（电工理论与新技术专业论文）连续小波变换的模拟电路实现.pdf

a b c t r a c t s i n c et h ew a v e l e t t r a n s f o r m ( 、t ) a p p e a r i n g i nt h em i d d l eo f 1 9 8 0 s ，i th a sb e e na p p l i e d i nt h ef i e l do fs i g n a l p r o c e s s i n g b u tw t n e e dh e a v yc o m p u t a t i o n sw h i c hw e r ea w a y s c o m p e t e db yc o m p u t e r , i ti si m p o s s i b l et o d e a lw i t hi ti nr e a l - t i m e c o n t i n u o u sw a v e l e t t r a n s f o r m ( c w t ) i st h es t r o n gt o o lt oa n a l y s i st h en o b - s t e a d ys i g n a l s ，a l s oi t sa g o d t h mi s m o r es u i t a b l ef o rd a t ac o m p r e s s i o nt h a nt h a to f d i s c r e t ew a v e l e tt r a n s f o r m ( o w t ) ，t h i s t h e s i s i so r g a n i z e da r o u n dav e r yh e a tl o p i c , i e ，t h ep e r f o r m a n c eo fc w ti m p l e m e m e db ya n a l o g c i r c u i t s t h ep a r a l l e lv e r s u sc a s c a d ea r c h i t e c t u r eh a sb e e nd i s c u s s e d a l s od i s c u s s e dt h e m e t h o d so nh o wt or e a l i z et h ec w tb o t hi nt i m e d o m a i na n df r e q u e n c y - d o m a i na n dh o w t o d e s i g nt h e 瓯一cb a n d p a s sf i b e ru s e di n r e a l i z a t i o no fc w i i no r d e rt oo p t i m i z et h e p e r f o r m a n c eo f 瓯一cf i l t e r , l i n e a r i z a t i o nt e c h n i q u e s b l ei n v e s t i g a t e da n dp r o p o s e d d u et o p r o c e s s v a r i a t i o na n d p a r a s i t i c s , a n a u t o m a t i c t u n i n g i sd e s i g n e d 如rc e n t e rf r e q u e n c y 五a n d q u a l i t yf a c t o rq a l s o ，i nt h i s t h e s i s ，16 一c h a n n e la n a l o g u ec m o sc w t c i r c u i th a sb e e n r e a l i z e d i nt h ef i r s tc h a p t e r , t h es i g n i f i c a n c eo fw t i sg i v e n t h er 曲s o nw h ya n a l o gc i r c u i t si s c