（应用数学专业论文）基于anderson模型和siqs模型的传染病动力学研究.pdf

摘要 本文首先研究了具有较为广泛代表性的三次系统传染病的动力学 a n d e r s o n 模型，分析方法与常见s e i r 模型和四次系统的处理方法类似 通过用l i p s c h i t z 条件和毕卡存在唯一性定理判断其解的整体存在唯一 性；并分析其解的非负性此外，利用李雅普诺夫的相关理论解释传染病 零解的稳定性和特殊条件下的非平凡解的整体稳定性问题 其次，建立了一类具常恢复率，有效接触率依赖于总人数的s i q s 传 染病模型，并得到了阈值参数盯的表达式如果o r s l ，则疾病消除平衡点 全局稳定；如果o r 1 则存在唯一的传染病平衡点且是局部渐近稳定的 对于带隔离项修正的传染率的s i q s 模型，我们同样证明了传染病平衡点 只要存在唯一就一定全局稳定的结论 关键词传染病，a n d e r s o n 模型，l i p s c h i t z 条件，毕卡定理，李雅普诺夫稳 定性 a b s t r a c t i n t h i s p a p e r w e f i r s t c o n s i d e r t h e d y n a m i c a l a n d e r s o nm o d e l o f i n f e c t i o u s d i s e a s e , w h i c hi sae x t e n s i v ea n dr e p r e s e n t a t i v ec u b i cs y s t e n l t h ea n a l y t i c a lm e t h o di s s i m i l a rt ot h ec o m m o ns i rm o d e la n df o u r t ho l d e rs y s t e m t h eg l o b a le x i s t e n c ea n d u n i q u e n e s so ft h en o a n e g a t i v es o l u t i o na 托o b t a i n e db yu s i n gl i p s c h i t zc o n d i t i o na n d p i c a r dt h e o r e m m o r e o v e r , t h es t a b i l i t yo fz e r os o l u t i o na n dt h eg l o b a ls t a b i l i t yo f n o n t r i v i a ls o l u t i o ni ns p e c i a lc o n d i t i o n 撇d i s c u s s e db yu s i n gt h el y a p u n o vt h e o r e m n e x t , as i q se p i d e m i cm o d c ki n c o r p o r a t e sc o n s t a n tr e c r u i t m e n ta n dag e n e r a l p o p u l a t i o ns i z ed e p e n d e n tc o n t a c t 砒i sp r o p o s e d at h r e s h o l dp a r a m e t e r 仃i s i d e n t i f i e d i ti ss h o w nt h a t , t h ed i s e a s e - f l e ee q u i l i b r i u mi sg l o b a l l ys t a b l ew h e n 口s 1 a n da u n i q u ee n d e m i ce q u i l i b r i u mi sl o c a l l ya s y m p t o t i c a l l ys t a b l ea s 仃 1 f o rt h es i q s m o d e lw i t ht h eq u a n m t i n e - a d i n s t e di n c i d e n c e , g l o b a ls t