（微电子学与固体电子学专业论文）光纤中自相似超短脉冲的特性研究.pdf

华南师范大学博士学位论文 光纤中自相似超短脉冲的特性研究 学科专业：微电子学与固体电子学；研究生：冯杰；导师：徐文成教授 摘要 论文基于非线性g i n z b u r g l a n d a u 方程( g l e ) ，对增益光纤中自相似脉冲形 成的物理机制进行了深入的研究，对真实掺杂稀土元素的光纤放大器和激光器 中自相似脉冲的特性及其应用进行了系统的探索。论文共五个部分： 第一部分，介绍了自相似的定义和自相似光脉冲的含义，系统地介绍了国 内外( 主要是国外) 对自相似脉冲的研究进展，概述了光纤中自相似脉冲的最 新理论与实验研究结果。对稀土元素掺杂光纤放大器、喇曼光纤放大器、光纤 激光器、色散渐减光纤中自相似渐近形脉冲的演化特性作了深入细致地描述。 并在此基础上对自相似脉冲在光纤通信中的应用做了介绍。指出自相似脉冲在 光纤中的应用前景以及目前研究中有待解决的问题。并由此提出了本论文的研 究主题。 第二部分，首先建立了超短脉冲在正色散区色散掺杂光纤中传输的常系数 g l e 。在忽略高阶色散和高阶非线性效应条件下，利用对称约简( s y m m e t r y r e d u c t i o n ) 自相似分析方法，分别严格求解了常系数和变系数g l e 的抛物渐近 自相似脉冲的振幅、啁啾以及脉冲宽度的具体解析形式，详细地讨论了基于常 系数和变系数g l e 描述的抛物渐近自相似光脉冲的演化特点，并与数值解进行 了对比。接着，通过对称约简的解析方法，严格求解了高阶色散常系数g l e 的 自相似脉冲解析解，研究了三阶色散对自相似光脉冲演化影响。最后，基于正 色散区色散掺杂光纤中传输的常系数g l e ，通过数值方法，详细研究了增益色 散对抛物渐近自相似光脉冲演化影响；详细研究了微结构掺杂增益光纤放大器 ( m f a ) q ，各级高阶色散和非线性效应对抛物渐近自相似光脉冲演化的影响， 结果表明：自陡效应对自相似光脉冲演化产生重要影响，通过适当的m f a 几何 华南师范大学博士学位论文 参数、色散系数和非线性系数大小的选定，可以获得高质量的自相似演化光脉 冲输出。 第三部分，继续应用对称约简的自相似分析方法，同样基于正色散区色散 掺杂光纤中传输的常系数g l e ，从理论上分别分析了在二阶色散偏振效应和高 阶色散效应两者情况下，考虑双折射偏振效应的单环光纤放大器中自相似光脉 冲演化的一些基本特征，其是进一步研究单环光纤激光器中自相似光脉冲的产 生、锁模和压缩的必要理论准备。 第四部分，是第二部分研究成果的应用。首先，利用变系数g l e 的抛物渐 近自相似脉冲解析解的结果，研究了二阶色散系数纵向双曲型变化和纵向指数 型变化的色散渐减光纤中( d d f ) 自相似脉冲的振幅、啁啾以及脉冲宽度的具 体特性，并与数值解进行了对比，证实了在d d f 中，在等效增益色散因子的影 响下，脉冲的演化具有抛物型自相似特性。进一步通过数值方法，详细地研究 了三阶色散对d d f 光纤放大器中的自相似光脉冲的影响。结果表明，高阶色散 显著影响d d f 中自相似脉冲的抛物渐近形状，但是，仍然保持线性啁啾。然后， 根据自相似光脉冲的演化特征以及真实掺杂增益光纤的色散特征，基于单环光 纤激光器偏振旋转锁模的特点，研究了单环自相似激光器的两个设计方案：“自 相似飞秒脉冲光纤激光器”和“自相似飞秒脉冲掺铒光纤激光器”，此方案已经申 请国家发明专利； 第五部分，论文的研究结论、存在的问题和展望。 关键词：抛物自相似光脉冲；g i n z b u r g - l a n d a u 方程( g l e ) ；线性啁啾；正常二 阶g v d ；增益色散；三阶色散( 1 i o d ) ；光纤放大器和光纤激光器 i i 华南师范大学博士学位论文 t h es t u d yo ft h ec h a r a c t e r i s t i co f s e l f s i m i l a ru l t r a s h o r tp u l s e i no p t i cf i b e r s m a j o r ：m i c r o e l e c t r o n i c s & s o l i d i t ye l e c t r o n i c ；d o c t o rc a n d i d a t e ：f e n g j i e ： s u p e r v i s o r - p r o f x uw e n c h e n g a b s t r a c t b a s e do i lg i n z b u r g l a n d a ue q u a t i o n ( g l e ) ，t h ep a p e rh a ss y s t e m a t i c a l l y s t u d i e dt h ef e a t u r e s ，t h ef o r mo ft h ep h y s i c sm e c h a n i s m ，a n dt h ed e s c r i p t i o no f m a t h e m a t i c sm e t h o d so ft h ep a r a b o