（电工理论与新技术专业论文）快速多极子算法在电磁散射问题中的应用.pdf

华北电力大学硕士学位论文摘要 摘要 本文结合国家自然科学基金项目“复杂媒质中大尺度导体周围瞬态电磁场的快速并 行计算方法的研究 ( 项目编号：5 0 5 7 7 0 1 9 ) ，重点研究了将快速多极子方法应用于研 究电磁散射问题。首先回顾了快速多极子算法的基础矩量法；然后重点介绍了快速 多极子方法，对其关键技术文中给出了较为详细的数学推导和分析结果；最后，研究了 快速多极子方法在分析导体电磁散射问题中的应用。通过求解线天线的电场积分方程， 分别讨论了无限大空间、完纯导体地面半空间上垂直导线的表面电流分布情况。计算结 果表明，在保证精度的情况下，f m m 与传统的m o m 比较在计算速度与内存开销上具 有明显优势，能为进一步实现电大尺寸复杂结构目标电磁散射的高性能数值分析提供有 效的方法。 关键词：电磁散射，快速多极子方法，矩量法，线导体 a b s t r a c t s u p p o r t e db yn a t i o n a ln a t u r a ls c i e n c ef o u n d a t i o no fc h i n a ( n o 5 0 5 7 7 0 19 ) ， t h ef a s tm u l t i p o l em e t h o d ( f m m ) h a sb e e nu s e dt os o l v ee l e c t r o m a g n e t i cs c a t t e r i n g f o mt a r g e tmm i sp a p 既f i r s t l y ，m ek e yt e c l l i l i q u e so fm e 山o do fm o m e i l t ，髂t 1 1 eb a s i so f f 瓠tm u l t i p o l em 甜i o d ，a r ee x t e l l s i v e l ys t u d i e d s e c o n d l xt l l ef a s tm u l t i p o l em e t h o di s s t u d i e di l ld e t a i la i l dm ef o n l l l u l ad 嘶v a t i o i l sa r ei n 臼- o d u c e di l lm e 0 够f i n a l l y ，t 1 1 ea p p l i c a t i o n o ff m mi sa l s oa 1 1 a l y z e d h a v i i l gc s t a b l i s h e de l e c t r i cf i e l di i l t e g r a le q u a t i o n ( e f i e ) o ft l l i i 卜w i r e a n t e m a s ，m ec m t e n td i s t r i b u t i o no ns u i f a c eo ft w ov e r t i c a lc o n d u c t o r si ss 印a r a t e l ya l l a l y z e d ， w h i c hi si l li i l 丘m t es p a c ea i l di i lh a l s p a c eo fp e m c tc o n d u c t o r 黟o u i l d 黜渤c e t h e n u m 舐c a lr e s u l t ss h o wm a tf 弧tm u l t i p o l em e m o di sm o r ee 伍c i e n ta n dc a i ls a v em o r e m 锄。巧c o n l p a r e dw i n lm e m o do fm o m e n t i tc a i lb ep r o v i d c d 勰a i la v a i l a b l ea na _ l 妒c a l m e t l l o du s e d 南rm 髓e r i c a ls i i n u i a t i o n 如re l e c 昀m a 印e t i cs c a 位舒n g 舶me l e c t r i c a l l yl 鹕e s i z eo b j e c tw i t hc o m p l i c a t e ds t m c t u r e l i uj i n g ( e l e c t r i c a lt h e o r ya n dn e wt e c h n i q u e s ) d i r e c t e db yp r o c u ix i a n g k e yw o r d s ： e l e c t r o m a g n e t i cs c a t t e r i n 岛f a s tm u l t i p o l em e t h o d ，m e t h o d o f i v i o m e n t w i r ea n t e n n a 声明尸州 本人郑重声明：此处所提交的硕士学位论文快速多极子算法在电磁散射问 题中的应用，是本人在华北电力大学攻读硕士学位期间，在导师指导下进行的 研究工作和取得的研究成果。