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基于混合笔束模型的三维电子剂量计算研究 核技术及应用专业 研究生勾成俊指导教师罗正明 在人类藉化学、免疫、抗生素疗法三大防治手段，基本上控制了以往主要 威胁人类健康的传染病之后，诸如肿瘤、心脑血管等非传染性疾病逐渐成为人 类健康的主要敌人，其中尤以肿瘤的危害为甚。世界卫生组织的报告表明：二 十世纪后期近三十年以来癌症发病一直呈上升的趋势。而我国相关的统计表 明：近年来，肿瘤已经成为死亡的主要原因。因此，开展对肿瘤治疗手段的研 究成为一个追切的课题。目前比较成熟的肿瘤治疗手段包括手术治疗、放射治 疗和化疗。其中放射治疗占了相当大的比例。 放射治疗特别适用于局部的具有一定外形的肿瘤。实施放射治疗的先决条 件是确定肿瘤的位置和判断肿瘤的生长范围。这可以由计算机断层扫描( 凹) 、 核磁共振( n m r ) 或正电子发射断层扫描( p e t ) 等技术手段来提供病人的三维 解剖信息。在此基础上医生确定出肿瘤区( c t v ) 和敏感组织( o a r s ) 。再和 医学物理学家一起定义照射靶区( p t v ) 。然后，利用放射治疗计划系统作病人 的治疗计划。 在放射治疗的临床应用上，剂量计算是一个基本的问题。无论从数学方法 还是从计算效率的角度，精确地计算电子束在人体中的剂量的空间分布都是一 件十分困难的工作。目前使用的计算电子柬剂量的算法包括m o n t ec a r l o 方法 和解析算法。前者包括m m c ( m a c r om o n t ec a r l o ) 方法和v m c ( v o x e m o n t ec a r l o ) 方法等。而解析算法是在f e r m i e y g e s 多次散射理论的基础上发展起来的比 如p b r a ( e i e c t r o d 3 e n c i 卜b e a mr e d e f i n i t i o na l g o e i t h m 以及本文所使用 的混合笔束模型。 高能电子输运的f e r m i e y g e s 理论是f e r m i 在研究宇宙射线穿透薄层介质 时用个直观的方法推导出来的。f e r m j - e y g e s 理论利用如下的假设：( 1 ) 电 子在与介质的原子或原子的电子发生相互作用时，主要经历弹性散射，电子只 小范围改变运动方向而不损失能量。这种假设忽略了非弹性散射和轫致辐射的 影r 晒。c 2 ) 乜子在介质中运动时，其总数是不变的。实际上，d 于电子在介质 i j j 垂动时，将弓 起介质电子拍电离或激发，从而入射电子将逐渐损失能量。当 入射电予能量减少到一定值时，电予实际上停留在介质中。因而随着深度的增 加，入刺电子的总数目要逐渐减少。同时，轫致辐射也将引起入射电子数目的 减少。t 由于假定入射电子不损失能量。因而在确定的深度处，所有的入射 电子具有相同的能量。这种假设只能限于浅层情况。在较大深度处，由于电子 能齄损失歧离和径迹弯曲效应，电子能谱有很大的展宽，因而不能再被视为单 能 出于这螳原因，f e r m i e y g e s 理论主要存在两个不足，即不能给出电子数 掰损失以及电子注量的累积效应。这两个问题的存在使f e r m i e y g e s 理论难 咀满足现代放射治疗技术对剂量汁算精度的要求，因而很少被直接川f 剂量计 尊。 l o g s t r o m ，s h i u e a j 发展的笔柬模型得到了比较满意的结粜。笔柬模 型利粥了实验测定的百分深度剂量作为 赶子笔束的中心轴剂量，而其侧向分布 划鹿用f e r m i - - e y g e s 理论的解，目前在放射治疗中得到广泛的应用。但是，由 于该算法篱要很多测量数据，因丽不便于应用到非均匀介质。一 电予输运取群模型是罗正明研究员在1 9 8 5 年提出的用来求解电子在介质中 的输运行为的一个模型。该模型首先建立电子的微分注量分布函数在介质中的 “”m m 、力程。然后电子的微分注量分稚函数被分为向前电子和扩散电：f 的 微分江盛分布，：二者通过扩散电子源互相联系。相应地，介质中的电子被分为 向前f 乜予群和扩敫电子群，其输运方程破分解为向前电子的输运方程和扩散电 子的输运专程。向前电子群只由在小角方向运动的电子组成。小角是指电子的 运动方向与人射电子的方向之问只有一个小的角度。由于向前电子群的运动方 囊偈离入射力向不大，因而在求解向荫电子的微分注量分布的b o l 妇，f a 1 1 n 力程 时，可以引入窄能谱近似和连续慢化近似。而扩敌电子群由在各个方向运动的 电子组成。扩散电子的角度分布可以认为基本上是满足各向同性的。这样，在 求解扩散电子的微分注量分布的b o l t z m a h n 方程州1 ，_ 可以利用较低阶的球谐矩 来近似扩散电子的微分注量分布函数。将扩散电子的微分注量分布函数离散化 后，可以利用l a x w e n d r o f f 格式或特征线方法来获得扩散电子微分注量分布的 数值艇。在分别获摄向前电子和扩散电子的微分注量分布后，就可以进一步获 得我们所需要的电子的输运参数，如角分如、能谱、能量沉积等。