a b i l i t yo f t h ee n d e m i ce q u i l i b r i u m i s a l s o p r o v e d k e y w o r d s ：i n f e c t i o u sd i s e a s e , a n d e r s o nm o d e l ，l i p s c h i t zc o n d i t i o n , p i c a r d t h e o r e m , l y a p u n o vs t a ! b i l i t y 郑重声明 本人的学位论文是在导师指导下独立撰写并完成的，学位论文没有剽窃、抄袭 等违反学术道德、学术规范的侵权行为，否则，本人愿意承担由此产生的一切法律 责任和法律后果，特此郑重声明。 学位论文作者( 签名) ： 沙口6 年p 月t o 日 烛拖 引言 在传染病动力学中，主要沿用由k e r m a c k 与m c k e n d r i c k ；i e l 9 2 7 年用 动力学的方法建立的s i r 传染病模型 1 至今s i r 模型仍被广泛地使用 和不断发展s i r 模型将总人口分为以下三类：易感者( s u s c e p t i b l e s ) ，其 数量记为s ( f ) ，表示t 时刻未染病但有可能被该类疾病传染的人数；染病 者( i n f e c t i v e s ) ，其数量记为o ) ，表示t 时刻已被感染成为病人而且具有 传染力的人数；恢复者( r e c o v e r e d ) ，其数量记为足( ，) ，表示t 时刻已从 染病者中移出的人数 s i r 模型的建立基于以下三个假设； ( 1 ) 不考虑人口的出生、死亡、流动等种群动力因素，人口始终保持 一个常数 ( 2 ) 一个病人一旦与易感者接触就必然具有一定的传染力假设t 时 刻单位时间内，一个病人能传染的易感者数目与此环境内易感者总数 s ( f ) 成正比，比例系数为，则在t 时刻单位时间内被所有病人传染的人 数为脚 ( 3 ) f 时刻，单位时间内从染病者中移出的人数与病人数量成正比， 比例系数为，则单位时间内移出者的数量为声 s i r 基础模型用微分方程组表示如下 塑：一脚 成 = d ：鼹l 一7 i 讲 堡：， d t 解得 ，= ( s o + i o ) 一s + ! 矿i n s s o ， 其中盯= 2 是传染期接触数 ， 可通过对s i r 模型的分析和解的渐近性态来初步研究传染病的流行 规律s i r 模型是比较简单粗糙的模型，这个模型得到了历史上发生过的 大规模的传染病的验证，如上个世纪初在印度孟买发生的瘟疫数据就符 合这个模型后来很多研究人员对s i r 模型做了推广在不考虑出生与死 亡等种群动力学因素的情况下，传染病若无潜伏期，动力学模型可表示 为：s i 模型，患病后难以治愈；s i s 模型，患病后可以治愈，恢复者不 具有免疫力；s i r 模型，患病者治愈后获利终身免疫力；s i r s 模型，病 人康复后只有暂时免疫力，单位时间内将有部分康复者丧失免疫力而可 能再次被感染若考虑传染病的潜伏期，在三类人群中增加类，感染 而未发病者( e x p o s e d ) ，可在s i r 或s i r s 模型的基础上得到更复杂的 s e i r 或s e i r s 模型若考虑传染过程中采用的隔离措施，可得到s i q s 模型若考虑种群动力学、疫苗接种、隔离以及密度制约、年龄结构等 更为复杂的因素，模型的参数和复杂程度也将增加 a n d e r s o n 2 在1 9 9 1 年提出了一个传染病动力学的常微分方程模型 他将整个人口分为3 类：第一类人是正常而可被感染者( s u s e c e p t i b l e h o s t s ) ，第二类人是患病者( i n f e c t e dh o s t s ) ，第三类人是病愈而具有免 疫力者( r e c o v e r e da n di m m u n eh o s t s ) 传染病发展的基本模型是对于 这个三类人口的常微分方程的三次系统如果考虑年龄对传染病的影响， 则可以得到一类偏微分方程模型( 参见文献 3 ) ，它们是一阶双曲型方 程组的非局部、非线性混合初边值问题姚勇 5 证明了终身免疫的传染 病偏微分方程模型c 1 