（水力学及河流动力学专业论文）复式河道一维数值模拟.pdf

摘要 我国平原地区大部分河流是由主槽和边滩组成，洪水期间由主槽和滩地共同 行洪的复式河道。近年来，这一类河道由于自然及人为因素的影响，淤积严重， 行洪能力差，常常发生洪灾，危害人民的生命财产安全，急需采用各种工程措施 进行治理。同时，随着人口的显著增加，城市自然景观等多方面因素，对滩地土 地的利用力度大大加大，需要提高防洪标准，实施堤防的改线重建等工程。上述 工程均涉及到复式断面河道的过流能力计算以及洪水位确定问题。虽然国内外对 此问题已有不少研究成果，但是仍存在实用性及适用性等缺陷，因此，继续加强 对该问题的研究，对我国的防洪管理和河道治理具有重要的现实意义。 本文首先对以往研究工作进行了回顾和总结。根据是否考虑主槽和滩地之间 的表观切应力对于目前存在的复式水流一维计算方法进行分类比较：考虑表观切 应力的方法虽精度较高但对工程实际不适用，不考虑表观切应力的方法简单适用 但精度较低。本文选择不考虑表观切应力，根据边滩流速与主槽流速比值不同分 别采用近似面积法和均一流速法。采用p r e s s i m a n n 隐式格式对圣维南方程组离 散，根据得到的代数方程组建立水动力场预测模型；针对水动力预测中糙率系数 的关键作用，提出利用奇异矩阵分解法建立河道糙率率定模型，并通过东江算例 验证模型。本文的研究成果对分析复式河道过流能力以及洪水预报等，有一定的 理论意义和实用价值。 关键词：复式河道、数值模拟、s v d 法、糙率率定 a b s t r a c t c o m p o u n do p e nc h a n n e lf l o w sw i d e l ye x i s ti nn a t u r ei no u rc o u n t r y , a n dt h e s e c a r r yt h et o t a ld i s c h a r g eb yt h em a i nc h a n n e la n dt h ef l o o d p l a i n si nt h ef l o o dp e r i o d r e c e n t l y , t h es e d i m e n t a t i o ni sm o r ea n dm o r es e r i o u sa n di t i sn o te a s yt oc a r r yf l o o d b e c a u s eo ft h en a t u r a lr e a s o n sa n dm a n sa c t i v i t y , s ot h a tf l o o dd i s a s t e r si so f t e n o c c u r e d ，a n dt h i si m p e r i l st h ep r o p e r t ye v e nl i f eo fp e o p l e t h e ns o m es t r u c t u r a l m e a s u r e sa r ee x a c t l yp e r f o r m e d o nt h eo t h e rh a n d ，l e v e e sa r eo f t e nr e b u i l to r r e a l i g n e d t oi n c r e a s ef l o o dc o n t r o ls t a n d a r da n dm a k eb e s tu t i l i z a t i o no ft h e f l o o d p l a i n sg o i n gw i t hr a p i d l yi n c r e a s i n go ft h ep o p u l a t i o na n dt h er e q u e s to ft h e u r b a nl a n s c a p e a l lt h e s ew o r k sa r er e l a t e dt ot h eq u e s t i o n so ft h ec o m p u t a t i o no f d i s c h a r g ec a p a c i t ya n dt h ed e t e r m i n