如果需要进 一步考虑次级电子的影响就要建立次数电子输运的b o l t z m a n n 方程，并求解 该方程，获得次级电子的微分注量分布。在解次级电子的b o l t z m a n n 方程时， 可以认为次级电子的分布是各向同性的，因而可以使用更低阶的球谐矩来近似 次级电子的微分注量分却函数。 向前电子在介质i | 运动对，由于电子与介质的弹性散射，电子将逐渐偏移 角度。这样，就有部分电子的运动角度偏离小角方向。因此，这部分电子 就形成扩散电子源，从向前电子群转移到扩散电子群中。而剩下的电予仍然保 留小角特性。扩散电子由于弹性散射将使其角分布更加各向同性。为了定义和 计算扩散电子源，电子输运双群模型中引入分群条件的概念。分群条件表述为 在给定的大角方向上，扩散电子源的值等于向前电子出于弹性散射引起的分布 函数的变化。 基于宽束电子的中心轴剂量分布等于无限宽束电子的深度剂量分布这一事 实，罗正明等将双群模型应用到f e r m i e y g e s 理论中，提出和发展了混合笔束 模型。混合笔柬模型利用双群模型计算的无限宽束电子的能量沉积作为宽柬电 子的中心轴剂量，这样就解决了f e r r a i - e y g e s 理论中无法考虑电子数目损失的 问题。与此同时，在混合笔束模型中，电子在垂直于入射方向的平面上的空间 分布以及角度分布仍然采用f e r m i e y g e s 理论中的商斯分布，但是使用的参数 有所不同。由于混合笔束模型较少依赖测量数据，因而其应用范围得到扩大。 其计算结果的精度依赖于由双群模型计算得到的宽束电子的能量沉积。理论计 算和实测数据的比较表嘲，混合笔束模型的精度是比较好的。 在仔细考虑了电予束在加速器头部中的运动情况后，本文对混合笔束模型 作了进一步的改进。通过引入初始剖面参数，使其侧向分布参数能更加全面地 反映电子束在入射表面的分布情况。同时，通过对入射电子束能谱的分析，获 得更加准确的射束模型。除此之外，本文还分析了轫致辐射、束发散和非标准 源皮距以及小场射野对电子剂量分布的影响。与高能电子束治疗计划联合工作 组( e c w g ) 的测量结果以及其它的测量结果的比较表明，改进后的混合笔束模 型韵计算精度得到很大的提高。在大多数情况下，混合笔束模型可以达到2 的 计算精度。这种精度完全可以适应临床应用提出的要求。不仅如此，混合笔束 模型还具有很高的计算效率。计算表明，对于一个典型的大射野的计算，其计 算时间在7 3 3 m h z 的c p u 的计算机平台上，仅需要不n 3 0 秒的时问。 关键词：笔束模型双群模型混合笔柬模型 s t u d i e so nt h ea p p li c a t i o no fe l e c t r o nh y b r i d p e n c i l b e a mm o d e lt o3 dd o s ec a l c u l a t i o n m a j o r ：_ ! ! ! 垒! ! n n q ! q g y 曼! d q e i 垦! i q ! g r a d u a t es t u d e n t ：堡q 坠生鱼曼n g j 婪凸t u t o r ：l 坠垒兰b 曼凸g 婴i n g i th a sb e c o m em o r ei m p o r t a n tt or e s e a r c hi - a d i o t h e r a p yb e c a u s et u m o r h a sb e e nam a j o rf a c t o rt oh a r mt h ep u b li ch e a l t ha n dr a d i o t h e r a p yi s am a j o rm e t h o di nc a n c e rt r e a t m e n t r a d i o t h e r a p ym a y b eu s e dt ot r e a tl o c a li z e ds o l i dt u m o r s t h e p r e r e q u i s i t e ，w h i c hc a nb ea c q u i r e db yc t ，n m ro rp e tt e c h n o l o g y ，i st o l o c a li z et h et u m o ra n dd e t e r m i n ei t sr e g i o n a f t e rd e t e r m i n i n gt h ec t v ， o a r sa n dp r r v w ew il lw o r ko u tat r e a t m e n tp l a nw i t hat p sp r o g r a m n o w a d a y s ，t h ee e c t r o nb e a mh a sb e c o m e aw i d e l yu s e dt o o li nt h e r a d i a t i o nt r e a t m e n to fc a n