解的整体存在唯一性，并得到解关于初值的连续依 赖性 a n d e r s o n 模型是属于s i r s 模型的一种非线性复杂情况，在建模求解 时，参考了e 3 ，1 1 和一个四次系统的模型 6 以及一些其他的相关论文 4 ，7 ，8 ，9 第一章基于a n d e r s o n 模型的传染病动力学研究 1 1 模型的建立 本文将采用a n d e r s o n 模型建立常微分方程组，分析传染病的传播 下面我们介绍一下a n d e r s o n 模型 首先将整体人口分为三类： 1 、正常可被感染者； 2 、患病者； 3 、病愈且具有免疫力者 第一类人可以感染患病而变成第二类人，第二类人可以因治愈而变 为第三类人( 至少在一段时间内具有免疫力) ，而第三类人也可因失去 免疫力变成第一类人此外，除第二类人可因患病而死亡外，三类人都可 因为其他原因正常死亡( 任意非传染病致死) ，称之为自然死亡 显然，这三类人构成了人类的全体，或者说我们考察范围内的全体 他们之间的转化关系如下： 图l 三类人关系转化图 设第一、第二、第三类人在时刻t 的总人数分别为弓( f ) ，p 2 ( t ) ，p 3 ( t ) 这三类人的出生率分别为b l ，b 2 ，如，自然死亡率分别为矾，以，以，第二类人 的传染病死亡率为j 4 考虑到传染病的特点，在时段k t + d t 内第一类人的传染病发病人数 不仅应和日( ，) 成正比，还应和具有传染性的第二类人数昱( f ) 有关，其数目 越大传染力就越强，故也应是正比关系，当然还有肘间段长度廊，设其比 例系数为口，所以有 在时段i t ，t + d t 内的发病人数为够( ，) p 2 ( t ) d t ，这部分人转化为第二类 人 又设第二类人的治愈率为，则在时段i t , t + d t 内的治愈人数为 芦呸( t ) d t ，这部分人转化为第三类人 再设第三类人失去免疫力的比例为，则在时段i t ，t + d t 内的失去免 疫力人数为) p 3 ( t ) d t ，这部分人转化为第一类人此外，本文还假设 d i ，d ，b t ，口p ，7 1 0 ，i = 1 ，2 ，3 下面推导只( f ) ，昱( f ) ，只o ) 所满足的微分方程 在时段【f ，+ 训内第一类人的增加数掣应等于在此时段三类人的 出生数( 假定初生婴儿都不带病) 减去第一类人的自然死亡数和发病人 数，再加上第三类人失去免疫力人数。故得到 掣= 只+ 6 2 b + 一一只一衅b + 圮 = ( a 一4 ) 只+ 如昱一哦只+ 伯l + y ) b ( 1 1 ) 同理，由于在时段i t ，t + d t 内第二类人的增加数应该等于该时段第一类人 的发病人数减去第二类人的自然死亡人数、传染病死亡人数及治愈人数， 则可得 d p 2 。( t ) ：啷忍一以昱一j 马一仍 讲 = ( 媚一以一d * - 鸲 ( 1 2 ) 最后，在时段 f ，t + d t 中第三类人的增加数应该等于第二类人的治愈 数减去第三类人的自然死亡数及失去免疫力的人数，所以可得 t d p d t ) = 佛一以只一码 ( 1 3 ) 甜 、j ， = 鸱一( 以+ 力只 因此，丑，最，只满足非线性常微分方程组( 1 1 ) 一( 1 3 ) 同时，鼻，b ，b 满 足下面的初始条件 暑( o ) = 彳，五( o ) = 君，只( o ) = 口， ( 1 4 ) 其中印o i = l ，2 ，3 这样我们得到一个非线性常微分方程组的初值问题 ( 1 5 ) 一( 1 6 ) 堡曼! 堕：( b l 一4 嵋+ 如b 一哆b + ( 6 ，+ 力弓， a t 警= ( 嵋一屯卅柏b ， ( 1 5 ) 掣= 职一 + 鹕， ( 只( o x b ( o x b ( o ) ) = ( p o ，只o ，掣) ， ( l6 ) 其中4 。