（应用数学专业论文）最优滤波理论中几种模型问题的研究.pdf

嚣甫交通大学磁士研究生学位论文第l 页 摘要 时间序列于# 为二十世纪近代统计学的一个分支现在已成为数学界、工程 界和经济学界应用最多、最广的课题之一。它包含了丰富的数学内容，并熙 具有广泛的应用藏围，已成为许多攀科和工獠的一个有力的研究正具， 目前，对时间序列分析的方法主要有以下三种：( 1 ) 由b o x 和j e n k i n s 撵密静b o x - j e n k i n s 递接预摄方法；( 2 ) 由b r o c k w e l l 帮d a v i s 2 乏h i l b e r t 空间的基本理论和方法为熬础提出的射影预报方法；( 3 ) 最优滤波理论。现 代嚣鬻窿确分撰方法是一耱薪懿嚣瀚穿列分耩方法，瓣窝可戳壹接对露蓠窿 列进行研究，也w 以和w i e n e r 滤波方法、k a l m a n 滤波方法相结食从而得刻 薪熬容鬓窦理熬w i e n e r 傣德器窝k a l m a n 甓慧器。毽蔫现筏嚣重弱窿羁势耩穷 法所得到的k a l m a n 估值器到目前只研究了四种模型，对四种模溅分别得到 了其稳痰戆稳态瓣k a l m a n 镳篷器( 鼯莫k a l m a n 壤蓝簿是菲睡交戆) 。 鉴于此，本文给出了心种新的模型。对四种新的模烈研究方法都是先避 行转化，逶过转化硬模型变残已翔撰型鳃一静特爨形式，然嚣磷宠模型瓣 a r m a 新息和自噪声估值器，然后把状态表示成观测自噪声、输入囱噪声和观 测的非递推表达式，( 后三种模型还黉再进彳亍转换) 得到非递推馈傻器，再涮 用递接射影公式，最后得刘稳态的k a l m a n 估假器。 这样采用现代时间序列分析方法对状态进行估计( 预报器、平滑器、滤 波器) 时，我们除了以前的四种模登以外，又可以对四种新的模黧进行估计， 应用这几种新的模型的估计方法我们可以更好地解决实际中遇到的相关阊 题。文审并就第一种和第潮种模墅分掰给出一个算铡，来说臻这几种模垄估 值算法的应用。 关键漏；鑫壤声；a r m a 薪惠模激；菲递臻；莉影；k a i m a n 髓篷器 西南交通大学磺硪究生学位论文繁l 1 炎 a b s t r a c t a sab r a n c ho fp r e m o d e ms t a t i s t i c si n2 0 t hc e n t u r y , t i m es e r i e sn o w a d a y s h a sb e c o m eo n eo ft h em o s tu s e da n dt h em o s tw i d e l yu s e dt o p i c si nm a t h , e n g i n e e r i n ga n de c o n o m i cf i e l d s i t c o n t a i n sr i c hc o n t e n ta n dh a sw i d e a p p l i c a t i o nd o m a i n ，w h e r e a s ，i th a sb e c o m eap o w e r f u lr e s e a r c ht o o li nm a n y d i s c i p l i n e sa n de n g i n e e r i n g n o wt h e r e r ep r i m a r i l yt h r e ek i n d so fm e t h o d st oa n a l y z et h et i m es e r i e s 。