a t i o no ft h ef l o o dl e v e l s a l t h o u g hr e s p e c t a b l e f r u i t sa r eg o ta tp r e s e n t ，t h el i m i t a t i o ni nt h ep r a c t i c a b i l i t ya n da p p l i c a b i l i t ya l s oe x i s t s ot h es t u d yo ft h ew o r ki ss i g n i f i c a n tt ot h ef l o o dm a n a g e m e n ta n dr i v e rc o n t r 0 1 t h ep r e v i o u sr e s e a r c hw o r k sa r er e v i e w e da n ds u m m a r i z e di nt h i sp a p e r a c t u a l r e s e a r c hm e t h o d so ft h eo n e d i m e n s i o n a lc o m p o u n dc h a n n e la r ec l a s s i f i e da n d c o m p a r e do nt h eb a s eo fw h e t h e rt a k ei n t oa c c o u n tt h ea p p a r e n ts h e a rs t r e s sb e t w e e n t h em a i nc h a n n e la n dt h ef l o o d p l a i n ，a n dg o tt h ec o n c l u s i o nt h a tt h em e a n sw i t ht h e a p p a r e n ts h e a rs t r e s sc a ng e tah i g hp r e c i s o nb u ti s n ts u i tf o rt h ep r a t i c a le n g i n e e r i n g ， a n dt h em e a n sw i t h o u tt h ea p p a r e n ts h e a rs t r e s si ss i m p l ea n dp r a c t i c a lb u ti t sp r e c i s o n i sl o w t h et e x tc h o o s et h em e t h o dw i t h o u tc o n s i d e r a t i o nt h ea p p a r e n ts h e a rs t r e s s ，a n d d e p e n d i n g o nt h er a t i oo fv e l o c i t yo ft h ef l o o d p l a i na n dt h em a i nc h a n n e l ， a p p r o c i m a t e a r e am e t h o da n da v e r a g ev e l o c i t ym e t h o da r eu s e d p r e s s i m a n n f o u r - p o i n tl i n e a ri m p l i c i ts c h e m ea r es e l e c t e dt od i s s i p a t es t v e n a n te q u a t i o n st og o t a l g e b r ae q u a t i o n s ，a n dt h e nw a t e rh y d r o d y n a m i cc o n d i t i o n sp r e d i c t i o nm o d e li s e a t a b l i s h e d a c t i n ga tt h ek e ye 圩e c to ft h er o u g h n e s sc o e f f i c i e n ti nt h eh y d r o