（材料加工工程专业论文）板料冲压成型仿真过程中的材料参数反求技术研究.pdf

摘要板料冲压成型仿真过程中的材料参数反求技术研究摘要本文利_ 耳j 反求理论，以试验测试试件宏观位移量为依据，巧妙地将有限兀仿真计算和优化计算相结合，避免了传统参数测试的种种限制，实现了精确方便快速地获取仿真用材料参数。在试验技术方面，本文创新地提出了筛选试验测试点的活度规则，将试件分成活性区、惰性i 墨和盲点区，并以此来指导试验测试点的位置选择。以 、世控制软件“组态王5 1 ”为核，i i , 开发的试验机电路控制及数据采集和处理系统，实现r 试验测试的闭环控制。在反求技术方面，本文酋次提出了仿真先验信息的概念，即用仿真方法获取先验信息，极大地丰富了获取材料参数先验信息的途径。提出了两级试验测试点位置搜寻方法，分两级快速精确地确定试验测试点所在单元。本文采用l e v e n b e r g m a r q u a r d t 方法，同时混合了g a u s s n e w t o n 法的策略，详细推导出了材料参数反求的算法，在自行研制的参数反求软件i i m a p 中实现了材料参数反求这样一个非线性最小二乘问题的求解。关键词反求方法有限元方法优化方法仿真先验信息活度规则摘要i n v e r s ei d e n t i f i c a t i o no fm a t e r i a lp a r a m e t e r se m p l o y e di ns i m u l a t i o no fs h e e tm e t a lf o r m i n ga b s t r a c ta ni n v e r s em e t h o di sp r o p o s e di nt h i st h e s i sf o rp r e c i s ea n df a s td e t e r m i n a t i o no fm a t e r i a lp a r a m e t e r s i nt h i si n v e r s em e t h o d ，t h ef i n i t ee l e m e n tm e t h o di sw i s e l yc o m b i n e dw i t ho p t i m i z a t i o nt e c h n i q u et oc a l c u l a t em a t e r i a lp r o p e r t i e sb a s e do ne x p e r i m e n t a lr e s u l t s ，w h i c he l i m i n a t e ss e v e r a ld r a w b a c k si nt r a d i t i o n a lp a r a m e t e rt e s tt e c h n i q u e a na c t i v i t yr u l ei sc r e a t i v e l yb r o u g h tf o r w a r df o rt h es e l e c t i o no fm e a s u r e m e n tl o c a t i o n s t h es a m p l ei sd i v i d e di n t ot h r e ep a r t s ，i e a c t i v es e c t i o n ，i n a c t i v es e c t i o na n dd e a ds e c t i o n a c c o r d i n gt ot h i sr u l et h ec o r r e s p o n d i n gm e t h o df o rs e l e c t i o ni sp r o p o s e d b a s e do n k i n g v i e w ”i n d u s t r i a ls o f t w a r e ，t h ed a t ap r o c e s s i n ga n dc o n t r o ls y s t e ms o f t w a r ei ss e l f 二d e v e l o p e df o rr e a l i z a t i o no fc l o s e dl o o pc o n t r o li nt h ed i s p l a c e m e n tt e s tm a c h i n e f o rt h ei n v e r s em e t h o dr e s e a r c h ，t h i sp a p e rp r o p o s e sat r u l yo r i g i n a lc o n c e p t ：s i m u l a t e dp r i o r i i n f o r m a t i o n ，w h i c hm e a n su s i n gn u m e r i c a ls i m u l a t i o nm e t h o dt oq u e s tf o rp r i o r ii n f o r m a t i o n t h i sm e t h o dg r e a t l ye n