h o s e nt op e r f o r mt h ec w ti sa l s od i s c u s s e d s o m ep r o b l e m sn e e d e dt ob ei n v e s t i g a t e da n d b ei n v o l v e da r e p r o p o s e d t h eh i s t o r ya n dc a t e g o r yo fw t i si n t r o d u c e di nc h a p t e r2 ，t h ec h a r a c t e r i s t i c so fw t a n d s o m eb a s i cw a v e l e ta r ea l s og i v e n t h e 廿l e s i si n t r o d u c e st h et e c h n i q u e so nh o w t oc o m p u t e rt h ec w ta n dt h ea r c h i t e c t u r e s o fv l s lw h i c hw e r eu s e dt op e r f o r mt h ec w t i n c h a p t e r3 t h em e l l i nr a p i dc o m p u t e m e t h o di sg i v e n t h ea n a l o go ra n a l o g - d i g i t a lm i x e dv e i s o sd i g i t a lc i r c u i tu s e dt op e r f o r m 、wh a sb e e nd i s c u s s e d a l s od i s c u s s e dt h em e t h o d so nh o wt or e a l i z et h ec w t b o t hi n t i m e d o m a i na n df r e q u e n c y d o m a i n t h ep r o b l e mn e e d e dt ob ei n v e s t i g a t e di sp r o p o s e d a l s ob a n a s sf i l t e ro f w tw e r ed e s i g n e d i nt h ec h a p t e r4 ，t h eb a s i cc o n c e p ta n dc h a r a c t e r i s t i c sa b o u tt h ec u r r e n tm o d e lc i r c u i t a n dt r a n s c o n d u c t o r ( g ) a r eg i v e n i no r d e xt oo p l i m i z et h ep e r f o r m a n c eo fg ，c e l l ，f o u r l i n e a r i z a t i o nt e c h n i q u e sa n dt h ed e s i g no fc o n s e q u e n t l ys u c c e s s f u lc i r c u i t sa r ei n v e s t i g a t e d a n dp r o p o s e d a tl a s t ，t h ef o u r i n e a r i z a t i o nt e c h n i q u e sa r es u m m a r i z e s i nt h ef i f t hc h a p t e r , t h ep e r f o r m a n c eo ft r a n s c o n d u c t o r - c a p a c i t o r ( g 。