l i ca s y m p t o t i cs e l f - s i m i l a rl i g h tp u l s ew h i c hi s p r o d u c e di nd o p e dr e a l i s t i cf i b e ra m p l i f i e ra n dl a s e r t h ep a p e r i so r g a n i z e db yf i v e p a r t sa sf o l l o w s ： i np a r to n e ，t h ed e f i n i t i o no ft h e s e l f - s i m i l a r a n d s i m i l a r i t o n i si n t r o d u c e d a tf i r s t ，t h ep r o g r e s so fb o t ht h e o r e t i c a la n de x p e r i m e n t a lr e s u l t sa b o u tp a r a b o l i c a s y m p t o t i c s e l f - s i m i l a r p u l s ei sc o m p r e h e n s i v e l yi n t r o d u c e d e s p e c i a l l y , t h e e v o l u t i o np r o p e r t i e so ft h es e l f - s i m i l a rp a r a b o l i ca s y m p t o t e sp u l s ei nt h er a g e - e a r t h d o p e do p t i c a l f i b e r a m p l i f i e r , r a m a n f i b e ra m p l i f i e r , f i b e r l a s e ra n d d i s p e r s i o n - d e c r e a s i n gf i b e r ( d d f ) a r eg i v e ni nd e t a i l m e a n w h i l e ，t h ea p p l i c a t i o n o f t h es e l f - s i m i l a rp u l s et oo p t i c a lf i b e rc o m m u n i c a t i o ni sa l s op r e s e n t e d ，a n dt h e p r o s p e c ta n d t h ep r o b l e m st ob es o l v e di nt h er e s e a r c ho fs e l f - s i m i l a rp a r a b o l i cp u l s e a 代p o i n t e do u t a n dt h ep r o b et h e m eo f t h ep a p e ri sp r o j e c t e d i np a r tt w o ，a tt h eb e g i n n i n go fs u b s e c t i o n1 ，g i n z b u r g - l a n d a ue q u a t i o nw h i c h d e s c r i b e su l t r a - s h o r tp u l s ei nn o r m a lg r o u p - v e l o c i t yd i s p e r s i o n ( g v d ) r e g i o no f d o p e do p t i cf i b e r s i sc o n s t r u c t e d t h e nt h em e t h o d sb a s e do nt h et e c h n i q u eo f h i 华南师范大学博士学位论文 s y m m e t r yr e d u c t i o n , t h ep a r a b o l i ca s y m p t o t i cs e l f - s i m i l a ra n a l y t i c a lr e s o l u t i o n sa r e f o u n df r o mt h ec o n s t a n tc o e f f i c i e n t so fg l et h a tc o n s i d e r st h ei n f l u e n c e ( g a i n d i s p e r s i o n ) o ft h ed o p e df i b e rr e t a r dt i m eo ne v o l u t i o no ft h es e l f - s i m i l a rp u l s e i n s u b s e c t i o n2 ，t h ev a r y i n gc o e f f i c i e n to fg l eo