d y n a m i c c o n d i t i o n sp r e d i c t i o nm o d e l ，t h es v dm e t h o di si n t r o d u c e dt oe a t a b l i s h e dr o u g h n e s s c o e f f i c i e n tc a l i b r a t i n gm o d e l t h e nd o n g j i a n gc h a n n e lp r o j e c ti su s e dt ov a l i d a t e t h em o d e l t h e s er e s u l t sw i l lb eu s e f u lf o rt h ec o m p u t a t i o no ft h ec a p a c i t yo fc h a n n e l a n dt h ef l o o df o r e c a s ti nt h ep r a c t i c a lp r o j e c t k e yw o r d s ：c o m p o u n dc h a n n e l ，n u m e r i c a ls i m u l a t i o n ，s v dm e t h o d ，c a l i b r a t i o n o f t h er o u g h n e s sc o e f f i c i e n t 学位论文独创性声明： 本人所呈交的学位论文是我个人在导师指导下进行的研究工作 及取得的研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方 外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果。与我一同工 作的同事对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并 表示了谢意。如不实，本人负全部责任。 论文作者( 签名) ： 鲤辩上叼年3 月苟日 学位论文使用授权说明 河海大学、中国科学技术信息研究所、国家图书馆、中国学术期 刊( 光盘版) 电子杂志社有权保留本人所送交学位论文的复印件或电 子文档，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文。本人电子文 档的内容和纸质论文的内容相一致。除在保密期内的保密论文外，允 许论文被查阅和借阅。论文全部或部分内容的公布( 包括刊登) 授权河 海大学研究生院办理。 论文作者( 签名) ：j 缉二牡工呷年 弓月始日 第一章绪论 第一章绪论 1 1 问题的提出 洪水灾害是世界许多国家都会频繁发生的严重的自然灾害，也曾给中华民族 带来深重灾难。新中国成立后，国家投入巨大的人力、物力和财力对主要江河进 行大规模的治理，逐步形成了拦、蓄、分、泄相结合的防洪工程体系，并与政策、 法令、经济等非工程措施相结合，构成了我国较为完整的现代防洪系统。尽管如 此，因气候的异常变化，人类的频繁活动和环境的影响，我国的防洪形式仍十分 严峻，洪水灾害时有发生。由于洪灾所造成的国家经济。人民生命财产的损失十 分严重。统计资料显示，全国7 0 以上的固定资产、近1 2 的人口、1 ，3 的耕地、 6 0 0 多座城市，主要铁路、公路、油田以及许多工况企业都不同程度受到洪水威 胁，一旦爆发洪灾，国民经济损失将十分巨大，人民群众的生命财产也面临严重 威胁。而平原地区由于其经济高速发展、人口密度高以及发生洪灾后影响严重而 成为防洪的重点地区。 平原地区大部分天然河流的断面形态不规则，表现为比较复杂的由主槽和边 滩构成的复式断面。在中枯水季节，水流多在主槽内流动，洪水期间，水位超过 平滩水位后，水流在主槽和滩地内流动，主槽和滩地共同过流。由于洪水漫滩后， 主槽、滩地水流相互作用，致使主槽行洪能力降低，滩地行洪能力增大。从而使 洪水过程表现为洪量大，洪峰持续时间长，水位高，对于平原地区防洪工程的运 行产生较大的影响。因此，正确估计河道的过流能力以及确定各种防洪水位就显 得尤其重要。 在我国广大农村地区，复式河道的滩地常常是在丰水季节行洪，平时用作耕 地，种植作物。对于此类河道，正确计算河道的过流能力以及滩槽流量的分配非 常重要。