一c ) c o n t i n b o u s t i m ef i l t e ri sd i s c u s s e d d u et op r o c e s sv a r i a t i o na n dp a r a s i t i c s , a na u t o m a t i ct u n i n gi s d e s i g n e df o rc e n t e rf r e q u e n c y a n dq u a l i t yf a c t o rq a l s o ，i nt h i sc h a p t e r , at w oo r d e r b a n d p a s sf i l t e rw i t h ，0 t u n a b l e i s d e s i g n e d t h e e f f e c t s0 1 1f i l t e r s p e r f o r m a n c e o ft h e n o a - i d c a l i t i e so fac m o so t aa r es t u d i e da n dt h ec o m p u t e rs i m u l a t i o n sa tt h em o s t r a n s i s t o rl e v e la r ec a r f i e do u t t h i st h e s i si n t r o d u c e dt h ep a r a l l e la n dc a s c a d ea r c h i t e c t u r ei nc h a p t e r6 a1 6 - c h a n n e l f i l t e rb a n ki sd e s i g n e d i ta l s op r e s e n tt h er e s u l to ft h i st h e s i sa c c o r d i n gt ot h es o f t w a r eo f m a t l a ba n d p s p i e e c h a p t e r7s u m m a 血e s a l lo p i n i o n sa n dm a i nc o n c l u s i o ni nt h i st h e s i s k e y w o r d s ：c o n t i n u o u s w a v e l e tt r a n s f o r m ( c w t ) g 。一cb a n d p a s s f i l t e r c u r r e n tm o d e lc i r c u i t f r e q u e n c y d o m a i n t e c h n i q u e n l 1 1选题意义 第一章绪论 小波变换方法自从1 9 8 4 年被提出以来口】，在数学，物理和电子工程等领域受 到广泛的重视和应用，它是在傅氏变换的基础上发展起来的，其基本思想是将信 号在小波函数系数拓展成的空间上进行分解，从而得到信号在不同时间频率空 问( 严格的说是时间一尺度空闻) 上的投影，它克服了傅氏变换时域分辨力差的缺 点，在时域和频域同时具有较好的局部化特性，因而特别适合处理时变信号f 2 d j 。 小波变换是目前国际上的最新时间一频率分析工具，由于其“自适应性”和 “数学显微镜性质”而成为许多学科共同关注的焦点。目前，小波变换已广泛用 于语音，图像，通信，雷达，水声。地震，生物医学，机械振动，化工，湍流分 析等领域的研究，是多学科关注的热点，是信号处理的前沿课题。在诸如信号检 测，特征提取，故障诊断与定位，数据压缩，图像处理，语音编码等方面都有应 用报道l ”】。小波变换的应用不但遍布自然科学，应用科学的许多方面，乃至社会 经济领域也见到小波的应用1 1 6 l 。但实时小波变换需要大量运算，需要专用的芯片 来实现。 小波变换方法用集成芯片实现，可以大幅度提高工作速度，这在实际应用中 具有重要的意义，对此方面研究，国外已有报道【4 。5 n q 2 】，国内近几年对此也有研 究1 6 9 ，并提出了相应的具体技术方案。但最早给出小波变换的实现结构是 k n o w l e s 1 0 】，但他所提出的结构里，由于大量使用乘法器来处理中间结果，故不适 合v l s i 结构。后来，l e w i s 和k n o w l e s 1 3 】设计了一个2 dd w t 的结构，它利用 d a u b e c h i e s4 系数滤波器作为小波函数，但它最大的不足是在很大程度上依赖于所 取的小波。