（声学专业论文）充液井孔中超声波传播的理论模拟与实验研究.pdf

摘要 充液井孔声场是一个典型的声波导问题。点声源在充液井孔中激励的声场分 析是许多应用的基础。本文中首先对充液井孔声场进行了理论分析，在此基础上 对导波频散特性进行了数值计算，并对点声源在井孔中激励的声场进行了数值模 拟计算，给出了不同井孔半径和固体材料性质时的波形。本文的第二部分是宽带 压电圆管状换能器的制作与测试分析。第三部分对用铝和塑料制成的充液井孔模 型所模拟的快速与慢速地层进行了实验测定和分析。其中不同地层的理论和实验 波形有好的一致性。而采用p r o n y 信号处理方法得到的实验频散结果与理论结果 在换能器的激励带宽内有很好的一致性。 关键词： 井孔，导波，频散特性，压电圆管换能器，频响，p r o n y 方法 k e y w o r d ：b o r e h o l e ，g u i d e dw a v e ，d i s p e r s i v ec h a r a c t e r i s t i c ，p i e z o e l e c t r i ct u b e 1 i k e t r a n s d u c e r , f r e q u e n c yr e s p o n s e ，p r o n ym e t h o d a b s t r a c t t h ea c o u s t i cf i e l do faf l u i d f i l l e db o r e h o l ei sat y p i c a lp r o b l e mo fa c o u s t i cw a v e g u i d e i n t h i st h e s i s ，t h et h e o r e t i c a la n a l y s i sf o rt h ea c o u s t i cf i e l do faf l u i d f i l l e db o r e h o l eh a sb e e nc a r r i e d o u ti nt h ef i r s tp a r t b a s e do nt h e s et h e o r e t i c a lr e s u l t s ，t h ed i s p e r s i v ec h a r a c t e r i s t i co ft h eg u i d e d w a v e sa r ec a l c u l a t e dn u m e r i c a l l ya n dt h ea c o u s t i cf i e l d so ft h ef l u i d - f i l l e db o r e h o l ee x c i t e db ya p o i n ts o u r c ea r ea l s ob e e ns i m u l a t e dn u m e r i c a l l y t h en u m e r i c a lw a v e f o r m si nt h ec o n d i t i o n so f d i f f e r e n tr a d i u sa n ds o l i dm a t e r i a l sa r ec a r r i e do u t ，a n dt h er e s u l t sa r ea n a l y z e d i nt h es e c o n d p a r to ft h i st h e s i s ，t h ef a b r i c a t e dm e t h o d so ft h eb r o a d b a n dp i e z o e l e c t r i ct u b e l i k et r a n s d u c e r sa r e p r e s e n t e d ，a n dt h e i rt e s t i n ga n da n a l y s i sa r ec a r r i e do u t i nt h et h i r dp a r t , t h ea c o u s t i cf i e l d so f f l u i d f i l l e db o r e h o l e sf a b r i c a t e db yu s i n gt h ea l u m i n u ma n dt h ee n g i n e e r i n gp l a s t i c sa r et e s t e da n d t h er e s u l t sa r ea n a l y z e d t h ee x p e r i m e n t a lw a v e f o r m si nd i f f e r e n tc o n d i t i o n sa r ei ng o o d a g r e e m e n tw i t ht h et h e o r e t i c a l r e s u l t s t