（电力系统及其自动化专业论文）电网实时动态无功优化控制初探.pdf

a b s t r c t t h e c , m m - o i l i , q g d e v i c e s i n 托捌加p o w e r o p t i m i z a t i o n , s u c h a s o l t c 、c a p a c i t o r a n d 她a c t 0 氍h a v e f i x e ds t e pl e n g t h , s or e a c t i v ep o w e ro p t i m i z a t i o nb e l o n g st om i x e di n t e g e rp r o g r a m m i n g g e n e r a l i y , r e a c t i v ep o w e ro p t i m i z a t i o np r e f e r sp o w e l n e t w o r kl o s sa st h eo b j e c t i v e i nt h i sa r t i c l e , t h ee x i s t i n g p r o b l e m sa r ca n a l y z e df r o me c o n o m ya n ds e c u r ea n o e sa n dr e a s o n a b l es o l u t i o n sa r cp r e s e n t e d i ta d o p t sn o n l i n e a rp r i m a l - d u a li n t e r i o r - p o i n ta l g o r i t h m , w h i c hi s n ts e n s i t i v et os y s t e ms c a l e t o m a k et h eo p t i m i z a t i o nr e s u l t sp r a c t i c a l ，i ti n l l o d u c c sq u a d r a t i cp c n a l a yf u n c t i o n , i n c o r p o r a t i n gw h i c h , d i s c r e t ev a r i a b l e sa r eg r a d l l a i l yo p t i m i z e do n t od i s c r e t ep o s i t i o n s t h i sm e t h o dh a sg o o dc o n v e r g e n c e c h a m c m f i s t i ca n dh a sb e t t e rr e s u l t st h a nj u s tp u t t i n gt h ed i s c r e t ev a r i a b l e so i r od i s c r e t ep o s i t i o n so n c e f o r a l l a f t e r c o n t i n u a l o p t i m i z a t i o n h o w t o s e t t h e p e n a t i y f a c t o r a n d w h e n t o u 5 e i t a r ed i s c u s s e d o n l ya d o p t i n gn e t w o r kl o s sa st h eo b j e c t i v ei nr e a l - t i m e 托删v ep o w e ro p t i m i z a t i o na l w a y sr e s u l t s i nf r e q u e n tm a n i p u l a t i o n i nt h i sa r t i c l e ，t h ec o n t r o l l i n gd e v i c e sr e g u l a t i n gc o s ti s 锄l y z e d i tt a k e st h e s u mo fr i mc o s ta n dr e g u l a t i n gc o s t 嬲t h eo p t i m i z a t i o no b j e c t i v e r e g u l a t i n gc o s ti n t r o d u c e st h e a b s o l u t ev a l u ef o r m , w h i c ha l w a y sr e s u l t ss u r g i n gi no p t i m i z a t i o n t h es u r 蜘gp r o b l e mi sa n a l y z e da n d r e a s o n a b l es o l u t i o ni st h e nb r o u g h tf o r w a r d g e n e r