r i c h e st h ep r i o r ii n f o r m a t i o no nm a t e r i a lp a r a m e t e r s i nt h i sp a p e rt w os t e p ss e a r c hm e t h o di sc r e a t i v e l yp r e s e n t e dt oq u i c k l yl o c a t et h ep o s i t i o no fm e a s u r e m e n tp o i n t si nn u m e r i c a lm o d e l d e t a i l e dp r o c e d u r eo ft h ea l g o r i t h mi sp r o p o s e di nt h i sp a p e r ，u s i n gl e v e n b e r g - m a r q u a r d tm e t h o dc o m b i n e dw i t hg a u s s n e w t o ns t r a t e g y a n dt h ec o r r e s p o n d i n gs o f t w a r en a m e dl i m a p ( i n v e r s ei d e n t i f i c a t i o no fm a t e r i a lp a r a m e t e r s ) i ss e l f _ d e v e l o p e df o rs o l v i n gs u c han o n l i n e a rl e a s ts q u a r ep r o b l e m k e y w o r d si n v e r s em e t h o df i n i t ee l e m e n tm e t h o do p t i m i z a t i o nm e t h o ds i m u l a t e dp r i o r i - i n f o r m a t i o na c t i v i t yr u l e绪论绪论随着计算机技术的迅速发展与板料冲蓝成型计算机仿真理论的f f 渐成熟，板料冲压成型计算机仿真技术( c a e ) 越来越多地被应用于冲压模具的设计过程中。板料冲j b 成型c a e 技术能够动态地模拟板料变形的全过程，并进行实时得跟踪监测，能预测板料变形中的缺陷，如起皱、回弹和拉裂等现象，从而根据c a e 分析结果来修改模具的初始设计方案和工艺条件，从而大夫减少模具设计和制造时的修模和试模次数，降低产品丌发成本，增强产品的市场竞争能力。随着仿真技术逐步深入的应用，人们发现虽然c a e 技术在理论上已相与完善，但原本作为已知条件输入参数的获取却成为一个问题。实际上这些参数的精确与否已经成了影响仿真计算结果精度的一个重要因素，这其中就包括材料本构参数。在材料弹塑性本构方程中通常要涉及到一些基础物理力学性能参数，如弹性模量、泊松比、屈服极限、硬化模量等，因此如何准确地标定不同材料的这些特性参数将直接影响到最1 f i = ；仿真结果的准确性。传统材料参数的获取方法对试验条件要求颇高，精度相对较差。传统方法般是采用标准试件，将其设计成承受某特定载荷，从而人为假设其能够满足某种特定的应力应变关系，如均一的应力应变关系，然后用解析方法分析参数和测试量之问的关系来标定材料参数。显然要满足均匀应力应变关系等某些特定约束在实际操作中有很大困难，特别是当材料涉及大应变或大应变率、非均匀变形或各向异性时，传统标准试验结果的误差相当大，因而不能完全真实地反映材料的力学特性。然而在会属材料成型过程，材料往往处于上述大应变及材料各向异性的特殊情况下，因此如采用传统标准试验方法所得到的力学性能参数进行金属材板成型的计算机仿真，其所带来的误差呵能使仿真计算在某种程度上失去意义“。另种较为常用的方法是通过查阅一些设计手册和发表的沦文资料来获敬参数的数掘，这种方法虽然方便，但可靠性差且精度也不能保证。由于一些手册上的数据通常足若f 年前用相对落后的手段和装置获得的，而且现在随着新材料大量涌现，各种材料的成分和特性波动也较大，即使是同一厂家生产的同类材料如果批次刁：| i 司，其材料特性也有会所不同，此时单单依靠些设计手册和资料的数据已远远不能满足工程实际应用的需要。因此设计一种准确、方便、快速的在线测量方法是非常必要的。在近十多年，人们开始借鉴在地质勘探中广为应用的反求理论| 2 j 、f 4 j ，通过测量与结论材料参数相关的些宏观物理量，反求得到材料参数。由于在求解过程中综合运用了数值仿真方法和试验测试技术，通常又被称为数值- 实验混合法( m i x e dn u m e r i c a l e x d e r i m e n t a lm e t h o d ) 。材料参数的反求是在1 9 8 7 年由s o l 教授川等人提出的，最早的应用是采用谐振法来反求材料弹性模量，即通过测量材料在外部激励卜的，t 振频率，利用共振频率和弹性模量的关系，借助有限元方法反求得到材料弹性模量。谐振法出于本身受物理关系的约束， 要是用j 二标定材料的弹性参数，以及某些再向异性的弹性参数1 6 。8 l 。