（电机与电器专业论文）瞬变电磁场中时空有限元法的研究.pdf

沈阳i ：业大学博士学位论文 摘要 在时空有限元法的实际应用方面，对具有实验数据的大型变压器和t e a m 问题进 行了计算分析，计算结果与实验数据吻合，从而验证了时空有限元法的正确性和所编制 软件的实用性。应用该软件计算分析了大型变压器、永磁同步电动机和交流励磁发电机 等多种电磁设备的瞬态特性，进一步展示了时空有限元法的有效性。 关键词：时空有限元，场路耦合，非线性 2 沈阳：l ：业大学博士学位论文 摘要 t h e s t u d y o n s p a c e - t i m e f i n i t ee l e m e n tm e t h o d i nt r a n s i e n t e l e c t r o m a g n e t i c f i e l d i nt h i sp a p e r , t h es p a c e - t i m ef i n i t ee l e m e n tt h e o r ya n di t s a p p l i c a t i o nt e c h n o l o g i e s a r e s t u d i e da n dd i s c u s s e d f u r t h e r m o r et h es p a c e - t i m ef i n i t ee l e m e n tm e t h o di su s e dt oa n a l y z et h e t r a n s i e n tc h a r a c t e r i s t i c so f e l e c t r o m a g n e t i m ne q u i p m e n t s t h e w o r ki si m p o r t a n t 协d e v e l o pt h e n u m e r i c a lm e t h o df o rt h et r a n s i e n te l e c t r o m a g n e t i cf i e l d t h ed e t a i l e dw o r ki sa sf o l l o w i nt h eb a s i st h e o r yo f f i n i t ee l e m e n tm e t h o du s e di nt h et r a n s i e n te n g i n e e r i n g p r o b l e m ，t h e f u n c t i o n a lt h e o r ya n dt h ef i n i t ee l e m e n tt h e o r y 黼a p p l i e dt os t u d i e dt h ee x i s t e n c ec o n d i t i o no f a g e n e r a l i z e dv a r i a t i o np r i n c i p l e , w h i c hi st h eb a s i so ft h es p a c e - t i m ef i n i t ee l e m e n tm e t h o d m a t h e m a t i c a l l y , m a n ye n g i n e e r i n gp r o b l e m sa m d e s c r i b e db yt h ed i f f m - e n t i a le q u a t i o n , w h i c h i n c l u d e st h et r a n s i e n te l e c t r o m a g n e t i cp r o b l e m t h eg e n e r a lc o r r e l a t i o nt h e o r i e sa l o ep r e s e n t e dt o d i s c u s st h ee x i s t e n c ec o n d i t i o no fav a r i a t i o np r i n c i p l e , w h i c hi sn a m e da st h ea t h w a r t p r o b l e m o fav a r i a t i o np r i n c i p l e f u r t h e r m o r et h ee x i s t e n c ec o n d i t i o na n dt h ev a r i a t i o n p r i n c i p l eo f t h e d i f f e r e n t i a le q u a t i o na r ed i s c u s s e d , a n dt h e t h e o r yg i s to f t h es t e p - t i m et e c h n o l o g i e si sp r e s e n t e d i nt h eb a s i ct h e o r y , t h eb a s i cs t f e m t h e o r y i sp l 酬晤滟d t h ev a r i a t i o n p r i n c i p l e i nf o r mo f ac o n v o l u t i o ni n c l u d e di sg i v e na n dp r o v e d a i m e dt ot h ed i f f e r e n t i a le q u a t i o ni nf o r mo f c o n v o l u t i o na n dt h ef u n c t i o n a lp r e s e n t e db ym 。