c e r h o w e v e r ，o n eo ft h em a j o rd i f f i c u l t i e s i nr o u t i n ec l i n i c a lp r o c e d u r ei st oa c c u r a t e l yc a l c u l a t et h ee l e c t r o n d o s ed i s t r i b u t i o nf o rar e a s o n a b l ec a l c u l a t i o nt i m e a tp r e s e n t m o s t t r e a t m e n tp l a n n i n gc a l c u l a t i o n su s et h ep e n c i l - b e a mm o d e l ，w h i c h i s b a s e do nf e r m i e y g e st h e o r ya n da s s u m e st h a tb r o a db e a n sa r ec o m p o s e d o faf i n i t en u m b e ro fp e n c i lb e a m s b e c a u s et h e1 i m i t a t i o nr e s u l t sf r o m t h ea p p r o x i m a t i o no ff e r m i e y g e st h e o r y ，t h ef e r m i e y g e st h e o r yi sn o t u s e di n p e n c i l - b e a mm o d e l s f o rc l i n i c a lt r e a t m e n tp l a n n i n gw i t h o u t m o d i f i c a t i o n i no r d e rt og e t m o r ea c c u r a t e r e s u l t s ，a n u m b e ro f i n v e s t i g a t o r sh a v ei m p r o v e d t h e f e r m i e y g e st h e o r y a n dd e n e il b e a m m o d e s t h e s em o d e l sc o n s t i t u t e i m p r o v e m e n t s o v e rt h e o r i g i n a l p e n t i1 一b e a mm o d e lr e s u l t i n gf r o md i r e c ta p p l i c a t i o no ft h ef e r m i e y g e s t h e o r y w h i ea tt h es a l n et i m eu s i n gt h iss m a l l 一a n 9 1 es c a t t e r i n gt h e o r y a sas t a r t i n gp o i n t c le c t y o n t r a n s p o r tb i p a r t i t i o nm 。d e l i sp r o v i d e db yl e oz h e n g m i n g i n 1 9 8 5 ，b yi n t r o d u c i n gap a r t i t i o nc o n d i t i o n ，t h ed i f f e r e n c ef 】u e n c e n f 。e l e c t r o nw a sd i v i d e di n t et w op a r t s ：f o r w a r d d i r e c t i o ne l e c t r o f la n d d l f f u s i o ne l e c t r o n b ys o l r i n gt h eb o l t z n a n ne q u a t i o nf o rf o r w a r d d i y e c ti o na n dd if f u s i o ne l e c t r o n t h ea 】lt r a n s p o r tp a r a m e t e r sc a nb e o b t a ln e d t h eh y b r i de l e c t r o np e n c i 卜b e a mm o d e l ( h p b m ) e m b e d st h eb i p a r t i t i o n m o d e in t of e r m i - e y g e sm u l t i p l e s c a t t e r i n gt h e o r yb yu s i n gt h ef a c tt h a t a w a yf r o mt h ee