（电工理论与新技术专业论文）空心圆柱线圈的电感计算.pdf

郑州大学工学硕士论文 a b s t r a c t a i r - c o r e ds o l e n o i dc o i li s a p p l i e dw i d e l y t ot h e r e g i o n s s u c ha s e l e c t r o n ，e l e c t r i c a le n g i n e e r i n g a n dr a d i o t e c h n i q u e t h e v a l u eo n i n d u c t a n c eo fa i r - c o r e ds o l e n o i dc o i l d e p e n d s 。nt h e d i m e n s i o na n dt h e s h a p eo f t h ec o i l ，w h i c hi sap a r a m e t e ri l l u m i n a t i n gt h ea t t r i b u t eo ft h ec o i l t h e r ei sac l o s e l yr e l a t i o n s h i pb e t w e e nt h ei n d u c t a n c ea n ds o m ep r o b l e m s s u c ha sm a g n e t i ce n e r g ya n di n t e r a c t i o nb e t w e e nc o i l s + s oh o wt oc a l c u l a t e r a p i d l y ，e x p e d i e n t l ya n dp r e c i s e l yt h ei n d u c t a n c eo f t h ec o i li sa ni m p o r t a n t p r o b l e m b a s e do nt h ee l e c t r o m a g n e t i ct h e o r i e s ，t h i sd i s s e r t a t i o np r e s e n t s a n a l y t i c a l m e t h o dt os o l v et h e m a g n e t i c f i e l dc a u s e d b y t h ea i r c o r e d s o l e n o i d c o i l u s i n g t h ev e c t o r p o t e n t i a l ，t h ee x p r e s s i o n f o r c a l c u l a t i n g s e l f - i n d u c t a n c eo ft h ec o i li sd e r i v e d b e l o wi st h e c o m p e n d i u mo ft h e d i s s e r t a t i o n ： 1 b yg i v i n g as e r i e so fr a t i o n a l s u p p o s i t i o n s ，t h es o l v i n gm o d e lo f a i r c o r e ds o l e n o i dc o i li sb u i l t 2 ，t h eb o u n d a r yv a l u ep r o bl e mo nt h em a g n e t i cv e c t o rp o t e n t ia lais d e r i v e db yi n t r o d u c i n gt h em a g n e t i cv e c t o rp o t e n t i a laa n d u s i n gm a x w e l l s e q u a t i o n s t h r o u g hs o l v i n g t h e b o u n d a r y v a l u e p r o b l e m ，t h em a g n e t i c v e c t o rp o t e n t i a lai s g a i n e d a n dt h ee x p r e s s i o no fm a g n e t i cf l u xd e n s i t yb i s g o tb ym a k i n gu s eo ft h er e l a t i o no fm a g n e t i cv e c t o rp o t e n t i a la a n d m a g n e t i cf l u xd e n s i t yb f i n a l l y ，t h ee q u a t i o no ft h em a g n e t i cf l u xl i n e sis g i v e nb yw a