高数多元函数复习题课件.ppt

总复习多元函数微分学,1.,提示:,例1求函数的定义域，并作图。,例2设,且,求,解,令,1.,提示:,0,例3填空题,3.,提示:,0,4.设,则,则,即,提示:令,5.设,则,提示:,6.f(x,y)在点,处偏导数,存在是f(x,y)在该点连续().,(A)充分条件但非必要,(B)必要条件但非充分;,(C)充要条件;,(D)既非充分也非必要条件.,D,1,选择题(6-8),7.设f(x,y)在点(a,b)偏导数存在,则,B,提示:因为只要写结果,可直接用罗必塔法则找答案,原式,8.,提示:利用,令,即,则原式=,当m=3时,当m=4时,A,(A)不存在;,例4,证明、判断下列极限存在与否,（2）,（3）,提示：,（1）,有,有,有,表明上式中极限均不存在。,例5,证明：函数点连续、,所以在点连续,所以在点偏导数都存在,偏导数存在、但不可微.,例6,所以在点不可微。,体会二元函数的一些基本概念之间的关系,1、函数可微，偏导数不一定连续；,2、当,和,不存在时，也不能断定,和,不存在。,这只能说明偏导数在点（0，0）处不连续。,在点,处四个基本概念之间的关系,连续性,偏导数,方向导数,可微性,可微性条件增强,由它可以推出其它,三个概念，反之不,一定存在。,例7,求下列函数的偏导数和全微分。,（1）设,解,求,可先代入部分值，再求导数。,求,（2）设,解,设,求,解法一:,例8,解法二:,例9.设,其中,求,解:,例9,设,其中,具有二阶连续偏导，,求,解：,令,2019/12/13,21,可编辑,例10设,由方程,确定,其中F可微,求,解:,得,例11求曲线,上在点A(1,1.1)处的,切线方程和法平面方程。,解：方程组两边对x求导得,将点A(1，1，1）代入,切线方程,法平面方程,解,例12,依题意，两平面平行,例13,解：令,求曲面,平行于平面,的各切平面方程。,设,为曲面上的切点，,满足方程,切点为,切平面方程(1),切平面方程(2),例14求曲线,绕y轴旋转一周生成,的曲面在点,上的切平面与,平面的夹角。,解旋转曲面,在点,平面上,证明曲面在任意点,解:令,则曲面在点M的法向量为,而,故,的法线与向量垂直.,例15.设曲面的方程为,求最大长方体,解设长方体的一个顶点在锥面，则长方体,例16,锥体内作底面与,面平行的长方体，,的体积。,的体积：,将式乘以x与式乘以y相比较得,将代入式并由式得,所以得唯一驻点为,依题意必有最大值，从而长方体的最大体积为,例17.求点(1,2,0)到曲面,的最短距离.,解:问题为,(条件),设,令,解得,此两点到曲面的距离为,故,为最短.,解,例18,例19,例20.在曲面,上求出一点M,使,沿着点,的方向导数具有最大值.,解:,其方向余弦为,则问题为,(条件),设,到,解得,经验证,为最大值.,令,例21设曲面方程为,证明曲面上,任一点处的切平面在三坐标轴上的截距之和为常数.,证明:曲面在任一点,处的法向量为,即,则在坐标轴上的截距之和为,切平面方程为,例22.设函数,具有连续偏导数,且对任意实数t有,试,上任一点处的切平面交于一定点,证:曲面上任一点,处的切平面方程为,对