中学生数学建模.doc

目录李正太 一 前言 1二 简易数学模型11 存款模型（1）2.罐头罐模型（1）3.存储模型（2）4.汽车转弯模型（2）5.红绿灯模型（3）6.服装厂兼并模型（4）7.隧道车流量模型（5）8.矿泉水市场模型（5）9.出租车计价模型（6）10.投掷模型（7）11.圈地模型（9）12.报童订报模型（10）13.军舰集结模型（10）14.会议厅楼层选择模型（11）15.设备更新模型（12）16.刹车模型（12）17.衣物漂洗模型（12）18.分期付款模型（13）19.帆船航行模型（14）20.商店选址模型（15）三 Lingo模型基于优化工具软件Lingo的数学模型16 1. 食谱模型（16）2电子产品生产存储模型（16）3.邮局员工雇用模型（17）4.谷子买卖模型（18）5.长方体剪裁模型（18）6.资源出租模型（18）7.接力队模型（19）8指派模型（19）9.森林采伐模型（20）10.招标模型（20）11.转运模型（20）12.化肥调拨模型（21）13.航运公司配船模型（21）14.航线规划模型（22）15.机器负荷分配模型（22）16.动态生产存储模型（22）17.最大流模型（23）18.最小费用最大流模型（23）19.工程网络模型（23）20.最短邮路模型（24）21.空姐滞留时间模型（26）22迁址模型（26）四 Lingo模型参考 29 Lingo简介（29）1.食谱模型（33）2电子产品生产存储模型（34）2. 邮局员工雇用模型（34）4.谷子买卖模型（36）5.长方体剪裁模型（36）6.资源出租模型（36）7.接力队模型（37）8指派模型（37）9.森林采伐模型（37）10.招标模型（38）11.转运模型（39）12.化肥调拨模型（39）13.航运公司配船模型（40）14.航线规划模型（40）15.机器负荷分配模型（40）16.动态生产存储模型（41）17.最大流模型（41）18.最小费用最大流模型（41）19.工程网络模型（42）20.最短邮路模型（43）21.空姐滞留时间模型（44）22迁址模型（44）23.流水线模型（45）五 Matlab模型基于Matlab语言的数学模型 46 1. 蛋白质分解模型（46）2.推销员问题（46）3.跳伞模型（46）3. 曲线长度问题（47）5.细菌培养模型（47）6.最短路问题（47）7.最大流问题（48）8.最小生成树问题（49）9.气温估计模型（50）10.自动追踪模型（51）11.平板温度估计模型（52）12.航空公司订票模型（53）13.杀菌模型（53）14长方体切割模型（55）15.普洼松订货模型（55）16.同系繁殖模型（56）17.层次分析法排序问题（56）18学校选择模型（57）19.自行车车铺订货模型（57）20售票窗口排队模型（58）21.蠓虫分类模型（59）22安全航行区域模型（60） 六 Matlab模型参考 60Matlab简介（46）1.蛋白质分解模型（65）2.推销员问题（66）3.跳伞模型（66）4. 曲线长度问题（66）5.细菌培养模型（67）6.最短路问题（68）7.最大流问题（68）8.最小生成树问题（70）9.气温估计模型（70）10.自动追踪模型（71）11.平板温度估计模型（71）12.航空公司订票模型（71）13.杀菌模型（72）14长方体切割模型（72）15.普洼松订货模型（73）16.同系繁殖模型（74）17.层次分析法排序问题（74）18学校选择模型（75）19.自行车车铺订货模型（75）20售票窗口排队模型（76）21.蠓虫分类模型（77）22安全航行区域模型（77）七 数学模型案例 78八 附录 100前言二十一世纪的时代特征:计算机无处不在,数学无处不在，借助计算机,数学已真正成为各学科的工具；高新技术就是数学技术，几乎所有高新技术都得通过数学模型和数学方法并借助于计算机的计算控制来实现 。数学建模课程目标： 提高学生的数学应用意识和数学建摸能力。从理解和应用能力方面讲,基本掌握高中数学常用知识,线性规划,非线性规划,动态规划,图论, 线性代数,微积分,概率统计(含参数估计,假设检验),仿真基础,层次分析法,曲线拟合等等。精通Matlab 和lingo语言，最好能掌握Java. 培养学生撰写科技论文（英文）能力,培养学生合作精神与创新精神。