最近，p a r h i 和n i s h i t a n i l 1 4 】提出了折叠结构的观点，主要用来计算i - i ) d w t 。 随着小波变换的日益广泛，其硬件实现的研究也越来越受到重视，由文献p l 可知，最早的小波变换芯片是a w a r e 公司的小波变换处理器( w a p ) ，它使用4 系数滤波器，可以计算一维小波变换的前向和后向的变换，它需要大量的用户编 程和外部存储电路的配合，给使用造成不便。a n a l o gd e v i c e s 的a d v 6 0 1 是基于 小波变换的图象压缩芯片，但其内部结构并未公开。 小波变换需要大量的计算，通常由计算机完成，难以实时处理。近年来人们 开始致力于用硬件实现小波变换的研究，但注意力主要集中在离散小波变换( d w t ) 的数字电路实现方面【期。由于连续小波变换( c w t ) 是分析非平稳信号的有力工具， 且其算法在数据压缩等方面的性能优于离散小波变换，故它的应用倍受关注。 用模拟或数模混合电路实现连续小波变换，它相对于用数字电路实现离散小 波变换具有如下明显优势： ( 1 ) 用模拟电路实现连续小波变换不需要m d 和d a 变换，处理速度高。 ( 2 ) 它能避免由于两次变换和数字电路开、关引起的波形畸变。 ( 3 ) 采用模拟方法处理信号的频率范盈宽，可以达到高额领域，而功耗却不因 此而增加。 ( 4 ) 用模拟方法实现的连续小波变换电路便于制成一体化集成芯片。 但用模拟或数模混合电路实现连续小波变换时结构相对复杂些，且模拟电路 的设计相对于数字电路设计而言其难度要大得多，有许多因素要考虑，设计自动 化程度也不高。 目前，连续小波变换的v l s i 实现方法可分为时域法和频域法两类。用时域法 实现连续小波变换的处理速度快，结构相对简单，便于一体化集成，适合要求快 速计算小波系数的场合。频域法实现方案多，比较灵活，能实现的小波函数种类 也比时域法多，但结构比较复杂。特别在高频应用时，连续时间滤波器成为唯一选 择。由于要求滤波器组具有高精度和宽动态范围，片上自动调节电路必不可少， 因而导致电路复杂度增加。但目前对于滤波器的研究相对比较成熟，这使得频域 法更具有实际应用意义。 模拟集成电路设计是随着v l s i 技术的进步以及电子系统集成化的迫切需求 应运而生的，滤波器作为模拟集成电路的单元，其结构生成与设计方法可推广至 大规模模拟集成电路设计。低电压、低功耗c m o s 模拟电路以及电流模式集成电 路因具有诸多的优点，而成为当前v l s i 技术理论工作者和设计工程师的关注热 点。 在模拟集成技术中，电流模式滤波器设计是当今比较流行的课题，其主要原 因是电流模式滤波器作为模拟集成电路中的单元适于超大规模集成技术实现，较 之电压模式电路能获得更好的性能。信号以电流形式进行处理，具有高精度、低 损耗、快速运算等优点，同时也适用工业界提出的电源从5 v 降到3 3 v 的标准。 1 2 连续小波变换的模拟电路实现研究内容 目前，小波变换的硬件实现研究仍处于起步阶段，现有的各种方案都具有很 强的针对性，其具体结构大都受所用小波函数的限制，往往都适用于阶数较低的 2 滤波器和较低的分解系数，且硬件实现只适用于离散小波，有关连续小波变换的 硬件实现尚未有报道。且各种芯片最主要的缺点是速度低而价格也不便宜，即使 采用并行结构，其可提高的速度也有限，不能达到理想要求，且各个芯片间无通 用性。如果能研制一种能实现一般小波的通用类芯片，并具有可调节性和兼容性， 则不但具有广泛的市场前景，在理论上也具有深远影响，而且能进一步丰富小波 变换的内容，使理论与实际能更好的结合起来 目前，国内尚未见到连续小波变换芯片理论和应用方面研究的相关报道，国外 的初步研究表明，该领域的研究具有广泛的应用前景。用模拟电路来实现连续小 波变换在速度，芯片面积，功耗，频率范围等方面都具有优势，且既可用时域法 实现，也可用频域法实现，但结构相对复杂些，特别是频域法中不同中心频率与 带宽的带通滤波器设计是个难点。因此，有关文献也很少。如果设计出结构简单， 形式灵活，芯片面积小，低功耗，低电压快速的实用电路，不但具有好的经济效 益，在理论上也具有深远影响。 