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中国科学技术大学硕士学位论文 关于相对论电子辐射的若干研究 摘要 本论文研究相对论电子辐射。对电子辐射的一般理论，相对论性电子在弯铁、 波荡器等各种插入元件中的辐射特性做了简要综述。在此基础上，基于 1 , d n a r d w i e h e r d 势推导并给出了因电子束具有发散度而产生的非理想注入粒子 在波荡器中的运动及其辐射频谱。给出了一般足值情形下的波荡器中的电子运 动轨迹，作为研究其辐射频谱的出发点。采用参考系变换的方法给出了作螺旋运 动电子的辐射频谱，发现了一种与曲率和挠率都有关的辐射机制。 关键词：相对论电子、同步辐射、波荡器、扭摆器、辐射频谱、非理想注入粒 子、螺旋运动电子的辐射 中国科学技术大学硕士学位论文 关于相对论电子辐射的若干研究 a b s t r a c t t h er a d i a t i o nb yt h er e l a t i v i s t i ce l e c t r o ni si n v e s t i g a t e d t h eg e n e r a lt h e o r yo f t h e r a d i a t i o nb ye l e c t r o n , t h ec h a r a c t e r i s t i co ft h er a d i a t i o no fas i n g l ee l e c t r o nt r a v e l i n g t h eb e n d i n gm a g n e t s ，p l a n a ru n d u l a t o r s ，e t c a r eb r i e f l yr e v i e w e d t h et r a j e c t o r ya n dr a d i a t i o ns p e c t r u mi sp r e s e n t e do fa l le l e c t r o nw h i c hi sn o t i n j e e t e di n t ot h eu n d u l a t o ri d e a l l y t h et r a j e c t o r yo fa l le l e c t r o ni nt m d u l a t o rw i t h a r b i t r a r yk i sc a l c u l a t e da st h es t a r tp o i n to fr a d i a t i o nc o m p u t a t i o n f i n a l l y ，t h e r a d i a t i o ns p e c t r u mo fa ne l e c t r o nm o v i n ga l o n gah e l i c a lt r a j e c t o r yi so b t a i n e db yt h e f a m et r a n s f o r m a t i o n ，an e wm e c h a n i s mo fr a d i a t i o na s s o c i a t e dw i t hb o t hc u r v a t u r e a n dt o r s i o no f t h ee l e c t r o n st r a j e c t o r y k e y w o r d s ：r e l a t i v i s t i ce l e c t r o n ，s y n c h r o t r o nr a d i a t i o n , u n d u l a t o r ，w i g g l e r ， r a d i a t i o ns p e c t r u m ，n o n i d e a l l yi n j e c t e dp a r t i c l e s ，r a d i a t i o n - 中国科学技术大学学位论文原创性和授权使用声明 本人声明所呈交的学位论文，是本人在导师指导下进行研究工作 所取得的成果。除已特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含任 何他人已经发表或撰写过的研究成果。与我一同工作的同志对本研究 所做的贡献均已在论文中作了明确的说明。 本人授权中国科学技术大学拥有学位论文的部分使用权，即：学 校有权按有关规定向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子 版，允许论文被查阅和借阅，可以将学位论文编入有关数据库进行检 索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。 保密的学位论文在解密后也遵守此规定。 作者签名：遗星拄 。