（电子科学与技术专业论文）回旋行波管注波互作用研究与数值模拟.pdf

a bs t r a c t a sah i 曲p o w e ra n db r o a db a n d w i d t hm i l l i m e t e rw a v ea m p l i f i e r , t h eg y r 0 仃0 n t r a y e l i n gw a v et u b ea r ew i d e l yu s e di nt h em i l l i m e t e r - w a v er a d a r , c o l l l 】m l l i l l c a t l o 粥a n d e l e c 打o i l i cc o l 】1 1 t e n l l e 删溺s om o r ea n dm o r en a t i o n sp a y a t t e n t i o nt oi t sh i g h 删u e - t h ei n l ：e r a c t i o nm e c h a i l i s mo ft h eg y r o t r o nt r a v e l i n gw a v et u b ei sm u c hc o m p l e x l n e o s c i u a t i o ni nt h ei n t e r a c t i o n w i l ls e r i o u s l ya f f e c tt h ee f f i c i e n c y o ft h eg y r o t r o n p r e s 锄t l vm em e m o do fd i e l e c t r i cl o a d i n go n t h eg y r o 。州盯i n t e r a c t i o ns e c t l o n s s 耐a c ei sw i d e l yu s e dt os u p p r e s s i o nt h eo s c i l l a t i o nw h i c h w i l li n c r e a s et h el e n g c l lo t m ei n t e r a c t i o ns 硎o n 觚dt h ee f f i c i e n c yo ft h eg y r o t 叽h o w e v e r , t h ef o r m u l a so f m eg 舯- 确，ta r et o oc o m p l e xt ob es o l v e d s oi to n l yc a n b es t u d i e db yn 眦e n c a l s i m u l a t i o n h l “sa n i c l e ，t h ei n t e r a c t i o no fe l e c t r o nb e a ma n d w a v e si nt h eg y r o 。lw l w a ss t e a d v s t a t ea n a l y s i sf r o mt h e b a s i ce l e c t r o m a g n e t i ct h e o r y a n dt h ep l 砒 s t e a d v s t a t ee q u a t i o n so fi n t e r a c t i o na n de l e c t r o n i cm o t i o ne q u a t i o n sw e r ea i s o b e d e f t v c d 1 1 1 et h e o r yo fg y r o t r o na m p l i f i e r s l i n e a ra n dn o n l i n e a rw a s1 n 仃o d u c e d a n 啪耐c a ls 洲a t i o np r o g r a mw a sd o n eb y t h en o n l i n e a rt h e o r y u s i n gt h a tp r 0 瞄， m u c hn l 】m 嘶c a ls i i n u l 撕o na n dc o m p u t ei nt h ei n t e r a c t i o no ft e 0 1 i ng y r o - t w tw 嬲 d i d 觚da n a l y z e dt h ee f f e c tt ot h ee f f i c i e n c yo f t h ei n t e r a c t i o nb yt h ev o l t a g c 觚d 烈岫饥to fe l e c t r o nb e 锄，d i r e c tm a g n e t i cf i e l d a n dt h ew a v ef r e q u e n c y f r o mt h e s i 眦l a t i o i l ，ag r o u po fv a r i a b l e so nt h eo u t p u t c u r v ew a so b t a i n e dw h i c h 黜n 研e c 0 i l s i s t e n tw i t ht h er e s u l t so fo t h e rs o f t w a r e ss i m u l a t i o na n d t h ea c t u a lt e s tr e s u l t s k e ”o r d s ：g y r o t 、t i n t e r a c t i o n 。