y o fd e s c r i b i n gt h ed i s t r i b u t i n go ft h em a g n e t i cf i e l d 3 u s i n gt h ev e c t o rp o t e n t i a l ，t h ee x p r e s s i o nf o rc a l c u l a t i n gi n d u c t a n c e o fa i r c o r e ds o l e n o i dc o i li sd e r i v e di nt h ed i s s e r t a t i o n a u dt h ec a l c u l a t i n g i f a b s t r a c t m e t h o d so ff u n c t i o nti nt h e c a l c u l a t i n ge x p r e s s i o n a r e g i v e n f o r t h e c o n v e n i e n c eo ft h ec a l c u l a t i o no fi n d u c t a n c ew h i l et h e p r e c i s i o n i sn o t s t r i c t l yr e q u e s t e d a tl a s t ，t h ee x p r e s s i o n0 1 3 t h em u t u a li n d u c t a n c eo ft h e c o a x i a la i r c o r e ds o l e n o i dc o i li s g i v e n 4 t h ei n d u c t a n c e e x p r e s s i o n o b t a i n e di nt h ed i s s e r t a t i o nc a no f f e r t h e o r e t i c a lg u i d a n c et ot h ed e s i g no ft h ea i r c o r e ds o l e n o i dc o i l u s i n gt h e g i v e n i n d u c t a n c e e x p r e s s i o n a n d c a l c u l a t i n g t a b l e sc a n r a p i d l y a n d e x p e d i e n t l yc a l c u l a t et h ei n d u c t a n c eo ft h ec o i l a n dt h eg a i n e dr e s u l th a s h i g h e rp r e c i s i o n ，w h i c hc o m p l e t e l ys a t i s f i e st h er e q u i r e m e n to ft h eg e n e r a l e n g i n e e r i n ga p p l i c a t i o n k e y w o r d s ：a i r c o r e ds o l e n o i dc o i l ；i n d u c t a n c e ；m a g n e t i cv e c t o rp o t e n t i a l c a l c u l a t i n gt a b l e 1 l i 空心圆柱线圈的电感计算 第1 章引言 在总结前人实验研究和基本电磁定律的基础上，英国物理学家麦克 斯韦于18 6 4 年创立了电磁场学说的主要理论。他扩大了电磁感应的涵 义，磁场变化伴随着电场，电场变化伴随着磁场，提出了位移电流和全 电流概念，概括得到麦克斯韦方程组，预言电磁波的存在及光波与电磁 波的同一性。自从l88 8 年德国物理学家赫兹用实验证实了电磁波的存在 和传播以后，电磁场理论研究和工程应用进入了蓬勃发展的时代。随着 电工技术和电工装备的不断革新、创造和发明，为电磁场的分析和计算 提出了式样繁多和复杂的物理模型。线圈是其中应用极其广泛普通的一 种，如电磁测量、高能物理研究、电信工程、各种电机和电力变压器等 领域中，比比皆是。 1 1 空心圆柱线圈概况 从外部的几何形状看，线圈的种类繁多，例如圆形线圈、环式线圈、 鞍形线圈等。空心圆柱线圈就是其中的一种，在电工技术中有着十分广 泛的应用。它具有几何轴对称结构，如图1 1 所示，f 为对称轴。 图1 1 空心圆柱线圈 f i g 1 1a i r c o r e ds o l e n o i dc o i l 1 郑州大学工学硕士论文 所谓轴对称就是从图形上的各点向定直线f 作垂线并延长一倍，延 长线的端点所构成的图形称为与原图形关于定直线f 成轴对称，定直线f 称为对称轴。空心圆柱线圈具有许多优点：易于制作，绕线作业和支撑 磁场力比较容易；和其它类型线圈相比，每单位体积绕线所产生的磁场 最大：通过若干线圈的组合可获得高均匀磁场或沿空间某一方向梯度均 匀的磁场。