，1 年否月7 日 中国科学技术大学硕士学位论文关于相对论电子辐射的若干研究 第一章序言 1 1 同步辐射发展简要历程 当相对论性电子做曲线运动时，会发出电磁辐射，称同步辐射。同步辐射 作为一种新型人工光源具有多种优异的特性，除了高亮度的特性，还有波长覆盖 范围宽( 包括红外、可见、紫外、真空紫外、软x 射线、硬x 射线) ，频谱干净 并且可以准确计算，高准直性，具有确定脉冲时间结构，具偏振特性、高稳定性 等各种优点。这使它广泛应用于物理、化学、材料科学、生命科学、信息科学、 力学、地学、医学、药学、农学、环境保护、计量科学、光刻和超微细加工等众 多基础研究和应用研究领域。同步辐射光源无论是其优异的特性，还是其应用的 广泛性，都堪称无与伦比，被誉为科学的“神灯”。 人工产生的同步辐射于1 9 4 7 年在美国通用电器公司的一台同步加速器上首 次被观察到1 ，因此被命名为同步辐射。最初，因为同步辐射是提高同步回旋加 速器中粒子能量的障碍而被科学家们列入到不受欢迎的黑名单中。然而后来发 现，如果将目标从获得高能粒子改为获得强电磁辐射，这种辐射可以成为一种颇 具特色的强光源。上个世纪六十年代，人们开始在高能物理研究的空挡，利用加 速器的同步光进行科学研究，这种与高能物理公用的加速器称为第一代同步辐射 光源。北京高能所同步辐射装置( b s r f ) 就属这种。 随着科学技术的飞速发展，第一代同步辐射光源已经不能满足研究需求，于 是建立了用专门的加速器产生同步光的第二代同步辐射光源，如合肥的国家同步 辐射实验室( n s r l ) 的同步辐射装置。 上个世纪八十年代，科学家发现在储存环中加入插入件可以使同步辐射的亮 度提高一千倍以上，第三代同步辐射光源得到的同步辐射主要来自插入件。正在 建设的到目前为止我国最大的大科学工程上海同步辐射装置( s s r f ) 就属第 三代光源。目前，世界上已建有近百台同步辐射装置，其中最大的三个第三代光 源分别是美国的a p s 、欧洲的e s r f 和日本的s p d n g - 8 。 1 据上个世纪五、六十年代科学家的工作，超新星爆发发出的光基本上是同步辐射而超新星的爆发在1 5 4 年宋会要中已有记载；殷商时期的甲骨文也记录有“新大星”事件 中凰科学技术大学硕士学位论文 关于相对论电子辐射的若干研究 在目前，国际国内的科学界都又在酝酿下一代光源一第四代光源，各种方案 中，短波长( 高增益) 自由电子激光最有希望取得成功。 同步辐射光源的辐射主要来自三种元件：弯铁( b e n d i n gm a g n e t ) 、波荡器 ( u n d u l a t o f ) 和扭摆器( w i g g l e r ) 。分别如下图所示。 电子 图1 2 波荡器和扭摆器中的电子辐射 电子在弯铁中作圆周运动，辐射出的同步光的频率是电子运动的角频率的整 中国科学技术大学硕士学位论文关于相对论电子辐射的若干研究 数倍，但是由于电子运动的角频率远小于同步光的频率，一般可认为弯铁中的同 步辐射具有平滑的光谱，并且覆盖了极宽的波段范围，可从红外到硬x 射线。 波荡器一般由2 n 对永磁铁( 个周期) 组成，用于产生周期性横向静磁感 应场。平面型波荡器的磁场一般设计为近似正弦形，高速运动的电子穿过这种磁 场时由于受到横向的周期性作用力而产生摆动，从而在每个周期中都发出辐射。 电子在波荡器中的摆动幅度并不太大，各个周期中产生的辐射光会相互干涉，从 丽产生强度很大但波长并不连续的相干光。 扭摆器一般由超导磁铁组成，相对波荡器来说，周期数少，磁场强度大。电 子在扭摆器中运动时，由于摆动幅度大而一般不发生干涉，但由于磁场强度大， 电子运动的曲率半径小，因此产生的同步辐射波长较短，所以，扭摆器有时也被 称为“移频器”。 下图是弯铁、波荡器和扭摆器中电子辐射强度和波长的对比。 铡嗨弛啪a p t ，o l o r t6 n e 晰 图1 3 各种元件中的电子辐射对比 除了平面型波荡器外，还有螺旋型波荡器等结构更为复杂的插入元件，电子 在这些元件中的运动轨迹也并不是简单的圆周运动或正弦运动；另外，由于加速 器中的电子束具有发散度，大多数电子在注入插入元件的时候并不处于理想状 篡l谤蕊谤-蘩嚣 中国科学技术大学硕士学位论文关于相对论电子辐射的若干矾究 态，这些新的状况为相对论电子辐射的理论研究提出了新的课题。正是在这种背 景下，本文对相对论电子辐射的进行了若干研究。 1 2 论文的主要内容和意义 当今科学界新光源物理研究方兴未艾，研究相对论电子的辐射具有重要意 义。本论文利用经典电动力学的方法，从第一性原理出发，对相对论电子辐射进 行了若干研究，在对已有工作简要综述的基础上，论文的主要内容包括下列三个 部分： 1 ) 推导并给出了非理想注入粒子在波荡器中的运动及其辐射。由于加速器 中电子束发散度的影响，大多数粒子在注入波荡器的时候并不处于理想状态，因 此该结果对实际应用中计算电子束在波荡器中的辐射及波荡器对电子束运动轨 迹的影响有着重要意义。 2 ) 给出了一般k 值情形下的扭摆器中电子运动轨迹，并指出了文献中的一 些错误。本文除了给出电子在置值较小的波荡器的辐射频谱外，还对一般k 值 情形下的电子运动轨迹进行了推导，并就结果进行了一些讨论。 