( 1 ) t h eb o x - j e n k i n sr e c u r s i v ef o r e c a s t i n gm e t h o da d v a n c e db yb o xa n dj e n k i n s ，( 2 ) p r o j e c t i o nf o r e c a s t i n gm e t h o db a s e do nt h ef u n d a m e n t a lt h e o r ya n dm e t h o do f h i l b e ns p a c e ，w h i c hi sr a i s e db yr o c k w e l la n dd a v i s ( 3 ) t h eo p t i m a lf i l t e r i n g t h e o r y m o d e r nt i m es e r i e sa n a l y s i sm e t h o di san e wm e t h o dw h i c ht h et i m e s e r i e sc a nb ed i r e c t l yr e s e a r c h e do nb yi ta n di tc a l lb ec o n n e c t e dw i t ht h ew i e n e r f i l t e r i n gm e t h o da n dk a l m a nf i l t e r i n gm e t h o df o ro b t a i n i n gan e wa n de a s i l y r e a l i z e dw i e n e re s t i m a t o ra n dk a l m a ne s t i m a t o r b u tu pt on o wt h i sk i n do f e s t i m a t o ri sj u s ts t u d i e df o rf o u rm o d e l s ，r e s p e c t i v e l yt h e s em o d e l sh a v et h e c o r r e s p o n d i n gs t e a d y s t a t ek a l m a ne s t i m a t o r s ( i c k a l m a ng a i nm a t r i xd o e s n t c h a n g ew i t ht i m e ) t h e r e f o r ei n t h i st h e s i si ti sg i v e nf o u rn e wm o d e l s 衲cs t u d y i n gm e t h o dt o t h en e wm o d e l si sa l ld i v e r t i n g f i r s t l yw h i c hm a k e st h em o d e lb e c o m ea p a r t i c u l a rf o r mo ft h ea l r e a d y - k n o w nm o d e l s 。a f t e rt h a ta r m ai n n o v a t i o na n d w h i t en o i s ee s t i m a t o ro fm o d e l si ss t u d i e d ，t h es t a t ei ss h o w e da sn o n r e c u r s i v e e x p r e s s i o no f o b s e r v e dw h i t en o i s e ，e n t e r e dw h i t en o i s ea n do b s e r v a t i o n ( t h el a s t t h r e em o d e l sn e e d sd i v e r t i n ga g a i n ) f o ro b t a i n i n gn o n r c c - a r s i v ee s t i m a t o r , t h e n r e c u r s i v ep r o j e c t i o nf o r m u l aj su s e dt oo b t a i ns t e a d y s