（计算数学专业论文）广义fkpp方程的有限差分方法模拟.pdf

摘要 自然科学和工程学中许多领域提出了非线性偏微分方程定解问题其中广义 f k p p 方程模拟了非线性反应扩散现象本文研究如下广义f k p p 方程初边值问 题的数值模拟 i 舞( z ，t ) = 譬菇e 一2 翥 ( 以s ) d s + f ( u ( x ，t ) ) ， o $ b ，0 t 正 让( z ，0 ) = t 0 ( z ) ，口sz 厶 ( 0 0 1 ) it ( n ，t ) = 口o ) ，u ( 6 ，t ) = 卢( ) ，0 t z 通过引进新变量，将微分积分方程转化成了一个等价的耦合偏微分方程组对反 应项分两种情况讨论当f ( “) 是线性的，建立了一个两层差分格式当f ( u ) 是非 线性时，建立了一个三层线性化的差分格式将离散变量进行分离，得到了等价的 局部非耦合的差分方程组，在每一时间层上只需求解一个三对角方程组应用能 量方法，证明了所建立的差分格式是唯一可解的，关于时间步长和空间步长均是 二阶收敛的 关键词广义f k p p 方程，差分格式，局部非耦合，唯一可解，收敛 a b s t r a c t n o n l i n e a rp a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n sa r i s ei nm a n ya r e a so ft h en a t u r a la n de n g i - n e e r i n gs c i e n c e s t h eg e n e r a l i z e df k p pe q u a t i o nm o d e l sn o n l i n e a rr e a c t i o na n dd i f f u s i o n p h e n o m e m i nt h i st h e s i s ，w es t u d yt h en u m e r i c a ls i m u l a t i o nf o rt h ef o l l o w i n gi n i t i a lb o u n d a r y v a u l ep r o b l e mo fg e n e r a l i z e df k p p e q u a t i o n i 鲁( z ，t ) = 7 dj o t e 一宰象( z ，s ) d s + f ( u ( x ，t ) ) ，口 z b ，0 t l u ( z ，0 ) = t l o ( 。) ，s b ， ( 0 0 2 ) it ( o ，t ) = 口( t ) ，u ( 6 ，t ) = 卢( ) ，0 s t s z a f t e ri n t r o d u c i n gan e w v a r i a b l e ，t h ei n t e g m - d i i l e r e n t i a le q u a t i o ni st r a n s f o r m e di n t oa n e q u i v a l e n tc o u p l e ds y s t e mo fp a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n s i ff ( u ) i sl i n e a r ，w ec o n s t r u c t s tt w o - l e v e ld i f f e r e n c es c h e m e i ff ( u ) i 8n o n l i n e a r ，w ec o n s t r u c tat h r e e - l e v e ll i n e a r d i f f e r e n c es c h e m e t h es c h e m e sc o n s t r u c t e dc a nb ep r o v e dt ob el o c a l l yu n c o u p l e db y s e p a r a t i o no fd i s c r e t ev a r i a b l e s i ti