ft h ep a r a b o l i ca s y m p t o t i cs e l f - s i m i l a r p u l s ea r ea l s og i v e nb yt h em e t h o d sa ss u b s e c t i o n1i nl o n g i t u d i n a lv a r y i n gn o n l i n e a r p a r a m e t e rf i b e r s a n di nl o n g i t u d i n a l g a i nd i s t r i b u t i o nr e s p e c t i v e l y a n dt h e s e t h e o r e t i c a lr e s u l t sh a v ec o n f l r r n e dw i t hn u m e r i c a ls i m u l a t i o n s i ns u b s e c t i o n3 ，t h e p a r a b o l i ca s y m p t o t i cs e l f s i m i l a ra n a l y t i c a lr e s o l u t i o n sf r o mt l l i r d - o r d e rd i s p e r s i o n ( t o d ) e f f e c to fc o n s t a n tc o e f f i c i e n tg l e a lef o u n db yt h em e t h o d sb a s e do nt h e t e c h n i q u eo fs y m m e t r yr e d u c t i o n a n dt h e s et h e o r e t i c a lr e s u l t sa r ea l s oc o n s i s t e n t 晰mn u m e r i c a ls i m u l a t i o n s i ns u b s e c t i o n4 ，c o n s i d e r i n gg a i nd i s p e r s i o na n dt o d e f f e c t so nt h es e l f - s i m i l a rp a r a b o l i cp u l s ep r o p a g a t i o na r es y s t e m a t i c a l l ya n a l y z e db y n u m e r i c a ls i m u l a t i o n sm e t h o d t h en u m e r i c a lr e s u l t ss h o wt h a tt h eh i g h e r - o r d e r e f f e c t sb a d l yd i s t o r tt h es e l f - s i m i l a rp a r a b o l i cp u l s es h a p ea n do p t i c a ls p e c t r u m t h e p e a ks h i f ta n do s c i l l a t o r ya p p e a r t h ep u l s es t i l lr e v e a l sh i g h l yl i n e a rc h i r pb u tg r o w s i n t oa s y m m e t r y i nt h el a s ts u b s e c t i o n ，c o n s i d e r i n gh i g h e r - o r d e rd i s p e r s i o ne f f e c t s a n dh i g h e r - o r d e rn o n l i n e a re f f e c t so nt h es e l f s i m i l a rp a r a b o l i cp u l s e ，t h ep r o p e r t i e s o ft h es e l f - s i m i l a rp a r a b o l i cp u l s ep r o p a g a t i o ni nam i c r o - s t r u c t u r e df i b e ra m p l i f i e r ( m f a ) w i t hn o r m a lg v d a r ea l s os y s t e m a t i c a l l ya n a l y z e db yn u m e r i c a ls i m u l a t i o n s m e t h o d i ts h o w st h a tt h es e l fs t e e p e n i n gp l a y sam o r ei m p o r t a n tr o l e a n dt h e g e o m e t r i c a lp a r a m e t e r so