（计算数学专业论文）余秩是2余维数为6的c∞实函数芽的分类.pdf

摘要 c 。实函数芽的分类是奇点理论的核心问题r t h o m 对于余维数 不超过5 的c 。实函数芽已给出了具体的分类，文 6 对余秩不等于2 余维数为7 的可微函数芽的分类，是对更高余维的c 。实函数芽的一 个有益且有趣的探索和尝试文 6 中的研究结果表明：余秩不等于2 余维数为7 的可微函数芽的分类最终归结到一个变元的函数芽的分 类，本质上，这是r t h o m 分类的结果 本文的目的在于研究余秩是2 、余维数为6 的c ”实函数芽的分类 问题借助于分裂引理，将余秩等于2 余维数为6 的刀个变元的函数 芽厂( z ) 的分类转化为对两个变元且余维数为6 的函数芽的分类并且 利用n a k a y a m a 引理，有限决定性定理及有关的结论，我们提出并证 明了余秩是2 、余维数为6 的c 。实函数芽的标准形，这是r t h o m 分 类的一个重要补充和进展，其最终的分类定理为： 定理a 设g ( x ，y ) m 3 ( 2 ) 且在臣中的余维数为6 则g ( 工，y ) 右等价 于以下芽之一： ( i ) z 3 + j ，4 ( i i )石3 一y 4 ( i i i ) 石2 y + y 5 ( i v ) z 2 y 一少5 由此我们得到e 中余秩是2 、余维为6 的函数芽的分类如下： 定理b 设厂( 工) e ，且厂在色中的余维数为6 ，余秩为2 则厂右 等价于以下芽之一： n 一2 乞# + 工二， 一2 乞# + 支三矗 f = i 其中毛= 1 ，“ 依赖于毛的符号 关键词：c 。实函数芽的分类，余秩2 ，余维6 m r ( 2 0 0 0 ) 主题分类：5 8 c 2 7 中图分类号：0 1 8 6 3 3 a b s t r a c t c l a s s i f i c a t i o no fg e n n so fc 。r e a l 如n c t i o n si sa ni n l p o r t a n ti s s u eo f t h es i n g u l a r i t ym e o t h ec l a s s i f i c a t i o no fc 。r e a l 向n c t i o ng e m sw h o s e c o d i m e n s i o nl e s st h a no re q u a lt of i v eh a db e e nd o n eb yr t h o m i i l 6 】， c l a s s i f i c a t i o no fc 。f u n c t i o ng e m sf o rc o r a n k 华2a n dc o d i m 仁7i sa n b e n e f i c i a la r l di n t e r e s t i n ge x p l o r a t i o na n da t t e m p tf o rc 。凡n c t i o ng e m s i nh i g h e rc o d i m e n s i o n t h er e s e a r c ho f 6 s h o w st h a tc l a s s i 丘c a t i o no f c 。如n c t i o n g 锄s f o r c o r a n k 辟2 a 1 1 dc o d i m f = 7i sr e s u l t e di n c l a s s i 6 c a t i o no fg e r m si no n ev a r i a b l ew i t hc o d i m e n s i o n7 i ne s s e n c e ， t h i si sar e s u l to ft h o m sc l a s s i f i c a t i o n t h ea i mo ft h i st h e s i si st os t u d yt h ec l a s s i f i c a t i o np r o b l e mo f c 。r e a l 向n c t i o ng e n i l sw i t h c o r a i 墩2m l dc o d i m e n s i o n6 t h ed a s s i f i c a t i 6 n o fc 。r e a l 如n c t i o ng e 加1 sw i t hc o r a n k2a j l dc o d i m e n s i o n6i new i l l b ec o i e r t e di i l t ot h ec l a s s i f i c a t i o no fg e m so fc o d i m e n s i o n6i nt w o v 撕a b l e sb yu s i n gs p l i t t i n gl e m m a a n dt h e n ，w ep r o p o s ea n dp r o v et h e n o m a lf o m sf o rc 。