fe l e c t r o nb e a m a n dw a v e , n o n l i n e a rt h n 啪丽c a l s i m u l a t i o n l i 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究 工作及取得的研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢 的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也 不包含为获得电子科技大学或其它教育机构的学位或证书而使用 过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论 文中作了明确的说明并表示谢意。 签名：壶趣日期：跏d 年，月 ，7 日 关于论文使用授权的说明 本学位论文作者完全了解电子科技大学有关保留、使用学位论 文的规定，有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和 磁盘，允许论文被查阅和借阅。本人授权电子科技大学可以将学位 论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、 缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。 ( 保密的学位论文在解密后应遵守此规定) 签名：硪杂纸 导师签名： 日期：刀f 。年朋碉 第一章绪论 第一章绪论 在二战期间，由于军事发展的需要，微波技术得到了迅速的发展。战争结束 以后，微波在军事，民用和科学研究领域得到了广泛的应用，各种微波器件也相 继出现。上世纪七十年代以来，在军事和科学研究对微波电子管需求的推动下， 各国对其进行了深入的研究。目前回旋管在通信、毫米波雷达、电子战、高功率 微波武器、高能物理、受控热核聚变和工业方面的诱人前景，受到了国内外的高 度重视，相应的回旋管的能量输出及传输设备亦成为了国际上的研究热点。 微波是指频率从3 0 0 m h z 到3 0 0 0 g h z 的电磁波，微波具有波长短，频率高 和穿透性等特点。正是由于这些特点，微波在军事，工农业，科学研究及日常生 活中有着广泛的应用【l j 。 上世纪三十年代至五十年代，各种常规微波管( 磁控管，行波管，速调管， 返波管等) 能有效的工作在该频段，使近代雷达和通讯技术得以迅速发展。五十 年代后期开始，各种固态器件发展迅速，在小功率方面逐渐替代了常规微波管， 但是在大功率和高频率方面，固态器件仍远远无法同微波管相比。从八十年代开 始，由于微波管在军事国防和民用领域的应用越来越重要，世界各国都加大了对 微波管的研究和开发。 但是到了毫米波波段，常规微波管遇到了极大的困难，在此波段它们的效率 和功率都急剧下降，甚至无法工作。因为在该波段内，器件大多采用波导和谐振 腔技术，而为了保证器件的有效工作，也由于物理和技术上的原因，波导和谐振 腔均工作于基模式，使得器件尺寸与电磁波的波长相比拟。这样，频率越高，波 长就越短，器件的尺寸就越小。当到了波长到了毫米时，过小的器件尺寸就会引 起严重的加工工艺上的困难。而且由于集肤效应引起的热损耗又迅速增高，使得 线路的效率和谐振腔的q 值大为下降，以至于无法使用【2 】。同时，互作用空间的 大大减小，又导致功率容量的减小，对电流密度和阴极发射密度的要求迅速增大， 甚至超过了实际可能的限度。以上种种原因，终于导致常规微波管和普通固态器 件难以工作在此频段。 经过较长时间的努力之后，同时由于近代物理和技术科学的其它成就的推动， 到七十年代后半期，人们终于找到了一些能够在这一波段有效工作的新原理，并 制作了一系列新的器件。 电子科技大学硕士学位论文 在1 9 5 8 年，澳大利亚天文学家t w i s s 提出了电子回旋谐振受激辐射的概念， 与此同时，前苏联学者g a p o n o v 也提出了利用螺旋电子注与快波相互作用时相对 论效应的作用，1 9 6 5 年美国学者h i r s h f i e l d 用实验证实了这一机理，为电子回 旋脉塞奠定了理论基础，前苏联首先利用这一机理做出了管子，称其为回旋管 ( g y r o t r o n ) 。 1 1 回旋器件简介 由于回旋管在毫米波及亚毫米波波段振荡和放大上的卓越性能，为毫米波， 亚毫米波在雷达，通信，电子战，高功率微波武器，受控热核聚变，新型材料及 高能物理等领域的应用开辟了广阔前景，因而得到了迅猛的发展，俄罗斯，美国， 德国的工作代表了当前的国际水平【3 】。