（光学专业论文）外场调制下孤子的传输特性研究.pdf

华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文 i 摘摘 要要 孤子是20世纪非线性科学的重要研究领域之一。在最近几十年，孤子在等离子物 理学、高能电磁学、流体力学和非线性光学中得到广泛的研究。但是，由于现代通 信产业对超高传输容量、超快传输速度等光通信技术的迫切需求，光孤子成为所有 孤子研究领域中最前沿的研究方向。 由于在光孤子通信技术中，以光纤为传输媒介，将信息调制到孤子上进行通信， 因此孤子的操控就显得尤为重要。基于此，我们选择光孤子在外加势场调制下的传 输特性作为研究课题。本论文的主要工作是研究空间光孤子在二维无限深势阱势场 调制下的传输特性，取得的成果如下： 研究了空间光孤子在二维无限深势阱势场调制下的传输特性 本文在理论上研究了外加二维无限深势阱势场调制下空间光孤子的传输特性，发 现亮孤子被调制后在传播过程中并不稳定， 其光强衰减很快。 而暗孤子被适当调制后， 在传输一段距离后便摆脱暗孤子的束缚，以方阵分布的孤子簇形式向前传播。其强度 未见明显衰减变化，比较稳定。 关键词：关键词：二维无限深势阱 空间光孤子 华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文 ii abstract soliton is one of the most important fields in nonlinear science since 20th century. in the past decades, soliton has been studied extensively in plasma physics, high-energy electromagnetics, hydrodynamics and nonlinear optics. nowadays, optical soliton has become the focus of soliton area because of the exigent requirement of the optical communication technologies, such as ultra-high transport capacity and ultra-high transport speed, by modern communications. in optical soliton communication technique, the informations are modulated into soliton and then transport in optical fiber. thus, manipulation of soliton is especially important. consequently, we investigate the transport characteristics of optical soliton modulated by the external field. the main work in this paper is on the study of the transport characteristics of spatial optical soliton modulated by the two dimensional infinite deep well. the achieved outcome is below: this paper theoretically investigate the transport characteristics of spatial optical soliton modulated by the two dimensional infinite deep well. we find that light soliton modulated becomes unstabilized in transport process and its intensity decays rapidly. however, dark soliton modulated can escape its bound and propagates forward as soliton cluster with matrix distribution. moreover, the intensity does not decay obviously and keeps stabilization. key words：two dimensional infinite deep well, spatial optical soliton 独创性声明独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的 研究成果。