ft h em f a c a nb em a n i p u l a t e dt og e ts u i t a b l ed i s p e r s i o na n d n o n l i n e a r i t i e sv a l u e sw h i c hw i l lk e e ph i g hq u a l i t ys e l f - s i m i l a rp a r a b o l i cp u l s e p r o p a g a t i o n i np a r tt h r e e ，t h ep o l a r i z a t i o nv e c t o rp u l s ee v o l u t i o no fg l ea n a l y t i co f s e l f - s i m i l a rs o l u t i o n s ，a n dh i g ho r d e rd i s p e r s i o no fp o l a r i z a t i o ne f f e c to fg l e a n a l y t i co ft h es e l l s i m i l a rs o l u t i o n sa r eg i v e nb yt h et e c h n i q u eo fs y m m e t r y r e d u c t i o ni ns u b s e c t i o n1a n ds u b s e c t i o n2r e s p e c t i v e l y i np a r tf o u r , s o m ea p p l i c a t i o n so ft h es e l f - s i m i l a rp u l s et or e a l i s t i cf i b e r i v 华南师范大学博士学位论文 a m p l i f i e ra r eb a s e do nt h er e s u l t so ft h ep a r tt w oi nt h ep a p e r i ns u b s e c t i o n1 ，t h e p a r a b o l i ca s y m p t o t i ca m p l i t u d ef u n c t i o n , s t r i c tl i n e a rp h a s ec h i r pa n dt h ee f f e c t i v e t e m p o r a lp u l s ew i d t ho fs e l f - s i m i l a rp u l s ew i t hg a i nd i s p e r s i o na l eg i v e ni nd d f o f l o n g i t u d i n a le x p o n e n t i a ld i s t r i b u t i o na n dh y p e r b o l i cd i s t r i b u t i o nr e s p e c t i v e l y a n d t h e s et h e o r e t i c a lr e s u l t sh a v ec o n f i r m e dw i t hn u m e r i c a ls i m u l a t i o n s i ns u b s e c t i o n2 ， c o n s i d e r i n gh i g h e r - o r d e rd i s p e r s i o ne f f e c t ，t h ep r o p e r t i e so f t h es e l f - s i m i l a rp a r a b o l i c p u l s ee v o l u t i o ni nad d f 、析t l ln o r m a lg v d a l ef i r s t l yi n v e s t i g a t e d t h er e s u l t ss h o w t h a tp a r a b o l i cp u l s e sa l ed i s t o r t e da n dt h ec h a r a c t e r i s t i co fe x a c t l ys e l f - s i m i l a r i t yw i l l b el o s td u et ot h eh i g h e r - o r d e rd i s p e r s i o n b u tt h ep u l s es t i l lr e v e a l sh i g h l yl i n e a r c h i r p i n l a s ts u b s e c t i o no ft h ep a r t ，a c c o r d i n gt ot h e p r i n c i p l eo fn o n l i n e a r p o l a r i z a t i o nr o t a t i o nt e c h n i q u ei nd o