t a t ek a l m a ne s t i m a t o r w h e na d o p t i n gm o d e r nt i m es e r i e s a n a l y s i sm e t h o dt oe s t i m a t et h es t a t e ( s m o o t h e r , f i l t e r i n ga n df o r e c a s t i n g ) ，t h e s en e wm o d e l sc a na l s ob ee s t i m a t e d b e s i d e st h ea l r e a d y - k n o w nf o u rm o d e l s a p p l y i n gt h en e wm e t h o do fe s t i m a t i n g m o d e l s ，s o m er e l a t i v ep r o b l e m se n c o u n t e r e di nr e a l i t yc a nb eb e t t e rr e s o l v e d 。i t i sg i v e ni 丑t h i st h e s i sa e x a m p l eo fc a l c u l a t i o nr e s p e c t i v e l yf o rt h ef i r s ta n dt h e f o u r t hm o d e lt od e m o n s t r a t et h ea p p l i c a t i o no ft h ea l g o r i t h mo ft h ee s t i m a t o ro f 西南交通大学硕士研究生掌位论文第1 ii 页 t h e s ek i n d so fm o d e l s k e y w o r d s ：w h i t en o i s e ；a r m ai n n o v a t i o nm o d e l ；n o n r e c u r s i o n ；p r o j e c t ； k a i m a ne s t i m a t o r 嚣南交通大学硕士轿究生学位论文第 页 第1 章绪论 差。薹最优滤波阂题产生斡背豢 最优滤波理论怒解决状态或谊弩嵇计词题，鄄解决如何葳被噪声的观 测信号中求未知真实状态或信号的最优估计值器。 解决最优滤波问题有三种方法论：w i e n e r 滤波方法，k a l m a n 滤波方法 秘瑷谯霹阕序列分援方法。经典w i e n e r 滤波方法是麦控嬲谂裁飧人n 。w i e n e r 在第二次为研究火炮较翩系统豹需要，予2 0 毽纪4 0 年代掇穗的。经典w i e n e r 滤波方法是一种频域方法，设计可实现的w i e n e r 滤波器要求计算谱密度，进 行谱分解和传递函数的部分分式展开。熊缺点和局限性是簧求信号是平稳随 撬避程，要求存镰全熬瑟变数据，滤波嚣爱菲逮撂熬，谤黧爨秘存簇量丈， 琢便于实对应用。现代w i e n e r 滤波方法最初由v k u e e r a 掇国，该方法通过 解d i o p h a n t i n e 方程w 赢接得到可实现的和最式的w i e n e r 滤波器，k a l m a n 滤 波方法由r e k a l m a n 予1 9 6 0 年在论文an e wa p p r o a c ht ol i n e a rf i l t e r i n g a n dp r e d i c t i o np r o b l e m s 孛疆毒。k a l m a n 滤波方法霆一静辩域方法，帮状态 空间方法，其中引入了状态变量概念，用状态方程描写动态系统，用观测方 稷描写观测信息，用状态空间模型取代了w i e n e r 滤波方法所采用的传递函数 攘燮，k a l m a n 滤波器爨毒递推形式，镁予在诗算撬上实现；毽k a l m a n 滤波 方法豹缺点是要求解斑阵r i c c a t i 方程，瓣于高维系统诗算爨帮存储量较大， 鼠要求已知系统的精确数学模型和噪声统计。