正因为如此，空心圆柱线圈得到了广泛应用，例如在测量磁 性材料的磁特性时，往往利用空心圆柱线圈产生的均匀磁场作磁化场口】； 用超导空心圆柱线圈储存电力能量f 3j ；在新型武器一一线圈炮中作为驱 动线圈使用【4 】；在电磁无损检测技术中作检测线圈( 即传感器) 使用【5 。7 ； 在电磁作用下电弧焊技术中利用空心圆柱线圈产生间歇变化的纵向磁场 8 - 9 1 等。从外形尺寸上看，基础科学研究用的线圈直径仅有几个厘米，而 电力储存用的直径达2 0 0 米之多。从产生磁场的大小看，有磁感应强度 为毫特斯拉级的线圈，也有几十特斯拉级左右的线圈。 1 2 课题的意义和内容 空心圆柱线圈在电子、电气、无线电等领域中有着广泛的应用。因 此如何快速、简便、高精度地计算空心圆柱线圈的各种电磁场量就成为 了一个重要的问题。而如何获得一个高品质的满足实际应用要求的空心 圆柱线圈则需要综合考虑线圈用途、形状太小、使用环境状况等多种因 素，线圈性能的好坏直接影响到使用的效果。目前，空心圆柱线圈大多 是以多年实践经验作指导，利用单根漆包线或银线围绕圆柱( 非铁磁性 材料，如胶木棒) 绕成圆柱形。研究通电空心圆柱线圈周围的电磁场， 分析空心圆柱线圈的各种性能参数与哪些因素有关，有何种关系，从而 为空心圆柱线圈的应用提供理论指导和参考，这是一个非常有意义的课 题，也是一个体现理论指导实践的课题。 可以用解析方法和数值方法对空心圆柱线圈进行电磁分析。利用解 析方法求解电磁场有以下优点：能将问题的解答表示成已知函数的显 式，因而能够计算出精确的数值答案；在解析过程中以及在解的显式 中可以观察到具体问题的内在关系和各参数对数值结果所起的作用： 解析解可以作为工程电磁场实际问题的近似解和数值解的检验依据和标 准。但由于解析表达式一般都比较复杂，因而在工程上常采用数值方法 计算其具体电磁场，目前比较成熟的数值方法包括：有限元法( f e m ) 【1o “】，积分方程法 1 5 “】边界元法( b e m ) 【17 2 ，有限差分法 2 1 - 2 3 1 ， 新型等效源法 2 4 - 2 71 等。本论文将采用解析方法求解空心圆柱线圈电磁场 空心圆柱线瑚的电感计算 的解析表达式。 电感是表征线圈自身属性的一个重要参量，所以电感的计算是一个 重要的问题。本文利用矢量磁位直接推导出了通电空心圆柱线圈电感的 计算式。同时给出了求解计算式中函数t 的函数表，以简化精度要求不 高时的电感计算。 1 3 空心圆柱线圈电感计算的研究现状 空心圆柱线圈在电气工程、无线电等领域中有着广泛的应用。在使 用时，常常需要计算线圈的各种相关参数，尤其是线圈的电感。电感是 自感和互感的总称。在不存在磁介质的情形下，电感值的大小取决于线 圈的尺寸大小和形状。磁场中存储的能量和线圈之间的作用力等问题都 与电感息息相关。 随着数学理论和数值计算方法不断发展，出现了各种各样的计算线 圈自感和互感的方法。d i n g a ny a n 和k s h a n 利用解析积分给出了螺旋 管和扁平线圈的自感计算式【28 】；s l o b o d a nb a b i e 和c e v d e ta k y e l 在此基 础上利用解析和数值混合的方法给出了螺旋管和扁平线圈的自感和互感 计算近似表达式【2 9 】：r e i f j i r i 和m a y e rd a n i e l 30 1 与d o l e z e li v c ”1 给 出了空心圆柱线圈自感的计算式；m h c r a i g ”】与l u n d i nr i c h a r d ”j 给 出了单层圆柱线圈的自感和互感的近似表达式：f a w z ith 和b u r k ep e 4j 与d o l e z e li 等人 3 5 给出了同轴空心圆拄线圈之间互感计算式： k b k i m 和z i v a nz a b a r 利用椭圆积分和网格矩阵技术给出了两个异轴空 心圆柱线圈之间互感的计算式【”】：a k y e lc e v d e t ，和b a b i cs l o b o d a n 给出 了计算同轴圆柱线圈互感的两种近似方法【37 】：c a s i o c o s 给出了计算同 轴的两个圆柱线圈和同轴的圆柱线圈与圆环线圈之间互感的函数表 38 1 ； 陈乔夫和李湘生利用叠加原理给出了空心电抗器的自感和互感计算式 9 1 ：王昕等人给出了圆形螺旋线圈自感的计算公式 4o ；苏联学者n j i 卡兰塔罗夫和j 1 a 采伊特林给出了空心圆柱线圈的电感计算近似式及 相关的图表【4 1 1 ；1 9 9 1 年由中国计量出版社出版的轴对称线圈磁场计算 给出了空心圆柱线圈电感计算式。 上面所提到的计算方法，在实际使用时均存在着种种不足之处：有 的表达式形式比较复杂，没有显式地表示出电感值和线圈几何尺寸之间 的关系，不利于理论分析：有的表达式只适用于特殊情况，不能通用； 除苏联学者外，使用其它的公式求电感时均需在计算机上编制相关程序 进行计算求解，不利于在工程上使用；而在使用苏联学者所给公式和图 一1 酃捕大学工掌硕士论文 表时受虱线圈轴向和径离尺寸跑俊大小钓约束，特掰是当线骚鹣长痰帮 线圈的平均煮径之魄大予7 2 对，计算精瘦比较低。