r e a lm n c t i o ng e n n sw i t hc o r a n k2a n dc o d i m e n s i o n 6b ym e a n so fn a k a y a m al e m m aa n df i n i t ed e t e m 缸n e dt h e o r e ma sw e na s t h er e l a t i o n a lc o n c l u s i o n s ，w h i c hi sa ni i n p o n a n tc o m p l e m e n t a r i t ya n d a d v a n c eo fr t h o m sc l a s s i f i c a t i o n t h er e s u l t sa r ea sf o l l o w s t h e o r e ma ：l e tg ( 五y ) m 3 ( 2 ) b eo fc o d i m e n s i o n6i n 易，t h e n g ( 工，y ) i si s o m o 印h i ct oo n e ( a n do n l yo n e ) o ft h ef o l l o w i n gg e m s ： ( i ) ，+ y 4 ( i i ) ，7 4 ( i i i ) x 2 j ，+ y 5 ( i v ) 工2 y y 5 s ow e g e tt h ec l a s s i f i c a t i o no fc 。r e a l 如n c t i o ng e m s w i t hc o r a n k2 a n dc o d i m e n s i o n6a sf o u o w s ： t h e o r e mb ：l e t 厂( 工) eb eo f c o d i m e n s i o n6a n dc o 啪k2i n e ， t h e n 厂( x ) i si s o m o 印h i ct oo n e ( a n do n l yo n e ) o f t h ef 0 1 l o w sg e m s ： 一2 群+ 工毛， h l 矗 + #毛 心川 1 1 7 l m e r e s = l ，“”d e p e n do nt h es i g no f c o e 伍c i e n to f 毛 k e yw o r d s ：c l a s s i f i c a t i o no fc 。r e a l 如n c t i o ng e r m s ，c o r a n k2 ， c o d i l n e n s i o n6 。 m r ( 2 0 0 0 ) s u b j e c tc l a s s m c a t i o n ：5 8 c 2 7 c h i 珏e s el i b 萋- 建差了c l 嚣s s i 嚣c 凌畦。纛：ol8 6 3 3 l v 学位论文原剑性声明和关于学位论文使用授权的声稿 原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独立进行研究 所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或集 体已经发表或撰写过的科研成果。对本文的研究做琏j 重要贡献的个人或集体，均 已在文中戳弱确方式标瞬。本入完全意识到本声明的法律责任崮本入承担。 论文作者签名：石函獠 2 移0 8 年参月黝只 关于学位论文使用授权的声明 本入完全了解贵髑簿范大学有关保留、使用学链论文豹蔑庭，丽意学校保留 或南毽家有关部门或机构送交论文的复印释和电子版，允许论文被查阅和借阕； 本人授权贵州颊范大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库遴 行检索，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文和汇编学位论文。 ( 保密论文在解密后应遵守此规定) 论文作者签名：乃昌构 导师签名： 劫酷年芗胄劢同 第一章引言 1 1 本学科的历史背景及研究动态 奇点理论是现代数学一个新的分支，它是在分析、微分拓扑、微分几何、交 换代数、李群及微分方程等数学学科交汇处的一门新兴学科，并在应用数学、动 力系统、几何光学与生物学等诸多学科中有着广泛的应用 奇点理论是对映射在奇点附近的情形进行研究，根据映射的不同性质和特 征，在各种等价条件下研究它们的分类问题并给出具体的标准形奇点理论早期 的工作有：2 0 世纪3 0 年代h m m o r s e 的临界点理论，4 0 年代h w 1 1 i t i l e y 的与微 分流形嵌入、浸入有关的奇点工作，以及l p o r l 仃y a 百n 与h w h i 缸l e y 研究的与示 性类有关的工作，这一时期是奇点理论的萌芽时期1 9 5 5 年h w l l i t n e y 发表了平 面映入到平面内的映射的奇点，将平面到平面的有奇点的映射分为折叠( 向l d ) 和尖点( c u s p ) 两种类型，h w k 廿l c y 还证明了一曲面到平面的光滑映射中出现 的每一个奇异性，在适当的小扰动后，它们可分裂成f o l d 和邮p ，这奠定了一 门新的数学理论光滑映射的奇异性理论的基础，它标志着奇点理论作为一门 独立的数学分支登上了数学的舞台1 9 6 4 年前后r t h o m 更进一步把奇点理论中 的方法与结果纳入一个更为概括的理论框架中，进一步发展了h w 1 1 i t n e y 的工作 随后出现了像j n m a t l l 瓯v = i a m o l d 等人的一系列重大成果，他们的工作迅速地 推动了有关工作的进展，最终形成了今天称之为“奇点理论( s i l l g u l a r i t ym e o d r ) 的数学分支 1 2 问题的引入 映射芽和函数芽的分类是奇点理论的核心问题，函数芽作为映射芽的基础部 分，其分类问题也是难以解决的事实上，要想对所有的函数芽都完成分类并给 出某种标准形却是不可能的，因此人们就试图对某一部分函数芽来进行分类，如 有限余维的函数芽因为，1 个变元的函数芽厂( 石) 是有限余维的，等价于存在一个 整数七使得 肌七一1 ( 胛) c ，( 厂) 于是得，肌( ，z ) c ，z ( ，1 ) - 厂( 厂) 根据j n m a t h e r 的有限决定性定理，上述代数条 件可推出函数芽厂( x ) 是有限七一决定的反之，若函数芽厂( x ) 是有限足一决定的， 则聊0 ) c 聊( 刀) ，( 厂) 所以，一个函数芽是有限余维的等价于该函数芽是有限 决定的而且如果芽厂( x 1 是有限七一决定的，可推出厂( 工) 右等价于它在o 尺”点 处的七一阶t a y l o r 多项式，故有限余维函数芽右等价于一个多项式而在研究有关 问题时，若将光滑函数芽用它们某一阶的t a y l o r 多项式来代替，便将无穷维问题 简化为有限维来处理，将一般的函数简化为多项式来处理，这是奇点理论研究中 的一种重要手段因此，有限余维函数芽的分类研究显得尤为重要 c ”实函数芽在低余维下的分类闯题，最经典的结果是：r 。弧o m 对于余维数 不超过5 的c ”实函数芽的分类，它是突变论的七种初等突变模型，也是突变理 论的基石，是奇点理论在2 0 世纪? 0 年代最重要的成果之一爻。弧l 淞分类定理 具体如下： ( 1 ) 余秩是l 的函数芽的分类 定理1 1 设( x ) 绞，且( 工) 在最中的余维数，2 ，余秩为1 则，o ) 右等价于以下芽之一： 蠢一| 岛# + 州，毋= l ，若，是偶数 f = l 玎一l 日砰，岛= l ，若，是奇数 f 霉l ( 2 ) 余秩是2 余维数为4 和5 的函数芽的分类 定理1 2 设厂( 石) e ( 万 2 ) ，且( 石) 在e 中的余维数为4 ，余秩是2 则 ( 工) 右等价于以下芽之一： 月一2 毫# + 一；一；，奠= 1 定理l 。3 设，善) 毛嚣 2 ) ，且在e 中的余维数为5 ，余秩是2 。则，右 等价予以下芽之一： 封一2 岛彳+ 。，旆= 1 f 群l 继r t h o m 的七种初等突变模型后，v i a m o l d 对很多较高余维的全纯函数 芽俸出了具体的分类，僵全纯函数芽与c 。实醒数芽的分类在本质上有着相当大 的区别，研究难度也不尽完全相同此外，文 6 对余秩不等于2 余维为7 的可微 函数芽的分类进行了有益且有趣的探索和尝试。由予讨论的函数芽余秩不等于 2 ，故该文仅探讨余秩分别为l 和3 、余维数为7 的分类问题文 6 中讨论的结 果表明：不存在余秩等于3 余维数为7 的函数芽因此，对余秩不等于2 余维为 ? 的函数芽的分类实质上是对余秩等于l 余维为7 的溺数芽的分类，郄关于一个 变元的函数芽的分类问题，而这是r t h o m 分类定理的结果，即前面所述的定理 1 堇( 当，= 7 时) 本论文将在r 弧o m 分类理论的基础上，进一步拓展到对余秩等于2 、余维 数为6 的c 。实函数芽的分类，探索余秩是2 、余维数为6 的c 。实函数芽的分类 2 情况，并将得到余秩是2 、余维数为6 的c 。实函数芽的标准形，发展了r 。n 1 0 m 的分类 本文分失四个部分：第一部分主要介缓本学科的历史和本文所磷究问题的弓l 入；第二部分介绍论文中所需的相关数学符号和基本概念；第三部分是预备知识， 包括一些基本定理和两个新的命题( 命题2 和命题3 ) ；第四部分是论文的核心 部分，首先利用分裂引理及命题l ，将余秩等予2 余维数为6 的嚣个变元的函数 芽厂( 蔗) 的分类转化为对两个变元且余维数为6 的函数芽的分类继而利用 n 呔a y 擞a 弓l 理，有限决定性定理及有关赡结论，我们提出并证骧了余秩是2 、 余维数为6 的r 实函数芽的标准形，这部分相关的定理和结果都是新的 3 第二章数学符号和基本概念 这一部分主要介绍在后面讨论中所涉及到的一些数学符号和基本概念 定义1( 函数等价) 设厂：u r 和g ：矿一尺是两个c 。