sa l s op r o v e dt h a tt h es c h e m e sa l eu n i q u e l ys o l v a b l e a n ds e c o n d - o r d e rc o n v e r g e n ti nb o t ht i m ea n ds p a c eb ye n e r g ym e t h o d k e y w o r d s ：g e n e r a l i z e df k p pe q u a t i o n ；d i f f e r e n c es c h e m e ；l o c a l l yu n c o u p l e d ；u m q u d y s o l v a b l e ；c o n v e r g e n t 东南大学学位论文 独创性声明及使用授权的说明 一、学位论文独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的 研究成果尽我所知，除了文中特别加以标明和致谢的地方外，论文中不包含其他 人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得东南大学或其它教育机构的学 位或证书而使用过的材料与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在 论文中作了明确的说明并表示了谢意 二，关于学位论文使用授权的说明 签名。墟玉莲日期。鳗：! l ! ! 东南大学，中国科学技术信息研究所，国家图书馆有权保留本人所送交学位 论文的复印件和电子文档，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文本人电 子文档的内容和纸质论文的内容相一致除在保密期内的保密论文外，允许论文 被查阅和借阅，可以公布( 包括刊登) 论文的全部或部分内容论文的公布( 包括刊 登) 授权东南大学研究生院办理 签名。速妾莲。导师签名； 腽日期：。血- f i s h e r 方程 第一章引言 害 ，t ) = d 礤0 2 u 扛，t ) + f ( ”) ，口 0 此时方程有两个稳态解t = 0 和让= 1 ，前一个解是不稳定的，而后一个解稳定方 程的解以速度c = 、4 d a 发展成一个行波解连接两个稳态解当反应加快时，速度 c 变得很大，此时方程( 1 0 1 ) 不能很好地刻画模型的物理性质，可以用下面的微分 积分方程修正 警( z ，t ) = 7 d 上f t e r 面o e u ( z ，s 冲+ f ( 吐n 。 6 。 0 ，并满足相容性条件蛳( d ) = n ( o ) ，u o ( b ) = 卢( o ) 文献 4 】中讨论了一维无界域上带光滑边界条件的稳态f k p p 方程的解的性 质w a z w a z 和g o r g u i s 5 用a d m 方法研究了f k p p 方程m i c k e n s 6 1 对含非线性 扩散项的f i s h e r 方程建立了一个非标准的有限差分格式。并证明了差分解的有界 性e i - a z a b 7 研究了带非线性扩散项的f 曲e r 方程的数值解，在时间和空间方向 分别用r o t h 方法和w a v e l e t g a l e r k i n 方法离散，并进行了误差分析但对广义f k p p 方程( 1 0 2 ) 的研究还比较少【8 讨论了方程( 1 0 2 ) 在赫维塞德条件下解的存在 性及其性质b r a n e o ，f e r r e i r a 和o l i v e i r a 9 1 用数值方法研究了方程组( 1 0 2 ) 一( 1 0 4 ) ， 分别甩有限差分方法建立了向前e u l e r 格式和向后e u l e r 格式，并得到差分格式的 收敛阶为o ( k + h 2 ) 其中k 和h 分别代表时间步长和空间步长 取正整数m 和j v 将区问 口，6 作m 等分，将区间【0 ，刀作等分并记 h = 等，k = 寺= n + i h 0 i m ，t n = n k ，0 k n 令n = 1 0 is 东南大学硕士学位论文第一章引言 2 m ) ，0 k = t 。