据本人所知，除了文中特别加以标注和致谢之处外， 论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得华北电力大 学或其他教育机构的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究 所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示了谢意。 学位论文作者签名：盏l & 日期： ，班 关于学位论文使用授权的说明 本人完全了解华北电力大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有 权保管、并向有关部门送交学位论文的原件与复印件；学校可以采用影印、缩 印或其它复制手段复制并保存学位论文：学校可允许学位论文被查阅或借阅； 学校可以学术交流为目的，复制赠送和交换学位论文；同意学校可以用不同 方式在不同媒体上发表、传播学位论文的全部或部分内容。 ( 涉密的学位论文在解密后遵守此规定) 作者签名：盏l 矗 导师签名： 日期：坦丝：芝 日期： 华北电力大学硕十学位论文 1 1 选题的背景与意义 第一章绪论 基于强烈的工程应用背景，电大尺寸的电磁散射特性的研究一直受到广泛关 注。尤其在电力系统的建设中，随着超高压、特高压输电技术的蓬勃发展，不可避 免的遇到大规模输电线路的电磁散射问题。所以，如何高效快速求解电大尺寸散射 问题是工程师们共同关注的问题。复杂目标电磁散射的高效求解包含两方面的含 义。第一：能够在有限的计算机资源下实现目标散射特性的精确建模与计算，计算 结果应与测量值吻合，具有较高的精确度；第二：在上述前提下，实现较快速的分 析与计算。长期以来在工程中所采用的高频方法( 几何光学( g o ) 法，物理光学( p o ) 法，几何绕射理论( g t d ) ，物理绕射理论( p t d ) ，复射线( c r ) 法或弹射射线( s b r ) 法) 来分析各类电大尺寸目标的电磁散射特性。这些方法主要是简单明晰，容易掌握， 计算方便，甚至可“实时”显示近似结果【1 1 ，但是却存在着模型粗糙，计算结果精 度不高，结果中曲线走势与测量值不吻合等缺点。产生上述问题的原因主要有以下 几点【2 】： 1 目标宏观上的电大尺寸与细节上的电小尺寸并存，使高频建模方法精度大 大降低，因为复杂的细节结构并不满足“电大尺寸 和“场缓变”的基本要求； 2 目标关键散射部位上的一些重要电磁互耦关系被忽略； 3 部件的散射数据用于整机散射求解时的近似处理( 如忽略了部件间的互耦， 应用“子散射中心 造成的误差，相位与极化的描述不准确等) ； 4 从本质上讲，绝大多数高频近似方法都是标量波方程典型解的应用，用其 处理三维矢量散射问题时难以精确描述散射场的矢量( 极化) 关系。 另一方面，采用传统的微分方程方法如有限元法( f e m ) 和时域有限差分法 ( f d t d ) 等求解，虽然得到了稀疏阵，但对于开域问题的求解必须引入吸收边界条件， 并进行传播空间内的网格剖分。然而三维空间贴体网格生成非常困难，网格截断误 差和网格色散误差大，模拟复杂几何形状的误差大，从而不利于对电大尺寸目标散 射的求解。基于严格理论模型的积分方程方法如矩量法( m o m ) 【3 1 ，尽管求解收敛速 度快，计算结果精度高，但是计算量大，所需的存储量高，通用性差，长期以来都 是仅用于低频或者谐振区目标的散射分析。例如，对于一个未知量为5 万的散射问 题，用单精度型矩阵法求解就需要2 0 g b 的内存。由此可见，即使是目前的超大计 算机也难以应用矩量法求解电大尺寸目标的散射。因为矩量法线性方程组的系数矩 阵是满阵，则数值求解需要d m 级的数值计算量和d 帕级的内存资源( 其中为 未知数的个数) ，致使9 0 年代以前，矩量法仅仅适用于电小尺寸目标散射的求解。 1 华j 匕电力人学硕： = 学位论文 因此，寻求能精确、快速的求解电大尺寸散射问题的分析手段已成为电磁散射研究 的重点与热点。 经过近十几年的发展，在复杂目标电磁散射研究领域，已经出现了很多研究电 磁散射的方法。从所求解的方程形式上看，主要分为以下两种：基于传播空间离散 化的微分方程方法和基于散射体表面离散化的积分方程方法。常用的微分方程方法 有：有限元法( f e m ) 和时域有限差分法( f d t d ) 等。常用的积分方程方法有：体积分 方程法( v i e m ) 和表面积分方程法( s i e m ) 等。微分方程法与积分方程法相比，各有其 优缺点： 1 前者适应面广，能够求解复杂的边值问题，但是待求未知量多，分布在整 个空间，后者可以处理三维复杂矢量散射问题，未知量少，仅分布在散射体表面或 内部； 2 前者得到稀疏阵，后者得到稠密阵。在处理电大尺寸散射体散射问题时， 后者工作量极大； 3 前者在求解无限区域问题时需要加吸收边界条件，进行网格截断，网格色 散误差大；后者则直接满足辐射条件，网格色散误差小。 