eg 】n i nt h em a t r i xo p e r a t o rw h i c hi n c l u d e s t h ed i f f e r e n t i a l e q u a t i o na n dt h eb o u n d a r yc o n d i t i o ni sp r o v e ds e l f - a d j o i n t ，f u r t h e r m o r ea g e n e r a lv a r i a t i o n a lp r i n c i p l e si nf o r mo f c o n v o l u f i o n a n dt h ep r e p a r a t i o nt h e o r e ma r cg i v e na n d p r o v e d i no r d e r t o p r o v e t h et h e o r e r o 塔a b o v e ，t h eg r e e nf o r m u l ai nf o r mo f c o n v o l u f i o ni sg i v e n t h ec o n t e n ti si m p o r t a n t t h e o r y b a s i ca n dt h ea p p l i c a t i o nc o n d i t i o no f t h es t f e m f o rt h ei n t r o d u c t i o no ft h es t f e mi nt h et r a n s i e n t e l e c t r o m a g n e t i cf i e l d , ag e n e r a l f u n c t i o n a li nf o r mo fc o n v o l u t i o ni s g i v e n , t h es t f e mf o r m u l aa n dc o r r e s p o n d i n g d i s c r c t i z a t i o nf o r m u l a 狮d e r i v e d f o l l o w i n g t h eu s u a lf i n i t ee l e m e n tv a r i a t i o n a lp r o c e d u r ef o r t h et r a n s i e n te l e c t r o m a g n e t i cf i e l d , t h ef u n c t i o n a li nf o r mo fc o n v o l u t i o ni nw h i c ht h ev e c t o r v a r i a b l eaa n db o t m d a r i e sa c o n s i d e r e di sg i v e n , t h e a p a c e - t i m e f i n i t ee l e m e n ti sa n a l y z e da n d t h es t f e mf o r m u l aa l e g i v e n 3 沈阳一f ：业大学博士学位论文 i nt h ea p p l i c a t i o nr e s e a r c ho ft h es t f e m ，t h e e n g i n e e r i n gp r a c t i c a b i l i t yp r o b l e m s ，w h i c h m a i n l ya r et h em e d i u mn o n l i n e a rp r o b l e m ，t h em e d i u mm o t i o np r o b l e ma n dt h ec o u p l i n g p r o b l e mb e t w e e nt h em a g n e t i cf i e l da n dt h ec i r c u i t s ，a r et h o m u g h l yd i s c u s s e d a i m e dt ot h e e l e c t r o m a g n e t i cd o m a i n , t h es t f e m f o r m u l a t i