1 0 n ) ，并假设u = 婶1 0 i m ，0 sn s ) 是q 吼上的网 格函数，引进以下记号 喀；= j 1 ( “? + 啦1 ) ， 一5 = ：( 曰+ “? 一1 ) ， 霹= ；( + l + 嵋一1 ) ， t 露= ；( 疋略 一以“：) ， 疋u = ；( “? 一屹1 ) 盈冒一5 = ；( 婶一“? 一1 ) ， a t u ? = 去( u ? + 1 - - ? 一1 ) ， 色札? = 去( 略。一“：。) 令 w = 埘= ( w 0 ，w l ，w m 一1 ，叫 f ) i w o = 1 1 1 m = o ) 对任意w w ，定义如下范数 0 = 其中毗一；= ；( 蚍+ 妣一1 ) ，1 i m 本文的第二章主要讨论当f ( u ) = ，( z ，t ) + 9 ( z ，t ) 时，方程组( 1 0 2 ) 一( 1 0 4 ) 的 有限差分解2 1 节通过引进新变量口，将方程组( 1 0 2 ) 一( 1 0 4 ) 转化成等价的t ，口 耦合的线性方程组对新的方程组建立了一个两层的差分格式，该差分格式是耦 台的通过离散变量分离可以将耦合差分格式转化成局部非耦合的形式2 2 节证 明了建立的差分方程组是唯一可解的，并且在时间和空间方向都二阶收敛于连续 解( z ，t ) 第三章给出了f ( u ) = 地( 1 一u ) 时的情况同样引进新变量口，但此时得到的耦 合方程组是非线性的3 1 节建立了一个三层线性化的差分格式，并给出了与其等 价的局部非耦合的差分形式在3 2 节中，证明了前一节建立的差分格式是唯一可 解，并且以收敛阶d ( 胪+ h 2 ) 收敛至连续解u ( z ，t ) 最后给出两个数值算例验证前两章建立的差分格式的可行性及有效性 第二章线性反应项时差分格式的建立及分析 本章考虑f ( u ) ；f ( x ，t 扣+ g ( x ，t ) 的情况，此时方程组( 1 0 2 ) 一( 1 0 4 ) 有如下形 式 缸t ) - 孚r e t - - r j 耐a 2 u 邵) d s + m ，咖砒铣 口 z b 0 t t u ( x ，0 ) = t 0 ( z ) ，d z sb ， “( o ，t ) = d o ) ，u ( b ，t ) = p o ) ，0 s t z 在以下的讨论中，假设方程组( 2 0 1 ) 一( 2 0 3 ) 有充分光滑的解( 墨t ) 2 1 差分格式的建立 害= 宝堋州) “州椭。 z 6 ，o f 正 二妻：关一三，口嚣b，ots正dd一面= 瓦一一 ，口 嚣 o ，u s 1 ， t 扛，0 ) = ( z ) ，a z 6 v ( x ，0 ) = 0 ，a z b ， “( o ，t ) = o ( t ) ，u ( b ，t ) = 卢( ) ，0 s t r 定义q x n 上的网格函数 卵= u ( x l ，t n ) ， = 口( 黾，t n ) ，0 s i m ，0 n ( 2 0 1 ) ( 2 0 2 ) ( 2 0 3 ) ( 2 1 1 ) ( 2 1 2 ) ( 2 1 3 ) ( 2 1 4 ) ( 2 1 5 ) 由t a y l o r 展开，得 盈嚼= 以k n 一- 5 + m 一知) 嚼+ 9 ( 址，址) + ( p - ) 身， 1 i s m ，1 n n ，( 2 1 6 ) 万t 仉1 n 二- 5 = 疋q 2 一面1r 卜n - 5 + ( 戊) 身， i 一 i 一 m ，l n ，( 2 1 7 ) 3 幽 曲p 塑如 字 z 组 d 7 程 = 方 砷 列 下 口 阶等 o2 id 0 令 题阿剐 叁妻查竺曼圭兰篁垒塞 塞三塞丝垒星窒堡堕叁坌堡塞墼塞塞垦坌堑 4 四= t 0 ( 戤) ，1 i m 一1 ， 曙= 0 ，0 i m ， c 露= a ( t 。) ，= z ( t 。) ，0 n n 存在常数c o ，使得 旧身i c o ( h 2 + 驴) ，f _ 1 ，2 在( 2 1 _ 6 ) 一( 2 1 1 0 ) 中略去小量项渤) 写，得到 ( 2 1 8 ) ( 2 1 9 ) ( 2 1 1 0 ) 巩= 瓦嗣+ 碍嗣+ g i ”- 