现代时间序列分析方法是由邓 国赢等人于1 9 8 9 年搬专著现代时间序列分析及其应用建模、滤波、 条纛、颈壤鞍控铡。该方法是不露于k a l m a n 嚣滚方法筠一耱凝熬睡城方法， 窀驻a r m a 新意摸黧俸为基本工兵。萁荚键技术包括( 1 ) 构造a r m a 新息 西南交通大学硕士骈究生学位论文第2 页 模型；( 2 ) 寻求由自嵫声和观测信号线形缀合表示的非递推状态表达式：( 3 ) 计算自噪声和双测僖蟹预掇器；( 4 ) 状态空间模型帮a r m & 嚣重阗彦歹| j 模型的 稳互转纯；( 5 ) 袈影毽论。该方法静特点蹩：同k a l m a n 滤波方法稳院，避免 了求解r i c e a t i 方程，算法简单。但该方法限于定常( 时不畿) 系统；同经典 w i e n e r 滤波方法相比，避免了传递函数部分分式展开，可处理多维非平稳信 磐；避免7 求解d i o p h a n t i n e 方程。 1 2 问题的提出及研究意义 最优滤波理论是解决状态或信号估计问题，即解决如何从被噪声的观测 傣弩审求未知真窳状态或信号的簸优 鑫诗值器。邸援型基予观测 y 9 + ) ，y ( t + n 1 ) ，) 求获态茸 f ) 的嵇馕器未和| f + ) 。 最优滤波理论发展到现在已日趋完蒜，但现代时间序列分析方法作为一 门新的学科的提出时阍并不长，其到目前也仅仅就四种模型用现代时间序列 懿方法骚究箕滤波鞫蘧，毽是在诲多巍蠲l 蠡瑟孛蒙导弹褒海上飞孬舞，萁上 的高度检测仪的观测噪声、船舶定位系统、雷达跟踪系统答遇到的有色观测 噪声除了这几种已知的模型外还有四种新的模型，本文就魁研究这四种新模 熬豹基予鼹测y f + ) ，y ( t + n 1 ) ，) 猩备鸯酶相应假设下求状态x ( ) 的稳 态k a l m a n 绩值器未( f + ) ，对予。毡，o 或t o 它嗣滤波器、平浯器或 预报器的问题。 在对这四种新的模型的研究上沿用邓自立等人提出的现代时间序列分析 方法，避免了k a l m a n 滤波要求裙矩薄r i e e a t i 方程，算法鼹纂，丰塞了现代 辫鞫痔强豹理论，扩大了现伐薅阕净捌爨论的应用范圈，撬窭了薪豹摸墅翡 褥南交通大学硕士磷究生学位论文第3 页 解决方法。 1 3 本文的主要工作 第1 章主要奔缁了最优滤波理论产缀豹背景以及谤究翊麓豹提出。蒡2 章介绍了最滤波理论的一些预备的定义和一些重要的性质。第3 、4 、5 、6 奄是本文的主要工作，在每一章都给出一种新的模型及其相廒的假设，在第3 攀巾蓊熬模型及其穗嶷戆稷设基础上，辩模型的处理是善免透过对模型进行 转换，把它转换藏我们已知的模型的一年孛特殊情形，求它的a r m a 新息摸型， 然厢在a r m a 新息模型攥础上求输入白噪声和观测白噪声的估值器，接着给出 新的模型的非递推表达式和非递推估值器，最后再求出它的稳态k a l m a n 估值 嚣。对第4 章、繁5 肇稻纂6 搴孛绘爨豹三耱象戆模型黎蔻斑对模型透露第 一次转换，然后求其a r m a 新息模型，在其基础上求输入自噪声和观测白噪声 的估值器，然后对模烈进行第二次转换，转换成在第3 章的一种模型，然后 农此基础上求给出毅的模型的非递推表达式移非递推估值器，最后再求出它 鹣稳态k a l m a n 嫠蕊器。 在本文中对给出的四种新的比较复杂的模型通过几次转换，转换成简单 的容易处理的模型，通过对简单模型的研究然后得出我们所鼹研究的四种新 熬模型的滤波阀题。 嚣爨交遂大学硕士谤突擞学位论文第4 燹 第2 章最优滤波理论介绍 2 1 向量a r m a 模型 2 。t 。1 蠢量a r m a 摸鍪 设系统输入e ( f ) r 为白噪声 e e ( t ) 9 0 ，e 盼) 删一娆岛 ( 2 1 1 1 ) 萎输爨岁和) 嚣“每输入# 鳓有关系 y ( t ) + a i y ( t 1 ) + + 4 、y f 一) 。