随着计算机硬件和软件的飞速发展，计算机内存容量不断增大，计算速度不断 提高，软件功能不断强大，计算方法不断改进，尤其是并行计算的发展，使得大型 数值计算成为可能。另一方面，计算电磁学呈现出空前繁荣的局面，数值计算的效 率和精度得以大幅度的提高。相对于经典电磁学而言，数值方法几乎不再受限于边 界的约束，能解决各种类型的复杂问题，数值计算表现出越来越高的效率和精度。 例如，在积分方程中，用于二维问题使算子矩阵稀疏化的小波变换法与小波包的应 用【4 】；避免算子矩阵直接求逆的各种迭代算法如共扼梯度迭代法( c g m ) 【5 1 ，最小残 差法( q m r ) ，以及加速单站r c s 计算的继承迭代法( i i m ) 【6 1 ，相位修正法【7 】等；适用 于多体散射求解的聚合递推t 矩阵法【8 1 ；改进迭代技术的空域分解法、网络分解法 及矩阵分块法等；在迭代求解中，加速矩阵与矢量相乘计算的各种高效方法，如快 速傅立叶变换法( f f t ) 吲、快速多极子法( f m m ) 【1 0 。1 4 l 、自适应积分法( a i m ) 等；各种 混合方法的应用如体积分方程与表面积分方程混合法( v i e s i e ) ，有限元法与边界积 分方程混合( f e m b i ) ，低频方法与高频方法混合如弹跳射线法与矩量法混合 ( s b r m o m ) 等。总结起来，两个主要的突破体现在：积分方程方法中基于耦合区域 划分的稀疏化技术的发展，如快速多极子方法、自适应积分方法、流基混合法和测 试降阶法等；微分方程方法中有限元、有限差分网格截断技术的发展，如完全匹配 层的提出和应用。这些新方法拓宽了传统方法的求解范畴，使原先不能求解的一些 问题得以解决。 在积分方程方法中，快速多极子方法是近年来最令人瞩目的高效方法，被评为 2 0 世纪1 0 大算法之一f ”】，使矩量法求解大电尺寸复杂目标的电磁散射成为可能。 2 华北电力大学硕士学位论文 快速多极子方法基于矩量法，将计算工作量降至d ( 1 5 ) 级，存储量也降至d ( l 5 ) 级，而快速多极子方法的拓展方法如多层快速多极子方法，则将工作量与存储量均 降至d ( m o 堋级，不仅保证了计算结果的精度，而且大大减少了内存需求，加快了 矩阵与矢量相乘的速度，为电大尺寸散射分析提供了有效的技术途径。本文研究工 作正是在工程应用的强烈需求和国际计算电磁学研究不断进步的背景中展开的 1 2 国内外研究概况 快速多极子方法是美国耶鲁大学vr o l 【h l i n 教授于1 9 8 9 年提出的一种求解积分 方程的快速算法，最初应用于求解静电问题中的泊松方程【1 6 j ，用来分析大量电荷的 静电场和大量天体的引力场。九十年代初，v r o k l l l i n 将其扩展到声波和电磁波散射 问题的求解。其后，n e n 西e 饥，r c o i 缸弛，l r h 锄i l t o n ，c c l u ，s o n gj m 和 w c 西e w ( 周永祖) ，j m j i n 及j l v 0 l a l 【i s 等众多学者就其进行了完善以及推广的研 究，并陆续在快速多极子的基础上开发了多种算法。 最陡下降快速多极子方法( s d f m m ) 【1 8 】：该方法将三维格林函数谱域积分表达式应 用最陡下降法作渐进近似，即可将其表示为若干二维格林函数的迭加。而二维格林函数 则很容易用f m m 计算。 射线传播快速多极子方法( r p f m m y l 9 】：该方法是快速多极子方法的射线传播近 似。在远区组之间的转移因子中，沿组中心连线方向上的角谱分量贡献最大，而远离该 传播方向的角谱分量的贡献可以忽略。利用这个近似从而简化计算。 远场近似快速多极子方法( f a f f a ) 【2 0 l ：快速多极子方法的转移因子计算中应用远 场近似能达到简化计算的目的。当远场组间距离大于某一门值后，转移因子中的特殊函 数即可相应的大宗量渐进表达式来替代。这将大大简化转移因子的计算。此外，聚合过 程宗也应用插值处理和配置过程中的平滑处理也都有助于降低谱空间积分的计算量。 随着未知量的增加和计算规模的不断扩大，传统的快速多极子方法及其扩展方 法则难以满足计算的高效性与实时性的要求。s t a l z e r m a 则是在i n t e l p a r a g o n 上利用 多层快速多极子方法来解决电磁散射问题，i n t e l p a r a g o n 是一种专用性强的m p p 并 行系统，采用网格形拓扑结构，它与当今迅速发展和通用的工作站网络系统的系统 结构与通信特点都不相同。1 9 9 7 年，美国伊利诺伊大学w c c h e w 领导的研究组与 d e m a c o 公司联合推出了基于矩量法的快速多极子方法及多层快速多极子方法的 f i s c 【引1 ( f a s t1 1 l i n o i ss o l v e rc o d e ) 软件。f i s c 采用三角贴片拟合目标，使用r w g 基 函数由m o m 离散待求问题。并由快速多极子算法来加速共轭梯度迭代求解矩阵方 程。快速多极子方法的使用为求解未知量巨大的矩阵方程提供了可行方案，从而使 f i s c 可解决电大尺寸目标的电磁散射问题，并且填补了高频方法和传统低频方法都 不能解决的空白区。