4 ，1 s i m1s 0 ，选择适当的，使c l 七 2 ，则有 “：；= 0 ， ( 2 2 5 ) 只胍 分v | 一 怛， n 卜 c+ 啦啦 一 嵋n l 1 一 一 落= 吐 r d + 尸 n 卜 u r 卜2 一老 壅堕查竺堡圭兰堡矍塞篁三塞丝丝星鏖堡塑叁坌堑塞墼塞兰丝坌堡 7 和 由( 2 2 3 ) 式和( 2 2 5 ) 式，得到 根据( 2 2 1 ) 式，有 喀圹0 u ? = 0 ，0 s m 如0 2 0 ， 再利用( 2 2 6 ) 式和( 2 2 7 ) 式，可得 嵋= 0 ，0 s i m 定理证毕 口 ( 2 2 6 ) ( 2 2 7 ) 引理2 2 2 设( p ，g t i ，n 0 为非负序列。且满足 p + 1 ( 1 + c k ) f + k g ，几= 0 ，1 ，2 ， 其中c 为非负常数，则有 ， p + 1 e c ( n + d ( p + 女g f ) ，n = 0 ，l ，- 2 1 = 0 定理2 2 3 设同题( 2 0 1 ) 一( 2 0 3 ) 的解u ( x ，t ) c 4 , 3 ( 【口，6 】1 0 ，2 1 ) ，( x ，t ) 是【d ，6 】 【0 ，卅上的有界函数，则差分格式( 2 1 1 7 ) 一( 2 1 2 2 ) 的解收敛于问题( 2 0 1 ) 一( 2 0 3 ) 的 解，收敛阶为d ( 铲+ 驴) 证明定义网格函数 ( e 1 ) ? = w 一“? ，( e 2 ) ? = ? 一嵋，0 i m ，0 n ： 将( 2 1 6 ) 一( 2 1 1 0 ) 与( 2 1 1 2 ) 一( 2 1 1 6 ) 相减，得误差方程， m ( e ) 2 = 以( e 。) 鸳+ 碍( e 1 ) 毒+ ( p ) 习， 1 i 尬1 n 、r ，( 2 2 8 ) 去弥。) 身= 以( e 1 ) 身一去( e 。) 鸳+ ( 以) 毒， 1 m1 n ( 2 2 9 ) ( e a ) o = 0 ，1 s i m l ，( 2 2 1 0 ) ( e 2 ) ? = 0 ，o i m ( 2 2 1 1 ) ( e 1 ) 3 = 0 ，( e 1 ) 备= 0 0 n n ( 2 2 1 2 ) = = 曼! ! 圣量竺! 圭量堡堡圣 里三兰 堡垒星塞堡堕叁坌堡圣竺至圣丝坌堑8 将( 2 2 8 ) 两边乘以2 ( e ，) i n 一- f _ 1 ，( 2 2 9 ) 两边乘以2 ( e 2 ) 2 ，得到 水- 码i - ) 2 书甚n - ；1 ) 2 + 2 当地。蚶书) 葛) 2 = 元1 ( ( e - ) ，( e ：) ，一( e - ) 身( e 。) 身) + 2 搿( ( e - ) 墨) 2 一面2 ( ( e 。) ；n 一_ f 1 ) 2 + 2 ( m ) 聋( e t ) 专+ 2 ( m ) 焉( e 2 ) 鸳 i 1 ( ( e - ) ( e 。) 一一( e t ) 并( e 。) 岔) + 2 c t ( ( e 。) ；n f i ，2 一面2 ( ( 如) 看) 2 + ( ( e - ) 哿) 2 + ( ( p - ) 穹) 2 + 扒2l e 2 j ；n f i j 2 + 烈d 【戊k n - f - 1 ) 2 一元1 ( ( e - ) 地e 。) ；n 一( e - ) n ；一- 1 2 ( e i ：) 。n - 5 ) + ( 2 c 。+ 1 ) ( ( e 。) 者) 2 + ( ( n ) 身) 2 + i d ( ( 伪) ；n 一- f i ) 2 不等式两边同乘h ，并对f 从1 到m 求和，注意到( e 1 ) ；一 ：( e 1 ) 孑；：0 ，有 ；( 1 l ( e 1 ) i i 刈( e 1 ) 州1 1 2 ) + 刍却e 。) i i 刈( 秽i i ) ( 2 c - + 1 ) o ( e - ) ”瓢2 + o ( n p 一 1 1 2 + 罢o ( p 2 ) ”知2 期 ( o ( e - ) “1 1 2 + 刍( e 。) “) 一( 8 ( e t ) ”一1 1 1 2 + 刍i | ( e 。) “一1 ) ( 2 c t + 1 ) 1 1 ( ”锄2 + k 1 1 ( 川”钏2 + 铷硝一n ( c t - fj 1 ) ( j i ( e - ) 刈2 + 1 1 ( e - ) ”1 i j 2 ) + 1 1 ( n ) ”却2 + 詈j j ( 戊) ”知。) 