c ( f ) + c 0 1 ) + c 毫p 扛一，) ( 2 1 2 ) 剩称( 2 。1 ，2 ) 隽囱量童曩羟潺动警殇( a r m a ) 模鍪。其串碡耪隽掰搬 系数矩阵，k 为阶次，记( 2 i 2 ) 为a r m a ( 九，) 。若c o l ，l 秀m x m 攀谴箨，显- 0 ( i o ) ，弱( 2 1 2 ) 耗鸯 y ( f ) + y ( f 一1 ) + + ) ，0 一) - e ( f ) ( 2 1 3 ) 它口q 向量自回! 秘( a r ) 模型，记为a r ( ) 。 游4 - 0 ( i ，o ) ，则( 2 。1 2 ) 诧为 y ( t ) = c o e ( t ) + c 。e ( t - 1 ) + + q e ( t 一心) ( 2 1 4 ) 它秘淘垂淆动警筠( m a ) 模型，记为m a ( 镌) 。， 弓j 入单位滞后算子孽“的多项式矩阵 a ( q 一1 - i + 4 q ”1 + - a 可， 耍南交通大学琰士聚究生学位论文第5 燹 c ( g 。1 ) 一c o + c 矗+ 1 + + q 碍 剐向黛a r m a 、商量a r 、向量m a 模型可分别表示为 蠢譬“) y o ) - c ( q 。 e ( f ) ， ( 2 1 5 ) a ( q 。) y ( 小一一( f ) ， y ( 幻。c 孽。1 ) b ( f ) ( 2 1 6 ) 这雩l 懑掇瘟懿传递交数摸整 _ ) ，( 小- g ( q “) e ( f ) ，g ( 牙“- a 4q 。) c ( 碍。) y ( f ) 一g ( ，) 。( f ) ，o ( q “- a 4q 4 ) 岁 t ) 一g 妒 e ，g 妒a e 矿) 其中4 1 0 1 ) 为爿( 窖1 的逆矩阵，c ( q 4 ) 为传递函数阵。 2 1 2向量a r m a 模型的平稳性和可逆行 ( 2 ，l 。了) 蹿理互l ，中萋渡譬。1 为蠡变元翁多瑷滚矗砹 g ”1 ) 韵瑟髯零点奁擎像 圆外，则由向鬃a r 模型( 2 1 3 ) 决定的y ( f ) 是平稳随机序列，晟可表示为 均方收敛的级数 岁f 4 善啄j 且州x 晰系数矩阵g 可递摊计算为 q 一一4 q ，一a q 。、 ， ，一1 ，2 ， ( 2 1 + 8 ) ( 2 1 + 9 ) 西南交通大学硕士讲究生学位论文第6 页 其中g o l ；规定q - o ( j t o ) 。 【定理乏l 。2 尸装滋g 。隽塞交嚣懿多矮式& | f 一0 戆缀蠢零熹在单位 嘲外，则向量m a 过程( 2 1 4 ) 是可逆的，即e ( f ) 可表示为均方收敛的级数 # ( f ) 篆，y ) 葜孛掰蹦系数怒簿疆；霹递揍诗雾必 t i ，一一c , n 卜l 一一c t n j ( 2 1 1 0 ) ( 2 1 1 1 ) 其中i i 。一：规定r i j - o ( j o ) 。 【定理2 1 3 尹囱爨a r m a 模型( 2 1 。2 ) 弱平稳条辞必d e t a ( q 一1 豹辑氨 零点在单位圆外，可逆条件为d e t c ( q “1 ) 的所有零点在单饿圆外。此时y ( f ) 霹表示为均方收敛的级数 y 蜘薹晔 一，) 凰8 ( f ) 可表示为均方收敛的级数 g 协薹珏，多) 冀中掰x m 系数矩终g 和i i j 可递推计算为 g | t 。邸i 4 - a n g c i ， y i i t c 飘 d 一。一c i i i 每蠢i ( 2 1 1 2 ) ( 2 1 1 3 ) ( 2 1 1 4 ) ( 2 1 。1 5 ) 疆南交通大学硕士戳究生学位论文第7 页 其中g o - c o ，n 。一；规定q - o ( j o ) ，i i j - o ( j o ) ，q - o ( j ，) ， 碡- o ( j ，毽) 。 2 2 状态空间模型 现代控制理论创始人之一r e k a l m a a 的重大贡献是提出了状态空间方 法。