h ee x p e r i m e n t a ld i s p e r s i v ea n a l y t i c $ r e s u l t sp r o c e s s e d b yt h ep r o n ym e t h o da r ea l s oi ng o o da g r e e m e n tw i t ht h et h e o r e t i c a lr e s u l t si nt h ee x c i t i n gb a n d w i d t ho ft h et r a n s d u c e r s k e y w o r d ：b o r e h o l e ，g u i d e dw a v e ，d i s p e r s i v ec h a r a c t e r i s t i c ，p i e z o e l e c t r i ct u b e - l i k e t r a n s d u c e df r e q u e n c yr e s p o n s e ，p r o n ym e t h o d 声明尸明 本人郑重声明：本论文是在导师的指导下，独立进行研究工作所取 得的成果，撰写成博士硕士学位论文竺杰遮羞至l 生超虚这佳播的理途搓拯曼 塞坠婴塞= = 。除论文中已经注明引用的内容外，对论文的研究做出重 要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本论文中不包含 任何未加明确注明的其他个人或集体己经公开发表或未公开发表的 成果。 本声明的法律责任由本人承担。 学位论文作者签名：余登 2 口口争年3 月2 日 国鞴t o n g 满j ! ! i i 。蠊 苍瘦绎琵扎逛专赍警曙豫匿仓瞻欲手棼硷开窀 mm 1 1引言 第一章绪论 充液井孔声场是一个典型的声波导问题。由于波导中声波模式的复杂性，一 直以来是理论研究者研究的重要方面之一。充液井孔声场特殊之处在于它是能源 与工程勘探中最常使用的声波测井的基础，其研究对于实际应用有重要指导意 义。因此，该问题的研究成为近些年来国内外声学工作者研究的热点之一。在石 油工业中，声波测井作为一种获得岩石地层有关信息的重要方法已经被广泛应 用。随着石油工业的不断发展，声测井技术越来越显示出其重要作用。常用的声 波测井技术，如声速测井、声幅测井只是应用声波全波列中的纵波速度、纵波幅 度，利用的信息较少。近年来，随着声波在充液井传播的理论研究，声信号与地 层参数关系研究，数字测井技术和测井资料数字处理技术等的发展，提出全波列 测井。声波全波列测井不仅可以利用纵波与横波的速度信息、幅度信息及主频偏 移信息等，还可以利用其它波列成分，如伪瑞利波、斯通利波等，也就是说声波 测井可以提供许多信息为石油勘探与开发服务。因此开展声波测井的理论模拟及 实验研究是很有必要的。 目前关于充液井孔中超声波的理论研究很多，但实验研究比较少，而且有的 问题在学术上尚未达成完全共识。因此，有必要对井孔声场进行进一步的研究， 以满足对实践的指导需要。 本章主要对声波测井及充液井孔中超声波传播的研究现状进行综述，对充液 井孔声场声波波型成分进行系统分析说明，并指出研究本课题的意义，最后是本 文的主要工作。 1 2 声波测井理论研究的现状及研究意义 声波测井理论研究是一个古老又全新的课题。声波测井于二十世纪五十年代 - _ _ - -m_ 【申请同济大学理学颂上论文】 一2 一 鹞嗓意氇熹懑i r y 氟菠啦卧匿茸赍电嚼强重仓努s 棼硷蹶宠 初在国外开始出现，先后出现了用于检测水泥胶结质量的声幅测井；测量井剖 面声波纵波速度倒数( 慢度或声波时差) 的声波速度测井；能够得到井壁上孔洞、 裂缝分部情况直观图像的井下声波电视测井，以及在此基础上发展起来的三维体 积扫描测井；七十年代末出现了声波全波列测井；八十年代初以来，人们对声波 全波测井开展了大量的理论研究和实践工作| 2 - - s 。八十年代中期，阵列声波测井 仪出现，极大的推动了声波测井的发展。 从声波测井的发展特点来看，仪器研制略超前于方法理论的完善，即在大致 的理论方法指导下，研制成功的仪器，并在井下取得较丰富的测井资料的前提下， 使方法理论趋于完善。因此，声波测井的方法理论研究有必要进步加强。值得 一提的是，全波列声波测井实现了对纵波、横波、伪瑞利波、斯通利波在时间轴 上的分离，随后的阵列声波测井仪实现了对声波全波列的数字化记录。从而在很 大程度上，支持了井孔声场的研究。成为声波测井发展的重要时期。 声波全波列测井是测量并记录整个声波波列信息的测井方法。目的是提供套 管波、地层纵波、地层横波、导波等数据，为固井质量评价、岩石力学参数的确 定等提供依据。无限大弹性体中无限长充液圆形井孔中的声学问题是声波测井的 理论基础。许多学者采用数值方法模拟计算井孔内若干位置的声波波形，并与实 际测井信号进行对比1 。在这方面国外最重要的成果是w h i t e ( 1 9 6 8 ) 首次模拟 计算了井外为均匀无限介质7 - 盯，井内为液体时，井内能接收到的体波( 纵波、 横波) 及导波( 伪瑞利波、斯通利波) 的全波波列图形。