经过几十年的发展，几乎所有的常规微波 管都有了对应的回旋管：回旋振荡管( g y r o m o n o t r o no s c i l l a t o r ) ，回旋行波管 ( g y r o t r o nt r a v e l i n g - w a v et u b e , g y r o - t w t ) ，回旋速调管( g y r o k l y s t r o n a m p l i f i e r ) ，回旋返波管等等( g y r o t r o nb a c k w a r d w a v eo s c i l l a t o r , g y r o b w o ) 。 它们的互作用腔结构如下： 图1 - 1 回旋振荡管互作用腔结构 图1 - 2 回旋行波管互作用腔结构 2 第一章绪论 图卜3 同旋速调管互作用腔结构 图卜4 回旋返波管互作用腔结构 回旋管的互作用理论分为线性理论和非线性理论两种，线性理论适用于小信 号模型，但不实用与大信号情况。线性理论由朱国瑞等人提出，在其发表的论文 中，电子注采用回旋管中常见的空心环状分布，高频场采用波导模，给出了注波 互作用的色散关系，由于线性理论中方程较为简单，使得程序易于实现，可以得 到线性增长率和起始损耗，还能计算诸如谐振腔中的起振电流，波导中的绝对不 稳定性和回旋返波振荡等，所以，非线性理论被广泛的用在回旋管小信号分析和 管子的初步设计参数的选取上。虽然经过多年的研究，回旋行波管的线性理论已 经得到很大发展，但在很多方面，如磁场渐变，电子注偏心，电路反射等都还未 有深入研搿制。 非线性理论既可适用于小信号模型，也可用于大信号情况。线性理论虽然能 从本质上反映注波互作用过程，但其所作的假设不能真实的反映注波互作用。线 性理论中的高频场将一直保持指数式增长，但实际上当增长达到一定值之后就会 开始下降，这是由于电子的过群聚( 电子释放能量后进入加速场又得到能量) 所 致，称之为饱和效应。为了准确的研究注波互作用就必须使用非线性理论。根据 表现形式的不同，非线性理论大致可以分为两类，第一类是根据早期苏联学者的 工作，描述注波互作用时有三个方程：电子能量演化方程，电子回旋角演化方程 及高频场分布演化方程。第二类为朱国瑞教授提出，由六个方程构成：电子横向 动量演化方程，电子轴向动量演化方程，电子引导中心角演化方程，电子回旋角 3 t己 电子科技人学硕士学位论文 演化方程，电子引导中心半径演化方程及高频场分布演化方程【6 】。本为主要采用 第二类进行推导。 p i c ( 粒子模拟) 也可用来模拟研究回旋管的注波互作用过程，例如美国 m i s s i o n 公司基于时域有限差分法开发的m a g i c 软件，利用其进行仿真也可以得 到较好的结果，但计算量很大耗费计算时间很长。c s t 软件中的粒子工作室也可 进行热腔的分析，但由于电子属性设置的复杂性，笔者未能成功进行。 1 2 回旋管的发展及现状 在二十世纪六十年代，前苏联学者最先研制成功了回旋振荡管，然后美国， 德国，日本，中国等过都相继开展了回旋振荡管的研制，经过几十年的发展，现 在美国通讯与功率公司( c p i ) ，日本东芝公司，俄罗斯g y c o m 公司等，都能够研 制频率1 7 0 g h z ，输出功率达到1 m w ，脉冲宽度可达几秒的回旋振荡管。但由于振 荡器的固有特性，其应用范围有一定的局限性。目前主要应用在托克马克及拒制 武器等方面。 回旋速调放大器是目前发展的较为成熟的一种管型，美国美国通讯与功率公 司( c p i ) 制作的一支x 波段三腔回旋速调放大器，工作在二次谐波模式下，得到 了2 0 k w 的输出功率，效率8 2 。美国海军实验室( n r l ) 与马里兰大学联合研 制的的两腔回旋速调管，工作在3 5 g h z ，获得了2 1 0k w 的峰值功率，效率达到 了3 2 ，增益2 3 d b ，带宽0 3 6 。俄罗斯科学院应用物理研究院( 1 a p ) 与俄罗斯 t o r y 工业公司合作研制的两腔回旋速调管，工作在3 5 g h z ，在实验中获得了 7 5 0 k w 的峰值功率，效率达到2 4 ，增益为2 0 d b ，带宽为o 6 ，本次试验获得 了极高的峰值功率，引起了各国的重视，但此次试验工作在很高的电压( 7 5 k v ) 和电流( 4 5 a ) 情况下，在实际工程中的实现具有一定的难度。国内电子科技大 学、中国科学院电子学研究所、中国电子科技集团公司第十二研究所和中国工程 物理研究院也在进行相关的研究。电子科技大学高能电子学研究所于2 0 0 5 年研制 出国内第一支8 m m 高功率回旋速调管放大器，其中心频率为3 4 g h z ，工作模式 为t e 0 1 模，实验中产生了3 2 0 k w 的峰值功率，3 d b 带宽为3 8 0 m h z ，平均功率 为5 1 k w ，增益为3 3 3 d b ，电子效率为3 3 6 ，达到同期国际先进水平们。 回旋行波管的互作用段是平滑的波导，因此，它比其它管型具有更大的带宽 和效率，在军事通信，电子对抗，航天航空有重要的应用，使的回旋行波管自诞 生以来就受到各国的重视，经过几十年的研究和发展，在理论和工程领域都有了 4 第一章绪论 长足的发展i l 卜b j 。 