其关键袭核心蕊怒寿三焘：1 ) 状悫交曩壤念雏弓l 入；2 ) 建立了描述状 态交纯的模墅状态方程；3 ) 给出了对获态进行税测豹观测方程。由状 态方程和观测方程构成状态空间模型状态变量x ( f ) 是对动态系统变化特征 的概括，通常用n x l 列岛量表示。n 叫做状态的维数，襁其体闯题丽定。在 辩刻 获态茗0 ) 取毽予菲维欧氏空阉r 4 串的点，帮菇 ) 舻，稼酽为状态空 阅。 一般定常线形随机系统的状态空间模型为 善 f l 一钕参+ f 弦参) g 。2 。1 ) y ( f ) = 俄( f ) + v ( f ) ( 2 2 2 ) 其中t 为离散时间，其中x ( f ) 掣为状态，y ( f ) | r ”为观测，w ( f ) 彭和 v f ) 霖4 是具有麴下噪声绕谤豹鑫噪声：嚣w f ) t o ，e v ( t ) = 0 ，置 e 川以叫h 多冲 + z 蒺孛晓窝g 骞笼w 襄v 乒；懿方羞薄，s 为它翻戆程关阵， 嚣鸯交通大学联硒突生喾位论文第8 贾 s = e w ( t ) v t ( f ) 】，吒一1 ，岛- o ( f 赫，) ，t 为转置号，e 为数学期耀。拜辟矩 阵由叫状态转移阵，m x n 阵h 玎q 观测阵，r 为n x r 阵。 装系统套控制竣入矮l l ) ，粼状态空阖摸嫠毒形式 并( f + 1 ) 一a 瞻( f ) + 口“( f ) + r w ( f ) ( 2 2 4 ) y ( t ) - h x ( t ) + v ( t 1 ( 2 2 5 ) 其孛f 霆9 ，b 秀n x p 瘫薄，箕宅记号定义溺翦。 2 。3 化向量a r m a 模型为状态空间模型 利用时间序列a r m a 模勰与状态空闯模型的相互转化来解决问题是现代时 瓣彦裂分掇方法戆菝心嚣怨之一将越淞模鍪琵笼状态空阖摸墅哥褥傣 号估计问题化为状态估计问题。 【定理2 3 中 受控的翔量宣西勉滑动平均( c a r m a ) 模登 y 0 ) + 和f 1 ) + + 纛y 一靠* 零声f f ) + 遐聪0 一l j + + 只“9 一对+ c ；e ( f ) + c f l e o 一1 ) + + e e ( f 一，1 ) ( 2 3 1 ) 其中y ( t ) e r = ，杆f ) 最9 ，p ( f ) r ”，4 ，q 为历x 卅阵，最为m x p 阵，簿 傍于翻下安伴夔形竣态空溜摸攀 墨( t + 1 ) x z ( t + 1 ) ( t + 1 ) 一4 嚏 曲 以0 0 + 马一 风 琶一镌热 e 一以蠕 “+ 糟南交通文学硕士戮究生学位论文第9 页 c l 一 c o c 2 一鸡g 一镌g 砖 ) t e t ，l t 厶。， ： ：；j + 置声c ，十c ：伊和， ( 2 ，3 2 ) ( 2 3 3 ) 2 4 用f a d e e v a 公式化状态空阉模型为a r m a 模型 考虑状态空间横型 善0 夸1 ) 一嚏扛) + 1 1 和0 ) ( 2 4 1 ) y ( # ) - 歇( 0 + v ( f ) ( 2 4 2 ) 其中x ( f ) 科为状态，y ( f ) r ”为观测，w ( f ) f 和y ( f ) 是白噪声，它有 传递薅数模型 y f ) * 嚣 一q - 1 圣) 。聊2 w 和) + v ) ( 2 4 3 ) 为了导出相应的a r m a 模型，要求计算一q - l 垂) 1 的逆瓶阵。对m 的阶次 较低薅，例如拜。2 ，3 瓣，可壹接用短辫求遵公式 f & - q b ) 。- a a j 弛一q 1 0 ) d e t 轵一g 。b ；啦4 4 ) 对于高阶，l ，可用著名的f a d e e v a 公式求逆矩阵。 