p e df i b e rs i n g l er i n gl a s e r , t w od e v i s es c h e m e so f t h es e l f - s i m i l a rp u l s ef i b e rl a s e ra r ep r o j e c t e da n dh a v ea p p l i e df o rs t a t ei n v e n t i o n p a t e n t t h el a s tp a r to ft h ep a p e ri st h ec o n c l u s i o n si i lt h es t u d y , p r o s p e c tf o r a p p l i c a t i o n so ft h es e l f - s i m i l a rp u l s et oo p t i c a lf i b e ra m p l i f i e ra n df i b e rl a s e r a n dt h e p r o b l e m st ob es o l v e di i lt h er e s e a r c ho f t h es e l f - s i m i l a rp a r a b o l i cp u l s ea l ep o i n t e d 0 u t k e yw o r d s ：p a r a b o l i ca s y m p t o t i cs e l f - s i m i l a r i t y , g i n z b u r g l a n d a ue q u a t i o n ( g l e ) ，l i n e a rc h i 巾，n o r m a lg v d ，g a i nd i s p e r s i o n , t h i r d - o r d e r d i s p e r s i o n ( t o d ) ，f i b e ra m p l i f i e r sa n df i b e rl a s e r v 华南师范大学学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文是本人在导师的指导下，独 寥进行研究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论 文不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的研究成果。对本文 的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以一明确的方式标明 本人完全意识到本声明的法律结果由本人承担 论文作者签名： 日期：2 非 学位论文使用授权声明 本人完全了解华南师范大学有关收集、保留和使用学位论文的规 定，即：研究生在校攻读学位期间论文工作的知识产权单位属华南师 范大学。学校有权保留并向国家主管部门或其指定机构送交论文的电 子版和纸质版，允许学位论文被检索、查阅和借阅。学校可以公布学 位论文的全部或部分内容，可以允许采用影印、缩印、数字化或其他 复制手段保存、汇编学位论文。( 保密的论文在解密后遵守此规定) 保密论文注释：本学位论文属于保密范围，在年后解密适用 本授权书。非保密论文注释：本学位论文不属二f 保密范围，适用本授权 书。 论文作者签名： 日期渺多年6 月乡曰 华南师范大学博士学位论文 第一章自相似脉冲的研究进展 本章首先介绍了自相似的定义和自相似光脉冲的含义，说明了本论文的结构安排。 然后，以较大的篇幅从理论分析、数值模拟、实验研究和应用等方面详细介绍了国内 外对自相似光脉冲的研究进展，指出了自相似光脉冲研究取得的成果和存在的不足， 提出了本论文研究的课题和研究的意义。 1 1 1 自相似的定义 1 1 序言 自相似是自然界的一种普遍现象，非线性科学的分形理论指出，自然界中，物质 的分形是指物质的组成部分以某种方式与其整体相似的形【1 1 。广义的说，分形是指一类 无规则、混乱而复杂，但其局部与整体又相似的体系，称这样的体系为自相似体系。 早在1 9 8 1 年，m j a b l o w i t z 和h s e g u r 就指出信号传输的自相似解( s o l u t i o no f s e l f - s i m i l a r i t y , o rs o l u t i o no fs e l f - s i m i l a r ) 和孤子解( s o l i t o n ) 都存在于非线性薛定谔方程 ( n o n l i n e a rs c h r 6 d i n g e re q u a t i o n ，n l s e ) z 中 2 1 。类比于光纤孤子，现在也有人称这种 脉冲为相似子( s i m i l a r i t o n ) 1 3 。自相似特性在物理学及其他学科中有着广泛的研究和应 用，比如，流体动力学、凝聚态物理、等离子体物理、量子场论和生物物理学等领域m 。 在光学领域，近十几年来，自相似性在研究光辐射模式的形成【6 1 、h i l l 光栅的生长1 7 l 、 受激喇曼散射【8 】、自写波导的演化【9 】和光波塌陷【1 0 l 中取得了一定的进展。 