数学建模课程计划：数学建模课程从高一上学期一直开设到高三上学期:（1） 结合中学数学教学内容，建立简易数学模型（2） 结合Lingo优化软件的学习,建立优化模型并解模。（3） 结合Matlab语言的学习,建立有关图论，仿真及相关的模型并解模。（4） 根据提供的模型背景，学生自行提出的问题,社会实际问题，学生建模解模.数学建模课程采用案例教学方法，借助大量精选的模型背景,讲授流行的计算机软件的应用,先进的数学知识，提高了学生数学建模能力。精通一,两门计算机语言,一方面提高了计算机的使用能力,更重要的一方面是由于不同计算机语言的结构相似性甚至兼容,有利于学生日后的计算机学习与研究。另外,很多人学计算机时由于数学知识的匮乏而无法深入,数学建模一举多得。接触并掌握先进的数学知识,一方面能处理更为复杂的模型背景,创造性的工作相对高级并富有时代气息,另一方面借助计算机,有机会在数学方面做出创造性的工作。本书是根据我几年来数学建模教学记录改编而成，比较适合中学生，部分内容也适合大学生在本书的编写过程中，复旦大学教授谭永基，上海海运学院教授丁颂康，华东师范大学教授袁震东，蒋鲁敏，赵小平等给予了关心指导，在此深表谢意李正太 简易数学模型1.某人现有1万元现金，决定存款，计划存n年，试建立存款模型。并用下面的问题验证：中国人民银行97年10月整存整取年利率如下: 一年期二年期三年期四年期5.67%5.94%6.21%6.66%某人97年10月有1万元,选用怎样的存款方式使6年内收益最大?分析： 假设银行提供的整存整取种类（按年数分）为：任何一种存款方案都可用一组非负整数表示：.则n, n年末的收入我们可以算出每种年期的平均年利率（复利）这样这样求p的最大值等价于求lnp的最大值。，则选择第k个年期，否则只能用枚举的方法得到最佳的存款方案。知识点：单利，复利,对数2.体积一定的罐头罐，尺寸应该怎样？ 分析： 罐头罐通常为圆柱体，假设半径为r,高为h.由于体积v一定,所以，设计罐头罐应考虑制造成本：（1） 材料费用：罐头罐的表面积与单位面积材料费c的乘积：（2） 焊接费用：焊接长度与单位长度的焊接费用d的乘积： (4r+h)d总费用当然实际生产过程中，材料的利用率是非常重要的因素。讨论：试研究当d和c的大小发生变换时，对r的影响。练习：某仓库拟用12根长a米的钢管及足量的防水布在露天以钢管为棱搭建若干个棱锥形帐篷零时储物.问如何搭建才能使容积最大?知识点:表面积，体积，函数极值3.某厂每月需供应零件420个(不允许缺货),每月生产率1200个,(由于不必每天生产,所以分批生产)每批装配费500元,存储费每月每件8元(存储费与存储时间成比例),试安排生产周期和每期产量. 分析： 几个基本假设：（1） 不能缺货（2） 零件的供应是连续的匀速的，生产过程中零件的产量是连续均匀的（3） 生产是周期性的每个周期（设为t）需考虑的费用：装配费k,存储费v.一个周期内库存量q与时间t的关系如下：tqtptp为该周期内生产时间,每周期内产量和供应量平衡1200tp=420t，tp=420/1200t=0.35t,最高存储量为(1200-420)tp=273t,最低存储量为0，平均存储量为273t/2=136.5t, 存储费v=8136.5tt=1092一周期内的总费用为：k+v=500+1092平均每月费用为：（500+1092）/t最佳的生产计划应使得单位时间成本最低（或单位零件的生产成本最低）讨论：研究最佳生产周期与装配费间的关系。如果允许缺货，缺货费为每月每件s元，对上述模型进行修正练习：3.1.某商店经售甲商品,成本单价500元,年存储费用为成本的20%(存储费与存储时间成比例),年需求量为365件,需求速度为常数(不允许缺货).甲商品的订购费为20元,提前期为10天, 安排订货周期和每期订货量.3.2.某厂每年需某种元件5000个,需求速度为常数(不允许缺货),每次订购费50元, 年存储费用为1元(存储费与存储时间成比例),元件单价K(元)随采购数量Q(个)变化而变化:Q1500时,K=2.0; Q1500时,K=1.9. 安排采购周期和每期采购量.知识点：函数极值4.汽车位于点A, 朝向垂直 AB. 不允许倒车，求汽车到达点B的最短路径.分析： 假设汽车有最小的转弯半径r， 汽车的大小相对于r,及A,B间的距离d可忽略不计。 