（电力系统及其自动化专业论文）面向工程的电磁场软件与电磁场逆问题研究.pdf

2 太原理工大学硕士学位论文 a b s t r a c t t h i s p a p e r f o c u s e so nt h e e l e c t r o m a g n e t i c f i e l d c o m p u t a t i o na n di n v e r s ee l e c t r o m a g n e t i cf i e l dp r o b l e mo f s w i t c h e dr e l u c t a n c em o t o r f i r s t ， a u t o m a t i cm e s h g e n e r a t i o na p p r o a c hb a s e do nt h ef u z z yi n f e r e n c ef o rf e a n a l y s i si sp u tf o r w a r d ，b yw h i c he x p e r le x p e r i e n c e so n m e s hg e n e r a t i o nc a nb ef u l l yu s e da n dr e a s o n a b l em e s h e s c a nb eg e n e r a t e dr a p i d l y s e c o n d av i s u a ls o f t w a r ef o r s r me l e c t r o m a g n e t i cf i e l dc o m p u t a l i o ni sd e v e l o p e db y u s i n go b j e c t o r i e n t e d p r o g r a m m i n g ，i n w h i c hr o t o r m o v e m e n tp r o b l e mi sd e a l tw i t hm o v i n gb o u n d a r ym e t h o d t h es o f t w a r eh a sb e e nu s e di ne n g i n e e r i n gd e s i g n t h i r d l y , s i m u l a t e da n n e a l i n ga l g o r i t h mi s t h o r o u g h l ys t u d i e da n d i m p r o v e d an o v e ig l o b a lo p t i m i z a t i o nm e t h o d ，i n t e l l i g e n t s i m u l a t e da n n e a l i n ga l g o r i t h m ，i sp r o p o s e db ya s s e m b l i n g f u z z yi n f e r e n c ei n t ob a s i cs i m u l a t e da n n e a l i n g f i n a l l y , t h e i n t e l l i g e n ts i m u l a t e da n n e a l i n ga l g o r i t h mi sa p p l i e dt ot h e i n v e r s ee l e c t r o m a g n e t i cf i e l dp r o b l e mo fs r m ，a n dp o l e s h a p e0 ft h er o t o ri so p t i m i z e d k e yw o r d s ： s w i t c h e dr e l u c t a n c em o t o r e l e c t r o m a g n e t i cf i e l d i n v e r s ep r o b l e m s o f t w a r e o p t i m i z a t i o n 太原理工大学硕士学位论文 第一章绪论 1 1 电磁场逆问题的定义 电磁场逆问题是目前国际电磁计算领域研究的热点问题 之一。为了说明电磁场逆问题的概念，必须首先了解电磁场 正问题。