另外还有一个改进版本的f i s c ，用来求解长管和进气道这类含 3 华北电力大学硕士学位论文 有内谐振现象的目标的散射。用户可以f i s c 在中自由选择积分方程的类型，e f j e ， m f i e ，c f l e ，以应对不同类型目标的计算。目前，f i s c 已经能够在高性能的工作 站上解决未知量高达八百万量级的电大尺寸目标的电磁散射问题，该软件在s g i p o w e rc h a l l e n g e ( r 8 0 0 0 ) 型工作站上计算具有6 0 2 1 1 2 个未知电流的电大尺寸导体目 标，用七层快速多极子方法计算1 2 0 1 个场点的双站r c s ，迭代归一化剩余误差控 制在0 0 0 l ，共花1 2 个小时，r c s 的均方根误差不大于o 3 d b 。另一个算例则成功 求解了v f y 2 1 8 模型飞机在8 g h z 频率平面波照射下的双站雷达截面积( r c s ) 。 x p a t c h 是美国伊利诺依( 香槟) 的d e m a c o 公司在美国国防部高级研究计划局 成立的电磁代码工作组( e m c c ) 的统筹下，由美国军方资助，与多家军队研究机构合 作开发的。x p a t c h 被广泛应用于r c s 预估。x p a t c h 基于高频( 物理光学，物理绕射 理论与弹射射线方法) 方法，可计算目标全极化r c s 。但x p a t c h 的计算结果精度不 高，射线自动循迹太复杂，尤其在计算含腔目标的r c s 时失效。图1 1 所示为文献 【1 7 】计算了某目标在2 g h z 频率平面波照射的单站水平极化r c s ，将f i s c 与x p a t c h 的计算精度对比结果。从图中可看出，基于多层快速多极子算法的f i s c 计算结果 精度更高，相比较下，基于高频方法的的x p a t c h 存在着理论模型粗糙，数值误差过 大等缺陷。 o b 钾订a j i o n 配；m l t ha 呜k ( d c 窖k c 神 联h n i 嚏| da r 譬kt d 雌晰斟 图卜1f i s c 与x p a t c h 计算精度比较 除此之外，s v v e l 锄p a r a m b i l 与j m s o n g ，w c c h e w 还开发了基于多 层快速多极子方法的并行软件s c a l e m e 。周教授课题组使用s c a l e m e 计算了v f y - 2 1 8 飞机在8 g h z 下的双站r c s ，未知量为1 0 1 8 万。据悉，目前s c a l e m e 计算问题的未知 量已超过2 0 0 0 万，现已成功求解未知量在1 千万量级的电磁散射问题。 在国内，快速多极子方法也引起了不少学者的关注。东南大学毫米波重点实验 室洪伟等主要研究了二维快速多极子法应用于不同柱体的散射、m e i 与快速多极子 法结合；复旦大学波散射和遥感中心金亚秋等主要研究了用二维快速多极子法计算 多个柱体的散射；电子科技大学聂在平，胡俊等人于1 9 9 9 年开发了三维矢量电磁敖 4 华北电力人学硕士学位论文 射分析的快速多极子方法数值程序，在单机( 内存l g b ) 上成功求解了未知量在十万 量级以内的散射问题，并合作开发了基于工作站网络的并行多层快速多极子方法， 进一步提升了快速多极子方法的求解能力。经过优化后的多层快速多极子方法现已 达到d ( m o 堋量级的计算量、伙) 量级的存储量。 尽管快速多极子方法已经能够在单机上成功求解未知量在几十万量级的三维 电大尺寸目标的电磁散射，但不断深入发展的工程应用迫切需要更高效的快速算 法。迭代方法求解矩阵方程，在数学中已经研究了几百年。在已有的数学方法中找 到适用于提高快速多极子方法的迭代求解速度，是众多研究人员的目标。加快迭代 求解速度，可以从两方面着手：1 ，减少迭代的次数，利用良好的矩阵预处理器， 改良矩阵的性态可以大大加快收敛过程，减少迭代次数；2 ，减少每步迭代的计算 时间，在快速多极子方法中，每次迭代过程需要重复计算组间的聚合转移配置，通 过减少计算的冗余，将在一定程度上加快计算速度。因此，如何在快速多极子方法 的框架内进一步降低计算量、提高计算效率就成为现阶段研究工作的重点。基于此， 本文工作主要是研究采用快速多极子方法以实现目标矢量电磁散射的高效求解。 1 3 本文的内容安排 本文重点研究了快速多极子方法求解线导体电磁散射问题的基本理论，并在矩量法 的基础上，系统地阐述了快速多极子方法的数值实现过程。本文各章主要内容如下： 第一章是绪论部分，详细介绍了本文研究工作的课题背景，说明了研究工作的意义， 并简要讨论了快速多极子方法的国内外发展现状以及论文的组织结构。 第二章介绍了用于求解积分方程的矩量法( m o m ) 的关键技术，包括目标的几何建模 方法，基函数、权函数的选择，积分方程的离散以及阻抗矩阵方程的数值求解，最后还 简单介绍了矩阵稀疏化方法。本章内容是快速多极子方法的基础。 第三章是本文的重点，详细研究了加速与矢量相乘的高效方法一快速多极子方法 ( f m m ) 。首先从电场的积分方程出发，着重讨论了该方法的基本原理、数值实现及关键 技术，并给出了实现f m m 的一些技巧。