1 9 7 9 年，美国海军实验室n r l 研制了第一支回旋行波管，它采用t e 0 1 模式， 工作在k a 波段，获得了1 6 6 k w 的峰值功率，7 8 的效率和1 5 的带宽。同时 期瓦罩安公司( v a r i a n ，现c p i ) 研制的c 波段基波r e , 模回旋行波管，获得了 1 2 0 k w 的峰值功率，增益为1 8 d b ，效率为2 6 ，带宽为2 。 八十年代后期开始，台湾清华大学( n t h u ，t a i w a n ) 朱国瑞教授领导的研 究团队，从理论和实验两方面系统的研究了k a 波段基波玛。模回旋行波管中的 自激振荡( 包括绝对不稳定性，回旋返波振荡和反射振荡) ，经过多年的研究，找 到了采用分布式损耗( 在互作用波导段内壁涂覆石墨) 的方法，能有效的抑制回 旋行波管中振荡。采用该技术，他们获得了中心频率3 5 g 峰值功率为9 3 k w ，效 率为2 6 ，3 d b 带宽为1 0 ，增益为7 0 d b 的引人注目的实验结果。同一时期， 海军实验室n r l 也采用分布损耗式电路，其研制的k a 波段基波匾。模回旋行波 管获得了7 8 k w 的峰值功率，效率为1 9 ，带宽1 7 ，增益为6 0 d b 。 u c l a 和u c d 于1 9 9 5 年联合进行了一次中心频率为1 5 7 g h z 的回旋行波放 大器的实验，实验中获得了2 0 7 k w 的峰值功率，效率为1 3 ，3 d b 带宽为2 1 ， 增益为1 6 d b ，工作在t e 2 1 模，谐波次数为二次。前苏联对回旋行波放大器的研究 开展的较早，取得了大量的成果，工作水平处于国际先进水平，但是由于种种原 因，直到1 9 9 8 年才第一次公开发表了实验研究报告。该报告中报道了俄罗斯应用 物理研究院( l 心) 进行的一次中心频率为9 4 g h z 的回旋行波放大器的实验，实 验中获得了高达1 1 0 0 k w 的峰值功率，效率为2 9 ，3 d b 带宽为2 1 ，增益为3 7 d b ， 工作模式为t e ll 模和t e 2 1 模的混合模。 国内的研究中，电子科技大学高能所于2 0 0 6 年研制的一支k a 波段回旋行波 管放大器，工作模式为t e 0 1 模，获得了峰值功率2 0 0 k w ，带宽1 0 ，增益为3 0 d b ， 效率为2 0 的结果，其各项性能指标达到同期国际先进水平。 国际上对w 波段的回旋行波放大器的研究开展的较晚，u c d 和c p i 的工作 代表当前国际水平。u c d 于2 0 0 1 年研制出中心频率为9 4 g h z 的回旋行波放大器， 实验中获得了1 1 0 k w 的峰值功率，效率为2 2 ，3 d b 带宽为4 7 g h z ，电子的横 纵速度比为1 o ，速度离散为5 。c p i 于2 0 0 6 年研制出w 波段的宽带回旋行波 放大器，中心频率为9 5 g h z ，峰值功率为2 1 k w ，3 d b 带宽达到了8 g h z 。目前 已经报道出的w 波段回旋行波放大器主要有以下两种管型：1 、u c d 的高增益回 旋行波管，峰值功率能达到1 0 0 k w 以上，3 d b 带宽可达4 g h z ，增益超过4 0 d b ， 但是需要的工作电压较高；2 、c p i 的宽带回旋行波管，输出功率较低，仅有几百 5 电子科技大学硕士学位论文 瓦到数千瓦，但3 d b 带宽较宽，能达到8 g h z ，主要用作前级驱动。 1 3 回旋管工作原理 我们以回旋行波管为例介绍： 图卜4 匝l 旋行波管结构 典型的回旋行波管结构如图所示，由电子枪，输入结构，互作用段，输出段 及收集级组成l l 。 电子枪的作用在于形成具有足够横向能量的和电流密度的电子注。由于在电 子枪枪区向互作用枪过渡的一段空间，纵向磁场由弱变强，即具有收敛性，收敛 磁场的径向压缩作用和管子的轴对称性，使得阴极面积可以做的足够大，产生相 当强的电子注，而速度零散也比较小。收敛磁场具有一重要特征：绝热压缩作用 尘= 常数= ，肜。为电子的横向能量，从上式我们可以知道，若想增加电子的横 向能量，我们只需要增加磁场b 就可以实现。换句话说，当磁场逐渐增强时，电 子的横向能力，亦即横向速度就随之不断提高。而根据能量守恒观点，横向能量 的增加必然意味着纵向能量的减少，也就是说，电子随纵向磁场的增强，不断将 纵向速度转化为横向速度，这种电子能量不与外界发生能量交换而只是自身能量 形式的转换，就是过渡空间缓变收敛磁场的绝热压缩作用。 当电子的横向和纵向速度比达到一定的比率时，电子进入互作用段，在相互 作用的过程中形成了电子的角向群聚。下面给予较为详细的分析： 我们假设在圆波导中已建立起最简单的砜模的电磁场，有电子枪形成的空 心回旋电子注注入互作用空间，图1 5 给出了在互作用空间入口的电子注与r e o 。 模角向电场的图像。 6 第一章绪论 图卜5 互作用腔电子注与场分布 图中吆为空心电子注的平均半径，乃为电子的回旋半径，玩为r e o 模的角向 电场。我们取回旋电子的一个回旋圆，设在某一时刻，电场目的方向与该回旋圆 的关系如图1 - 6 ( a ) 所示。