a n n p 川 等研究了拉盖尔高斯光束中光学涡旋的传输动力；杨蓉青【3 8 】研究了部分相干光束在湍 流大气中的相干性；e y y u b o g l u 3 9 1 研究了高阶部分相干涡旋光束在湍流中的传输和相干 性质；等。 本文中利用z e m i k e 多项式展开法分析湍流各低阶子像差对涡旋光束的作用。研究 在传输过程中，各因素影响下光强的空间分布特性。 1 3 论文结构 对大气湍流低阶像差对聚焦高斯涡旋光束焦面光强的影响的研究，主要是对倾斜像 差、象散、散焦三种低阶像差的研究，及对三种像差分别作用时对聚焦高斯涡旋光束的 影响，同总相位像差的影响相对比，分析各像差影响的大小。 第一章综述了湍流大气中光的传输及成像研究的背景和意义，介绍了对各类光束在 大气中传播的研究现状，研究意义及应用，重点介绍了涡旋光束的特殊性及研究其在大 气传播特性的重要意义。本章最后简要介绍了论文的结构。 第二章介绍了大气湍流的一些参量，给出了内尺度，外尺度，大气湍流折射率结构 常数等参量的物理意义，阐述了湍流像差同z e m i k e 多项式的关系。 第三章首先介绍了涡旋光束的传播和衍射的性质，给出了拓扑荷等参量的物理意 义。用菲聂尔基尔霍夫衍射积分公式导出像差存在的情况下的聚焦高斯涡旋光束的复 振幅的表达式，进而得出焦平面光强的表达式。然后将大气湍流总三种低阶像差的相位 函数和结构函数的带入到涡旋光束焦面光强的表达式中，得出在其影响下的光强分布表 达式。然后利用m a t l a b 进行数值模拟的方法，得出焦平面光强分布的二维图形。由 结果看出光强分布随湍流强度，传输距离和拓扑荷三个因素变化，对结果及其物理意义 进行了详细的分析和说明。最后，根据大气湍流总像差的表达式，计算出总湍流对光强 的影响。将前面得到三种像差及湍流总像差对光强分布影响的异同进行比较，分析湍流 大气中低阶像差的影响同总像差的关系，得出结论。 第四章对全文的主要内容和结论做总结，并根据目前的研究现状对未来的研究方向 做一下展望。 第二章大气湍流概述 第二章大气湍流概述 为了深入讨论大气湍流对各种光束的影响，下面分析与激光传输大气湍流效应相关 的湍流特性。 大气湍流是指大气中局部温度、压强等参数的随机变化而引起折射率随空间位置和 时间的随机变化。大气温度微小的随机变化( z i c ) ，导致大气风速的随机变化，而 形成大气的湍流运动，从而导致大气折射率的量级为1 0 _ 6 的随机变化。这些变化的累积 效应导致大气折射率的明显不均匀性，光波在大气中传输时，会受到不均匀大气折射率 的干扰而导致波前随机起伏，由此引起光束抖动、强度起伏( 闪烁) 、光束扩展和光束 漂移等系列光传输的大气湍流效应。这些效应严重影响工作于大气环境的各类光学系 统的性能。因此，研究大气湍流扰动效应是对于大气光通信，激光测距等都具有十分重 要的现实意义。 2 1 湍流的基本物理模型 1 8 8 3 年雷诺( r e y n o l d ) 首次对湍流做了系统的研究。他利用相似性原理论证了， 液体的流动从层流转向湍流，总是在相同的雷诺数r e 下发生。雷诺数是一个无量纲数 r e = 刃1 ，其中v ( m s ) 是流动的特征速度，z 是流动的特征长度( m ) ，1 ，是流体的 粘性系数( m s 2 ) ，它是流体流动的动力学性质的标志。实际上现在已经证实存在一个 临界雷诺数r e c ，当r e r e c 时，流动就转换为湍流。 但临界雷诺数r e c 并不是一个普适常数，它的数值不仅和流体结构的几何形状有关而且 还和湍流产生的方式有关【删。 当雷诺数接近临界值时，湍流的特征还与初始条件有关。当雷诺数远远大于临界值 r e c 时，初始条件的影响就消失了，流体运动几乎完全是随机的规则预定运动，这时只 能用统计特征来描述流体运动。