3 ) 给出了作螺旋运动电子的辐射频谱。电子的螺旋运动是一种普通的运动， 本文在推导螺旋运动电子的辐射频谱时，发现这是一种与曲率和挠率都有关的辐 射新机制，这种辐射谱在文献里尚未出现。 本论文共由六章组成。第一章为序言，主要介绍了同步辐射光源的发展过程， 三种主要元件的特点以及本论文工作主要内容和意义。第二章介绍了相对论电子 辐射频谱计算的基础理论。第三章对于电子在弯铁和平面型波荡器中的辐射的有 关结果作了简要综述。第二章、第三章的有关结果在光源界的通用工作手册 1 3 , t 4 , t 9 | ，或者在一些教科书 1 5 - t $ 2 o l 均已列出。第四章、第五章是我们发展的新结 果。第四章给出了非理想注入粒子在u n d u l a t o r 中的运动及其辐射。第五章给出 了一般足值情形下的扭摆器中电子运动轨迹和作螺旋运动电子的辐射频谱。在 文章的最后，第六章对本论文进行了总结。 中犀科学技术大学硕士学位论文 关于相对论电子辐射的若干研究 第二章电子辐射一般理论 当相对论性电子做曲线运动时，会产生电磁辐射，称同步辐射。单电子的任 意运动的辐射理论是研究各种同步辐射特性的基础。本章用经典电动力学的方法 对于任意运动的加速带电粒子的辐射场、辐射功率及辐射的频率分布和角分布作 了简要的综述。 2 1 加速电荷的辐射场 任意运动带电粒子的轨迹如下图所示 电子轨迹 一n 。 少 彦酊 图2 1 任意运动的带电粒子的轨迹示意图 其中t 为观察时间，f ，为辐射时间，电子运动速度万= 矿，c ，观察方向单位矢量为 元。 一个运动的点电荷的势可如下由l 6 n a r d w i c h e r d 势给出 j 2 石二丽e f t 矿2ij而e1- ( 2 1 ) ( 1 一，再) r f秀) r 中国科学技术大学硕士学位论文 关于相对论电子辐射的若干研究 ( 2 1 ) 式右边各量都是在推迟时间t - - t + r ( f ，) i t 所取的值，因此上式也被称为 推迟势。所以，由( 2 ，1 ) 式可得出加速电荷的辐射场僻一呦的电场强度 汹耙x - = 詈卜醐 眨z ， 2 2 加速电荷的辐射功率 如果一个电荷在加速，但它相对于某个参照系的速度比光速小得多，那么， 在这坐标系中观测时，( 2 2 ) 中的加速场就化为 罾= 缸删 眩。， 瞬时能流由p o y t i n g 矢量给出， 蜃= 寺五雪= 丢m ( 2 4 ) 这意味着，在单位立体角内的辐射功率为 面d p = 老 翘1 2 = 毛卜b 硝= 岳阿s i n 2 护 c 2 其中臼是加速度舌与元的夹角。遍及所有的立体角求积分，即得瞬时的总辐 射功率。即 ，= 2 3e ，= f t , l j ( 2 6 ) 这就是非相对论性加速电荷的拉莫尔公式。 我们可以利用l o r e n t z 变换下的协变性来推广拉莫尔公式，从而得到对任意 速度的电荷都有效的公式。把l a m o r 公式写成下列r e - 式 ，= 三3 嘉望d t 望, i t 肌。一 ( 2 7 ) 式中m 是带电粒子的质量，多是带电粒子的动量。l o r e n t z 不变的推广式是 肛；嘉誓等 6 中国科学技术大学硕士学位论文 关于相对论电子辐射的若干研究 四元矢量的标积 一誓等= i 善1 2 - 丢( 坚1 2 = l 倒d r l d r cd rd r2 一2 ( 罢) 2 d fd f 2l 上 l d f 利用e = y m c 2 和= ，肌；，可得到 ，= 多时一懈 2 3 加速电荷辐射的频率分布和角分布 ( 2 8 ) ( 2 9 ) d p ( t ) d = 陬) f ( 2 ，1 0 ) q i 、l 其中 面) = j 丢厢 ( 2 1 1 ) 五是式( 2 2 ) 中的电场。每单位立体角的总辐射能是( 2 1 0 ) 式对时间的积分： 訾= 肛r ) 1 2 d ， ( 2 1 2 ) 引进j ( f ) 的傅立叶变换j ( 国) 确= 而1 确“d f ( 2 1 3 ) 由p a r s e v a l 定理可得 訾= 肛私 汜 由于频率的正负号没有物理意义，人们习惯上只对正频率求积分。于是关系式 ! 里；广尘! ! 竺! 至! d 出 ( 2 1 5 ) m , j bd c a d q 确定一个量，这个量就是每单位立体角、每单位频率间隔的辐射能量： 盅= m 忡( 叫 汜，e ， 因为j ( f ) 是实函数，则j ( 一= j + ( 田) ，于是 中国科学技术大学硕士学位论文关于相对论电子辐射的若干研究 蛊= 2 附1 2 将( 2 2 ) 式和( 2 ，1 1 ) 式代入( 2 1 3 ) 式可得 硇，= ( 矗) 叫 ( 2 1 7 ) ( 2 1 8 ) 式中“r e t ”表示相对于t 在推迟时刻f = ，+ r ( t ) c 时计算的值。由图2 1 所示， r o z 善一露f 和贝有 r ：要：l 一痧氪 r = 石7 = 1 一，l 称为时间伸缩因子。