对于以塑性变形为毛要机制的薄板冲压成型来说这种方法是远远不能满足的，为此有人1 9 i 提出采用完全基于材料本构关系的反求方法。这种, 5 - 法可以与制件的实际成型过程相联系，同时可以在对试验试件的征向仿真汁算中，采用与实际制件仿真相同的仿真计算程序，因此获得的参数与实际仿真有很好的 几配性，可一定程度上抵消有限元本身的误差。m a n i a t t y 等人【9 1 和s c h n u r 等人i “1 等先后将参数反求方法用于标定材料弹性模量。h e n d r i k s 1 引、g h o u a t i 与g e l i n l l 3 | f 1 6 1 和m e u w i s s e n 【17 i 等进一步将其应j j 于弹塑性的参数反求并推广至非标准试件，但大部分 作仍主要集中在弹性范围内。国内虽在岩土力学参数反求方面做过一些工作，但在金属成形领域尚未见报道。材料参数反求方法由于借助强大的仿真计算手段，特别是有限元方法，来模拟计算试件变形的宏观量，从而大大放宽了传统试验中对试件几何尺寸和承载条件的种种限制，又提高了计算精度，能较好地满足实际的要求，并有较好的工业应用前景。但由于反问题计算本身的难点，如普遍具有不适定问题的全部恶劣特性、又具有强非线性和计算量大等难点，且由于实际1 ：程中提出的反问题各不相同，至今尚未形成统一的求解方法，因此对于材料参数反求来说如何获得稳定精确的反求结果是材料特性参数反求技术研究的关键。针对于此本文提出了仿真先验信息的概念，即用仿真方法获取的先验信息，极大地丰富了获取材料参数先验信息的途径。同时本文提出了筛选试验测试点的活度规则，将试件分成活性区、惰性区和盲点区，并以此来指导试验测试点的位置的选择。丌发出的反求软件i i m a p 实现了材料参数的计算机反求。本论文所研究的课题为国家“九j ! i ”重点攻关项目( 9 5 a 2 2 0 3 0 4 ) “汽车覆盖件冲脏成型 艺分析与模具技术丌发”的子项，同时受国家杰出青年基金项日( 5 9 7 2 5 5 1 ) “汽j ：覆盖件冲压成型过程的计算机仿真及应用”，国家自然基金重点项目( 1 9 8 3 2 0 2 0 ) “冲脏成型模具设计的基础理论和方法研究”的资助。论文主要针对于薄板冲压的计算机仿2绪论真，研究仿真计算中本构方程中的材料参数获取技术。本文的具体内容如下：第一章讨论材料参数反求技术。本章首先简单介绍了有关反问题的概念及其提出的历史背景，给出了一般反问题的数学描述：给出了材料力学特性参数反求问题求解的基本技术流程，分析并指出材料特性参数反求技术通常存在求解不满足存在性、唯性、稳定性和非线性等恶劣特性，对于这样的不适定问题，本章提出仿真先验信息的概念，即采用仿真技术获取先验信息，极大地丰富了获取先验信息的手段，为快速稳定反求获得材料特性参数提供了保障。第二章讨论m 向问题的求解。i f 问题的定性和定量研究是反问题的基础，材料特性参数反求是在有限元仿真计算材料变形的基础上提出的，同时在参数反求过程中也耦合着大量正向问题的计算。作为材料参数反求的基础，本章介绍了材料变形的有限儿求解的理论和方法。同时为得到试验测试点精确的计算位移，本章提出两级试验测试点位置的平面搜寻方法，并利用等参元思想获取测试点的计算位移。第三章讨论宏观位移的试验获取技术。为求解材料参数反求问题建立的目标函数是以实测位移响应为基准的，因此试验测试得到的板料变形位移响应精确与否将会直接影响到最后参数反求的精度，这包括试验测试点位移的精确测量和试验测试点的位置选择。本章首先详细介绍了与反求软件配套的板料位移测试机，同时为确保选择的测试点适当，本章提出了活度规则，用于试验测试点的选择。第四章讨论参数反求方法。本章建立了材料参数反求的目标函数，通过对约束条件的处理和转化得到无约束的反求优化模型，详细推导了以采用l e v e n b e r g m a r q u a r d t方法为主，同时混合了g a u s s - n e t w o n 法策略的反求优化技术，给出了算法的具体实施流程。第五章介绍材料参数反求软件及算例。本章详细介绍了自行研制开发的以材料参数优化反求算法为核心的材料特性参数反求软件l i m a p ，该软件主要包括有限元计算文件的输入模块、材料参数反求置初值模块、试验测试位移响应的输入模块、拟反求材料参数的测试模块、材料参数反求模块和其它辅助模块。本章同时给出了弹性、v o nm i s e s 双线性以及b a r l m 屈服模型的材料参数反求算例，验证了算法，并结合算例介绍材料参数反求过程中需注意的若干问题。第一蕈材料参数反求技术第一章材料参数反求技术有限元方法、有限差分法、边界元法等一些数值计算分析方法的迅速发展使得工柠中的很多初值和边界值问题得到很好的解决。在这些计算分析方法的具体实际应用。# ，如何精确获耿原始参数成为影响这些分析方法深入广泛应用的关键。理论上最直接的方法是直接测量这些参数在若干离散点处的值，但在工程实际中直接去测量诸如材料参数往往是非常困难的甚至是行不通。这样便不得不转而先去测量与待定参数有着一定关系的其他可测量的边界量，反过来试着去推断待定参数的值，这便是一种参数反求的问题，有时也称为参数识别( p a r a m e t e ri d e n t i f i c a t i o n ) 。