如果d2r,如下图：从A点出发作以r为半径的圆周运动，当该圆过汽车所在点的切线过点B时，汽车径直开向B如果d2r,如下图：从A点出发径直开,然后作以r为半径的圆周运动，圆恰好过B练习：一幅长为b的画挂在墙上，倾角为q,画的底部离地面的高度为a,试确定观赏者的最佳位置。知识点：三角比5.如图为一双向通行的一个十字路口，每个方向均有一车辆通道，不考虑行人，车辆不允许转弯，给定红绿灯变换周期，试建立数学模型确定水平方向红灯所占时间。H:水平方向； V:竖直方向。分析：假设（1）车流是均匀的（2） 有车停车后再发动到正常车速所需时间相等（设为s）。（3） 忽略红绿灯间的间隔（黄灯）（4） 车队中的车能同时制动和同时启动合理的红绿灯比例配置应使得一周期内车子被延误的时间总和尽量小。设一周期时间为1。水平方向红灯时间为r,则绿灯时间为（1-r）; 竖直方向红灯时间为（1-r）,则绿灯时间为r;假设水平方向每周期到达的车辆数为h,则红灯引起的停车量为：hr, 平均等待时间为r/2,总共延误时间为：hr(s+r/2)假设竖直方向每周期到达的车辆数为v,则红灯引起的停车量为：v(1-r), 平均等待时间为(1-r)/2,总共延误时间为：v(1-r)(s+(1-r)/2)两个方向总共延误时间t= hr(s+r/2)+ v(1-r)(s+(1-r)/2)t是r的二次函数，我们可以找到合适的r,使得t最小。讨论：如果假定红灯转成绿灯时，每辆相继启动的车之间有一定时间的延误或考虑红绿灯转换的时间间隔，试修正上述模型。练习：设路口交通灯的变换周期为2分钟,一个周期内东西向和南北向来车分别为20辆和16辆,停车后再发动到正常车速所需时间为2秒. 求一个周期内东西向开红灯的最佳比率.知识点：二次函数6.现有甲，乙，丙三个服装厂生产同一种服装,甲厂每月产成衣900套，生产上衣和裤子的时间比是2:1, 乙厂每月产成衣1200套，生产上衣和裤子的时间比是3:2,丙厂每月生产成衣1000套，生产上衣和裤子的时间比是1：1，若三服装厂兼并,试建立数学模型，设计兼并后各厂的生产计划。分析：设甲，乙，丙月生产上衣能力分别为a1,a2,a3,月生产裤子能力分别为b1,b2,b3,每月用于生产上衣的时间百分比分别为：x1,x2,x3.(0x1,x2,x31)则由于上衣数须等于裤子数，所以a1x1+a2x2+a3x3= b1(1-x1)+b2(1-x2)+b3(1-x3) 好的生产计划是确保成衣总数t= a1x1+a2x2+a3x3最大。由a1x1+a2x2+a3x3= b1(1-x1)+b2(1-x2)+b3(1-x3)，x3可用x1,x2表示：x3=cx1+dx2+e； t也可用x1,x2表示：t=mx1+nx2+l.原模型归结为：max t=mx1+nx2+l0cx1+dx2+e10x1,x21练习：甲，乙两种零件可在铣床，六角车床，自动机床上加工。每台铣床单位工作日可加工甲15个，或乙20个。每台六角车床单位工作日可加工甲20个，或乙30个。每台自动机床单位工作日可加工甲30个，或乙55个。现有3台铣床，3台六角车床，1台自动机床，试确定加工方案，使得成套产品数最多。知识点：直线，线性规划7.越江隧道内既是交通拥挤地段,又是事故易发地段,为了保证安全,交通部门规定,隧道内的车距d正比于速度v(公里/小时)的平方与车身长(L米)的积,且最小的车距不得少于半个车身长.在交通繁忙时,应规定怎样的车速,可是隧道的车流量最大?分析：假设交通繁忙时，车流是均匀的。车流量由相继开出隧道的两车时间间隔t决定的，t越小，车流量越大。求出t的最小值及相对应的车速v讨论：是否v越大车流量越大，车流量与k的关系如何？知识点：分段函数，函数极值8.有A,B两家企业生产桶装矿泉水.市场价P(元/每桶)与消费者需求量Q(万桶)间的关系:P=30-Q/50.最初只有A一家生产,后来B发现有利可图,也加入生产的行列.试建立数学模型描述桶装矿泉水市场。分析：假设A，B两企业都本着利润最大化原则决定各自产量。为了简化，假设桶装矿泉水生产成本为0。假设A开始产量为a,则市场价P为30-a/50利润Pa=a(30-a/50),当a=750(万桶)时Pa最大，此时P=15(元/每桶)设B进入市场时决定产量为b,则市场价P为30-（750+b）/50利润Pb=b(30-（750+b）/50),当b=375(万桶)时Pb最大，此时P=7.5(元/每桶)然后，A必将调整自己的产量，假设A产量为a,则市场价P为30-（375+a）/50，利润Pa=a(30-（375+a）/50),当a=562.5(万桶)时Pa最大，此时P=11.25(元/每桶)同理，B将调整自己的产量。