电磁场正问题即通常所说的电磁场分析，它是指已 知电磁装置的形状、尺寸、材料、励磁电流等条件，求解电 磁装置的磁场分布。电磁场逆问题则是指已知电磁装置的磁 场分布，求其形状、尺寸、材料及励磁电流等参数。 电磁场逆问题很难直接求解。目前，电磁场逆问题都是 将逆问题转化为一系列正问题求解的，即把电磁场分析与优 化计算耦合起来，首先通过一定的方法产生一系列满足要求 的结构参数，然后通过优化方法找出满足要求的最佳解。 电磁场逆问题需要求解成千上万次电磁场正问题，故需 耗费大量的计算时间。所以，目前电磁场逆问题大多限于解 决一些传统方法难以解决的特殊问题，如电磁装置的局部几 何形状优化问题，其研究重点一是快速准确的电磁场计算方 法，二是快速可靠的优化方法，特别是全局优化方法。 1 2 选题的意义 1 2 1 开关磁阻电机的前景 作为一种新型的调速系统，开关磁阻电动机调速系统以 其独特的优势挑战各种传统的调速系统，逐步在家用电器、 工业传动、伺服系统、机车牵引、航天器械等领域取得越来 兰堑二兰苎坠 越广泛的应用，显示出强大的市场竞争力。 在发展初期，开关磁阻电动机大多是用于电力机车牵引， 功率从几十千瓦至几百千瓦。试验结果表明：开关磁阻电机 调速系统的效率与输出动率均高于传统的交、直流调速系统， 其价格介于交、直流调速系统之间。另外，开关磁阻电机在 电动汽车上的成功应用，也表明它在牵引驱动领域具有传统 的交、直流调速系统无可比拟的优点。 当然，开关磁阻电机的应用并不仅仅局限于牵引运输。 事实上，开关磁阻电动机大多可作为需要四象限运行的通用 调速系统。 另外，开关磁阻电机在低压、小功率应用场合大大优于 普通的异步电动机和直流电动机。使用开关磁阻电动机驱动 风机、泵类、压缩机等，可在宽广的速度范围内实现高效率 运行，达到显著的节能效果。经济型小功率开关磁阻电机具 有广阔的市场，据报道，英国l e a d s 大学研制的一种洗衣机 用开关磁阻电机，其重量为3 1 埏，最高转速1 0 0 0 0 r m i n ，直 径1 0 0i n l n ，长度1 1 8m m ，在不降低洗涤性能的前提下，比 标准的洗衣机电机尺寸减少一半。 开关磁阻电机转子上没有绕组，电机结构简单坚固，适 于高速运行场合，开发高速开关磁阻电动机是充分发挥其特 长的一个方向。美国为空间技术应用研制的2 5 0 0 0r m i n 、9 0 k w 的开关磁阻电机样机，其有效材料仅1 0 蚝。 开关磁阻电机具有十分优良的控制性能，容易通过改变 电机的工作方式和控制参数实现不同的性能特点和满足特殊 的性能要求。因此，开发特殊结构、特殊用途、各种容量的 开关磁阻电机已成为今后的一个发展方向。 1 2 2 优化设计与逆问题的重要意义 近年来，优化设计已经成为或者至少正在成为电磁装置设 查堡兰三查兰翌圭茎苎笙奎 2 计的重要方法，特别是随着计算机技术的迅速发展，优化技 术在电磁装置的设计中得到了广泛应用。 然而，优化设计方法还远没有在电工领域中普遍推广， 如我国发输电系统的能耗大于国外，必须采用优化技术来提 高现有和来来电力系统的经济效益；我国电机、电器的设计 制造能力还与国外有相当的差距，急需加强研究和技术开发。 所以，加强优化技术的进一步应用，仍是摆在电工科技工作 者面前的迫切任务之一。 同时，目前的优化设计研究中还存在着一些不足。首先， 由于实际问题的复杂性和现有优化方法的局限性，目前的优 化方法大都得出的是局部最优解而不是全局最优解。例如在 实际计算中，对于同一个问题，采用不同的优化方法或初值， 往往得出不同的结论。其原因是现有的优化方法大都属于局 部优化算法，不能保证找到问题的全局最优解，这就迫切需 要研究全局优化算法。其次，目前普遍忽视优化方法的软件 化。从现状看，目前的优化设计研究主要是项目式研究，承 接一个项目，对一种电磁装置建立一种模型，采用一种或几 种优化方法，得到满意的结果，任务便告结束。以后再找新 项目，周而复始，而没有形成适合于各种电磁装置的优化方 法通用软件，不免形成重复研究。 所以，研究可靠而快速的全局优化方法，并开发相应的 通用软件，使其在电磁装置的优化设计中得以推广，对于提 高我国电工产品的总体设计与制造水平，具有重要的意义。 电磁场逆问题作为一种特殊的优化方法，在解决特种电 机的某些特殊问题，如开关磁阻电机磁极几何形状优化等， 具有其他方法难以比拟的优势。开展这方面的研究具有重要 的理论意义和工程价值。 