（电力系统及其自动化专业论文）经典物理非自治系统和经济物理系统若干问题的研究.pdf

西南交通大学博士研究生学位论文第| | 页 剥称性，因此我们运用代数动力学方法得到这个方程的精确解。 挂r - 这个这个精确解，分析了经济物理学中的一个重要问题 股票市场的胖尾分布，并且得到了一些重要的结论，比如在这个 方程刘应的系统中只存在时间相关的关联势，静态关联势和稳态 、f 衡解即g a u s si a n 分布是不相容的等等。 存对另个典型的复杂系统国民经济系统的研究中，我 们通过一个非线性模型研究了我国近十年总需求和总供给增长速 度缺ll 随时削变化的规律，这对于研究和治理通货紧缩和通货膨 胀j 艮有意义。本文建立了一个总需求和总供给增长速度之间的缺 口的动态非线性模型，它的解反映了缺口随时间变化的规律。通 过与我国1 9 9 2 - 2 0 0 1 年时间序列经济资料的比较，验证了此模型 与实际符合得比较好。另外，通过对模型中参数的讨论，提出了 若。于政策性建议。 在列介观系统的研究中，我们的研究对象是一个嵌入了并联 耦合的舣量子点的介观a h a r o n o v b o h m 环系统，研究处于k o n d o 的耦台量子点系统对持续电流的影响。我们的结果表明，在这个 系中，持续电流依赖于系统的宇称效应和尺寸大小；在强耦合区， 电流的峰值与零( 弱) 耦台区相比，有显著地增强，这说明两个量 了点可以相干耦合而形成人造分子。这些结果，对介观电路设计 仔参考价值。 关键词：非自治经典谐振子系统；股票市场的胖尾分布：国民经 济供需缺口；广义f o k k e r - p l a n c k 方程；代数动力学 西南交通大学博士研究生学位论文第| il 页 a b s t r a c t t n ihisd i s s e r t a t i o n w es t u d yt w ot y p i c a le x a m p l e so f 1 9 0 f k l u t o e o m o u ss y s t e m s o n ei st h eo n e d i m e n t i o n a lc l a s s i c a l h a r m o n ico s c l l l a t o r ，t h e o t h e ri so n e d i m e n t i o n a l g e n e r a li z e df o k k e r p l a n c ke q u a t i o n t h ef o r m e r i sas i m p l e b u u s c f u 【s y s t e m t h el a t t e rd e s c r i b e st h ep h e n o m e n ao ff a t k 1 1 d is t r i b u t i o no fl o g r e t u r ni ns t o c km a r k e t ，w h i c hi s 。1 c o m p le xs y s t e m m o r e o v e r ，a n o t h e rc o m p l e xs y s t e ms t u d i e d jst h e0 1 ei nn a t i o n a le c o n o m yw h i c hd e s c r i b e st h eg a p b e t w e e ir l e r e a s i n gr a t eo fa g g r e g a t ed e m a n da n da g g r e g a t e s u p p yo fc h i n af r o m1 9 9 2t o2 0 0 1 f i n a l l y ，w ea l s or e p o r t s o m er e s u l t so f t h er e s e a r c h o n m e s o s c o p i cs y s t e m s i n c o ll a b o t 、a t i o nw it ho t h e rg r a d u a t e s 。 jnt h epro e e s so fs t u d y i n gt h eo n e d i m e n t i o n a lc l a s s i c a l h a l m o r t i co s c i11a t o r ，w ea d d r e s st h eq u e s t i o nt h a th o wt og e t t h ee x a c l ，s o l u t i o no f t h i ss y s t e mb ym e a n so fa l g e b r a i c d y n a m jc s t h eo d e d i m e n t i o n a lc l a s s i c a lh a r m o n i co s c i l l a t o r ism 1s u ( 1 1 ) n o n a u t o n o m o u sc l a s s i c a l s y s t