直到市场稳定，A,B不再调整自己的产量。设此时，A,B的产量分别为a,b则Pa=a(30-(a+b)/50),为了利润最大，a=750-b/2 (I)Pb=b(30-(a+b)/50),为了利润最大，b=750-a/2 (II)由（I）,(II),解得a=b=500,此时市场价为10讨论：（1）如果A,B结成联盟，市场将如何变化？ （2）如果第三家企业C进入市场，市场将如何变化？知识点：二次函数，函数极值9.上海市出租车现行收费制度（6：0023：00）为3公里起步价10元、每公里2元，并且10公里以上每公里3元。一些精明的乘客在行驶一定里程后，利用换车或让司机重新计价的方法来节省车费。可现在，这种乘客越来越少见了。请问适当换车真的省钱吗？建立数学模型解释上述现象。分析：假设堵车不发生，则平均每公里费用p与公里数x关系如下：p-x图像如下：当x=10时，p取得最小值，当x10时，p是x的增函数，但却一直小于3.当x10时，不换车；当x=10n时（n是大于1的整数），每隔10公里换一次车。当10x20时，若换车发生在x=10处，费用 若不换车费用 当tt0,即8+2x14时，换车，x14不换车同理当10nx10n+10时（n为大于1的整数）（已经换了n-1次车）若换车发生在x=10n处，费用 若不换车费用 当tt0,即4n+4+2x10n+4时，换车，xh，重力加速度为g假设抛球角度为，tg,设球速为v.球速v须满足两个条件：（1） 保证球飞过点B 球飞至B点上方的时间=此时，球离A点高度(2)保证球飞行的最高点在OP的左方 球飞到O点上方时间为：，球达顶点的时间为：综上所述，讨论：给定x,h,选择合适的,使得v尽量小；给定h,选择合适的x, , 使得v尽量小。练习：黄浦江江面宽为a,一艘艘宽度为b的轮船在江心由北向南以等速v直线行驶,每艘轮船的船头到前一艘轮船的船尾的距离为c,一艘对江轮渡由浦东A点出发驶向浦西岸边B点.求能以最小的等速沿直线安全到达对岸所需的时间. 北AB(轮渡大小忽略不计)知识点：斜抛运动，三角比11.牧场主有一块一公里见方的土地，打算全部或部分出售，土地本身不要钱，不过买主得出钱建围墙，价钱为每公里1元。试建立圈地模型。分析：好的圈地方案应使得平均每元获得的土地面积（即：土地面积比土地周长）最大。很多人根据“周长一定（此处周长即为成本），面积最大的图形是圆”， 设圆的半径为r, 面积比周长为：r/2,半径越大，比值越大，最大的半径为0.5，即最大的圆为土地的内切圆，此时比值为0.25。细心的读者发现，圈整块土地得到的比值也是0.25。如图： r 土地的内切圆半径为0.5，随着圆的半径r继续增大，我们圈得土地如上右图所示（当r=,便圈下整块土地），土地面积比土地周长q可表示为r的函数:q=f(r), 0.5r,求出q的最大值（0.2636）练习：某铝制品厂在边长为40厘米的正方形铝板上以四个顶点为圆心割下四个半径为20厘米的扇形(90度)。为节约铝材，该厂打算用余下的部分制作底面直径和高相等的圆柱形包装盒(有底,有盖,接逢用料不计）,求包装盒的最大直径并画出相应的裁剪图。知识点：三角比12.报童问题：报童每天售报数量是随机的。报童每售出一份报纸赚k元。如报纸未售出，每份赔h元。每日售出报纸份数r的概率p(r)根据以往经验是已知的，试建立数学模型，决定报童每天最好准备多少份报纸？ 分析：设报童每天准备的报纸数为q,则报童销售情况分两种：（1） 供不应求（qr），此时收入为：qk（2） 供大于求（qr）,此时收入为：rk-(q-r)h=r(k+h)-qh期望收入:最好的q应满足:s(q-1) s(q), s(q+1) s(q),即： 练习：某食品店每天顾客需求100、150、200、250、300只蛋糕的可能性分别为0.2、0.25、0.3、0.15、和0.1,每个蛋糕进价2.5元,售价4元,若当天不能售完,剩下的以每个2元处理,问如何进货?总产量最高.知识点：概率，期望值13. 军舰A沿着某固定方向匀速航行，此时军舰B接到命令与军舰A在最短时间内集结，试建立数学模型，研究军舰B的航行方案。分析：假设局部海洋是平面，以AB中点为坐标原点，AB为y轴，建立直角坐标系，如图：BPAxy 设AB=2b, 舰A航行方向与x轴夹角为，由对称性，只研究的情况。