西，岛，口，多，0 对上述方程组求解讨论，就可以得出传染病的相关特征很明显，这 是一个三次系统，我们主要研究以下问题： 1 ) 解的大范围存在性； 2 ) 证明恒成立 i 0 ，f = l ，2 ，3 ； 3 ) t 一+ 一时零解的渐近形态，有没有稳定的极限状态 1 2 模型解的整体存在性和唯一性 记p = ( 月，昱，只) i s 令尸= 旧i + 陋l + 1 只i 及 i ( b l 一吐) e + 6 2 最一喝b + ( b + r ) g f ( t ，p ) = 八p ) = ( 明一以- d 一声) 只 ( 1 7 ) ，【鸱一( 以+ y ) b 则初值问题( 1 1 ) 一( 1 4 ) 转化为 1 d e 广( t ) = 艄= f ( t ，) ， p ( o ) = ( 芹，霉，露) 7 ( 1 8 ) 为了证明( 1 8 ) 中解的存在唯一性，首先证明f ( t ，一在r + r ，上满足 局部l i p s c h i t z 条件 引理1 满足初值条件( 1 8 ) 的( 1 - 7 ) 式f ( t ，p ) 在r + x r 3 上满足局部 l i p s c h i t z 条件 证明：任取一点( t o ，p ( o ) ) r + r 3 ，设m , n 为两个正常数，则 d = 缸，p ) ：p t o s m ，护一昂i 疗) 是一有界凸区域显然朋，d 在r + r 上关 于p 具有连续偏导数，因而在d 上也具有连续偏导数则由 2 可知， - ，- ( ，d 在d 上关于p 满足局部l i p s c h i t z 条件 如上所证，由毕卡存在和唯一性定理，_ ，r ( f ，p ) 在区间l = t o h , t o + h i - l = 有且只有一个解，其中 = m i n ( 现爿， m t ，f 嚣0l 几d 1 l ，) e j r x r 为了证明主要结论，我们需要下丽的定理 毕卡存在和唯一性定理设初值问题 ( f ) 譬= ，y ( x o ) = y o ， 积 其中，( 圳在矩形区域r ：k 一l s a ，l y y o i m k 矿a x 羽i f ( t ，d f ，p 胄月x r 这样，l i p s c h i t z 条件在高维空间中满足，因此，有下面的推论 推论设函数f c x , y ) 在区域g 内连续，而且对y 满足局部l i p s e h i t z 条 件，即对区域g 内任意一点q ，存在以q 为中心的矩形区域q c g ，使得在 q 内，( 堋对y 满足l i p s c h i t z 条件，则微分方程经过g 内任一点昂存在唯 一的积分曲线，且在g 内延伸到边界 显然【o d 应该包含在区间j 中，这里z 是传染病的最大存在区间，事 实上，r 是可以趋近于无穷大的，因此还要证明f = + 一，才能得到解在大 范围t o 上的整体存在唯一性 定理l 满足局部l i p s c h i t z 条件的她力的解在大范围r + x r 3 上存在 且唯一 证明 由引理1 ，熊力在r + x r 3 上满足局部l i p s c h i t z 条件，r 是其存 在区间的右端点，由上述推论的延拓性结论可得 i ，f = 枷： r 为有限值，当f r 时，i 旧一一 现在，证明情况i i 不存在 假定r 有限，因为弓( f ) ，最( f ) ，只( ，) i o ，v t e 【o ，d ，所以 8 p ( f 。片( f ) + 曼( f ) + e o ) 一。，f r 一 ( 1 9 ) 将( 1 1 ) 一( i 4 ) 相加可得 j l p ( 创。( b - d ) j | p ( 叫一d 最( ，) ( 6 一d ) | i p ( 伽， ( 1 1 0 ) 所以丢k 一帅妒( ，刈o ( 1 1 1 ) 对上式从0 到t 积分，得 p 娜i | p ( 叫p ( o ) 2 芹+ 只o + 只o ( 1 1 2 ) 所以 l p ( f ) | | e - 州”p ( 0 ) m u l x ( e 一“”p ( o ) ，p ( o ) ) ，v ， o ，n 即护( f 有界，这与胪( f 一一矛盾，故i i 不成立所以t = + o o 因此，常微分方程模型的解在【o + 一) 上是存在且唯一的 口 1 3 模型解的非负性研究 对于模型解的非负性，我们有下列的结果： 定理2 若刃= 1 ，2 3 ) 是初值问题昱的解，则恒成立卑( f ) o ，i = l2 , 3 ， v t 0 证明先证昱( f ) o 事实上，若芹：o ，f = l 2 3 ，显然对任意t 0 ，有 p a t ) i 0 ，f = 1 ，2 ，3 ，v t e o , 1 9 ( 1 1 3 ) 对于一般情况，由( 1 2 ) 知， 9 掣= a a 