r o s e n b a u m ( 1 9 7 4 ) 依 托b l o t 理论，用实轴积分法计算了井壁为孔隙介质，井内为液体时的声波全波 列波形。近年来，理论工作者开始研究各向异性b i o t 介质及井外复杂条件时的 井内声场问题，为进一步的实际应用提供基础。但迄今为止的实验研究很少，而 实验研究则对于理论的验证及仪器的研制有重要意义。 由前述可知，由于声波测井在油田开发和工程勘探等领域有重要意义，声波 全波列测井的理论模拟及实验研究长期以来受到国内外学术界的重视。因此，开 展本课题的研究，对于超声波在井孔声场中传播特性的认识及在实际测井中的指 导有积极意义。 【申请i 司济大学理学硕士论义】 一3 国黜味景 苍亵捧强扎黾专费电黥强巨仓睫s 棼硷秀奄 im 1 3 井孔声场声波波型成分分析综述 井孔声场理论的研究主要集中在裸眼井井孔声场的首波理论和模式波理论 两个方面。为了正确地解释井孔声场信息，需要彻底全面理解充液井孔中不同弹 性波的传播“1 。 充液井孔中有两个主要的体波传播：沿着固液界面的纵波和横波。它们一般 是非频散的。存在两种类型的导波。第一种是斯通利波( b i o t ，1 9 5 2 ) ，它是一 种在固液界面两边幅度大致成指数衰减的界面波。有微小的频散且群速度，相速 度大致是流体中p 波速度的0 9 倍。这与平面分层板状结构中的斯通利波是相似 的。是一真实的边界波。第二种界面波是简正模式或者称作伪瑞利波。它们的相 速度在低于地层s 波速度及高于流体p 波速度的范围之间。它们的幅度在远离流 体一岩石界面的岩石地层中大致成指数衰减。然而，它们在流体柱内的幅度是摆 动的。对这些波的命名存在着分歧。b i o t ( 1 9 5 2 ) 称它们为“反射圆锥波”，p e t e r s o n ( 1 9 7 4 ) 称它们为“反射波”m 1 ，t s a n g 和r a d e r ( 1 9 7 9 ) ，c h e n g 和t o k s o z ( 1 9 8 0 ) 称它们为“伪瑞利波”n 。p a i l l e t ( 1 9 8 0 ) 提议称它们为“简正模式”n 柏。这些 名称都可能存在一些问题，反射波可能容易与来自地层界面的反射混淆。而且， 简正模式已经被广泛用于描述表面波或导波。我们应该采用伪瑞利波来描述井孔 中第二种类型的导波。 自1 9 5 2 年b i o t 首先研究了充液井孔中导波模式以来，w h i t e ( 1 9 6 2 ) 研究 了纵波泄漏模式的传播，该模式的速度高于地层中s 波的速度。w h i t e ( 1 9 6 7 ) 和w h i t e ，z e c h m a n ( 1 9 6 8 ) 首次计算了理论声波全波列波型。他们用直接简单 的数值方法计算了不同地层中充液井孔的压力响应。p e t e r s o n ( 1 9 7 4 ) 通过对不 同模式的求和计算了频散曲线及一些理论波型。r o s e n b a u m ( 1 9 7 4 ) 用b i o t s ( 1 9 5 6 ) 的孔隙媒质中波传播理论生成了孔隙地层中的全波列波型，并且说明了 考虑存在测井工具时怎样去修改多孔地层方程。t s a n g 和r a d e r ( 1 9 7 9 ) 计算了 充液井孑l 中的合成全波列波型。然而，他们主要是关注体波的到达，且包含导波 的波形在他们的研究中并没有出现。w y a t t ( 1 9 7 9 ) 在井孔中心存在一弹性工具 研究了一些导波的频散特性。 - - i - -i l li ii 【申请网济大学理学硕士论文】 一4 一 哂患瞧慧 慈夜捧琵扎黾苣密电瀚锪堕鬯瞻唆s 露硷孵窀 i i_ lle l ii 充液井孔中脉冲声源激励的是一个复杂的声场。声波发射器发射的声脉冲经 过各种途径传播到接收器，在接收器上得到的声波全波列波形主要由体波( 纵波 和横波) 与导波( 伪瑞利波和斯通利波) 组成，此外还有一些多次反射波，如图1 一l 所示嘲1 。体波的主要特点是：沿地层传播，幅度存在几何扩散，速度频散可 忽略不计，有一系列共振频率。导波的主要特点是：沿井壁传播，传播幅度最大， 进入地层和井内流体后迅速衰减，不存在几何扩散，相速度有频散。 图l l实际灰岩地层中声测井记录的声波波形 纵波是一种体波，以锥面波形式传播，无频散。若源距选择适当，纵波在全 波列中是首波。它具有传播速度快、幅度小等特点。接收器接收的纵波( p 波) 实 际上是p p p 波，即在井内流体中以压缩波形式传播，传播到井壁处，以第一临界 角折射到岩层中，以纵波形式传播，以后又折回井中，又以压缩波形式传播到接 收器并被接收器接收。 横波也是一种体波，无频散。接收器接收到的声波波型中的横波( s 波) ，实 际上是p s p 波。只要横波速度大于井内流体速度，就能接收到此波。在源距选择 适当，横波在全波列中是次首波。传播速度比滑行纵波小，幅度比纵波大。当岩 层横波速度小于井内流体速度时，接收器接收的声波波型中就没有横波。 