d g e so f al a r g ef i e l d ，t h ee l e c t r o nd i s t r i b u t l o nf u n c t i o n e x a c t ye q u a l s t h a t f o r a l l j n f i n i t e l y w i d ee l e c t r o nb e a m t h eb i p a r t i t i o n m o d e lc a nc a l c u l a t ev a t i o o se l e c t r o nt r a n s p o r tq u a n t i t i e s i f la b o m o g p b e o u se l h u r lz o n t a ll yl a y e r e dm e d i u mw i t hh i g ha c c u r a c y ，f o ra n i n f 。i n i t e l yb r o a db e a m b e c a u s et h ea c c u r a c y o ft h eh p b mi sd e p e n d e n tu p o n t h ea c c u r a c yo ft h eb i p a r t i t i o nm o d e li t s e l fa n dt h e t p b mu t i l i z e sl e s s m e a s u r e dd a t a ，t h eh p b me x h i b i t sd e f i n i t ep o t e n t i a lf o ru s ei nc l i n i c a l t f e a t m e n t b yd i s c u s s i n gt h ee f f e c t sf r o mt h ea c c e l e r a t o rh e a d ，w h i c hc o n t a j n t h ea n g u l a rd i s t r i b u t i o na n de n e r g ys p e c c r u mo fi n c i d e n te l e c t r o n ，t h e b r e m s s t r a h l u n g ，a n dt h ee f f e c t s ? r o mt h eh e a md i v e r g e n c e ，s s dv a r i a t i o n 。 n ds m a 1f i e l d ，t h i sw o r kh a si m p t - e y e dt h eh p b m b e c a u s ew ea r em a i n l y in t e r e s t e d i nc li n i c a l a p p li c a t i o n s t h i s w o r kf o c u s e so n d o s e c a c u 】a t i o na n dc a l c u l a l i e ne f f i c i e n c y ，r a t h e rt h a no f o t h e rt r a n s p o r t o u a n t i t i e ss u c ha sf l u e n c ea n da n g u l a rd i s t r i b u t i o n t h i sp r e l i m i n a r y s t u d yh a sd e m o n s t r a t e dt h ep o t e n t i a lf o ru s eo ft h em o d e li nt h ec li n i c a l t h e r a p y k e yw o r d s ：e l e c t r o np e n c i l b e a mm o d e l e l e c t r o nb i p a r t i t i o nm o d e l h y b r i dp e n c i l 一b e a mm o d e l 四川大学博士学位论文 第一章引言 1 1 放射治疗的重要性 半个世纪以来，医学科学取得巨大的进展。人类籍化学、免疫、抗生素疗 法三大防治手段，基本上控制了以往主要威胁人类健康的传染病。而诸如肿瘤、 心脑血管等非传染性疾病逐渐成为人类健康的主要敌人，其中尤以肿瘤的危害 为甚。2 0 世纪后期近3 0 年以来癌症发病一直里上升的趋势。据世界卫生组织 ( w h o ) 报告t 1 ，1 9 9 0 年全球癌症新发病例数约8 0 7 万，比1 9 7 5 年的5 1 7 万 增加了3 7 4 。而1 9 9 7 年全球的癌症死亡数约6 2 0 万。并且按目前的趋势预 测，至2 0 2 0 年随着世界人口达8 0 亿，将有2 0 0 0 万新发癌症病例，其中死亡 人数将达1 2 0 0 万，且绝大部分将发生在发展中国家。 