这样 硒，；( 甜艄卜搿卜 所以 蛊：2 刚2 ：去妒旧 一式警1 - f l 笋= 斟鬻 ，引叫i 卜1 分部积分可得2 d2豸i=remcr(t)2dqd4 n i 1 2 ，脚 2i 。i ( 2 1 9 ) ( 2 | 2 0 ) ( 2 2 1 ) 瓦= e 酾( 帆舀) e 嘶删“ ( 2 2 2 ) 其中r e = e 2 m c 2 为电子经典半径。式中为简明起见，时间变数上的撇号己被略去。 若已知电子的运动，原则上可通过上式计算其辐射频谱和角分布。 2 此处忽略了分部积分边界项。一般当带电粒子的能量较高，而且不关心辐射的长波段时这种忽略没有问 题但对长波辐射，分部积分边界项不可忽略而且就普遍情形而言，对一般带电粒子辐射，我们指出 当带电粒子的能量不是太高“不太大) ，对( 2 2 1 ) 式分部积分时不应忽略边界项的贡献 8 - 卜 铲坐卜 2 出 中国科学技术大学硕士学位论文关于相对论电子辐射的若干研究 第三章相对论性电子辐射综述 3 1 弯铁中的电子辐射频谱 当电子在圆形加速器或储存环的弯铁中运动时，其轨迹如图3 1 所示 图3 1电子作圆周运动时的坐标 电子在x - y 平面中运动，瞬时曲率半径为p ，单位矢量元选在x z 平面上， _ ；i 与x 的夹角为口。当口很小时，才会有较强的辐射。选取坐标时，使粒子在坐 标的原点。由图i i 1 可得 菇= ts i n o + t c o s o ( x z 平面) ( 3 1 ) 声( 鲈万v t 幔c o s 爿 ( x - v 平面) ( 3 2 ) 式( 3 1 ) 和( 3 2 ) 中的瓦，瓦，t 分别为x ，y ，z 方向的单位矢量。利用式( 3 1 ) 和( 3 2 ) ，对于作圆周运动的相对论性电子，辐射频谱公式( 2 2 2 ) 中的被积函 数的矢量部分可表示如下 中国科学技术大学硕士学位论文 关于相对论电子辐射的若干研究 r x 【元) 。( 元j 五一 = 一弓s i n 号+ s i n o c o s v t 叩_ 湖一瓦枷) = p ( - 亏ts i n 号啊咖觚号 s ， 其中 鼍i 。勺( 3 4 ) 【五= 乏c o s o t s i n 0 电子的轨迹为 尹，= 砭p s t n 万v t + 弓p ( t c 。s 号 c s s ， 所以式( 2 2 2 ) 中的被积函数的指数部分的宗量为 国i - 华m 一争 s ， 因为口很小，在前后较短的时间内( v t l p 1 ) ，可将式( 3 6 ) 中的三角函数展 m ( r 一半) = 彤 r + 钥 s ， 因此，每单位立体角、每单位频率问隔的辐射能量公式( 2 2 2 ) 可写成 丽d 2 i ：砺e 2 0 ) 2f j i x ( 狮d f _ 剀出1 2 = 筹i - 磊咏咖五以( ) 1 2 ( 3 9 ) 上式中的4 ( 缈) 和a ( c o ) 分别为矢量j ) 的两个分量，如下给出 o 丝矿卜 上矿 堡2 时 等 | 宝 咖 中国科学技术大学硕士学位论文关于相对论电子辐射的若干研究 僻o x p z 虿o 。陟1 叫2 + 矿。2 t 3 肛 似m e e x p 雠妒 绷a ， 2 石1 再 则，= 詈( 扣 5 x ， 拈彤) j 血 引入参数善，并令 孝= 等( 妒) j ( 3 1 0 ) ( 3 1 1 ) ( 3 1 2 ) 4 - c ，= - p 。c 。上，z + 秒2 ) e x 中 f 兰f ( x + ；工3 ) 出。，。， 删= 詈口( 专) j 唧降i - _ x 3 卅 ( 3 1 3 ) 式中的积分可与爱里( a i r y ) 积分等同，或与修正贝塞耳函数等同： s i n 睁工+ 别缸= 去锄 c o s 睁_ 1n 卜云锄 ( 3 1 4 ) 因此，在弯铁中，单电子辐射出的每单位频率间隔每单位立体角的辐射能是 丽d 2 1 = 烈2 引2 咳c 伊丽y 2 0 2n r y 必2 ( 3 1 5 ) 中国科学技术大学硕士学位论文 关于相对论电子辐射的若干研究 3 2 弯铁中电子辐射的光通量 式( 3 1 5 ) 表示的是一个电子在加速器或储存环中回旋时辐射能量沿立体角 的分布，它是瞬时的。相对论性电子在储存环中每秒钟要回旋c 2 死p 圈，因此每 秒钟辐射的能量，即功率沿立体角的分布，可用c 1 2 7 r p 乘式( 3 1 5 ) 。这样，一个 电子每单位立体角每单位频率间隔的辐射功率为 d 2 pcd 2 1 d c o d o 2 # pd 国d q = 等万y 2 目0 9 - 1 2 陬+ 焉咳 限 其中= 嘉为电子经典半径，吐= 兰c 吾为临界频率 将( 3 1 6 ) 式对角度作适当的积分后，可得 竺=庄急dq=毒，一9,5dw d e a d 8 ；r 瓦炙勘( 纠孝 3 q ?7 琵j = 毒s 其中 。= 吾m o c 2 等是总辐射功率，而，p ( 3 1 7 ) 跏俐= 訾罢勘鸳 是一个归一化普适函数。