e mw h i c h i sa n i m p o r t a n t m o d e ljnp h y s i c s h o w e v e r ，t oo b t a i ni t se x a c t s o lu t ，i ( 1r 1 ist o oh a r dt oa c h i e v e i nt h i s p a p e r w e u s e 缸g e b r a i cd y n a m i c a lm e t h o dt og e ti t se x a c ts o l u t i o nf o rt h e “r s t i m e a st h e t i m e d e p e n d e n t c o e f f i c i e n t so ft h e h a r m o 1ico s c i l l a t o ra s s u m e ss o m e e l e m e n t a r yf u n c t i o n s ， s u c ha sp o w e rf u n c t i o n s ，t r i g o n a lf u n c t i o n s ，e x p o n e n t i a l 西南交通大学博士研究生学位论文第1 v 页 f u n c t i o n sc l ，c ，t h ee x a c ts m u t i o n sb e c o m ea n a l y t i c t h e r e c e n t l yp r o p o s e d “a n a l y t i ca p p r o x i m a t es o l u t i o n c a nb e d e d u c e df 1 t 0 1 1 1o u rc o r r e s p o n d i n ga n a l y t i cs o l u t i o no b t a i n e d all a s i w ec o m p a r et h i st w os o l u t i o n sb ym e a n so fn u m e r i e a l c o m p u 【a t i o n i nt h e s t u d y o ft h eo n e d i m e n t i o n a l g e n e r a l i z e d f o k k er p a n c k e q u a t i o n ，w e a l s ou s e a l g e b r a i cd y n a m i c a l m o t h o dt og e ti t se x a c ts o l u t i o nf o rt h ef i r s tt i m e t h e n b a s o de nt h ee x a c ts o l u t i o n ，a ni m p o r t a n ti s s u ei nm o d e r n e c o r o p y s ic s _ ”t h ef a t t a i ld i s t r i b u t i o ni ns t o c km a r k e ti s a n a l y z e d w ep r o p o s eag e n e r a l i z e df o k k e r p i a n c ke q u a t i o n wjfh t i m e d e p e n d e n t d r i f t d i f f u s i o nc o e f f i c i e n t sa n d a n n a dr t l cp o t e n t i a l ，b e c a u s et h i ss y s t e mh a s8 u o ，1 ) o u ( 1 ) d y r l a i njc a l s y m m e t r y ，t h ee x a c ts o l u t i o nc a nb eo b t a i n e db y m e a n so f 1 1g e b r a i cd y n a m i c s b a s e do nt h ee x a c ts o l u t i o n ， w ea r i a l y z ea ni m p o r t a n ti s s u ei ne c o n o p h y s i c s 一一t h ef a t t a i l d i s 【r i b u t i o na n dg e ts o m ei m p o r t a n tc o n c l u s i o n s f o re x a m p l e ， f o rt h eg e n e r a l i z e df p es y s t e mt h e r ec a ne x i s to n l y t h e t i m e d e p e n d e n t c o r r e l a t i o n p o t e n t i a l a n dt h es t a t i c c orc e l a t io np o t e n t i a li sn o ta l l o w e di nc o n s i s t e n c ew i t ht h e e q u jllh r i u ms t e a d yg a u s s i a nd i s t r i b u t i o n f o ra n o t h e lc o m p l e xs y s t e m t h en a t i o n a le c o n o m i cs y s t e m ， w 。