a l l y , r e a c t i v ep o w e ro p t i m i z a t i o ns o r w a r ei se q u i p p e do ne m s t h a tm a k e si tp o s s i b l et o o b h l i ni n f o r m a t i o no f s u p e r - s h o r t - t e r ml o a df o r e c a s t i n ga n dt h ec o m i n gc h a n g eo f g e n e r a t o r s b a s e do i l t h a t , i ta p p l i e ss e n s i t i v i t ym e t h o dt of o r e c a s tt h ec o m i n gc h a n g eo fb u sv o l t a g e b ys e t t i n gr e a s o n a b l e u p p e ra n dl o w e rl i m i t s , t h eb u sv o l t a g ei sa l w a y sk e m i ne l i g i b l es c o p e s t i l lb a s e do nt h a ti n f o r m a t i o n , e c o n o m i cb e n e f i to fs e v e r a lp m o d s 啪b eo h b i i l e d ac o o r d i n a t e do p t i m i z a t i o nm e t h o di sp r e s e n t e d h e r e u s i n gf e a s i b l eo p t i m i z a t i o nr e s u l t so f s e p a r a t ep e r i o d sa n ds e n s i t i v i t yi n f o r m a t i o n , i tc o n s t i t u t e s t h ec o o r d i n a t e df u n c t i o n t h ec o o r d i n a t e do p t i m i z a t i o nr e s u l t sn o to n l ym e e tt h er e s t r i c t i o nd e m a n d , r e d u c es w i n go ra v o i ds u r g i n g , b u ta l s og e tb e t t e re c o n o m i cb e n e f i tt h a ns e p a r a t eo p t i m i z a t i o n r e a l - t i m eo p t i m i z a t i o nr e q u i r e sf a s ta l g o r i 廿u n t h em e t h o d sa n s w e r i n gf o rt h a td e m a n df a l lf l g r o s $ t h ed i s c r e t ea n ds u r g i n gp r o b l e m i nt h i sa r t i c l e t h er e a s o n a b l es o l u t i o ni sp r o p o s e da n di ta l s ot r i e s 协 u t i l i z i n gi n f o r m a t i o no f t h ee m s t oe z l s u r eq u a l i f i e dr a t eo f v o l t a g ea n db e t t e re c o n o m i cb e n e f i t k e yw o r d s ：r e a c t i v ep o w e ro p t i m i z a t i o n ；v o l t a g ec o u t r o l ；c o o r d i n a t e do p t i m i z a t i o n ；r e g u l a t i n g c o s t ；q 嘲蛳e dr a t eo f v o l t a g e ；m i x e di u t e g e rp r o g r a m m i n g 第一章绪论 第一章绪论 1 1 无功优化控制的概念与特点 无功电压优化指在网络结构、系统参数、负荷给定，除平衡机外所有发电机有功 出力确定的情况下，通过调节发电机的机端电压( 从而发电机的无功出力) 以及改变 变压器分接头档位、电容器投切组数( 即改变网络参数) ，在满足硬约束( 电流约束、 变压器分接头档位约束、电容补偿容量约束) 、软约束( 节点电压上下限约束、发电 机无功出力约束) 条件下，尽量减少运行费用，使系统处于安全、稳定、经济的运行 状态 电力系统中常用的无功可控设备有发电机、调相机、并联电容器电抗器、联络 变有载调压分接头。