由于电子枪发射的电子数量十分巨大，因而在电子注平 均半径上将分布有无数个回旋圆，而平均半径实际上也并不是单一的，有一个厚 度分布，即使在同一个回旋圆上也分布有大量电子。初始的电子运动还没有受到 电磁场的扰动，因而我们可以认为，它们在回旋圆上任意位置的分布是均匀的， 现在我们就取回旋圆上八个电子来考察，如图1 - 6 所示： 叫e l ( a ) 叫e ( c ) 6 ( b ) 叫e 6 ( d ) 图1 6 回旋管中电子的角向群聚和能量交换 7 电子科技大学硕十学位论文 首先，我们对回旋角频率及回旋半径的表达式引入相对论修正 吐= i eb = 丢等 以= 生= 旦y = 。7 qc o c o 式中为电子的静止质量，鳞。为相应于的电子回旋频率，同样，则为 相应于m o 的电子回旋半径。y = 1 , 1 一2 为相对论修正因子，= v c ，1 ，是电子 速度，c 是光速。 1 号电子的回旋方向与电场e 方向相同，因为电子处于减速场中，电子的速 度减慢，相对论因子y 变小，使电子的回旋频率婢增加而回旋半径减小，电子 运动的轨迹就趋于c 圆的内侧而其相位则因旋转得快而超前于场。或者以相对论 中质能关系的观点来说，电子由于向电磁场交出能量而使自己变轻，因而引起回 旋频率鳞的增加；5 号电子则相反，处于加速场中，相对论因子，变大，导致电 子回旋频率鳞减小，而回旋半径增大，因而电子运动的轨迹趋于，= 圆的外侧， 而其相位落后去场。或者说电子由于从电磁场中获得能量而变重了，因而引起筑 的下降；3 号和7 号电子的回旋方向与电场巴垂直( 相当于场的0 相位和石相位) ， 所以将不改变起回旋速度v ，也不发生相位的超前或落后及回旋半径的变化。 8 号和2 号电子的情况将与l 号电子类似，而4 号和6 号电子则与5 号电子 情况类似。因此，如果场的频率与电子的回旋频率接近，国观，则受到减速的 8 ，l ，2 号电子就将始终处于减速场中，因而其相位也将越来越超前而从回旋圆 内侧向3 号电子靠拢；同样，受到加速的4 ，5 ，6 号电子将始终处于加速场中， 其相位将越来越落后而从回旋圆外侧亦向3 号电子靠拢( 图1 - 6 ( b ) ) 。经过一段时 间，他们就将以3 号电子为中心群聚起来。在以缈，为角频率的旋转坐标系中来观 察，这一群聚过程将如图1 - 6 ( b ) 、( c ) 所示，并称之为回旋电子的角向群聚。 下面介绍电子注与场的能量交换过程 由图1 - 6 ( c ) ，可以看出，尽管回旋电子注产生了角向群聚，但在c o 他的条 件下，群聚中心并没有落在减速场中，因而电子注与场不会有纯的能量交换。因 此，在实际回旋管中，必须使缈以，这时，场的相位将在每一个回旋周期里比 电子的回旋超前一点，经过若干回旋周期，群聚中心就会落后场万2 相位，即高 频场变化2 n ，r + n 相位时，电子回旋只变化了2 n f f + 刀2 相位，使本来处于场的0 相位的电子群聚块落后到了减速场区( 图1 - 6 ( d ) ) 。在减速场区，整个群聚块受到场 第一章绪论 的减速而向场交出能量，使其回旋频率鳞增加，因而( 0 3 一鳞) 的差值减小，并 随着群聚块不断向电磁场交出能量而使( 缈一q ) 的值不断减小。只要鳞与国能 保持同步，群聚块就能始终处于减速场区，并实现有效的电磁辐射；只有当她增 加到超过了国，谚与国的同步才会被破坏，有效的能量交换也才会停止甚至反过 来电子注从场吸收能量。 从上面讨论的回旋管电动力学系统中的能量交换过程我们可以得到一个重要 结论：回旋管电磁辐射频率c o 将取决于电子回旋频率啡，而鳞又取决于磁场b 的 大小。 由此可见，要使自由电子尽可能想高频场交出能量，首先必须是电子具有足 够大的回旋速度一横向能量；其次要求辐射场的频率c o 必须略大于电子回旋频率 鳞，即国鳞；第三则是要求有一定得互作用区长度，以利于电子群聚及充分进 行能量交换。 1 4 本学位论文的工作 随着目前社会对高功率高频段放大器件的需求越来越高，回旋行波管越来越 受到重视，但是回旋行波管理论模型复杂，公式繁琐，且无法求得解析解，对回 旋行波管的研究带来了一定的难度。因此通过计算机进行数值求解来研究互作用 过程，就显得尤为重要。所以，进行了如下一些工作： 从基本电磁理论出发，研究了电子回旋脉塞的线性和非线性理论，对回旋管 中电子运动及互作用过程进行了研究，为后面的理论推导打下了基础。结合非线 性理论，详细推导了在回旋行波管中电子的运动方程，注波互作用方程和场方程， 并对方程进行处理以便于进行数值模拟。 编写了圆柱波导中互作用模拟程序，对t e 0 1 模式的注波互作用进行了大量 的计算，得到了一组关于各个参数对互作用的影响的结果。 本论文结构如下： 第一章介绍回旋管的发展与现状，对回旋管基本的群聚和换能原理进行了 阐述，对各种类型的回旋管互作用段进行了对比介绍，重点讲解了 回旋行波管的结构，并对线性和非线性理论互作用理论进行了介绍。 第二章对回旋管的线性理论进行了分析，讨论了电子回旋中心坐标系的建 立和波导中场分量的关系。推导了电子运动方程和圆波导中场方程。 9 电子科技大学硕士学位论文 第三章推导了回旋电子注与波的互作用方程，结合非线性理论，对电子运 动方程和互作用方程进行了数学处理，使之适合数值模拟，结合前 面的理论编写了数值模拟程序。 