伪瑞利波是高速地层测井记录波列的一个重要组成部分，在整个波列中，它 因集中了较多的能量而振幅特别突出。伪瑞利波是一种高频散的界面波，沿井壁 界面传播，紧随横波之后出现，并一直延续到斯通利波。其传播速度介于地层横 波速度与井内流体速度之间，除此之外还有下列性质1 ： 伪瑞利波即充液井孔中的简正模式，显然它是多模式波，每一模式波有它的 【串谙阔济欠学理学硕士论之】 一5 一 嗽曼i t y 苍凌绎孔扣迢芎i 疫睁嚼锪啤仑喏唆亨蓖硷开奄 _ m lm l 频散曲线，每条频散曲线都有它的截止频率。只有声源频率高于截止频率时才能 激起这个模式波，伪瑞利波是高频散波。 伪瑞利波是井壁表面波，由井壁往岩层内幅度按近似指数规律衰减( 图l 一 3 ) 。低频部分接近截止频率时，伪瑞利波的衰减主要是受地层横波衰减的影响， 而在高频时主要是受井内流体波衰减的影响，在声源整个频率范围内，地层纵波 的衰减对伪瑞利波的衰减影响很小，可以忽略。 斯通利波是一种低频散的界面波，沿井壁界面传播，在全波列各组分波中斯 通利波频率最低，能量较高，到达时间较晚。其传播速度低于井内流体速度。除 此之外还有下列性质阳1 ： 图l 一2 伪瑞利波幅度图1 3 斯通利波幅度 斯通利波只有一个模式波，它有轻微的频散性质，无截止频率，在低频端相 速度约为井内流体速度的0 9 倍，随着频率增大稍变大，在高频端约为井内流体 速度的0 9 6 倍。群速度比相速度稍大些。 斯通利波就是沿井壁传播的不均匀波( 面波) ，一般具有较大的幅度。其振 幅在界面两侧随离开界面距离的增大而单调下降，但不呈现指数规律，一般用虚 宗量b e s s e l 函数描述。( 图1 3 ) 同伪瑞利波一样，斯通利波的衰减与地层纵 波、横波的衰减以及井内流体波的衰减有关。井内流体波的衰减影响最大，地层 横波的衰减影响较小，地层纵波的衰减影响可以忽略。 1 4 本文工作 本文对井孔声场进行了理论分析和声场数值计算，在此基础上进行了充液井 孔超声波激励与检测实验。在比较理论与实验波形的同时采用信号处理技术分析 mm_ii i m i - - - - m i i 【申请h 济大学埋学颀士论文】 一6 一 嗵渗嗽v e r 蕊i t y 电受辱艮势匿弩费电黥强銎豁棼s 棼鱼帮 mmi i i 了实验波形中模式的频散并与理论频散结果进行了对比。主要工作有： 第一章在大量查阅文献的基础上，对充液井孔中超声波传播的研究现状进行 了综述，并对充液井孔声场声波波型成分进行了分析说明。 第二章在前人工作的基础上，进行了超声波在充液井孔中传播的理论分析。 首先计算分析了充液井孔中伪瑞利波和斯通利波的频散特性。然后数值计算了点 声源激励的井内声场，指出了不同井孔半径，井外介质性质时的波形特征。 第三章为实验用管状压电换能器的设计制作。首先，根据需要选择了圆管超 声换能器的材料及尺寸，设计制作了实验所需的两种规格的圆管超声换能器。然 后，根据梅森等效电路模拟计算了换能器的响应波形分析了不同背衬材料对换能 器性能的影响。最后，分别用自发自收脉冲反射法和激光超声两种方法对换能器 的频率响应进行了测量，并对测量到的波形进行了频谱分析。研究了不同工艺制 作成的换能器的频响特性，并证明了激光超声检测换能器响应的可行性。 第四章为实验模型中声场激励与检测实验。用铝柱和塑料柱分别模拟快速地 层和慢速地层两种情形，分别进行声波测井实验研究，并与理论数值分析结果做 了对比。首先，介绍了实验室快速、慢速地层试块的选择、模型井的制作，其次， 分别测量了两种模型井的全波波列，给出了充液井孔声场中的实验波形，并与相 应的理论波形进行了对比分析。 i 宣一- m ；i ；i ；i ； 【申请同济大学理学硕士论文】 一7 一 国鞴t o n g i j 嚼i u n t v 虫e r g 哮l t y 苍夜捧_ 纯銎苣赛睁露强星鬯棼唆s 范硷露窥 _ ! 一 i i 第二章充液井孔中超声波传播的理论分析 与数值计算 2 1引言 本章以文献 1 1 为借鉴，首先对柱坐标系下点声源激励的声场进行了理论分 析。其次通过对充液井孔声学系统特征方程进行数值计算，得到了导波频散曲线。 第三，数值计算了充液井孔井轴上点声源激励的声压场，研究了井孔中体波，伪 瑞利波与斯通利波的激发与传播。最后，考察了不同状况地层、井孔半径对声压 波形的影响。 2 2 充液井无限大地层的波动方程及解 z y 图2 1 充液井模型 为了研究井孔声场，分析各分波的激发机制和传播规律，必须首先从波动方 程出发进行理论分析，为此建立柱坐标系如图2 1 所示。模型中沿井轴是无限 的。考虑一充有无粘滞性流体的井孔，井外被均匀各向同性、完全弹性的介质所 - - - - -zz 【申请同济大学理学硕上论文】 一8 一 墨隐i v 女f r 烹苍夜蟛琵跫茸赍睁瞩毪哩鬯暾s 棼硷暖宪 _ - mmm l - - 包围，该固体介质在径向上是无限大的。井半径为r ，井内流体和井外地层的参 数分别以下标、b 区分开。令介质密度为见，纵波速度横波速度尾流 体速度口，。假设井内流体不是粘性的，井外地层无内衰减，也就是说流体和固 体都是理想的弹性介质。