其中发电机出力可以连续调节，能及时响应系统无功电压的扰动， 保证系统的无功平衡。并联电容器电抗器是重要的无功补偿设备，通过机械投切， 因而切换速度较慢，且有投切次数及投切时间间隔的限制。变压器分接头机械调节对 改善无功电压分布、降低网损有重要作用，它也存在与电容器相同的问题。现场中的 电容器是按组投切的，每组容量一定，如5m v a r ；变压器分接头也是按照额定电压 的一定百分比调节，如分级步长1 2 5 。因而无功优化属于非线性整数规划问题。 无功优化的目标函数是根据特定应用目的而定义的，通常采用的形式有以下几 种g f ( 口) 无功设备的投资与运行费用最小 目标函数： ( 6 ) 偏离初始运行状态最小 i ( c ) 系统网损最小 规划无功配置时，往往采用( a ) 为目标函数，使系统取得的总经济效益为最大，其 模型是： m a x c = c - ( q ) 一c c ( q o ) ( 1 一i ) 即系统运行减少的费用减去投资费用。这种配置规划不受初始运行方式的制约，也没 有很强的时间限制，因而在选择算法时尽可能选取能求得全局最优解的算法无功 运行优化则受到当前系统有、无功配置情况的制约，且实时优化不能偏离初始运行点 国电自动化研究院硕士学位论文 太远若系统所处的运行条件存在电压稳定问题或将有交量越限，则应选用从安全性 角度出发的目标函数。如当母线电压或发电机无功功率越上限时，解除越限的方向与 网损最小的方向通常相反，此时越限校正就采用为目标函数，即以控制变量动作 次数最少为目标函数，等价于校正费用最少的优化问题： m i n p ( a x ) - - m ( 缸y ( i - 2 ) - t ， 式中：，为参与越限的控制变量的集合，毗为权值。当系统运行安全裕度较大时，选 用从经济角度提出的目标函数( c ) ，即减小系统网损。 实际运行中负荷总在不断变化，实时的无功优化软件应能追踪这种运行状态的变 化并及时下发控制指令，这不仅对系统的s c a d a ，状态估计、负荷预报提出了较高 的要求，且要求算法具有很强的鲁棒性，不会因为系统规模的变化发生不易收敛或求 解时间过长的情况。由于负荷的变动，实时的无功优化总是越频繁启动越能反映负荷 实际情况，而这与控制的可操作性相矛盾，因而无功优化最好能考虑到负荷变化的影 响。 1 2 无功优化控制的意义 1 2 1 提高电压质量 随着高电压等级、大容量和跨区电网的迅速发展，对电压稳定和电压质量提出了 更高的标准和更严格的要求。另一方面，由于受电力市场化变革的影响以及来自环境、 经济和技术方面的制约，为了充分利用系统资源，现代电网越来越接近于其极限运行 状态，这使得电网缺乏灵活的调节能力，特别是在某些紧急运行情况下，电网更加脆 弱传统情况下，对电压的控制是将每日分为几个典型时段，以不同的上下限值，进 行人工控制；当电压越限时，由调度人员凭经验进行调整，这种做法不能预测到电压 的变化趋势，很难做到经济有效的调整。建立实时的无功电压监控系统十分迫切 1 2 2 降低网损 厂网分开后，降低网络损耗对电网公司来说非常重要。而大容量无功的跨区域流 动不仅增加了有功损耗，降低了线路的有功传输容量，且电压下降大，远离电源点的 第一章绪论 地区电压质量得不到保证。在负荷高峰期，许多地区由于无功储备不够，电压偏低， 需要容性补偿；而在超高压线路上，由于线路电容充电，会使线路末端电压过高，需 要加装电抗器实现无功的分级分布式控制，提高无功补偿装置及无功电源的利用效 率，降低网损，使系统运行在一个良好的状态点显得日益重要。 1 3 静态无功优化与动态无功优化 当无功优化还集中在算法研究时，大多是针对特定负荷的静态无功优化该优化 目标是在保证各种软、硬约束条件下，使网络损耗最小，即只保证该负荷下的最优。 针对静态无功优化的特点，前人在其优化算法的选取、离散控制量的处理及提高电压 质量等各个方面作了大量的探索与尝试。 单纯形法是最早应用于静态无功优化的算法，之后有人提出简化梯度下降法“、 牛顿法，二次规划法等。由于无功优化具有大规模、强非线性、含有大量不等式约束 的特点，因而限制了上述方法在这个领域的应用。具体来说：单纯形法是一种经典的 求解线性规划问题的方法，因它具有指数收敛的特性，不适宜求解大规模系统问题； 简化梯度法在接近最优解时计算速度下降，且不适宜求解带约束的问题；牛顿法计算 速度较侠，但也不适宜求解带约束问题；二次规划法与线性规划法都遇到了迭代步长 选取困难及大规模系统中处理不等式约束的困难。1 9 8 4 年k a t m a r k a r 提出了具有多项 式时间特性的内点算法“1 ，其变型算法原对偶内点法已经发展成为可以方便处理 大量等式、不等式约束，收敛特性稳定的优化方法，而非线性原对偶内点法不必特殊 处理迭代步长的优点使得这一方法得到了广泛应用p 姗。 无功优化属于混合整数规划闯题，变压器变比、电容补偿都是离散控制设备连 续优化法不能直接得出离散解，至今提出的处理方法有决策树法、偏分法、割平面法、 分支定界法m 嘲和罚函数法“”。