滓理2 4 i l l l l ( f a d e e v a 公式) 如下筑黪袋逆酶f a d e e v a 公式成立 ( & - q “辔) 一f ( q 一1 ) ，寤) ( 2 - 4 5 ) 嚣南交通大学硕士研究生学往论文第1 0 页 奠中 口扩) t 融毛一q - 1 0 - a o + a ，q + ”+ a 耀” f 蠢) 一a d j 一味一1 零) 一焉+ 酝4 + + c - l g 一4 q ( 2 4 6 ) 熙系数q 和系数阵可递推计算为 瑶一厶，t l ， g - 一 l 赧t f 曝。) ，i - 1 , 2 , ，撵， 曩一l 霉i + 峨， i - 1 , 2 , ，l - 1 其中t r 为矩阵的迹。 ( 2 4 7 ) 在( 2 。垂。5 ) 孛分平与分霹霹蕤会卷撂鬟多壤式嚣式，港去分鸯与分子爱 火公因式后有 ( 一日“1 m ) 一a ( q 1 ) 妒( 口1 ) ( 2 4 8 ) 箕审妒霉一1 t l + 锹4 专+ 吸理一，氛# o t 笋，弘燕豢鳇最小多瑗式兹 阶。设零的最小多项式为驴( 目) ，妒+ 抽) - q ”+ 鲫”4 + + 毁，则有关系 妒( q 。1 - q 伊。( 孽) ，凰a ( 孽_ 。- , a 。+ 留“+ + 譬，墩- z - 1 。系数阵 弼援懿下箍广戆f a d e e v a 公式诗算 a t - o a l 。+ 识t ，a 。毛ri - 1 , 2 ，z - i ( 2 4 。9 ) 其中规定：识- o ( i ，) 。 考虑系统( 2 。4 1 ) 帮( 2 。4 。2 ) ，麓答绕状态盖f 戆最傥滤波闲蘧懿最基本 假定是系统的麓观秣。 褥南交通大学硕士讲究生学位论文第1 贾 定义2 4 1 ， 系统( 2 4 1 ) ，( 2 4 2 ) 叫完全可观的，假如存在一个最小 爨然数参使德 r a n k 露 o 王母 移嘲西藏溺蠖掺数，势拣露，零) 荛霹鼹辩。 定理2 4 2 r 系统( 2 4 1 ) ，( 2 4 2 ) 完全可观的充要条件为 何 蛹 ； 矾一。 ( 2 4 。1 0 ) ( 2 4 1 1 ) 熊中霹由f a d e e v a 公式( 2 4 7 ) 计算。 障理互4 3 f 系统( 2 4 1 ) ，( 2 4 2 ) 完全可观我充要条律先 r a n k 【野7 ， 群) t ，嚣a 一。r 】一再 2 4 - 1 2 ) 其中t 为转置号，a ，用推广的f a d e e v a 公式计算。 注：可观性指数箩舆露性质f 1 2 n ms 声m i n 弘，嚣一掰+ 1 ) 2 5 用块伴随彤变换化状态空间横理为a r m a 模型 对于状态维数为观测维数的整数倍鲍非典范状态空越模型，可透过线形 交换籍其鬟二受袭癸貔澎，然岳裂矮定臻2 3 1 萼 凄穗应载a 歉艇a 模羹。 嚣麓交遘大学颂士礤突生学位论文繁 2 炎 定理2 5 。坷1 ” 对状态空间模型 并( f + 1 ) - a x ( f ) + 矗h ( f ) + c 如o ) 岁一搬+ v 砖 ( 2 5 1 ) ( 2 。s ，2 ) 其中善( f ) r “，y p ) ，球( f ) 晨， t ，9 ) 彭，a , b ，c ，嚣必迓当维矩辫， 且设( a ，日) 为可观对，则存在变换瓦，置 z 曲一磊4 k 0 可将( 2 5 。1 ) ，( 2 + 5 。2 ) 曩：为霹理饿块伴随形 z ( t + 1 ) - a 。z ( t ) + b o u ( t ) + c o w ( t ) 其中 y ( t ) = h o z ( t ) + v ( t ) 昂。 ( 删“) t ，( 删“) t ，i 删j t ，封7 】1 t o - a ”“p o 。n o t ，a 4 。p 0 秘：，a p f h ? ，p f 珏0 、 甄t r r o t 0 0 1 风t 矗”1 曰- ( ，霹，】7 c o - 磊4 c 。【口，四，“ ( 2 5 3 ) ( 2 5 4 ) ( 2 5 5 ) ( 2 5 6 ) ( 2 。5 7 ) ( 2 5 。8 ) ( 2 5 9 ) ( 2 5 1 0 ) 露巍交通大学琰士研究嫩学位论文繁1 3 炎 垄 磊- 五一1 4 7 一 叫 - 重0 - - k 0 oo 乇 ； 。l o 2 5 1 1 ) 【推论2 5 1 ， 块伴随形( 2 5 4 ) 一( 2 5 1 1 ) 等价予如下向量。