尽我所知，除文中已经标明引用的内容外，本论文不包含任何其他个人 或集体已经发表或撰写过的研究成果。对本文的研究做出贡献的个人和集体，均已 在文中以明确方式标明。本人完全意识到，本声明的法律结果由本人承担。 学位论文作者签名： 日期： 年 月 日 学位论文版权使用授权书学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权 保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借 阅。本人授权华中科技大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进 行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文。 保密 ，在_ _年解密后适用本授权书。 不保密。 （请在以上方框内打“” ） 学位论文作者签名： 指导教师签名： 日期： 年 月 日 日期： 年 月 日 本论文属于 华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文 1 1 绪论绪论 1.1 孤子起源及发展孤子起源及发展 20世纪非线性科学的重要研究领域孤子（solitons） ，其起源可追溯至1834年， 英国工程师john.scott.russell观察水波在河流中运动时，偶然发现了一种自然现象： 船头隆起的一个孤立浅水波保持波形不变，在水中前进了一段距离。他认为这种孤 立运动是流体运动的一个稳定解，并称之为孤立波1，但在当时它并没有有力论据证 明其论断，故引起了广泛争议。60年后（1895年） ，荷兰数学家dutchmen korteweg 及其学生de vries2研究浅水波运动，在长波近似和小振幅假定下，导出kdv方程。 平息了人们对孤子现象的争论，但该方程一直没有得到很好的应用。 图1-1 russell实验示意图 图1-2 空间光孤子 进入20世纪，孤子的概念和理论引起了许多物理学家的兴趣，人们在流体力学之 外的其他领域寻找到了孤子存在的证据。1965年，美国科学家kruskal和zabusky3 研究等离子体中孤子碰撞的非线性相互作用过程，采用数值模拟方法，取得较为重 要的结果，证实了孤子相互作用后波形不变。因此命名孤立波为孤立子或孤子。 最近几十年，孤子及非线性科学发展迅猛，目前已扩展至：非线性光学4-9、光子 学10、 半导体电子学11-12、 加速剂动力学13、 热传导14-15、 bose-einstein凝聚 （bec） 16、生物学17-18、等离子体19、液晶20-21等，目前已在不同的物理系统中发现了孤 子现象，如浅水波、深水波、等离子体中的电荷密度波、bec中的物质波、超引力 理论中的壁、dna链中的激发子16等。 光孤子光孤子概念由hasegawa和tappert22于1973年首次提出，并于1983年，由贝尔实 华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文 2 验室mollenauer小组经过一系列的科学实验证实其存在， 并检测出脉冲为10ps的光弧 子经过10km传输无明显变化，首次从实验上证实了光弧子可传输。 光学是最能体现孤子多样性的研究领域。 而且因为现代通信产业对全光控制与全 光信息处理、高容量光传输等光学技术的潜在需求，使得光孤子成为所有孤子研究 领域中最前沿的研究课题，至此，在光通信应用前景的驱动下，光孤子的研究进入 一个全新的时代。 1.2 空间光孤子空间光孤子 1.2.1 空间光孤子的历史空间光孤子的历史 光孤子用来描述光脉冲包络在非线性介质中传播的类似于粒子的特性。 （在碰撞 过程中是完全弹性的，即孤子数、能量和线动量均守恒） 1964 年，r.y.chiao25等首次提出在 kerr 非线性介质中光束可能自陷。但随后 的一系列研究证明：在 kerr 非线性介质中，由于自陷效应，横向二个维度的空间亮 孤子是不稳定的，致使研究人员实验上一直未观察到稳定的光孤子。另一方面，kerr 效应的产生需要高强度的激光源。两方面的原因导致光孤子的研究停滞不前。 1974 年, 实验上首次发现空间光孤子，当时 j.e.bjorkholm26等人（贝尔实验 室）在观察钠蒸气中共振跃迁谱附近发现了环形光束的自陷，但这种自陷效应是来 源于介质非线性的饱和特性折射率随着光强的增加不再是线性的，而是逐渐趋于 饱和。1992 年，m.segev27 等人理论上分析了在一定外加电场的作用下，光折变材 料中光束自陷的可能性，预言了光折变空间光孤子的存在。