函数，其中u ，y 是 o 足”的邻域函数厂与g 是等价的是指存在o 掣的某个邻域wcu ny ，使得 厂l 。= g i ， 在上述等价关系下，一个类元素称为一个c 。函数芽函数芽的概念突出了函 数在一点的局部性态 记e = 厂：( 足“，o ) 斗灭f 肭c ”函数芽 e 中的加法，数乘和乘法为：设厂，g e ，规定( i ) 厂+ g = 厂+ g ( i i ) v e ，七k ( 数域) ( 特别地k = 尺) ，七= 矿( i i i ) 厂- g = 厂g 在所规定的加法和数乘下，e 是一个实向量空间；在所规定的加法和乘法 下，e 是一个具有幺元的局部交换环 记历( 疗) = e i 厂( o ) = o 表示e 中唯一的极大理想，它由坐标函数五，而， ，在巨中有限生成，即_ ，z 研) = “，屯，) e 所。( ，z ) = 厂己j 厂( o ) 及其所有( 七一1 ) 阶偏导数在原点的值全为零) 由文 1 9 p 2 的命题知：，1 ( 以) = ( 玎) ，其中( ，1 ) 是由所有形如x ? 鸢鸢的单项 式有限生成，岛为非负整数且岛= 七 ，= i 定义2 若厂( z ) e ，记广厂( x ) 表示厂( x ) 在o 尺”的七一阶t a y l o r 多项式 定义3 ( 有限生成的理想) 设彳，以，z e ，由形如z ( 其中q 乞) f = l 的全体构成的集合，按e 中规定的加法和乘法构成e 的一个理想，此理想称为 e 中由z ，五，f 有限生成的理想，记为，= ( 石，五，) e 定义4 ( 有限余维理想) 设i 是e 的一个有限生成理想，若存在一个有限 维的向量子空间矿ce 使得：，+ y = e ，则称理想i 在e 中是有限余维的 定义5 ( 有限余维函数芽) 设( 石) e ，若厂的j a c o b i 理想 ，( ) ：f 要，誓i 在e 中是有限余维的，则称芽厂是有限余维的芽，且厂在 4 e 中的余维数即是，( ) 在e 中的余维，其余维数用c d d i m 厂表示 定义6( 余秩) 设芽厂e ，厂在o r “的二阶h e s s i a i l 矩阵的秩为，令 p = 万一，则称p 为厂的余秩，用符号c 0 r a i l l ( 厂表示厂的余秩，即c o r a n k 厂= p 定义7 用厶表示( r ”，o ) 一( 彤，o ) 的局部微分同胚群v 矽厶具有以下形 式： 巨 工“ x + 其中彳是实数域上的非奇异矩阵， 定义8 ( 右等价) 设厂，g e ， g = 。矽则称芽与g 是右等价的 = a x + x = ( 五，吒) r ，所2 ( 刀) 如果存在一个局部微分同胚厶，使得 定义9 ( 七一决定的芽) 设( x ) e ，若对每一满足- ，厂= 。g 的芽g e ， 有g 右等价于厂，则称芽是七一决定的，其中j | 是某个自然数 特别地，如果厂是有限七一决定的，则厂右等价于_ ，厂 定义1 0 ( 轨道) 若芽厂与g 是右等价的，则称芽厂与g 处于同一轨道 5 k k k，：-，咆，。 i i 第三章预备知识 在这一部分，我们首先阐述一些相关的已知定理和结论，进而得到三个对分 类研究有用的命题。 预备知识王( 分裂引理) 设( 茗) 蛾且，在最巾的余维数c o d i m ，2 ，若 c o m n k 厂= 刀一，- ，则( 石) 右等价于以下形式的芽： 岛# 十g ( + ，) ( 3 1 ) f 燃i 其中毛= 1 ，g m 3 ( p ) ，p = ，l 一，- 预备知识2 ( n a k a y 锄a 引理) 设，c e 是一个理想，则以下条件是等价的； ( 1 ) 嬲( 嚣) c z ( 2 ) 聊( 拧) cz + 聊七+ 1 ( ，1 ) 同时此定理有以下推论： 推论l 设，ce 是一个理想，则以下条件是等价的： ( 1 ) f 是e 的个有限余维理想 ( 2 ) 存在一个整数是使得嬲。矩) cz 预备知识3 ( j n m a t h 有限决定性定理) 设厂( x ) 巨且存在非负整数尼使 ! 譬 柳2 ( 一) c 聊( 以) ，( 厂) 刘芽，是惫一决定的反之，若芽，燕竞一决定的，则掰如伽) c 坂栉 ，( ) 由此可知，若芽( x ) 毯最是有限余维的，即其j a c o b i 理想j ( 厂) 是有限余维 的由推论l 知，存在一个整数后使得 辨扣1 摊) c 歹，) 于是有， 朋( 玎) c ，l ( 以) - j ( ) 由预备知识3 知，芽是囊一决定的。