c o n s cr u o tl tn o n l i n e a rm o d e la n de x p l o r et h eg a pb e t w e e n 1 h ey e a s i n gr a t eo fa g g r e g a t ed e m a n da n da g g r e g a t es u p p l yo f c h i n af r o m1 9 9 2t o2 0 0 1 i ne c o n o m i c s ，t h es t u d yo ft h eg a p 西南交通大学博士研究生学位论文第v 页 b e t w e e nn l c r e a s i n gr a t eo fa g g r e g a t ed e m a n da n da g g r e g a t e s u p p l y 】so fs i g n i f i e a n tv a l u e i nt h i sp a p e r ，ad y n a m i c a l m o d ejo ft h eg a pb e t w e e ni n c r e a s i n gr a t eo f a g g r e g a t ed e m a n d l f ) d a g gr e g a i ，es u p p yi sc o n s t r u c t e d b a s e do ni t ss o l u t i o n t h ed a t ao fc h i n e s ee c o n o m yf r o m1 9 9 2t o2 0 0 1 i sa n a l y z e d a n de x pja i n e d if l lh esiu d yo fm e s o s c o p i cs y s t e m s ，t h es u b j e c tw es t u d y ) sar a h d k o n o v b o h m r i n g w i t h p a r a l l e l c o u p l e d d o u b l e ( 1l l a n t u md o t s w e s t u d yt h ep r o p e r t i e so ft h eg r o u n ds t a t e o ft h es y s t e mi nt h ek o n d or e g i m e o u rr e s u l t ss h o wt h a ti n t h iss y s t e m ，t h ep e r s i s t e n tc u r r e n td e p e n d ss e n s i t i v e l yo n b o t ht h ep a r i t yo ft h i ss y s t e ma n dt h es i z eo ft h er i n g t h i s s y s t e mm i g h tb eas u i t a b l ec a n d i d a t ef o rf u t u r em e s o s c o p i c ( j e v i f p h k e yw o r d s ： n o n a u t o n o m o u sc l a s s i c a lh a r m o n i c o s c i l l a t e r s y s t e m ： f a tt a i ld i s t r i b u t i o ni ns t o c km a r k e t ； t h eg a pb e t w e e ni n c r e a s i n gr a t eo f a g g r e g a t e d e m a n da n d a g g r e g a t es u p p l y o fn a t i o n a e c o n o m y ；g e n e r a l i z e df o k k e r p l a n c ke q u a t i o n ； a i g e b r a i cd y n a m i c s 西南交通大学 学位论文版权使用授权书 小学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位 论义的规定，同意学校保留并向国家有关部门或机构送 交论义的复印件和电子版，允许论文被查阅和借阅。