谖熬翔秘嶷速、篱 便、离精度蟪诗算空心因柱线圈豹毫感撬残为了一个蓬要豹闼题。汪是 基于鼗舀熬，本文从矢量磁位出发推导迦空心疑槛线翱电感计算的般 性诗冀式，绘出了计算式中函数r 豹函数表，从恧为炔速、漪便地计算 空心蹦拄线熙的电感奠定了基础。 l 。4 论文的安排 论文第2 章建立了空心圆柱线圈的求解模型，给出了分析和计算静 磁场的三种途径。论文第3 章通过求解以矢量磁位为求解对象的边值问 题得到了矢羹磁位、磁感应强度的解祈表达式，同时还狠出了磁力线方 程。论文第4 章利嗣矢量磁位推斑了空心西柱线圈的电感表达式并给出 了相关的计算方法，同时给出了阉辅空心圆柱线匿的互感计箨式。论文 第5 章给出谍题的缩论和存在的滴题。 空心圆柱线圈的电感计算 第2 章空心圆柱线圈求解模型的建立 在这一章中，我们首先建立了空心圆柱线圈的电磁场求解模型，然 后引入矢量磁位爿的概念，最后介绍了我们在分析和计算静磁场时常用 的三种途径。 2 1 空心圆柱线圈的数学模型 实际的空心圆柱线圈是用导线一匝紧挨一匝绕制而成的，所以每匝 均具有螺旋性，而且由于导线外有绝缘层，线圈的电流密度不是均匀分 布。对其进行电磁场分析时，如果把螺旋性和不均匀性都考虑在内，计 算将会极其复杂。实践表明，忽略线圈的螺旋陛和不均匀性后，不但可 以大大减轻计算工作量，而且计算结果和实测数值之间仅有极小的误差。 因此在分析空心圆柱线圈时，作如下假设： 1 ) 线圈的匝数都是同轴圆环回路，且沿磁心轴向对称分布： 2 ) 线匝间具有无限薄的绝缘，所有线匝紧密地填充了线圈所占据的 全部空间： 3 ) 线圈由矩形截面的导线绕制而成，线圈沿轴向和径向均匀缠绕， 电流沿截面均匀分布，且电流密度的方向和对称轴构成右手螺旋关系： 4 ) 线圈处于无限大真空中。 在以上假设的基础上，建立课题的隶解模型： 如图2 1 所示，设通电空心圆柱线圈位于无限大真空中，其匝流密 度为”，电流密度为一，内半径为r 1 ，外半径为见，轴向长度为d 。真 空的磁导率为z 。选取圆柱坐标系，原点。位于线圈的几何中心。z 轴与 线圈的对称轴重合。线圈中电流的参考方向与：轴的正向成右手螺旋关 系，忽略位移电流。 2 2 矢量磁位的引入 式 我们忽略位移电流后可以写出恒定场的麦克斯韦方程组的微分形 邦州大学工学硕士论文 图2 1 真空中的空心圆柱线圈 f i g 2 1a i r - c o r e ds o l e n o i dc o i li nv a c u u m 霹x h = j v x e = o v b = 0 v d = p 其中p 为媒质中的自由电荷密度。根据矢量分析恒等式 v f v 4 1 i0 可知符合散度为零条件的量均能表示成某一矢量函数一的旋度 取 b = v a 此式说明，磁感应强度曰可用某个矢量4 的旋度来表示 量磁位。把式( 2 - 6 ) 和关系式b = “h 代入式o2 - 1 ) ，得 根据矢量分析公式 甲( v x a ) = 以 ( 2 1 ) ( 2 2 ) ( 2 3 ) ( 2 4 ) ( 2 5 ) 所以可 ( 2 6 ) 此时称a 为矢 ( 2 7 ) 空心圆柱线圈的电感计算 v x ( v x f ) = v ( v f ) 一v 2 f ( 2 - 8 ) 式( 2 - 7 ) 变为 v 2 a = 一卢以一v a ) ( 2 9 ) 在矢量场中，要确定一个矢量，必须同时知道它的散度和旋度。因 此我们规定a 的散度为 v a 2 0 ( 2 1 0 ) 则式( 2 - 9 ) 变为 v z a = 一“以 ( 2 - 1 1 ) 2 3 静磁场分析和计算的途径 一般而言，静磁场的分析和计算可通过以下三种途径来完成。 1 ) 利用毕奥一沙伐定律直接计算磁场。 在无限大真空中，当已知电流分布时，磁场中任意点p 处的磁感应 强度可用毕奥一沙伐定律计算 或 或 酮= 石, a ol ! 铲( q ) 1 2 ) 即) ：笠4 j ，掣吲q ) 13)re s r 、 j z iz 1 i j 丑( 尸) = 笠4 ( f 掣(，_14)rr d t r a 、7 、 1l 斗 式中v ，s ，一一表示电流分布的区域； t ，( q ) 一一源点q 的电流面密度，a i m 2 x ( q ) 一一源点q 的电流线密度，a i m ： ，一一源点q 的线电流，a ： r - - - - 源, 点q 到场点p 之间的距离 一7 郑州大学工学硕士论文 一一由源点9 指向场点p 的单位矢量： t 。一一真空磁导率，其值为4 a 1 0 h m 。 毕奥一沙伐定律是电磁场理论中的基本定律，所以原则上可以使用 该定律求解任意分布的稳恒电流产生的磁场，只是有时会根据所求解问 题的特点而选用其它方法求解，但其根源仍是毕奥一沙伐定律。 2 ) 在无电流分布的单连域内利用标量磁位妒。求解。 依据恒定磁场的基本方程( 2 1 ) 知，在无电流分布的区域内磁场是 无旋的即v h = 0 。