根据1 9 7 3 1 9 7 5 及1 9 9 0 - - - 1 9 9 2 两次全国范围内的死因调查表明【i l ，近2 0 年期间，恶性肿瘤在死因中的构成比，也自1 2 6 升至1 7 9 。而我国卫生部 信息中心发布的我国1 9 9 9 年的死亡原因的排序【2 | ( 见图1 1 ) 表明：在城市， 恶性肿瘤成为死亡的第一原因。每j o 万人中有1 4 0 4 7 人死于恶性肿瘤，占 死亡人数的2 3 。在农村地区，每1 0 万人中，有1 1 1 6 2 人死于恶性肿瘤，成 为仅次于呼吸系统疾病( 1 3 3 6 9 1 0 万) 的第二大杀手。而2 0 0 1 年的统计结果0 1 与1 9 9 9 年基本类似。在城市，恶性肿瘤仍然是死亡的第一原因，每1 0 万人中， 有1 3 5 5 9 人死于恶性肿瘤；在农村地区居于第三位，为每l o 万中死于肿瘤 的人数为1 0 5 3 9 人。 据估计，在今后的二、三十年内我国癌症的发病及死亡率将继续呈现上 升的趋势。原因主要在于人1 2 1 老龄化、吸烟导致癌症发病上升、生活方式城市 化的影响和工业化进程导致瘤谱改变等几个方面。因此对癌症的预防和治疗将 是一个非常紧迫和严重的课题。 就目前来说肿瘤的治疗主要有三种手段。手术治疗、药物治疗和放射治 疗。1 9 9 1 年海德堡癌症研究中心的统计数据1 4 j 表明( 见图1 _ 2 ) ：放射治疗已 堕业查兰竖圭兰垫堕壅 经成为肿瘤治疗的主要手段之。在肿瘤病患者中，4 5 的患者可以通过不同 的治疗手段恢复健康。其中，手术占了2 2 ，化疗和其它手段占5 ，放射治 疗或者放射治疗与手术结合占了1 8 。3 7 的患者因为肿瘤扩散而失去生命。 还有1 8 的患者治疗手段不完善致使病情不能控制而失去了机会。 卫生部卫生统计信息中心关于1 9 9 9 年全国卫生事业 发展情况统计公报( 城市) 一l 一2 口3 曰4 5 6 7 因8 9 1 0 田1 l 图l ，1 卫生鄢卫生统计信息中心关于】9 9 9 年全国卫生事业发展情况统计 公报( 城市) 。依次为( 每1 0 万人中) ：1 恶性肿瘤1 4 0 4 7 ；2 脑血管痛 1 2 7 1 8 ；3 心脏病粥9 2 ；4 呼吸系统病8 1 6 8 ；5 损伤和中毒3 6 9 5 ：6 ，消 化系统病t 7 8 6 ：7 内分泌、营养和代谢及免疫疾病 1 6 8 7 ；8 泌尿、生 殖系统病8 8 7 ；9 精神病6 6 7 ：1 0 神经病5 2 8 ；1 1 其它原因。前十位 死因合计占死亡总数的9 l ，9 6 在农村地区，恶性肿瘤死亡为1 1 1 6 2 1 0 万，仅次于呼吸系统病1 3 3 。6 9 1 1 0 万 、 放射治疗又称放射线疗法，是利用致电离辐射来治疗肿瘤或其它疾病的一 种治疗手段。通过损伤细胞的基因物质，致电离辐射在肌体的受照射区域( 靶 区) 沉积的能量伤害或破坏该区域的细胞，从而使其失去继续生长、分化的能 力。放射治疗的有效性来源于正常组织和肿瘤细胞对放射线具有禾同的反映机 四川大学博士学位论文 制。因为正常组织受射线损伤后，自动稳定控制系统开始起作用，细胞增殖周 期缩短，细胞的生长比率也增加，这样很快就完成受损伤的正常组织的修复。 而肿瘤细胞群受射线打击后有自己的、与正常组织不同的反应体系，在吖i 同的 肿瘤之r h j 的反应也极为不同。在对人体肿瘤细胞的观察过程中，发现细胞增殖 率及细胞丢失和放射敏感性之间有明显的关系。凡平均生长速度最快的、生长 比率及细胞更新率高的肿瘤，对放射线较敏感。一般胚胎性肿瘤对放射线晟敏 感，淋巴类肿瘤次之，上皮性肿瘤再次之，而间质性肿瘤最不敏感，需要较高 剂量才可能起作用。因而，虽然放射作用同时损伤f 常细胞和肿瘤细胞，但是， 在精心的控制下，可以减小对正常细胞的损伤程度，使其能够自修复，并且不 丧失正常的功能。 t u m o u rt r e a t m e n ti ne u r o p e l e ub r f i s s e l1 9 9 i ( x i f - 6 n v 9 1 0 0 1 p ) 】 蚓1 2t 9 9 1 年欧洲肿瘤治疗凋查数据 四j 3 f 大学博士学位论文 放射治疗是一种局部治疗手段，特别适用于局部的具有一定外形的肿瘤。 实施放射治疗的先决条件是确定肿瘤的位置和判断肿瘤的生长范围( 见图 1 3 ) 。这可以由计算机断层扫描( c t ) 、核磁共振( n m r ) 或正电子发射断层 扫描( p e t ) 等技术手段来提供病人的三维解剖信息。在此基础上，医生确定 出肿瘤区( c t v ) 和敏感组织( o a r s ) ，再和医学物理学家一起定义照射靶区 ( p t v ) 。靶区需要考虑肿瘤可能的扩散、放疗时病人定位的不准确、剂量计 算的不准确和加速器不稳定等不确定因素，因而靶区总是比肿瘤区大。 图1 3 治疗过程图解 1 2 电子束放射治疗 电子束放射治疗开始于上世纪五十年代。当时电子束主要源于感应加速器 和少数直线加速器。但是直至上世纪七十年代高能加速器应用于临床治疗后， 电子束放射治疗才被普遍使用。 电子是质量最小的带电粒子。它在电子加速嚣中被加速到一定的高能时， 直接引出( 电子束) 用来治疗肿瘤。