编制快速多极子方法程序，将其应用于求解简 单目标的电磁散射问题，通过与传统矩量法相比较，得到在计算结果准确性与计算所耗 资源上的初步结论。 第四章应用快速多极子方法求解了线导体目标的电磁散射问题，包括无限大空间完 纯导体的电磁散射计算，完纯导体地面上方垂直导体的电磁散射计算两部分内容。最后 通过建立简单模型，对输电线路与杆塔的电磁散射情况进行仿真，并绘出导线表面电流 模值分布图形。 最后是本文的结束语，对本文的工作进行了归纳总结，并对下一步工作进行了展望。 5 华北电力大学硕士学位论文 第二章快速多极子算法的矩量法基础 作为快速多极子方法的基础一一矩量法，具有所用格林函数直接满足辐射条 件，无需设置吸收边界条件，数值精度高等优点，目前为求解积分方程的主要方法 之一。自r o g e r f h a f r i n 醇o n 于1 9 6 8 年提出矩量法以来，该法在复杂几何目标的电 磁散射、天线电流分布求解和微带贴片辐射等许多问题中有着广泛的应用。但是， 传统的矩量法仅限于求解低频区或谐振区目标的散射问题，对于电大尺寸目标的求 解，往往因为需要极大的存储量而不能实现。随着各种快速方法的提出和计算机性 能的飞速提高，以矩量法为基础的一些高效方法如快速多极子方法( f m m ) 已经用于 电大尺寸目标的散射求解。由于本文研究工作的重点快速多极子方法正是建立于矩 量法的基础之上，因而本章对矩量法的基本原理和一些关键技术作详细介绍。 2 1 矩量法原理 矩量法的原理【3 2 2 】是用许多离散的子域来代表整个连续区域。在子域中，未知 函数用带有未知系数的基函数来表示。因此，无限个自由度的问题就被转化成了有 限个自由度的问题，采用点匹配法、线匹配法或伽略金法得到一组代数方程( 即矩阵 方程) ，最后通过求解这一矩阵方程获得解。矩量法是一种严格的数值方法，其精度 主要取决于目标几何建模和正确的基、权函数选择以及阻抗元素计算。 用矩量法求解积分方程包括下列步骤： 1 区域的离散或目标的剖分； 2 基函数和权函数的选择； 3 阻抗元素的求解； 4 方程组的求解。 描述待求解问题的非齐次方程为 ( 厂) = g ( 2 一1 ) 式中己是算子，可以是微分算子或积分算子等，厂为场或响应，g 为源或激励。矩 量法就是将( 2 1 ) 所描述得连续方程离散化为代数方程组，以便用数值来近似解。用矩量 法求解该算子方程的解题步骤为： 1 设空间为线性的，选择一组基函数 z ) ：。在的定义域中展开未知函数，即： ， = q z ( 2 2 ) f = l 式中q 是未知系数，z 被称为展开函数或基函数。对于精确解，式( 2 2 ) 通常都是无 穷项之和。对于近似解，式( 2 2 ) 通常是有限项之和。将式( 2 2 ) 代入式( 2 - 1 ) ，再应用算子 6 华北电力大学硕七学位论文 的线性便可以得到： ，( 咖 2 选择加权函数或检验函数0 ( 若采用迦辽金法则权函数选择与基函数一样) ， 对方程两边求内积得： 艺q ( o ，磁) = ( i ，g ) f ；l 函数内积定义为： ( 既，( x ) ) = p ( x 沙( x ) 出 方程组可以写为矩阵形式： 鸣弘】_ k 式中： 4 f f = 【q 】= 口i 口2 ： 呸 ( f i ，研) ( ，妖) ( 乞，研) ( 乞，职) ( ，研) ( f f ，职) k = ( f 1 ，g ) ( f ：，g ) ( o ，g ) ( 2 - 3 ) ( 2 - 4 ) ( 2 5 ) 3 现在，已经把( 2 1 ) 的连续方程离散成( 2 5 ) 式的代数方程组了。如果1 4 l 有逆矩 阵存在，记为【彳：1j ，则用直接法或迭代法求解这一矩阵方程从而待求系数【qj 可求得： m = 巧i 毋 ( 2 - 6 ) 4 解出口，后，将其代入式( 2 - 2 ) 就可以求得所需要的厂。 然而值得注意的是，以上描述的只是最经典、最一般的矩量法的抽象，其中至式( 2 5 ) 为止是所有矩量法的共同之处。然而( 2 6 ) 式即采用矩阵求逆的方法解代数方程组( 2 5 ) ， 是最早的矩量法中所采用的方法，由于矩阵求逆所固有的困难及可能产生的问题，这种 方法已基本不再采用。 2 2 目标的几何建模 由上面矩量法的一般步骤看到，任何复杂三维形体的散射建模均由对目标的几何建 模和电磁建模所构成。几何建模是用参数曲面或参数单元模拟目标真实曲面或真实区域 的过程。电磁建模则是采用相应的电磁学计算方法求解问题的过程。几何建模是电磁建 7 华北电力大学硕十学位论文 模的基础，一个散射体几何建模的好坏直接影响着散射分析的精度和效率，因此如何精 确地模拟复杂形状导体的表面是解决导体散射问题的前提。 常用的目标表面的拟合方法主要有三种。第一种是细线格模型，最早由r i c l l l i l o n d 应用。其适用于r c s 、辐射方向图求解，不能用于求解近场参量如表面感应电流、输入 阻抗等。第二种方法是平面贴片模拟。如矩形贴片，三角形贴片，多边形贴片。它们可 以模拟简单或复杂的三维形体，但存在不必要的人为离散误差。尤其在近场计算上，误 差较大。为得到更高精度的计算结果，需要增加贴片的数目。