o ni nw h i c ht h em e d i u mn o n l i n e a ri sc o u n t e di s 舀v e n , t h e m e a s u r ew h i c hd e a lw i t ht h em e d i u mm o t i o ni sp o i n t e d , a n dt h es t f e m f o r m u l a t i o n i nw h i c ht h ee l e c t r o m a g n e t i cf i e l da n dt h ec i r c u i t s 玳c o u p l e di sg i v e n t h ec o n t e n ti st h e a p p l i c 撕o n b a s i so f t h es t f e m i nt h ep r a c t i c eo ft h es p a c e - t i m ef i n i t ee l e m m tn m ：i l l o dt h es o f t w a r eb a s e d0 1 1t h e s t f e mi sb u i l t t h ev a l i d i t ya n d p r a c t i c a b i l i t yo f t h es o t t w a r ea 地v e r i f i e db y c a l c u l a t i n ga n d a n a l y z i n gt h em a g n e t i cf i e l d o nt h e g r e a tt r m m f o r m e fa n dt e a mp r o b l e mi nw h i c ht h e e x p e r i m e n td a t aa r em e a s u r e d f u a h e n n o r et h es o t t w a r ei s u s e dt o , u a y z 崦t h et r a n s i e n t c h a r a c t e r i s t i c so f t h eg r e a tt r a n s f o r m e r , t h ep e r m a n e n t m a g n e ts y n c h r o n o u sm o t o ra n dt h ea c e x c i t e dg e n e r a t o r k e yw o r d s ：s p a c e - t i m e f i n i t e e l e m e n t , f i e l d - c i r c u i t c o u p l i n g ，n o n a i n e a r d 一 独创性说明 本人郑重声明：所呈交的论文是我个人在导师指导下进行的研究工 作及取得的研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方 外，论文中不包含其他人已经发表或撰写的研究成果，也不包含为获得 沈阳工业大学或其他教育机构的学位或证书所使用过的材料。与我一同 工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中做了明确的说明并表 示了谢意。 签名：日期：沙岁，o 关于论文使用授权的说明 本人完全了解沈阳工业大学有关保留、使用学位论文的规定，即： 学校有权保留送交论文的复印件，允许论文被查阅和借阅；学校可以公 布论文的全部或部分内容，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论 文。 签名： ( 保密的论文在解密后应遵循此规定) 丛导师签名：唐彳玉屯日期：m 3 r ， 沈阳工业大学博士学位论文1 绪论 1 绪论 1 1 瞬变电磁场中的时空有限元法课题的背景及意义 有许多工程问题写出它们的支配方程和相应的边界条件并不困难，但是由于边界条 件的几何形状或者问题本身的一些特性不规则，却很难找到它们的解析解。克服这种困 难的补救办法是对问题作一些简化假设，使问题变成能够处理。但是这样做的结果，往 往导致精度很差，甚至得出错误的解答。近代由于计算机的出现和计算方法的进展，可 以在保留问题复杂性的前提下，想法去寻找问题的近似解。 有限元法就是为了对某些工程问题求得近似解的一种数值计算方法。这种方法是将 所要分析的连续场分割为很多较小的区域( 称为单元或元素) ，这些单元的集合体就代 表原来的场，然后建立每个单元的公式，再组合起来，就能求解得到连续场的解答。这 是一种从部分到整体的方法，分析过程大为简化。从数学角度来说，有限元法是从变分 原理出发，通过区域剖分和分片插值，把二次泛函的极值问题化为普通多元函数的极值 问题，后者等价于一组多元线性代数方程的求解。 有限单元的思想最早出现在c o u r a n t 于1 9 4 3 年所发表的一篇著作中 1 ，作者利用 三角形单元的组合和最小位能原理，假定翘曲函数为线性分布，获得s t - v e n a n t 扭转问 题的近似解。