1 i 反问题1 1 1 反问题的概念及其提出的历史背景反问题，顾名思义是相对于正问题而i ；的。通常的理解所谓正问题，+ 般是按照某种自然顺序如时间顺序、空间顺序、因果顺序等来研究事物的演化过程，简而言之1 ：问题是由因推果。反问题则是倒果求因，是根据事物的演化结果，由可观察的事物内部规律或所受的外部影响，由表及里去研究。经典反问题的研究可以追溯很早，如所谓的“盲人听鼓”问题最早是由丹麦著名物理学家l o r e m z 在1 9 1 0 年提出的t 2 0 l 。要求通过已知的声谱来确定一个二维鼓面的形状。由一直以来反问题在应用上没有重大突破，故无论是数学界还是工程界，长时问朱引起足够重视。但在近几十年，随着数值计算技术迅速发展，在理论模型的实际应j h 过程中，许多在理论上或实验室中能给出的条件，在实际常常难以给出，从而阻碍理论的进一步应用，这时便提出了如何获得这些初始条件或边界条件的问题。因此反问题的求解是理论模型过渡到真实应用不可缺少的一环。根据反求的目标可以将反问题可以分为f 面5 类，1 2 2 1 ：1 形状反向确定问题，即确定物体内部物质和空洞的尺寸、形状和位置；2 初始或边界条件的反向估计问题；3 源的估计问题；4第一荤材料参数反求技术4 材料特性参数的反求问题，其中包括热传导系数、热扩散系数、粘度系数、电罾率、介电常数等物性参数的反求：5 控制方程的反向估计。1 1 2 反问题的数学提法丁程中场问题通常的定义包括：一组偏微分或积分方程、作用域的形状和尺寸、初始边界条件，场中介质的材料特性以及内部源和外部的输入。设n 为”维空间的连通丌域，变量向量x = ( x ，x ：，x 。) ，其中可以包含时| 、日j 变元，厂为其边界。则系统模型的一般形式可以描述为：a ( u ( x xs ) = rx q( 1 1 )b “( x ) ，s ) = rx 厂( 1 2 )其中a 是作用于全域力上的微分或积分算子，b 是作用于边界厂上的微分或积分算子，u 、r 、r 均为x 的函数，u 是系统中与介质特性有关的物理参量，r 为右端源项，r 作为边界二的输入，s 为系统的状态变量。一般都是在已知u 、r 、r 的情况下，利用式( 1 1 ) 和( 1 2 ) 求解s ，这一过程即为正问题的求解。随着数值计算技术的发展，尤其是有限元方法的迅速发展，使得大多数的正问题得以很好地解决。但在实际问题中，u 、r 、r 的分量常常很难全部已知。而另一方面，却有可能通过设计相应的试验，在全域n 中的某些离敞的子域的集合9 。上，实测得到部分系统状态变量s + 的信息，即此时有：a ( u ( x ) s ) = rx 门h 6( 1 3 )如何利用式( 1 3 ) 确定u 、r 、r 中的未知分量从而使得式( 1 1 ) 和式( 1 2 ) 完全定解，这就是般反问题的数学提法。1 2 材料力学特性参数反求技术材料特性参数反求是反问题技术的一个重要应辟j ，在板料成型过程的计算机仿真中 三要用到的是力学特性参数，如弹性模量、泊松比、屈服极限、硬化模量等。1 2 1 材料参数反求的基本思路第章材料参数反求技术材料参数反求方法的基本思路较为简单，一方面试验测试板料试件表面i ：若干离散点的。典际位移响应u e x p ( x 。，) ，另一方面通过计算机仿真技术模拟实际实验条件，从而通过仿真计算得到相应各离散点的位移响应u ( x 。，f ) 。建立如f 目标函数：t , = 0 u u “9j j ，( 1 4 )即以实测位移响应为基准，通过不断优化仿真计算模型中的材料参数直至两种响心在某+ 意义上相等( 如最小二乘的意义j ：) ，则认为这组材料参数的值与实际相符合的，从而反求得到材料参数。这咀有如下基本的假设，即假设试验测试误差和有限i 的计算误差为零。从上面的基本思路不难得出材料参数反求技术e 要包括三个部分：( 1 ) 试验测量实际位移响应，作为反求汁算的基础：( 2 ) 建立数值仿真模型，计算与试验同等边界和初始条件下的力学模型位移响应；( 3 ) 通过优化技术反求得到材料参数图l材料参数反求技术流程图6第一哥材料参数反求技术图1 显示了用反方法标定材料参数的流程。在图1 中，p ( o ) 代表材料参数的原始估计向量，p ( ) 为第女次参数向量的迭代值，p ( 为最终标定的参数向量，为预定的计算精度。1 2 2 参数反求问题的研究难点i 正问题相比，反问题的研究起步相对较晚，发展还远不成熟。由于反问题的求解通常是违背了物理过程的自然顺序，从而使其中一些正问题中的良好性质= = 再满足，【叫此从本质上来说，反问题的研究难度一般比相应的f 问题要大。同时由f 得到的外部信息存在噪音甚至可能是错误，这都将影响反问题的最后求解。归纳来看，反问题的难点主要体现在2 0 1 ：1 存在性引起解不存在的原因很多，如接收测量得到响应含有噪音甚至错误，反问题目标函数的建立是否合理等等，由于反问题的求解是一个逆向过程，这些因素将很容易导致最终所要求解的问题无解12 唯一性有时反问题的解虽然存在，但却可能不唯一，宵几个甚至无数个，这通常是由于需要输入的信息量太少，不能唯地确定一组解。应该说对于很多实际问题来说真】f的解应该是只有一个。3 稳定性通常在反问题中是利用可探测接收的信息来反求物质的结构和特性。