这样可以借助矢量恒等式将磁场强度日用一个标 量函数p 的梯度表示 h 2 一v o ， ( 2 - 1 5 ) 则称妒。为磁场的标量位函数，简称标量磁位。式右的负号是物理概念的 需要，即沿磁力线的方向标量磁位是减小的，把式( 2 - 15 ) 和b = 腰代 入式( 2 - 3 ) 可得标量磁位满足的拉普拉斯方程 v 2 = 0 ( 2 - 1 6 ) 通过求解该拉普拉斯方程和利用关系式b = 一, u v 4 0 。就可以求出相应的磁 感应强度。 利用这种方法除能较方便地求解无源区域的磁场外，还可阱极其方 便地求解永久磁体周围的磁场。 3 ) 通过求解磁场的矢量磁位a 求磁场， 从2 2 节的分析中可知磁感应强度b 和矢量磁位一的关系。这样我 们可以先求以矢量磁位一为求解对象的边值问题，然后再求出磁感应强 度b 。 从以上的分析中可知，矢量磁位a 和标量磁位c , o 。是以微分形式定义 的，因此后两种方法在均匀媒质中使用是比较方便的。胆是当要求解在 媒质的参数发生突变处的磁场时，就只能利用积分形式的毕奥一沙伐定 律来求解。 由于本论文是在均匀媒质中讨论空心圆柱线圈的磁场，因此我们将 在第三章中使用第三种方法即用矢量磁位a 来求解该磁场：先利用分离 变量法求解以矢量磁位a 为求解对象的单匝圆环线圈的边值问题，得到 相应的矢量磁位表达式：然后利用叠加原理求出通电空心圆柱线圈的矢 量磁位a 表达式。 空心圆柱线圈的电感计算 第3 章空心圆柱线圈的磁场分析 在这一章中我们将根据轴对称场的性质写出单匝圆环线圈的以矢量 磁位为求解对象的边值问题。通过求解该边值问题可得到相应的矢量磁 位表达式，然后利用叠加原理求得空心圆柱线圈的矢量磁位，再利用磁 感应强度和矢量磁位的关系进一步求得磁感应强度表达式。在文章的最 后还给出了相应的磁力线方程 3 1 单匝圆环线圈的矢量磁位 3 1 1 求解模型 图3 1 单匝圆环线圈 f i g 3 t o n e t u r nc i r c u l a rc o i l 假设真空中存在一单匝圆环线圈，选取圆柱坐标系，：轴与磁心的 轴线重合，如图3 1 所示。设单匝圆环线圈的半径为p 线圈所在平面 距= = 0 平面的距离为= ，线圈中的电流大小为，方向和：轴正向成右手 螺旋关系。线圈所在的平面把整个空间区域分成两个场区： 9 - 郑州大学学颟士论文 3 1 。2 炙量磁佼的边德阍题 场送l ： z 轴对称电磁场是爽常见的电磁场。它照这样定义的【4 2 】：如果场域 中存在条定直线，在漪该定赢线的憾意平硒上，场中均为番向同性、 分嚣均匀酌线性媒质，媒质稀场源的边界闰彤分剐关于该窀直线成蒇转 辅葡称，掰有矫部电流源圄路都蔻由躅心位于定直线的筒环线圈的集合 所缀戚。场中游建壹线称为璐静对称辅。在灏柱建标系下辅对称电磁汤 粪有以下愁蒺： 1 ) 艨煮场整秘毫磁位番羧蝰与撵离坐标无关； 2 ) 在港豫兹燧楚下，矢量磁搜援鹰麓囱分羹，辩d = 或，且数度 舻t a = 0 ； 3 ) 磁矮强度搿数揭勰分蹙为零； 4 ) 在过对称瓣数任意平趣上，任意点处抟矢量磁鬣蠢均与过镶平落 的卦源电流密度，。平行。 根强上面融对称场舶定义可知，课题所研究的场属子辙对弥场，因 此场中的矢量磁位仅有周向分量也，且文与周向坐标妒无关，即 黛热秀2a a p , z ) 咯 ( 3 - ) 国外，本节所讨论的瞄环线圈魑用半衽无限小的圆形缅蹲线绕成鼠有一 定半径瀚荤匮通电回路。根据革匝满环线丽的面电流密魔表达式4 2 j 在平 磷：= ：h 任意点( p ，庐，z ) 簸静箍魄流密纛可稻葶函数表示为 k ( p ，妒，# ) = 1 8 ( p - p d 甏程我们可隧写毫辫3 i 辑示鼙瀣菡环线甏矢羹磁位a 矫满是游透 戆鲻遂： 约慕方程： v 2 爿罐一d l 2 氐= 0 3 - 2 ) 式中i = 1 。2 边界条件： 空心圆柱线圈的电感计算 无限远条件 ：粤o a l f2 ：“l i m + 。a 2 l ( 3 3 ) lirn一丝一期m。0a2-1-*0 o ：。阿( 尸一p ， (34)zo z m 一+ o 。”。 lj qj 式中，：厣，i = 1 ，2 。 3 1 3 约束方程的通解 l i m a = 0 ( 3 5 ) 利用分离变量法4 3 1 求解边值问题( 3 - 2 ) ( 3 - 5 ) 。设4 。= r ( p ) z ( ：) 则方程( 3 2 ) 可写成 r ”r 1z 1 百+ 面一7 一i ( 3 6 ) 上式左端是变量p 的函数，右端是变量z 的函数，而p 和z 是两个独立变 量，所以要使上式成立，必有 兰：一牙 z 这里二是与p 和z 均无关的分离常数。从而有 ( 3 7 ) p ：r 。+ 肚一( p ：才+ 1 ) 月= o ( 3 8 ) 臼s t u r m l i o u v i l l e 方程( 简称s l 方程) 的定义及其性质4 4 1 知五 0 。 所以方程( 3 8 ) 的解为 r ( p ) = c 【( 五p ) + c 2 i ( p ) r 3 - 9 、 式中 ，。( 如) 一一第一类一阶贝塞尔函数 k ( 印) 一一第二类一阶贝塞尔函数。 