自相似光脉冲是在光纤正色散区域( n o r m a lg r o u p - v e l o c i t yd i s p e r s i o n ，n o r m a lg v d ) 带有增益的恒定系数或变系数广义的非线性薛定谔方程( g e n e r a t i o nn o n l i n e a r s c h r 6 d i n g e re q u a t i o n ，g n l s e ) 描述的一簇解。自相似光脉冲有许多种类型，取决于 增益光纤介质中色散系数、增益系数和非线性系数之间的制约关系。在增益光纤中， 如果其二阶色散系数与非线性系数的乘积为定值的情况下就可以产生所谓的抛物渐 近自相似( p a r a b o l i cs e l f - s i m i l a r ) 【1 1 1 。 众所周知，普通光孤子在功率提高时会产生光波分裂而无法获得高功率传输，尽 华南师范大学博士学位论文 管色散管理孤子可以承受比普通孤子大一个数量级的非线性相移，但其脉冲能量也只 能比孤子能量大同样的倍数。自相似光脉冲具有三个显著特点【屹 13 】：其一，自相似特性 只由入射脉冲的能量和光纤参数决定，而与初始脉冲的形状无关，入射脉冲能量都可 以全部转化在输出的自相似脉冲之中：其二，自相似脉冲在高功率传播时，其形状不 改变，具有抵御光波分裂的能力；其三，自相似脉冲具有严格的线性啁啾，易于进行 高效的脉冲压缩，获得高功率、无基座的近似变换极限的飞秒量级光脉冲。这与众所 周知的n l s e 在没有增益的情况下的孤子解是不同的，因为在没有增益的情况下，给 定的初始脉冲最终演化成一个具有固定振幅的孤子，其余的能量则以色散波的形式散 发掉。简而言之，自相似光脉冲的最显著特点是其在演化的过程中，脉冲的时域宽度 和频宽同时展宽，从而通过增益介质获得很高的能量。因此，光纤中脉冲的自相似性 特性，对于高功率的超短脉冲输出以及科学研究等领域具有非常重要的应用前景【1 4 l 。 1 1 2 本论文研究的意义 目前，国外对光纤光学领域的自相似光脉冲进行了广泛而热烈的研究，在数值模 拟和实验方面取得了较大进展( 本章第二节专门介绍) ，但是，在国内的相关研究还不 多。即使在解析求解的理论分析方面，国外也进展不大，2 0 0 7 年才引起较大的关注。 迄今为止，理论上主要是基于在光纤正色散区域带有增益的恒定系数或变系数的 二阶色散非线性薛定谔方程( n l s e ) 的自相似解的特性分析。实际上，n l s e 的解析 求解非常困难，逆散射方法以及拉格朗日函数等方法的数学过程都非常复杂，而且物 理机制的意义不是很清晰，所以，人们在近十几年来，都大量采用所谓对称约简自相 似分析方法，v i k r u d o v 、a c p e a c o c k 、j d h a r v e y 、j m d u d l e y 和s l l i h 崛c h e n 等人 是最早运用该方法较完整详细地求解了n l s e 的自相似解i 卜1 4 】。 数值模拟方面，主要研究了在纵向恒定分布参数的增益光纤、普通光纤中的受激 喇曼效应、色散渐减光纤、光纤布喇格光栅以及光子晶体中产生自相似脉冲的特性 0 5 - 1 7 】 o 在实验原理上，研究了光纤放大器产生自相似脉冲的许多方法，可以采用增益参 数纵向恒定分布、纵向指数分布、光纤的受激喇曼效应和色散渐减光纤等方法【1 1 4 7 1 。 自相似光纤激光器的研制需要解决自相似脉冲演化的反馈以及自相似脉冲的锁模问 2 华南师范大学博士学位论文 题。所以，在实验上，到目前还没有真正能够应用的普通全光器件，通过稳定的反馈 腔和较成熟的脉冲锁模技术获得自相似脉冲【i l 。3 4 1 。 国内外同行在以上三方面对自相似光脉冲的研究都是基于增益带宽为无穷大的二 阶非线性薛定谔方程。但是，在理论上用二阶n l s e 描述真实掺杂元素的增益光纤是 有缺陷的，因为没有涉及光纤掺杂元素的真实时间响应对脉冲演化的具体影响，也就 是没有考虑增益介质的有效带宽对信号脉冲带宽的制约作用；与此同时，上述研究也 基本上没有涉及高阶效应对增益光纤自相似脉冲演化的影响；然而，对于更短的脉冲 传输，这是必须加以考虑的。我们知道，在非线性光纤光学中，如果信号脉冲宽度乃 小于掺杂元素偶极子的弛豫时间t 2 ( i o t 2 的条件下，应当采 用g i n z b u r g l a n d a u 方程( g l e ) ，g l e 是由g n l s e 在一定条件下导出的非线性方程 2 9 1 。g l e 的增益色散项，描述了增益带宽对脉冲自相似演化的具体影响：g l e 的高阶 项描述了三阶色散、自陡以及受激喇曼散射对短脉冲自相似演化的具体影响。所以， 本论文正是基于g l e ，借助于对称约简自相似分析方法，展开了基于掺杂元素的真实 时间响应对自相似脉冲演化影响的具体解析分析和数值计算；与此同时，本论文较系 统地研究了增益光纤介质的变参数( 二阶色散系数、增益系数和非线性系数随脉冲演 化距离变化) 情况下，自相似脉冲演化的特性。