集结地点为点P(x,y),因为考虑最短集结时间，我们假设舰B也是直线匀速航行，舰A，舰B的航速分别为.设a=/,于是，点P须满足PB=aPA，即：。 （*）当a=1时，集结地点P为AB的中垂线与舰A航行直线交点，若0，则两舰不可能集结当a1时, (*)式可改写为其中，集结地点P为圆：与舰A航行直线y=tgx-b (x0)的交点（请读者讨论交点存在的条件及或-的情况）练习海上演习，军舰A,B,C同时接到命令须在最短的时间集结，已知相互间距为AB=100海里，CA=200海里，BC=220海里。A,B,C的速度分别为15海里/小时，20海里/小时，12海里/小时求集结地点D.知识点：圆与直线方程14某公司租用一幢n层的办公大楼，该公司全员会议较多，需在某个楼层设置会议厅，试建立数学模型，选择合适的楼层。分析：假设每个楼层参加会议的人数相同，相邻两层楼梯长都一样。合适的楼层应使得参加会议人员上、下楼梯所走路程总和最小.假设选择楼层k,则各楼层路程总和为：(k-1)+(k-2)+1+0+1+2+(n-k)=当n为奇数时，k=(n+1)/2当n为偶数时，k=n/2或（n+2）/2讨论：若各楼层人数不同，请对上述模型进行修正。如果该为乘电梯，情况又如何？练习：有一36层高楼 （层高一定），你想做一个实验：从某楼层落下一个鸡蛋，看是否会破，测出鸡蛋不破的最高层数。假定没破的鸡蛋可继续用于该试验，破了的鸡蛋将被遗弃。如果只有一个鸡蛋，必然是一层一层抛。如果有两个鸡蛋，请设计试验方案，使得落鸡蛋的次数最少。知识点：二次函数最值15.工厂或公司都会配备一些大型设备，这些设备除了购买成本高外，运转费用及维护费用也不低，而且用的时间越长，运转费用及维护费用越高，试建立设备更新的数学模型。分析：假设设备的运转费用及维护费用按期计算，费用发生在每期开始时。每期运转费用及维护费用递增常数d，折旧费忽略不计。银行利率每期为i.设设备费为a,首期运转费用及维护费用为c,则n期的总费用现值k(n)为：k(n)=a+c+若n期更新一次设备则全部将来（正无穷大年后）费用的现值t(n)=k(n)+ = 求出t(n)的最小值并找出相应的n.练习：某设备设备费为800，第一年运转费为70，以后每年递增20，年利率为12%，求设备更换周期。讨论：若不考虑银行利率，如何修正模型？知识点：数列，数列极限，现值16.下表是一组某汽车车速（单位：米/秒）与对应刹车距离（单位：米）的数据车速203040506070刹车距离4075120175240315试建立数学模型，描述该车刹车距离与车速的关系分析：假设司机刹车反应时间t是常数（与车速无关）刹车时汽车受到的阻力是常数（与车速无关，且在刹车过程中不发生变化）设刹车距离为d,车速为v,刹车时汽车获得的减速度为a.则由运动学知识知：如何获得参数t,a呢？因为所以，与v存在线性关系，由直线型经验公式可求得t1,a10.讨论：若刹车时汽车受到阻力随速度增加而减小，试对模型进行修正练习：为了检验X射线的杀菌作用,用200千伏的X射线来照射细菌,每次照射6分钟.照射次数记为t,共照射15次,各次照射后所剩细菌数y见下表:t123456789101112131415y3522111971601421061046056383632211915试求y与t的关系.知识点：直线经验公式17.设A,B两衣服经洗涤充分拧干后，均残存水量w千克，其中分别含污物，千克。现有清水a千克，试建立漂洗衣服的数学模型。分析：假设aw,衣服漂洗拧干后仍残存水量w千克。有三种方案：（1）两件衣服同时漂，则漂洗拧干后两件衣服残存污物总量为：（2）先漂洗A,再漂洗B, 则漂洗拧干后两件衣服残存污物总量为:=（3）先漂洗B,再漂洗A, 则漂洗拧干后两件衣服残存污物总量为:讨论：采用何种方案为宜？知识点：不等式18.耐用消费品分期付款模型分析：假设耐用消费品的价格为t,首付a,分n期付清。银行对应第i期利率为每期初付款，耐用消费品付款方式有两种：（1） 等额本息还款设每期付款为c.则：t=a+c+（2） 等额本金还款第k期付款分两部分：本金t-a的n分之一，剩余本金的利息： 讨论：对消费者而言，何种付款方式合算？练习商店用分期付款方式吸引顾客购买电视机.一种售价3000元的电视机, 若购买时先付500元,然后每月付款一次,一年付完全部款项.