高能电子束可直接杀伤或电离细胞。其组 四川大学博二b 学位论文 织吸收剂量分布特点如下： ( 1 ) 从皮肤表面到一定的深度，剂量高且分布比较均匀。随着能量增加， 此深度也不断增加。剂量建成区很窄，而且很陕远到1 0 0 。出于电子线剂量 分布的建成区报窄，因而不能保护皮肤。 ( 2 ) 在一定的深度之后，剂量突然下降。如果临床医生将靶区选在9 0 区 域内，则病变后正常组织受到的剂量极小。但是随着能量不断增加，此特点逐 渐消失。对4 5 m e v 电子束，此特点几乎全部失去。因此，电子加速器的电子 能量选得过高是没有实际意义的，一般最有用的电子能量选在2 5 m e v 以内。 ( 3 ) 不同的照射野对百分深度剂量有影响。射野增大，中心轴深度剂量增 加。 ( 4 ) 在入射面，等剂量分布曲线集中，剂量梯度大。随深度增加等剂量曲 线逐渐散开，有较大的旁向散射。一般来说，特别对大野，等剂量曲线中心部 分与入射表面平行。 目前，比较成熟的电子束剂量计算方法可以分为两大类。一是基于m o n t e c a r l o 技术的剂量计算方法f 6 “j ，如v o x e lm o n t ec a r l o ( v m c ) 、m a c r om o n t ec a r l o ( m m c ) 。另一类是基于f e r m i e y g e s 理论的剂量计算方法| 1 5 4 2 j ，如电子笔束 重定义算法( p b g & ：e l e c t r o np e n c i l b e a mr e d e f i n i t i o na l g o r i t h m ) 、电子混合笔 束模型( h p b m ：e l e c t r o nh y b r i dp e n c i l b e a mm o d e l ) 。 从理论上将，m o n t ec a r l o ( m c ) 方法可以模拟电子束剂量算法的一切过 程。但为了达到给定的精度，m c 方法需要进行大量的取样。这本身就是一个 繁重的任务。特别是在遇到非均匀情况时m c 方法遇到豹挑战更加巨大。因 此，临床应用的m c 代码实际上经过了很大的简化，以提高计算效率。解析 算法本身具有速度比较快的特点。虽然，非均匀条件对解析算法也同样是一个 巨大的挑战。但是经过近几年的努力，解析算法也取得了和m c 方法同等的 精度，同时保持其高效的计算效率。 四川大学博士学位论文 第二章混合笔束模型 2 1 电子与物质的相互作用 电子在介质中，通过与物质的原子或原予的电子发生相互作用而逐渐损失 能量并将能量沉积在介质中。在放射治疗的能区范围内，主要需要考虑三种类 型的电子与物质的相互作用： 1 非弹性散射。这种相互作用发生在入射电子与介质的原子或原子的电子 之间。如果发生这种作用时，入射电子与原子的最接近的距离大于原子的线度， 原子作为一个整体与电子发生相互作用。这种作用可以引起原子的电离或激 发。在这种作用过程中，库仑力是主要的相互作用力而入射电子可以看作是 点电荷。这种远距离的作用也叫软碰撞。另一种作用称为硬碰撞。发生这种相 互作用时，电子与原子最接近的距离是原子线度的量级。相互作用则发生在入 射电子和原于的一个电子之间。在发生硬碰撞时，辐射过程是可以忽略的。这 个过程导致从原子发射具有相当能量的次级电子( 万电子) 。交换的能量可以 是入射电子的全部能量。但是由于碰撞后，两个电子是不可分辨的，习惯上把 具有最高能量的电子作为初始电子。所以，在硬碰撞过程中，次级电子的能量 最高可以是入射电子的能量的一半。由于次级电子可能具有很高的能量因此， 发生硬碰撞后，次级电子可以在介质运行一段距离，从而将能量沉积在远离发 生硬碰撞相互作用的地方。因此，在考虑电子豹输运行为时，需要考虑次级电 子输运现象。 2 轫致辐射。如果发射相互作用时，电子与原子的最接近的距离小于贩子 半径，则在核的电场中，粒子轨道的偏转将是最重要的效应。这一偏转过程导 致轫致辐射能量损失。所发出的轫致辐射的能谱，可以。一直覆盖到电子的最大 动能。 3 弹性散射。当电子在介质的核附近通过时，电予的运动方向发生改变 6 四j j 大学博士学位论文 这就是电子的散射。如果在此过程中，既不发劓x 一光子，也不激发核，则这 个散射过程成为弹性散射。在弹性相互作用过程中，电子只损失微乎其微的能 量以满足动量守恒。因此可以认为，在弹性散射过程中，电子只改变运动方向 而不损失能量。 2 2f e r m i e y g e s 理论 高能电子输运的f e r m i e y g e s 理论是f e r m i l 2 0 l 在研究宇宙射线穿透薄层介 质对用一个直观的方法推导出来的。后来e y g e s l 2 1 在f e r m i 的框架内作了迸一 步的发展。自2 0 世纪8 0 年代以来，随着高能电子束在辐射治疗肿瘤技术中的 广泛应用，h o g s t r o m ，b r a h m e 以及p e r r y 和h o l t 等人【2 2 1 2 】在f e r m i - e y g e s 理 论的基础上建立了电子剂量计算的笔束模型。 