在此基础上，本论文还从解析分析和 数值计算两个方面研究了高阶效应对自相似脉冲演化的影响：从解析分析方面，求解 了基于光纤双折射效应g l e 描述的两个正交偏振模的自相似光脉冲解析解。这些研究 在国内外的相关文献中未见报道。 所以，本论文的研究结论一方面具有一定的理论探索意义，将有助于进一步理解 真实掺杂光纤放大器中自相似脉冲演化的特性，同时也为实验研究光纤放大器和光纤 激光器中自相似脉冲的产生方法提供了重要理论依据和参考。 1 1 3 本论文的创新点 ( 1 ) 解析求解了基于常系数g l e 描述的自相似光脉冲解析解，其与数值解进行 了对比研究； ( 2 ) 解析求解了基于变系数g l e 描述的自相似光脉冲解析解，其与数值解进行 华南师范大学博士学位论文 了对比研究； ( 3 ) 解析求解了基于高阶色散效应g l e 描述的自相似光脉冲解析解，其与数值 解进行了对比研究； ( 4 ) 解析求解了基于光纤双折射效应g l e 描述的两个正交偏振模的自相似光脉 冲解析解； ( 5 ) 深入分析和论证了掺杂光纤放大器产生自相似光脉冲的条件、物理原理；通 过参数纵向变化掺杂光纤、d d f 和m f a 具体实例，数值计算分析了高阶效应下的演 化特性； ( 6 ) 最后，基于偏振单环光纤激光器旋转锁模特点，从理论上提出了单环自相似 激光器的设计方案，并且申报了国家发明专利。 4 华南师范大学博士学位论文 1 2 自相似光脉冲理论研究的进展 本节较全面地介绍了人们通过理论分析和数值模拟方法对自相似性光脉冲研究的 进展，这些研究结论都是基于二阶色散的n l s e 描述增益光纤展开的。如上序言所述， 有限带宽的真实掺杂元素的增益光纤中，其自相似性研究应当采用是g i n z b u r g l a n d a u 方程。 1 2 1 恒定增益光纤放大器中自相似脉冲演化的数学描述 超短光脉冲在含有增益的无限增益带宽的光纤介质中传输时所满足的非线性 s c h r 6 d i n g e r 方程( n l s e ) 为【1 0 - 1 3 1 ： ，警= 掣筹叫删譬甲( 1 - 2 - 1 ， 方程中，甲( 乙丁) 是脉冲在运动坐标系中的慢变包络振幅，屈国是光纤二阶色散系数， 厂( z ) 是光纤非线性系数，舴) 是增益系数。若屈= 屈( o ) 0 ，7 ( z ) = 7 ( 0 ) ，舴) = 0 ，则方 程( 1 - 2 1 ) 可以用逆散射方法( i n v e r s es c a t t e r i n gt r a n s f o r mi s t ) 求解。如果荆o ， 则无法用逆散射方法，需要用李氏代数的对称约简方法求解。 对于恒定增益的情形【1 3 l ，8 口g ( z ) = g o = g ，为了寻找方程( 1 2 1 ) 自相似解，设： 甲( z ，r ) = 叫( z ，丁) e x p i o ( z ，丁) 】 ( 1 - 2 - 2 ) 同时定义脉冲的能量为u o ) = e l ( z ，丁) 1 2 d t1 3 t 满足：泸u n e x p ( g z ) ，其中u n - - u ( o ) ， 是脉冲的入射能量。将方程( 1 - 2 - 2 ) 代入方程( 1 - 2 1 ) ，并假设： 4 ( z ，r ) = j z ) f ( z ，r ) = f ( z ) f ( 9 ) ( 1 - 2 - 3 ) ( z ，丁) = 伊( z ) + c ( z ) 严 ( 1 - 2 - 4 ) 方程( 1 - 2 3 ) 中的| 9 定义为自相似变量： 口= f2 ( z ) e x p ( - - g z ) t ( 1 - 2 5 ) 其中盼( z ) 描述了脉冲的峰值振幅随传播距离z 的变化；只$ 是归一化的无量纲函数， 其用来描述脉冲振幅演化的瞬时包络；相位方程( 1 - 2 - 4 ) 中的和c ( z ) 分别是脉冲 随传播距离变化的相位补偿函数和啁啾因子。通过以上变换可得f 、 9 和c 的耦合方 华南师范大学博士学位论文 程： 望d z = 肿q l - 2 - 6 ) ( 2 屈c 2 一i d c 1e x p g 劝1 9 2 一砉老= 了, 8 2 了f 2 万d 2 f e x p ( - 2 9 z ) 一2 ( 1 - 2 - 7 ) 由f ( 1 9 ) 的物理意义可知，在方程( 1 2 7 ) 中，当z 专时，必有譬等窘e x p ( - 2 9 z ) 。 成立。经过一系列复杂的运算解、只$ 、艄和c ( z ) 后，得自相似脉冲的振幅函 数( z n 和相位函数为： 酢= 厶e 冲( 弘t 一彝啦， 铆z ) ( 1 - 2 - 8 ) 警唧( j 2 咖轳g “2 。” 方程( i - 2 8 ) 和( i - 2 9 ) 是有增益n l s e 的自相似抛物型脉冲解的典型表式。其中， 当刖 乙( z ) ， 么( 乙d = 。而乙( z ) = 华e x p ( 了g z ) 定义为自相似抛物型脉冲 的有效宽度， 而且，4 = 三( 蒜户。方程( i - 2 - 8 ) 表明：自相似脉冲的形状只 与入射脉冲的起始能量有关，而与入射脉冲的形状和谱宽无关。 由方程( 1 - 2 9 ) 可得其线性啁啾为： 面：一丝：上r ( 1 2 1 0 ) o t 3 屈 方程( 1 - 2 1 0 ) 表明：自相似脉冲具有只与光纤参数有关的严格的线性啁啾。 