按照k o l m g o o r o v 理论，湍流平均速度的变化使其获得 能量。平均场把能量传输给湍流的尺度叫做湍流的外尺度，一般用厶来表示。大于厶的 涡旋一般不是各向同性的，但是尺度小于厶的涡旋，一般都是各向同性的。 设v o 是对应尺度为厶的涡旋的速度，下面讨论这个涡旋的动能。根据雷诺数的定义， 单位时问单位质量的流体动能大约是3 厶，单位时间单位质量的势能大约是 v 环2 厶2 。雷诺数r e 很大，因此耗散能远远小于动能，可以忽略，这时几乎所有的动 能都传给了尺度更小的涡旋。设k ，k ，圪是尺度为厶，厶，三。的涡旋 的速度，若其中l o 厶 l 2 t ，那么对所有不同尺度的涡旋，单位时问单位质量 的动能都必须近似相等。即： v 0 3 l o 口k 3 厶口k 3 厶口口圪3 厶 ( 2 1 ) 但是随着尺度变小，耗散能v 圪2 42 是增加的，直到某一最小尺度乇的涡旋，它的 第一章人气湍流概述 动能与耗散能s 相当： 3 厶口k 口3 岛u 口k 3 口v h 2 t 0 2 口 ( 22 ) 在这个尺度厶上，所有的动能转变为热能，厶就叫做湍流的内尺度。在湍流理论中 单位时间单位质量的湍流耗散叫做湍流耗散率。 储藏噼巾r r 。 * * x k m 图2 - 1 湍流中能量转换示意图 h g2 - 1 a 研c o f i a l d e s c r i p t i o no f t h e p l o c c s $ o f t u r b u l e n t d e c a y 如果涡旋尺度介于湍流外尺度厶和内尺度之间，那么速度起伏矿只是尺度和能量 耗散f 的函数，即r 口r e l ) ”。 对于描述光的传播最重要的参数是大气湍流引起的折射率的起伏： h ( p ) = n o + ( f ) ( 2 3 ) 式中，是一个空间中的点，n o 剐n ( f ) 笔l 为大气压下折射率的平均值，璃( f ) 表示一( ) 围 绕平均值的随机涨落，因此喝( i ) = 0 。折射率的起伏与温度和压强的起伏有如下关 系 娴刮埘n 旷器 ( 24 ) 式中p 是以毫巴( 1 毫巴= 1 0 0 帕) 为单位的大气压强，r 是热力学温度k 由于地面湿 度贡献很小，所以上式中忽略了水汽压的贡献。大气压强的起伏也可以忽略，因此折射 率的起伏主要是由温度的随机起伏引起的。 由此我们可以得到h ( f ) 的协方差函数： 只( i ，乏) = e ( i ，i + f ) = ( 月l ( i ) h i ( i + f ) ) 十酊 ( 25 ) 式中i ，e 为两个空间点，且f = e l 。假设湍流介质是均匀各向同性的介质，协方差 函数就简化为距离标量，= k i l 的函数。可以分解为卟变化的平均量和一个统计平均 的起伏的随机场称为局地均匀场h ”。局地均匀场通常不是由协方差酌数定义，而是由 第二苹大气湍流概述 结构函数来定义的： q ( ，) = ( 1 ( ，i + ，) 一_ ( ) 】2 ) = 2 【色( o ) 一e ( ，) 】 ( 2 6 ) 将式( 2 5 ) 代入式( 2 6 ) ，我们便得到了两点间距，在湍流内尺度乇和湍流外尺度厶 之间的k o l m o g o r o v - o b u k h o v 大气折射率结构函数的“定律 2 见( ，- ) = q ，3 ，( 乇口，口厶) ( 2 7 ) 称大气折射率结构常数，为大气光学基本参数之一，是湍流强度的重要评价参数。 2 2 大气折射率结构常数 大气湍流折射率结构常数a 是时间和空间的函数，它描述了折射率湍流强度的系 数，a 的量级约在l o 。1 7 口l o 一2 m 2 3 左右。目前最常用的关于湍流强弱的划分办法是 d a _ v i s 例曾提出一种划分，折合到口的数值是： 强湍流 a 2 5 x 1 0 1 3 弱湍流e e 6 4 x 1 0 - 1 7 。 