第一章绪论 1 3 文献综述 1 3 1 全局优化设计研究动态 目前，优化设计已经成为电磁装置设计的重要方法，采 用全局优化算法来达到全局最佳设计是当前国际上研究的一 大热点。 模拟退火算法( s i m u l a t e da n n e a l i n ga l g o r i t h m ，以下简称 s a 算法) 、基因算法( g e n e t i ca l g o r i t h m ) 和神经网络法( n e u r a l n e t w o r k ) 这些随机类算法被公认为较成功的全局优化法。这 类方法仅依赖目标函数本身，并不要求目标函数一定可微或 连续，尽管实际问题中会出现许多局部最优解，但这类方法 一般都能逃离局部陷阱，找到问题的全局最优解或近似全局 最优解。由于它们不需进行灵敏度分析，所要求的代码量小， 易于同c a d 系统及其电磁场有限元分析相结合，具有较高的 可靠性和通用性。其中，s a 算法以其算法简便、且具有擅长 处理不连续变量和病态方程等优点，而受到普遍重视。 s a 算法的思想最早是由n m e t r o p o l i s 于1 9 5 3 年提出的， s k i r k p a t r i c k ”把它发展成为一种优化算法并成功地应用于组 合优化问题。这种算法的出现被称为优化思想的一场革命。 d v a n d e r b i l t 2 开4 用s a 算法求解了数学上几个典型的全局优 化问题，并与以前全局优化中采用的穷举法、多起点法进行 了比较，发现s a 算法无论从解的优良性与可靠性，还是计算 效率方面，都优于其它算法。文献【9 】在求解著名的r a s r i g i n 函数时，用s a 算法取得了突破，计算了目前规模最大( 5 0 0 维) 的问题。正因为s a 算法的上述突出优点，它已被用于电 力系统规划、计算机图形处理和超大规模集成电路设计等领 域h 1 扪。 但是，全局优化方法往往是以很长的计算时间来换取全 局最优解的，s a 算法也是如此。改进现有的全局优化算法， 查堡翌兰查兰璺主堂垒笙奎 提高算法收敛于全局最优点的稳定性、加快其收敛速度是当 前优化方法研究中的一个重要课题。人们对s a 算法进行了许 多改进，文献 5 】提出了根据退火过程中所产生的新状态被接 受与被拒绝的比例自动调节步长来控制退火进度。文献【6 】则 通过预先给定一系列步长的方法加快s a 算法的收敛速度。文 献【7 】提出了自适应模拟退火算法，即根据坏点被拒绝或接受 的比例来自动调节算法的控制参数变化速度，比标准的s a 算 法能节省3 0 的计算时间。文献 1 3 ，1 4 把s a 算法与基因算 法和进化论策略相结合、文献 3 】把s a 算法与普通的确定类 算法相结合，都在一定程度上加快了s a 算法的计算速度。然 而，这些改进都不足以从根本上解决s a 算法的缺陷它在 寻优过程中具有较大的盲目性，因而其效果也都是有限的。 综上所述，尽管s a 算法有许多突出的优点，但这种算法 本身还有待完善。其最大的缺陷是搜索过程中产生的新点只 与当前点有关，而与已搜索过的状态空间无关，这使其搜索 具有较大的盲目性，因而收敛到全局最优点所需要的时间过 长。虽然国内外研究人员对其进行了大量的改进，但都没有 从克服其搜索寻优的盲目性方面来改善其收敛性能。 1 3 2 开关磁阻电动机发展概况 开关磁阻电机调速系统是随着计算机技术、电力电子技 术、现代控制理论及现代设计手段的发展而迅速发展起来的 一种新型高效机电一体化系统，在国内外倍受关注。 1 9 8 0 年，英国l e a d s 大学l a w r e n s o n 教授等发表了著名 的论文“变速开关型磁阻电动机” 2 2 1 首先提出了“开关磁 阻电动机( s w i t c h e dr e l u c t a n c em o t o r ) ”这一术语，并系统阐 述了开关磁阻电机的原理与设计方法，研究了开关磁阻电机 的特性- 9 控制方式。这些工作被公认为开关磁阻电机研究的 奠基之作。 6 第一章绪论 1 9 8 3 年，英国t a s cd r i v e s 有限公司将世界上第一台开 关磁阻电柳广- 旬u t l o n 传动装置( 7 5k w , 1 5 0 0r m i n ) 作为商 品投放市场；1 9 8 4 年又推出4 2 2k w 四个规格的系列产品。 