第四章利用模拟程序进行大量计算，得n t 互作用中各个参量对互作用过 程的影响结果，对个参量的作用进行了分析。 第五章对论文工作和模拟结果进行总结 l o 第二章同旋行波管相关理论分析 第二章回旋行波管相关理论分析 2 1 回旋管线性理论 电子回旋脉塞的线性理论是揭示电子回旋脉塞机理及电子与波相互作用物理 过程的基础。线性理论一般基于等离子体动力学理论，从线性伏拉索夫一麦克斯韦 方程出发，采用沿未扰轨道积分和积分变换的方法，求得互作用色散方程。在物理 量的交变分量与直流分量相比很小时，我们略去电子运动数学方程中的非线性项， 使方程线性化，这就是线性理论，又称之为小信号理论【1 7 】。 电子回旋脉塞色散方程可以看作是波导模式与电子回旋模式的耦合方程，真空 中圆波导模式为【l8 】： 等一砰一砖= 。 其中为轴向传播常数 电子回旋谐振条件为： 缈一向i m i 一，哆= 0 其中h 为电子轴向速度，q 为电子回旋频率。 脉塞色散方程即是将这两种模式耦合起来的方程。 ( 2 - 1 ) ( 2 2 ) 电子科技大学硕士学位论文 i 夕r 1 2 多_ k 2 = f 、 r o k l i 图2 - 1 回旋行波管互作用色散曲线 由图2 1 可见，电子回旋脉塞不稳定性的互作用区域就在波导模式曲线与回旋 模式直线相切的附近1 9 之2 1 。 对于珏删波，在仅考虑不稳定项时，脉塞色散方程为： ( c 0 2 一雅2 一碍c 2 ) ( 国一碥- l c o 。) 2 = 一鲁砘( 国2 一砰c 2 ) ( 2 - 3 ) 因为电子回旋脉塞一般工作在截至状态附近，所以我们引入近似关系式 彩2 一砰c 2 = 霹c 2 所以式( 2 - 2 ) 可化简为 ( 0 ) 2 - - 砰c 2 - - k 2 c c 2 ) ( 缈一v , - l c o , ) 2 = 一手砘既，c 2 在均匀波导条件下，考虑t e m 。模式， 场方程为： e = 瓦。( ，伊) 厂( z ) e 埘 式中f ( z ) 为场幅值的待定函数 由麦克斯韦方程 1 2 ( 2 4 ) ( 2 - 5 ) 第二章同旋行波管相关理论分析 v 2 e + k 2 e = j c o z o j 可得： ( 万d 2 + k l ) s ( z ) = 锷p 啦 式中礁= k 2 一矗 经过计算可以得到： m ，= 南w i 。 等 其中：d ( q i ) = 兀( 一k 1 1 ) 4 = 坼们，+ 掣l q = 国一焉i 屹一，q ( 2 6 ) ( 2 7 ) ( 2 8 ) 可见幅值函数f ( z ) 有四个部分，代表四个波。一个反向传播的无衰减波，一个 正向传播的无衰减波，一个空间增长波和一个空间衰减波。这跟普通行波管所得结 果很类似。 对增益有贡献的仅是增长波，假设回旋管互作用区的长度为l ，经计算可得线 性增益为： g = 黼= 一 仁9 ， p ( z = o ( 主r ) ( 主犯) 侣拶 2 2 亥姆霍兹方程及波导中场分量的关系 在无源空间中，麦克斯韦方程组为 v 日：占丝 a ( 2 一l o ) 电子科技大学硕士学位论文 v 肛一警 飞h = 0 v e = 0 ( 2 - 1 1 ) ( 2 - 1 2 ) ( 2 - 1 3 ) v 岬旧叫鼢耻一肛窘 ( 2 - 1 4 ) 利用矢量恒等式v 2 兰v v 一v x v x ，可以得到 v 2 e 一肛可0 2 e ( 2 1 5 ) 同理：v 2 日一胪可0 2 h ( 2 1 6 ) 对于时谐电磁场，将昙专歹缈，摹j 一缈2 ，则由式( 2 一1 5 ) 和式( 1 一1 6 ) 可得到： ，v 2 h k 2 h = o i v 2 e k 2 e = 0 ( 2 - 1 7 ) k = o , 4 - j 上式即为电磁场所满足的亥姆霍兹方程。 现在将场分解为纵向分量，即传播方向分量和横向分量： le = 局+ 丘 【h = 4 , + 皿 由方程( 2 1 7 ) 可得， v v ：2 e e , 一- 后k z 2 e , = ：0 。和 v v z 2 皿e , 一- 七k ：2 皿e , = ：0 。 。2 。8 ， 下面我们推导场分量之间的关系 1 4 第二章【亓l 旋行波管相关理论分析 我们将微分算符v 写为： v 兰v + f 旦 瑟 由麦克斯韦方程得： v x 豆= ( v ，+ 7 昙) ( 巨+ 巨) ：v ，丘+ v ，x 丘+ 乏o ，、e , o z = j c o h , j o l a h , 则：v ，丘= 一j t o l a f l , = 一j o l l ( h , v ，豆+ 乏墨：- j 掣豆 o z 同理v ，豆= 一j c o l z ( e , v ，覆+ 乏掣：一歹掣豆 o z ( 2 1 9 ) ( 2 - 2 0 ) ( 2 - 2 1 ) ( 2 2 2 ) ( 2 - 2 3 ) ( 2 - 2 4 ) 方程( 2 - 2 2 ) 两端乘以j o ) ： ( v ，( 乞巨) ) = t v ，疋一弘g f ：v r 疋+ 弘s 乏o 彪e , = 露2 茸 ( 2 2 5 ) 以( 乏) 昙对方程( 2 2 4 ) 两端作用，得 o z 瓦0 吣- ) v tx 豆+ 孤争咖占乏誓睨睨眩 一m 掣一罂咖占乏x o zo z誓 一乞t 三。