1993 年，g.c.duree 等 人28在掺杂铌酸锶钡晶体中观察到了稳定的光折变空间光孤子（如图 1-4（a）。 此后，空间光孤子便成为非线性光学研究的热点领域。 华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文 3 （a） （b） （c） 图 1-3. (a)光束自聚焦; (b)一般光束衍射; (c)空间孤子传输。 （a） （b） 图1-4. （a）图是非相干光束的自陷行为，(b)是通常的非相干光束的衍射行为 华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文 4 1.2.2 空间光孤子的特征及分类空间光孤子的特征及分类 在非线性光学中，定义空间光孤子23-24为-衍射和非线性效应相抵消，传播内容为无衍射 光束。 按照不同的分类方法把空间光孤子分为以下几类： （1）按孤子稳态解与横坐标的交点个数，可分为基本孤子和高阶孤子。基本孤子与 坐标轴无交点，2 阶孤子与坐标轴有 l 个交点，依此类推。 （2）按孤子波场的中心强度与周边强度的分布关系可分为亮孤子和暗孤子29-30。 （3）按组成孤子分量的个数可以分为标量孤子和矢量孤子31-33。矢量孤子含有多个 分量，只有这些分量结合在一起才能稳定传输。如果组成矢量孤子的各分量频率不 同，那么这种矢量孤子又通常称为复合孤子。 （4）按孤子所在介质的不同，可分为连续型孤子，离散型孤子和格子孤子等。 1.3 空间光孤子的相互作用及其研究意义空间光孤子的相互作用及其研究意义 1.3.1 空间光孤子的相互作用空间光孤子的相互作用 孤子的相互作用分为相干和非相干。详述如下： （1）相干相互作用 两相干光束相互交叠时，就会产生干涉效应，同相干涉相长，反相干涉相消。在 非线性介质中，这种干涉引起的光强的变化必然引起介质局部折射率的变化，折射 率的局部改变反过来又影响光强的分布变化，这样，两孤子间就产生了相互作用。 孤子之间的这种相互作用力可分为吸引和排斥两种，其类型取决于两孤子间的位 相差。例：在正 kerr 型非线性介质中(n正比 2 ie=)传播的两相位相同的孤子，在 光束相交叠的地方，光束振幅，光强，该区域的折射率均正向叠加，折射率的增加 会使得更多的光被吸引至该区域，从而使得每个孤子的重心向该交叠区域偏移，表 征为孤子之间相互吸引。 若两孤子相位反相， 则表征为孤子相互排斥。 若两孤子间的相位差介于 0 度和 180 度之间，其相互作用类似于粒子之间的非弹性碰撞，存在着能量的流失、甚至是孤子的不守恒， 相互作用不仅表现为吸引或排斥，还可能伴随出现能量的交换、孤子的分裂、融合、 华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文 5 振荡等现象。 （2）非相干相互作用 非相干相互作用指：光束相互之间完全不相干或者相干但相对相位的改变比介质 的非线性响应时间快很多，此时，介质感受不到孤子间的位相差异，故只对光强的 时间平均值产生响应。此情形下，无论孤子间相对相位如何，两个孤子的中间交叠 区，只有简单的光强叠加，无干涉，表征为两个孤子总是相互吸引。 1.3.2 空间光孤子的研究意义空间光孤子的研究意义 随着非线性材料科学和技术的发展，光孤子的产生对非线性介质和光入射功率的 要求逐渐降低。科学家可以利用微瓦量级的入射功率甚至白光来产生空间光孤子。 而且由于空间光孤子的横向高维性，我们可以利用光孤子的相互作用，实现用一束 光来控制另外一束光-实现全光操纵。我们可以选择不同波导，不同折射率分布的 介质，利用孤子自有特性（如：功率不同，导致输出位置和形状将不同） ，来实现光 束在任意位置的输出。理想的光控制是我们实现全光应用：全光器件、光显示、全 光计算的基础. 除此之外，我们知道，其他研究领域的非线性动力学方程和非线性光学中的非线 性薛定谔方程(nls)在数学形式上表述是一样的。所以，光学中的非线性介质的理论 和实验研究成果可以启发我们类比至其他领域，进而从一个领域里的已知现象推测 另一领域里可能存在的未知现象。 华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文 6 2 非线性介质中的二维孤子群理论研究非线性介质中的二维孤子群理论研究 自然界普遍存在非线性物理现象，均可采用nlse(非线性薛定谔方程) 描述，而 且这类方程描述的是非常重要的一类非线性模型。自然界中的许多物理现象，如 bec、等离子物理和流体力学、非线性光学中的光脉冲传输等都可以归于这一类模 型。由于非线性偏微分方程的精确解可以解释自然界存在众多的非线性物理现象， 因此，随着数值计算技术的发展，近年来，非线性偏微分方程（pde）引起人们的 高度关注和研究热情。