取柱坐标系( r 、0 、z ) z 轴与井轴重合，点状声源位于 坐标原点处。声源工作时，给予紧邻流体以周期性压力，使其作强迫振动，依靠 流体的弹性，这种振动以纵波向外传播。又通过井壁使岩层产生纵波与横波的传 播。 2 2 1柱坐标中的波动方程及其通解 考愿剑l 叫咫是等田盯杯明，与坐杯父重廿尢天，仕尢探区l 际点源外阴芏笙1 日j ) 伊和y 都满足波动方程n 4 _ 1 5 1 ，则 ( 1 ) 液体中的波动方程 设液体中位移标量势为弘且正：v 矽 它满足波动方程： v 2 缈= 去窘 在柱坐标下方程为： 垂+ ! 丝+ 宴一土磐= o ( 2 - - 1 ) 却z ro ra z l 仪，a t 2 设伊( r ，z ，t ) = r ( r ) z ( z ) t ( t ) ，并代入以上方程 万1 亍1 矿0 2 t = 页l ，1 防o ( ，石o r ) 】+ ! z 害万亍西丁= 页，防，石) j + 一瓦丁 因为t ，r ，z 相互独立，要使以上方程成立，可令 ( a ) 旦a ；t 堡c 3 t 2 船一号 ( b 卉11 万0 ( ，釉= 厂2 础； _mm 【申清川济大学理学硕士论文】 一9 ( c ) 三氅：一七z zo z 2 其中 ( a ) 式解为：e i 研, e 耐，在不失一般性时，取其第二解 ( c ) 式解为：e i k ze 一施，在不失一般性时，取其第一解 ( b ) 式为：窘+ 7 l 石a r 删 令x 2 f r ，此方程即为零阶虚宗量贝塞尔方程，其两个线性无关解为 i o ( 少) ，k 。( 少) 故若要方程2 ，1 1 成立，则其通解为：e = a k 。( f r ) + b i o ( f r ) e i k ( z 训 上式中c = c o k ， f 2 = j | 2 一砰= 缈2 c 2 一彩2 a 1 2 同时要考虑到势函数在，一0 时应有限，所以a = o 为与固体中的势函数区别设下标为f ，方程( 卜1 ) 的解为： 缈r ：b i 。( f r ) e i k ( z - c t ) ( 2 - - 2 ) ( 2 )无限大介质中的波动方程 在各向同性无限大介质中，位移的矢量势孑及标量势缈，满足 u 呻i ：v q 伊+ v 孑以及波动方程： 俨缈2 寿挚 v 2 杪= 去字 在柱坐标下方程为： 誓o r + 吾塑o r + 窖o z 一言堕a t = 。 ( 2 q )2 ， 2 口： 。 诤 卅 害o r + 吾警一芳+ 警一击警= 。 c 2 叫， 2 ，勿，2 瓦r 一万可刊 怕1 7 【申请r n j 济大学理学硕士论文】 一 一1 0 一 蜮t o n g 淑j i u n 撼i t y 程毂錾。挣黾茸贽搬 勺= 登套甏s 镣瞄辨宅 方程( 2 3 ) 解： 同上，设缈( r ，z ，t ) = r ( r ) z ( z ) t ( t ) ，并代入以上方程 醌壶；害习1 lo ，石o r ) 】+ i 1 可0 2 z t ，r ，z 相互独立，要使以上方程成立，可令 虿17 1 矿0 2 t 叫= 一筹 页l 【_ 7 l 瓦o ( r 警彬“； 刍害一七2 ( a ) 式解为：e i 耐，e f 耐，在不失一般性时，取其第二解 ( c ) 式解为：p f 舷e i k z 存不失一船件时取苴笔一锯 ( b ) 式为：罂+ ! 擎一，：r ：o o r ，o r 令x = l r ，此方程即为零阶虚宗量贝塞尔方程，其两个线性无关解为 ，。( 少) ，瓯( 夕) 故若要方程( 2 3 ) 成立，则其通解为：伊= c k 。( 咖) + c i o ( 1 r ) e 腑。- c f ) 上式中c ：_ 6 0 为沿z 轴方向传播的相速度。 考虑到势函数在厂_ o o 时解应有限，所以c - 0 故，方程( 2 - - 3 ) 的解为缈：c k 。q r ) e i t ( z - c t ) 方程( 2 叫) 解： 设沙( r ，z ，t ) = r ( r ) z ( z ) t ( t ) ，并代入以上方程，t ，r ，z 相互独立，要使 以e 方程成立，可令 【申请同济大学理学硕士论文】 一1 l 一 国霹t o n g 淞j i t i n 然 苍夜串讫鳇专赍蟋强里啥赞戥s 棼硷贼 - -iii i ii i_i ii i i ( a 万1 彳1 矿a 2 t = = 一嘉 等七警却2 + = 。 圭害“2 ( b ) 式，令x = m r 此方程即为一阶虚宗量贝塞尔方程，其两个线性无关解 为k l ( 聊，) ，i l ( m r ) 故若要方程( 2 叫) 成立，则其通解为：| | c ，= d k l ( 肌r ) + d i ，( m r ) l e 鹰。一d ) 同时要考虑到势函数在，叫o o 时应有限，所以d f - 0 故，方程( 2 1 4 ) 的解为y = d k i ( m r ) e 庸卜d 为与液体中的势函数区分设下标为b ，方程( 2 _ 3 ) ，( 2 4 ) 的解为： 纯= c k o ( 1 r ) d k ( 卅 ( 2 5 ) = d k l ( m r ) e 腑州 ( 2 6 ) 其中，2 = c 0 2 c 2 一国2 a 6 2 ，聊2 = c 0 2 c 2 一国2 尾2 2 2 2 边界条件 伊，吼和中的系数由边界r = r 处的边界条件来确定。 