本 人授权 均南交通大学可以将本学位论文的全部或部分内 衣编入角关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫 捌 等复制于段保存和汇编本学位论文。 本1 学位论文属于 l 、保停洄，在年解密后适用本授权书； 2 、1 i 保桁团，适用本授权书。 j 征以f i 方框内打“4 ”) 一列讧论文作者签名：工鸭 i j ：2 聃年i o 月阽日 指导教师签名： 罗4 乙 日期：d q 年f 月7 争日 西南交通大学 学位论文创新性声明 小八郑重声明：所呈交的学位论文是本人在导师指导下独立 进 j 制究i 作所取得的成果。除文中已经注明的内容外，本论文 小似禽任 u j 其他个人或集体已经发表或撰写过的研究成果。本人 。0 个崽让 到本声明的法律结果由本人承担。 小、位论文的刨新点主要体现在两个方面：其一是研究物理 川趣所采心的数学方法和得到的研究结果；其二是研究了一个新 的物州系统。具体内容如下： 1 ) 仵第二章，运用代数动力学方法，求得了一维时间相关的 纶9 i i 讲振了的精确解。然后讨论了最近提出的此前的“解析近似 州刈j j 精确解的可信度与近似性。这些结果有助于人们近一步 究和利t j 这个重要的物理系统， 2 1 存第三章，首次提出了一个一维的具有时间相关系数和二 玖坍帆r 义f o k k e rp l a n e k 方程，并运用代数动力学方法求得其 辅确孵，柴t - 这个这个精确解，分析了经济物理学中的一个重要 川越令融系统的胖尾分布，并且得到了一些重要的结论。 31 仵第四章，为研究了我国近十年总需求和总供给增长速度 缺川列t ，j 变化的规律而提出一个非线性模型，验证了此模型与 火际符合得比较好。讨论了当模型中参数变化时的各种情况。 学位论文作者签名：工鸭 日期：2 0 0 q 年i o 月坫曰 西南交通大学博士研究生学位论文第1 页 第1 章绪论 1 1问题的提出 1 1 1 一维非自治经典谐振子模型 简谐振动是最普遍的物理现象，描述简谐振动的自治的简谐 振子模型是物理学中研究的最早和最为彻底的一个模型。以此为 基础，人们有提出了很多更接近实际的的模型，从而构成了一个 谐振子模型族。研究谐振子模型的意义，不仅在于它可以描述经 典力学中的简谐振动，还在于除力学以外其它领域大量的物理现 象也能够用这个模型很好地描述。对简谐振动的精密和深入研究， 需要考虑振动频率随时间的变化，用随时间变化的频率也可以实 现对简谐振动的控制。这时，简谐振子系统就成为非自治的了。本 文研究的第一个问题就是一维非自治谐振子模型。 振动是日常生活和工程技术中常见的一种运动形式。在经典 力学中，弹性体中的质点在平衡位置附近的最基本最简单的运动 是简谐振动。例如钟摆的往复摆动，弹簧的振动，乐器中弦线的 振动，机床主轴的振动等等。一般的振动，并不限于上述机械振动， 从广义上来讲，当某个物理量在某一个值附近反复变化，我们就 称这个物理量在作振动，比如电路的电磁震荡等等。这些振动的 本质与机械振动不同，但是运动规律的数学描述常常与机械振动 类似，比如r - l c 电路中的电磁震荡完全可以类似地加以讨论。 因此本章讨论的机械振动，其理论处理方法，对研究其他形式的振 动有普遍意义。 对自治谐振子问题的研究，在一定条件下，可以归结为二阶 西南交通大学博士研究生学位论文第2 页 常系数线性微分方程的问题来讨论。对于一维问题，其方程是 王+ m = 0 ( 1 1 ) 其中q 是系统的频率，与时间无关。这类问题到目前为止已经研究 的比较透彻。 至于非自治谐振子模型，它对应的则是具有时间相关系数的 二阶线性常微分方程。对于简单谐振子情况，在数学上通常表现 为以下方程 主+ n ( t ) x = 0( 1 2 ) 不难看出，在非自治情况下系统的频率q 是时间f 的函数。方 程( 1 2 ) 等价于一组正则方程 x = 口 p = 1 - n ( f l x ( 1 3 ) 其中p 是引入的一个中间变量，它就是和x 共轭的广义动量( 在这 里，由于系统的质量设为l ，故p = 祗= 量) 。 这个方程看起来形式很简单。但是由于在方程组中x 和p 是耦 合在一起的而且q 是时间，的函数，因此用传统的办法求得这个方 程的一般精确解是比较困难的。只有在r 酢) 取某些具体形式时， 可以求得相应的解析解 3 l 】。而本文中的第一个工作，就是运用代 数动力学方法来求这个方程的一般精确解，这是第一次把代数动 力学用于处理经典力学系统。 1 1 2 经济物理学 如果晚谐振子系统是一个简单系统，那么出现了“胖尾分布” 西南交通大学博士研究生学位论文第3 页 现象的金融系统则是个典型的复杂系统。自从2 0 世纪5 0 年代， 系统论、控制论等这些横断学科出现之后，人们一直就没有停止 对复杂系统的探索。本文研究的第二个问题就是在这方面对非自 治复杂系统所作出的一个尝试。 1 1 2 1复杂性科学和复杂系统 复杂性科学( s c i e n c eo fc o m p l e x i t y ) 是种新兴的边缘、交 叉学科。国外有学者称复杂性科学是科学史上继相对论和量子力 学之后的又一次革命，国内成思危教授认为它是系统科学发展的 一个新阶段 3 2 ，戴汝为院士称其为“2 l 世纪的科学” 3 3 。