但在实际操作中接收的信息数据通常不可避免地会还有噪音，且正问题的计算也存在误差，同时反求过程中还有计算误差的积累，这就很有可能使，f ：始的微小误差导致最后反求结果的严重失实。而且研究也证明了相当多的问题正是具有这样的病态特征。4 非线性反问题通常多是非线性问题，即使e 问题是线性的，其反问题的求解也往 e 会表现为非线性，并导致巨大的计算量，这给反问题的研究和求解带来好大的麻烦。通常将不满足存在性、唯一眭和稳定性三者之一。的问题称之为不适定性问题。对f 反问题具有上面四个“恶劣”特性，那么这样求解得到的结果是否可信呢? 月j 传统的眼光来看，这样的问题是没有研究的价值的。但诈是由f f 问题的深入研究和应用，认u 到这样的问题足大量存在，而且不得不去研究并有着重要的研究和应用价值。7第一章材料参数反求技术以材料参数反求问题来看，其1 1 i 向问题的求解通常可以选择有限元方法、边界元法、有限差分法等数值方法。这些疗法基本e 已经发展得相当完善，在理论：可以获得非常精确的解，其中尤以有限元方法为甚。但其反问题材料参数的反求却是高度病态的，且通常是非线性的，那么如何才能获得町信的结果，这方面的解决方法的奠基性 作是t i k o n o v 教授等人提出的解决线性问题不适定问题的正则化方法，其主要思想是利用对解和测量数据误差的先验估计从而将问题的求解限定在某个较小的范 翎内，将原本不适定问题通过这样适当的改造成适定问题。1 2 2 仿真先验信息的概念提出及其应用通常先验信息的获取是在根据资料记载或者是实际应用过程中的一种经验的积累，凶此获得的先验信息量通常非常有限。为尽可能多获得问题先验信息，本文提出所谓的仿真先验信息，即采用仿真计算方法研究问题来获取的先验信息。j 于利用仿真计算的方法，可以根据需要人为有目的地研究对应的材料模型，从而可以方便地获耿反求过程中需要了解的各种信息，将反求问题改造成一个适定的问题，为反求的成功进行提供了保障。仿真先验信息的应用主要包括以下三方面：( 1 ) 利用仿真先验信息，将试件分为活性区、惰性区和盲点区，并提出了确定试验测试点的活度规则；( 2 ) 利用仿真计算的方法，研究材料参数的变化特性，确定材料参数的反求区问；( 3 ) 在给定试验方式下，利用仿真先验信息，确定材料模型中的哪些材料参数可以反求得到，而哪些材料参数是不可反求得到的。8第二章止向问题的求解第二章正向问题的求解【f 问题的定性和定量研究是反问题的基础，是在假设正问题的定量理论和算法均已经解决的基础上，才可以提出反问题。没有正问题的定性定量研究基础提反问题是没有意义的，而反问题也正是正问题在实际应用过程中逐渐被提出的，同时反问题的求解过程中也耦合着正问题，并且与n ：问题的精确求解有着极大的关系。材料参数反求中的正问题，是在材料承受外部载荷作用下精确求解材料的运动和变形情况。这一正向问题在理论上已经有了精确的数学描述，尤其是随着以有限元方法为代表的数值计算技术迅速发展，使得这些力学问题可以得到非常精确的材料变形的数值解。下面介绍这一正问题的基本数学描述及其有限元求解方法，同时为得到试验测试点精确的计算位移，提出两级试验测试点位置的平面搜寻方法，并利用等参元思想计算测试点的位移。2 1 基本方程考虑一物体原始状态为o q ，经过时间t 变形后为力，如图1图2 1 材料的运动和变形图9第：章正向问题的求解2 1 1 运动方程设在物体，n 内的任意一点的柯西应力为仃，则在其运动和变形中的任意一时刻，域内仟意一点( x ，x ：，7 x ，) 满足如下方程：i c 3 c r j + r6 ：，p ，ad x( 2 1 )其中盯。为柯西应力分量，匆表示体积力的第i 个分量，d 。表示加速度的第f 个分量，7 p表示材料的质量密度。2 1 2 几何方程应变的定义- j 以一般性地描述如f ：1 7 , = ( + 7 “，j + 。，“) 2式中“。= a “，o x ，为l a g 捌n g i a n 崔标，即有爿，= o x ，。对于小变形来说，此时式( 2 2 ) 中的第三项远远小于前面两项这样得到常用的工程应变的定义：e 。= h 、，+ “。j 22 1 3 本构方程( 2 2 )故可以忽略不计( 2 3 )通常不同的材料具有不同的本构关系，即使对于同一种材料，在不同的变形状态下，其本构关系也可能不一样，难以给出统的描述。对于材料在线弹性范围内的变形，可以采用广义虎克定律，其描述如下：t s j l = c 0 “( 2 a 式中( - 删为材料参数，7 瓯为第二p i o l a k i r c h h o f f 应力张量，其与柯西应力张量具有如卜- 关系：气= 罢r t ( 7 托t ，眩s )式中o p 和p 分别表示。时刻和，时刻的质量密度，而。= a w ，归以，其中x 为l a g r a n g i a n 坐标。对于小变形来说，近似有关系f 。= 1 和p = o p ，此时有s = g ，则( 2 4 )式町改写为。仃= c q k l e ，( 2 5 )o第章j f 向问题的求解2 1 4 初始条件没初始应力为零，初始位移和初始速度给定如下：u ( x ，o ) 5 i uix o q( 2 6 )v ( x ，o ) = vj式中u 和v 分别表示初始位移和初始速度。