z只：，一跳删，：， _ 孑 a 0 | z + z 最：f ( y ，p z + z ) i ：只：f o ，曰，z ) 口7 - 二 z + a ： r ：f ，0 ，2 + a z ) _ 零 1r1r - 幽2 1 商能屯子输运的f e r m i - e y g e s 理论推导示意幽。左图只考虑了电子在 删向的空间位置变化，右图只考虑了电子在角度方向的变化。总的变化是二二 者的和 如图2 1 ，考虑束无限窄的高能电子束( 高能笔束电子束) 照射在一个 平板散射介质上。假设所有的入射电子具有相同的能量并且在电子与介质的 相互作用过程中，只考虑弹性教射，即电子只改变运动方向而不损失能量。 为了获得入射电子在介质的深度z 处的微分注量的分布，建立如图2 2 所 四川大学博士学位论文 示的坐标系。在该坐标系中，以入射点为坐标原点，入射电子的初始方向作为 z 轴的j 下方向，另外两个坐标轴为x 轴和y 轴。现在考虑电子的运动在( y z ) 平面上的投影。记r 6 , ，0 ，z ) d y d o 为在深度：处，位于y 到y + d y ，运动方向为 0 到0 + d o 的电子的注量( 口为粒子运动方向与z 轴的夹角) 。证是电子速度的 单位方向向量。显然，电子注量分布是沿= 轴轴对称的。因此，在g z ) 平面 上，电子的注量具有类似的分布函数。由于电子在x 和y 方向的运动是相互独 立的，因此，在深度z 处，电子的微分注量分布可以表示为： 图2 2 用于建立电子输运方稃的坐标系 f o 。目x 加d 口：f ( x ，：0 ，) f b z ，0 ，i 厶驯吼d 臼， ( 2 1 ) 其中，r 是电子在g y ) 平面内偏离z 轴的距离：一是电子运动方向豇与2 轴正方向的夹角：x 和y 分别是r 在g z ) 平面和o 一：) 平面上的投影：吼和 四川太学博”j 二学位论文 目，分别是i 在g z ) 平面和一z ) 平面上的投影与x 轴和y 轴正方向的夹角。 在以下的讨论中，还假定电子主要经历小角散射，即存在口z0 。 由于电子的注量分布在扛一z ) 平丽和一z ) 平面上具有相似的表达形式。 因此，为了简便，在下面的描述中，将只考虑电子注量分布在o z ) 平面内的 变化，并且记目。= 口。 假设电子在穿出血的厚度后，电子由于散射从散射前的方向偏移角度日到 口+ d o 的几率为p p p 曰( 在心的深度范围内，偏移的角度日可能不仅是由一 次碰撞引起，而可能是由多次碰撞引起) 。该概率分布应该满足统计规律： p p ) = p ( - o )( 2 2 ) e 卢p 枷= l ( 2 3 ) i ：印p = o ( 24 ) p 2 p p 瑚= 三嘉止 ( 2 s ) 公式( 2 - 2 ) 描述了电子从初始方向散射口和口角度的几率是相等的，即 具有对称性。公式( 2 3 ) 描述了概率分布的归一化性质。公式( 2 4 ) 和( 2 5 ) 分别描述了电子弹性教射的平均散射角和均方散射角m l 。在公式( 2 5 ) 中，p 是 粒子动量。口是用光速表示的电子的运动速度芦= v c 。e 是特征能量，对 于电子，e = 2 1 2 m e v 。同时由于我们假定电子几乎是经历小角散射，因 此可以认为p p ) * d p ) 。表示当散射角为0 时，斗1 i 互作用的几率最大：然后在 最大值的两侧作用几率迅速下降到0 。因此，公式( 2 3 ) ( 2 5 ) 中在 一m 到+ 0 0 区间内的积分，实际上只是在一个很小的区域内的积分。 当电子从深度2 运动到深度z + 止时，出于电子和介质的相互作用，电子 四川大学博士学位论文 注量的位置分布和角度分布都将发生改变。从图( 2 1 ) 可以看到，如果不考 虑角度的变化，在经过厚度垃后，电子注量的位置分布发生变化，并且满足 公式： f o ，目，z + 止) = f b , 一0 a z ，0 ，z + 血) = f o ，0 ，z ) 一o 比( o f i o y )( 2 6 ) 然后，排除位置变化而只考虑散射对角度分布的影响( 见图2 1 右) 。在深 度为= 、位置偏离为y 、方向为0 到口+ d o 的一群电子，在运动到深度z + 出 时，其位置偏移仍然是y ，而运动方向转移到侈到疗+ d o 的几率为p ( o 一0 k 8 。 这样，在深度为z + 曲、位置偏移为一处，运动方向为0 到口+ 卯的电子的微 分注量为 f 0 ，0 ，z 十止) = i = d o f ( y ，口，z 砧( 9 0 ) ( 2 7 ) 将电子的分布函数f ( y ，0 ，z ) 在口附近展开为二阶泰勒级数 f ，曰z ) = f ( y ，p ，z ) + o f 一否歹, o ，三) p 一口) + ；掣p 7 一口) 2 ( 2 8 ) 这样，公式( 2 7 ) 的积分形式变为 f ，0 ，z + 血) = e 帅”口机印) + 絮寥”咖：掣卯 考虑到公式( 2 3 ) ( 2 5 ) ，可以得到公式( 2 7 ) 的积分为 叱钆圳吼一咖辑，宅掣血 ( 2 9 ) 公式( 2 6 ) 和( 2 9 ) 是在分别单独考虑位置变化和角度变化而得到的电 子注量空间分布的变化。