有 关的学术会议和论文发表数量急剧增加，相关的研究在国内外掀 起了热潮。复杂性科学打破了线性、均衡、简单还原论的传统范 式，而致力于研究非线性、非均衡和复杂性带来的种种新闻题。 物理学家们在这样一种学科融合的趋势之中，起了很大的推 动作用。但是，早先研究我们周围世界的复杂事物和现象都不在 物理学主流之中。这种情况的改变始于非线性动力学的诞生和发 展。非线性动力学不仅促使物理学家们重视复杂系统的研究，而 且也为他们处理复杂系统提供了大量的理论工具，大大的拓展了 物理学特别是理论物理学家的研究视角。 复杂系统的研究正在逐渐打破各学科之间的壁垒，成为门 大范围跨学科的新兴领域。人们目前所能及的大部分自然现象和 社会现象，都是复杂系统的研究范围。复杂系统研究的目的是要 找出支配这些不同现象而又与具体现象特有性质无关的具有普适 性的规律 3 4 ，3 5 。 在复杂性科学研究范围之内的众多系统中，金融系统是比较 西南交通大学博士研究生学位论文第4 页 典型的一种。股票市场有是一种比较典型的金融系统。在股票市 场中，存在大量的参与主体，上市公司、券商、投资者等等，他 们之间的关系错综复杂，而且其行为常常表现出很大的随机性， 不确定性。可以说，一个金融系统几乎具有复杂系统的所有特征。 在会融理论方法的更新过程中，经济学家从不拒绝从自然科 学中汲取“有效成分”。他们必然会去关注并吸纳同时代自然科学 理论和科学方法的最新成就，应用新的思维方式、新的研究工具 去研究经济现象。另一方面，物理学家们由于对复杂系统的兴趣 和先天的知识上的优势，也加入了这一研究行列。所有这一切的 结果是形成了一个新的交叉学科经济物理学。下面要讨论的 “胖尾分布”问题，就是经济物理学中的一个重要问题，也是一 个大家都试图解释的难题。遗憾的是，对这个问题人们至今仍然 没有彻底弄清楚。 1 1 2 ，2 经济物理学 3 6 ，1 0 3 近年来，人们在对大量的、相互之间由较强作用的部分组成 的、远离平衡态的复杂系统的研究中，发现经济系统与其他复杂 系统具有相同或十分相似的性质，这就导致了人们将物理学的理 论、方法和模型应用到经济学和金融学领域的研究中去。这股潮 流的直接后果是一门新的交叉学科经济物理学( e c o n o p h y s i c s l 的形成。如何描述经济系统的状态和变化过程? 各个参数问有何 依赖关系? 不同系统是否具有共些普遍的和特有的性质? 是否遵循 共同机制或规律? 这些都是经济物理学研究所关心的问题 金融市场每天都产生数量庞大的交易数据记录。原来，由于 当时技术的局限性，很难详细的把每一笔交易都记录下来。但是， 西南交通大学博士研究生学位论文第5 页 由于信息技术的飞速发展，今天的证券交易所已经可以记录每笔 交易的数据信息。而这些海量的数据为物理学家们的研究提供了 宝贵的资源。 近年来对经济物理学的研究，大体上可概括为3 个方面：一 是采用不同的手段和方法，对经济领域的各种经济数列进行分析 和定量表征，这是研究的运动学阶段；二是在数据分析的基础上， 寻求系统的某些经验或半经验公式和唯象描述方法。三是将经济 系统的己知信息与物理学和其他学科的相关系统进行类比，建立 经济系统模型。第二方面和第三方面是经济物理学研究的动力学 阶段。 下面就对经济物理学中一些比较重要的方面作简单的介绍。 目前，在经济物理学的研究中，有很大的一股热潮是把非线 性科学的理论和方法用于研究经济或者金融系统。混沌是非线性 科学中的非常重要的一个方面。它是如此重要，以至于很多人把 非线性科学的和混沌等同了起来。于是，研究经济或者金融系统 中的混沌( c h a o s ) 现象，就成为经济物理学不可缺少的一部分。在 这方面的研究成果主要有陈平确定了维数为1 5 左右的货币奇怪 吸引子 1 0 4 ；b e n h a b i b 和d a y 在1 9 8 1 年从消费者选择行为中发 现了收入较高阶层消费者的消费行为存在的周期波动或混沌现象 1 0 5 等等。 分形是非线性科学的另外一个重要的方面。很多系统都存在 分形现象，金融系统当然也不例外。于是，金融市场的多标度分 形现象( m u l t i - - f r a c t a l ) 就成为研究的热点。很多学者都发现了不同 国家的金融市场中都存在着多标度分形现象。分形理论的创始人 曼德尔布罗特 4 8 5 0 】创立了著名的资产收益率多标度分形模型 西南交通大学博士研究生学位论文第6 页 ( m u l t i f r a c t a lm o d e l o f a s s e tr e t u r n s ，简记为m m a r ) 用以描述金融资 产价格变化规律。在此基础上，o o p i k r i s h n a n 5 1 等研究了美国证 券市场波动相关性的多标度分形行为和汇率市场的多标度行为。 在金融系统的研究中，人们很关心的一个问题是股票价格的 关联。这里所说的关联包括两个方面。其一是价格时间序列的自 相关性，其二是不同证券之间的相关性。在这个领域的研究中， 有很多科学家作出了贡献。m a n t e g n a 和s t a n l e y 3 9 等学者研究发 现，收益率的自相关性呈现快速单调递减的趋势，在几分钟之后 相关性趋近于零，这一发现与有效市场假说( e m h ) 相吻合。 