3 , b 一以最叫只一职 = ( 衄一畋一d 一) 昱= b ( f ) 再由初值条件只o = o 可解德 昱o ) 2 足0 c x p l j o t ( 力d 刃 ( 1 1 4 ) 因为只0 o ，所以p a t ) 0 ，且仅当霉= 0 时，最o ) = o 其次，证只( f ) 1 0 我们用反证法 令4 = f ib ( f ) o o f 0 ，故若存在t 0 ， ，使丑( f ) = 0 ，则必有掣= 掣= o 所以只( f ) 0 ，最( f ) i 0 ，只( f ) = 0 因此 堕d t ( f ) = 佛( f + ) 一盔弓o ) 2 废0 ( 1 1 8 ) 最后证明上式与产= i n f a 矛盾 i 若睾扩) o ，由b ( f ) = o 知： 4 i 存在 o ，当f 【f t + 】时，只( f ) o ，与产= i n f 彳矛盾 若辈伊) = 0 ， d t 则可分为下面三种情况： ( i ) 若霉 o ，那么由( 1 3 ) ，( 1 ，4 ) 锝 只( f ) = p 哪【日+ f 一( p e o a r ( 1 1 9 ) 由日o ，卢o 及( 1 1 4 ) 式，有b ( f ) o ，对任意t 【o r ) 成立；所以 是空 集，则矛盾 ( i i ) 若最( f ) 0 ，由( 1 1 4 ) 式可知，霉 o ，因而只( 产) 0 ；显然，如 ( i ) 所证，不成立 ( i i i ) 若只扩) = 最( ，) = o ，再由b ( f ) = 0 及( 1 1 3 ) 式，有 只8 ) = 0 ，v t f 成立故_ 是空集，矛盾 所以( 1 1 9 ) 式与，= t u f a 矛盾因此，彳为空集，即只o ) 0 ，v t 【o d 将另( f ) ，b o ) 视为已知函数代入方程( 1 5 ) ，再代入初值条件得 丑( f ) = 麟p j ：( 6 l 一矾一码( f ) 矽刁 p + f 叶c ( 岛一吐一够叫地+ 刖+ 6 2 最( 叫凼 ( 1 2 0 ) 又矸 0 ，再由( 1 1 4 ) ，( 1 1 9 ) 式有最( f ) ，马( f ) o ，故 只o ) 1 0 ，v t e 【o d 至此，我们证明了恒成立e ( f ) 1 0 ，i = 1 ，2 ，3 ，v t 【o ，r ) 再由r = 佃知，只o ) o ，f = l ，2 ，3 ，v t 【o ，扣) 1 4 模型零解的渐近形态 口 对于这个问题，我们只讨论在零解附近的稳定性，而不考虑在正平衡 点的稳定性主要使用了李雅普诺夫稳定性定理对6 i ，珥的不同大小关系 进行讨论分析 定理3 对于初值问题 e ：竺竺= ，( d = ，( p ) ，p ( o ) = ( 口，霉，口) 7 ， t i t 在t - , z - 1 。o 时，若以4 ，零解是渐进稳定的；若岛 西，则零解不稳定 证明首先，对初值问题e 作如下处理 f ( 6 l 一面) 只+ 6 2 b 一伍b 只h 毛+ 力b f ( t ，力= 八p ) = ( 嵋一d 2 一d 一声) b = _ ( ，) 尸( f ) n ( t ，j p ) ，( 1 2 1 ) i 一( 吒1 ) 弓 删一f 0 一专一声捌0 ，22)0 4 ( f ) = = i 一畋一d 一声 i ， ( 1 晷 一d l 一7 则 f a 一( 一4 ) 一西2 一( 毛+ 力1 甜一彳= f 0 名一( 鸣一d * - f 1 ) 0 1 ( 1 2 3 ) l 0 一2 - ( 一力j 所以，其特征方程为 坂句= 阻一 一矾) 】阻+ ( 以+ d + 历1 阱+ ( 或+ 瑚= o ， ( 1 2 4 ) 容易解得 五= 玩一d j ，五= 一( 以+ d + 历，五= 一( 以+ 力 显然，由已知有吐，d ，岛，口，y 0 ，i - - 1 ，2 ，3 因此，如，五0 且轨4 时， o ；6 l 一时， o 为了使用方便，下面我 f 】给出李雅普诺夫稳定性定理 李雅普诺夫稳定性定理设方程d _ x = 4 ( f ) x ( f ) + ( ，x ) 中的一( f ) ：a 为常矩阵，且a 的全部特征根都有负的实部，则方程的零解是渐进稳定 的；当a 的特征根至少有一个具有正的实部时，方程的零解是不稳定的 显然，6 l o ，显然由上述定理，问题e 的零解是不稳定的，也就 是说，仅由传染病是不能让群体灭绝的 当岛= 4 时，此时 = o ，五，鸟0 ，则属于临界情形这时方程 ! 