在此基础上，我们可求出方程( 3 7 ) 的解 郑州大学工学硕士论文 z ( z 、= c 3 e 。+ c 4 e 一。 因此约束方程( 3 - 2 ) 的通解可写成 ( 3 1 0 ) j ( p ，z ) = f o i t , ，( 助) + c ：i ( 如) 】( 。，“+ c 。8 一“) d 五 ( 3 1 1 ) 3 1 4 各场区矢量磁位表达式 第一类和第二类贝塞尔函数具有以下性质1 4 4 1 ： x _ 0 时， j t ( z ) 有界，r ( j ) 无界； x 一。时，j 1 ( x ) 和z ( 曲均有界。 利用上述性质并计及无限远条件( 3 - 5 ) 可得各个场区的周向分量表 达式 4 。= j ? oc 1 ，d j ( 2 p ) e “d 7 ，= z r ( 3 13 ) 把式( 3 1 2 ) 、( 3 13 ) 代入边界条件( 3 - 3 ) 、( 3 - 4 ) 可求得 c 1 1 = 掣州印7 ) e “( 3 - 1 4 ) c ：= # 0 2 i p j ，( 印) 8 “( 3 - 1 5 ) 故所求的矢量磁位为 4 ，= 华r 以( 印) ( 和) 8 i ( z - z ) m ，： ：， ( 3 1 7 ) 3 2 通电空心圆柱线圈的矢量磁位 根据2 1 节的假设，可以把空心圆柱线圈看成是无限多个圆环线圈 - l2 一 空心回柱线圈的电感计算 的集合体，从而空心圆柱线圈中任意点处的电流元为 d i = d p d z 把式( 3 1 6 ) 和( 3 1 7 ) 中的i 换成d i ，并定义 u ( r ，r 2 , 2 ) = 万1 篡2 州m ( 3 - 1 8 ) 利用叠加原理可导出通电空心圆柱线圈在各个场区产生的矢量磁位 1 ) 线圈下端面以下区域的矢量磁位 4 = 圭m f 吣，( 圳e m + 争。“( 3 - 1 9 ) d = 2 3 ) 线圈上、下端面之间区域的矢量磁位 在区域一詈 ： 詈内，过一点 p ( p ，：) 作一平行于线圈端面的平面z = z ，此平面将空心圆柱线圈分成 两部分。上部线圈的高为_ d 一：，底平面的轴向坐标为z ：下部线圈的高 为了d + = ，底平面的轴向坐标为一d 2a 根据式( 3 - 1 9 ) 可写出上部线圈中 的电流单独作用时点p 处的矢量磁位为 肚扣以r u ( r t , r 2 , ) 州印) 1 - e - ( 扣】姐 2 1 ) 根据式( 3 - 2 0 ) 写出下部线圈中的电流单独作用时点p 处的矢量磁位为 小圭m f 吣，( 埘【1 - e - a ( ：+ 争m ( 3 _ 2 2 ) 郑州大学工学硕士论文 利用叠加原理，点p 处的矢量磁位为 4 2 = a + a ” = 吉风以j ? u ( 日，r ：，丑) ，( a p ) 2 - e - 州号q ) 一e 一州h 詈 d 五3 2 3 3 3 通电空心圆柱线圈的磁感应强度 dd 一一 z 一 22 空心圆柱线圈的矢量磁位a 仅有周向分量 ，且 与周向坐标庐无 关。根据矢量场在圆柱坐标系中的有关公式和式( 2 - 6 ) ，我们可以写出 空心圆柱线圈的磁感应强度的表达式： 1 ) 线圈下端面以下区域的磁感应强度 曰，导。也fu ( r ，r ：， ) “( 和) ：号) _ e - m 争： m + 争风以r u ( 置，r 2 五) 弛( 印) p 帕1 d 一e “詈。 d z 32 4 。 ( 一 ) ： i 3 ) 线圈两个端面之间区域的磁感应强度 。：皂胁以ru(rbu ( r ：，月：，a ) u ( 劫) g 叫扣一8 叫：号 d 兄w 2 7 胁、以- a i n t ，月：，a ) u ( 劫) g 一一8 _ 。 d 五 + 鲁卢。以j ? u ( 尺，r ，丑) 兄，0 ( 五p ) 2 一。一i t 詈- z ) 一。- 2 ( z + 导， d 兄3 2 6 dd 一了 ： i 空心圆柱线圈的电感计算 3 4 磁力线方程 磁力线是为了直观地表示磁感应强度口的分布而引入的概念。磁力 线是这样的曲线：在它上面的每一点处，磁感应强度丑的方向和该点的 切线方向一致。故磁力线也称之为b 线。在磁场中只要某点的磁场曰存 在，就有磁力线通过。所以磁力线充满了可求磁场的全部空间。 为了使磁力线能够定量地描述磁场，对磁力线的密度规定如下：通 过菜点上垂直于五矢量的单位面积内的磁力线条数等于该点b 矢量的 模。这样，磁场越强的地方磁力线就越密。 对磁力线的密度规定后，就能够计算通过一个给定面积的磁通量( 即 磁力线的条数) 。设有一曲面j ，通过该曲面的磁通量为 2j s b d s ( 3 - 2 7 ) 当曲面是闭合曲面时，由高斯定理可得 庐2 舻心2j 罗b d v = 0( 3 - 2 8 ) 这说明每一条磁力线都是无头无尾的闭合曲线。这是磁力线的一个重要 特性。 为了得到空心圆柱线圈的磁力线方程，如前所述，我们取圆柱坐标 系( p ，妒，：) ，且使其对称轴与z 轴重合。