传统精确求解非线性方程的方法有： zakharov和shabat34 （前苏联著名科学家）提出的逆散射方法（ist）。而后，如painleve展开、hirota 双线性方法、backlund35变换等一系列的基本求解方法不断出现。近年来，随着计 算技术的提高，一些处理非线性问题的数学方法与技巧得到飞速发展。尤其值得关 注的是非线性偏微分方程解析解的解法研究领域中出现的各种代数方法，如：齐次 平衡原理36-37、扩展双曲函数法、f-展开技术38-39等。由于逆散射方法在一维情况 下可以得到稳定的孤子解，但在高维情况（包含二维，三维）下，该方法已不再适 用。因此，本章，我们将利用改进的齐次平衡原理36-37和f-展开技术38-39，获得变 系数含损耗或增益的二维非线性薛定谔方程（nlse）的精确孤子解。 本章内容安排如下： （1）首先由麦克斯韦方程组导出一般非线性薛定谔方程的数学模型。 （2）在一般非线性薛定谔方程的基础上导出二维非线性薛定谔方程的数学模型。 并推导出二维非线性薛定谔方程的孤子解。为第三章研究二维无限深势阱势调制下 的非线性介质中二维非线性薛定谔方程的孤子解做好理论的准备工作。 2.1 一般非线性薛定谔方程的理论导出一般非线性薛定谔方程的理论导出 在国际单位制中,各向同性无源非共振非线性介质中的麦克斯韦方程组和介质 性质方程的标准形式为： b e t = u r ur ， d h t = ur uu r ，0d= ur ，0b= u r （2-1） 华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文 7 其中e ur 为电场强度矢量、h uu r 为和磁场强度矢量；d ur 、b u r 分别为电位移矢量和磁感应 强度矢量。在介质内部e ur 和h uu r 、d ur 和b u r 间关系方程描述如下： de= urur ， 0 bh= u ruu r （2-2） 本文仅考虑电磁波的单色谐振传输，即：iw t = （w为电磁波的圆频率），为介 电常数， 0 为真空磁导率。 由（21）和（22）得： 2 0 ()ewe = urur 又 2 ()()eee = ururur ，可导出： 222 0 ()ek n ee+= ururur （23） 其中 0 w k c =， 0 nc =为介质折射率，c为真空光速，再由（21）的第三式和（2 2），导出： ()()0deee= = + = urururur （24） 若在一个波长范围内介电常数( , , )x x z变化很小，相应的介质折射率的变化也很小， 即0=。因此由（24）得到0e= ur ，而方程（23）化简成 222 0 0ek n e+= urur 。 若在光束线偏振情况下，即电场e ur 只有一个分量（比如在x或y方向） ，则（23） 可以化简成标量亥姆霍兹方程： 222 0 0ek n e+= （25） 通常情况下， 22 012| |nnsn xne=+ （26） 式中 0 n：介质的线性折射率， 1 n：介质的横向不均匀性引起的折射率， 2 n：非线性 折射率，s： 横向维衍射强弱的物理量， 2 |ie=为光强， 并且由于 10 nn和 20 nn。 华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文 8 00 kk n=为光波的传播常数，若一光束沿z方向传输，电场e可以写成： ( , , )( , , ) ikz e x y za x y z e= （27） 上式中( , , )a x y z为幅度包络， ikz e为相位因子。 把（26） ， （27）代入（25） ，并略去二阶微扰小量，导出： 22222 2 12 22 00 222|0 sk n xk naaa ikaaa zxznn += 在近傍轴和慢变包络近似条件下， 2 2 | aa zz 或损耗系数(0)。假设定义光脉冲包络为： ( , , ) ( , , )( , , ) ib z x y u z x ya z x y e= （210） 式中( , , )a z x y是脉冲幅度，( , , )b z x y是脉冲相位。把式（210）代入方程（29）， 得出如下耦合方程： 22 22 1 22( ) 2 aa ba bbb aaz a zxxyyxy += （211） 2 2 22 3 22 1 ( )0 2 baabb aaaz a zxyxy += (212） 参照文献 【42】根据齐次平衡原理和f-展开技术，可以得到方程（29）的解析解。 其中有如下亮暗孤子解40： 亮孤子解： 222 00000 0 1 ( ) ()() 2 1101 ( , , )sec ( ) z z dz i bx yklbz e u z x yf ehe + = （213） 暗孤子解： 222 00000 0 ( ) ()() 2101 ( , , )tanh( ) z z dz i bx yklbz e uz x yf ee + + = （214） 式中 1000000 ()k xl ykl bzw=+。