所以，若，是有限余维的芽，则一定 是有限决定的芽又由有限定一决定的定义( 定义9 ) 得，右等价于广厂( 某个 正整数彪) 因此，个有限余维的芽必右等价子它的某一阶的t a y l o r 多项式 预备知识4 设? c 最是一个有限余维理想，考虑以下理想套序列： e 言m ( 忍) + ，寻删2 ( 甩) + ，寻乏加( 一) + ，寻m “1 ( 以) + ，乏 其中q ( 露o ) 是指m “1 ( 拧) + j 在m ( ，z ) + j 中的余维数则 ( 1 ) d i 撒 ( 耀。( 露) + j ) ( 掇“1 投) + j 翘= 蠢m 露( 心群) ，其中t = 广j ) ， 群是拜元老次齐次多项式构成的实向量空间 6 ( 2 ) c d d i m ，= c f f = o 预备知识5 设厂( x ) e 且d i m 厂6 ，则c d r 口，z 矿2 预备知识6 设厂( z ) 晟在o 月“点是奇异的( ( 石) 朋2 0 ) ) 且是有限 余维的，则d i l l l m ( ，1 ) ，( 厂) = c d d i m ( 厂) + 刀 预备知识7 对于任意给定的厶，映射 ：e 专e h o 夺 则矽是e 的一个自同构 而且，对于任意的非负整数七有，( 聊( 刀) ) = 聊( 阼) 预备知识8 设厂( 工) e ，矽厶，则，( 厂) = 矽( ( 厂) ) 预备知识9 设，c 巨，是一个理想， ，4 巨。y ，则以下条件等价： ( 1 ) 厶+ 月 丑o ，4 。 = 巨 ( 2 ) ，+ 0 巨，y + 尺 ，乃) = e ( 3 ) ，+ e 五，乃) = e 其中厶= jj ，= 。，呜是髟的极大理想， 厶= 以( z ，y ) j ，：。，( 江1 ，2 ，) 这是m a l 伊a 1 1 9 e 预备定理的一个特殊形式 预备知识1 0 设，c e 是一个有限生成的理想，即，= ( z ，厶) 日 ( 1 ) 若呜( f _ 1 ，2 ，研) 是e 的可逆元，则，= ( 石，厶) 毛= ( 盔石，k 厶) 丘 ( 2 ) 若v 口色，则，= ( 石，厶) = ( 石，奶+ z ，厶) e 预备知识1 1 若厶，厶是e 的两个有限生成的理想，且生成元分别是 舅，见和g i ，一，g ，则 + 厶生成元是a ，a ，吼，研 厶厶的生成元是集合 b g ，：江1 ，后；= 1 ， 中的所有元素 利用以上部分预备知识，我们将得到如下结论，而且这些结论对于后面进行 的分类工作有很大的帮助 命题1 在分裂引理的( 3 1 ) 式中，如果g ( h l 一，) 右等价于g ( h i ，一，) ( 在e 。中) ，则厂( 石) 右等价于芽 7 ，茗) = 薯# g l ，一，羲) k l 涯踞：显然。( 略) 在文 1 9 中曾指出：若( x ) e 具有形式( 3 1 ) ，则，( 工) 在e 中的余维数 等于g ( h i ，一，毛) 在鬈( p = 嚣一r ) 中的余维数但文 1 9 并未给毒相关的证明，下 面作为m a l 斟a n g e 预备定理的一个应用，我们将给出这一结论的证明 命题2 设厂( x ) e 具有形式( 3 1 ) ，则厂( x ) 在e 中的余维数等于 g ( 巾，) 在乞中的余维数，即d i m ( e ，( 厂) ) = d i m ( ，( g ) ) ，其中“d i m 表示维数。 证明：因，( z ) ：主墨# + g ( 薯彬，魏) ，则 ，( 石) k 呵娟= g ( ，致) 廿鲰 告 厶。 凼为毛= l ，则2 岛( f = l ，2 ，j 是鼠明日j 埋兀利用嵌爸知识l ( ) 简化ji 歹) 的生成元得， 一0 + 一导，教娟，州最 务，鼽 而( g ) = ( ，熹) ，所以，( 厂) l 栌弗：。亍，( g ) ，且，( ，) 与歹( g ) 分男l j o 畸+ 1儿 一 一一 是e 和髟的一个理想 设| j l if x ) ，趣f x ) e 且昧，诺，( g ) 满足 ( g ) 十欠 一， = 乓 其中j i l d ，= 盘( o ，i ，) ，( f = l ，2 ，s ) ，符号“+ 表示直和 由预备知识9 知，式等价予 ，( 厂) 十忉( ，) e + 尺 岛，愿 = e 其中，l ( r ) 表示变量为焉，的函数芽坏e 的极大理想即 小( 厂) = ( 薯，t ) e 惠得，鬈歹德) 兰霞 | ， 一，。 因为班( 尹) - 段= 如，巷斑c ，( ，) 所以，由褥， 段，( 力冬只 趣，魄 j ( ) 兰 尺，魄) ( 矿，薯) 壤 彤) ( p ，一) d 酬和- ，k ( 挈，敏 = 震 魂一， g ) 兰疋 ，k ； 所以，d _ i l l l 髟以g ) = d 妇毛，( 乃 即厂o ) 在e 中的余维数等于g ( 一小，吒) 在乜中的余维数 在第四部分的分类研究中，需要考虑理想套序列： 芝己磁2 ) ? 撒2 2 ) ? 麟3 2 ) 言掰4 2 + 搿( 2 t 歹( g ) ? 掰5 2 磁2 ) t 歹警) 寻 口q02，o 。