折射率结构常数a 在光束的大气传播中有着非常重要的角色，是大气光学中的基 本参数，人们发展了多种测试方法。h u f n a g e l 根据实测的数据，给出了一个在3 2 4 k m 范围内适用的c 经验公式，我们称为h u f n a g e l v a l l e y 模型。这个模型分为白天模型和 夜晚修正模型。 h u f n a g e l v a l l e y 白天模型： ( z c o s 8 ) = 5 9 4 1 0 锄( v 2 7 ) 2 ( z c o s 6 1 ) 2 e x p ( 一z c o s o a 1 0 0 0 ) + 2 7 x l o 一6 e x p ( - z c o s 6 1 1 5 0 0 ) + ( 0 ) e x p ( - z c o s 6 1 1 0 0 ) ( 2 8 ) 这里，= 2 1 ，l j 是平均风速，c h o ) = 1 7 x l o - 1 4 m 一或( o ) = 3 x 1 0 棚m 一是近地面光束发射 端的大气结构常数，z 为湍流大气厚度即光束的传播距离，口是光束斜程传输的方向天 顶角。 夜晚模型为修i f 的h u f n a g e l - v a l l e y 模型： c ( z c o s 6 1 ) = 8 1 6 x l o 羽( z c o s 6 1 ) 1 0e x p ( - z c o s 6 1 1 0 0 0 ) + 3 0 2 x 1 0 7e x p ( - z c o s 6 i 1 5 0 0 ) + 1 9 x 1 0 5e x p ( 一z o o s 6 1 1 0 0 1 ( 2 9 ) a 随高度的变化如图所示： 7 第二章人气湍流概述 o 1 5 o ，0 5 o5 01 0 01 5 o 离废( 1 皿1 ) 图2 - 2 随高度变化的典型图像 f i g 2 - 2t h ev a r i a t i o no f w i t ht h er i s eo f t h ee l e v a t i o n s 2 3 大气折射率起伏的功率谱模型 当研究光波的大气湍流效应时，大气湍流折射率起伏规律研究的关键，湍流效应的 许多理论模型的建立都直接依赖于大气湍流折射率起伏谱。根据各类不同参数条件下实 际应用或实验室模拟湍流理论分析的需要，提出了多种大气湍流折射率起伏谱函裂删 【4 5 】。其中有些湍流谱仅适用于描述一定大气环境下大气湍流的起伏规律，有些湍流谱是 因理论分析需要简化得到的近似谱。下面介绍几种常见的功率谱【4 6 1 。 2 3 1k o l m o g o r o v 谱 假设大气湍流是局地均匀各向同性的，三维空间折射率功率谱密度。( 詹) 与协方差 函数形成一个傅里叶变换对： 吃扩) = ，e i e , e ( d 。 矽3 茁 ( 2 1 0 ) 啪= ( 去) 3 哆蝴驰矿r 式中詹为波矢量。在各向同性湍流情况下，则上述变换对可简化为： 刚妒去蛾( 确i n ( 舯) r d r q 1 2 ) 吃( 尹) = 竺卜。( 霞) s i n ( 彤，) t c d t c ( 2 1 3 ) 厂 ； 式中茁= 吲= 2 衫，为波矢量詹的绝对值，z 为湍流涡旋的尺度。 第二苹大气湍流概述 在k o l m g o r o v 关于湍流理论的经典工作的基础上，普遍认为功率谱密度包括三个不 同的区域。当誓= 2 万厶很小时( 很大规模的尺寸) 的区域叫输入区，在输入区内功率 谱的形状取决于特定的湍流是如何发生的，通常是各向异性的。在这个区域内理论不能 预言。( 露) 的数学形式；而r = 2 万l o 很大时( 很小规模的尺寸) 的区域叫耗散区；波数 在二者之间的叫惯性子区。