c o n t 3 7 、c i z e a u 3 8 等发现收益率的相关性在大约2 0 个交易日的 时间范围内服从幂律形式。p l e r o u 4 0 ，4 1 等学者借助处理核物理 学问题的无规矩阵理论( r a n d o mm a t r i xt h e o r y ) 的观点和方法对不 同证券的相关规律进行了研究。m a n t e g n a 【4 2 又利用图论中的最小 生成树方法和层次树方法研究了证券组合的协方差矩阵。 在金融系统的研究中，人们很关心的另外一个问题是，在金 融市场价格的波动如此频繁的情况下，金融市场稳定吗? 也就是 说价格的波动的幅度有多大时会引起金融市场崩溃? 这个问题可 以分为两个方面研究，即分别研究金融市场价格涨落和市场崩溃 现象，然后再考察他们之间的关系。在这方面，g h a s h g h a i e 和 b r e y m a n n 等学者认为金融市场价格变化与湍流进行类比研究。物 理学家在对湍流的研究中已经积累了大量的经验，如果把其中的 很多理论和方法用于研究金融市场价格涨落和市场崩溃现象。那 么对这方面将会有很大的促进。他们认为，汇率变化a x 的概率密 度与时间标度t 之间的关系，与湍流中两点之间的速度差v 的概 率密度与两点之间的空间距离a r 之间的关系类似 4 4 。但是， 西南交通大学博士研究生学位论文第7 页 m a a t e g n a 和s t a n l e y 4 5 4 7 等人对上面的类比关系提出了质疑，他 们认为不能直接将价格变化与湍流进行类比。另外，v a n d e w a l l e 年l ：l a u s l o o s 等学者针对市场崩溃这种现象进行了研究，并提出了一 些金融市场运行预测模型 4 3 】。 在还有一个经济物理学研究中的很重要的问题，也是经济物 理学研究的最早的几个问题之一，那就是胖尾分布和羊群效应问 题。对于这个问题，下面将详细介绍。 上面列举的只是经济物理学自诞生以来，其中最为重要的几 个方面，需要指出的是，目前经济物理学的研究领域已经远远超 出了上面的范围。 1 1 2 3 胖尾分布问题j l f o k k e r p ia n c k 方程 1 胖尾分布问题 现代金融理论是建立在有效市场假说( e f f e c t i v e m a r k e t h y p o t h e s i s ，简称e m h ) 基础上的。有效市场假说是f a m a 于2 0 世 纪6 0 年代提出的 5 2 】。这个假说是数量化资本市场理论的基石。 这个假说非常重要的点是：金融资产的收益率是独立同分布的 随机变量，根据著名的中心极限定理，当收益率样本容量变大时， 它将服从正态分布。然而，值得注意的是，许多不同学科的学者 通过实证研究都发现，金融资产的收益率不是独立同分布的，也 就是说，收益率并不服从正态分布。这一理论与现实的矛盾暴露 了现有经典金融理论与模型当中可能存在缺陷。 1 9 6 3 年，m a n d e l b r o t 在研究棉花价格时就发现，棉花价格的收 益率的分布密度函数服从一种很奇怪的分布，这种分布比正态分 布的尾部要胖一些，即它的曲线比正态分布曲线在两翼衰减的要 西南交通大学博士研究生学位论文第8 页 慢一些，呈现出所谓胖尾( f a tt a i l ) 形态。当时，m a n d e l b r o t 用l e v y 稳定分 i ( s t a b l e - - l e v yd i s t r i b u t i o n ) 代替正态分布来刻画收益率的 分布特征 4 8 。l e v y 分布是正态分布的一种推广，而正态分布只是 它的一种特例而己。它们的差异在图形上表现为：通常，l e v y 分 布的曲线在中间部分比正态分布曲线的峰要“尖些，而在尾部又 比正态分布曲线“胖”( 就是衰减的要慢一些) 。 原来，根据正态分布假设，收益率的波动幅度大于5 倍标淮 差的可能性几乎为零。而金融市场中对数收益率的分布存在“胖 尾”特性的后果是，金融市场发生巨大波动的可能性要远远超出正 态分布假设的情形。比如在1 9 8 7 年发生的“黑色星期一”大股灾中， s & p 5 0 0 的收益率波动幅度达到了令人吃惊的3 4 倍标淮差! 目前，人们对“胖尾分布”出现的原因，认识比较一致，那 就是金融市场中存在着“羊群效应”。金融市场的羊群效应是指 每个股市参与者做出一个不可逆转的决策，而没有意识到他们自 己的信息受到其他投资者的影响，去模仿其他投资者的行为。这 实际就是说金融市场中的投资者之间并不是相互独立的，而是存 在着关联。因此，金融资产的价格变化并不是象e m h 理论所讲的 那样是相互独立的。这也就导致了金融资产收益率的概率分布并 不遵循中心极限定理所决定的g a u s s ( 正态) 分布，而出现了上文 中经常提到的胖尾分布。 近1 0 年来，胖尾分布( 羊群效应) 现象引起了理论界的广泛 关注，提出了许多关于胖尾分布( 羊群效应) 的理论模型。其中， 有一种研究思路是，假设金融资产收益率的运动服从几何布朗运 动( b r o w n i a nm o t i o n ) 5 5 ，5 6 】，从而金融资产收益率的变化遵循一个 l a n g c v i n 方程。