r = r 时，应满足 ( a ) 井壁上法向位移连续 ( b ) 井壁上切向应力为零 ( c ) 井壁上法向应力连续 流体中应力弓和法向位移u i p i = - p f 笋= 乃后2 c 2 彤。( 夕) p 刚：哪 ( 2 7 ) 【申请同济大学理学硕士论文】 12 嚼必 蕊覆牛讫势琶专蚕嘁跨星仓甍鹦瓣蹶窀 0 ；丝o r = 彤1 ( 夕) e i k ( z - c t ( 2 瑚) 无限大固体介质中法向应力和切向应力以及法向位移乩用、 来表示： u b ：孥一墼 o r o z 刊去，等协c 争一凳， 钢争脚c 象一 根据贝塞尔函数间的关系： r o ( u ) = ( 甜) ， 弼( “) = - k 。 ) 可得： = c k o ( i r ) - i k d x l ( 肌，) p 唐州 ( 2 9 ) = p b 了! ( 一后2 c 2 ) c k o ( 护) + 2 风群吲2 k o q r ) 一i k d m k i ( m ，) 】) p 坼叫) l d ( 2 1 0 ) = 见( 一k 2 c 2 ) d k l ( m r ) + 2 p b f l 2 i k c l k o ( 1 r ) + k 2 d k l ( 聊，) m 臆州 ( 2 1 1 ) 2 2 3 特征方程 根据边界条件，可知当r = r 时， u i = u i 0 6 = p f b = 0 将( 卜7 ) 至( 2 1 1 ) 代入，得： f b i , ( f r ) e 膻州= c k ；( 1 r ) - i k d k l ( m r ) 】p 腑州i ，= r ( 2 1 2 ) m - - - - - - ：- - - - - - -mmm ；i 【申请列济大学理学硕士论文】 一1 3 然。瞧t | 丧v e r 急 屯茛帆臣氧费电黥强里仑鞋啜手话瞄哥气 p f k l b i o ( f r ) e “ = 矶( 一后2 c 2 ) d k l ( m r ) - 2 p b f l ： i k c l k o ( 1 r ) + k 2 d k i ( m ) 伽砖州i ，= r ( 2 1 3 ) 成( 一忌c ) d k l ( m r ) - 2 p b f l 3 i k c l k ：( i t ) + 足2 d k l ( m r ) 】扣成2 叫= ol ，= r ( 2 1 4 ) 由上面三个方程可得到关于b 、c 、d 的三个方程。 可写成如下形式： 口1 2 a 2 2 a 3 2珊。灿， 当b 、c 、d 不同时为0 时，行列式1 日2 l 口a 2 t 2 2 l 口1 1 i a 3 1a 3 2 口t ，i a 2 3 1 = 0 i a 3 3 i 2 3 特征方程的数值求解及频散特性的分析 2 3 1 数值求解方法研究 首先，根据需要， 将缈= 2 矾，尼= c e c ，f 2 = 彩2 c 2 一彩2 a ，2 ， ，2 = 刃2 c 2 一缈2 a 6 2 ，m 2 = 2 c 2 一c 0 2 屏2 ， 代入行列式，我们使上述行列式中的变量转化为频率兀与相速度c 的关系。 特征方程的求解问题一直以来都是个难题。由于方程通常是多元超越方程， 难以通过一般方法得到其解析解，只能通过数值计算的方法获得其数值解。 有数种数值求解的方法l i e - - 1 7 1 e ( 1 ) 直接代入法 将特征方程的系数行列式看作个两元函数f ( f o ，c ) ，取任意两个实数组成 一个点( 二，c ) 代入函数f ( 五，c ) 中，如果f ( 二，c ) = o 或f ( 二，c ) 仃仃= 1 0 咱1 1 是 【申清同济入学理学颁= l 论文】 一】4 一 喻嗣t o n g j 舔r l r n 丧v e r s 哮i t y 惑密昝琵黾蕾发电蚤斑哩岔奠嗡s 棼硷拜奄 要求的精度，可由程序定义。精度要求越高，1 1 越大，相对的计算量也越大。 此种方法的优点是：简洁、而且可自由控制精度，理论上不会漏解。缺点是： 计算量庞大，且由于f ( f o ，c ) 值的变化非常的迅速，在零点附近值得落差非常的 大，所以要求 和c 的步长要非常的小。这样又进一步导致了计算量的增大。 ( 2 ) 逐步求精的截弦法 首先，取一定值兀，则特征方程变为一个关于变量c 的一元方程f ( c ) = 0 ，按 一定步长取系列c 值，将它们代入这个一元方程可得到相应的一系列f ( c ) 值。 找出其中f ( c ) 值有易号的区间，在该区间内求零点。如图2 _ _ 2 ，过两个易号的 点做一直线，求出该直线方程，就可解出c o 点，如果f ( o o ) 与f ( c 1 ) 同号，则用 c o 点代替c 1 点，如果f ( c o ) 与f ( c 2 ) 同号，用c 0 代替c 2 。