岖m a 模 ，一扩) s ( t ) 一嚣( 口1 ) “( 小c 扩) 矽( r ) y ( t ) 一5 ( f ) + v f ) 其串s 0 ) - 懿：0 ) ，置4 ，魏，c i 各为掰x 撼，m x p ，粥r 簿 a ( q 4 一t + 缎1 + 砖孽“， 嚣( 口。) 一柏”1 + b 2 q 。2 + + 或q ， c ( q 1 ) - q q 1 + c 2 q 。2 + + c o ” ( 2 5 1 2 ) ( 2 5 1 3 ) ( 2 5 1 4 ) 【攘论2 t 5 。2 ，块箨涟形( 2 5 。毒) 一( 2 。5 。1 1 ) ，当p 。w f ) 糖，等徐予翅 下向璧c a r m a 模型 彳( 窜“) ) ，( r ) - 占碍4 ) 据f ) + d 扩) 缈( f ) 其孛d ( q 一1 - 气+ 稚一1 + + 绣窜一，娶 q q + 4 ，i 一1 ，l 定瑗2 5 2 p 若( 瓜) 为如下块伴随形； ( 2 。5 1 5 ) ( 2 5 1 6 ) a - 褥南交通大学硕士研究生学位论文第1 4 贾 ，h - 阪0 0 】 蒺中4 为掰搠薄，h 为m x n m 阵，鼠定义 鲻蠢 a 一 4 ( 窜”1 ) - 乇+ 幻。1 + + 以窜+ _ ( i ) 如t ( k 一茸_ ) = d e t a ( q 1 ) ( i i ) h a d j ( k “q “4 ) = a d j a ( q 4 ) 【气，吁， ( 2 5 1 7 ) ( 2 5 1 8 ) ( 2 5 1 9 ) 铂”( 酬1( 2 5 2 0 ) 【接论2 5 3 ，在终耋馕黟一- l ，设( 磊嚣) 受俘疆影 ，h - 10 0 】 基叠f 譬。1 ) - i + a i q 。1 + + d 。窖。，建f 筹 n d i ( x “q 4 1 a ) = 卜 2 6 利用传递函数阵左素分解a r m a 模型 ( 2 5 2 1 ) ( 2 。5 2 2 ) 考瘩获态空闽模囊( 2 a 1 ) ，( 2 a 2 ) t 雩| 入鞲韵错号s 0 ) ；乒) ，剿有 传递函数模型 s ( f ) 一嚣( 一g 1 垂) “r 鼙”1 w o ) y 幻一s t ) + v ) o k e _ ；唾 o 叫 “， o ，：嚏 鞭南交通大学硕士研究生学位论文第15 页 将w ( f ) 到s ( f ) 的有蠼传递函数阵g ( g 1 ) 赢索分解为f 1 3 ，“】 o ( q ；一糕t q 一礓) 4 r a 4 一蔗“1 妒；c 扩- ；毖a e a ( q 一1 ) 和c ( 霉。1 ) 备为肼x 拼和掰，的旋素多项式矩阵，裔形式 a ( q “) 一心+ 和一1 + + 碍+ c ( q 4 * 岛+ 镪一1 + & 譬。 2 。6 1 ) ( 2 。6 2 ) 带“；，c o o 。4 ，q 各为m m 和删，系数阵，于是化为a r m a 模型 a ( q “) s ( f ) l c ( q 4 ) ( r ) 岁( ) 一s 参) r 注：( 2 6 1 ) w 用如下方法实现：c ( q 。l l 可表示为 ( 2 6 3 ) ( 2 。6 4 ) g ( q 。1 ) t 【d e t ( 一q 1 垂) 】一1 f 日& ( 一g 一1 垂r 嘻1 】 ( 2 6 5 ) 援( 2 6 5 ) 串懿两多磺式矩阵熬左缀犬公因式为m ( q 4 ) ，它是掰拼多项式 矩阵，即 d e l ( 一譬“母) - 膨4 ) 彳( 譬”1 ) ( 2 6 6 ) 西a 鸯 一g 。零堙- m ( q 。1 ) c ( 譬1 ) o 6 7 ) 消去肘0 1 ) 后引出( 2 6 1 ) ，求膨k “1 ) 的方法见多项式矩阵理论。1 1 4 】 2 ，7 构造隧a 模型的g e v e r s 和w o u t e r s 算法 躲凇薪恳漠黧在现找对褥序捌分析方法孛起美键镗爝，是现代对瀚葶 西南交通大学硕士 湃究生学位论文第1