另外城市大量的河漫滩被用来搞绿化、建成风景区，在正确设计及优化 渠道断面的过程中，均涉及到河道的滩槽流量分配、河道的过流能力等问题。 漫滩水流问题的研究不仅具有理论意义，而且具有实际应用价值，它是河流 动力学的重要分支问题之一长期以来，虽已有不少研究成果，但尚有许多的问 题需要深入研究，尤其是不同断面形态及其糙率对过流能力和水面比降的影响， 现实工程中亟待解决本文将针对这一问题展开相关的研究工作。 河海大学硕士学位论文 1 2 以往研究的回顾 1 2 1 复式河道的研究 对于复式断面河道水流特性的研究，因其对工程实际问题的重要意义，一直 是国内外学者研究的热点问题之一，目前已有一些比较成熟的研究成果，其中以 二、三维数值研究得出的结果较接近于实际情况。但是在实际应用中，考虑到河 道的长度远大于其深度及宽度，并不需要采用二维或三维的计算模型，因此一维 的水动力模型研究仍然具有十分重要的理论意义和实际价值。复式断面的研究成 果总结如下： z h e l e z n y a k o v t l 噌先采用试验方法对复式断面水流机理进行了研究，发现滩 地与主槽相比，其较大的湿周和较高的糙率导致了其较低的流速，这种主槽和边 滩的流速差异，使得主槽和滩地之间存在一对漩涡并引起两者之间的动量交换。 y e n 和o v e r t o n 2 1 研究了复式河道的流速分布，发现主槽与滩地交界面的动量交 换作用会影响主槽和滩地的边界切应力大小。m y e 塔p l 【4 】的研究表明主槽的边界 切应力由于这种动量交换作用而减弱，其减弱幅度最大达原来的2 2 ，而滩地 的边界切应力却由于这种作用增加，其增加幅度最大可达原来的2 6 0 。 w o r m l e a t o ne ta l s l 采用试验数据分析，得出主槽与滩地交界面上表观切应力的经 验公式。同时，得出如下结论：当渠道断面采用一个面积和湿周进行计算时，由 于断面平均流速的降低而得出比实际较低的过流量；当把主槽和边滩单独进行计 算时，由于主槽和边滩中的动量交换被忽略而得出比实际高的过流能力。 r a i 娥i 恤锄【6 】，k n i g h t 7 1 ，s t e p h e n s o n 嘲等进一步研究了在复式断面渠道中的流量 分配、边界切应力、时均速度分布以及主槽和滩地交界面表观切应力的分布。 为了研究主槽和边滩交界面切应力的分布以及断面二次流所引起的能量耗 散，前人已提出了很多方法。最常见也是较传统的方法就是单一河槽法。该方法 将复式河槽作为整体，运用圣维南方程和曼宁公式直接计算流量。m y e r s l 9 1 以及 s t e p h e n s o n 和k o l o v o p o i i l o s 【o 】得出的结论表明单一河槽法得出的结果比实际河道 的过流能力要低。然而，这种方法却广泛应用于复式河道明渠水流的一维计算中。 另外，忽略主槽和边滩之间的动量交换，把主槽和边滩单独分开计算的断面分割 法也很常用。p o s e y l l o l ，k n i g h t t 7 l t 1 ，t a n g 1 2 i ，w o r m l e a t o n 5 】【1 3 1 等，对断面分割法 进行了系统的总结，对主槽和边滩的分割主要有两种划分方式：滩槽交界面铅垂 2 第一章绪论 线分割和倾斜线分割，具体分为五种类型l i 町对应于各部分断面的过水能力， 分别采用曼宁公式和谢才公式进行计算w r i g h t 和c a r s t e n s l l 5 l 对于垂直断面分割 法进行研究发现：当边滩水深与主槽水深比值大于o 5 时，这种方法计算的总过 流量与实测值非常吻合，虽然主槽与边滩的流量分配比存在1 0 的误差；当边 滩水深与主槽水深比值较小时，其计算过流能力要高于实际过流能力。齐清兰等 1 1 6 】提出一种新的断面分割法一等速剖分法。该方法认为使用传统分割法，计 算流量总是大于实际流量的误差根源是谢才公式：在将谢才公式用于各单个剖分 断面时，湿周计算时只考虑与壁面接触的部分，即只考虑与固体边壁的摩阻而未考 虑各剖分断面之间由流速梯度引起的切应力。该法选择在主槽和滩地之间流速相 等的某一假想曲线做为断面分割线。