近年来得到广泛研究的各种人工智能方法，特别是遗 传算法，以其全局寻优的特性及易于处理离散变量的优点获得了较广泛的研究m “ 遗传算法计算速度慢，不适宜在线应用，适合没有太强时间要求的规划优化。由于遗 传算法与内点法各有优缺点“”，有人提出将二者结合，借助b e n d e r s 分解将原问题分 解为投资子问题和运行问题o ”，运行问题用逐次线性规划法求解，投资子问题用遗传 算法求解，缩小了求解空间，降低求解维数加快了收敛速度。 无功与电压有着密切的关系【1 删，无功优化本身要考虑一定的电压安全裕度。一 国电自动化研究院硕士学位论文 些文献在考虑电压安全裕度时，只是指定位于上下限值之间的某个电压值为电压期望 值“玎，这种方法只适合于中枢点电压给定，希望优化结果尽量接近给定电压的情况 实际上大多数节点电压并没有这种要求，用这种方法得到的无功优化解过于保守文 献【2 l 】提出了模糊隶属函数，可以使优化后的节点电压尽量不靠在极限值上，其隶属 函数采用式0 - 3 ) 的形式 1 ，慨s 函一嵋 名- 墨管舻瓴 函 0 - 3 ) 在优化目标中加入这一隶属函数，构成新的优化模型如式0 - 4 ) 所示。 m i n f ( x ) ：c r 工+ 三z 7 d 善一，嚏 ( 1 - 4 ) z 一 这种方法与内点法中的壁垒函数起的作用有些相似。内点法中，随着壁垒参数的减 小，这种“推离正墙”的力量也减弱了上述方法比其他普通优化方法增加了电压 的安全裕度，使优化后电压尽量不接近上限，但其隶属函数前的罚因子取值没有一 个明确的指导规则。若负荷突然增大，无功补偿与可调变压器来不及动作，按文献【2 l 】 优化结果控制可能导致某些重负荷节点电压越下限。文献【2 2 】设计了约束条件松弛求 解的方法，其目的在于解决优化中可能出现的无可行解的问题，客观上也提高了电 压的安全裕度，缺点也是没有确定电压范围的指导方法本文第五章提出了利用调 度端提供的超短期负荷预报指导优化 2 3 2 f l ，在约束中合理设定电压上下限，而不是 在目标函数中增加罚函数，既保证了电压质量，也没有增加目标函数的复杂程度。 还有一些文献提出了含静态及暂态稳定概念的无功优化溉卅，但离实用化还有很大的 差距 事实上一天中负荷总是在变动的，若以常规静态优化结果实施调度，必将造成离 散设备的频繁动作；而受到寿命因素及操作事故概率的影响，设备不允许频繁操作。 因而单纯以降损为目标函数的静态无功优化本身并不符合工程实际对静态无功优化 的研究为动态无功优化研究奠定了基础。 文献【2 8 】提出的动态无功优化方法，基于全天2 4 小时的负荷预报结果，将一天 分为2 4 个时段，以全天网损最小为目标函数，以全天离散控制量的调节次数为直接 约束这一方法所建立方程的阶数由2 4 个时段的状态变量及控制变量个数决定，其 求解规模庞大，即使采用一定的分解措施，求解仍然缓慢，可用于无功电压短期计划 第一章绪论 降低动态优化问题的求解维数成为动态优化应用于实时控制的关键。文献 2 9 ，3 0 在 降低维数方面迈出了一大步文献 3 0 1 先根据无功补偿调压装置调节次数的限制确定 全天负荷的分段数。然后根据短期负荷预报结果对负荷曲线进行分段，各时段分别优 化，简化了优化过程，满足了调节次数的要求，但以最大调节次数作为分段依据不能 充分降低网损。文献 3 u 提出了基于短期负荷预报的动态无功优化时段解耦的数学模 型，将离散量的动作代价引入到目标函数中，建立了运行费用与调节费用的综合目标 函数，解除了原来受调节次数约束的各时段阈的耦合关系，各时段分别优化，其优化 周期为一小时，结果同样减少了设备操作次数。该文并未指出调节代价如何取值，且 以遗传算法作为优化算法，速度难以满足实时控制的要求实际上实时的无功优化不 可能一小时才启动一次，这样长的时间段不能保证无功优化跟踪负荷的变化，也不能 保证电压质量，最好是能利用超短期负荷预报提供的负荷信息进行实时优化本文第 四章就引入调节代价后优化的具体问题进行了探讨。 动态无功优化能够考虑到离散控制量的动作次数要求，比静态无功优化更具有工 程实用价值。各时段解耦的方法比多时段联合优化求解维数低，速度快，但各时段问 彼此不能兼顾，往往可能造成一些不必要的振荡充分利用超短期负荷预报提供的负 荷信息避免上述现象是本文第五章研究的重点。 1 4 无功电压控制的空间组织结构 无功不能远距离传输，电压安全质量问题的局域性以及大规模方程组的求解时间 问题都决定了无功电压控制通常采用分级分布式控制，这样才有可能实现无功优化的 实时、优化和闭环控制。 目前典型的无功电压控制的组织结构有两类，一类是德国r w e 电力公司采用的 两级组织结构：在调度控制中心，基于s c a d a 、状态估计和在线潮流等决策支持的 无功最优潮流( o p f ) ，实时地运行于e m s 的最高层次上，一天当中控制几次，在厂站， 根据调度中心下发的电压进行优化控制另一类是欧洲许多电力公司( 如法国的e d f 等) 普遍采用的三级组织结构，该类控制系统完整地实现了无功电压的三个控制级 别，三级控制协调二级控制，二级控制协调一级控制。一级控制系统是由发电机、调 相机等具有快速反映能力的无功源组成，是一种面向电压安全的快速的自动控制，响 应时间很短。