设点p ( p ，妒，：) 为磁力线上 任意一点，根据轴对称场的性质得其矢径为 7 2 p e p + 朋： ( 3 - 2 9 ) 它的微分为 d r 2 d p + 妇：( 3 - 3 0 ) 由微分的性质知d ，表示在点p 处与磁力线相切的矢量。根据磁力线的定 义，d r 必定在点p 处与磁感应强度刀共线。因此有 d p d z b i (31)o 3 - 这就是磁力线所满足的微分方程。 式( 3 - 3 1 ) 看上去形式比较简单，但由于磁力线是闭合益线，从而 可知该微分方程的解是多值的。所以实际求解微分方程( 3 - 3 1 ) 是比较 1s 郑州大学工学硕士论文 困难的。 为了可以方便地求解磁力线方程，我们用矢量磁位一来表示磁感应 强度召。根据轴对称场的性质知，矢量磁位a 仅有周向分量以，由磁感 应强度占和矢量磁位一的关系，并利用圆柱坐标系下的相关矢量公式可 得 磁场分量为 b ：v 仁挲o 矿去掣巳(332)z j oo p 4 ( 3 3 3 ) ( 3 3 4 ) 将( 3 3 3 ) 、( 3 - 3 4 ) 代入( 3 3 1 ) ，整理石 得 4 竺+ v d p p + 警出 = 。 ， c z! 、一。 由全微分的定义可知式( 3 - 3 5 ) 小括号中的内容恰是心的全微分，所以 可得到 誓+ 堡：o ( 3 - 3 6 ) a p 。 对上式进行积分得 倒口2 c ( 3 - 3 7 ) 其中c 是积分常数。 式( 3 3 7 ) 就是所求的空心圆柱线圈的磁力线方程。从该方程可以 看出给定积分常数c 后，p 就是z 的函数，或= 就是p 的函数。给定”个z ( 或p ) ，利用方程( 3 3 7 ) 就可以求出对应的月个d ( 或：) 的值，从而 可得到h 个点( p i ，z ，) ，i = 1 ，2 ，h 。将这h 个点用光滑曲线连接 起来，就可得到对应于常数c 的磁力线。反过来，要做通过某一特定点 ( 风，= 。) 的磁力线的方法如下：将风，z 。代入磁力线方程( 3 - 3 7 ) 求 盟出 型妒 一 烈一 = ， = p 土p d u = 口 仝心例枉域捌阴电辱计算 出积分常数c 0 ，然后保持c 0 不变，不断地改变z ( 或p ) ，从方程( 3 - 3 7 ) 中解出相应的口( 或z ) 的值，最后用一条光滑曲线将这些点连接起来得 到的磁力线就是所求的通过特定点( 岛，) 的磁力线a 下面我们利用式( 3 - 3 7 ) 导出另一种形式的磁力线方程。 设在圆柱坐标系下，有一圆形平面s 垂直于对称轴，其半径为p ， 圆心和z 轴重合。显然由轴对称场磁感应强度的性质可求得通过该圆形 区域的磁通为 庐2j 尹d s 2j 。( b 一+ b ：巳) p ：凹 2j 。e 衄 ( 3 - 3 8 ) = l ：d 币l ：p b 又p ，z ) d p = 2 耳l ：p b 文p ，z ) d p 另一方面 庐29 一出 2j 。脚p d 妒 ( 3 - 3 9 ) = 2 ：z p a 。 式( 3 - 3 8 ) 和式( 3 3 9 ) 应该相等，从而可得到 l ：p b ：i 郎) d p = p a ， 根据式( 3 3 7 ) ，上式可写为 要p b ：t 阳) 如= c ( 3 4 0 ) ( 3 4 1 ) 这就是用磁感应强度口的轴向分量表示的磁力线方程。 磁力线方程( 3 3 7 ) 和( 3 4 1 ) 两者是等价的。在求磁场磁力线分 布式，究竟采用那种形式，要视情况而定。当用表面电流法容易求得矢 量磁位a 时，采用式( 3 - 3 7 ) 求磁力线时较好；当用表面磁荷法容易求 得磁感应强度曰的轴向分量时，采用式( 3 4 1 ) 较好。 由前面给出的空心圆柱线圈的矢量磁位a 的表达式( 3 1 9 ) 、( 3 2 0 ) 、 1 7 郑州大学工学硕士论文 ( 3 - 2 3 ) 和磁感应强度曰的表达式( 3 2 4 ) ( 3 - 2 6 ) 可知，磁力线方程 ( 3 - 3 7 ) 和( 3 - 4 1 ) 的形式比较复杂，积分结果难以直接求出。因此在 一般情况下使用数值方法来求解磁力线方程。 由公式( 3 2 4 ) 一( 3 2 6 ) 可知空心圆柱线圈磁感应强度的径向分量 嚣。是关于z 的奇函数，轴向分量口，是关于：的偶函数。同时根据31 2 节 中所提到的轴对称场的相关性质，我们在求空心圆柱线圈的磁场时，可 以选用平面坐标，而且仅研究第一象限的磁场即可。至于其它象限的磁 场则可以根据其对称性获得。这样就能大大降低计算量。因此，我们在 做磁力线分布图时，也可以仅画出第一象限的磁力线分布，而其它象限 的可以利用对称性做出。图3 2 就是根据磁力线方程和以上的分析做出 的磁力线分布图。 图3 2 第一象限的磁力线分布图 f i g 3 2t h e d i s t r i b u t e dm a po fm a g n e t i cf l u xl i n e si nt h ef i r s tq u a d r a n t 需要说明的是，本节所推出的磁力线方程不仅仅适用于空心圆柱线 圈。它也适用于所有轴对称磁场的磁力线求解。 