重复上述步骤，使c 0 逐渐逼近零点，直至, j l f ( c o ) 一0 l 1 0 一，n 是精度控制值。 用此方法按一定步长取一系列五值，可求出与每个五对应的一个或多个c 值，用兀作自变量，就可绘制出井孔声场的频散曲线。 、 f ( c 2 ) 刃 c lc o j i、 c 2 f ( c 1 ) 图2 1 截弦法说明 2 3 2 计算结果及频散特性分析 我们按照两种实验井孔模型的参数利用方法二计算了相应的频散曲线。首先 计算了快速地层模型井的情况。图2 3 为无限大铝介质中充水井孔声场的频散 特性图，其中铝的纵波速度= 6 2 6 0 k m s ，横波速度孱- - 3 0 8 0 k m s ，液体中纵波 速口，2 1 4 8 3 k m s ，铝密度见2 2 7 x 1 0 3 k g m 3 , 液体密度户_ 厂= 1 o x l 0 3 k g l m 3 ，图 i ；i ；i ；t - - - - z z i , ,_ i ；i ； 【中请问济大学理学硕士论文】 1 5 国慧燃黧 菌缀卷讫曩疆电茛睁嚼致哩仑鹫唆s 帮硷订窀 ii i a 曲取的孔径r 分别为0 4 c m ，0 6 c m ，0 8 c m ，1 0 c m 。图中的相速度用液体速度归一 化结果。 从图2 3 中我们可以看出，伪瑞利波有很多模式波，每一模式波有它的频 散曲线，每条频散曲线都有它的截止频率。对于伪瑞利波的各种分支，相速度在 低频阶段受地层横波速限制，在低频端截止频率处相速度等于地层横波速度。随 着频率增加，在高频阶段，相速度单调下降至流体速度。可见，伪瑞利波是高度 频散的。不同模式波的频散特性是相似的，只是随着频率的提高，高次模式相对 于低次模式有位置漂移。随着井孔的增大伪瑞利波的模式逐渐增多。 相反，图中斯通利波只有一个模式波，且体现了轻微的频散性质。没有低频 截止频率。在低频端相速度约为井内流体速度的0 9 倍，随着频率增大稍变大， 在高频端约为井内流体速度的o 9 6 倍。井孔大小对斯通利波影响很小。 2 1 息 16 v 毫 萋 击- ： ， n 8 妻 萋 击 o仰加瑚 棚鲫鲫 囊搴k h z ) ( a )r = 0 4 c m 翔摩( 她) ( b ) r - - 0 6 c m ( c )r = 0 8 c m( d ) r = 1 0 c m 图2 弓无限大铝介质中充水井孔声场的频散特性图 图2 叫是按照实验所用的铝制快速地层模型的参数计算得到的速度频散曲 【申请n j 济大学理学硕上论文】 一1 6 一 国愈戮 荭缀弗讫扛置苣茛睁嗡狠哩套喏殴s 棼硷研= 宽 线。模型孔径为0 5 e r a 。图中可以看出，伪瑞利波和斯通利波的相速度频散特性 和前面分析的相似，而伪瑞利波的群速度随着频率增加而急剧减小，在相速度变 化最陡处群速度低于斯通利波速度，称弥散极小或a i r y 极小，最后接近流体声 速。同样随着井孔半径的增大伪瑞利波群速度模式也会相应的增加。斯通利波的 群速度比相速度稍大些，频散特性相似。 越 缎 皋 1 双 一一卜一7 蕈 li 一一 ，一 、。7 图2 4 快速地层模型井中斯通利波和伪瑞利波的速度频散曲线 其次，我们计算了慢速地层( 地层横波速小于井内流体声速) 井的情况。图 2 一飘图2 _ 热图2 勘无限大塑料介质中充水孔声场的频散特性图，该塑料 为p o m 工程塑料，其材料性能完全可以模拟慢速地层的特征。其纵波速度 侣。一2 3 9 3 k m s ，横波速度尾= 1 0 9 3 k m s ，比液体纵波速度低。液体中纵波速 口，= 1 4 8 3 k r n s ，密度岛= 1 4 1 x 1 0 3 姆m 3 ，液体密度p ，= 1 o x l 0 3 姆m 3 ，图2 5 l 图糊图2 _ 缅的孔径r 分别为0 2 c m ，0 5 c m ，0 8 c m 。实验模型的孔径大小为 0 5 c m 。图中的速度是经过归一化的，以液体中纵波速度为基本单位。图中可以 m_ i i i -li 【申请剐济大学理学硕- 上论文】 一17 喝鹞龟躐i t y 氡芘牟弘托黾氧蚤譬蜀强里仑茕s 龟鼬殍怒 i i_i|i|_mi i i 看出，慢速地层中不存在伪瑞利波，斯通利波的频散要比快速地层严重的多，与 快速地层相反，斯通利波的群速度比相速度小，随着频率增加，在高频阶段，相 速度与群速度趋近，且孔径越大趋近速度越快。 o e 螂 霎。n l 丑 o 螂 墼。 l 丑 o n 口6 4 世 銎。皖 i 丑 0 b a 舅 c a ) 孔半径0 2 c m 撅奉( k l - l z ) ( b ) 孔半径0 5 c m ( c ) 孔半径0 8 e r a 图2 5 慢速地层s t o n e l e y 波频散特性 _i i _i ii 【申请间济人学理学硕上论文】 1 8 一 嫩t o n g i j 钕i u n 囊v e r 蕊i t y 电憾争心丰l _ 黾萝费电鬣强要仑粪暇手始瞄弦宅 2 3 3导波位移随径向深度的依赖关系的数值计算 由( 2 8 ) 、( 2 9 ) 、( 2 一1 1 ) 三个方程我们可以求得导波位移随深度的依赖 关系。