无论是时域法还是频域法，目前连续小波变换的v l s i 实现研究都只限于一维 小波。对于二维连续小波变换在图象分析、检测物体的位置、轮廓、形状方面应 用相当广泛。因此，二维连续小波变换的v l s i 实现的研究是该领域一个重要的发 展方向。另一方面，从目前的情况看，讨论得多的还只是专用小波变换处理器， 而适合多种信号处理场合的通用型连续小波变换处理器的研究还没有涉及，这方 面也期待有实质性的进展。鉴于实际工作的需要学者们也相继提出各种新型的母 小波及相关实现方法，这也将是未来该领域研究的一个重要方向。 我们认为，连续小波变换的芯片研究仍有许多的问题需要解决，例如：一方面需 要完善和提高各个模块的性能；另一方面，要将各个模块协同考虑并注意解决各 模块通过衬底的串扰问题；此外，整体设计还需要考虑功耗和可测性；对于高频 应用，还需要考虑噪声问题。 可以预见，随着工艺的不断进步以及各模块新颖电路的出现，连续小波变换 v l s i 实现的理论与应用研究将会受到更为广泛的关注。 1 3 本文的工作安排及主要研究内容 本论文研究了国际前沿领域的热点问题：“连续小波变换的模拟电路实现”。 论文分析了并行结构与串行结构的优缺点，采用并行的1 6 通道带通滤波器组 来实现小波变换的分解和重构。其中重点研究了跨导电容带通滤波器的设计；为 了改善跨导输入级传输特性的线性程度并扩大线性范围，论文结合资料给出了四 3 种方法；为了使滤波器参数自动调整到设计标准值，从而保持其设计值的实现精 度，论文设计了片内自校正( 可调谐) 环节。 本文的绪论：分析了小波变换的意义讨论了用模拟电路实现连续小波的优 势，给出了需要研究、解决的问题。 第二章回顾了小波变换的思想，讨论了小波变换的定义及分类，给出了小波 变换的主要特点及几种常用的基本小波。 第三章研究了连续小波变换的软件实现及电路实现( v l s i ) 结构，给出了梅林 快速计算公式，分析比较了用模拟或数模混合电路实现连续小波变换相对于用数 字电路实现离散小波变换具有的明显优势，也分析比较了时域法与频域法的异同 点，给出了用来实现小波变换的方案和研究内容，并导出了小波变换的带通滤波 公式，设计了基于小波变换的带通滤波器。 第四章讨论了电流模式电路及跨导器的基本概念及性能特点，重点研究并给 出了改善输入级传输特性的线性程度并扩大线性范围的四种方法，介绍在这方面 比较成功的一些电路设计，总结了这四种方法的异同点。 第五章讨论了跨导电容连续时间滤波器的性能特点，设计了一个中心频率可 调的二阶带通滤波器，为了使滤波器参数自动调整到设计标准值，从而保持其设 计值的实现精度，论文给出了片内自校正( 可调谐) 环节。论文也讨论了跨导运算放 大器的非理想特性对电流模式滤波器的性能影响，面向实际电路完成了m o s 管级 的计算机仿真。 第六章介绍了串行和并行的滤波器组结构，给出了论文设计的1 6 通道滤波器 组，并给出了论文用m a t l a b 和p s p i c e 作的相应仿真结果。 结束语给出了论文的结论及展望。 论文的主要创新如下： ( 1 ) 提出了用模拟或数模电路来实现连续小波变换，克服了数字电路实现离散 小波变换具有的明显不足。 ( 2 ) 在离散小波变换的v l s i 实现结构的基础上，讨论并总结了连续小波变换 的时域和频域实现方法。 ( 3 ) 导出了小波变换的带通滤波公式，设计了基于小波变换的带通滤波器，给 出了连续小波变换的软件实现。 ( 4 ) 研究了如何改善跨导输入级传输特性的线性程度并扩大线性范围的四种 方法。 ( 5 ) 为了使滤波器参数自动调整到设计标准值，从而保持其设计值的实现精 4 度，论文给出了片内自校正( 可调谐) 环节。 ( 6 ) 论文给出了用1 6 通道滤波器组实现小波变换的方法。 第二章小波变换的定义及分类 2 1 小波变换的思想 在过去的十年里，数学家和工程师研究并发现了一种他们都能理解的理论工 具，这就是小波分析。由于它的出现，科学家们在信号处理，医学成像和语音合 成等领域取得了新的进展 1 7 2 0 】。同时，对工程技术人员来说，许多深奥、抽象的 数学也变得容易理解了。 小波函数的最主要特性，就是它所具有的时频局部化特性，因为这个特性的 存在，小波被认为是分析数据的强有力的工具，被誉为一种“数学显微镜”，它能 够集中注意数据中令人感兴趣的局部，同时不会看不见分析对象的全局。 