相似与旋转-角含等角、半角.doc

提分专练 相似与旋转- 角含半角模型一、基本模型：习惯上把过等腰三角形顶角的顶点引两条射线，使两条射线的夹角为等腰三角形顶角的一半，这样的模型称为半角模型.常见的图形主要为正方形、正三角形、等腰三角形，解题思路一般是将半角两边的三角形通过旋转到一边合并成新的三角形，从而进行等量代换，然后证明与半角形成的三角形全等，再通过全等的性质得出线段之间的数量关系.1.等边三角形内半角模型如图，ABC为等边三角形，D是ABC内一点，若将ABD经过逆时针旋转后到ACP位置，则旋转中心是点A，旋转角等于60，AD与AP的夹角是60，ADP是等边三角形。2.直角内的半角模型（1）在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且EAF45，则EF=BE+DF（2）在正方形ABCD中，E、F分别是CB、DC延长线上的点，且EAF45，则EF= DF -BE变形：在四边形ABCD中，ABAD，B+D180，E、F分别是BC、CD上的点，且 ，则EF=BE+DF如图，已知RtABC中，BAC=90,AC=AB，点D、E在斜边BC上，且DAE=45,则二、针对训练1. 6.如图D、E是等腰直角三角形ABC的斜边BC上两点，且满足.则DAE= .45ABDEC第1题2.如图，射线AE、AF分别交正方形ABCD边BC、CD于E、F两点，射线AE、AF的夹角EAF=45.连结EF，试说明EF与BE、DF的数量关系.若AM为AEF的高，试说明AM与正方形边长的数量关系.ABECFD第2题解：将ADF绕着点A按顺时针方向旋转90，得ABF，易知点F、B、E在一直线上如图1，AF=AF，FAE=1+3=2+3=90-45=45=EAF，又AE=AE，AFEAFEEF=FE=BE+DF；已知：如图（1），在平面直角坐标xOy中，边长为2的等边OAB的顶点B在第一象限，顶点A在x轴的正半轴上另一等腰OCA的顶点C在第四象限，OCAC，C120现有两动点P、Q分别从A、O两点同时出发，点Q以每秒1个单位的速度沿OC向点C运动，点P以每秒3个单位的速度沿AOB运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随即停止.(1)求在运动过程中形成的OPQ的面积S与运动的时间t之间的函数关系，并写出自变量t的取值范围；(2)在等边OAB的边上（点A除外）存在点D，使得OCD为等腰三角形，请直接写出所有符合条件的点D的坐标；(3)如图（2），现有MCN60，其两边分别与OB、AB交于点M、N，连接MN将MCN绕着C点旋转（0旋转角60），使得M、N始终在边OB和边AB上试判断在这一过程中，BMN的周长是否发生变化？若没有变化，请求出其周长；若发生变化，请说明理由图（1）图（2）解：（1）过点C作CDOA于点DOC=AC，ACO=120，AOC=OAC=30OC=AC，CDOA，OD=DA=1在RtODC中，OC=（1分）（i）当0t时，OQ=t，AP=3t，OP=OAAP=23t过点Q作QEOA于点E在RtOEQ中，AOC=30，QE=OQ=，SOPQ=OPEQ=（23t）=+t，即S=+t；（ii）当t时（如图）OQ=t，OP=3t2BOA=60，AOC=30，POQ=90SOPQ=OQOP=t（3t2）=t，即S=t；故当0t时，S=+t，当t时，S=t（5分）（2）D（，1）或（，0）或（，0）或（，）（9分）（3）BMN的周长不发生变化理由如下：延长BA至点F，使AF=OM，连接CF（如图）又MOC=FAC=90，OC=AC，MOCFAC，MC=CF，MCO=FCAFCN=FCA+NCA=MCO+NCA=OCAMCN=60，