这样弯铁中每单位转角中的光子数，即光通量为 咝：一1 生：上土竺 d 壳珊d c o d 妒亢2 r td m = 去，i a w 似) ( 3 1 8 ) 中国科学技术大学硕士学位论文 关于相对论电子辐射的若干研究 3 3 小k 值波荡器中的电子辐射 波荡器是一种产生周期性横向静磁感应场的器件，比较常见的是平面型波 荡器，这种类型的波荡器的磁场被设计成正弦形，其横向磁场强度的一维表达 式为： b ：b os i n 孚：b os i n k z ，o z 屯 ( 3 1 9 ) 这里，玩是磁场峰值，丑是波荡器一个周期的长度，是周期数。 由于磁场只在y 方向有分量，所以电子横向上只在x 方向有位移，可令电 子在波荡器中的位移 ，( d = x ( o ，0 ，z c t ) ( 3 2 0 ) 电子在波荡器中摆动前进，由洛伦兹力公式可得 将( 3 1 9 ) 式代入( 3 2 1 ) 式，并对时间积分可得 j ：鱼c o s ( k z ) ( 3 2 2 ) y m o 丘 所以横向速度履：兰：墨c 。s ( 七力 ( 3 2 3 ) 上式中，足：= _ e b 0 2 “( 3 2 4 ) 2 7 - m a c 是一个无量纲参数，一般被称为波荡器参数，是表征波荡器特性的一个重要参 数，也是区分波荡器和扭摆器的主要依据。 由于电子辐射出的光子能量远小于电子能量，因此电子在波荡器中运动时 可近似认为能量不变。即 所+ 厦= 2 = c o n s t 所以， mo 吗 蛳 三隅三舰 珏 扛 中国科学技术大学硕士学位论文 关于相对论电子辐射的若干研究 见= 扩诱= v 肛y 磊- z 。一!茎：霉：!丝(3251 ) 群一。：一 ， 2 伊 小击2 y 等 4 ，2 一k 2 e o s ( 2 k z ) 4 y 2 由上式知电子在z 轴方向运动的平均速度为 万= l 一专一等 z s ， 对波荡器而言，墨l ，即电子在z 轴方向速度的振荡项的幅值较小，因 y 此可近似认为电子在z 方向的位移为： z = 劢 ( 3 2 7 ) 弓l 入波荡器特征频率哆2 警 i ：一e b o e o s 广( k z ) ：等c o s p t ) ( 3 2 8 ) 7 m o 七y 电子纵向速度 2 = 一c 一若蝴( 2 咖 ( 3 2 9 ) 将式( 3 2 8 ) 和( 3 2 9 ) 分别对时间积分，可以得到电子在横向和纵向的位移； x ( f ) ：墨三s i n ( 国。f ) ( 3 3 0 ) ，脚口 轷劢一矿9 2 丽c s i n ( 2 a t ) ( 3 3 1 ) 中国科学技术大学硕士学位论文 关于相对论电子辐射的若干研究 z 图3 2电子在平面型波荡器中的运动轨迹 上图中，电子在x z 平面中运动，观察方向的单位矢量五是一个三维矢量，五与 g 轴的夹角为p ，与x 轴的夹角为。选取坐标时，使粒子在坐标的原点。 由图3 2 可得 _ i ；= ( s i n 8 c o s ，s i n t g s i n # ，c o s d ( 3 3 2 ) 芦( 尼，0 ，厦) ( 3 3 3 ) 尹( d = ( x ( f ) ，0 ，z ( f ) ) ( 3 ，3 4 ) 利用式( 3 3 2 ) 和( 3 3 3 ) ，对于在波荡器中运动的相对论性电子，辐射频谱公 式( 2 2 2 ) 中的被积函数的矢量部分可表示如下 元( 元) = ( 菇) 元一 = 婚。s i n o e o s # + 9 | c o s 哪p = ( 展s i n 2 0 e o s 2 矿+ 屈s i n p c o s p s 妒一反) 瓦 + ( f l ，s i n 2 日s i n 矿c o s 矿+ 尼s i i l 口c o s 口s i n 矿) 毛+ ( 屈s i r i p c o s p c o s 妒一厦s i n 2 刃乏 ( 3 - 3 5 ) 中国科学技术大学硕士学位论文 关于相对论电子辐射的若干研究 由于横向速度厦的值较小，并r r 有在口角较小的观察方上才能获得较强的辐 射，因此可对( 3 3 5 ) 式进行简化，略去小量的高次项，并利用近似s i n b a 口 ( 护1 ) 可得： _ i i ( 疗声) = ( 尻护c 。s 一屈) 五+ 屈口s i n 妒弓 ( 3 3 6 ) 由式( 3 3 3 ) 和( 3 3 4 ) 可得 f 至笋小昙( 埘n 觚s m c o s 口) 币等古8 砥哆t ) s i n o c o s # - 础+ 等去如加鲥 ， ，p 。 斗，z r ，1 、 = ( 1 一万c o s 回f 一两ks i n ( ) s i n o c o s + 去8 i n ( 2 ) c 。s 日徊p 。 b y p 由式( 3 2 3 ) ，并作近似c 。s p * 1 一e a 2 ，可得 t 枷纠一( z 一专一默一譬) * 专( - + 专口2 ( 3 | 3 8 ) 可令专( 1 + 4 - 9 2 0 2 = 等，事实上，后面的结果可以得出q 就是电子在波 荡器中发出的相干辐射中的基频。 