空心圆柱线圈的电感计算 第4 章空心圆柱线圈的电感 电感是自感和互感的总称。在不存在磁介质的情况下，电感值的大 小取决于线圈的几何结构。它是表征线圈自身属性的一个量，所以电感 的计算是一个重要的问题。本章利用矢量磁位推出了计算空心圆柱线圈 自感的解析表达式，并给出了表达式中函数丁的计算方法。最后给出了 计算同轴空心圆柱线圈互感的方法。 4 1 空心圆柱线圈的自感 4 1 1 解析表达式 设线圈是由很细的导线密绕而成，通有电流，线圈的总匝数是肜 匝流密度是”。，线圈的绕线区域所占的空间是y ，截面面积是s 。 图4 1 空心圆柱线圈 f i g 4 1a i r - c o r e ds o l e n o i dc o i l 则第m 匝导线所匝链的磁链为 郑州大学工学硕士论文 鼍。= 谤d s = f 可一d s j = d 一d l j k 式中s 。一一线圈第m 匝导线所围成的曲面 f 。一一线圈第m 匝导线所围成的曲面的边界。 由式( 4 1 ) 可写出线圈所匝链的总磁链 根括2 1 币的1 鼓馊州作如p 罾珙： 耋t 换成l i d l 换成以d y 这里以是线圈的电流密度。这样，式( 4 - 2 ) 变为 甲= 扭一j c d 矿 从而可得到 5 1 工= 手= f 1 弘桫 ( 4 1 ) ( 4 2 ) ( 4 3 ) ( 4 4 ) 通电空心圆柱线圈的矢量磁位仅有周向分量也，且在任意点( p ，声，z ) 处的矢量磁位a 和电流密度以同方向，所以 工= 专一砌 = 軎r 2l ，a , d 矿( 4 - 5 ) j 扣 。 = 等j ：中压dp a ，d z 3 7j 叩坞p 把式( 3 - 2 3 ) 代入式( 4 - 5 ) 整理可得到 阻 配 ，rl 1一，l一， = i | 空心圆柱线圈的电_ ! 嗒计算 而 其中令f = 如。 三= 等f 唧愚e p z 妒 心- e - 剐 “争z 蚪 巧 e m ( 助) 如2 虿1 璧“( ( 4 - 7 ) = 2 u ( r , ，足，a ) 瞥e 峙：“- e 州扣卜三仃“- 1 ) 。， 把式( 4 - 7 ) 、( 4 - 8 ) 代入式( 4 - 6 ) ，并利用j o = n o i 可得 l = 2 z a 。n 。2f u 2 ( r 1 ，马，旯) ( 尬+ e - a d 1 ) d z ( 4 - 9 ) 以线圈的内半径r 为基准把线圈的各个长度量归一化，且令 r ， p 2 莆， 其中p 和q 称之为形状参数。 则 d 口= 一 1 r ， 石 = 一 r 吣忍班专e 啪) d r = 等r 哪灿 = 群陆r 删 比照u ( 曷，r 2 ， ) 的定义令 u ( 1 ，p ，工) - 专f 碣( f ) 出 从而得到 ( 4 1 1 ) 邦州大掌工学螂士论文 u ( 置，r 2 ，a ) = r ? u ( 1 ，p ，x )r4 - 1 2 ) 利用以上结果，式( 4 - 9 ) 可转化成 l = 2 掣。r ? 丁( g ，p ) ( 4 一l3 ) 式中 r ( q ，p ) = f u 2 ( 1 ，p ，x ) ( 私+ e - q x _ 1 ) 血 ( 4 1 4 ) 式( 4 13 ) 就是所求的空心圆柱线圈的自感解析表达式。 4 1 2 函数h g ，p ) 的计算 利用式( 4 1 3 ) 求空心圆柱线圈电感时，最关键的是计算函数t ( q ，p ) 。 下面介绍两种计算方法。 1 ) 数值计算法 由于式( 4 - 1 4 ) 包含了复杂的积分，要求出其准确解比较困难，所以 我们可以使用数值方法求其近似解。对于其中的积分，可采用高斯拉盖 尔求积公式1 4 5 】。为保证精度，应选取求积节点大于1 5 。我们在附录2 中 给出了用数值方法求解时用到的程序。 2 ) 图表法 在许多工程实际应用中，一般都事先根据相关公式制作出对应函数 的曲线图或函数表。在求解时，只要根据相关的参数在图或数表中找到 对应的函数值，然后通过一些简单的四则运算就能求得我们所感兴趣的 一些量。用图表法求解比较直观、方便，但结果的精度较低，尤其是图 或数表中没有对应的场点时。 在工程中当精度要求不是十分严格时，我们推荐使用图表法。使用 图表法求电感时最重要的就是相关图形或函数表的建立和使用。在本节 我们给出t ( q ，p ) 的函数表，在4 1 3 节中我们将用几个例子介绍该函数表 的使用及怎样用数表法求电感。 对于式( 4 1 4 ) ，如果事先设定一组数 q l2 q o + h q i ，f ：1 ，2 ，m p j2p 0 + k p j j ：、，2 n 2 2 空心圆柱线圈帕电感计算 计算对应的函数值r ( q ；，p ，) ，就能形成相应的关于丁( 吼，p ，) 的两维函数表， 这里k ， ，是步长。表4 1 中给出了t ( q ，p ) 的函数表。利用此函数表能快 速、方便地求解出空心圆柱线圈的电感。在此对此函数表的使用作如下 说明： ( 1 ) 函数表的最左一列是形状参数q ，最上一行是形状参数p 。 ( 2 ) 函数表中丁值的最大绝对误差是5 1 0 。 ( 3 ) 当所给的形状参数在