上述解中（213）为亮孤子解，（214）为 暗孤子解。 在这里 4 1c = 。 下图中参数取值为： 00000 1klbe=， 0 ( )cos( )zz=。 华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文 10 图2-1 亮孤子随传输方向的空间分布变图，由上至下分别为：z=0，1，2，3 由图2-1可以看出亮孤子在平面上呈现为平直、拱起的孤立波分布。孤波随传播 距离的变化在x，y方向都向远离原点的方向移动，由图（2-1）看出，（1）孤立波 的波形随传播距离的变化而变化；（2）介质损耗使孤子强度随传播距离变远而开始 衰减。 华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文 11 图2-2 暗孤子随传输方向的空间分布图，由上至下分别为：z=0，1，2，3 由图2-2可以看出暗孤子在平面上呈现一个平直、下凹的孤立波的分布。孤波随 传播距离的变化在x，y方向都向远离原点的方向移动，由图（2-2）看出，（1）孤 立波的波形随传播距离的变化而变化；（2）介质损耗使孤子强度随传播距离变远而 开始衰减。 本章主要选取最特殊的亮孤子和暗孤子解来作为变系数二维薛定谔方程的解，来 对光孤子传输特性进行研究，而分离孤子解的研究不在本论文研究范围之列。详细 解析方法公式，推导过程和解的展开情况请参考本课题组钟卫平博士的工作。本文 的主要不同在于又增加了外场的调制势。 华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文 12 3 二维无限深势阱调制下的非线性介质中孤子传播研究二维无限深势阱调制下的非线性介质中孤子传播研究 由于光孤子在光纤中传播不弥散的特征，其在全光控制、全光网络以及量子测 量等方面的广阔应用前景，引发人们将光孤子作为光纤中信息载体的研究热情，所 以光孤子的自相似性44及光孤子的操控就成为孤子输运问题中的一个重要研究课 题。 第二章我们首先讨论了一般非线性薛定谔方程的方程推导及求解方法，然后讨 论二维非线性薛定谔方程的方程推导。并在齐次平衡原理36-37基础上进行改进，辅 之以f-展开技术38-40，获得变系数含损耗或增益的变系数二维非线性薛定谔方程 【40-42】（nlse）的精确孤子解。 基于此，本章我们主要研究外加二维无限深势阱调制下的孤子输运研究。 3.1 二维无限深势阱模型的建立二维无限深势阱模型的建立 二维无限深势阱势模型的建立及求解：二维无限深势阱势模型的建立及求解： 二维无限深势阱的势表达式如下： 0(,) ( , ) xa yb v x y = 其他区域 （3-1） 故：二维薛定谔方程可表述如下 2 2 2m hve=+= h （3-2） 势阱内：0v= 可得： 2 2 2m e= h 应用分离变量法，即： 12 xy=（ ） （ ） 利用v = ；在其他区域 和边界条件，可知方程（3-2）解的形式可以写为： 华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文 13 1122 xysink x+sink y+（ ， ）=a（）（） （3-3） 对解（3-3）归一化，可得： 1 ab a =， x 1 n k 2a =， y 2 n k 2b =， x 1 n 2 =， y 2 n 2 = 故二维无限深势阱调制势模型的解为： y x n n1 xysinx+asiny+b ab2a2b （ ， ）=（）（） （3-4） 以上，我们求解了二维无限深势阱薛定谔方程的解，下图为无限深势阱情况下， 波函数空间分布情况： (a) (b) 图3-1 二维无限深势阱空间分布（n1=n2=5（图a） ，n1=n2=6（图b） ） 华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文 14 图3-1中我们取了x、y两方向量子数相同的情况，从图可以看出 12 5nn=时，二维无 限深势阱势的波包构成5 5的矩阵，而 12 6nn=又构成6 6的矩阵，且矩阵列沿对 角线是对称的。 这是由于我们所取的无限深势阱势 0(,) ( , ) xa yb v x y = 其他区域 为对 称分布，当x和y两方向的量子数相同，无限深势阱势在x和y两方向便对称分布。 图形关于x轴和y轴均呈现对称分布。 （a） （b） 图（3-2） ，二维无限深势阱空间分布（n1=4n2=5，（a） ，n1=5n2=4，（b） ） 当 1 n不等 2 n，结果如图3-2所示， 12 4,5nn=时二维无限深势阱势的波包构成 4 5的矩阵，而 12 5,4nn=又构成5 4的矩阵。