所以式( 2 2 2 ) 中的被积函数的指数部分的宗量为 缈卜譬跚= 和号毒s i n ( a ，e t ) s i n o e o s # + 等等螂啪c o s 刁 ( 3 3 9 ) ( 3 3 6 ，3 3 9 ) 式代m 2 2 2 ) 式，得辐射谱 i i d 2 石i 五= 磊e 2 ( d 亏2i d f ( 允口c 。s 庐一展) 瓦+ 屈口s i n 弓 唧乩l o , , l 一等删肌咧嗲号洲2 0 a ) c o s 0 1 2 ( 3 4 0 ) 中国科学技术大学硕士学位论文 关于相对论电子辐射的若干研究 上式可以写为 患= 篆脚1 2 = 篆鼢伽) 弓1 2 4 - ， 其中以( 国) 和- t ( c o ) 分别是j ( 国) 在x 方向和y 方向的分量，如下给出 以( 缈) = 肌觚m ，e x p 褂( o p t 一_ k y c o , s m ( c o s i n 妒+ 矿k 2i c o ls i n ( 2 t o p t ) c o s 0 d f ( 3 4 2 ) 以c = e 印s m 矿唧 署卜卜歹k 虿o i 呲啪m v w a p 一r 矿k 2 虿c o ls i n ( 2 c o p t ) c o s 0 出 ( 3 4 3 ) 由整数阶贝塞耳函数以的生成函数公式，可得到以下两个结果 所以函数j ( 田) 的表达式中的指数部分可以转换成含贝塞耳函数的形式 c x p t 私卜等号s i n ( o n e t ) s 洫觚毒杀s i 叫z c o ) c o 叫， * e x p 百i c o 【吖一事罢8 i n ( 绵妒c o s 妒+ 墨8 y 二：旦c o ps 似2 哆明 = e x p ( i i c o 啤f ) 。e x p 附s i n ( 哆) 】e x p 眇s i n ( 2 明 = c x p 百i ( o 叫圭厶( 咖叫耋以( ( 3 4 5 ) = e x p ( 詈f ) 芝厶( ) 以( e 伽州吖 ”im 。1 = 。耋。拍) 以( 咖哪 上式中，“：一墨竺口c 。s 矿， y p r 。= 旦一所一2 n q 川o 以 以 。一。一 ! 薹 耐 杪 炒一 竺咋 堡矿 f 中国科学技术大学硕士学位论文 关于相对论电子辐射的若干研究 假定波荡器为无限长，则对波荡器而言，在不考虑电子在波荡器不同周期 中发出的辐射相互干涉的情形下，式( 3 4 2 ) 和( 4 4 3 ) 中的时间t 的积分 区间应为电子在波荡器一个周期中运动的时间；( 一去，匆即 ( 一三，与。 口pf o p 根据下列积分结果 垂黟饥薏百s i n r j r 回 j 唾_ e m c o s 。唧拈薏恙百s i n p 钐r j， 4” ( 3 4 7 ) 并由式( 3 4 5 ) ，可计算出式( 3 4 2 ) 和( 3 4 3 ) 中的以( 甜) 和4 ( 出) 在一个波荡 器周别盯积分区1 日j 冈阳积于结果 枷，= 砂c 屈o c o s # - 扣删。主以栅 卅唑芑啪w 叻薏。专笋一等圭帕帅薏。禹驾笋 = 瓦2 7 r 百s i n r j r 薹圳埘陋叫号等) 4 s ， 4 ( ) ：虚出a o 。i n 矿主厶( “) 厶( v ) e 辑蟛 2 薏+ 絮笋圭删榭黔i n 妒 的， 所以，在波荡器的一个周期内，单电子辐射出的每单位频率间隔每单位立 体角的辐射能表达式为： 蛊= 尝岳0 4 ( 功r + k ( 圳2 ) = 器 薏1 s i n p f t 。耋l 缸豫c 。 2 ( 即c o s 妒一等苦丁+ 绽谚s 一 c 3 5 0 ， 考虑波荡器具有n 个周期，当角度日满足条件 中犀科学技术大学硕士学位论文关于相对论电子辐射的若干研究 专一九c o s 口= 咄 ( 3 5 1 ) 时就可以产生干涉现象，上式中五：孕是相干辐射谱中基频光的波长。 对( 3 5 1 ) 式加以推导，就司以得到结果 1 一万c 湖：娑：生 ( 3 5 2 ) 从而验证了式( 3 3 9 ) 中的c o i 就等于上式中的c o ，即相干辐射谱中基频。 因此，在相干情形下，波荡器中相邻周期的电子辐射在时间上相差 岔；当一a 。c o s 0 ( 3 5 3 ) p c c 令5 ：c o a t ：每_ 屯c o s o ) ：丝 ( 3 5 4 ) l ，c c 。 由式( 3 4 5 ) ，相邻周期的电子辐射频谱应相差因子p 岱。所以，对具有n 个周期 的波荡器，当考虑不同周期的电子辐射相互干涉时，波荡器总的辐射频谱应当 为： 工：笠1 1 + + 。m + m 一( 咖1 2 d ( 9 d f 2d ( 9 d q 。 。 ， 一榭 ， s i n 2 n o (355)sinz ：! 生一! 生i ” d ( 9 d o s i n 2 至d c o d qs i n 2 旦 2(gs 将式( 3 4 5 ) 代入上式，可得到 d ：，e 2 ( 9 22 万s i n r 万8 m f 十一一 妇m 4 矿。