2 1 5 边界条件已知边界条件通常包括给定的边界位移和给定的边界力，有时还需考虑接触力，即边界可以表示为三部分：厂= l + f ，+ f( 2 7 )式中厂全部边界，n 为位移边界，2 厂，为外力边界，厂为接触力边界。设边界上任意一点的法向单位矢量为。，则位移和载荷边界条件可以分别表示如下：u = u在边界1 l 二( 2 8 )d 。n j j = g ，在边界厂，上( 2 9 )式中。i 是给定的边界位移，石。是给定的单位面积上的边界力石的第f 个分量，7 n ，是7 厂，上的单位法向矢量n 。的第- ，个分量。如考虑接触力则单位面积上切向摩擦力的总值可按下式计算r g ，：，g ：) 2 + ( r q ，) 2 】“2 蔓。o ，( 2 1 0 )式中g ：和7 吼为切向摩擦力分量，与法向接触力有关，需由摩擦定律决定，u 为摩擦系数。2 1 6 控制方程的等效“弱”形式为方便有限元的求解，应用虚位移原理将运动方程变成积分形式。设在时刻，在物体q 有一虚位移场面，对应的虚应变记作& ，不考虑接触力，则可得到如下的等效积分形式，。6 u , ( ，+ 石，一。加) d 力一f ，6 u , ( 饥，旷7 万) d 厂= o( 2 1 1 )利f j 分部积分和质量守恒原理第一章正向问题的求解o po ( d 力产p1 ( a a )( 2 1 2 )9 1 0 式( 2 1 1 ) 可以变为f ，。占p 仃8 q f 。占7 64 力( 2 1 3 )一lo rf l u q d f + l 、n 6 u 。p l nd e 2 = 0式( 2 1 3 ) 中第一项为应力场做的虚功记为6 w s ，第二项和第三项为外力和边界力做的虚功记为6 ，第四项为惯性力做的虚功记为占。如考虑接触力则式( 2 1 3 ) 写为f 。& 口8 n f 。占“。64 n l ，6 “石4 厂。：。4 ，一0 n 曲pnd q k ，。g 。协2 一副) n , 2d f = 0其中第五项为接触力做的虚功6 彬。2 2 有限元显式求解2 2 1 有限元方法在对域q 进行有限元离散，即有d = u 力。，。n 表示有限元系统的单元总数。单n元的位移场用节点的位移表示如下虬( x ) = ，( x ) “，( ，)( 2 15 )，表示单元内第1 个节点，月。为单元节点数，n ，为与，节点相关的形函数，“，( ，) 为该节点的位移值。不考虑接触力的作用，采用增量l a g r a n g i a n 方法，式( 2 1 3 ) 可转化为如f 统一的有限元格式( 分量形式)m 。a j j = f ，e x t t f f2 1 6 )其中m 为质量矩阵mq u = 6 | f l 、n n o p n | d dl 2 17 )- ，为内部节点力1 矿= l 口n 肌i , o n t a ，d 力( 2 18 l ，第一章正向问题的求解f ，“1 为外部节点力f ! p = 心| jp b | d o + f r f , n l i i j d f( 2 1 9 )2 2 2 显示求解法由于材料在运动和变形过程中涉及到几何非线性和材料非线性，对于这类非线性川题，通常采用分步求解的办法，对时日j 域 0 ，t 】进行离散化，将其分成若干二于域h ，r ，】，f = 1 ，2 ，3 n ，其中，。= 0 ，f 。= t ，此时将式( 2 1 6 ) 改写为时域上离散方程，在 时刻方程如下m a 。= e “一b ( 2 2 0 )则”时刻的加速度可以由下式求出，a 。= me “一l “)( 2 2 1 )假设月时刻的位移场和速度场已知，w + 1 时刻的位移场在, 时刻的t a y l o r 展) 1 ：式忽略o d ，3 ) 项表示如下：。= + z l t f t + ；陋) 2 。( 2 _ 2 2 )则 + 1 时刻的速度为k ，= ：，2 3 有限元模型中测试点的位移计算优化反求中有限元模型计算的位移必须要和测试点相对应的试验测试值位置进行比较，因此如何精确地搜寻试验测试点在有限元计算模型中的位置，并确定其理论计算值就显得格外重要。显然如果对应的理论计算点位嚣确定不精确，会导致最后的材料参数反求的结果收敛于非精确值。实际上这罩包括三个问题，其一是搜寻与试验测试点相对应的理论计算点所在的相应单元，其二是确定理论汁算点在单元中的位置，：是利用单元节点的位移计算理论计算点的位移。2 3 1 单元搜寻针对于在课题实际仿真计算应用中用的主要是四边形单元，本文提出两级试验测试点位置平面搜寻方法。在两级测试点搜寻厅法中，第一级是搜寻测试点可能会落在1 3第：章三向| l u 题的求解哪些单元，第二级是指在第一级搜寻单元中再确定具体在那个单元中。图2 2 四边形单元及其外接最小矩形第一级搜寻算法：确定每个任意四边形单元的最小外接矩形，如图2 2 ，然后判断测试点的位置是否落在这些外接矩形内，如果是则认为试验测试点有可能落在最小外接矩形相对应的单元内，否则认为测试点没有落在相应的单元内。对于第i 个单元的外接最小矩形的定义是：( 2 2 4 )x5 m m = m 。i n ，( x ；)( 2 2 5 )y 。m “= r 黔：)( 2 2 6 )儿一m 。i n 。( y ，)【2 2 7 )设测试点的坐标为g ，y ) ，则测试点可能落在的单元满足如下关系x 删。互+ x 。m a ) ( 2 2 8 )y m ，。y + y 。