这时波包依然关于x轴和y轴对称 华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文 15 分布，但由于 12 nn，波包不再关于矩阵的对角线对称分布。这说明波包是否关于 波包矩阵的对角线对称取决于x、y两方向的量子数是否相等，而波包在各个方向的 个数也和量子数相一致。从以上图形可以总结出二维无限深势阱势在空间分布为 12 nn的矩阵。 3.2 二维无限深势阱调制下非线性薛定谔方程求解二维无限深势阱调制下非线性薛定谔方程求解 当光束在外势调制的非线性介质中传播时，复数光场( , )u r t r 满足的广义非线性薛定 谔方程为： 2 2 ( )( )0 u iuvuz u uiz u z + += . (3-5) 式中 0(,) ( , ) xa yb v x y = 其他区域 是二维无限深势阱势，是色散系数（在这里为 常系数） ，( )z是三阶非线性系数，( )z是增益系数。我们首先令 01 uu u=，把它代 入（3-1）式并结合 222 01010110010110 ()2u uu uuuuuuuuuuu= = += + r rr ? (3-6) 可得 22 22 01 0101101000110101 2( )0 uu iuiuuuuuuuuu uuv r u ui u u zz + += r . (3-7) 2222 010 1000110111 0 ( )2| |0 uuu u iuv r uu iuuuuuigu zzu + + += r (3-8) 由（3-8）知，令各项为零可得： 2 0 00 ( )0 u iuv r u z + += r , (3-9) 2*22 011 100111 2 0 2| |0 | uuu iuuuuui u zu + += . (3-10) 华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文 16 我们首先看（3-9）式，因为 0 0 |0 ss u u n = ，所以方程（3-9）第一项为 0，满足二维无限 深势阱的薛定谔方程的形式。二维无限深势阱势模型，是可以精确求解的。 即： y x 0 n n1 sinx+asiny+b ab2a2b u =（）（） 而方程（3-10） ，为一般的变系数二维非线性薛定谔方程，可以通过齐次平衡原理和 f-展开法求得它的精确解。其解详见本论文第二章。 即： 222 00000 0 1 ( ) ()() 2 1101 ( , , )sec ( ) z z dz i bx yklbz e u z x yf ehe + = (a) 222 00000 0 ( ) ()() 2101 ( , , )tanh( ) z z dz i bx yklbz e uz x yf ee + + = (b) 上述解中(a)为亮孤子解，(b)为暗孤子解。 3.3 无限深势阱调制下亮孤子的传输特性无限深势阱调制下亮孤子的传输特性 由3.2节可以得到亮孤子的解析解为: 222 00000 0 1 ( ) ()() 2y x 01101 n n1 sinx+asiny+bsec ( ) ab2a2b z z dz i bx yklbz e uu uf ehe + =（）（） 首先，我们取 12 5nn=，观察亮孤子波在二维无限深势阱势调制下的空间分布 特点，并观察其沿传播方向（z）会发生哪些有趣的现象？ 华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文 17 图3-3 势阱调制下亮孤子的传输特性（ 12 5nn=，0,1,2,3z =） 由图3-3可以看出， 经过二维无限深势阱势调制后孤立波在空间的分布描述如下： (1)随着传播距离的增大，孤子簇的位置发生了漂移，漂移的趋势与亮孤子的变化趋 势相同。 也就是说亮孤子被无限深势阱势调制后， 整体上仍然不失亮孤子的特点。(2) 在传播方向上孤子数逐渐减少，直到最后几乎只剩下一个波包（如图3-4所示） 。(3) 而且波包峰值的强度逐渐衰减很快（幅度呈现指数衰减） 。 华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文 18 图3-4 势阱调制下亮孤子的传输特性（ 12 5nn=，5,10,20,30z =） 3.4 无限深势阱调制下暗孤子的传输特性无限深势阱调制下暗孤子的传输特性 由3.2节可以得到暗孤子的解析解为: 222 00000 0 ( ) ()() y x 02101 n n1 sinx+asiny+btanh( ) ab2a2b z z dz i bx yklbz e uu uf ee + + =（）（） 首先，我们取 12 5nn=，观察暗孤子波在二维无限深势阱势调制下的空间分布 华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文 19 特点，并观察其沿传播方向（z）的传输特性？ 