在数学上，小波是f o u r i e r 分析理论的一个分支。f o u r i e r 分析是法国数学家 j o s e p hf o u r i e r 在他的热传导解析理论中引入的，它的思想是把复杂现象通过 分解数学上简单的成分来理解，并且取得了极大的成功。其基本思想是将考虑的 函数表示成具有不同频率和振幅的正弦和余弦函数之和的表达形式。而这些熟 知且已有很好理解的三角函数表示是便于理解和分析的，通过综合一个函数的正 弦和余弦分量的信息，这个函数本身的性质就容易得到了。 f o u r i e r 分析是数学上使用最早的理论之一，由于是正、余弦函数都具有周期 性( 事实上这也是他们最主要的性质) ，因此f o u r i e r 分析非常适合于分析周期现象。 尽管如此，这个理论仍有它的缺点和局限性。主要问题是要获得一个函数详细的 信息需要对无限多个f o u r i e r 分量中很大一部分进行考察。比如一个在电流信号上 一个明显的瞬时脉冲，却无法从它对某个分量的影响上分辨出来。最根本的原因 是每个正、余弦波是向两个方向无限展开的：这样一个单独的波就不能确定任何 东西的位置，脉冲越尖，描述它所需要的分量就越多【2 。 小波理论采用了不同的途径。小波分析不用无限展开的正、余弦波，而是首 先选择一个母波，然后对其进行平移和伸缩。而这母波集中在一个有限的区间中， 很多函数都能充当母波，这使得小波理论比f o u r i e r 分析更灵活。小波是通过对母 波的单位步长平移和二迸制伸缩形成的，这样就能象f o u r i e r 分析由正、余弦组合 来表示函数一样，用小波的组合来表示所要分析的函数。 母波集中于一个有限区问，为了分析一个函数中感兴趣的尖峰，通过对小波 的平移和伸缩，可以只考察那些与尖峰交叠的小波。根据小波的时频局部化特性， 6 只要选择那些位移在尖峰处的低尺度的小波即可。 2 2 小波变换的特性 小波分析的出现，为非稳态信号的分析提供了强有力的工具，它即保持了傅 立叶分析原有的优点，又能弥补傅立叶分析没有时域信息的不足，提供了一种新 的时频分析的方法t 2 3 1 。 小渡变换的基本思想与傅立叶变换是相似的，它们都是通过一族函数去表示 一个信号，这一族函数被称为小波函数系，它是通过一个基本小波函数在不同尺 度上进行平移和伸缩构成的。 基本小波的定义很简单，对于一个函数妒( f ) c 工2 僻) 来说，它只要满足以下 几个特性： ( 1 ) 振动性，即i j l ，q ) 毋= 0 ( 2 ) 正则性，即门y ( f _ 2 廊 + m ( 3 ) 能量零均值，即，。l 沙o ) 讲= 0 我们就把矿( ，) 称为基本小波函数，也可称之为母小波( m o t h e r w a v e l e t ) ，引进参数a 和b ，对妒o ) 进行伸缩和平移，就得到小波函数 ；f r 。o ) = j 口r ”y ( ! 二与 其中参数口为尺度因子，b 为平移因子。对于任意一个函数，( f ) 亡r 僻) ，其小波 变换定义如下： w j ( a ，b ) = j y ( t ) w t ( f ) 硪= 其中：+ 一复共轭； 卜一时间； 碍6 一小波函数的伸缩参数和平移参数； 0 0 ) 一小波函数虬。o ) 的复共轭； ，( f ) 一待分析的信号； 一待分析的信号，o ) 与小波函数吵岫a ) 的内积。 小波变换实质上是函数，( x ) 在小波函数族上的分解，如果这一分解还满足下 述可允许性条件的话，矿( r ) 就被称为可允许的小波： 其中：一频率： c j = 1 2 fd 西 o 是尺度因子( - r 程实际中尺度因子口 o l 此定理表明：当信号x ( t ) 作某一倍数伸缩时，其小波变换将在口，t 两轴上作同 一比例的伸缩，但是不发生失真变形。这是使小波变换成为“数学显微镜”的重要 依据。 ( 4 ) 交叉项的性质 由于c w t 是线性变换，满足叠加性。因此不存在交叉 项。但是由它引申出的能量分布函数l 暇rt ) l 却仍有交叉项表现。 ( 5 ) 小波变换的内积定理也叫m o y a l 定理。 2 4 离散小波变换 由连续小波变换的定义可知，一维信号x o ) 作小波变换成为二维的w t , ( a ，f ) 后 信息是有冗余的。