到2 0 世纪5 0 年代，由于工程分析的需要，计算工具和计算方法都已具备 了一定的条件，有限单元法在研究复杂的靛空结构中最先得到应用 2 。3 ，而有限元法 这个名称则由c l o u g h 于1 9 6 0 年在他的著作 4 中首先提出。 有限元法是在变分原理的基础上建立起来的，因此理论基础可靠。虽然这一方法起 源于结构分析，但是由于它所依据的理论具有普遍性，目前不仅广泛地用来求解各类工 程问题，其中包括电磁场问题、热传导、流体力学、空气动力学、机械零件强度分析等 等，并且在各类工程计算中起着越来越重要的作用。 电磁装置的瞬态性能的准确计算，必须直接计入铁磁材料的非线性、分布性、时变 性及涡流的影响r 而传统“路”的计算方法解决不了上述闯题，因而必须直接求解电磁 装置的瞬变电磁场。求解各种类型工程瞬变问题最常用的有限元方法是所谓的时间步进 有限元法 5 ，6 ，7 。该方法的基本思想是：首先对求解区域在空间进行有限元离散，然 沈阳业大学博士学位论文1 绪论 后用待求变量对时间的差分代替变量对时间豹微分。由于使用不同的形式的差分格式， 从而派生了多种时间步进有限元法，如欧拉法、c r a n k n i c o l s o n 法等。时间步进有限 元法从概念及程序处理上易于实现，但该类方法对某些随时问变化剧烈的瞬变问题普遍 存在稳定性及为保证准确而带来的计算代价大的问题。因此，有必要研究求解瞬变问题 的在稳定性和准确性两方面都佳的新的处理方法。 时空有限元法 8 9 ，1 0 ，l l ，1 2 是求解瞬变电磁场较有前途的新方法。它通过在时域 进行卷积运算以及将时间、空问坐标同时离散，从而消除了时问步进有限元法存在的时 间上的误差积累及计算代价等问题，具有精度高、收敛平滑稳定、速度快等优点。 本课题的研究内容得到了1 9 9 5 年国家自然科学基金项目“瞬变电磁场中的时空有 限元法”( 项目编号5 9 9 5 7 0 0 1 ) 的资助。 1 2 瞬变电磁场研究方法现状 随着科学技术的发展，许多相关学科的成果不断地渗透到电机分析的领域，使电机 理论的研究工作也得到更深入的发展。人们从关注电机的稳态性能发展到对电机瞬态性 能的深入研究。 事实上，稳态是瞬态的一种特例。对某些馈电电机来说，e p 使在稳态方式下，电磁 状态也在不断地发生变化，充满了过渡过程。电机是一种电磁装置，对电机运行方式的 分析大体上存在两种途径：一种是用基于集中参数的路的方法；另一种是从分布的场的 角度出发。 为了对电机实际运行状况进行准确的模拟，有必要对电机瞬态过程的分析方法进行 至深入的研究。在集中参数的路的方面，不管回路划分得多么细致，由于难以准确描述 参数的时变性质，因而也就难以准确地分析电机的瞬变运行状态。 为了提高路的方法的计算精度，有人采用场路结合的方式进行计算研究，即采用时 间步进的方式离散时变的集中参数方程，在计算的每一时间步骤上，通过解场确定时变 参数，通过解路确定性能。这种方法的计算蟹很大，且不能合理地计入材料的涡流效 应。 2 沈阳工业大学博士学位论文 1 绪论 直接求解瞬变电磁场是解决电机瞬变过程的有效途径，它可以直接计及场域中媒质 的非线性、分布性、集肤效应等等。随着电磁学的不断发展，这种方法甚至有可能将铁 磁材料的磁滞性( 不可逆性) 考虑进去 1 3 ，1 4 。 用有限元法计算电机的瞬变过程始于7 0 年代中期，1 9 7 5 年，a j i t a n n a l l a 和 d c m a c d o n a l d 首先用有限元法计算电机内的瞬变电磁场 5 。1 9 8 7 年，p j t u r n e r 采 用时间步进格式将有限元方程离散，获得对发电机端部短路故障的完整的数字仿真。进 入9 0 年代，人们对时域内电机的瞬变电磁场仿真问题进行了更加深入的研究 1 5 ，1 6 ，1 7 ，1 8 ，1 9 ，已经能够将电机、电网及机械系统联合起来，通过采用时问步进格 式对有限元方程、电路方程和机械方程的离散，进行整个系统的数字仿真工作。 目前用于解决电机瞬变过程的方法是采用电机本体的场方程和电机外电路方程联立 的场路耦合求解方法。在这种方法中，机电系统被分成电磁场( 电机本体) 、电路( 馈 电网络部分) 和机械系统( 电机轴系) 。分别建立各部分的系统方程，然后根据各部分 的关联建立耦合方程。 在上述各系统中，电磁场部分的变量同时是空间和时间的函数。目前的处理方法是 首先按一般的( 空间) 有限元法进行场量的空间离散，然后与其它两部分一样，对时变 问题按时间步进格式进行离散，其结果常常导致变量的结果与真值偏差越来越大。 采用c r a n k n i c o l s o n 时间步进格式可以使计算精度有较大的提高，但仍然引入了 一种人为的离散偏差，这种误差的积累仍然会造成结累偏离真值，甚至引起计算的振 荡、发散。由于这种误差受时间步长的影响较大，要求计算步长选取尽可能小，使瞬态 过程的计算量大大增加。在计算非正弦供电磁场的瞬态问题时，这种方法将带来更大的 问题。因此，如能将时间变量和空间变量结合起来。构成时空域上的有限元法，消除时 间步进格式引入的人为误差，有可能较好地解决机电系统的瞬态过程问题。 