后来出现断面叠加法，其思路是将河槽总断 面分解成三个部分：滩地和主槽在边滩以上部分做为第1 部分、整个主槽做为第 部分、第1 部分和第1 i 部分的重合部分做为第l 部分各部分流量分别运用 曼宁方程计算，断面i 、n 的糙率分别用滩地、主槽的糙率，断面i i i 的糙率按 e i n s t e n b 强l 【s 【i7 i 方法计算整个河道的流量等于第l 部分与第n 部分流量之和 再减去第1 i i 部分。a c k e r s 1 1 1 9 1 1 2 0 1 分析影响顺直复式河槽过流能力的所有影响因 素，提出了河槽协同度方法( c o h 法) 。c o h 定义为仅考虑单一河道过流能力与 断面分割法的过流能力的比值。a c k e r s 在分析过流能力随相对水深的变化时引入 流量修正因子d 1 s a d f 和流量误差d i s d e f 相对水深定义为滩地水深与主槽水 深的比值，即1 t = ( 日一h ) h 。d i s a d f 定义为实际过流能力与断面分割法过流 能力的比值。随着相对水深的增加，d 1 s a d f 出现4 个区域的复杂变化。根据这 一变化，复式河槽的实际流量可以通过d i s a d f ，d i s d e f 和断面分割法计算的 流量q 一来计算。 随着对于交界面表观切应力研究的深入，学者提出了建立在表观切应力基础 上的各种计算方法。按照传统的垂直断面分割法对河道进行区域划分，k r a g h t e t a l t 2 1 1 在大量水槽试验的基础上得到主槽和边滩之间的垂直交界面上的表观切应 力分布的经验公式，从而得到主槽和滩地的流量分配公式及流速分布。h o l d e n 2 2 1 提出面积法，他认为在主槽和滩地之间存在一个假想的交界面，该交界面处的表 观切应力可以忽略不计。该交界面的位置通过下面的方式确定：假设采用断面垂 直分割法得到的滩、槽面积与利用假想交界面进行分割得到的滩、槽面积之间存 河海大学硕士学位论文 在一个面积差4 ，鲋由主槽和边滩之间的表观切应力的计算公式可以求出田】。 得到修正后的主槽和滩地面积后，根据各划分区域的面积重新进行主、滩槽流量 分配计算。王韦【2 4 1 1 2 5 1 利用动量传递理论提出了估算过流能力的动量传递法。该 法通过对滩槽分别取微分水体，建立微分水体的力学平衡关系式，并对微分水体 沿断面横向积分，经整理，获得滩槽垂线平均流速与不考虑滩槽动量交换时垂线 平均流速之间的关系。谢汉祥【2 6 】分析漫滩水流动量交换，从剪力传递的特性出 发，假定横向紊动交换系数形式与纵向相同，导出漫滩水流垂线流速横向分布的 解析计算公式。刘沛清【2 7 】假定滩槽交界面存在表观切应力，根据力的平衡( 水 体的重力在流动方向的分量与床面切力及滩槽垂直交界面上表观切力之和相平 衡) ，建立力的平衡关系式。根据p r a n d t l 的动量输运理论推导出滩槽交界面表观 切应力的关系。进而得到主槽、滩地的断面流量计算公式和主槽、潍地边界上的 平均切应力计算公式。童汉毅【捌采用与刘沛清相同的研究思路，利用动量输运 理论，通过分析w o r m l a t o n 等人的试验资料认为动量输运系数是滩地与主槽水深 比、宽度比的函数，并经曲线拟合获得动量输运系数的表达式，获得断面平均流 速的解析式，最后综合均匀流公式获得了断面流量的表达式。 等速剖分法和单一河槽法的过流能力总是相等，经理论推导，得出这两种方 法实际采用的流量表达式相同【1 4 1 。其计算值与实测值相比总是偏大，在滩地与 主槽的相对水深较小时，相对误差较大，随着相对水深的增加，相对误差不断减 小，最后计算值比较接近实测值。断面叠加法，河槽协同度方法，刘沛清法，动 量传递法，谢汉祥法，童汉毅法，计算结果十分接近实测值。刘沛清法，动量传 递法，谢汉祥法和童汉毅法，都是从动量传递理论出发，并由试验确定有关参数。 这四种方法精度都很高，但涉及到主槽和滩地之间表观切应力的计算，对于工程 实际，表观切应力很难计算，实用性较差，且实际应用时需要采用一些假设和概 化。谢汉祥法和动量传递法不能直接用于不规则复式断面，必须遵循简化前后河 床断面的平均流速或平均水深相等的原则，将不规则的河床断面简化成标准的矩 形主槽复式断面。刘沛清法虽然可以直接用于不规则的复式断面，但由于其动量 输运系数口= 0 0 8 只适用于规则断面的复式河道，而对于天然不规则河道难以给 出口的确切数值，只能近似借用人工渠道的口值。