一= j 。2 _ ，缈占乞 o z 掣一粤：肛乏誓 勿瑟2 。2 瑟 方程( 2 - 2 5 ) 和( 2 - 2 6 ) 两端相加，得： 乏刚j 一等巾x v t e z - 嘀 1 5 ( 2 - 2 6 ) ( 2 - 2 7 ) 电子科技人学硕士学位论文 即：( 后2 + 萨0 2 ) 只_ = 一扣占乏v ，置+ 昙( v ，皿) ( 2 2 8 ) 隅专昏j t 乏x v , 皿+ 扣巨) ( 2 - 2 9 ) 我们研究的是在z 方向传播的波，设波有因子e 叩，y 为传播常数，于是方程 ( 2 2 8 ) 与( 2 2 9 ) 变为： e t = k 2 + 1y - - - - - t 掣乏v ，皿一，巨 厦2 研1 一国讽丘一形驯 ( 2 - 3 0 ) 由上式看出，波导中的电磁波场由两部分构成，一个部分是电场的纵向分量以 及由它所决定的横向分量，另一部分是磁场的纵向分量以及由它所决定的唱的横向 分量。因此，我们求解波导中的电磁场问题，就可以先求出场的纵向分量，然后通 过纵向分量再求出场的各横向分量。 2 3 圆波导中的场分布 对于圆波导，我们采用圆柱坐标系，g 。= ， e 2 = ，e 3 = 1 。我们这里只讨论飓( h ) 波2 4 】 采用位函数，它满足 警弓警+ 7 1 丽0 2 弘, m 2 肛。 却zr8 r a 、 ” 用分离变量法解得： = 2 j p ( k ) e o s p r p p = 0 ，1 ，2 在，= 口上，要满足条件掣：0 ，因而得： 钟 恕口= y p q 如为( 恕口) 的第g 个非零根： 1 6 q 2 = d p ，q 3 = z ，拉梅系数q = 1 ， ( 2 - 3 1 ) ( 2 - 3 2 ) ( 2 3 3 ) 第二章同旋行波管相关理论分析 ( ) = o 将上式带入t e 波的赫兹磁矢量方程得 豆= 磅2 ，口( 乞，) c o s 胛p 肌一肚 豆r = 一jp k c n ，啦c n c o sp 9 e j 一z 1 h p ：j p p 坠jp 峨c n 虹p ( p e y ( w t - p z l e r ：j 哆p 坠jd c n 妇p 簟o e j ( w t - z 、 易= 掣t 2 ，：( 恕，) c o s 即e j 埘一加 由砖= k 2 一2 可得： 2 = k 2 一砰 肛n 争 h p q 波的截止波长五为： k = 2 死n 厩| p m 波所传播的平均功率流： p = 与邸咿2 d s = 丢啤猡硭j m 砟( 恕，) c o s 2 p 缈r d r d 缈 对上式进行积分，考虑到条件( 恕口) = o ，对p 0 ，有 尸= 螂群m 2 - ，2 ) ( 1 一万p 2 ) 当p = 0 ： p ：丢哆舻万口2 - v ：2 t ，。2 ( ) 1 7 ( 2 3 4 ) ( 2 - 3 5 ) ( 2 - 3 6 ) ( 2 - 3 7 ) ( 2 - 3 8 ) ( 2 - 3 9 ) ( 2 - 4 0 ) 电子科技大学硕士学位论文 2 4 电子回旋中心坐标系 在波导电子回旋脉塞中，有两种不同的空间坐标系可供选择，一种是波导轴坐 标系，另一种是电子回旋中心坐标系。我们知道用动力学理论方法研究波导电子回 旋脉塞，一个关键问题事故时求解线性伏拉索夫方程，而求解线性伏拉索夫方程的 主要方法是特征线方法，即沿未扰轨道求积分的方法。在不同的空间坐标系中未扰 轨道( 特征线) 取简单的数学形式，那么在此种坐标系中，线性伏拉索夫方程的解， 即沿未扰轨道求积分，我们就可以简单的求出。电子回旋中心坐标系的选择【2 5 1 ，正 是出于这一目的，以后的研究表明，在电子回旋中心坐标系( ，秒，z ) 中，电子的未扰 轨道取最简单的形式( 即，= c ) 。 电子回旋中心坐标系中，在均匀直流磁场的条件下，对于未扰轨道，坐标原点 ( r ，) 是没有运动的。下面采用逐次逼近法在电子回旋中心坐标系中建立波导回旋 脉塞的动力学理论。 对于波导中的t e 波模式，电磁场矢量e 和b 可以通过位函数沙来表示： e t = j u g z xv p 棚z 厶l = ( 后2 + ，2 ) y e 皿一肛( 2 4 1 ) h f = 一r v e j 倒 式中y 满足亥姆霍兹方程及边界条件： f v ；y + 霹y = 0 1 丝：o ( 2 - 4 2 ) l 却 考虑任意截面形状的波导，取正交坐标系( “。，u 2 ，z ) ，z 轴与波导轴一致。设某 一电子回旋中心的瞬时坐标为( 材。，u ：。，z ) ，以此点为原点，建立电子回旋中心坐标 系( ，0 ，z ) 。可见波导轴坐标系及电子回旋中心坐标系的z 轴是平行的。如图2 2 所 示 第二章回旋行波管相关理论分析 ( a ) ( b ) 图2 2波导轴坐标系和电子回旋中心坐标系 电子沿d 轴作回旋运动，而在波导内电磁场有一定的分布，因此电子在作周期 性运动时，所受到的场将是一个周期场。