二级控制是由多个分布在电力系统各区域控制中心的相互独立的区域电 田电自动化研究院硕士学位论文 压控制器组成。每个区域电压控制器负责一个独立的区域，根据无功电压的区域性和 控制灵敏度，通过修改一级电压控制器的整定值，保证区域内重要的枢纽母线的电压 控制在给定值，同时保证区域内的无功可控裕度。三级控制系统则是以控制中心的 e m $ 作为决策支持，通过修改区域控制器的整定值，来协调区域控制器的动作，以 实现全局最优控制。该系统通过分级和分区，实现了电压的多目标控制，全局无功优 化计算结果分区域逐个分时实现。 我国当前的现状是已有很多装设在各变电站的v q c 装置及发电厂的a v r ，a q p 和a p f r 装置，这些装置对局部的潮流与电压控制起到了一定的作用，但因彼此不能 很好的协调，不能保证大电网的无功储备与电压裕度，也不能达到全网的优化控制以 减少网损。因此装设在调度中心的a v e 软件对协调各无功装置，优化潮流分布、保 证故障情况下一定的无功储备、保证电压质量、降低全网损失、减少运行人员的劳动 强度都起着重要作用。文献 a 2 ，3 3 提出了软分区的全局电压优化控制模式及分区方 法，如图1 1 所示它类似于上述三级组织结构，但没有专门的区域控制器，它的二 级、三级控制都由软件实现，全局电压优化控制决策系统安装在控制中心，以e m s 作为决策支持系统 当前江苏省调与清华大学合作，研究基于图l - 1 所示的省网无功优化。 t t 卧 酬 土r f 簟 净 图1 - 1 基于“软分区”的全局电压优化控制模式 从2 0 0 2 年起，福建省调与河海大学、山东鲁能合作，建立了集中决策多级协调 的电网自动电压控制系统。还有一些地调，如泰州、福州，已经实现了地调范围的无 - 6 第一章绪论 功优化，但这些软件仍没有很好的解决上述无功优化的实时闭环、多目标、离散化问 题。 1 5 本文所作的工作 无功优化已经进入到了实施阶段，如前所述，在实时控制中遇到一些具体的问题， 如：变压器分接头、电容补偿的离散化问题；实时优化易造成控制装置频繁动作；各 时段解耦的实时优化不能兼顾负荷变化，可能造成设备调节振荡或造成变量越限。本 文针对这凡个问题开展了一些工作主要分为以下几部分： 1 建立静态非线性无功优化模型，针对原对偶内点法只能直接处理连续变量的 问题，引入了归整罚函数，解决无功优化离散化的问题，并对这种方法处理离散变量 的效果进行了讨论 2 针对实时优化中控制装置易频繁动作问题，引入调节代价，构造了电量损失 与调节费用之和最小的综合模型，有效减少了控制量的操作次数。文中讨论了优化中 代价函数引起的振荡问题，并提出解决办法。 3 负荷变化会导致某些节点电压越限。本文从这个角度入手，利用从负荷预报 获得的负荷变化信息及从实时o p f 获得的发电机出力变化信息，由灵敏度关系预测 负荷母线电压变化趋势，避免电压越界情况的发生，保证了电压的合格率。利用这二 者的信息，又提出无功电压两时段协调控制优化方法，把两时段内的运行损失费用和 无功控制装置的调节费用之和作为目标函数，两时段分别优化后，应用一定的策略再 协调优化，这种方法降低了求解维数、减小了振幅，又可求得两时段综合经济目标优 化。 论文最后对本文工作进行总结，并指出有待改进的几个方面。 国电自动化研究院硕士学位论文 第二章无功优化模型与算法研究 无功优化是一个带有大量等式、不等式约束的大规模的非线性优化问题。迄今为 止，国内外科学家和电力行业的专家已经将各种模型和优化算法应用于求解这一复杂 的优化问题“1 ，以期求得最好的解决途径。 2 1 模型研究 根据对目标函数的表达方式及对潮流约束处理形式的不同，无功优化模型分为非 线性规划模型与线性规划模型。以z 、( ，分别表示状态变量与控制变量，分类如下： ( 1 ) 非线性规划模型 由于无功优化的目标函数及约束的非线性性质，非线性规划模型是最直接、意义 最明确的优化模型。它有两种常用的形式： r a i n f = ，( x ， 乱 s t h ( x ，) = o g ( x ，) 0 ( 2 一1 ) 式中：目标函数、等式约束为非线性表达式，不等式约束为线性或非线性表达式，对 控制变量与状态变量不做明确划分，统一参与优化。这种模型对应的变量数最多，但 概念最直接。 b 利用潮流方程求得的控制变量与状态变量之间的灵敏关系，将目标函数泰勒展 开，带入灵敏度关系得到如下的二次规划表达式： m i n f ) # c 7 u + 主u 7 q u ( 2 - 2 ) 即只用控制变量表达目标函数，同样关于状态变量的各不等约束也用控制变量的线性 形式来表达，形成式( 2 3 ) 所示的约束形式。 墨纠u罂(2-3) 世s u s u 二次形式的优化问题可以由二次规划法、内点算法或其他智能算法来求解。为了 保证灵敏度的准确性，要限制变量迭代步长，且每次迭代或隔几次迭代( 若精度要求 不高) 就需要计算灵敏度矩阵 ( 2 ) 线性规划模型 第二章无功优化模型与算法研究 将潮流方程线性化，求出表示状态变量与控制变量关系的灵敏度方程： 从= u ( 2 4 ) 将目标函数在初始点线性展开，带入灵敏度方程，得到线性规划模型： r a i nc 7 u( 2 5 ) b a u s b j t 一 一 ( 2 。