图 3-5 势阱调制下暗孤子的传输特性（ 12 5nn=，0,1,2,3z =） 从图3-5可以看出， （1）随着传播距离z值的改变， ，凹陷的位置发生漂移，向孤子簇 的边缘移动（基本规律类似暗孤子的传播规律） ，直到最后移出孤子簇（如图（3-6 示） ，被调制后的孤立波，在介质中传输一段距离后，完全失去暗孤子塌陷的特点， 以矩阵列孤子簇的形式向前传播。孤子簇在行进过程中不像亮孤子被调制后那样， 在传播过程中强度损耗很大。从图（3-6）可以看出暗孤子被调制后在行进过程中， 波包峰值能量随着传播距离基本没有明显衰减。 华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文 20 图3-6 势阱调制下暗孤子的传输特性（ 12 5nn=，5,10,20,30z =） 3.5 本章小结本章小结 本章主要研究了光束在二维无限深势阱势调制下的非线性介质中传输的空间分 布以及传播特性。我们利用第二章的理论求解外加场情况下的非线性介质二维孤子 解。同时我们简单讨论了这两组解（亮孤子解和暗孤子解）在外加势场调制下，在 空间的分布和演化特征。通过研究发现： 1非线性介质中传输的亮孤子波经过调制后形成了整体具有亮孤子波形的孤子 簇，即有二维无限深势阱势波包的矩阵分布。但是经过二维无限深势阱势调制后的 孤子簇在传播过程中能量损耗严重。 华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文 21 2暗孤子被二维无限深势阱势调制后，在非线性介质中传输一段距离后便摆脱 暗孤子的束缚，以矩阵分布的孤子簇形式向前传播。其强度未见明显衰减变化，比较 稳定。 因此，我们说亮孤子被调制后损耗严重，没有实际应用价值。暗孤子被调制后形 成了一种新的稳定传输的孤子簇，实用价值较大。 华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文 22 4 总结与展望总结与展望 偏微分方程在求解非线性问题的重要性日益引起人们的关注。本文主要研究非 线性介质中二维孤子解，其本质就是求解二维薛定谔方程。利用其次平衡原理和f展 开技术，我们得到了外加二维无限深势阱势调制下的二维薛定谔方程的解析解。并 利用数值模拟技术，研究亮，暗孤子的变化规律。 经过研究发现两种孤子被调制后都具备了无限深势阱波包的空间分布特点，形 成了由多个波包组成的孤子簇。亮孤子经过调制后，仍不失亮孤子的在传播过程中 由于介质的损耗而使光强发生衰减的特性，并且被调制后衰减速度变快。而暗孤子 被适当调制后，在有限传输距离内具备暗孤子的特征，随着传输距离的变大，其暗 孤子特征逐渐消失，改以方阵形式的孤子簇向前传播，并且，暗孤子被二维无限深 势阱势调制后孤子簇峰值光强在传播过程中起伏很小，不像亮孤子被调制后衰减明 显。这一发现具有重大的实用价值。 本文主体工作主要是研究二维无限深势阱势调制下的孤子演化规律，再此基础 上，我们的工作可以做以下几步更深入的开展： （1）扩展讨论在其他更复杂的外加调制势下，在非线性介质中传输的孤子簇的 空间分布以及演化特征。 （2）实验研究材料参数不同（如耗散因子，折射率等）的介质，其对孤子 簇传输的影响。 华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文 23 致致 谢谢 首先感谢我的导师易林教授，本论文的完成得益于易老师的悉心指导！ 2005年毕业后直接进入易老师的课题组，他活跃的学术思想，扎实的理论功底， 忘我的工作精神和敏锐的科学直觉都使我对作为一个科学工作者向往不已，导师不 仅教给我们做科研的方法，更教会我们怎么做人，如何做事，这些将使我受益终生。 虽然在学习的中途家庭出现一些变故，导致我无法专心攻读学位，但易老师不仅在 学习上给予我极大帮助，在生活上也照顾颇多，更经常找我谈话，开解我思想的困 惑。正是由于易老师的宽容和帮助，最终使得我的硕士学业顺利完成。回首这4年时 光，有挫折，迷茫，有快乐，喜悦，点滴难忘！ 衷心感谢赵美蓉老师给我生活上的热情帮助和精神上的大力支持。 感谢刘会平师姐给予我的悉心指导和无微不至的关怀。 感谢孙运周、赵元、徐四六、梁检初等几位师兄的热心指导。感谢靳海琴、徐 斌、蔡泽彬等博士。 感谢王艳梅，王晶晶，杨晓云等硕士师妹在我写作论文时从方程的理论推导到 数值计算，从物理意义的解释到物理现象的实际应用等各方面与我进行反复的讨论。 