第三种方法则是属于高阶 方法的曲面贴片模拟。 2 3 基函数和权函数的选择 在完成目标曲表面的几何建模之后，就需要进行电磁建模。对矩量法而言，电磁建 模就是定义基、权函数，计算阻抗矩阵及求解矩阵方程。选取合适的基函数、权函数是 电磁建模的关键。因为基函数、权函数选取的好坏，直接影响着【2 4 1 ( 1 ) 解的精度；( 2 ) 计 算矩阵元素的难易：( 3 ) 能够反演的矩阵阶数的大小；( 4 ) 良态矩阵的可实现性。 基函数可以分为全域基和子域基，权函数主要有迦辽金和点选配，他们之间的不同 组合形成不同的方法。本节分别讨论了几种不同的基函数和权函数的选择，均有着各自 的优缺点与不同的适用范围。而本文采用的是正弦基函数、迦辽金法。 2 3 1 基函数的选择 基函数厶的选择，在理论上将有无限多组的基函数可供自由选择。但实际上，对某 一特定的边值问题( 对应某种形式的积分方程) ，只有少数基函数是适用的。这些适用的 基函数比其它基函数能得到更快的收敛，这意味着此时只需选择更少的项数，就可以 达到给定的准确度。因此，计算矩阵元素和求逆的时间将大大减少。一般来说，选择基 函数尽量接近辐射体上实际电流分布，且满足边界条件。此时，计算过程收敛较快，且 能使广义阻抗矩阵成为良态矩阵。 基函数的选择又分为两大类，一类为全域基，另一类为子域基。 1 全域基函数 全域基函数是在算子定义域内的全域上存在的一组基函数。它们应该满足边界条 件且彼此线性无关。在矩量法求解的离散化过程中，选择全域基函数作为展开函数，实 际上是将未知函数表示为有全域基存在的若干离散化基函数的线性组合。 常用的全域基函数有： 1 ) 正弦或余弦函数形成的傅立叶级数 ， 厂( z ) = c o s 舷或厂( z ) = s i n 昭 ( 2 - 7 ) 8 华北电力大学硕士学位论文 2 ) 幂级数 3 ) 切比雪夫多项式 4 ) 勒让德多项式 ， 厂( z ) = 印”1 = i ( z ) = 吒e 一( z ) n = l ， 厂( z ) = q 只一。( z ) 月= i o x ( 2 8 ) ( 2 - 9 ) ( 2 - 1 0 ) 图2 1 直线圆柱形天线图2 - 2 弯曲细圆柱天线 对于图2 3 所示的细线天线，考虑到在天线端点z = 三处，有，( ) = o 和对称条件 j ( z ) = ，( 一z ) 。所以在选用三角函数作为基函数时，应选用有偶函数性质的余弦函数作 为全域基函数，其为： 一一 j ( z ) = l c o s ( 2 ，z 一1 ) 等，屯z ( 2 1 1 ) n = i 二厶 可见上式中基函数的每一项都满足端点条件和对称条件。如果选用，、e ( x ) 或 l ( z ) 作为全域基函数，只取以为偶数的项，且z = z ，三。这样选择每一项都满足对称条 件，但不满足端点为零的条件。对于幂级数，如令x = l _ i z i ，则可满足端点条件。 全域基函数是在算子的全域上存在的基函数，如果事先能够了解未知函数的分布 特性，例如已知对称振子的电流分布接近正弦分布，选择符合这种特性的函数作为基函 数，其解的收敛效果是很快的，即只需很少几个展开函数的线性组合便能很好的逼近未 知函数。收敛快是全域基函数的最大优点。它的缺点是，未知函数的特性往往事先并不 了解，或者很难用一个函数在全域上描述它，因此无法选择合适的全域基函数。在通常 9 华北电力大学硕十学位论文 情况下，即使找到了适合的全域基函数，但由于算子本身很复杂，且求内积运算时会使 积分变得更复杂，将显著增加计算量，从而限制了全域基的应用。 2 分域基函数 分域基函数不是在算子定义域的全域上存在的，而仅仅是存于算子定义域的各个 分域上的函数。选择分域基函数作为未知函数的展开函数，在矩量法求解的离散化过程 中是一种区域离散，即未知函数表示为各个分域上存在的函数之线性组合。分域基函数 特别适用于分段处理的边值问题。对于图2 _ 4 所示的弯曲细圆柱天线，可以用条直线 段来近似。在曲线弧长上的积分就可以成为在条直线段出上的积分。设线长为2 三， 均匀分成段，则2 l = 址。分段点的坐标点为五( f = l ，2 ，+ 1 ) ，z 。= 乙+ l 一乙。 在这种情况下，常用的分域基函数表示式有： 1 ) 分段均匀函数( 脉冲函数) z ( z ) ：f ：， lu 篓吃窘 ( 2 1 2 ) 硅乙外 、 7 2 ) 三角波函数 f 吒( 乙+ 。一z ) + 吒+ 。( z z 。) z 在乞内 z ( z ) = 乙 lo ， z 在乙外 3 ) 二次内插函数 北) = r 引z - 乙卜引2 黝 4 ) 正弦插值级数 ( 2 一1 3 ) ( 2 1 4 ) 胙) = r 即姒。屹杼咖“一a 薹荔p 柳 5 ) 分段正弦函数 f z ( 孑) = 【 口。s i n 尼( 乞+ l z ) + 口肘ls i n 尼( z z 。) z 在z 。内 乙 o ， l o z 在z 。夕 、 ( 2 一1 6 ) 华北电力大学硕士学位论文 z dz lz 2z 3 z 4z 5 z 在本文中，求解线天线的波克林顿积分方程( p o d d i i l 舀o n ) ，通过选择分段正弦函数作 为基函数。分段正弦函数如图2 5 所示。 