建立时空有限单元的设想最初由n i c k l l 和s a c k m a n ，f r i e d 和o d e n 等人提出 9 ，1 0 ，并首先由j r y u 和t r h s u 在m e g i r t i n 提出的原理基础上在热传导方面予 以实现 8 ，1 1 。他们通过施加卷积运算而解决了微分算子的非自伴随性问题，从而使时 空有限单元的系数矩阵对称化。即对如下的矢量位方程 3 沈刚j1 ：业大学博士学位论文1 绪论 v p v a ( ，f ) + ，以f ) ：盯j o a “ 施加卷积运算得 1 v v v a ( r , t ) + 1 ，( ，t ) = 盯 一( r ，f ) 一a ( r ，o ) 】 进而推得泛函为 2l f 利a + v + 黝+ w 一2 j + a 一2 a 4 0 彳】d o 对上式取泛函的变分、离散可得时空元的离散格式。 在电磁场方面尝试应用对空单元的是a j b u t l e r 和z j e e n d e s 1 2 ， 空有限元技术进行了两个算例的工作。 ( 1 2 ) ( 1 3 ) 他们采用时 第一个算例是空间一维的瞬变场阔题。对零者瞄的半无限大导体，在t = o 时在x = o 点加一阶跃信号夺l ，而保持x = l 点a = o 。采用时空有限元法和c r a n k - n i e o l s o n 时间步 迸有限元法对上述算例在a = o 到x = l 的一维空间矢量位进行了计算对比。发现在相同时 间步长下c r a n k - n i c o l s o n 时间步进有限元法精度最低，且在步长较大时容易引起振 荡，收敛亦不稳定。 第二个算例是空间二维场问题，即f e l i x 桂体问题。这是一个在舻岛的均匀磁场 中的薄壳铝筒。在d o 后，磁密按届= 6 l e x p ( 一t 力的指数规律衰减。用时空有限元法计 算得到了合理的磁场分布。 尽管a j b u t l e r 和z j c e n d e s 只给出了未计及场源的线性算例，却展示了时空有 限元法的广阔应用前景。 目前，关于时空有限元法方面的文献论文很少，进一步的研究工作国内外鲜有报 道。时空有限元法还不能解决实际的电磁装置计算问题，因为存在以下几点局限： 1 虽然时空有限元法已经有在不同领域的尝试，但含卷积运算的抛物型微分方程 以及该方程所对应的泛函没有给出严格的理论证明，因此从理论上是不完整 的，这也可能是这种方法没能引起广泛重视的原因之一。 2 由于时空有限元法涉及时域中的卷积运算，较难处理铁磁材料的非线性，现有 的时空有限元法不能求解非线性电磁场问题，而实际铁磁材料的材料特性都是 非线性的； 4 沈阳 ：业大学博士学位论文 l 绪论 3 现有的时空有限元法不能处理媒质运动问题，不能求解旋转电机的运动问题； 4 现有的时空有限元法只能解决电流激励的磁场，而实际瞬变电磁场问题多属电 压激励的情况。 1 3 本文的主要：工作 本文的重点是完善、发展时空有限元法，使该方法可以应用于解决变压器、电机的 瞬态过程分析。为此需要进行以下几方面的工作： 1 完善时空有限元法的理论基础，给出一般含卷积运算的抛物型微分方程所对应的算 子有势的证明。并进一步给出其对应的泛函，即给出含卷积运算的抛物型微分方程 的变分定理； 2 建立包括电路方程在内的时空有限元法的场路耦合模型及其计算格式； 在严密的时空有限元理论基础上，推导出包括电路方程在内的时空有限元非线性场 路耦合的数学模型及其计算格式，其中包括： 2 1 涡流场矢量位微分方程 2 2 瞬变电磁场的卷积泛函及其离散格式 2 3 时空有限单元分析 2 4 电磁场方程和电路方程的耦含 2 5 非线性问题的处理 3 。解决时空有限元法中媒质运动的处理问题。 4 验证时空有限元法的正确性。 5 应用编制的以时空有限元法为基础的非线性场路耦合仿真程序对变压器、永磁同步 电动机和交流励磁发电机的瞬变过程进行计算分析。 5 沈阳j 业大学博士学位论文2 时空有限元理论 2 时空有限元理论 2 1 引言 用数学分析的方法求解在给定的边界条件和初始条件下的偏微分方程，在理论方面 是很严密的。但是这些方法只能解决少数的简单情况( 包括简单的边界条件，简单的几 何形状等等) 。对于工程上许多实际的问题，无法用数学分析的方法来解决。必须使用 近似的数值计算方法。 有限元法是披广泛应用且不断发展的一种数值计算方法。变分定理是有限元法的主 要理论依据。在应用有限元法求解偏微分方程问题时，数值的计算工作可通过电子计算 机来完成。数值计算的步骤( 或计算程序) 需根据有限元基本方程来编制。而有限元基 本方程的推导则取决于变分定理的建立。 时空有限元法的主要理论基础也应建立在变分定理的基础上。虽然乩e g i r t i n 于 1 9 6 3 年将卷积的运算应用于建立粘弹性线性理论的变分定理 8 ，为时空有限元法建立 在变分定理的基础上奠定了理论基础，但他并未从泛函理论的角度给出具有边界条件下 的证明。j r y u 和t r h s u 以及a j b u t l e r 和z j c e n d e s 在m b g i r t i n 提出的原理 基础上分别在热传导和电磁场方面进行了时空有限元技术的尝试 1 1 ，1 2 ，但也都没有 从理论上给出令人满意的证明。 