而从l a n g e v i n 方程出发，在一定条件下可以导出 西南交通大学博士研究生学位论文第9 页 著名的f o k k e r - p t a n c k 方程。而这个f o k k e r - p l a n c k 方程的解，正是 相应的金融资产收益率所服从的概率分布。本文的第二个工作， 就是沿着这一思路进行的。因此，有必要在下面先介绍一下 f o k k e r p l a n c k 方程。 2f o k k e r p ia n c k 方程 5 7 ，5 8 在物理学中，统计力学的研究对象覆盖了各种不同的空间和 时间尺度的过程，与人们的日常生活紧密联系，这一分支的前沿 发展正引起广大学者的密切关注和强烈兴趣。而e i n s t e i n 对布朗粒 子运动的开创性研究和著名的l a n g e v i n 方程的建立，开始了统计 物理探索非平衡系统的动力学行为的阶段。从此，把随机性作为 一个专门的对象：研究随机力的性质以及它对各类宏观系统的影 响，成为统计物理的大分支。而f o k k e r - p l a n e k 方程就是非平衡 态统计物理中最为基本的方程之一。为了更好的阐述后面章节的 内容，下面先介绍一下它的来龙去脉。 描述布朗运动的模型通常是 t = 一口v + f ( t 、( 1 4 ) m 是布朗粒子的质量，v 是运动速度，g 是磨擦系数。f ( f ) 是除阻 尼作用外液体分子对布朗粒子碰撞的全部作用力，是在过去的模 型中被视为的随机力。 将方程( 1 4 ) 两边同除以m ，同时暂只考虑一维问题，可以得 到： 巾+ r v = r ( f )( 1 5 ) 其中r ：兰和r ( f ) ：曼堕分别是单位质量的阻尼系数和分子碰撞涨 西南交通大学博士研究生学位论文第10 页 落力。r ( ，) 叫l a n g e v i n 力，而方程( 1 5 ) 就是l a n g e v i n 方程。通常 l a n g e v i n 力r ( f ) 被认为是g a u s s 白噪声，具有以下两个统计性质： ( r ( ，) ) = 0 ( 1 6 ) r ( t ) r ( t ) ) = 2 d s ( t t ) ( 1 7 ) 其中，d 是关联强度。 方程( 1 5 ) 是线性的l a n g e v i n 方程。如果将研究对象推广到有 外场作用的情况，( 1 5 ) 就变为： 5 j + r 2 = f ( x ) + r ( ，) ( 1 。8 ) 式中f ( x 1 为平均单位质量布朗粒子所受的外力。在过阻尼的情况 下方程左边主要是阻尼项起作用，惯性项则可以忽略。适当选择 单位使r = 1 ，n ( 1 5 ) 变为： 堂= ，( x ) + r ( )( 1 9 ) 如果f ( x ) 是z 的非线性函数，则( 1 9 ) 就是非线性l a n g e v i n 方程。 l a n g e v i n 方程是一个随机微分方程，它处理的是随机变量的 轨道。当然，其目的不是预言这些轨道本身，而是预言这些轨道 的统计性质。利用l a n g e v i n 方程讨论随机问题，关键在于计算随 机变量的各阶矩，一般这是很困难的。现在我们把注意力从随机 变量的轨道转移到函数p ( x ，f ) ，即研究随机变量x 取值的分布函数 的演化规律。 对方程( 1 9 ) 进行k a r a m e r s m o y a l 展开，可以得到著名的 f o k k e r 。p l a n c k 方程，一般具有如下形式 西南交通大学博士研究生学位论文第11 页 挈2 嚣岁m 站刀 埘 + 蕃善螽【踢( t 咖( 圳】 方程右端的第一项被称为漂移项，第二项被称为扩散项。 许多年来，几代科学家花了大量的心血对f o k k e r - p l a n c k 方程 进行了研究。文献 5 7 ，5 8 对此有详细的介绍。对于自治的 f o k k e r - p l a n c k 方程( 输运系数与时间无关) ，在某些情况下已经求得 了精确解。但是对于输运系数与时间有关的非自治情况，其探索 精确解的进展甚微。本文的第二个工作就是运用代数动力学方法， 第一次求得了非自治情况下的精确解，并且基于这个精确解讨论 了经济物理学中的胖尾分布和羊群效应问题。 1 1 2 4 国民经济系统 前文讲了目前经济物理的研究内容，不难看出主要是以研究 金融系统为主。经济物理学要想名符其实，必须还要研究其他的 经济系统。遗憾的是，目前这方面的工作比较少。就我们所掌握 的资料范围内，只有文献 6 2 ，1 1 0 1 研究了国民经济中的收入分配 问题，文献【1 1 l 】研究了通货膨胀问题。 本文的第四章通过一个非线性的微分方程，在经济物理学的 框架内，第一次研究了总供给增长速度和总需求增长速度之间缺 口随时间变化的规律，以及它们和通货膨胀与通货紧缩之间的关 系。 由予本文所做的大部分工作都用到了代数动力学，下面就简 要介绍这一理论， 西南交通大学博士研究生学位论文第1 2 页 1 2 代数动力学 1 6 7 ，6 8 1 2 1 人造量子系统与非自治系统 1 我们可以从人们熟悉的一些人造量子系统引出非自治系统的 概念。