正是由于这些同窗的热心帮助，才使得我的工作顺利很多。 感谢廖青同学陪我撰写论文，翻译文献。 最后，最诚挚的谢意送给我的父母和女友，他们在我的求学之路上给予的精神 支持和鼓励，是本论文得以顺利付梓的力量源泉，在我面对困难时，他们的支持给 了我最强大的力量，这些力量使我能充满信心去面对未来的生活和工作！ 华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文 24 参考文献参考文献 1 j. s. russell，in“14th meeting of the british association reports”，york.(1844). 2 c.s. gardner, j.m.greene, m.d. kruskal and r.m. miura, method for ssolving the korteweg-devries equations, phys.rev.lett.19, 1967:1095-1097. 3 e. ferm, j. pasta and s. ulam, “studies of nnonlinear pproblems”, in collected papers of e. fermi, vol2(1940), 978 univ. of chicago press(chicago), 1962. 4 a.c. newell and j.v. moloney, nonlinear opticas (addison-wesley publishing company, redwood, 1991). 5 g.p. agrawal, nonlinear fiber optics (academic, san diego, 2001). 6 g.p. agrawal, fiber-optic communication systems (wiley, new york, 2002). 7 r.w. boyd, nonlinear optics (academic press, boston, 2003). 8 yu.s. kivshar and g. p. agrawal, optical solitons: from fibers to photonic crystals (academic, san diego, 2003). 9 杨祥林, 温扬敬, 光纤孤子通信理论基础 (国防工业出版社, 北京, 2000). 10 hasegawa, optical solitons in fibers (springer-verlag, berlin, 1989). 11 f. brezzi and p.a. markowich, the three-dimensional wigner-poisson problem: existence, uniqueness and approximation, math. models meth. appl. sci. 1991, 14: 35-61. 12 j.l. lpez and j. soler, modulational instability criteria for coupled nonlinear transmission lines with dispersive elements, math. models meth. appl. sci. 2000, 10: 923 . 13 r. fedele, g. miele, l. palumbo, and v.g. vaccaro, thermal wave model for nonlinear longitudinal dynamics in particle accelerators, phys. lett. a 1993, 179: 407-413. 14 m. segev, solitons: a universal phnomenon of self-trapped wave packets, opt. photon. news, 2002(2), 13: 27. 15 m. porkolab and m.v. goldman, upper-hybrid solitons and oscillating-two- stream instabilities, phys. fluids 1976, 19: 872-881. 16 f. dalfovo, s. giorgini, l.p. pitaevskii, and s. stringari, theory of bose-einstein condensation in trapped gases, rev. mod. phys. 1999, 71: 463-512. 17 s. davydov