兄石 s i i l 詈 ( 3 5 6 ) 、j j v7 - 圭拍删2 陋删号苦2 2 靠叫 上式中的一个因子，函数f ( 驴学2 在r = k + m + 2 n = o 处取得极大值 中国科学技术大学硕士学位论文关于相对论电子辐射的若干研究 1 ，在冠为其它的地方约等于0 ，因此，式( 3 5 6 ) 可以简化为 蕊d 2i = 器陪面s i n ( k n 万n ) 羔c 刮u 鹕c 。卜2 n 毋眦2 热心妒挪， 3 4 一般情形下圆周运动的辐射 本章第一节中所叙述的电子在弯铁中的辐射是指极端相对论性电子的辐 射，其结果与非相对论性电子作圆周运动是发出的辐射有着较大的不同。本节 给出了一般情形下圆周运动的辐射频谱，这些结果对计算当电子运动轨迹较复 杂时所发出的辐射有着重要的作用( 可参考第五章中“作螺旋运动电子的辐射 频谱”一节) 。 对一般情形的圆周运动，电子轨迹如图3 3 所示 图3 。3电子作圆周运动时的坐标 电子在x y 平面中运动，瞬时曲率半径为p ，圆周运动的角频率m = 三单 p 位矢量孬选在x - - z 平面上，；与x 的夹角为伊。当护很小时，才会有较强的辐射。 选取坐标时，使粒子在坐标的原点。 由图i i 1 可得 中国科学技术大学硬士学位论文关于相对论电子辐射的若干研究 元= 吃s i n o + 乏c o s o ( x z 平面) ( 3 5 8 ) 庐 毛s i n ( q f ) + 瓦c o s ( q f ) ( x y 平面) ( 3 5 9 ) 式( 3 5 8 ) 和( 3 5 9 ) 中的瓦，瓦，五分别为x ，y ，z 方向的单位矢量。利用式 ( 3 5 8 ) 和( 3 5 9 ) ，对于作圆周运动的相对论性电子，辐射频谱公式( 2 2 2 ) 中的被积函数的矢量部分可表示如下 i i x 历= p 夕) 元一矽 = 户卜毛s i n ( q f ) + s i n 口c o s ( q f ) ( 己c o s 口一瓦s i l o ) ( 3 6 0 ) 电子的轨迹为 f ( t ) = e x p s i n ( n y l t ) + e y p 1 - c o s ( c o l t ) 】 ( 3 6 1 ) 所以， 再尹( f ) = p s i n ( w ：) e o s o ( 3 6 2 ) 由第二章的结果，孔) = ( 翁匾厕的傅立叶变舰国) 衲= 去厕黝 嘲；删柳惘a ， 确( 去 5 h i 懈s ( 啪( 乏如o c o s o - 砷锄m 毗詈s i n c o t c o s 郫， 砌( 彘p e “ 删弓瑚贬s i n o c o s o - 砷2 回 出 ( 3 6 3 ) 上式中 刖= 唧卜p s i n ( o 。) c o s o = e x p - i a ，掣 s i n ( q f ) e o s ( d o ) 均为时间t 的周期函数，周期t = 2 x w t ，故可将其展开成傅立时级数形式 ( 3 6 4 ) 中国科学技术大学硕士学位论文关于相对论电子辐射的若干研究 尸( ，) = 工口一蛾， c o = n c o , 上式中 z = 堕2 z tl 唾z - - f ( r ) 啦坼d ， 令妒= c o , t 则 五= 西1 f ( f ) 嘭坳如 = 去旷”静s i t t 圆伊 = 以( 丝c o s d 同样可令 g o ) = 岛e - w ， c o = n o o , 则， 岛2 嘉乓g m = 去”蛳c o s 耐妒 = 点矗( 丝c o s o ) o p p c o s 护c 上述推导过程中用到了下列特殊函数 所以， e 。”血ds i nc # d v = i j 增) 恬c o s 彬矿。手n 以( 孝) 2 2 ( 3 6 5 ) ( 3 6 6 ) ( 3 6 7 ) ( 3 6 8 ) ( 3 6 9 ) ( 3 7 0 ) ，-_c 。一撕。一妨 ，cll 中国科学技术大学硕士学位论文 关于相对论电子辐射的若干研究 硒脚m ( 鑫) i e “即x e ；s i n 8 c o s 8 - 酗n 2 d 出 砌( 丽e 2 ) 互即刊+ ? 孵s m 觚峨咖2 印 川 = 缈( 鑫 j 圭 獭一嘲，l ( 警c o s 口) 弓 + r 南以降c o s p ) ( 砷觚峨s m 2 目) 一般情形下圆周运动的电子辐射频谱 蛊= z 刚2 = 砺c 0 2 e 2 2 匡以? 侧l 降c o s 刁弓+ 7 z ， + ，易厶睁c o s 刁幢咖口o o s 臼一瓦甜口) 2 2 3 第四章非理想注入粒子在u n d u l a t o r 中的运动及其辐射 上个世纪6 0 年代，同步辐射开始成为一种光源。到目前经历了从一代、二 代到三代的发展历程。波荡器o d n d u l a t o r ) 是第三代光源上插入元件的一种，电子 通过波荡器时多个周期发出的辐射的相干叠加，由此可以大幅度提高光源亮度。 当今科学界在酝酿下代光源第四代光源，各种方案中，短波长( 高增益) 自由 电子激光最有希望取得成功。在自由电子激光装置中，波荡器也是一种核心部件。 因为波荡器在同步辐射光源以及新光源中的重要性，研究相对论性电子在波 荡器中的运动与由此产生的电磁辐射具有基础的重要性。