即大气湍流几乎是局地均匀各向同性的，但是空间功率谱仅 仅在惯性子区或者r s - , o 的耗散区是各向同性的。对于输入区r l 毛时，要求引入一个本质上截 去高波数的函数。t a t a s r k i i 用一个高斯函数，得到t a t a s r k i i 谱： 。( r ) = 0 0 3 3 ( 7 2 盯_ 1 怕e x p ( 一彭2 2 ) ，彭1 i , o ( 2 1 5 ) 式中= 5 9 2 1 0 。这个式子的得到，仅仅是为了数学上的方便，而不是物理模型。 k o l m g o r o v 谱和t a t a r k s i i 谱，在1 so = o ( z ；o 专o o ) 的条件下，当r = 0 时有不可积的奇点， 即结构函数存在而协方差不存在。一 2 3 3v o nk a r m a n 谱 在实际应用中，v o nk a r m a n 对t a t a r s k i i 谱模型进行了修正，使它们在r l z ；o 区也 是局地均匀各向同性的。此时结构函数和协方差函数同时存在。修正v o nk a r m a n 谱在 整个波数区是统计均匀各向同性的【4 7 】。其形式如下： 。( r ) = 0 0 3 3 c 2 专搿o 彭o o ( 2 1 6 ) 上式中= w o ( 或a ：o = 2 7 r l o ) 。 2 3 4 修正模型 上述t a t a r s k i 谱和v o nk a r m a n 谱都是基于数学上的方便，而不是物理模型。严格 的说，这些谱模型仅仅在惯性子区是正确的。o b u k h o v | 4 8 】和c o r r s i n 【4 9 1 证明在高波数1 心 附近引起的衰减比r 一1 v 3 小。c h a m p a g n e 5 0 】等和w i l l l i 啪s 【5 l 】等清楚地揭示了在温度数据 9 蔓三兰奎冬塑堕塑垄 的突变。因为折射率指数与温度一样遵从“么定律 ，因此，在折射率指数起伏中也将 出现突变。h i l l 提出了一个和试验数据很好拟合的包括高波数突变精确的数值谱模型： 。( k ) = 0 0 3 3 c 2 r 乃 e x p ( - 1 2 k 2 t 0 2 ) + 1 4 5e x p - 0 9 7 ( 1 n “- 0 4 5 2 ) 2 】) ( 2 17 ) 可以看到上式的形式比较复杂，而且有不易于分析研究的缺点。为了理论研究的方 便，a n d r e w s 提出了包括外尺度参数的h i l l 谱的近似谱，称之为修正h i l l 谱： 。( 誓) = 0 0 3 3 c 2 【1 + 口。( _ ) 一口：( 鹭) 6 】器，o r o o ， ( 2 1 8 ) 这里a l = 1 8 0 2 ，a 2 = 0 2 5 4 ，一= 3 3 o 。上式中当口l = a 2 = o 和作k = k 代换后， 修正h i l l 谱简化为v o nk a r m a n 谱；当蚝= t o = 0 时，上式退化为k o l m o g o r o v 谱。 图2 - 3 用k o l m o g o r o v 谱归一化的折射率功率谱 f i g 2 3t h en o r m a l i z e dp o w e rs p e c t r u mo ft h er e f r a c t i v ei n d e xf l u c t u a t i o nw i t hk o l m o g o r o vs p e c t r u m 图2 3 绘出了忽略了外尺度效应( 砥= 0 ) 情况下不同谱之间的比较( 用k o l m o g o r o v 谱归一化) 。