6 ) u 蔓u u 线性规划与非线性规划中的二次规划都要求取控制变量与状态变量之间的灵敏 度关系，其优点是用控制量表示状态量，减少了参与优化的变量个数，但每次迭代都 要求取雅可比矩阵的逆阵，增加了计算量。 上述模型都是针对特定负荷的静态无功优化建立的，实际上无功优化分为静态优 化与动态优化，动态无功优化就是追求较长时间段的优化。以求解全天的动态无功优 化为例( 1 小时作为一个时段) ，建立的模型如下： t - 2 3 m i n e 厂皈1 ) 以1 ) ) ( 2 7 ) l - o 日( 五o ，u ( ，) ) = o ，r = o ，l ，2 3 ( 2 - 8 ) g ( 五，) ，叽，) ) o ，r = o ，l ，2 3 ( 2 9 ) 2 2 无功优化算法 ( 1 ) 常规优化算法 最早应用于无功优化的算法是单纯形法，这种方法的概念易懂，实现简单，得到 广泛应用但实践发现它是一种指数收敛算法，随着求解问题维数的增加，其迭代次 数急速增长，因而不适于求解大规模的无功优化问题，且它处理不等式约束也很不方 便。1 9 6 8 年有人提出简化梯度下降法，它在拉格朗日函数的基础上，对变量求梯度， 并用它来修正变量与单纯形法相比，它提供了目标函数最速下降的方向，但其逼 近最优解的路径是锯齿形的，越接近最优点，收敛速度越慢，且不等式违限罚因子的 选取没有一定的规则可循，因而同样不适宜求解带不等约束的优化问题。 1 9 8 4 年k a r m a r k a r 提出了具有多项式时间特性的内点算法，在每步迭代中通过空 国电自动化研究院硕士学位论文 间变换将线性解置于多胞形的中心，使其在可行域内部移动。内点法中的原对偶仿 射尺度法，即路径跟随法，本质上是牛顿法，拉格朗日函数和对数壁垒函数三者的结 合这种方法具有收敛可靠和计算速度快的优点。成为近年来研究的热点口 7 l 。 上述常规算法都只能处理连续变量，而无功优化属于混合整数规划问题为了使 获得的优化结果能应用于实际控制，人们起先将连续优化后的解直接就近靠拢归整， 由于无功优化非线性的本质，导致结果不能达到最优，甚至会使一些变量越限。至今 已提出的处理方法有决策树法、偏分法、割平面法、分支定界法脚和罚函数法“” 随着变量数的增加，分支定界法所确立的分支数目增加。虽然从穷尽搜索的角度来看 可以获得最优解，但增加了大量的计算。文献 1 3 1 提出的将离散量归整通过罚函数的 形式纳入到无功优化过程中，大大减少了计算时间，且由于罚函数采用了二次函数的 形式，罚函数法保证了算法的收敛性，本文第三章参考这一方法研究了常规的无功优 化。 ( 2 ) 人工智能方法 无功优化是一个多峰多极值的优化问题，常规算法从初始运行点开始沿某一路径 寻找最优解，易陷入局部最优解。为了解决这些问题，研究人员逐渐把人工智能方法 运用于无功优化这一领域。基于对自然界和人类本身的有效类比而获得启示的智能方 法被称人工智能算法，其中以专家系统、神经网络，遗传算法、模拟退火方法、t a b u 搜索方法、模糊集理论、粗糙集理论等为代表。近年来，遗传算法以其全局寻优的特 性及易于处理离散变量的优点获得了较广泛的研究。生物的进化过程主要是通过染色 体之间的交叉和染色体的变异来完成的，与此相对应，遗传算法中最优解的搜索过程 也模仿生物的这一进化过程，使用遗传算子( 选择算子、交叉算子和变异算子) 作用 于群体内，从而得到新一代群体遗传算法的致命缺点在于迭代次数多，计算时间长， 难以应用于实时的无功优化当中。 由上可见，对离散变量的处理方法是决定内点法及其它连续优化方法能否实用于 控制的关键，而智能算法的计算速度成为将其应用于实时控制的瓶颈。 第二章无功优化模型与算法研究 2 3 原对偶内点法 2 3 1 发展历史 1 9 8 4 年，k a r m a r k a r 提出了一个新的线性规划的多项式时间算法一内点法。在 1 9 8 5 年，这一算法被证明与古典障碍函数法之间存在着等价关系嗍此后内点法被 推广应用于非线性规划领域。应用投影尺度法要对问题进行复杂的变换，很不方便， 仿射尺度法是它的变型算法，它分为以下三类： ，原仿射尺度法 仿射尺度法气：对偶仿射尺度法 原对偶仿射尺度法( 路径跟随法) 原一对偶仿射尺度法也称路径跟随法，它本质上是牛顿法、拉格朗日函数和对数壁垒 函数三者的结合。 内点法易于处理带等式、不等式约束的优化问题，线性规划内点法还具有多项式 时间收敛性，迭代次数不会随系统规模增大显著增大虽然非线性内点法的多项式时 间特性还未得到证明，但其具有的良好的计算特性吸引了许多学者将其应用于解决大 规模非线性优化问题。 2 3 2 方法的思想 线性规划内点法是一种多项式时间算法，这个算法不仅在最坏情况分析下有优于 单纯形法的复杂性，而且在大型实际应用中它也显示出能与单纯形法竞争的潜力伽 完全不同于单纯形法，k a r m a r k a r 最初的算法考虑的线性规划问题是建立在单纯形结 构上的，它在每步迭代中通过空间变换将线性解置于多胞形的中心，并在可行域的内 部移动。