在光源界的通用工作手 册，在一些教科书中均列有相关的一些结果。然而，所有的这些结果，都是在假 设电子是理想入射( 沿波荡器轴线方向正入射) 的情形下得到的。在一个现实的光 源装置中，电子以束团的形式入射。束团具有一定的发射度，因此电子速度方向 有一定分布。因此，研究非理想注入粒子在波荡器中的运动与辐射具有一定的意 义。波荡器通常有平面型与螺旋形两种，本文限于讨论平面型波荡器。 4 1 非理想注入粒子在u n d u l a t o r 中的运动轨迹 电子在电磁场中运动的h a m i l t o n 量为 日= 陋e 4 ) 2 c 2 + m 2 c 4 ，坳= 缈2 + 印 ) 对于平面型u n d u l a t o r 磁场若取一维近似，取波荡器轴线方向为z 轴，其磁 感应强度如下给出 秀( z ) = 岛c o s ( 丸z ) 髟 ( 4 2 ) 其中风、厶、毛为常数，分别为波荡器磁感应强度峰值、周期和波数。忽略光场 对电予的作用，电子入射波荡器以后只受到上面( 1 ) 式磁场的作用。相应( 1 ) 式的 磁矢势可取为 j ( z ) = 4s i n ( 吒z ) 色， 4 = 导， ( 4 3 ) 标量势可取为零。电子在u n d u l a t o r 磁场中运动的h a m i l t o n 量为 ! 里壁兰茎查查兰婴主竺竺笙查叁主塑型兰皇三塑墅竺茎i ! 翌壅 日：f ( 多一e a o c o s ( 丸z ) 瓦) 2 矿+ 舻 = y m c 2 ( 4 4 ) h 不显含时间，故h 为守恒量。电子能量即t 在u n 叫蝴磁场中运动不变。电 子运动方程 俨等- 0 ，岛一等扎阵5 1 屯= 一警= 去( 以一以) k a c o s 上式可见，风，西亦均为守恒量，即有 n = 畦+ 以= y m v o ，( 4 6 ) p v = ”嘀) + e a y 2 y m v o y 由此得 令k = 云a = 忑- 毗e ，在文献里有好几个名词：波荡嚣参数、无量纲化 磁场、无量纲化磁矢势等。则有 料，+ 宰s i n ( 4 8 ) b 2 v o y ， 沿z 轴的速度大小由下给出 咖v z 吖q - v 2 飞z w 一华s i n 铲等s i n 2 ( 4 9 ) 或者 咖肛飞：一华s i l l 铲擎耐缸 - c 2 舻2 华s i n 妒等s i n 2 屯z ( 4 1 1 0 ) 。一嘉一等一争s 嘶+ 等c o s 2 乃 z 屯 暑 如 。一缈 一 = 以 旦加 一 ， = j f x y = = 吃 b 中国科学技术大学硕士学位论文关于相对论电子辐射的若千研究 其中户o z = v o 以，) 恬= ( 1 p 孑) 4 尼。 正入射情形v o x - - - - v o y = 0 ， 心= 丝s i n 吒z ，k = o ，( 4 1 1 ) 而 咖十等) 一等c o s 2 忙十卦等锄如习 波荡器参数k 较小，一般而言在o l o 范围内，而对于相对论电子，y 很大往往 达到上千，从而上式右边第二项远小于第一项，这样 v j = 肝2 再1 琴k 2 c 2 瓦七专 + 等锄屯z 甜等疵缸 = 砭+ 呓， 其中p 2 i 1 2 s 1 2 1 - ( 1 卅昀【2 们。上式对时间积分得 z = 匕d r = 言+ 气 手= c 晰一t o ) ，= l 一可i + k 2 毛= p ，= i i o 矿k 2 c 删吒础“l 参础础 = 参卜2 屯训f - f d ) 拈i 丽k 2 s i n 2 屯训) 或者 z m c ( r 一岛) + i 歹i g j 云2 万i s i i l 2 吒c ( ，一岛) ( 4 1 4 ) 耩向i 云云 i ) ，2 ， 吼+ i o v 。, d t = x o + i o - 瓜7 - - s i n 屯础吲宰s m 屯础 = 而+ - 缸7 - s i n 彬( ，) d t = x o + m 2 k i 1 - c 。s 屯砌一f o ) 2 6 中国科学技术大学硕士学位论文关于相对论电子辐射的若干研究 综合上面结果，正入射情形电子在u n d l l l a t o r 磁场中运动如下给出 x = 而+ ，, 吒i l k ，。 1 一c o s 屯c 卢o f o ) ， y = ， ( 4 1 6 ) z z 印( f 一，o ) + 研k 万2 s i l l 2 屯c 肌一f o ) 斜入射情形v o 棚或v o r o ， 咖十等 - v o ，2 - r o y 2 - 挚毗z + 等锄 同样由于波荡器参数k 较小，一般而言在0 1 0 范围内，而对于相对论电子，1 ， 很大往往达到上千，而v o ，【和v o ，均很小，由上式得 其中 心= c 相应的 叫 1 - 上一矿k 2 f 2 k v 。 y cs i n k ：+ 2 等2 2 y o , 2c o s 2 屯刁叫l 卜一一矿哪地1 = 瓦十e 砭十去一针础， 肛- 一琵1 一等 吒一争s m 协等c o s 2 吒z