原联邦德国在1 9 8 4 1 9 8 6 年间也先后完成了1 、1 2 、1 5k w 样机的试制。作为一种结构简单、价格便宜的新型调速系统， 问世不久便引起了国际电气传动界的广泛重视，世界各国竞 相发展，我国也于1 9 8 4 年左右以较高的起点开始了开关磁阻 电机的研究与开发。在2 0 世纪8 0 年代，开关磁阻电机是研 究的热门课题，进入9 0 年代后，对其接受感兴趣的程度呈逐 年直线上升趋势，形成了理论研究与实际应用并重的发展态 势。 在应用方面，各国学者将开关磁阻电动机与各类调速系 统，特别是与已得到推广的异步电动机变频调速系统，在其 成本、性能、应用领域等诸方面进行了大量的分析比较 2 2 1 【2 5 1 ， 得出的结论是一致的，即开关磁阻电动机主要性能指标可以 与异步电动机变频调速系统竞争。 表i - 17 5k w 、1 5 0 0r m i n 几种调速系统比较 类 滑差电动直流电动 异步电开关磁 别 动机变阻电动 性能指标 机调速机调速 频调速机调速 效1 0 0 t 与1 0 0 n 7 57 67 78 3 盎 1 0 0 t 与5 0 n3 86 56 58 0 价格so 81 01 51 o 单位体积功率+o 81 oo 9 1 0 可控性* o 3 1 o 0 5 0 9 控制复杂性。 o 21 01 81 2 可靠性可维修性+ 1 61 o o 91 1 噪 声( d b ) 6 96 57 47 4 s 这些性能指均以直流电动机调速时为1 作为比较基准。 查堡兰三查兰翌圭兰竺笙奎! 表1 - 1 清楚地表明，开关磁阻电动机调速系统这种融电 动机与电力电子学于一体的机电一体化调速系统具有强大的 生命力，改变了长期以来认为双凸极磁阻电机效率低、只能 在小功率范围内应用的传统观点。经过近2 0 年的努力，开关 磁阻电动机系统已从最初侧重于牵引运输发展到工业、航空 和家电等领域，取得了越来越显著的经济效益。目前，开关 磁阻电机性能范围：转矩为0 0 1 1 0 n m ，功率为1 0 w 一5 m w ， 转速可达1 0 0 0 0 0 r m i n ；其规格已从多相发展到两相、单相； 电动机型式也从旋转型发展到直线型。 在开关磁阻电机的设计方面，各国学者主要针对开关磁 阻电机内部磁场的非线性及非线性开关电源供电、相电流波 形难以解析等有别于传统电动机的特点，探索开关磁阻电动 机电磁转矩的分析与计算。 显然，从s r 电动机线性模型出发，即忽略磁饱和的影响， 认为相电流与电感无关，有助于分析的简化和使概念清楚。 l a w r e n s o n 等以线性化方法为基础讨论s r 电动机的极数、相 数、极弧的设计准则问题，为s r 电动机的设计奠定了初步的 理论基础【2 到；c o r d a 借助s r 电动机线性模型导出了“理想化” s r 电动机的转矩解析式，为优化电动机设计提供了依据1 2 6 。 k r i s h n a n 等则用常规电动机的设计推出s r 电动机的输出方 程，对该类电动机设计有重大的参考价值口7 1 。 在功率变换器方面，目前小功率开关磁阻电动机系统常 采用m o s 场效应晶体管( m o s f e t ) 作开关元件，较大功率则 采用绝缘栅双极晶体管( i g b t ) 。值得一提的是，1 9 9 0 年，p o l l o k 对开关磁阻电机功率变换器主电路拓扑结构进行了研究【2 8 1 ， 设计了一种新的功率变换器电路，其全部电源电压加于相绕 组，主开关器件的电压额定值与电源电压接近，而采用的主 开关器件数每相平均分摊却少于两个，从而构成了一种“主 开关器件数最少的开关磁阻电机功率变换器。” 在控制器设计方面，人们研究了开关磁阻电动机的各种 基本控制方法及其组合，包括恒功率控制- 9 恒转矩控制策略， !堑二兰苎笙 以及不同速度范围的应采取的控制方式等 2 9 1 【3 n 。但由于开关 磁阻电动机具有严重非线性及变结构、变参数、数学模型难 以精确建立的特点，采用常规的线性系统控制方法难以取得 理想的动、静态性能。近年来，对于开关磁阻电机的控制研 究主要围绕现代控制理论展开，例如消除转矩脉动的自适应 控制系统吲，神经网络控制模型3 3 1 ，带状态观测器的无位置 传感器系统等睁。 由于开关磁阻电机具有结构的特殊性、磁场分布的不均 匀性、严重局部磁饱和及高度非线性等特点，准确计算必须 借助电磁场有限元分析。因此，研究基于电磁场有限元分析 的设计方法非常必要。 