每月付款一定为多少?(设银行贷款复利月利率为1.2%)知识点：现值（经济）19.帆船如何能顶着北风以最快的速度向正北航行，试建立数学模型描述。分析：如图，为风向与帆的夹角，为船轴与帆的夹角 设帆布垂直于风时受力为F,则此时风对帆的作用力p=Fsin,p在船轴方向的分力p=psin=Fsinsin,这是船前进受到的推动力，假设船的航速v与p成正比例,则v=kFsinsin(k为正比例系数)，v在正北方向的分速度= kFsinsincos(+)求= kFsinsincos(+)0.5kF(cos(-)-cos(+) cos(+)给定+=x，当=时最大，=0.5kF(1-cosx)cosx,当cosx=0.5,即=30知识点：三角比20. 某城镇只有一条直的的街道，有A,B两家百货公司取得营业执照，A公司先选择了营业地点，然后轮到B,问的营业点应选在什么地方？分析：假设街道顾客分布均匀，两家公司各项服务相同，街道总长为如图，为街道：假设公司选择离距离为x处，根据对称性x0.5.公司必选择公司与点之间，假设距离公司距离为y,则公司获得的营业区域为（1-x）-0.5y,y=0时，公司D获得营业区域最大，公司的最佳选择必为距公司为0处，此时公司获得的营业区域为x,x=0.5时，公司获得营业区域最大练习：某城镇只有一条圆形的街道，有A,B,C,D四家百货公司取得营业执照，A公司先选择了营业地点，然后轮到B,问B的营业点应选在什么地方？Lingo 模型Lingo 是较好的最优化建模工具（详细使用说明见Lingo模型参考），Lingo模型由两部分组成：(一) 目标（objective）： 最优化目标。（二） 限制条件（constraint）. （下载网址：） 1.我的食谱由四种食品组成:,果仁巧克力,冰淇淋,可乐,奶酪.一块果仁巧克力价格为50 美分,一杯冰淇淋价格为20美分, 一瓶可乐价格为30美分, 一快奶酪价格为80美分.我每天的营养最低需求: 500 卡路里,6 盎司巧克力,10 盎司糖, 8 盎司脂肪. 四种食品的营养成分如下表:卡路里巧克力(盎司)糖(盎司)脂肪(盎司)果仁巧克力(块)400322 巧克力冰淇淋(杯)200224可乐(瓶)150041奶酪(块)500045试列出一份最节俭的食谱讲评师：该问题的目标是什么？生：食谱中饮食的成本最低师：限制条件？生：满足每天卡路里，巧克力，糖，脂肪的最低需求师：选择哪些变量?生：果仁巧克力,冰淇淋,可乐,奶酪的数量( 参考模型:lingo-LP1.lg4)讨论：如果巧克力冰淇淋的价格变为原来的两倍，食谱将如何改动？练习：1.1.你决意生产两种糖果:硬糖和软糖,糖果仅由糖,坚果,和巧克力制成.你现在有100盎司糖,20盎司坚果,30盎司巧克力.软糖须含有至少20%的坚果.硬糖须含有至少10%的坚果和10%的巧克力.一盎司的软糖售价为25美分, 一盎司的硬糖售价为20美分. 试安排生产计划( 参考模型:lingo-LP11.lg4)1.2.某公司生产 A, B, C 三种产品,售价分别为: A, $10;B,$56;C,$100.生产一单位A,需1小时的劳力; 生产一单位 B,需2小时的劳力加上2单位的A; 生产一单位 C,需3小时的劳力加上1单位的B.现有40小时的劳力, 试安排生产计划.( 参考模型:lingo-LP12.lg4)2.Donovan公司生产一种电子产品.已知明年四季度的需求(须按时交货):季度1,4000件; 季度2,2000件; 季度3,3000件; 季度4,10000件;公司员工每年有一个季度休假,每个员工年薪为$30,000,每季度最多可生产500件产品.每个季度末公司须为每件存货付存储费$30.公司现有600件产品,如何安排明年的生产?讲评师：该问题的目标是什么？生：员工年薪与存储费总和最低师：限制条件？生：每季度初的库存与该季度生产量的和须满足该季度的需求师：如何表示员工总数?生甲：各季度上班的员工x(1),x(2)，x(3),x(4)总和生乙：甲的总和是员工总数的3倍，因为每个员工工作3个季度。师：如何表示存储费?生：设计每季度末的库存变量师：如何表示每季度的产量?生：设计每季度每个员工的实际产量变量 ( 参考模型:lingo-LP2.lg4)讨论：若每个季度上班员工数目相同，员工年薪与存储费总和将如何变化？练习：2.1.