掣= 彳( f ) p ( f ) + m r ，刀的零解不仅取决子线性部分彳( ，) p ( ，) ，还取决于非 线性部分n ( t ，p ) ，我们考虑 的代数余子式 q = + 写q 声名+ “ ( 1 2 5 ， 易知d i o ，因此可作非奇异变换再由李雅普诺夫稳定性定理易证变换 后系统的零解是渐近稳定的，故原问题的零解在t 寸+ * 时也是渐近稳定 的 当然这里可以通过李雅普诺夫第二方法来判定，即找出本问题的一 个李雅普诺夫函数来直接判断，这也是最快捷的方法虽然该函数的存 在性是肯定的( 李雅普诺夫稳定性定理的反问题可证) ，但是却没有确 定的方法来构造李雅普诺夫函数，在寻找本题的李雅普诺夫函数上我们 要花很大的功夫，当然，这确实是一种很好的方法下面即将证明的正平 衡点的稳定性就参考了陈军杰所撰写论文 1 0 中的李雅普诺夫函数 1 5 模型正平衡点附近的稳定性状态 定理4 如果r = 似6 1 只+ 如最+ 毛只) 【d ( + d + 纠 1 ，则系统的传染病 平衡点僻，b ，只) 是全局渐近稳定的 证明作李亚普诺夫函数 上= ( 最一只l n 匀+ 吾( b 只+ ) 2 + 豪( 一r ， ( 1 2 6 ) 经计算可得 工= 刮最一昱) 2 一号似一腹b p ) 2 一等( 一) 2 o ( 1 2 7 ) 上式当且仅当( 最，b ，) = ( 最，只，) 时取等号因此( 最，只，) 是全局渐 近稳定的，所以化，最，弓) 也是全局渐近稳定的 1 6 模型的推广 上述模型在实际情况中有更复杂的变化，比如没有考虑到年龄因素 的影响，一般在传染病的传染和发病过程中，成体和幼体有着很大的区 别；另外，实际生活中，有着很多人为的干涉影响，最大的就是对患病者 的隔离措施，以防止其进一步传播疾病，这样的话，在计算时，有较大区 别 首先，在第二类人中，因隔离和未隔离人群受到不同对待，他们的发 病死亡率不同，可设为碰，；他们的治愈率也不同，设为届，压；故在此 1 4 时。原第二类人应重薪划分为两类：爿，碍，原来的三次动力系统将变为 四次动力系统，但是分析方法与原来相同，只是在个别时候单独考虑 e ，劈当然，有时候为了简化问题，还可以设 岛= 6 2 = 6 3 = b ，d l = d ：= 喀= d 如果精度要求不商的话，则三荚人的自然生再翠和目然歹匕亡翠基本相等， 这样问题可以简化为 蔓芝磐：6 ( p l ( f ) + p 2 ( f ) + p j ( 功一咖( f ) + 护，( r ) - o p i ( f ) p 2 ( f ) ， ( l2 8 ) a t a l p 2 ：( _ t ) = a p l ( f ) p 2 ( ，) 一( d + d + p ) p 2 ( ，) ， ( 1 2 9 ) 讲 尘娶垒：彦：( f ) 一( 以+ 儿o ) ， ( 1 3 0 ) 讲 织( o l e ( o x 只( o ) ) = ，日，嚣) ，且钟呻= l ，2 ，3 ) ( 1 3 1 ) 这时可以依据同样的方法进行分析 第二章具有隔离项的传染病模型的研究 2 1 引言 在流行病学上隔离是指在某种局势无法完全控制的情况下采取的 一种公共卫生措施，通过隔离能够避免更多人感染。几个世纪以来隔离 病人作为一项控制传染病蔓延的措施被广泛用于控制鼠疫、天花、肺结 核、麻疹、非典型肺炎及艾滋病等人类传染病和口蹄疫、疯牛病及狂犬 病等动物传染病 1 2 1 4 因此研究带有隔离项的传染病模型就显得十 分重要，这方面的近期文献可看 1 3 1 4 ，其中h c t h c o t ec ta 1 1 1 4 于2 0 0 2 年研究了具有常恢复率、分别带有双线性传染率、标准传染率及隔离项 修正的传染率的三种形式的s i q s 传染病模型，但对后二种形式的模型仅 得到了阈值及传染病平衡点的局部稳定性及无病死情况下的全局稳定 性等结果 1 4 指出考虑依赖于总人数的有效接触率在传染病模型的研 究中非常重要( 近期文献可看 1 5 ，1 6 ) 为此我们先研究具有常恢复率、 有效接触率依赖于总人数的s i q s 模型其次讨论具有隔离项修正的传染 率的s i q s 模型( 以 1 