关键问题是如何消去方程中的系数。 首先，流体中导波位移( ，j r 可通过将其归一化的方法消去系数b 。 流体中导波懒尝= 勰 而无限大固体介质中导波位移u 。的归一化的要复杂一些。 先通过方程( 卜11 ) 系数d , d = i c ；2 一f 1 2 ；从i k 。, ( ( 揪i r ) 歹c “_ c 【椰) + 务器帅训 无限大。质中导波位移：老=二竺；妄一2fl孑lk,(1r)k,(mr) 讨论孔径为4 m m 的井孔模型中，大k r 和小k r 两种情况下导波位移随径向 深度依赖的变化关系。 取小k r 的情况为f = 1 2 1 7 6h z 时，存在一支导波：斯通利波的波速c ， 为1 4 4 7 m s ，七。j f c = 0 2 11 5 。图2 q 是小k r 时导波位移随径向深度的依赖关 系。纵坐标经过界面位移玑归一化，横坐标零点取在孔径的圆心处。从图中 可以看出，界面位移为最大值。在小k r 的情况下，孔径中的导波位移成线 性衰减：而在无限介质中，导波位移幅度下降的较快，渗入深度大，达8 c m 。 取大k r 的情况为f = 4 4 0 7 6k h z 时，存在三支导波：斯通利波的波速g 【申请i r 寸济大学理学硕士论义】 一1 9 一 喝鹞嗽v e r s 嚆i t y 氨豫卑黾氧爨电霸叛蛩仑察赞s 妊瞄辨宅 为1 4 9 4 1 m s ，k , r = 7 4 1 4 2 ；伪瑞利波第一支的波速c ，l 为1 7 4 2 4 m s ， k r l r = 6 3 5 7 6 ，伪瑞利波第二支的波速c ，2 为2 9 2 7 2 m s ，k r 2 r = 3 7 8 4 3 。 其结果如图2 7 a 、图2 7 b 和图2 7 c 所示。明显可以看出图2 7 与小k r 情况下的导波位移随深度依赖关系的不同。 图2 - - - 6s t o n e l e y 波位移幅度在井壁附近的分布 上述结果说明，导波位移幅度的极大值位于界面处。对于s t o n e l e y 波远 离边界，其幅度迅速变小；小k r ( 或低频) 时，其渗入固体介质的深度较 大，对于4 m m 半径孔径，频率为1 2 1 7 k h z 时，渗入约为8 c m ，大k r ( 或高频) 时，对同样井孔，频率为4 4 0 7 6 k h z 时，渗入仅为8 m m 。对于伪瑞利波( 简 正模式) ，其主要特征是其位移幅度在井内的分布是波动起伏的，同样，在界 面处达到极大值，而在固体中单调而迅速的下降，渗入固体介质的深度在较 大k r 时也仅为几个毫米。 图2 1 a 【申请冈济大学理学硕士论文l 一2 0 一厶v 卜 第一骱衙芷模式 图2 7 b 图2 7 c 图2 - - 7 较大k r 时s t o n e l e y 波和前两阶简正模式位移幅度在井壁附近的分布 2 4 充液井孑l 中点声源激励声场的数值模拟 2 4 1 点源声压场的数值表达 在前面分析各模式的性质时，我们假定源项p o ( r ，z ，f ) 为零，并对特征方程搜 寻，获得可能的解。但在较般的情况中，则存在有限源项。由于充液井孔声场 的复杂性，从理论与数值上模拟声传播过程，必须建立简化的物理模型，这种模 型应能使数学手段得以方便的实施，又尽量不失掉研究对象的物理真实舳。在 声测井理论研究中，使用最多的是点源模型。大量的研究工作，如g e e r t s n l a 1 钉， p e t e r s o n “，t s a n g 6 1 ，k u r k j i a n 呦1 ，t u b m a nn 1 等都是采用点源模型。我们设 ；i i ii i i i i 一i | _ i t i ii i 【中请济大学理学硕二l 论义】 一2 1 一 哂患g j j 嚼io n 意v e r 曼1 t y 奄夜簪| 琵每匿茸费电嚼拇里仓劈戳手棼硷孵甏 ii_iiii ii i ii 声源函数为x ( f ) ，其频谱为x ( c o ) ，井孔中单极子点声源位于坐标原点。则距离 声源为r 。= 0 雨远的检测点处声压势函数为九= x ( t - 民口泸。采用傅立 叶展开，其频率一波数域形式为x ( c o ) k o ( m ，r ) e 船俄 1 8 1 ，即声源项可表示为时间 频谱和空间分布两项的乘积构成。于是，点源空间分布表达式形式如下： s ( ，尼) = k o ( 聊l r ) e 妇枷 相应的径向位移： 甜，( ，七) ：孚- - - - m l k ( 砌。r ) p 船e 枷( 2 - - 1 7 ) o r 而声压则为：p ( r ，后) = 一所国2 s = 一办国2 k o ( 加1 r ) e 妇p 一耐 2 4 2 井孔流体中的声压场 在前节边界条件中增加声源产生的位移与声压项相当于在( 2 一1 2 ) ，( 2 1 3 ) ，( 2 1 4 ) 式右边增加了一个非零的列矢量。 本文计算了一个相对简单情况( 置于井轴上的点源激发的波，井孔内无测井 工具) 的一般解，井孔流体中点源的对称压力场( 变换域) 如上所述可表示为如 下形式：