1 4 本文的主要工作 本文的工作主要围绕以下方面展开： 第一，通过将模糊推理与s a 算法相结合，实现s a 算法 寻优的智能化。并且编制智能型s a 算法软件，可以方便地实 现与电机电器c a d 软件和电磁场分析软件的接口。 第二，解决电磁场软件研制中的关键技术问题，编制基 于面向对象技术的开关磁阻电动机电磁场软件，可以用于准 确计算开关磁阻电动机参数和性能。 第三，通过求解电磁场逆问题，对开关磁阻电动机磁极 形状进行优化设计，确定开关磁阻电机磁极最佳形状。 太原理工大学硕士学位论文 第二章开关磁阻电机电磁场计算 开关磁阻电机结构复杂；媒质交界面曲直交错；随着转 子位置的变化，开关磁阻电机内电磁场分布显著变化；当转 子在某些位置下，电机的磁路存在严重的局部饱和。这些特 点使开关磁阻电机电磁场计算显得特别重要。 电机电磁场数值分析主要采用有限元法、边界元法和有 限差分法。其中，最有效、因而应用最广泛的是有限元法。 与其他方法相比，有限元法具有以下突出优点： 1 ) 系数矩阵对称、正定且具有稀疏性，因而目前普遍采 用不完全乔累斯基分解共轭梯度法( i c c g 法) 结合非零元素压 缩存贮解有限元方程，可节约大量的计算机内存和c p u 时间。 2 ) 处理第二类边界条件和内部媒质交界条件非常方便， 对于第二类齐次边界条件和不具有面电流密度的媒质交界条 件可不作任何处理。对于由多种材料组成、内部具有较多媒 质分界面的电机电磁场来说，有限元法非常适用。 3 ) 几何剖分灵活，适于解决电机这类几何形状复杂的问 题。 4 ) 可较好地处理非线性问题。 5 ) 方法的各个环节统一，程序易于实现标准化。随着前、 后处理技术的发展，已逐步形成了一些功能齐全、便于操作 的通用或专用软件。 2 1 数学模型的建立 为了节省内存和计算时间，通常选开关磁阻电机一半区 域为求解区域，如图2 - 1 所示。利用矢量磁位五进行求解；在 边界面和面的对应点，磁场满足半周期性边界条件，在定 1 0第二章开关磁阻电机电磁场计算 子外圆弧a c 和转子内圆弧b d 上，矢量磁位满足第一类边界 条件，则其数学模型为 q 丧( v 赛) + 五0w ；方0 a = t a c ，幻：a = a ( 2 - 1 ) 一a b ，c d ：a 面= 一刈历 式中，v 为磁阻率，v = l i p ，p 为磁导率；a 为磁矢位，因为五只 有z 轴分量，故可写成标量形武；j ：为源电流密度。 图2 - 1 开关磁阻电机求解区域 2 2 电磁场有限元计算格式 式( 2 1 ) 表示的边值问题可等价为以下条件变分问题： 附) = 皿( r 诏扭一a 蚴= 心( 2 - 2 ) 【r l ：a = a o 式中，w ( a ) 为能量泛函， b = 厕丽 将求解区域用图2 - 2 所示的三角形单元进行离散，并在 单元中构造磁位的线性插值函数；将插值函数及其对x 、y 的 太原理工大学硕士学位论文 l l 一阶偏导数代入能量泛函中，条件变分问题转化为能量函数 w 求极值，从而得到节点函数的代数方程组。 式中 图2 2 三角形单元 对一个单元分析的结果，写成矩阵形式为 巩矿 a a j 抑 a a j a d a m ( 2 3 ) 耻云噼+ c ；) = 云( 6 ；+ c ；) 。蛰和 ( 2 - 4 ) = = 云( 以6 ，c ，) = = 云户m + c j c m ) 七“= “= 石v j + c m c i ) a 加厶 m 即跏 唧鼬 1 2 第二章开关磁阻电机电磁场计算 p = 二( ，l = i ，j ，m ) ( 2 - 5 ) 此处，为单元面积，b i 、b j 、b m 、c i 、c i 、c 。由下式计算： a i = x j 。一x m 7 i n i = x m y 。一x t y 。a m = x i i x j y i b j = y j y 。b = y 。一y jb 。= y l y ， ( 2 - 6 ) i 【c i = x z ，c j = x i x m c m = 工一工 将整个计算域上各单元的能量函数对同一节点磁位的一 价偏导数加在一起，并根据极值原理令其和为零，得线性代 数方程组为 k l lk 1 2 k 2 lk k lk 2 p l p 2 p ( 2 7 ) 武中，n 为求解域上节点总数。 考虑边界条件，方程组需作修改。第二类齐次边界条件 及不同媒质分界面上的交界条件，在变分问题中自然得到满 足。