2 3 2 权函数的选择 常用的权函数选择有两种 1 迦辽金法 这种方法是选择权函数与基函数相同，即 = 厶 ( 2 一1 7 ) 这种选择权函数的方法称为迦辽金法。理论上可以证明，这种方法与变分法中利用 瑞利一里兹法的解等价。所以，迦辽金法具有平稳特性。但是，迦辽金法在计算式( 2 5 ) 中个矩阵元素 时，每一个元素都需要完成两个积分，一个是珥的积分， 另一个是 的积分。同时，还要计算 的积分。这些积分在某些问题中计 算是比较费时的。如果权函数采用点匹配法，则可以省略其中一个积分的运算。 2 点匹配法 这种方法是用狄拉克万函数作为权函数，即 = 万( z 一乙) ( 2 1 8 ) 式中z 是从某一参考点算起的距离变量，而乙表示到施加边界条件的那点距离。例 如，通过建立细线天线的波克林顿积分方程 删= 一击 萼字帮响z 归皿7 p 柳 则可表示为 华北电力大学硕七学位论文 ( 艿( z 一乙) ，e ( z ) ) = ( 乙) ( 2 2 0 ) 即表示在z = z 。点上入射场的值。同样，由 u = 一去l 掣搿g o ( z l z ，) k 皿 陋2 t ) 可知，u 也是z 的函数。设为沙( z ) ，则 z 肭= ( 万( z 一乙) ，u ) = y ( 乙) ( 2 2 2 ) 因此，引入艿函数作权函数后，在【以】和 g ，】矩阵中，只有 鸣 矩阵中每一个元素 中的u ，这个积分需要计算。 应用万函数作为权函数，其物理意义是边界条件只是施加在天线表面上的若干离散 点z 。，而不是连续地施加于整个表面，所以使用“点匹配 这个词。经验表明，如果选 择足够数量的点，并在这些点上施加匹配条件，那么就可以得到足够精确的解。显然， 这要以加大矩阵的阶数为代价。因为选取个离散点，就意味着要求阶矩阵的逆 矩阵。解的精确度不仅取决于点的数目，还取决于这些点的位置。一般选用等间距的点 往往能给出良好的结果。这在求远区的散射场或辐射场时尤其正确，因为观察点离辐射 体很远。但是，对计算输入阻抗等与近场数据有关的量，则对匹配点的数目和位置就显 得敏感一些。改进的办法可在电流分布变化较快的地方适当增加点的数目，即缩小点之 间的间距，采用不等间距的匹配点。 表2 1 基函数与权函数的组合 方法 级数中的刀项权函数 迦辽金法q ( z )厶( z ) 全域基点匹配( z )艿( z z 。) 脉冲基点匹配q 匕( z 一乙)万( z z 。) p 分段基点匹配u ( 乙) = 口。尸厶( z )万( z z 。) p = i 表2 1 中列出基函数与权函数的多种常见配合方式，在许多文献中基函数和权函数 的选择由具体问题而刊2 2 1 。例如在研究细导线圆环的散射问题时，环上的电流可用沿圆 1 2 华北电力人学硕七学位论文 环周角正弦变化的函数s i n 妒展开，检验函数选择万函数。对于双线传输线则选择 e x p ( 膨) 为基函数，对于球散射问题可选择s i n 伊罗4 只( c o s 口) 为基函数【2 5 1 。对于导体表 面散射问题文献【2 6 】采用脉冲函数为基函数，万函数为检验函数，对于旋转对称的散射 体文献【2 7 】中采用三角波函数，对于导线结构文献【2 8 】应用分段正弦函数。 以上讨论了基函数和权函数可供选择的一些方案。究竟采用哪种方案最佳，主要根 据对同一问题在获得相同的准确性的前提下，看哪种方案计算所需时间最少而定。而计 算时间主要取决于两个因素，一是得到广义阻抗矩阵【以】中诸元素所需的计算量，即取 决于 的计算。它包括两个积分。如果玩只能用数值积分进行，显然选择基 函数形式越简单越好，例如分段均匀函数等。但是，如果选择某一个基函数，可使城得 到解析表达式，避免了数值积分，当然更为理想。至于权函数的选择，从计算速度上比 较，选择点匹配比迦辽金法好，因为前者不用积分。另一个因素是矩阵【4 ，】的阶数， 因为矩阵阶数越高，则需求2 个z 。的时间越长，更重要的是求逆矩阵所需的时间一般 是按2 增长。阶数在保证一定准确性前提下，主要取决于基函数选择是否与实际电 流分布接近，两者越接近，收敛越快，所需越小。 2 4 离散积分方程 这里以电场积分方程( e f i e ) 为例说明如何将积分方程转化为矩阵方程。e f i e 表达式 威 ，( r ，拶= 筹( ，) 丽p 卜吉v v ， g ( ，= 吉v v 嵩 ( 2 _ 2 3 ) ( 2 - 2 4 ) 是s 上任意的单位切向量，五是激励源。将未知电流用基函数无( ，) 展开， ，( ，) = 吒( r ) ( 2 2 5 ) 再用伽略金方法，即采用权函数与基函数形式一样可以得到下面的线性代数方程组 z m 。口。= 圪， m = l ，2 ， ( 2 - 2 6 ) z m 。= 无z 一古v 厶v z 秽铹 ( 2 - 2 7 ) 圪= 筹l 厶彬c ( ，娜 ( 2 - 2 8 ) 2 5 阻抗矩阵方程的数值求解 通过矩量法把积分方程离散化为阻抗矩阵方程后，面临的问题是如何求解这一 1 3 华北电力大学硕士学位论文 矩阵方程。对阻抗矩阵方程的数值求解有直接法和迭代法之分。直接方法的好处是 对于小阶数矩阵的求解快速准确。但是当矩阵阶数增加时，计算复杂性随阶数的立 方次增加，而好的迭代法的计算复杂度则是矩阵阶数的平方。 