河槽协同度方法是a c k e r 基于 河槽协同度的概念，分析大量的试验资料提出的。其精度很高，但由于从试验分 4 第一章绪论 析得出的结果，实际工程情况非常复杂多变，可能并不适用。断面倾斜分割法适 用于对称复式河槽，有试验e 2 l 证明其假想的断面分割线可以认为是零剪切应力 线，但对于非对称复式河槽，确定零剪切应力线是很困难的。 综上所述，考虑表观切应力的方法，虽理论上可获得高精度结果，但是对工 程实际并不适用；而对于不考虑表观切应力的各类方法，只有河槽协同度方法精 度较高，但是从试验资料分析得出的结果，对于复杂多变的天然河道，并不能完 全适用。单一河槽法简单可行，但在水流刚刚漫滩时误差相对较大。若能通过某 种途径提高该方法在水流刚漫滩时的精度，则不失为计算天然复式河道明渠水流 的一种好方法。 1 2 2 糙率的确定方法 对于河道水流数值模拟工作来说，河床的糙率是一个极敏感的参数，是数值 计算成败的关键因素，糙率不仅与表面粗糙程度有关，还受水力要素及水流特性 影响，是一个综合水力摩阻系数，对河道水流及其冲淤变化的计算成果和工程造 价有很大影响。由于天然河道中影响糙率的因素极为复杂，虽然国内已有许多学 者在理论上和试验方面作了大量工作，得到了一些计算公式和方法【2 9 1 1 3 0 1 1 3 1 1 1 3 2 1 1 3 3 1 ， 但是这些计算方法大多还是属于半经验性的，往往与实际偏差较大工程实践中 常用河道的实测水文资料推求糙率。但是，若河网规模较大，用试错法调试每一 河段糙率时工作量将十分巨大。针对这个问题，学者们提出采用反问题法来确定 糙率参数，该法以数学模拟、优化控制和试验误差分析为基础。w i l l i s 和y e h 3 4 1 对 地下水问题参数率定方法进行了综述。虽然在理论上存在无限空间上互相依赖的 河床糙率参数，但是在实际计算模型中采用有限差分法和有限单元法等空间离散 的数值方法进行计算时，仅能确定有限空间节点上的糙率参数。而在大部分反问 题研究中往往仅能确定其中更少量的参数 3 5 】 对于反问题在明渠水流参数率定问题中的应用，前人提出一些方法 1 3 6 1 d 7 j t 3 s l 。比较普遍的误差评定方法是以计算值与实测值差值的平方和或最大误 差的绝对值达到最小化为准则。其中，f r e a d 和s m i t h l 3 町将河道分解成一系列单 独的河段，然后对各个河段单独进行计算和率定以满足误差在最小允许范围内。 c h i ue ta 3 9 j 采用的卡尔曼滤波算法是一种采用优化控制理论方法，该方法在河床 糙率率定中也很有应用价值。w a s a n t h al a l l 4 0 l 采用奇异矩阵分解法( s v d ) 对明 河海大学硕士学位论文 渠非恒定流的河床糙率进行率定，并通过与其他优化方法的结果对比证明s v d 法的优越性。s v d 法由w i g g i n s l 4 1 l 和u h r h s m n 3 a - 4 2 1 最先引入并应用于地震参数 的率定。 1 3 本文所做的主要工作 本文在查阅大量资料，了解一维复式河道研究现状和现存的各种数值计算方 法的基础上，对各类方法的精度和适用条件进行分析比较，认为采用不考虑表观 切应力的单一河槽法简单适用，但精度较低。针对该问题，通过采用s v d 法率 定糙率系数，从面达到精确模拟复式河道水动力条件的目标。以上述理论为依据， 建立糙率率定模型和水动力场预测模型，并结合广东东江实际工程，对模型进行 验证。论文主要完成了以下工作： ( 1 ) 通过广泛查阅文献，对前人关于一维复式河道的研究成果进行较全面 的回顾与总结，对各类复式河道计算方法进行综合分析比较，认为单一河槽法理 论简单明确。 ( 2 ) 糙率率定是高精度计算的关键。总结目前确定河床糙率的常用方法， 提出采用奇异矩阵分解法率定糙率。 ( 3 ) 研究一维复式河道水动力计算的数值方法，对其中p r c s s i m a n n 隐式格 式的相容性、收敛性、稳定性进行分析论证。 ( 4 ) 依据单一河槽法计算理论，根据边滩流速和主槽流速比值的不同，提 出近似面积法和均一流速法。结合该两种方法，利用p r c s s i m a n n 四点线性隐格式 对圣维南方程组进行离散，采用追赶法求解代数线性方程组，建立水动力场预测 模型，并编程实现。