5 在以上理想套中，当鬈用与其网一轨道的任一芽寒进行相关计算对结果是否 会一致? 为此需要证明下面的结论 命题3 设，茗g 最，对于饪意给定的毫毛，寄 m 伪) c 删协) ( ) 等价于删。( 撑) c ，i ( 胛) - ，( 。) 或朋( ，z ) c 槲2 ( 栉) + ，( ，) 等价于( ，1 ) c ，1 2 ( ，1 ) ，( 矽。) 证明：由痧( 肌。( ，1 ) ) = 聊。( ，z ) 及预备知识8 可推导得到 注：由此命题知，若芽，( x ) 蛾是意一决定的，剃对任意的g 厶，有厂。也 是蠹一决定鲍。酃若，是霆一决定戆，魁与其右等价的所有芽都是蠹一决定的。 9 第四章主要结果及其证明 设，( 蔗) g 己，且余维数为6 ，幽预备知识5 得，翮矽鬟2 当磁嚣妒= l 时， 根据定理1 1 易知厂( x ) 右等价予如下形式的芽： 一一l 奠+ ，其中毫= l 。 本文主要探讨余秩等于2 、余维数隽s 的实爱数芽酶标准形。 当凇嚣铲= 2 时，患预鍪知识羔( 分裂辱l 理) 知， ) 右等价子以下形式 的芽： 群一2 啊# + g ( 州) 其中毋= l ， i _ l g 棚3 ( 2 ) 又由命题2 得，g 在最中的余维数等于，o ) 在最中的余维数，则有 d i m ( 岛，( g ) ) = 6 ，即d i m g = 6 豳命题l 可知，若g ( 吒川) 右等价于g ( 小) ( 在磊中) ，则 塞岛# 十g ( k 。，垓) 在晟中右等价于差q + g ，( 峨以) ，其中毫篇士l ， f 群l i = l g 朋3 ( 2 ) 因此，通过分裂引理及命题l ，我们可将对函数芽( 并) 的分类转化为对两 个变元且余维数为6 的函数芽g ( x ，j ，) 删3 ( 2 ) 的分类 因为d i m g 篙6 ，幽预备知识6 得，c d d i m m ( 2 ) - ，( g ) = 6 十2 = 8 又因g ( 训) 耐( 2 ) 则警，考耐( 2 ) 于是有 了窖) = 岛c 拂2 2 ) 所以，删( 2 歹( g ) c 嫩3 f 2 ) 。 现考虑下面麴理想套序列： 最寻聊( 2 ) 寻研2 ( 2 ) 寻聊3 ( 2 ) 寻加4 ( 2 ) + m ( 2 ) ，( g ) 寻聊5 ( 2 ) + 聊( 2 ) ，( g ) 因为垦= 霉+ 爿+ g + 2 + g + 巧+ + 劈+ 聊“1 ( 2 ) 聊( 2 ) = 爿+ 碍+ 2 + g + g + + 劈+ 聊“1 ( 2 ) m 2 ( 2 ) = 乏+ 2 + 曩+ g + + 巧+ 聊“1 ( 2 ) m ( 2 ) = 劈+ 劈“+ 劈+ 2 + 小“3 ( 2 ) 所以，岛= 易研( 2 ) = d i i i l g = l ， c l = d i m 肌( 2 ) m 2 ( 2 ) = d i i l l 碍= d i i l l r 工，y - 2 ， 乞= d i m 肌2 ( 2 ) 朋3 ( 2 ) = d i n l 碍= d i m 足 石2 ，砂，y 2 = 3 于是得，c l o + c i + c j = 1 + 2 + 3 = 6 而c d d i i l l 聊( 2 ) ，( g ) = 8 ，且由预备知识4 知：c d d i m m ( 2 ) ，( g ) = c ：f 又已知c o + c j + c 2 = 6 ，则c 3 ，c 4 的取值只可能出现以下两种情况： ( i ) c 3 = 2 ，c 4 = o ( i i ) c 3 = 1 ，c 4 = l ，c 5 = o 4 1 情形( i ) 当c 3 = 2 ，c 4 = o 时g ( 石，y ) 的标准形 ( a ) 白= 2 定理4 1 1 岛= 2 意味着3 9 ( z ，y ) 右等价于标准形， 因巳= d 聊3 ( 2 ) ( m 4 ( 2 ) + 加( 2 ) ，( g ) ) ，利用预备知识4 ，得 巳= d 聊3 ( 2 ) ( 肌4 ( 2 ) + 聊( 2 ) ，( g ) ) = d i m 覃( g 厂、3 ( 聊( 2 ) ，( g ) ) ) 由预备知识l l 知， 。 历c 2 ) - ，( g ) = ( 少) 岛。 岛二 岛所以 歹3 珊t 2 ，歹t g ，) = 歹3 ( 扇) 注意到g ( x ，y ) 粥3 ( 2 ) ，所以， 以啡p ( 蝴= r p 警警警警) 由此可见，交集碍r 、，3 ( 删( 2 ) ( g ) ) 仅依赖于g ( z ，y ) 的三阶h e s s i a n 又因 g ( x ，j ，) 掰3 ( 2 ) ，则j 3 9 ( x ，) ，) 是一个二元三次齐次式不妨设 歹3 毒( x ，y ) = 喁，+ 呜x 2 y + 矽2 + 口4 ) ，3 ，其中q r ( f = 1 ，2 ，3 ，4 ) 于是得 掣：3 叩2 砌：拶十，擎掣：叩2 + 2 删砌。