( 2 2 9 )一。般来说，有限元的正常运算对于四边形单元形状有一定要求，过于畸形的单元般不会出现，因此对于一般四边形单元来说，测试点与其周围单元分布关系一般有四种，如图2 3 。1 4第：章正向问题的求解( i i i )( i v )图2 3 测试点与其周围单元分布关系通过图2 _ 3 不难发现经过第一级搜寻后留下需要进行第二级搜寻的单，i 数目已经很小，大部分属于图中的情形( i ) 和( i i ) ，即通常j 有一个单元或者两个单元，实际j ：图中的情形( i v ) 也是很小的。如果是情形( i ) 此时实际已经找到相应的单元，因此没有必要进行下面的第二级搜寻。第三级搜寻相对于第一级搜寻所需要的汁算量要大的多，因此大规模减少第二级搜寻，这对于提高搜索速度是很有意义的。第二级搜寻方法是采用比较经典的面积求和方法来判断测试点是否落在相应的单元内部。测试点与四边形单元各个顶点形成如图2 4 务个小三角形，如果测试点在四边形单元内部如图2 4 中的情形( i ) ，此时需满足s l i a d = s 甜b t + s 勰cr + s m ，! ，t + s m 1l 2 3 0 )其；中s 【l 月( y ) = s d + s “( 而三角形面积计算公式如下s 。= 拥f 磺i 酮( 2 3 1 )卜式中“、b 、c 分别为三角形的三条边长，r ：掣竺。2而如果测试点在四边形单元外部，如图2 4 中的情形( i i ) ，此时满足s 【1 月f d l 。 y8惰性区：y8 - i v 。女 y 。盲点区：妒。女s y 。需要特别提出的是一个点的活度值对于某一个材料参数在不同方向上是不同的，必须要加以区分。实际上有些点在x 方向上可能是惰性点但在y 方向上却是活性点，因此活性区的划分要按三个坐标轴分别进行。根据板料上活性区、惰性区和盲点区的划分，f 面给出具体试验测试点的筛选操作时要遵守的两条规则：1 每一个拟反求材料参数的活性点必须有若干点个出现在最后选中的试验测试；2 选择的每一个测试点绝不能是某一个拟反求材料参数旨点，即使这个测试点是其它拟反求材料参数最活跃的点，但它可以是惰性点，换句话说，选择的测试点对于每一个拟反求的材料参数必须是活性点或者是惰性点。依照上面活度筛选规则，对前面算例中的测试点作了重新调整，并增加了若干个材料参数泊松比的活性点，在其他条件保存不变的情况下重新反求得到的弹性模量和泊松比的反求结果如图3 1 2 和图3 1 3 所示。2 第三章宏观位移的试验获取技术弹性模量反求估计值泊松比反求估计值图3 1 2弹性模量反求值变化曲线迭代次数图3 1 3泊松比反求值变化曲线迭代次数从图3 1 2 和圈3 1 3 可知，此时弹性模量和泊松比的优化反求值均能够比较快速地向精确值逼近，避免了图3 1 l 中泊松比反求估计值在迭代过程中艰难爬坡的现象。因此采用活度规则确定试验测试点对于提高反求计算的效率和保证得到正确的反求结果有着重要作用。第四章参数反求方法第四章参数反求方法材料参数反求的基本思路是通过不断调整仿真计算模型中拟反求材料参数值，使得仿真计算得到的位移响应和实测位移响应一致。当以最小二乘方法建立目标函数时，问题的求解实际上可以归结为一个最小j 乘优化问题的计算，即通过优化拟反求材料参数使得日标误差函数在最小二乘意义下获得最小。通过宏观位移响应反求材料参数足一个非线性问题，而当涉及大变形时其非线性程度更高，因此这罩必须构造一种快速有效地求解非线性问题的最优化方法。4 1 最优化问题求解的一般方法4 1 1 最优化问题数值求解的基本结构设无约束最优化问题的一般形式为卿，( x )( 4 1 )其中x 为决策向量，( x ) 为目标函数。最优化问题的数值求解通常是采用迭代方法求它的最优解，其基本思想是：给定一个初始点x 。r ”，按照某一迭代规则产生一个点列 x 。 ，使得当 x 。 为有穷点列时，其最后一个点是最优化模型问题的最优解，当 x 。) 为无穷点列时，它有极限点，且极限点为最优化模型问题的最优解。显然如何寻找这样一个有效的迭代规则是最优化方法的一个核心，它包括两方面：一是迭代方向或者说是搜索方向，二是迭代步长。设x 。为第k 次迭代点，d 。为第k 次迭代方向，九。第k 次步长因子，则第k 次迭代口，以用式( 4 2 ) 表示：x i + l = x 女十九i d 女( 4 2 )从上面的迭代格式不难看出，不同的迭代方向d 。和不同的迭代步长因子九。构成了1 ；同迭代规则。在最优化方法中，迭代方向d 。是目标函数厂( x ) 在x 。点处的下降方向，即这罩迭代方向d 。满足可( x 女) 7d 0( 4 3 )或，9第四章参数反求方注l ，、( x + l 女d ) f ( x 女)( 4 4 )那么什么时候优化迭代该终止呢? 即经常浼的终止迭代所需的收敛准则。理想的一般町表示为终止条件是l i ( x 。) 一( x ) | | s 或i i x 。一x + i i ，其中x + 为真实解，参数s 的大小可根据需要自由确定。f 【i - 由于在实际应辟j 中通常真实解x 是4 i 可知的，因此经常采用的终止条件是| i f ( x ) 一f ( x ) 忙s( 4 5 a )或慨+ 。一x 。忙( 4 5 b )9 纳来看最优化问题的数值求解的基本结构为：( 1 ) 给定初始点x 。