2 5 1 直接求解方法 直接方法的理论基础比较成熟。常用的直接法有高斯消元，l u 分解求逆，s v d 分解求逆等等。由于l u 分解所生成的逆矩阵刚好覆盖原矩阵，是种节约内存的 方法，所以l u 分解是最常用的直接求逆方法。s v d 分解求逆主要用于求解矩阵的 广义逆，这适用于病态矩阵或秩小于阶数的矩阵进行求逆。 2 5 2 迭代求解法 当矩阵的阶数很大时，在给定的计算条件下用直接求逆求解矩阵方程将变得十 分费时，所以需要寻找一种不用求逆的矩阵方程求解方案，这就是迭代法【2 9 1 。常用 的迭代法有：雅可比迭代法，高斯一塞德尔迭代法，超松弛迭代法，共轭梯度法及 其改进，双共轭梯度等等【3 0 引】。 1 雅可比迭代法 设要求解的矩阵方程为血= 6 。将矩阵彳作d l u 分解得：彳= d l u 。令 岛= ，一d - 1 彳= d _ ( + u ) ，厂= d - 1 6 。则该迭代法得矩阵形式为： t ：耄初始窟量 ( 2 2 9 ) + 1 ) ：鼠x ( ) + 厂 一 可以看出，该法公式简单易于实现。但在每步迭代过程中是用) 的所有分量 来求解“) ，显然在计算毛o + 1 ) 时，已算出的l x p l ) 蠢。o + 1 没有被利用。 2 高斯一塞德尔迭代法 该法是为了弥补雅可比迭代法的上述缺陷而提出的。其求算公式为： o ) 为初始向量 = * 一芸张”一砉纠) q 。 高斯一塞德尔迭代法的一个明显优点是在计算时，只需一组工作单元，以便存 放近似解。 3 超松弛迭代法( s u c c e s s i v eo v e rr e l a x a t i o nm e t h o d ) 该法简称s o r 迭代法。是高斯一塞德尔迭代法的一种加速方法，可有效求解 大型稀疏矩阵，其具备计算公式简单，程序设计容易，占用计算机内存较小等特点， 但需选择一个好的加速因子( 即松弛因子) 。 1 4 华北电力人学硕十学位论文 4 共轭梯度迭代法( c gm e t h o d ) 五十年代，共轭梯度迭代法由m r h e s t e n e s 和e s t e i f e l 同时提出，并发表于文 章【3 1 1 。这篇文章提出了一种用有限步迭代求解矩阵方程的新颖算法，当时立即引起 了学术界的轰动。这种算法的独特之处在于它不但对于取任何初始值都收敛，而且 在任意条件下收敛于二次泛函的最小值。相比之下，雅可比迭代法以及高斯一塞德 尔迭代法等一般迭代法只能在一定条件下收敛。然而在1 9 5 0 到1 9 7 0 的年代里该方 法一直没得到广泛应用，其原因在于对于小矩阵用高斯消元法比用迭代法快。这是 因为共轭梯度法的收敛步数m 是矩阵的独立特征值，往往对于小矩阵和很多 物理问题有m = 。但对于大型线性优化，空中复杂目标r c s 矩量法求解等问题， 要求解大型方程组。对于这类矩阵其特征值往往膨，使用共轭梯度法求解速度 大大快于高斯消元法。此时，其收敛时间复杂度为d ( 2 ) ，而高斯消元法的则为 d ( 3 ) 。 由于矩量法获得的矩阵中自阻抗元素远大于非自阻抗元素，即矩阵的对角线和 靠近对角线上的元素的贡献是主要的，所以采用共轭梯度法可大大加快该矩阵方程 的迭代求解速度。以下为一种较流行的共轭梯度法算法【3 0 1 ： 第1 步输入彳，6 ，矗； x = b ，= 4 ，岛= ，1 厂，| = 1 第2 步如果尼= 1 ，则p = ，；否则 9 = p k | p k 矗，p = r 七8 p 第3 步w = 和，口= 以一i ，p r w 工= 石+ 印，厂= ，一口w ，级2 ，r ， 第4 步如果么傩( 以) 么曰s ( 岛) 8 ，则输出x ，结束；否则尼= 七十1 ，转至第2 步。 5 双共轭梯度法( b c gm e t h o d ) 观察共轭梯度算法可知，若彳为一非对称正定阵，必须构造正定矩阵彳r 么( 其中 上标f 表示共轭转置) 。与此同时，矩阵的条件数也被平方了，这将降低共轭梯度的 求解效率。虽然现今流行一些预条件算法可以修正共轭梯度法，但效果并不理想。 为了解决这一问题，l a n c z o s 提出了双共轭梯度方法。该法的优越性在于它适用于 任何算符，而不单是哈密顿算符。流行的算法为【3 2 1 ： 第1 步岛= = 6 一彳， 磊= 瓦 第2 步从七= 0 ，1 ，2 ，直到收敛 + l2t + 略以， 气+ i = + 瓴，瓦+ i = 瓦一口。i 么。藏， 1 5 华北电力大学硕士学位论文 见+ 。= 咯+ 。+ 屈以，a + i = 瓦+ i + 。t 元。 其中，嚷= ( 砭，气) ( 厄，锄) ，展= ( 瓦+ ，气+ 。) ，( 瓦，气) ，对于瓦有不同选法，如焉= 彳 或焉= 等。 2 6 矩阵稀疏化方法 如上一小节所述，矩量法分析的到的稠密阵直接用高斯消元法求解，计算量为 d ( 3 ) ，为未知量个数；如果用迭代法求解，计算量则下降为0 ( 2 + 4 ) ，4 ( 0 口 1 ) 为迭代次数：如果在迭代技术中再应用一些高效的数值方法如矩阵稀疏化方法，则计算 量还可进一步降低，同时能够节省计算机存储。这对于大量未知数的电大尺寸目标散射 分析尤为重要。 用于矩量法的稀疏化方