一般说来，在可行域中的某个内点要从所有可行方向中找出“最好的移动方 向”不是一件容易的事情。然而，假如可行域是一个多胞型，k a r m m k a r 注意到了如 下两个基本的观点： ( 1 ) 如果现行内点解靠近多胞形的中心，那么它应该移向使目标函数取得最小值 的最速下降方向。 ( 2 ) 不改变问题的任何基本特征，对解空间做一适当的变换，可以将现行内点解 国电自动化研究院硕士学位论文 置于变换后解空间的中心附近。 基于这两个基本观点，k a r m a r k a r 的投影尺度算法的基本做法就十分明确了，对 于一个内点解，对解空间进行变换使得现行解位于变换空间的多胞形的中心附近，然 后使它沿着最速下降方向移动，但是为了保持解是内点，要限制移动步长，使解点总 是不能达到可行域的边界，然后做逆变换将各改进的解映射回原来的解空间中的一个 新的内点，重复以上过程直到以需要的精度取得最优解。在变换后的空间里，长度和 角度都发生了变形，这就使现行的内点变成的中心，一般有如下结论： 1 ) 罡是一个精心定义的从a 到的映射，若；是的内点； 2 ) e ( 一) = 三成为的中心； 一 刀 3 ) e ( 一) 是的端点，如果x 是的端点； 4 ) ( - ) 在的边界上，如果z 在的边界上； 5 ) e ( ) 是a 的内点，如果x 是的内点； = 6 ) 乏是一个一一对应的映射，其逆映射弓为：r f 2 ，x 牙y v ( 砂e ) 这种沿着内点寻优的思想激起了许多新的开发“内点法”的研究，数不清的扩展 与变型方法见诸报道。在所有报道的磁蚴埘妇原型算法的变型中，仿射尺度法( a f s n e s c a l m g 印p r o a c h ) 的确吸引了研究者的注意。这种方法是用简单的仿射变换替代了 k a r m a r k a r 原来的投影交换，从而使人们可以直接解标准形式的线性规划问题 k a r m a r k a r 算法对单纯形结构的特殊要求被放松了 事实上，n m e g i d d o 和m s h u b 的工作指明，由基本的仿射尺度算法给出的通往 最优解的轨线依赖于出发点，对于一个坏的初始解，即出发点太靠近可行域的某个端 点时，可能导致一条要通过所有端点的长的路程。然而，原仿射尺度算法和对偶仿射 尺度算法的多项式时间复杂性可以通过将一个建在正象限的墙上的、以阻止内点解 “陷入”边界的对数壁垒函数结合进来，进而重新得到实现。沿着这个方向，1 9 8 7 年，r m o n t e i r o 、1 a d l e r 和m g c r e s e n d e ，还有m k o j i m a 、s m i z u n o 和a y o s h i 提出并分析了第三个变型算法，称之为原对偶仿射尺度算法。对数壁垒函数方法是 一种离开正墙的方法，它是将一个在边界处值极其大的壁垒函数结合到原来的目标函 数中去，把这个新的目标函数极小化，就能将解自动地推离正墙。r c m o n t e i r o 和 第二章无功优化模型与算法研究 1 a d l c t 将这个原对偶算法改进为至多d ( ，妨步迭代就可收敛，每部迭代需d 【铲) 次算 术运算，从而得到了一个总的复杂性为o ( 矿) 次算术运算的算法。带有对数壁垒函数 的原仿射尺度算法、带有对数壁垒函数的对偶仿射尺度算法和原对偶算法的移动方 向是各不相同的，但在通向满足k k t 条件解的代数路径上，它们是等价的牛顿方向。 2 3 3 算法求解流程 ( 1 ) 公式推倒“叮 优化的数学模型如下： m i n f ( x ) s t ( 曲= 0 g o ) + 甜= g ，甜 0 ( 2 一1 0 ) ( 2 - 1 1 ) ( 2 1 2 ) g(x)一f=g，f0【z13j 采用原对偶内点法，引入对数壁垒函数消去松弛变量的非负性约束，构造拉格朗 日函数为： n f i n l ：，( 力一y r 联z ) 一z 【g ( x ) 一l g 卜w 7 【g ( 功+ 甜一g i b 卜 u z , ( z ) - u z l n ( u ，) ( 2 - 1 4 ) 由k - k - t 条件，对各变量的导数为零： t ：昙兰：v ，八力一v ，| i l ( 工) y v ，g ( x ) ( z + 叻：o ( 2 1 5 ) 句= 考= _ j l = o ( 2 - 1 6 ) 厶。婺：g ( 力一，- g = 0 ( 2 - 1 7 ) 乙；罢：g ( 力+ 甜一；：o ( 2 q s ) 厶= 詈= ：叫明- i e _ 0 = l 7 = 肠一胆= o ( 2 1 9 ) 国电自动化研究院硕士学位论文 ：婺= - w - l z u - e = o 毒骘：u w e + r e = o ( 2 - 2 0 ) 式中：e = n 9 ol0 1 】r ，工= 击昭( ，) ，u = d i a g ( u i ，坼) ，z = d i a g ( z l o ) ， 矿= d i a g ( w j w ，) 由式( 2 1 9 ) 和式( 2 - 2 0 ) 得： ：i r 2 - u r w ：挈 ( 2 2 1 ) 2 万一2 才 p 饥 式中：g 印为对偶间隙，为壁垒参数。 