若三角形单元的节点j 和m 落在第二类边界上，则单元分 析中右端项应修改为 式中z i 三角形单元中落在第二类边界上的边j m 的长 度，即；= 面。如为齐次边界条件，式( 2 5 ) 右端向量不变。 第一类边界条件又称为强加边界条件，设在n 个总节点 中有一个第一类边界点，边界上节点的磁位值已知，其编号 为t ，那么，方程组中应减去已知磁位的方程，同时将其他方 程修改为 a 山j 山 旷i。iii二。ii。i。iii=5 似协 跏 一 一 f一：lz 一 一 竽警坐。坐。坐， i l = 太原理工大学硕士学位论文 1 3 p i k t , a t p 2 一七2 f a t a p 月一七a i ( 2 9 ) 当有多个第一类边界点时，可以对各个边界点用以上方法 逐个处理。 2 3 周期性边界条件的处理 旋转电机的磁场一般沿电机的圆周呈周期性交化，当在 电机中找不到磁场的对称线作为边界时( 如开关磁阻电动机 负载时) ，可以取一个周期或半周期范围作为求解区域。这时， 在磁场正好间隔一个或半个周期的两条边界上，满足整周期 性或半周期性边界条件。对于所研究的开关磁阻电动机，其 求解区域如图2 1 所示，由于在面和历上各对应点的磁位a 值正好差一个负号，因此其中一条边上节点的磁位值不必求 解。具体原理及变化形式见文献 1 6 】。但是文献 1 6 1 中要求对 节点编号时，将参加求解的周期边界节点放在最前面，而将 不参加求解的另一条边上节点放在最后。这在采用自动剖分 时很难实现。本文针对自动剖分后单元及节点编号的特点， 对采用非零元素存贮时周期性边界条件的处理进行了一些改 进。 在网格自动剖分时，同时记录所有满足周期性边界条件 的节点编号，系数矩阵采用非零元素一维压缩存贮，在形成 记录主对角元素地址矩阵n d 1 ：n 】与记录非零元素列号的矩 阵n c i ：n z l 两个数组时，也将有关周期边界节点的信息记录 下来。 a 如；a ：a ko；k 一 一 0 0：1o 一 一 一 一 m 坳；o ；m 阳细：o ；鼬 1 4 第二章开关磁阻电机电磁场计算 以图2 3 为例，假设边面和面满足半周期性边界条件， 并且边历上节点磁位不参加求解。在形成总系数矩阵时，需 要对有关单元中元素进行如下处理： - k 4 3 _ k l 。3 k 4 _ k l ，1 - k 8 , 7 j k 5 1 7 k 8 ，1 2 一k 5 ，9 k 3 ，4 _ k 3 ，1 一k 4 ，7 _ k l ，7 一k 7 ，4 - k 7 ，i k 4 8 _ k l ，5k 8 , 4 - - - k s ，1，8 一k s ，5 一k 7 。8 _ k 7 5k s ，l l - k 5 ，1 1k u ，8 _ k l l ，5 k 1 2 ，8 弓k 9 ，5k 1 2 ，1 2 _ k 9 ，9 最后形成的系数矩阵为 1234567 8 91 01 1 1 2 其中，代表系数矩阵的非零元素，。代表由于处理周期 性边界条件而引入的指针。 且有： n d 】_ 1 3681 1 1 52 12 42 73 13 74 0 】 n c 卜 1 1212334125 23 5 61345674785696 791 05 7891 0l l81 1 1 2 】 在处理周期边界条件时，不参加求解的历边上节点4 ，8 ， o o o o o o 0 o o o 0 o o o o o o o o oo0 o o o o o o 0 o 0 o a o o o o a00o ooaoo 0 o ooo o o o 0 o o a o 0 o o 0 a o o o o o o oo o o o o o ooo o o o o l 2 3 4 5 6 7 8 9 m n 坦 太原理工大学硕士学位论文 1 5 1 2 作为普通节点放在方程组中，象处理第一类边界条件那样 处理，但是它们并不参加运算。等到方程组解算完毕后，再 强制节点4 ，8 ，1 2 的磁位值等于节点1 ，5 ，9 的磁位的负值。 显然这种方法对周期边界上节点编号没有特殊要求。 b a 91 0l l1 2 图2 3 算例 2 4 有限元方程组的解法 有限元分析最后归结为求解线性代数方程组( 非线性问 题归结为求解一系列线性代数方程组) 。通常将线性代数方程 组的解法分为直接法、迭代法和优化法三类。从理论上讲， 直接法经过有限次运算后，可得到方程组的精确解。