某公司须完成如下交货任务: 季度1,30件; 季度2,20件; 季度3,40件;每季度正常上班时间至多可生产27件,单位成本$40,加班时间的单位生产成本为$60.产品不合格率为20%,每季度剩下的合格产品(在存货时)中有10%被破坏,单位存货费为$15.已知现有20件合格产品, 如何安排3季度的的生产?( 参考模型:lingo-LP21.lg4)3.某邮局每天需一定数量的全职员工:星期一,17; 星期二,13; 星期三,15; 星期四,19; 星期五,14; 星期六,16; 星期日,11. 全职员工连续工作5天后休息2天. 邮局须雇用多少全职员工?讲评师：问题中如何设置变量？生甲：该问题跟模型2有点相似，将员工分为7种，分别为星期一开始上班（休假结束），星期二开始上班，星期日上班，对应人数分别为x(1),x(2),x(7),这样星期一来上班的人数为：x(1)+x(4)+x(5)+x(6)+x(7).( 参考模型:lingo-LP3(1).lg4)讨论：假设邮局可要求员工加一天班,已知员工正常工作日薪为$50,加班工作日薪为$62.试定一最省钱的人事安排计划.( 参考模型:lingo-LP3(2).lg4)练习：3.1. Gotham City National Bank 每周一至周五的9:0017:00营业.银行对信贷员的需求量如下表: 时间段:9-1010-1111-1212-1313-1414-1515-1616-17信贷员需求量43465688银行雇用两种信贷员:全职信贷员(工作时间:9:0017:00,除去11:00-12:00或12:0013:00的中餐时间),时薪为$8(含中餐时间);兼职信贷员,工作时间为连续3小时,时薪为$5.试定一最省钱的信贷员雇用计划. 每天兼职信贷员总数不超过5个.( 参考模型:lingo-LP31.lg4)4.Alexis Cornby 靠买卖谷子为生.年初,他有50吨谷子和$10000,每月初他可以以下价格买进谷子:一月, $300; 二月, $350; 三月, $400; 四月, $500; 每月末他可以以下价格卖出谷子:一月, $350; 二月, $450; 三月, $350; 四月, $550;Alexis 的谷子存放于它的仓库内(仓库容量为100吨).他买谷子时须付现金.试设计买卖计划.讨论：若买谷子的钱可延期一个月付款，买卖计划将发生何种变化？( 参考模型:lingo-LP4.lg4)5.有一块长为120厘米,宽为90厘米的矩形薄铁皮材料,现要剪一个长方体的展开图,做一个长方体模型.求长方体体积的最大值.讲评师：设a,b,c分别是长方体的长，宽，高，a,b,c须满足什么条件?生甲：2a+b120 及 2a+2c90生乙：也可以是2a+b90 及 2a+2c3, 同理，4*c+2*a5.但是作为承租方希望总租金最少：min=36*c+12*a+8*b.讨论：若增加1公斤原材料，总获利增加多少？若市场上有x公斤的原材料出售，你愿以何种价格收购？( 参考模型:lingo-LP6.lg4)7.Doc Councilman 正组建一支400米混合泳(自由泳,仰泳,蝶泳,蛙泳)接力队,有四位泳将, GARY HALL ,MARK SPITZ, JIM MONTGOMERY, CHET JASTREMSKI,他们四项游泳项目成绩如下表, Doc Councilman应如何安排四位泳将的接力项目?单位:秒自由泳蛙泳蝶泳仰泳GARY HALL54545153MARK SPITZ51575252JIM MONTGOMERY50535456CHET JASTREMSKI56545553讲评师：问题的目标是什么？生甲：接力赛成绩最好师：限制条件是什么？生乙：每人只能参加一项，每项都须有人参加。师：如何表示这种限制条件?生甲：设置一个44的选择矩阵（每个元素只能是1或0），矩阵每行每列的和均为1师：如何表示接力赛成绩？生乙：甲设的矩阵与成绩矩阵点乘（对应元素相乘）后对所有元素求和( 参考模型:lingo-LP7.lg4)8.四项工作指派给五个员工(每项工作只能由一人单独完成),每人完成各项工作耗时如下表,如何指派使得完成四项工作总耗时最少?工作1工作2工作3工作4员工122183018员工218-2722员工326202828员工41622-14员工521-2528(注: 横线表该员工不宜完成该项工作)讲评师：碰到横线怎么办？生：设成很大的数师：5个人4项工作如何表示？