目前，人类己进入控制单个原子、电子等微观粒子的时代 2 7 。 人们通过设置人工势场和人工边界条件的办法去控制微观粒 子的量子运动；这种在人工势场和人工边界条件下运动的微观粒 子系统称为人造量子系统。按照人工势场和边界条件是否依赖于 时间，人造量子系统可分为自治的和非自治的两大类；若人造势 场或边界条件不依赖于时间，则系统称为自治的；反之，则称为 非自治的。 非自治系统的h a m i l t o n i a n 量的参数或其边界条件通过某些 参数依赖于时间。这些随时间变化的参数体现了人类或环境对系 统的影响。非自治系统可以是经典的，也可以是量子的。由于在 本文中所采用的研究方法代数动力学，是在研究量子系统的 过程中提出的，所以这里重点介绍非自治的量子系统。非自治经 典系统的很多原理基本是一样的。 非自治量子系统的种类很多，而且有很多系统都具有某些动力 学代数结构，比如p a u l 阱中粒子的量子运动，它对应的哈密顿量 具有s u o ，1 ) 动力学对称性，可以记为矗0 ”( i ，i ) ，口e ) ) 8 1 6 】。而柬 流动力学中粒子的极化和螺旋光纤中激光的b e r r y 相位都具有 a g “( 2 ) ，口0 ) ) 结构 1 7 ，2 2 ，2 3 ，原子与腔场的作用是a 0 “( ) ，岱( f ” 系统【1 8 2 1 ，核子在变化的四极平均场中的运动可用 西南交通大学博士研究生学位论文第13 页 n ( 印( 6 ) ，口( ，) ) 描述 2 7 ，2 8 ，而带电粒子在均匀可交的磁场和电场 中的运动( 推广的时间有关的l a n d a u 系统) 是s p ( 4 ) o h ( 3 ) 动力 系统 2 4 - - 2 6 1 。 还有很多的其他的人造量子系统，它们是线性的或非线性的， 但具有动力学代数结构，成为代数动力学的研究对象 2 9 ，3 0 。 在经典力学中，同样存在很多重要的非自治系统。它们具有 各种各样的动力学对称性，比如本文研究的简单谐振子模型，就 具有s u ( 1 ，1 ) 动力学对称性。对于这些经典的非自治系统，人们同 样可以通过控制其中的参数来达到控制整个系统的且的。因此对 于经典非自治系统的研究同样是重要的。在量子力学中发展起来 的处理非自治系统的代数动力学理论方法，经过适当改造，也可 以处理经典非自治系统。 1 2 2 代数动力学 代数动力学理论，是在动力学对称性理论的基础上发展起来 的。原来的动力学对称性理论研究对象主要是自治的系统。然而 许多非自治系统也具有代数结构，要研究其守恒律、动力学对称 性以及可积性问题，就必须把动力学对称性理论加以改造和推广。 代数动力学正是在这种需要的激励下产生的。 代数动力学把时间之矢放入静态的运动学代数之中，使之按动 力学规律随时间演化；它用代数和群论的方法去揭示系统的守恒 律和与之相应的对稼性，使非自治量子系统的求解变得容易，并 突出解的最重要的物理内容，即守恒量子数和动力学对称性。 为了理解代数动力学的内涵，有必要从动力学的诸要素对代 西南交通大学博士研究生学位论文第1 4 页 数动力学加以剖析。 1 2 2 1 运动学代数 运动学代数是动力学的基本要素，它有两方面的内涵：a ) 规 定运动学变量：b ) 确定这些变量之间的代数关系。同时，运动学 代数规定了运动的模式或类型，正是在这一点上把动力学系统区 分为不同的代数动力学：不同运动模式的代数动力学。对于经典 力学，是粒子的共轭的正则坐标与正则动量在运动，它们之间满 足泊松代数关系。 对于普通的动力学来讲，它的经典运动学变量是广义坐标和 广义动量g ，p ，而它的经典运动学代数是泊松代数：b ，p ，j = 5 ， 运动规律是哈密顿正则方程：口，= 妇，h ) 和p ，= p t , h ) 。而对于代 数动力学来讲，它的经典运动学变量是经典代数生成元x ( g ，p ) 。 而它的经典运动学代数是更一般的李代数：扛，x ，j = c ；靠，运动规 律是一般的哈密顿正则方程：量，= 缸，h ) 。如果采用刘维算子形式， 有类似的定义。 从以上可知：( 1 ) 代数动力学是把通常的动力学从泊松一海森 堡代数动力学形式推广到一般李代数动力学形式 6 9 7 3 ；( 2 ) 代数 动力学不强调把哈密顿量区分为动能和势能两部分，而强调哈密 顿量的代数结构；( 3 ) 代数动力学可以是量子的，也可以是经典的。 这最后一点是我们在本文中运用代数动力学方法处理经典问题的 出发点和依据。 西南交通大学博士研究生学位论文第15 页 1 2 2 2 代数动力学的定义 定义了运动学代数之后，应当转向动力学。运动学代数是静态 的代数。而运动学代数随时间的演化，是代数动力学的基本内容。 为了使静态的运动学代数随时间演化，我们需要一个哈密顿量。 对于经典系统，代数动力学系统的哈密顿量必须是运动学变量即 运动学代数元素的函数。有了哈密顿量之后，经典系统的代数动 力学定义为 1 a x 厂, = x 。h ) ( 1 1 1 a ) h = h ( x )( 1 1 i b ) t x | ，x i 、= c8k x k q 1 1 c ) 值得一提的是，最