从图2 3 中可以看出，t a t a r s k i i 谱随着内尺度的增大而单调减少，而h i l l 谱和修正h i l l 谱在o 1 碥 ) 2 ) = 4 = 1 2 3 c 2 k 7 6 z , ( 2 2 5 ) 角标r 表示r y t o v 近似，即上述方差尽在弱湍流区域适用。由式中可以看出，无厶与传 输距离1 1 6 次方，波数7 6 次方及成正比。但在实际的应用中，醒，。在达到一定数 值后不再随湍流强度增大和传输距离加长而增大，反而有可能减小，这种现象称闪烁饱 和效应。实际上，用r y t o v 方法仅仅在弱湍流时，即( ( ( 砌2 - 1 ) o 1 才能够得到正确的 方差，此时q 2 。如 o 3 。 另外一个重要的参数是归一化的强度起伏方差，即： 仃；：绁 ( 2 2 6 ) ( 驴 根据上式，在弱湍流区域，r y t o v 方差可以写为： 第二章大气湍流概述 叫 2 ) = 2 ) = 警 因此，在弱湍流区域，我们有： 如= 盯； ( 2 2 7 ) ( 2 2 7 ) 即，在弱湍流区域中，强度起伏方差同强度对数起伏方差是相等的。 2 5 大气相关长度和z e r n i k e 多项式 2 5 1 大气相关长度 大气相关长度是描述特定平稳随机过程或具有平稳增量随机过程的湍流状态平均 强度，即满足各态历经定理条件下的系综量。即激光通过大气传输时，在其横截面上两 点间相位保持相干的最长距离。在相干长度内，可认为激光波前相位是一致的。大气相 干长度，；l 是描述光波在湍流大气中传播的重要参数。大气相干长度的概念是1 9 6 8 年 f r i e d t 5 4 】提出的，又称为f r i e d 常数，已经被学术界普遍接受，进来对的研究已由激光 传输领域扩展到自适应光学领域和天文学界。 水平路径下，平面波在湍流大气中传输时大气相干长度的表达式为： r o = o 4 2 3 k 2f e 2 ( z ) 龙p ( 2 2 8 ) 上式中z 为湍流大气层的厚度即光束的传播距离，l 为路径的长度。斜程传输时，传输 方向与积分路径有夹角8 ，即传输光束的方向天顶角，这时大气相干长度的表达式为： r o = o 4 2 3 s e c 。g k 2r q 2 ( z ) 出p ( 2 2 9 ) 2 5 2z e r n i k e 多项式 大气湍流对光束传输和成像的影响可以用像差来描述。从几何光学的基础上讨论 时，可以将像差展开为幂级数。z e r n i k e 引入一个单位圆内部相互正交的多项式的集合， 称为z e m i k e 多项式，将像差展开为z e m i k e 多项式的形式，更方便进行讨论。 z e r n i k e 多项式是在圆域上对径向变量和角度变量的连续函数正交的二维多项式， 一般表示成极坐标( p ，臼) 的形式，p 为单位径向坐标，口为极角坐标，在各种文献中， z e m i k e 多项式的形式略有差别删【5 6 】f 5 7 】。本文中采用文献 5 5 中的表述方式阐述z e r n i k e 多项式的基本形式和性质，然后采纳n o l l 1 1 】的表示法将二维的z e m i k e 多项式表示成只 有一个阶次的形式【5 8 1 。 在单位圆内正交的z e m i k e 多项式的表达式为： j 2 竺( ，2 跚 ( 2 3 0 ) z o a a i = 七十1 ( ，) 2s i n l o z 0 第二章大气湍流概述 乙= 厕( ，) l = o ( 2 3 1 ) 式中七和，都是正整数，且满足，k ，七一i 引= e v e n 。z e m i k e 多项式的正交性质为： 2 二1 ii z ，( p ，目) z ，( p ，o ) p d p d o = 死巳 ( 2 3 2 ) 00 下角标歹表示泽尼克多项式中此项的阶次，是k 和，的函数。l 阶对应于平均波前，通常 称之为活塞项( p i s t o n ) ；2 和3 阶对应于两个正交方向的倾斜( t i