因此从压缩数据及节约计算的角度上看，我们希望能在一些离 散的尺度和位移下计算小波变换，而不致丢失信息。本节讨论为达此目的离散栅 格的取法。 先讨论尺度的离散化。目前通行的办法是对尺度按幂级数作离散化。即令口取 a 。钆d ? 峨z ，口；，此时的小波函数是口。南k 一，o 一) 1 ，j = o 12 。 再看位移的离散化。当口= g t o = 1 时( 也就是j = o 时) ，f 可以菜一基本间隔f 0 作均匀采样。应适当选择使信息仍能覆盖全f 轴而不丢失( 例如不低于n y q u i s t 采样率) 。在其余各尺度下由于矿l 啄，】的宽度是妒( f ) 的口j 倍( 相当于其频率降 低了倍) ，因此采样间隔可以扩大倍。也就是说，在某一j 值下沿f 轴以a j 为间隔作均匀采样仍可保证信息不丢失。这样。o ) 就被改成： f， a o i 和一o 一硎f o ) = c i o j c ，【1 t 一_ j 如】记作y d “( 力 在这些点上计算得的w t 记作： 暇( 口i ，k t 。) = j 工o ) 矿, t 。r o ( t ) d t ，j = o ，l ，2 ，kc z ( 2 3 ) 文献上常称( 2 3 ) 式为“离散小波变换”( d i s c r e t ew a v e l e tt r a n s f o r m ，d w t ) 。其实 这时待分析信号硝f ) 和分析小波矿打。( ，) 中的时间变量，并没有被离散化。实际工 作中最常见的情况是取二进离散小波，即取口0 = 2 。 2 5 几种常用的基本小波 小波的种类很多，常用的大致有如下几种，这里只做简略介绍。 图2 2 几种常用基本小波 1 1 h a a r 小波：它是小波分析中最早用到的一个具有紧支撑的正交小波，同时也 是计算最简单的一个小波。 m e x i h a t 小波( 墨西哥草帽小波) ：它是高斯函数的二阶导数( 但是差负号) 。 m o d e t 小渡： 它是高斯包络下的单频率复正弦函数，见图2 2 d 0 0 ( d i f f e r e n c eo f g a u s s i a n ) 小波：它是两个尺度差一倍的高斯函数之差。 在本论文中，我们采用d a u b o c h i o s ( d b n ) 小波。 d a u b e c h i e s 函数是由世界著名的小波分析学者i n r i dd a u b e o h i e s 构造的小波 函数，除了d b l ( 1 l ph a r r 小波) 外，其它小波没有明确的表达式，但转换函数h 的平 方模是报明确的。d a u b e c h i e s 小波函数提供了比h a a r 函数更有效的分析和综合。 d a u b e c h i e s 系中的小波基记为d b n ，n 为序号，且n = i ，2 ，l o 。 2 6 实例 这里利用d b 3 小波提取给定信号中某一频率区间的信号( 用m a t l a b 实现) 。 假设有一个正弦叠加信号为： s = s i n ( 功+ s i n ( 1 0 x ) + s i n ( 1 0 0 x ) xe 【o ，6 石】 则我们可以利用小波变换将合成信号中的单纯正弦信号的频率提取出来，见图 2 3 。因为在小波分解下，不同的尺度具有不同的时间和频率分解率，因而小波分 解能将信号的不同频率成分分开。原理如下： 在小波分解中，若将信号中的最高频率成分看作是l ，则各层小波分解便是带 通或低通滤波器，且各层所占的具体频带为： a l ：0 0 5d l ：0 5 一l a 2 ：0 0 2 5d 2 ：0 2 5 0 5 a 3 ：0 0 1 2 5d 3 ：0 1 2 5 0 2 5 a 4 ：0 0 0 6 2 5d 4 ：0 0 6 2 5 0 1 2 5 a 5 ：0 0 0 3 1 2 5 d 5 - 00 3 】2 5 0 0 6 2 5 依此类推，可以分解到想要的精度。其中：a n 相当于低通滤波器，d n 相当 于带通滤波器。 ， 该信号的频率在小波分解下的相对频率分别为：高频正弦( 1 ) 、中频正弦( o 1 ) 、 低频正弦( o 0 1 ) 。