4 中第三种形式的模型作为特例) 传染病平衡点的 全局稳定性 2 2 接触率依赖于总人数的s i q s 模型分析 首先把总人数( ，) 看成三部分的和，即o ) = s ( f ) + 坤) + q ( d ，这里 s , l q 分别表示易感类、染病类和隔离类的人数假设易感类受传染的传 染率是j 、依赖于总人数n 的有效接触率钡) 及易感类在人群中的比例 s i n 这三者的乘积这样传染率为五( 狮口， 我们建立了如下的s l q s 新模型 s ，( f ) = a - , t ( n ) s l - d s + ，j + 日q j o ) = 钡) s ，一( y + 万+ d + 口1 ) ， ( 2 1 ) 纵，) = 8 1 一p + d + o t 2 ) q 其中a 是易感类的常恢复率，d 为每一类个体的自然死亡率，q 和分别 为染病类和隔离类的病死率，和占分别为染病类转化为易感类的转化 率及转化为隔离类的转化率，为隔离类中的免疫丧失率，这里一与d 为 正常数，而，占，喁，为非负常数，矾) 表示人群总数为时的有效 接触率( 即能引起传染的接触数) ，且满足 五0 毋 o ，名，( ) 2 0 ，0 致) 】，s o ， ( 2 ，2 ) 由系统( 2 1 ) 易得关于的方程 ，( ，) = 彳一捌一嘶，一q ( 2 3 ) 不难验证，若s ( o ) o j ( o ) o ，烈o ) 0 ，则系统( 2 1 ) 的解存在唯一，且满足 s ( f ) o ，j ( ，) o ，q ( t ) 0 ，l i ms u p n ( t ) a d 容易证明 r = ( s ，q ) is ，j ，q _ o , s + i + q 1 ，则存在唯一的传染病平衡点且是局部渐近稳定的 先考虑有关系统( 2 1 ) 的平衡点的存在唯一性，如果= = 0 ，则当 口1 时，系统( 2 1 ) 只有疾病消除平衡点0 ，当仃 l 时，存在唯一的传染病 平衡点p = ( s ，j ，q ) ，这里 难万a = 篇( 1 一争，q 一a ( e ；胁- d + o o l ( 1 一争( 2 5 ) 下仅需对q ，奶不全为零的情况进行讨论 引理2 设啊，锡不全为零，钡) 满足条件( 2 2 ) ，则关于的方程 葡a ( w ) q x - ( 1 + 乏) 瓦葡e + d 丽+ o r 2 ，竽】1 = 。( 2 6 ) 的根有如下结论：若口l ，则在( o , a i d ) 内无根；若仃 1 ，则在( o , a d ) 内有唯一的正根 一 利用上述结果，对于一般的喁，锡容易得到如下平衡点存在性结果 定理5 如果盯s 1 ，那么在r 中存在疾病消除平衡点o ( a d , o ，o ) ；如果 口 l ，则在? 中存在唯一传染病平衡点p + = 岱，j ，q ) 下讨论系统( 2 1 ) 平衡点的稳定性 定理6 ( i ) 如果口s 1 ，则系统( 2 1 ) 的疾病消除平衡点o ( a d , o ，o ) 在r 中是全局稳定的；如果盯 1 ，则点0 是不稳定的 ( i i ) 在盯 1 的条件下，唯一传染病平衡点p = ( s ，r ，q ) 是局部渐近 稳定的 证畴作l i a p u n o v 函数v = i ，则 v = 钡) 5 - ，一( ，+ 万+ j + 啦y ( 2 7 ) ( i ) 当d 1 时，v ( y + 8 + d + o t i ) l ( o s n 1 ) s o ( 2 8 ) i 扫l a s e l l e 不变原理 1 7 2 知，所有在z 的解趋于r n 岱，j ，驯，= o ) 的最 大正不变子集，而丁n ( 只j ，驯，= o ) 的唯一正不变子集为点0 ，从而0 在r 中全局稳定；当盯 l 时，注意到钡) 的非负连续性，易见在r 中的点o 充 分小邻域内，矿 o l a v ， o 非空，由典型的l i a p t m o v 定理 1 8 可知点0 是不稳定的 ( i i ) 当仃 l 时，传染病平衡点的存在唯一性已由定理5 得到，下证 ，= ( ，j + ，q ) 是局部渐近稳定的，为此考虑系统( 2 1 ) 的等价系统 ，( f ) = l ( n ) s l n - ( t + d + d + a l y 纵f ) = 万j 一( e + d + a 2 ) q ( 2 9 ) n 。