但由于 计算机的“字长”有限，计算过程中存在舍入误差的积累， 所以用直接法得到的数值解也是一种近似解。当系数矩阵的 阶数不高时，舍入误差的积累不严重，用直接法求解线性代 数方程组速度快且计算精度高。反之，当系数矩阵的阶数很 高时，则由于舍入误差不断积累，计算精度大为下降，在这 种情况下，选择迭代法较为合适。迭代法是将求解方程组的 1 6 第二章开关盛阻电机电磁场计算 问题化为构造一个无限序列，其极限便是方程组的解，因而 在有限次迭代中只能得到满足一定允许误差的数值近似解。 当方程组的阶数很高时，可用迭代次数的增加补偿舍入误差 的积累。第三类为优化方法，它的解法很多。总体来说，可 分为无约束优化和有约束优化两类。在解线性代数方程组时 采用无约束优化方法，其中效率较高的为导数类方法，它利 用目标函数的一阶或二阶导数构造一组迭代格式。最简单的 导数类优化方法为最速下降法，该法在迭代的起始步，收敛 较快，但愈接近真解，收敛愈慢。改进的一大类方法为共轭 类优化方法，共轭梯度法即为其中的一种。用共轭梯度法解n 维二次函数，从理论上讲，最多送代n 次，便可得到方程组 的真解，所以有入将优化方法也归入解线性代数方程组的直 接法中。但同样由于舍入误差的原因，得到的数值解也是近 似解，而且迭代次数往往大干n 次。本节重点讨论共轭梯度 法。 2 4 1 直接法 直接法中最常用的有高斯消去法和三角分解法，而三角 分解法包括克劳特( c r o u t ) 分解法和乔累斯基( c h o l e s k y ) 分解 法，是高斯消去法的变形。在克劳特分解中，主要的工作量 是分解系数矩阵，对右端向量的化约与回代只占很小的比重。 因此，当方程组的系数矩阵不变而右端向量有几组时，不必 象高斯消去法那样，每求解方程组一次，就要对系数矩阵消 去一次，而总共只需对系数矩阵分解一次，然后对不同右端 向量分别进行化约，并作回代。这样可以大大节约计算工作 量。乔累斯基分解法是克劳特分解在对称条件下的一种演变， 它分解系数矩阵时只需产生下三角阵，而对右端向量的约化 和回代均可以利用下三角阵进行。如果分解系数矩阵前，对 称矩阵的下三角被存贮，那么分解系数矩阵后下三角阵仍可 太原理工大学硕士学位论文 1 7 以存贮在这些单元中，而不必增设新的存贮单元。 2 4 2 迭代法 迭代法分为直接迭代法、超松弛迭代法和欠松弛迭代法 三种。直接迭代法构造送代数列而迭代求解。使用直接迭代 法一般收敛速度不够快，为了加快收敛速度，可引入松弛因 子，当o 畎l 时，称为欠松弛迭代；当l 似2 时，为超松 弛迭代。实用上常取l 蚁2 ，往往可使收敛速度加快，但是 最佳松弛因子很难计算，只能靠经验估算。 2 4 3 优化方法 2 4 3 1 优化方法概述 电磁场有限元方程组的解与下列泛函的极值解等价： f ( a ) = 寺七d a ，a j - ep ；a ； 叫“9 “ ( 2 一1 0 ) = 扣 k i a - p r a = n f i n 上式是一个无约束优化问题，式中a 统称为优化变量，f ( a ) 称为目标函数。它的解法很多，所有不同命名的解法都是一 种特定的迭代格式。迭代格式基本上包括如下步骤： ( 1 ) 选择初始迭代点x ( 0 ) 。( 优化方法中，以x 表示一组优 化变量，第k 次迭代点设为x o 。) ( 2 ) 从已算出的第k 次迭代点x ( 。出发选择一个搜索方p ， 即在该方向上寻找使目标函数下降的新点。 ( 3 ) 在p 皿方向上找出新点) ( ( “n ，x ( “1 ) = x ( 蛐+ 铲p ( k ) ，式 中，0 k ) 称为在搜索方向p ( k ) t 的步长因子。 i b 第二章开关磁阻电机电磁场计算 ( 4 ) 若新点处的目标函数满足下式 f ( x ) 一f ( x 似1 ) 或 8 v f ( x ” ( 2 一1 1 ) f 2 1 2 ) 则终止迭代。此时x 时”便是所求的优化解，否则，转向( 2 ) 。 由于优化解是使目标函数取极小值的解，而0 v ，| j _ 0 是极 值解的必要条件，所以可以将以上两式作为迭代终止判据。 由此可见，迭代过程的关键在于确定搜索方向p 蛐和步长 因子，随着p 和甜蛐的选择方法不同，就形成了不同的优 化方法。p 和0 蛐直接影响到迭代过程的收敛速度和优化解的 精度。 2 4 3 2 最逮下降法 应用迭代点x e - ) 的负梯度方向作为搜索方向的优化方法， 称为最速下降法。