y ： c 游鲫 所以，x 掣：3 缬+ 2 掣2 y + 吩矽z ， 国 石掣：叩，他，南砌。矽：， 加 。 一 j ，掣；3 叩2 y + 2 口2 叫2 坞j ，3 ， 敏 1 一 y 掣：嘎办+ 2 吩矽2 + 3 脚 即歹3 ( 捌2 ) t 歹( g ) ) = 霆 3 强x 3 + 2 如菇2 罗+ 如矽2 ，吃x 3 + 2 9 x 2 y + 3 & 矽2 ， 3 壤x 2 罗+ 2 露2 拶2 + 您y 3 ， = 足 g ；，赉，颤；， 吻x 2 y + 2 露3 拶2 + 3 毂y 3 。 ( 4 。1 ) 从( 4 1 ) 式可知歹3 ( 棚( 2 ) ，( g ) ) 是向量空间露的一个线性子空间，于是有 碍n 3 ( 坍( 2 ) l ，( g ) ) = 3 ( 垅( 2 ) ( g ) ) 所以，2 ( 日n 歹3 ( ，z ( 2 ) ，( g ) ) ) = g 3 ( 研( 2 ) ，( g ) ) 已知岛= d 妒 碍( 碍r 、夕( 聊( 2 ) j ( g ) ) ) = 2 ，即g ( 霉r 、j 3 ( m ( 2 ) j ( g ) ) ) 是个二维的实向量空间，故碍3 ( 棚( 2 ) ，( g ) ) 也是一个二维的实向量空间 1 2 丽g = r ，x 2 y ，砂2 ，y 3 ，则歹3 ( m ( 2 ) ( g ) ) 也是一个二维的实向量空间，所以， 3 ( 朋( 2 ) ，( g ) ) 的四个生成元：g ，9 2 ，岛，9 4 的极大线性无关组只含有两个 元素，以下分情形进行分析 ( 圭) 假若生成元虽，是或，9 4 的一令极大线性无关组，即& ，9 2 是歹3 辨2 ) 歹( g ) ) 的一组基那么，岛，积可以电爱，g ：线性表示，即存在不全为。 的口，6 足和不全为o 的c 矗r ，使得 为= 鳄l + 6 9 2 ，& = c g l + 电2 即 3 呸工2 y 十2 吃矽2 + 呜少3 = 口( 3 呸工3 + 2 口2 2 2 y + 口3 砂2 ) + 6 ( 吩工3 + 2 吗z 2 y + 3 口4 砂2 ) ， 呸x 2 ，+ 2 矽2 + 3 y 3 = c ( 3 q 工3 + 2 口2 工2 夕+ 吩矽2 ) + d ( 嘭，+ 2 吧工2 少+ 3 气矽2 ) 分别比较以上两个等式的左右两边，得 1 3 q2 2 如口+ 2 吩6f 啦= 2 色c + 2 呜矗 ：三鸭n + ? 4 6 和 至乏三宇口+ 3 口4 d ， 【3 q 口+ 如6 = o1 1 3 口i c + 口2 d = o 所以，q = 口2 勰龟= 嘞= 0 ，矛盾 ( 2 ) 假若生成元蜀，岛是畿，岛，爨，数的一个极大线性无关组，剃，9 4 可以由蜀，线性表示，即存在不全为0 的露，6 震和不全为o 的c ，d 嚣，使得： = 裙l + ，鼠= 锔+ 电即 吃x 3 + 2 龟x 2 y + 3 气矿= 口( 3 呸石3 + 2 吒工2 y + 呜矽2 ) + 6 ( 3 喁y + 2 呸矽2 + 吩，) ， 口2 工2 y + 2 吩砂2 + 3 口4 y 3 = c ( 3 口l x 3 + 2 口2 石2 y + 口3 砂2 ) + 矗( 3 呸工2 y 十2 呸砂2 + 龟夕3 ) 分别比较以上两个等式的左右两边，得 f 岛2 3 霸窿 f 吃。2 龟e + 3 嚷d 釜三篆：之三箩葙 銎三芝；+ 2 呸d 【吩6 = o【3 q c 竺。 由此可得到，= 3 q d ，吩= 3 口1 d 2 ，口4 = 口l d 3 ，于是 歹3 9 ( x ，j ，) = 喁+ 口2 x 2 y + 口3 矽2 + q y 3 = q ( x 3 + 3 威2 夕+ 3 2 矽2 + d 3 夕3 ) ：口。( x + 砂) 3j 坐堕坦蛆叩”：叩， 盟， 其中口l 0 符号“出生屿”表示对前面的函数芽作如箭头上面所写的坐标变换， 以下这样的符号也是如此 类似地，当蜀，9 3 ，鼠的极大线性无关组是g 。，或，岛或，时， 利用以上的讨论方法可以得到，3 9 ( x ，y ) 右等价于标准形，；当蜀，岛， g 。的极大线性无关组是岛，鼠时可推出口i = 口2 = 口3 = 口4 = o ，这与c 3 = 2 不符 因此，由c 3 = 2 可得- 3 9 ( x ，y ) 右等价于标准形x 3 ( b ) 乞= 0 因c 4 = d 饔n ( 所4 ( 2 ) + 聊( 2 ) ，( g ) ) ( 所5 ( 2 ) + m ( 2 ) ，( g ) ) = o 由预备知识2 ( n a k a y 啦a 引理) 知：m 4 ( 2 ) cm ( 2 ) 歹( g ) 根据预备知识3 得，g ( x ，j ，) 是4 一决定的所以，g ( 石，y ) 右等价于歹4 9 ( j ，y ) 首先，由定理4 1 1 得，g ( z ，y ) 右等价于形如，+ ，( 石，y ) 的芽其中 ，( 