采用试验水槽数据验证该算法，分析两种计算方法的可靠性 及精度。 ( 5 ) 采用奇异矩阵分解法建立复式河道的综合糙率率定模型并编程实现。 ( 6 ) 结合广东东江一维河段，建立糙率率定模型，进行水动力条件预测。 与实测水文资料进行比较，证明糙率率定模型和水动力预测模型的可靠性。 6 第二章致值计算基本理论 第二章数值计算基本理论 2 1 有限差分法 对于明渠水流的数值模拟来说，因其控制方程圣维南方程组 丝+ 丝：o( 2 1 ) 署+ 甜訇+ 鲥罢+ 鲥曲= 。 组z ， 是联立的非线性偏微分方程组，它的解析求解及其困难。因此，对于圣维南方程 组的求解主要是采用数值离散的方法进行数值离散的主要方法包括有限差分 法、有限单元法、有限体积法和有限分析法。其中有限差分法应用最为广泛。 有限差分法的基本思路是把描述连续变量( 如流量、过水面积、水位等) 的 微分方程，在讨论域内化为差分方程来求近似解，或者说，有限差分法是在有限 个网格节点上求出微分方程近似解的一种方法。下面简单介绍有限差分法的基本 形式及差分格式的相容性、收敛性和稳定性，并具体介绍在明渠水流计算中广泛 应用的p r e s s i m a n n 四点隐式格式，并对该格式进行误差分析和稳定分析。 2 1 1 差分的基本形式 有限差分m 】离散就是用差分代替微分方程中的导数，它的主要形式有前差 分、后差分和中心差分三种。 前差分： ( 罢) ：* 竿 汜s ， 后差分： ( 哥m 华 亿t ， 中心差分： ( 割* 譬 汜s ， 式中，疗表示时刻，表示空间位置，r ? 表示时刻n a t 和位置弘x 的f 值， 和缸则分别表示时间步长和空间步长。 河海大学硕士学位论文 2 1 2 差分格式的相容性、收敛性、稳定性 对于任一数学物理问题，首先需要判断这个问题的解是否存在、唯一，并且 是稳定的，然后才决定用什么样的方法进行求解。如果这个问题解是存在的、唯 一的和稳定的，那么我们就说这个问题是适定的。但是由于在解决具体的工程实 际问题时，适定性的论证往往很困难。所以，有时必须用数值试验和计算成果来 证明定解问题的适定性。 由于要求解的水流输运方程是非线性偏微分方程，无法直接得出解析解，所 以我们使用直接差分法对偏微分方程组进行离散，从而得出代数方程组，进行数 值求解。但是，用直接差分法对控制方程进行离散求解，要得出高精度的结果， 就必须做到：( 1 ) 离散后的方程可以真正的代表对应的微分方程；( 2 ) 当离散所 使用的空间步长缸、时间步长f 都趋于零时，差分方程的解逼近原始方程的解； ( 3 ) 数值误差随计算的进行保持有界并逐渐减小。 ( 1 ) 相容性 相容性是说明某个差分形式是否能真正代表对应的微分方程。 以一维扩散方程为例： 堡一盯坚：0( 2 ，6 ) 一一盯= 2 l z ，o j 采用泰勒级数法离散式( 2 6 ) ，得到： c 争和c 争： - b ( c ；) f 一暑c 争+ h o r = 。c z z ， 我们称上式左边第二个方括号内的项为微分方程的差分形式的截断误差。如 果截断误差随缸、f _ o 趋向于零，则说差分方程与对应的微分方程是相容的， 如果不管缸、址以怎样的方式趋向于零，该截断误差总是趋向于零，则说明差 分方程与微分方程是无条件相容的。若只有当缸、，以某一种特定的方式趋向 于零时，截断误差才趋向于零，则说明差分方程与微分方程是条件相容的。 差分方程的相容性是对差分方程的基本要求，若相容性不能满足，则差分方 程就不能用来模拟相应的偏微分方程所描述的物理过程，其结果自然就没有可信 度。然而差分方程与相应的偏微分方程相容，并不能说明差分方程的解就逼近于 微分方程的解，相反的，相容的差分方程也可能会得出不收敛的结果。所以，接 8 第二章敷值计算基本理论 下来我们要研究差分方程的收敛性问题 ( 2 ) 收敛性 收敛性是指当缸、，0 时，差分方程的解是否逼近原始方程的真解。 设在某一固定的时刻t = r ，真解为r 阮r ) 和近似：勾r ( j a x ，以，) ，n a t = t 。 在图2 1 中画出了在t = 4 时的真解与两个近似解。那么近似解r ( 地，n a t ) ， ，- - i ，2 ，j ，一= l ，2 ，n ，收敛于真解r o ，d ，当且仅当对于所有的 ，= l ，2 ，随着缸，f _ o ( 即上斗) ，有 缸，i r ( j 缸，础) 一f ，丁m _ o z 2 l o 051 01 5 图2 1t = 4 时的真解和近似解 这里可以看出，相容性是研究差分方程与微分方程的关系，而收敛性则是研 究差分方程的解是否逼近真解的问题。 ( 3 ) 稳定性 任何一个差分格式，如果无法抑制误差的迅速增长而最终让误差掩盏了方程 的正确解，那么这种差分格式就不是稳定的格式。 差分格式的稳定性在数学上有不同的解释i 删。设r ? 是差分方程沿时间f 逐步 求解而得到的正确解。由于舍入误差等原因，在点( 刀出，弘x ) 引入扰动占，解r 变 成r + 占。如果在随后的求解过程中，没有新的扰动引入，则解( r 嶂) ：与正确解一 的差( r ) ；一一表示由于占的影响而引起的对正确解l “的偏差。如果误差连续引 9 河海大学硕士学位论文 入或多点引入，则在线性情况下，累积误差是各个误差影响的迭加。用占表示误 差的最小绝对值，k i 1 时，相位误差很大，从实用 酞酞 观点，口宜选用 o 5 1 4 3 1 。( 这里的c = “导为称为e o u r a n t 数。) 甜 当我们给出合适的边界条件，使圣维南方程组是适定的，采用的p r c s s i m a n n 1 4 第二章数值计算基本理论 隐式格式是稳定的，离散得到的差分方程与偏微分方程是相容的，则根据l a x 等价定理，求解该差分方程得到的解就可以代表原圣维南方程组的解。明渠水流 的边界问题，将在3 2 3 节中具体介绍。 当采用上述差分格式对圣维南方程组进行离散后，将形成一系列线性代数方 程组。求解该代数方程组，得到差分方程的解，即可实现对一维河道水动力问题 的求解。 2 2 线性代数方程组的求解方法 各种离散方法所形成的代数方程组的求解，是数值模拟的一个重要环节，对 提高模型的精度和效率具有重要作用。代数方程组的求解可以分为直接解法及迭 代法两大类。 所谓直接解法是指通过有限步的数值计算可以获得代数方程组解的方法。目 前用于解多维问题的线性方程组中经常用到的是g a u s s 消元法1 4 7 1 1 4 。1 。g a u s s 消元 法是把系数矩阵通过消元而化为上三角矩阵，然后逐一回代得到方程组的解。由 于g a u s s 消元法所用乘法的次数近似正比于3 ，当方程组未知量比较大时， 计算所需时间多、内存大，因而这一方法的使用受到了一定的限制。 迭代法是通过先假定未知量的值( 作为初始值) ，根据初始值计算离散后方 程的系数，然后求解方程得出未知量的值，将计算得到的未知量的值做为新一轮 的迭代的初始值继续重复前面的过程。当计算前后两次迭代差值小于某正数， 即停止迭代。下面主要介绍t d m a 法【4 9 l 和几种常见的迭代方法。 2 2 1t d m a 方法 如果方程组的系数矩阵中，所有非零元素都沿着矩阵的三条对角线排列，构 成三对角矩阵。对于这样的线性方程组，采用标准的高斯消元法求解，消元过程 转化为相当简单的计算程式，称为托马斯( t h o m a s ) 计算程式或三对角矩阵 计算程式( t d m a - - t r i d i a g o n a l m a t r i xa l g o r i t h m ) 。 设一个一维问题的离散节点编号依次为l ，2 ，3 ，n ，点l 和点n 代表边 界点。离散方程组可统写为 q 王- - b , r , “+ c ，z l + z f = 1 ，2 ，( 2 2 9 ) 为使上式对边界点l 和n 同样有意义，不妨令 河海大学硕士学位论文 q = 0 ，虬= 0 ( 2 3 0 ) 考察式( 2 2 9 ) 和( 2 3 0 ) 可见，f = 1 时方程简化为五、疋的关系式，因而可 用正表示五；f _ 2 时的方程是正、正和r 3 的关系式，但因为互可用五的函数表 示，故该方程可写为正和五的关系式，可用五表示疋；依此类推，当i z n 时， 可用巧+ ，表示瓦，但瓦+ ，没有意义，此步代入的实际结果是得到瓦的数值。上 述过程称为前代。得出巧的数值之后，根据前述原理，按相反的方向回代，可 由咒求出兀1 ，由乃。求出乃一2 ，最后由巧求出正。这就是t d m a 方法的基本 原理。 设前代过程中的z 和正+ 。的关系可写为 正= 只z 。+ q ( 2 3 1 ) 则有 z l = 只一l z + q l ( 2 3 2 ) 将( 2 3 2