( 七= 0 ) ，( 2 ) 确定迭代方向d 。，即按照一定的规则，构造搜索方向使得目标函数在x 。点处下降，( 3 ) 确定迭代步长因子九。，使日标函数有某种意义的下降，( 4 ) 此时令x 。= x 。+ 九。d 。，若x 。或( x 。) 满足某种终止条件，则停i f ：迭代，从而得到近似的最优解x 。否则转到步骤( 2 ) 重新7 r 始迭代。4 1 2 最优化问题数值求解方法通过上面的介绍不难发现，最优化问题的求解主要是要解决两方面的问题，一是如何构造迭代方向d 。，其二是找到不同的迭代步长因子九。下面分别从这两方面来介绍最优化问题的数值求解方法4 1 2 1 步长因子x 。的确定确定步长因子九。的方法有两类，即分割法和插值法。分割法，它包括：分法、黄金分割法和f i b o n a n c c i 方法，这三种方法的差异是其搜索区间长度的缩短率分别为o 5 、o 6 1 8 和f i b o n a n c c i 数，实际上这个缩短率可以根据需要任取，只是此时收敛比稍有所差别。插值法的基本思想是在搜索区间不断用步长因子的低次多项式来近似目标函数，使得确定步长因予问题变为一个求多项式的极值问题，虽然这类方法在理论上具有超线性的收敛特性，但由于其在计算步长因亍：中至少涉及求目标函数的一阶导数，这相对于分割法只需要计算函数值来说要麻烦得多。另个不得不提的问题是步长因子搜索的终止准则，设1 n第四章参数反求方法妒( 丸) = f ( x + k d )( 4 6 )其精确的搜索是x 。满足妒( 九 ) = m i n e ( k )( 4 7 )显然在实际计算中，理论上精确满足式( 4 3 ) 的步长因子k 。是难以找到的，而且稚：最优方法的收敛性并不是严格依赖于步长因子的精确搜索，因此通常可以选择个n r 以接受的下降占。作为终止条件，。的取值简单处理可以为一个很小的常数，即此时仃f ( x 女) 一f ( x + k k d t ) i s n( 4 8 )4 1 2 2 迭代方向d 。的确定构造迭代方向的方法有很多，犬部分的方法的思想还是利用目标函数的一次或者：次t a y l o r 展开，因此一般要涉及目标函数的一阶导数和二阶导数，令g = v f f x ) ，h = v 2 f ( x ) ，后者即所谓的h e s s i a n 矩阵，此时各种迭代寻优方向描述如下：1 最速下降法：该方法是最优化中最简单的一种方法，直接将目标函数的负梯度方向设为寻优方向，即d t = 一g i( 4 1 1 )2 牛顿法：该方法是利用了目标函数的二次t a y l o r 展开，其迭代寻优方向为：d = 一h ：1 g 女f4 1 2 )牛顿法具有收敛速度快的特点，但有两个困难，一是h e s s i a n 矩阵h 。易为不正定，二是需要计算和储存h e s s i a n 矩阵的信息。为区别起见，通常称解决第一类困难的方法为修f 牛顿法而另一类为拟牛顿方法( q u a s in e w t o nm e t h o d )对于修正牛顿法来说一个简单的修j f 是令t t = h + p i( 4 1 3 )其中v k 为大于零的常数，i 为单位矩阵。显然修j 下的牛顿法仍然存在第二类困难，相比之下拟牛顿法通常更受青睐，因为它是利用目标函数( x ) 和一阶导数g 的信息，来构造出近似的h e s s i a n 矩阵，避免了计算h e s s i a n 矩阵，同时又有收敛快的特点，因此应用较多，构造的方法也比较多，其中比较常用的有如下两种d f p 法：令s t = x 一x 女、y = g 一g 女则构造如。卜第四章参数反求方法b f g s 法”袅一鬻4 ，k ，：h 州1 + 延y k 掣) 蔓3 + y ks 女y k( 4 1 5 )s y 7 h 女+ h 女y 女- s i73 共轭梯度法：此方法速度介于最速下降法和牛顿法之问杂，但具有较快的收敛特性。其迭代方向为d 女+ l = 一g 女+ i + p k d 其中g o g 女+g “l 。g t虽然比最速下降法稍微复( 4 1 6 )里立( c r o w d e 卜w o l f 公式)g 女)( 4 1 7 )( f l e t c h e r r e e v e s 公式)4 信赖域方法( t r u s t r e g i o n m e t h o d ) ：它是要求目标函数的t a y l o r 展丌在某一邻域内与目标函数一致，然后用目标函数的t a y l o r 展丌式代替目标函数来确定迭代方向。这种方法由于步长要受到t a y l o r 展开式的信赖域有效的限制，故又称为限定步长法。详细的将在本章第三节中具体描述。4 2 材料参数反求的优化模型4 2 1 目标函数的建立设在子域妇。内有。个测试点，在时阳j 域【o ，r 】内建立最小二乘意义下如卜 目标函数：凹( p ) 5 j 1r7rp e “z矮中p = p 。，p 。，儿，p 。】，n 为需要反求的材料参数个数r ： 。r2 r1 r ，r 】7 ，为加载时问步数，( 4 1 8 )3 2第四章参数反求方法r1rf 向r = h r 2 j ，这垦，【l ，a r ，】，此时有o = 。“，佃) 一“，“9j = l ，2 ，3 ，n 。( 4 1 9 )则可将( 41 8 ) 写成分量形式