曼( c - + ；) ( 胍e ，r i l 2 + 寺胍吃) “) + ( c - + ；) 女( 眦e - ) ”。1 1 2 + 刍舭e 。) ”1 ) + 女1 1 ( n ) “一0 2 + 鲁i i ( p ：) “一；1 1 2 ) 令c 2 = c 1 + i 1 ，移项得 ( 1 一c 2 女) ( 1 i ( e 1 ) ”1 1 2 + 却( e z ) ”) s ( 1 + c 2 k ) ( 1 1 ( e - ) ”一1 1 1 2 + 丢8 ( e ：) “一1 ) + ( | | ( p - ) “一；1 1 2 + 拿j i ( 艘) ”一 0 2 ) 壅曼奎耋曼主竺堡篁塞 量三塞垒堡星堡堡堕叁坌堑苎竺塞塞矍坌堑 9 当步长k 满足c 2 后 时。有 ( i i ( e 1 ) “1 1 + 舢e 。) ”) ( 1 + 3 c 2 仆e 1 ) “1 1 2 + 舢妙一1 ) + ；女1 1 ( m 一旷+ 瓢硝却) 由引理2 2 2 可得 i i ( e 1 ) “1 1 2 + 舢e 。) ”1 1 2 叫0 ( e 1 ) 2 咖嘲2 增3 静川酽唧d 酽) 根据( 2 2 1 0 ) 一( 2 2 1 2 ) 及( 2 1 1 1 ) ，可知 其中 定理证毕 口 l ic e l ) ”1 1 2 + 扣e z ) “1 1 2 e s ( h 2 + 炉) 2 c 3 = 2 3 。2 t e 3 ( c - + 戮1 + i d ) 第三章非线性反应项时差分格式的建立与分析 第二章考虑了f ( u ) 是线性的情况，而在大部分生物和化学现象中f ( u ) = a “( 1 一u ) ，aj0 此时方程组( 1 0 2 ) 一( 1 0 4 ) 有如下形式 u ( x ，0 ) = u o ( x ) ，o s6 ， u ( a ，t ) = o ( t ) ，u ( b ，t ) = p ( t ) ，0 t z 在以下的讨论中，我们均假设问题( 3 0 1 ) ( 3 0 3 ) 有充分光滑的解u ( x ，t ) 方便，本章仍甩f ( u ) 表示 u ( 1 一u ) 3 1 差分格式的建立 ”( 霸力= 孚z e 一字爱( s ) d s ， 得到如下等价的方程组 害：妻+ 脚) ，n z 以o t s l 瓦= 瓦十，t “j ， n z 仉u s ， 二d 塞= 塑o z 一三d z t ?反 一一 u ( x ，0 ) = 咖( z ) ， 口 z b ， 材( z 。o ) = 0 ，a z b ， u ( a ，t ) = a ( f ) ，u ( b ，t ) = 1 3 ( t ) ，0 t r 定义q n k 上的网格函数 w = u ( x i ，t n ) ，w = v ( x i ，k ) ，0 i m ，0 n n 根据t a y l o r 展开式，有 ( 3 0 1 ) ( 3 0 2 ) ( 3 0 3 ) 为了书写 ( 3 1 1 ) ( 3 1 2 ) ( 3 1 3 ) ( 3 1 4 ) ( 3 1 5 ) t 吧 = g v , n ：, + f ( 曜；) + ( 伪) ： ， 1 m ，1 n n 一1 ，( 3 1 6 ) 面t ，! = 以睡 一三d 矿i n - + ( 舶) ： ， ls l m ，1 n 、一1 ( 3 1 7 ) 1 0 正 ob吣 0 ，得到 和 如札1 1 1 2 + 扣州1 1 2 ) = 一l l i v + l l l 2 根据( 3 2 3 ) 和( 3 2 4 ) ，有 i l u + l l l 2 + 可t + k v + 1 1 1 2 = o “i n 一+ ；l = 0 ，1 i m 嘣2 0 ，1 i m n + 1 = 0 ，0 i m ( 3 2 4 ) ( 3 2 5 ) 壅堕奎兰堑圭竺堡垒塞 堡三塞斐丝堡堡塞垄堕耋坌童苎竺塞皇皇坌堑 1 