将式( 2 - 1 5 ) _ 式( 2 - 2 0 ) 各方程线性化，由牛顿法得出： 一【v ：，( 力一v ： ( 力j ，一v ：g ( x x z + w ) a x + v ，h ( x ) a y + v ，g ( x ) ( z + w ) = t ( 2 - 2 2 ) v，知(曲7缸=一0(2-23) v ，g ( 缸一出= - l ： ( 2 - 2 4 ) v ，g 7 a x + a u = - l 。 ( 2 - 2 5 ) z a i + l = 一毪 q 2 6 ) w a u + u a w = 一掣 ( 2 - 2 7 ) 将式( 2 - 2 2 ) 式( 2 - 2 7 ) 黼列变换得到： az+l-1z出=一l-1群(2-2s) a w + u 。1 w a u = - u “群 ( 2 - 2 9 ) 一v ：g ( x ) a x = 一t ( 2 - 3 0 ) a z v ：g ( x ) a x = - l ，( 2 - 3 1 ) x ，；。叫嘲2 匕 式中： h = 【v ：，( 力一v ； ( 工) y v ：g ( 工) ( z + 们】 ( 2 - 3 3 ) 第二章无功优化模型与算法研究 。h - v ，g ( x ) l - 1 z - u “：g ( 力( 2 - 3 4 ) t = t + v ，g ( x ) l - 1 ( 掣+ z l 2 ) + u 。( z - w l ，) 】 ( 2 3 5 ) 由式( 2 - 2 8 ) - 式( 2 3 2 ) 得到各变量该次迭代的变化量计算各变量的迭代步长，保证松 弛变量与对偶变量的符号。 。 原变量的迭代步长： 群, = m i n m 。，i n - l ，j ，m 蛳i n - 甜u ，i ，1 o ，扣1 ，2 ，) ( 2 。3 6 ) 对偶变量的迭代步长： 铲m i n 哟云，勰毒删= l 2 ， ( 2 - 3 7 ) 计算新的变量值： x 卅- - - - - x + 口口口x ( 2 - 3 s ) f 忙+ ”= ，耻+ 口口。a ( 2 - 3 9 ) “- - - - u 口a u ( 2 - 4 0 ) y + 1 = y 忙+ 口缈 ( 2 4 1 ) ：+ 1 = z 耻+ 口z ( 2 - 4 2 ) w “1 = w + 口口d a w ( 2 - 4 3 ) 式中：口为阻尼因子，取值范围为o 9 5 0 9 9 9 5 在一定条件下，若x 是优化问题的解，当固定，_ m 是拉格朗日优化问题的解， 则当鲫专o ，专o ，产生的序列k 肿j 收敛至x 。 实践证明着取= i t _ z _ 厂u i w = 1 g a 7 p ，收敛性能不是很好，引入中心参数，构成 + l ；f l kitz-utw(2-44) z ， 取值不同，将对优化的可行性与最优性产生不同影响 ( 2 ) 优化步骤 圈电自动化研究院硕士学位论文 1 ) 初始化：设定迭代次数初值k - - 0 ，最大迭代次数七一；设定中心参数，初值 取为7 = 0 2 ；设定阻尼因子口( 取值范围为0 9 5 - 0 9 9 9 5 ) ；设定a 初值( 一般为1 - 1 0 ) ； 设定数组y 的初值( 可取儿2 i 一1 = 1 0 4 ，y 2 i - - - 1 0 4 ) ；给，、砧赋初值，根据式( 1 9 ) 、 式( 2 0 ) ，z 、w 初值按下式计算： zoi】-toloi】(2-45) woi=几，o【习(2-46) 2 ) 求式( 1 5 ) 一式( 3 5 ) 取值，解式( 3 2 ) 对应的方程，得缸、砂，代入式( 2 8 ) 一式( 3 1 ) 求得，、材、a z 、a w 3 ) 由式( 3 6 ) 、式( 3 7 ) 求解原变量与对偶变量的迭代步长，并由式( 3 8 ) - 式( 4 3 ) 计算 新的原、对偶变量。 4 ) 更新中心参数，计算对偶间隙，判敛( 取a 1 0 - 。作为迭代收敛判据) ，若收 敛则输出计算结果，若超过最大迭代次数，则判为不收敛，否则迭代次数加l ，即 k = k + l ；返回步骤2 。 2 3 4 迸一步探讨 ( 1 ) 初始化时，考虑到式( 1 7 ) 、式( 1 8 ) 中的g ( 力不一定满足内点条件g s g ( 力s g ， 无法保证松弛变量的非负性。为使从非内点启动仍然有效，参考文献【4 l 】提出的方法， 计算初值： l o i = r a i n m a x 0 1 5 ( g g ) ，g ( 工) 一g ，0 8 5 ( g g ) ，( 2 - 4 7 ) u o i 】= ( g - g ) - 1 0 i ( 2 4 8 ) 这种方法计算出的，、, 能够保证非负性，使得计算顺利进行。 ( 2 ) 中心参数的选取 若- - o ，优化沿着纯粹的牛顿方向( 仿射方向) ，即最优化的方向，算法的收敛 性很好，但可能等式约束的偏差较大，即可行性差；若口= l ，优化沿壁垒轨迹方向 ( 中心方向) ，即可行性方向，算法的收敛性相对较差，但等式约束的偏差小。在这 两个目标中协调，提高向心性，动态选择为= m a x o 9 5 f