由方程( 1 - 2 5 ) 和方程( 1 - 2 8 ) ，经傅立叶变换，可以得到自相似脉冲的频谱也是 抛物型的，即 ) 1 2 = 半e 坤( 细一南h 吲z ) ( i - 2 - i i ) 其中啪) 2 摇舾睁) 是自相似抛物型脉、冲的有效频谱宽度。 6 华南师范大学博士学位论文 1 2 1 1 恒定增益参数自相似抛物渐近脉冲解的完整表式少亿力 由方程( 1 - 2 3 ) 、( 1 - 2 5 ) 、( 1 - 2 8 ) 和( 1 - 2 9 ) 可得时域自相似脉冲渐近解的完整 表式： 、王，( 乙d = 么( z ，d e ) 叩【j 叫厶丁) 】 = a o e x p ( g z ) 1 一丽r _ _ l 1 v 2 e x p 眦硼，俳乃( z ) ( 1 - 2 - 1 2 ) 喇引警咖丽g 矿 其频域表式为：早( 乙) 2 忑1 e 甲( z ，丁) e x p ( f 国丁) 刀，由此可得自相似脉冲渐近线解 的频谱强度分布： 陬缈) 1 2 = 半e x p ( 细一南】，心) ( 1 - 2 - 1 3 ) o 2 j 功：i z l 。 其频宽为： 删= 和唧( 争 2 m ) 方程( 1 - 2 1 3 ) 、( 1 - 2 1 4 ) 表明，恒定增益系数的光纤介质，自相似脉冲频谱强度 也是抛物型的，其只由入射脉冲能量和光纤参数决定，而与初始脉冲的形状无关。 恒定增益系数的光纤介质中，脉冲演化的自相似抛物特性的结论都与数值模拟及 实验验证的结果一致【1 4 1 。 1 2 1 2 恒定增益光纤放大器中自相似脉冲的居间演化 在求解方程( 1 - 2 - 7 ) 时，作了：, 婴万d 2 f = 。的假定，即例s 乙( z ) 的区域，其自相 似抛物型脉冲的性质由方程( 1 - 2 1 2 ) 描述。这种情形在脉冲的高强度区域的中心附近 是成立的。但是，在低能量密度区域，比如脉冲的前后沿两翼附近，当z 一时，有 窘。成立。这个假定要求整个自相似解是沿着解析曲线的渐近线演化的，但是， 7 华南师范大学博士学位论文 即使在l 丁i 乙( z ) 时域范围内，譬等窘e x p ( _ 2 妫也不会趋于零，理论分析、数值模 拟和实验结果表明，自相似脉冲仍然是渐近演化的，即所谓的居间渐近演化 ( i n t e r m e d i a t ea s y m p t o t i ce v o l u t i o n ) 【1 15 1 ，其对应脉冲沿的低振幅部分。根据方程 ( 1 2 8 ) ，严格的自相似脉冲只有在z 专时才能够形成，也就是说，从信号脉冲入射 开始，脉冲演化一直处于居间渐近演化阶段。 设在i 丁i 乙( z ) 的区域，：l i m 窘o ，但是，这时方程( 1 - 2 7 ) 右边最后一项2 可以忽略。仍然假定在低能量密度区域的前后沿两翼附近的居间演化阶段，具有自相 似渐近解 彳。( z ，t ) = 尢( z ) 只( z ，t ) = ( z ) e ( 1 9 ) ( 1 - 2 3 ) 。( z ，丁) = 伊，( z ) + c ，( z ) 丁2 ( 1 - 2 - 4 ) 巩为中间演化自相似变量，其形式为： 巩= l 2 ( z ) e x p ( 一g z ) t ( 1 - 2 5 ) 方程( 1 2 3 ) ，和( 1 - 2 - 4 ) ，代入方程( 1 2 1 ) 中，按照前面同样的分析方法【1 4 】： 在h 乙( z ) 的区域，入射脉冲的居间演化自相似峰值振幅的传播函数为： 兀( z ) = 妥e 啾导z ) ；传播函数的振幅风依赖于入射脉冲的形状和光纤介质的分布参 v 二 数。其居间演化自相似变量为：巩：塑。则，可以得到自相似脉冲前后沿两翼附近 的振幅为 北耻击e x p ( 抄x p ( 一人黔i 驰) ( 1 - 2 - 1 5 ) 其中人= 矾，方程( 1 - 2 - 1 5 ) 显然表明，自相似抛物型脉冲前后沿两翼附近的振 幅是随丁作指数衰减的，不是抛物渐近型的。而且，衰减的快慢与入射脉冲的形状和 光纤介质的分布参数有关。 前后沿两翼附近的居间演化自相似相位函数为 8 。( z ) = 认z ) + g ( z i t 2 = q o + h z a , , 2 2 2 一琢t 2 ，i 丁i 砌 ( 1 - 2 - 1 6 ) 三z z p ，z 前后沿两翼附近居间演化自相似频率啁啾函数为 叫耻一鲁= 麦， i r l 驰) ( 1 2 1 7 ) 方程( 1 - 2 1 7 ) 显然与高强度区域即i t l l ( z ) 的啁啾方程( 1 - 2 1 0 ) 结果不同，即前 后沿两翼附近自相似频率啁啾与演化传播的距离z 有关，不再仅仅是时间的线性函数。 v i k m g l o v 等- a t l 4 1 用数值模拟方法对此进行了较为深入的研究，使用掺镱光纤放 大器的参数进行数值模拟的结论是：高斯型脉冲沿前后两翼小振幅的演化结果比双曲 正割型脉冲的两翼，更接近自相似抛物型脉冲的形状。其结论为：其一，低振幅居间 渐近线演化的振幅是按指数形状衰减的；其二，入射脉冲沿越陡，居间渐近演化越快， 其对主脉冲向自相似演化的影响随演化距离的增加