工，y ) ，z 4 ( 2 ) 又g o ，y ) 是4 一决定的，依命题3 知，芽x 3 + ，( x ，y ) 也是4 一决定 的，则芽x 3 + 厂( 工，y ) 右等价于 歹4 ( 工3 + ，( x ，y ) ) = ，+ p ( 工，j ，) ，其中p ( 训) 譬 由等价关系的传递性得，g ( x ，j ，) 右等价于以下形式的芽： x 3 + p ( 五y ) ，其中p ( x ，y ) g 定理4 1 2 设五( x ，y ) = 石+ p ( 石，y ) 如上所述，其中p ( z ，y ) g 则p ( z ，y ) 中 ，项的系数一定不等于零 证明：由于g ( x ，y ) 右等价于 ( x ，y ) ，且朋4 ( 2 ) c 聊( 2 ) ，( g ) ，由命题3 知： 1 4 聊4 ( 2 ) c 聊( 2 ) ，( 矗) 根据n a k a ”m a 引理得，聊4 ( 2 ) c 聊( 2 ) 。，( j l z ) + m 5 ( 2 ) ，则 加4 ( 2 ) 的每一个生成元都属于理想，l ( 2 ) ，( ) + 朋5 ( 2 ) 即是说，m 4 ( 2 ) 的每一生 成元均可由m ( 2 ) ，( ) + m 5 ( 2 ) 的生成元线性表示( 以岛中的元素为系数) 因为脚4 ( 2 ) = ( x 4 ，x 3 y ，x 2 y 2 ，叫3 ，y 4 ) 厶 聊c 2 ，c ，= ( 工，y ) 扇 厶= 岛 通过计算得， x 4 = * 工针喜工2 妻 咖* x 赛) 一言拶罢 2 ， 力2 = * 乃+ y 豺；y 2 罢 因为p ( 五y ) g ，则罢，考g 所以，x 塞，y 赛，石考，y 考g 由c 4 2 ) 式可知：一，y ，少2 肌( 2 ) - ，( j 1 1 ) + m 5 ( 2 ) 注意到p ( 工，y ) 鼋，所以塞( 同样地，考) 或为o ，或为关于x ，y 的三次 齐次式 ( i ) 若字：o 且罢= o ，由此可推出p ( 石，j ，) = o 此时g ( 工，j ，) 右等价于， 而芽工3 在最中是无穷余维的，则g ( x ，y ) 也是无穷余维的，这与c d d i m g = 6 矛盾 ( i i ) 若罢= o ，罢o ，则p ( x ，y ) 只是y 的函数，于是p ( 工，y ) = 秒4 其 中p o ，定理已证 ( i i i ) 若譬o ，罢= o ，则p ( x ，少) 只是工的函数，且p ( x ，y ) = 似4 ，4 o m 哕 此时，m ( 2 ) ( 五) = ( 3 工3 + 4 瓤4 ，3 工2 y + 4 甜3 y ) 厶，而砂3 ，y 4 要属于，l ( 2 ) ，( 五) 是 不可能的。故譬e ，罢= o 与搬4 ( 2 ) c 磁2 ) 歹( 磊) 十撒5 2 ) 矛盾所以，这种情况 改钟 不可能出现。 ( i v ) 若字喾o ，窭o ，要矽3 毯跚( 2 ) 歹( | 1 1 ) ，则j 謦( 石，y ) g 忍，l 絮l ，2 ，3 ，4 。 盘劣 使得 砂3 = e ( 一y ) ( 3 x ，+ x 罢) + 坟( x 棚( 3 x 2 y + y 塞) + 岛( 墨y ) x 考+ 反( 薯y ) 。y 考 = 慨+ 磊( 薯y ) ) ( 3 菇3 x 罢) 争投+ 磊墨夕) ) ( 3 x 2 y + 夕罢) + 矗辛磊蔫罗) ) 善考 + ( 6 4 + 么( ) ) + y 考其中岛酏破( w ) 聊( 2 ) ，汪1 ，2 ，3 ，4 。 = f 瓴( 3 x ，+ x 罢) + ( 3 x 2 罗+ y 象) + 热x 考+ 坟y 考 一 + 磊( 而y ) ( 3 ，+ x 罢) 杰( x ，y ) ( 3 x 2 y + 夕罢) + 热( 石，y ) + x 考+ 疵( x ，y ) 罗考 = 岛( 3 石3 + x 罢) 十么( 3 x 2 y + y 罢) + 岛并考+ 钆y 考 + 旃( x ，y ) 3 x 3 + 磊墨y ) 3 矽z + f 苁仁夕) x 塞盎似夕) 罗塞+ 磊( 尚y ) 茗考+ 幺而罗) ，y 考 因为卜( 五y ) x 妻+ 欢( 剐y 砉+ 缟( y ) x 考+ 戎( 墨y ) ，y 考 ( 2 ) ，且 由谚( 少) 3 ，+ 确( z ，y ) 3 砂2 不可能产生砂3 所以，要砂3 仨，l ( 2 ) ，( 矗) ，则砂3 只 能表为3 ，罢，3 j c 2 y + y 妾，x 考，j ，考的实系数线性组a 即 散 蕊 谚谚 矽3 = 岛( 3 善3 + 茗塞) + 趁( 3 善2 y + 罗罢) + 魏x 考+ 玩罗考 其中奄灵，f = l ，2 ，3 ，4 于是可推出：轰：o ，反：0 ( 反证) 假若磊和魏中有一个不等于o ，不妨设 1 6 2 j l 。，所以有，3 岛，+ 3 包工2 y = 砂3 一岛x 塞一6 2 j ，塞一岛x 考一6 4 y 考 上式左边