因此，在介质的散射作用下。电子的注量分布的变化 为这二者之和： 四川大学博士学位论文 廿：一日娑血+ ! ：彰血 ( 2 1 0 ) 西4 p 2 口。0 0 2 、 记w = 2 p f l ? e 则有 娑：一目娑+ j ；叟了2 f( 2 1 1 ) 出却w 。0 0 2 、 方程( 2 1 1 ) 就是在不考虑能量损失并作小角近似的条件下，得到的电子 注量分布函数的方程。由于不考虑电子的能量损失，w 是常数。 方程( 2 1 1 ) 的解为 m 牝) ：芸等唧一2 譬一了3 y o + 望z 3 ) 1 1 ( 2 1 2 ) 将公式( 2 1 2 ) 在一0 0 到+ g i n 内对，积分，得到电子在不i n n 度的角分 布函数 以班c 咖m 如) = 击当唧一；华i 将公式( 2 1 2 ) 对角度积分，得到电子在不同深度的位置偏移的分布函数 地小e d 吨犯) = 丽歹唧一r 字 从公式( 2 1 3 ) 和( 2 1 4 ) 可以看到，在任何深度处，电子的角度分布和 位置分布都是高斯分布函数。将公式( 2 1 3 ) 和( 2 1 4 ) 分别对口和y 积分， 可以得到在给定深度处，电子的总的注量： ( z ) = e z o a ( e z ) = e 州0 z ) = 1 ( 2 - i s ) 当z 趋近于0 时由公式( 2 1 3 ) 和( 2 1 4 ) 可以得到 a ( e ，o ) = a ( o ) u o , ，o ) = a ( y ) ( 2 1 6 ) 公式( 2 1 6 ) 说明，入射电子位于原点处，并且方向为= 轴的正方向，这 四川大学博士掌位论文 与我们建立的坐标系是一毁的。如果再考虑刘公式( 2 1 5 ) ，n - i 以看到，在任 意深度处，除了电子的位置偏移和角度分布变化外，电子的总数目保持不变。 这是因为在f e r m i 理论中，只考虑了电子的弹性散射。 f e r m i 理论揭示了电子在空间位置和角度上的分布。但是，该理论没有考 虑电子的能量损失。在公式( 2 1 2 ) 中，与电子的能量( 速度) 有关的参数是 常数。因此，e y g e s l 2 1 1 后来对f e r m i 的解作了改进，以便在电子的分布函数中， 能够反映电子能量随着深度的增加而逐渐降低这一事实。 仍然考虑方程( 2 1 1 ) ，但是认为p 和都是深度z 的函数。实际上，电子 的动量p 和速度是电子麓量的函数。但是出于屯子的能量是和深度相关的， 因此可以认为p 和多也表现为深度= 的函数。这样，w 不再是常数，而是关 于深度z 的函数。下面详细介绍在w 为变量的条件下，如何得到方程( 2 + 1 1 ) 的解。 方程( 2 1 i ) 的两端同时乘e x p l i ( x y + 矽妒( 新) ，并在一m 到+ 区闺内 对y 和0 积分。并记函数f ( y ，o , z ) n n g ( x ，f ，z ) ： g g 4 z ) = 去i ：方e 卿( y z ) 唧【f b + p ) 】 ( 2 1 7 ) ，0 ，口，：) = i 1c 疵d 够b 矗z ) 唧【f 匆+ 妒) 】 ( 2 - 1 8 ) 于是有： 去c 咖r d 口耋f o ，牝) 确b + 妒) 】= 警 ( 2 9 ) 去e 痧e d o o 却af ，口| z ) 唧【f 妇+ ) 1 = 一x 篓8 6 ( 2 2 。) 2 1 石融c 瑚茹j 嘉f ( y z ) e x p i ( x y + 妒) 】= 一矿6 2g ( 2 2 1 ) 等式( 2 2 0 ) 和( 2 2 1 ) 利用了傅里叶变换的微分性质 四川大学博士学位论文 嘉几) h 埘f 如) ( - i x ) ”厂扛) h 芝。f 白) ( 2 2 2 ) ( 2 2 3 ) h 的左右两端分别表不傅里叶爻狭的掠幽数干买傅里叶殳珙庙阴幽瓤。 于是，经过傅里叶变换后，方程( 2 1 1 ) 为 答：x 挈一：g ( 2 2 4 ) 瑟a cw 。 为了求解上面的方程，引入新的变量 善，2 2 + f 7 x ( 2 2 5 ) i z = z 、 于是g 通过f 、x 和z 成为f 、x 和z 的函数。各变量的关系如下： i x 一工 ir g 一：一亭一l z il f i - z ： 这样有 凹：a g 塑! + 塑骘：整+ 箜 8 za z l 貌 a ta za 2 8 亏 篓：篓丝：! 箜 8 5a 8 5 xa 因此，方程( 2 2 4 ) 变形为： 雾一豁g 瑟 i z r ( 2 2 6 ) 一 些型查兰竖主兰堡堡塞 碳刀程用解为 渤卜f 锚却f ( 2 2 7 ) 在公式( 2 2 7 ) 中，积分下限k 是一个任意的数。方程( 2 1 1 ) 的初始条 件为，扫，o ) = 石0 p p ) ，其傅里叶变换的表达式为g b ，鼻o ) = 1 2 x 。因此， 可得方程( 2 2 6 ) 的解为： 咄) = 磊1e 翠阳锗却i 班去唧卜r7 铲咖 为了使解的表达式更加简洁，现在引入新的参数 北) = f 南却 o ) = f 端咖 删= r 锚却 于是，公式