= a - d n - a j - a 2 q 只要证系统( 2 9 ) 的正平衡点p = ( s ，q + ) 是局部渐近稳定的，对系统 ( 2 9 ) 的正平衡点p + = ( s ，q ) ，有烈) n = ，+ 艿+ d + 喁，另外由条 件( 2 2 ) 易得 【钡) ，r 一般) 2 ( 2 1 0 ) 记系统( 2 9 ) 右边的j a c o b i a n 矩阵为 j = a ( 工，五，五) ，a ( ，a ) 警( 一”一q ) - ( 刖聃q ) 一塑n ， 铡( n - i - q ) + 警， 万 一( + d + 啦) 0 一嘶一 一d ( 2 1 1 ) 不难验证，在正平衡点p = ( s ，j ，q + ) 处上述三阶矩阵满足 l o ，厶 o ，厶 o ，j | 2 j 2 l 1 ，则点0 ( 4 d , o ，o ) 是不稳定的 ( i i ) 在万 1 的条件下，传染病平衡点，是局部渐近稳定的 定理7 如果于= 声，( ，+ 万+ j + q ) 1 ，则系统( 2 1 3 ) 的传染病平衡点在 t = r 一 ( s ，q ) t ，j = o ) 中是全局渐近稳定的 对具常恢复率和隔离项修正的传染率的s i q s 模型，我们证明了如下 结果；如果阙值小于等于l ，则疾病将最终被消灭；如果阈值大于l ，则疾 病将流行，而且不会被消灭隔离染病者可以降低阈值，而且染病类转化 为隔离类的转化率艿越大，平均染病期l ( y + 8 + d + a j ) 及阈值盯或方就将 越小采用隔离措施控制传染病不仅表现在可以在口( 或万) 仍然大于1 时 减小传染病平衡态，+ 的规模，而且使得仃( 或厅) 小于等于1 的条件更容易 成立从而使疾病更容易被消灭同时从我们的结果也应该看到，采取隔 离措施后弗不能保证疾病一定不流行 参考文献 1 2 w0k e r m a c k agm c k e n d r i c k c o n t r i b u t i o n st ot h em a t h e m a t i c a l t h e o r yo fe p i d e m i c s j p r o c r o y s o c ，1 9 2 7 ，( a l l 5 ) ：7 0 0 - 7 2 1 2 a n d e r s o n r m ，m a y r m i n f e c t i o u s d i s e a s e s o f h u m a n s ：d y n a m o i c s a n dc o n t r o l m o x f o r d ：o x f o r du n i vp r e s s 1 9 9 1 3 。马知恩等传染病动力学的数学建模与研究 m 科学出版社，2 0 0 4 4 m i c h a e lyl ，j o h nrg ，w a n gl i a n c h e n g 6 1 0 b l ed y n a m i c so fas e i r m o d e lw it hv a r y i n gt o t a lp o p u l a t i o ns iz e j 城l t a e z 豫a t ic a l b i o s c i e n c e s , 1 9 9 9 ，1 6 0 ：1 9 1 2 1 3 5 姚勇传染病动力学方程组解的整体存在唯一性 j 数学年 刊，1 9 9 1 ，1 2 a ：2 1 8 2 3 0 6 李大潜传染病动力学的一个偏微分方程模型 j 高校应用数学学 报，1 9 8 6 ，( 1 ) ：1 7 2 6 7 李大潜非终身免疫型传染病动力学的偏微模型 j 生物数学学 报，1 9 8 6 ，( 1 ) ：2 9 3 6 8 方北香传染病动力学常微分方程模型解的存在唯一性 j 复旦学 报( 自然科学版) ，2 0 0 1 ，4 0 ( 6 ) ：6 4 0 - 6 8 7 9 金瑜，张勇一类具有阶段结构的传染病模型，西南师范大学学 报，2 0 0 3 ，( 6 ) 8 6 3 8 6 8 1 0 陈军杰，潘国卫一个具暂时免疫且总人数可变的传染病动力学模 型 力，生物数学学，2 0 0 3 ，1 8 ( 4 ) ：4 0 1 - 4 0 5 1 1 丁同仁，李承治常微分方程教程 砌高等教育出版社，1