4 而由( 3 2 1 ) 式，可得 6 z 嘣5 o ，l i m 再根据( 3 2 5 ) 及( 3 2 6 ) ，得到 由此，定理证毕1 ：3 嘻+ 1 = 0 ，0 m ( 3 2 6 ) 定理3 2 2 假设u ( x ，t ) 3 ( 陋，6 jx 【0 ，卅) 是连续同题( 3 0 1 ) 一( 3 0 3 ) 的解，且 存在正常数c 5 和e ，使得k = c 5 ，l “则差分格式( 3 1 1 9 ) 一( 3 1 2 3 ) 的解 u ? ) 收敛于 连续问题( 3 0 1 ) ( 3 0 3 ) 的解u ( x ，t ) ，收敛阶为o ( k 2 + 2 ) 证明令 c 62 m m 6 ，a x ti “( 。，。) l 定义网格函致 ( e n = 叼一t 口，( e 4 ) ? = 一嵋，0 i m ，0 s s n 将( 3 1 6 ) 一( 3 i 1 0 ) 与( 3 1 1 4 ) 一( 3 1 1 8 ) 相减。得误差方程组 t ( 岛) ： = 以( 而) n _ ；+ f ( 曜 ) 一f ( u ：) + ( 廊) ： ， 1 i m ，1 n n 一1 ，( 3 2 7 ) 五t t ( e 4 ) ： = 露( 西) ：；一面, i l e - - 4 凡n j + ( m ) ： ， 1 i m ，1 n n 一1 ，( 3 2 8 ) ( e 3 ) t 0 = 0 ，( e 3 ) ：= 店j ，1 i s m 一1 ， ( 3 2 9 ) ( e 4 ) i 0 = 0 ，( e 4 ) ：= 舶j ，0 i m ， ( 3 2 1 0 ) ( e 3 ) ；= 0 ，( e 3 ) 勘= 0 ，0 ，l n ( 3 2 1 1 ) 利用( 3 2 9 ) ( 3 2 1 1 ) 及( 3 1 1 2 ) - ( 3 1 1 3 ) 可知 和 3 ) o i i = 0 ，i i ( e 3 ) 1 i i c 4 k 2 ( t | ) o i | = 0 ，l i ( e 4 ) 1 c 4 k 2 ( 3 2 1 2 ) ( 3 2 1 3 ) 东南大学硕士学位论文第三章非线性反应项时差分格式的建立与分析1 5 以r j | 寻让明 i i ( e 3 ) ”1 1 2 + 去l l ( e 4 ) ”1 1 2 0 7 ( 七2 + 2 ) 2 ， o ns ， ( 3 2 1 4 ) 其中c 7 = e 耵1 + 1 3 + 2 c 6 ) 【1 + 考+ 3 t ( 1 + 导) 注意到( 3 2 1 2 ) 和( 3 2 1 3 ) ，可知( 3 2 1 4 ) 式在n = 0 ，1 时成立现假设( 3 2 1 4 ) 式 对任意0 n l ( 1 f n 一1 ) 都成立，即有 l ( e 3 ) ： l v 历c k 2 + h 2 ) h 一 、7 石( 露胪+ ；) 1 ， 1 i m ，1 扎l ， 故 l u l ；l + 1 ， 1 m ，1 ，l z 根据 f ( 0 ；) 一f ( 啦i ) = 一( 肇 ) ( e 3 ) ：2a ( 1 + 2 0 ；) ( e 3 ) ：， 其中q ；介于嚯，u n _ 之间，可知 i f ( u ) 一f ( “： ) i a ( 3 + 2 c 6 ) l ( e 3 ) 互 l ，l l m ，l f l z ( 3 2 1 5 ) 将( 3 2 7 ) 两边同乘2 慨) ：，( 3 2 8 ) 两边同乘2 晒) ：，所得结果相加并利用( 3 2 1 5 ) 式，可得 去 ( ( e a ) 葛) 2 一( ( e s ) 葚) 2 + 丢去 ( ( 葚) 2 一( c e t ) 葛) 2 = 元1 ( 而) ? ( 黾) ? 一( 白) 墨- ( 自) o z 】+ 2 【f ( e o ；) 一f ( u ： ) 】( 而) ： 一面2 ( ( 毛) ：；) 2 + 2 一n ( 黾) ： + 2 ( m ) ： ( 函) ： ! ； ( c - n e 。n - 一n ，( e q ) l t 】+ 2 a ( 3 + 2 。，l e 。 