由信号频率的组成部分和小波下各层频率的分布可知，高频正弦 定位于d 1 层( 我们可以从放大后的d l 层图清楚的看到) ，d 4 层包含中频层的正弦 信号，低频正弦信号可以在a 5 层看到，若进行下一步的分解，则可以清楚的看到， 低频信号出现在d 8 层。 图2 3 信号各频率分开图 第三章连续小波变换的软件实现及电路实现( v l s i ) 结构 3 1连续小波变换的计算机实现 要实现啊“f ) 定义中的内积，除少数情况可作解析计算外，大多数情况只 能通过计算机作近似处理。最简单的数值积分方法就是矩形法f ”1 ，也就是按照数 值处理的习惯将式( 2 2 ) 按f _ 行，妒斗船：关系变成： 巩似蝎) = 笔妣) 烨 v 口_ “ 式中r = z 是采样间隔。 或筒记： w t ( a , k ) = 等；砌珈( 争( 3 - 1 )、，口 口 对每个给定口值，依次求不同七值下式( 3 1 ) 的乘积和，便得到该a 值下一组 w t 系数。当然，计算时a 也必须离散取值。 为了使数值积分更精确，也有人采用梯形法作近似数值积分。其计算公式如 下： w t x ( a , k ) 2 等驴矿审+ 砌哪( 型】( 3 - 2 ) 应用小波变换作分析的步骤一般是按式( 3 1 ) 或式( 3 2 ) 计算出每一尺度下的 w t x ( a , j 】 ) ，然后把结果图示出来。分析表明：从频域上看，用不同a 值作处理相当 于用不同中心频率但恒q 的带通滤波器作处理，从时域上看表现的则是信号各局 部时段的处理结果。两者结合起来，它有可能在某尺度下在一定范围内把信号 特征加以突出。 3 1 1 利用梅林变换( 1 v l e l l i nt r a n s f o r m ) 进行快速计算 2 5 1 上面的算法是在固定的尺度下一次计算出一组。不同时刻r = k r , 的 ( ，后) 示意如图3 1 上的“其它算法”。而基于梅林变换的c w t 的快速算法， 其特点是能够一次算出某一固定时刻f o 下一组不同尺度下的观( 口= g ”，r o ) q 是 某一时间常数，聍= 0 , 1 , 2 ，】，图31 上的“梅林算法”是其示意。当利用小波变 换来分析中持续时间较短的瞬态或信号在某些奇异点( s i n g u l a rp o i n t ) ，如过零、 极值、转折等附近的特性时，这一点是有利的。因为这时往往需要在一段较短的 1 4 时问内，通过比较咒在多个尺度下的表现来表征此瞬态或奇异点的特性。 f n 梅林变换的定义 信号s ( f ) 的梅林变换定义是： m ( = ) 5 上s ( o t 。d t 式中三是复数变量。若：为纯虚数= = ，2 矽，户e r 。此时式( 3 3 ) 蜕变成： = f j ( f ) f 脚。d t 记作m l i s q ) 其反变换是： s = t p 妒部 固定 尺度 固定 时刻 它 法 口 图3 1m e l l i n 特点算法示意 ( 3 3 ) ( 3 - 5 ) ( 2 ) 公式的推导利用梅林变换计算小波变换的根据如下： 设x ( f ) ，y o ) 都是因果性的( f l g 。时，非线性项趋于零。 即获得了一个非常线性化的g 。但这是以更大的功耗为代价的。假设在乳下降 1 0 的情况下，q 允许的变动范围为1 ，则r 的大小约为9 1 9 。，此时g 。= o 1 。 也就是说，为了获得同样的跨导，该方法将消耗1 0 倍的功耗。同理，噪声也将消 耗1 0 倍的功耗。采用该方法的优点是简单、反应快速。 图4 2 ( b ) 是对图4 2 ( a ) 的改进1 3 ”。衰减电阻将随输入信号的振幅而动态的改 变。当输入信号的振幅上升时，总电阻将减小。这使得更少的衰减和差分对更多 的g 。来补偿g 。的下降，近似表达式为： g 。垡垦坠! 二塑0 - 7 ) 一 k 、+ a ?。 晶的上升将补偿表达式( 4 - 4 ) 中g 。的下降。然而，这种补偿并不是是可调的，因而 只适合在g 。的容差范围很大的场合。 采用4 2 ) 方法尽管有所进步，可在线性范围内会出现一些小波纹阅。为了 消除这些波纹，我们采用图4 2 ( c ) t 3 6 】的方法。它在图4 2 ( a ) 的基础上增加了一个 附加的反馈电路，在一定范围的输入信号内，该反馈电路能使通过衰减电阻的电 压保持常数不变。 以一 以提供电平移动0 e v