这样，我们可以再电子回旋中心坐标系中， 将场沿电子回旋轨道分解为傅里叶级数： ( “l ，“2 ) = 缈( o ，r ) e 朋 ( 2 4 3 ) ， 式中( u l ou ：。) 为电子回旋中心的坐标。展开系数y ( “。，) 可按下式求出： y ( “：。，) = 石1 y ( ，“：) e j l 口d o ( 2 4 4 ) 场的这种展开我们称之为局部场展开。 图2 - 3 圆柱波导场中的局部展开 对于圆柱波导系统，由导波场论，可以得到函数为： 1 9 电子科技大学硕七学位论文 y ( 尺，缈) = 厶( 红尺) p 7 御 ( 2 4 5 ) 我们利用贝塞尔函数加法定律： j m ( k 。r ) e 加矿娜= ( 恕，) 厶+ ，( k 。r o ) e 田o ( 2 - 4 6 ) g = 式中 r 2 = 霹+ ，2 2 线c o s 由图2 - 3 可以得到： y = 万+ 一0 因此方程2 4 6 可以写成 厶( 恕r ) e 抑= 厶( 恕，) l + ，( 红r ) e “肿咖e j 扩们9 ( 2 - 4 7 ) g = o 另一方面，由傅里叶展开式 沙( 尺，缈) = ( r ，) e 朋 ， 瓦甲 2 芴1 e y ( 尺，伊) e j e d 口 将方程( 2 - 4 7 ) 代入式( 2 4 8 ) 得 缈= 芴1e 耋厶( 恕，) 厶+ 。( 乞r ) 铆叼硫舻们删d 秒 利用正交条件可得 ( r ，缈) - z j , ( k c ，乩一- ( k c & ) e j 州卜脂 2 5 回旋电子运动方程 ( 2 - 4 8 ) ( 2 - 4 9 ) ( 2 - 5 0 ) 考虑电子在任意的静电和静磁场中的运动，取三维正交曲面坐标系( g 。，q 2 ，吼) ， 运动方程采取拉格朗日方程的形式【2 6 】： 第二章回旋行波管相关理论分析 亟：丝 出妻r ( i - 1 ，2 ，3 ) 蜃：丝 一 o q i ( 2 - 5 1 ) 式中l 是拉格朗日函数，只是广义动量的第f 个分量。在静电及静磁场中，拉 格朗同函数可表为 l = - m o c 2 l 一2 一西a + e q ， 式中1 ，为电子的速度，彳表示矢量磁位，够表示标量电位， 量，e 为电子的电荷。 由上两式可以得到电子的广义动量： 声：丝：p + e a ( 2 - 5 2 ) 为电子的静止质 ( 2 - 5 3 ) 式中声：軎= m 。砂 是电子的力学动量 , 1 8 电子运动的哈密顿函数为 h = 喜缸 p 5 4 ， 可以得到： h = 善+ 印= c 2 7 + 印 ( 2 - 5 5 ) 、1 一2 哈密顿函数的物理意义是电子运动的总能量。因此上式第一项为电子运动的动 能和静止能量，第二项表示位能。如果伊= 0 ，由于电子的静止能量为e = m 。c 2 丁= c 2 y - m o c 2 = m o c 2 ( r - 1 ) 电子的静止能量总是伴随着电子存在的， 能量又可写成 e r = 碥c 2 + c 2 p 2 由于声= 声一e d 所以运动电子的能量又可写成 2 l ( 2 5 6 ) 不管其运动与否。因此，运动电子的 ( 2 - 5 7 ) 电子科技大学硕十学位论文 这样，电子运动又可通过哈密顿函数写成正则方程形式： 由于云= 一v 伊，云= v x a 由方程( 2 5 9 ) 可以得到常见形式的运动方程： 害一( 如厕 相对论因子，：( 1 一z ) 一i ，p _ _ 1 5 c d 黟一一d y 布 玄2 叫叫瓦+ 7 瓦叫 w 洒警+ y 丢掣 = t o o l 以i 百d y w 三掣 = m o l 哥心d y + 厂i 哥博d t 又由式( 2 - 6 0 ) 得 哥空：一g ( 雷+ 哥云) 旷：一西哥 d t 、 7 i 玫m o 哥哮w 懈粤= 旃矿 因为72 丽1 2 所以鲁= 如) 十2 畦粤 ( 2 - 5 8 ) ( 2 - 5 9 ) ( 2 6 0 ) ( 2 6 1 ) ( 2 6 2 ) ( 2 - 6 3 ) 塑铲旦 一 k 弘 ，l 第二章回旋行波管相关理论分析 ：广! 掣 cd t 所以掣= 南彳d y 易百d y 将式( 2 - 6 5 ) 带入式( 2 - 6 2 ) 得： m o l 哥1 2c 出t _ z r + 粤警撕哥 毗州警嘉h 吲2 警学， 亦即聊。c 2 百d y = 一西哥 两边同乘以哥得 咿警一半 所以空d t = 厂鲁+ 哥鲁 d f e 哥( 哥e ) 2 m o y 瓦一， = 一e ( e + 哥b ) y 署= 一p 豆+ 哥雪一专矿c 哥豆， 石d f 咄厢 如廊扣p 豆) 此式即为电子运动方程，下面对其进行展开。 在直角坐标系中 ( 2 - 6 4 ) ( 2 6 5 ) ( 2 - 6 6 ) ( 2 6 7 ) ( 2 - 6 8 ) ( 2 - 6 9 ) ( 2 7 0 ) 办一出 开一沁蠼出 = = 电子科技大学硕士学位论文 哥云= i 匕 i 色 哆哆 b y b z 哥e = 圪e + 巧髟+ 圪巨= 圪e + 巧髟 将上两式代入式( 2 - 7 0 ) 中可得： 等= 一等 e ”嘲专c 咖例 = 一等 e c 一等