一i il - ，n ；一 i + ( ( 两) ： ) 2 + ( ( 舶) ：) 2 + 导( ( m ) ： ) 2 ，1 t m ，1 s n 1 上式两端同乘h ，并对i 从1 到m 求和，根据隔) 3 = 慨) = 0 ，可得 去( 1 i ( e 3 ) ”i i i f ( e 3 ) ”i i ) + 刍去( | | ( e 4 ) ”i i i i ( e 4 ) ”i i ) ( 3 + 2 c 6 ) ( 0 ( e 3 ) ”1 1 2 + i i ( 自) “1 1 2 ) + 0 ( 而) “1 1 2 + j | ( m ) “1 1 2 + d i i ( p 4 ) “1 1 2 ；( 1 + a ( 3 + 2 c 6 ) ) ( 胍e 3 ) ”+ 1 1 1 2 + 姒e 3 ) 4 “8 2 ) + a ( 3 + 2 c 6 ) 叭e 3 p i l 2 刊( 舶) n i l 2 + d i i ( p , ) n i l 2 蔓! 盎堂堕堂笪堡塞第三章非线性反应项时差分格式的建立与分析 1 6 令c 8 = a ( 3 + 2 c b ) ，得到 ( i i ( e 3 ) “+ 1 t 1 2 + 去o ( e t ) “+ 1 1 1 2 ) 一( 1 i ( e a ) “一1 1 1 2 + 去o ( e t ) “一1 1 1 2 ) ( 1 - 1 - c 8 ) 七( 0 ( e 3 ) ”州0 2 + h ( e 3 ) 8 1 0 2 ) + 2 c s k ( e 3 ) “1 1 2 慨( 胍硝1 1 2 + - 罢- i i ( p 4 ) i i ) e p i i ( e 3 ) ”1 1 1 2 + 寺i i ( e t ) ”1 1 1 2 + i i ( e 3 ) “1 1 2 + 去o ( e t r i l 2 一( 1 | ( e 3 ) ”1 1 2 + 舢e t ) ”1 1 2 + | | ( e 3 ) “1 1 2 + 扣e t ) “1 1 2 ) ( 1 + c s ) k ( 1 1 ( e s ) ”+ 1 1 1 2 + d l ( e 4 ) ”+ 1 1 1 2 ) + 2 c s k ( 1 1 ( e s ) “1 1 2 + d i i ( e 4 ) ”1 1 2 ) + ( 1 + 臼) ( 眦e 3 ) ”1 1 1 2 + 丢队e 4 ) ”1 1 1 2 ) + 2 ( 队p 3 r i l 2 + 罢以r i l 2 ) ( 1 + c 8 冲( o ( e 。) “+ 1 1 1 2 + 丢o ( e t ) ”1 1 1 2 + o ( e a r i l 2 + 去i f ( e t r i l 2 ) + ( 1 + c b 冲( i l ( e 3 r i l 2 + 丢o ( e t r i l 2 + o ( e 。) ”一1 1 1 2 + 吾8 ( e 4 ) 竹- 10 2 ) 慨( 眦硝1 1 2 + 罢- 1 1 ( 硝1 1 2 ) 令 驴= | | ( e 3 ) “1 1 2 + 舢e 4 ) “1 1 2 + i i ( e 3 ) “1 1 2 + d i l ( e 4 ) “1 1 2 ， 可得 1 - ( 1 + 臼) 叫f + 1 【1 + ( 1 + c 8 ) 捌驴+ 2 1 1 ( 内r i l 2 + 詈姒m r i l 2 ) ，1 ”f 当步长满足( 1 - 1 - c 8 ) s i l 时，有 f + 1 f l + 3 ( 1 + 臼) 翻+ 3 女( 眦店) n i l 2 + 鲁眦几) 刈2 ) ，1 n z 根据引理2 2 2 得到 妒侧卜s t 鄯c 删2 吩圳2 ) s 即“计 ( 1 + 云增k 4 - 1 - 3 t ( 1 + i d 川2 2 + 钟 奎曼奎竺曼圭竺堡丝苎量三塞矍丝堡星塞堡堕叁坌堑苎竺塞塞皇坌堑 1 7 故( 3 2 1 4 ) 式在n = f + 1 时也成立，至此完成了归纳步骤 由以上的证明过程知，( 3 2 1 4 ) 式对任意0 n 冬n 均成立，即0 ( e 3 ) “0 面( 2 + 2 ) ，0 n n 定理证毕 r l 第四章数值算例 第二章对带线性反应项的广义f k p p 方程( 2 