生：每列的和为1（工作须有人做），每行的和小于或等于1（有机会不做）( 参考模型:lingo-LP8.lg4)9. 已知森林具有6年的生长期,我们把森林中的树木按照高度分为6类,第一类树木的高度为 0,h1,它是树木的幼苗,其经济价值为p1=0, 第k类树木的高度为h(k-1),h(k),每一棵经济价值为p(k), 第六类树木的高度为h5,经济价值为p6.设每年对森林砍伐一次,且为了维持每年都有稳定的收获,只能砍伐部分树木,留下的树木和补种的幼苗,经过一年的生长期后,应该与上一次砍伐前的高度状态一致.再假设在一年的生长期内树木最多只能生长一个高度级,即第k类的树木可能进入k+1类(比例为g(k),也可能停留在k类中.设g1=0.28,g2=0.32,g3=0.25,g4=0.23,g5=0.37,p2=50元,p3=100元,p4=150元,p5=200元,p6=250元.求出对其进行最优采伐的策略.讲评师：如何描述砍伐前后森林高度状态的变化？生：设森林的总面积为1，6类高度树木分别为x(1),x(2),x(3),x(4),x(5),x(6),被砍掉的面积分别为y(1),y(2),y(3),y(4),y(5),y(6). x(1)先变为x(1)-y(1),由于补种树苗的原因，x(1)变为x(1)-y(1)+(y(1)+y(2)+y(3)+y(4)+y(5)+y(6),最后由于树木生长原因，x(1)变为(1g1) (x(1)-y(1)+(y(1)+y(2)+y(3)+y(4)+y(5)+y(6). x(2) 先变为x(2)-y(2)，后由于树木生长原因x(2)变为(1g2) （x(2)-y(2)）+ g1(x(1)y(1)+(y(1)+y(2)+y(3)+y(4)+y(5)+y(6)。同理，x(3)=(1-g3)(x(3)-y(3)+g2*(x(2)-y(2),x(6)=(x(6)-y(6)+g5*(x(5)-y(5)讨论：修改p2,p3,p4,p5,p6,g1,g2,g3,g4,g5的值，看看砍伐策略的变化情况( 参考模型:lingo-LP9.lg4)10. Chicago教育委员会为该城市的四条学生公交线路招标.四家公司做出如下竟标: 线路1线路2线路3线路4公司140005000-公司2-4000-4000公司33000-2000-公司4-40005000(a)假设每位竟标者至多可分配到一条线路,问委员会将如何招标? ( 参考模型:lingo-LP10a.lg4)(b) 假设每位竟标者至多可分配到两条线路,问委员会将如何招标?( 参考模型:lingo-LP10b.lg4)11.福特在L.A. 和 Detroit生产汽车,在Atlanta有一仓库,供应点为Houston 和 Tampa;城市间每辆汽车运输费用见下表. L.A.的生产能力为1100辆, Detroit的生产能力为2900辆. Houston汽车需求量为2400辆, Tampa汽车需求量为1500辆,L.ADETROITATLANTAHOUSTONTAMPAL.A.014010090225DETROIT1450111110119ATLANTA105115011378HOUSTON891091210-TAMPA21011782-0如何确定运输和生产方案,才能满足Houston 和 Tempa的需求且费用最低.讲评师：这个问题是否很简单？生甲：这是一个从L.A. 和 Detroit到Houston 和 Tampa城市间的汽车运输问题，仓库Atlanta完全多余生乙：仓库Atlanta可降低运费，例如，从L.A. 经过Atlanta到达Tampa比从L.A. 直接到达Tampa便宜师：这是运输问题中的转运问题，任何一个地点都可以输入也可以输出。生产点（L.A. 和 Detroit），仓库（Atlanta），需求点（Houston 和 Tampa）的输入和输出须满足什么条件？生：生产点，输入减输出等于产量；仓库，输入等于输出；需求点，输出减输入等于需求量。( 参考模型:lingo-LP11.lg4)12. 设有三个化肥厂供应四个地区的农用化肥.假定等量的化肥在这些地区使用效果相同.各化肥厂年产量,各地区年需要量及从各化肥厂到各地区运送单位化肥的运价(万元/万吨)如下表所示.试求出总的运费最省的化肥调拨方案. 需求地区化肥厂IIIIIIIV产量(万吨)A1613221750B14131915