设f ( 蜀中系数为a ，其迭代格式为： ( 1 ) 选择初始迭代点x ( ，第k 次迭代点设为x o o 。 ( 2 ) 选择负梯度方向为搜索方向，即令pc ”= 一v f ( x m ) ( 3 ) 计算步长因子：a = ( p ) 7 p i ( p ) 7 a p ( 4 ) 计算新点：x 斟1 ) = x + o 户p ( 5 ) 若满足 i v f ( x m u ，则终止迭代，否则转向迭代步 ( 2 ) 因为里孥皇：v f ( x + 口( p ) r ( p ) ：o 所以 一p 1 = o 上式表明：在最速下降法中，相邻两次搜索方向互相正 交。最速下降法以负梯度方向为搜索方向，在起始几步，其 收敛速度很高，且其方法简单，每迭代一步所需计算量和存 贮量都小；缺点是愈接近极值点，收敛速度愈慢。特别是对 太原理工大学硕士学位论文 1 9 于条件数大的矩阵，情况更为严重。所以，单独使用最速下 降法进行计算是很少的，而往往将它与其他方法联合运行。 几乎所有有效的优化方法中，第一步的搜索方向都是采用负 梯度方向。 2 4 3 3 共轭梯度法( c 6 ) 共轭梯度法中，除第一步采用负梯度方向作为搜索方向 外，其余各步均以共轭方向作为搜索方向。共轭方向的定义 如下： 设a 为n 阶正定矩阵，p 为n 维非零向量，若满足下列 条件 ( p “广却= o( i j , i ，j = 0 , 1 ，2 ，3 ，n 一1 ) ( 2 1 3 ) 则称p 回和p a 对a 共轭，且p m 和p o 为线性无关。如a = i ，i 为单位矩阵，则p o ) p o 切，即p a 和p o 正交。所以两向量共轭， 虽系线性无关但不正交。( 2 1 3 ) 表示，第j 次的搜索方向经正 定变换后，才和第i 次的搜索方向正交。可见，共轭概念是正 交概念的推广。 共轭梯度法是用泛函的梯度来构造共轭方向，然后沿共 轭方向使目标函数取极小值。对二次目标函数有： f ( x ) = 三x 7 a x 一厶7 x + c 式中a 为常数矩阵，而b 为常数列阵。 c g 法的迭代格式为： ( 1 ) 选择初始迭代点x ( o ) ( 2 ) 计算目标函数的负梯度r ) - 一v f ( x | ( ) = b - a x ( ( 3 ) 令第一次搜索方向为p = 1 砷 其他各次中的迭代量按下列次序进行 ( 4 ) 计算第k 次的最优步长因- y - t z = ( 7 ) 、隹) ( p ( k ) w a p 。 ( 5 ) 计算新点：x 1 ) = x + 一p ( 蚰 2 0第二章开关磁阻电机电磁场计算 ( 6 ) 第“1 次的梯度：俨”叫一一一 ( 7 ) 当i i v f x m ”州 o 和r 邳，则称这种分解为正则分解，意味着由它组成的迭代 法是收敛的。k 和r 的构造如下：最一般的方法，先定义一 个集合( 这个定义不是唯一的) 太原理工大学硕士学位论文 2 i p ( i j ) = ( i j ) l a i j 砘i j = l ，_ ，2 ，n ) 上式表示由矩阵a 中的零元素所在位置组成一个集合。 然后将矩阵按l d l t 分解，但在分解过程中，令位于集合p ( i , j ) 位置处的l i i - - o ，这种分解叫做不完全乔累斯基分解。由此可 见，不完全乔累斯基分解中的l 阵和完全乔累斯基分解中l 阵的非零元素相等。但位于a 阵中的零元素处，前者的l i j = o ， 而后者的l i i 不一定为零，这是由乔累斯基分解过程中产生的 新的非零元素。令式( 2 1 5 ) 中k 等于不完全乔累斯基分解 l d l t ，不难理解，当( i j ) 不属于集合p 时，r 中的q j - - o ；而( i j ) 属于集合p 时，b 与l d l t 分解中的元素相等。由此分解出的 l 阵是单位下三角阵，且其稀疏性与a 的下三角部分稀疏性 完全相同。分解所得的元素可一一对应地存放于原来存放a 的存贮单元中。 l 阵各元素的计算公式为 b ：一芝k 以k 九，：1 ，2 ， i - i d h = 吒一d “l 。2 i = 1 ，2 ，n k = l a “0 ，k 0 ，1 * 0 将得出的不完全乔累斯基分解l d l t 和r 代入武( 2 1 5 ) ， 有 a = l d l r r = f f 7 一r 式中l 1 岬是与a 很接近的稀疏阵。因而a