0 1 ) 一( 2 0 3 ) 建立了两层差分格式 ( 2 1 1 7 ) 一( 2 1 2 2 ) ，该差分格式是局部非耦合的根据( 2 1 1 8 ) 和( 2 1 1 9 ) ， u ? ，醒10 is m 已知若 嵋，哼- 1 1 0 i m ) 已知，此时差分格式( 2 1 1 7 ) 和( 2 1 2 0 ) 可以写 成 ；( 毋一嘣) + ；( 嗣1 n + - 1 ) = 熹鹾+ i 1i 一- f i n 一- - f l + 名n - f 1 “霹) + 熹矿1 + ；( + ) ，i 一 i 一 m - 1 ，( a 肌) 谣一：业d 掣，口：丁f l ( t n - - 1 ) + f l ( t n ) ( 4 0 2 ) 上述格式可以看成关于未知函数 一j 1 1 t m 一1 的三对角线性代数方程 组，可以用追赶法求解求出 u ? 一 1 1 m 一1 ) 以后，应用公式 t 口= 乩? 一i 一“? 一1 ，1 t m 一1 即能求得 嵋1 1 i s m l 由公式( 2 1 2 1 ) ，( 2 1 2 2 ) 可求出 嵋| 0 t m 例1 ：考虑下面带线性反应项的广义f k p p 方程 瓦o u ( z ，t ) = 2 t e - 2 ( t - a ) d 2 u ( z ，s ) d s + u - 2 e - 2 如z 0 z 霄，0 t 1 ， “( z ，0 ) = s i n x ，0 z 丌， “( 0 ，t ) = 0 ，t ( 丌，t ) = 0 ，0 s t 1 ， 容易求出此问题的精确解是 ( 4 0 3 ) ( 4 0 4 ) ( 4 0 5 ) u ( z ，t ) = e s i n x 取h = 击，n = m 用差分格式( 2 1 1 7 ) 一( 2 1 2 2 ) 计算( 4 0 3 ) 一( 4 0 5 ) 的数值解 表1 给出了在t = 1 时部分结点处的数值解和精确解表2 给出了t = 1 时部 分结点处数值解的绝对误差，误差曲线见图4 定义 肛”( 女，h ) l l ：= 1 8 丽 i 一 ，“n 壅里查兰堡圭兰堡篁塞量塑塞鍪堡篁堡 1 9 表1 ：t = 1 时部分结点处的数值解和精确解 f z 0 2 7 ro 4 7 r o 6 7 ro 8 7 r u ( o ，1 ) 0 2 1 6 2 3 4 1 1 0 1 0 3 4 9 8 7 4 1 3 9 70 3 4 9 8 7 4 1 3 9 7 0 2 1 6 2 3 4 1 1 0 1 表2 ：t = i 时部分结点处数值解误差的绝对值 m ? 0 2 霄0 4 丌0 6 丌0 8 霄 1 01 2 3 9 7 7 8 6 4 e - 22 0 0 6 0 0 3 9 8 e - 2 2 0 0 6 0 0 3 9 8 e - 21 2 3 9 7 7 8 6 4 e _ 2 2 03 0 8 2 5 6 9 3 6 e - 34 9 8 7 7 0 2 0 0 e - 34 9 8 7 7 0 2 0 0 e33 0 8 2 5 6 9 3 6 e 3 4 07 6 9 5 9 0 1 1 0 e - - 4 1 2 4 5 2 2 2 9 6 e - 31 2 4 5 2 2 2 9 6 e - 37 6 9 5 9 0 l l o e - 4 8 0 1 9 2 3 3 1 8 0 4 e - 43 1 1 1 9 9 3 9 7 鲥3 i i l 9 9 3 9 倍41 9 2 3 3 1 8 0 4 e 4 1 6 02 3 0 2 1 3 4 0 4 e - 53 7 2 4 9 3 1 1 3 e - 5 3 7 2 4 9 3 1 1 3 e - 52 3 0 2 1 3 4 0 4 e - 5 3 2 0 1 2 0 1 9 4 5 4 3 e 5l ，9 4 4 7 8 8 5 7 e - 51 9 4 4 7 8 8 5 8 e 51 2 0 1 9 4 5 “e _ 5 6 4 03 0 0 4 8 4 7 5 - 64 8 6 1 9 4 5 4 3 e - 64 8 6 1 9 4 5 3 9 e 63 0 0 4 8 4 7 5 4 e - 6 壅堕奎兰塑圭兰堡篁塞量坚塞墼