因此，建立在泛函理论基础上的严密、完善的时空有限元理论体系尚未形成。也可 能正是由于这个原因，使得时空有限元法的研究与应用受到很大的限制，因此，有必要 建立和完善时空有限元基础理论，本文的重要工作之一就是将时空有限元方法建立在严 密的泛函理论基础上，为此，首先讨论变分定理存在的必要与充分条件，其次是泛函具 有的形式，然后建立变分定理。下面引入有关的数学概念。 2 1 1 变分问题 取实数闭区间 0 ，1 ，以碟【0 ，l 】表示在区间 0 ，1 内一阶连续可微，且在0 和l 处等于零的函数组成的线性空间。设函数u ( x ) q o ，l 】，并给出以下形式的泛函 k ：q o ，1 】一r 6 沈阳工业大学博士学位论文2 时空有限元理论 置( ”) = f ( 训( j ) ，( 工) 灿 ( 2 1 ) 式中，“= d u d x 。在q o 1 】中再取个函数q ( x ) ，并取实数口r 。使 + a t 味【o ，1 】。然后，定义双元泛函疆为 a k ( ，7 ) ：l i m o k ( u ：+ c t r 1 ) 口0 把 ( 2 2 ) = f 【掣 o f ( x 伽, u , u ) q 恤 早期的变分问题就是：在所有的“0 ) eq 【0 l 】中，使泛函k ) 达到极小值的那个 + ( x ) ，亦使得双元泛函8 k ( u ，r 1 ) 等于零。 这个问题，在1 8 世纪已为l 矗g r a n g e 注意到。他称6 ，( 甜，叩) 为j “甜) 的第变分，称 q 【o ，1 】为容许变分空间。应用分部积分，上式右端为 f c 掣+ 驾笋州出 = 耐o f 叩e + f f 鼍+ d 丽o f ) 】社。耐叩k + 秀+ 忑丽) 】社 根据线性空间q o ，1 】的规定，在j = o 和工= 1 处刁( 砷等于零。 一项等于零。当承( “，叩) = 0 时，注意到目的任意性。得到 ( 2 3 ) 因此，上式右端第 鼍等一芸 驾等l = 。 仫a ， 锄血1抛 i 这是一个微分方程，由a k ( u ，叶) = 0 得到上述微分方程，早在1 8 世纪初期已为 e u l e r 看到。因此，上式称为泛函置( “) 的e u l e r 方程。于是，求泛函足( “) 的极值函数 就等价于求e u l e r 方程的解。 ， 对于给定的泛函彪似) ，证明它的极值函数“0 ) 是某个数学物理方程( 也就是 k ( u ) 的e u l e r 方程) 的解，这就称为该数学物理方程的变分定理。 2 1 2 变分定理的逆问题 很显然对于工程问题( 包括热传导问题、热弹性问题和电磁场等) 提出变分定理 的前提首先是：对应的泛函墨是否存在，严格地说，对应的泛函存在的必要与充分条 沈阳j ：业大学博士学位论文2 时空有限元理论 件是什么。其次是：对应的泛函具有怎样的形式。这个前提，j t o d e n 和 j n r e d d y 称之为变分定理的逆问题 9 。 在变分定理的逆问题在理论上没有得到解决之前，一些具体的工程问题的变分原理 已经建立，如力学问题中的最小势能原理、虚位移原理、哈密顿原理，在电磁场问题中 泛函可以根据电磁场能量来建立。但是，当工程问题的控制方程比较复杂，甚至控制方 程是由若干微分方程构成的方程组时，建立交分定理必须首先解决变分定理的逆问题。 j t o d e n 等指出，变分定理逆问题的解决取决于泛函分析中算子有势的条件。算 子有势的条件是在2 0 世纪5 0 年代由m m b a 妇6 e p r 给出证明的 2 1 ，j t o d e n 将这 个条件用于各种力学问题并将微分方程组以矩阵算子来表达。 在讨论变分定理的逆问题时，将涉及泛函分析中有关算予的一些概念。本文将引入 一些最基本和必要的概念，并作简略说明。下面将介绍算子的微分、h i l b e r t 空间和势 算予，然后给出算子有势的条件，并加以证明。如果证明了工程问题的泛函是存在的， 或者在一定条件下存在，同时给出这个泛函的表达式，那么建立变分定理并不困难。如 果这些内容具有普适意义，则可以应用到其他工程领域。本文就是将其中部分概念、原 理普适化，进而应用于电磁场问题。 在建立了变分定理之后，要解决的问题是如何得到泛函的极值函数。有限元法是一 种数值计算方法，用来求解泛函的近似的极值函数。这个近似的极值函数( 实际上已经 不是函数的形式，而是数值的集合) 当然就是相应的工程问题控制方程的数值解。 有限元法的计算精度与单元上所采用的插值公式是否接近予物理量的实际分布有 关，与相邻单元共同边界上物理量连续的程度有关，与单元疏密程度和单元总数有关。 另外，有限元法适用于形状复杂的物体。更重要的是，如果将边晃条件也引入至q 泛 函中，那么由于泛函的计算是对每个单元单独进行的，所以有限元法可以适应复杂的边 界条件。这也就是在工程实际问题中有限元法得到广泛应用的原因之一。 2 1 2 算子的g 诺t e a u x 微分和f r 6 c h e t 微分 在讨论算子的微分之前。需引入有关的数学概念。 8 沈阳工业大学博士学位论文2 时空有限元理论 2 2 1 赋范线性空闻 设u 是定义在实数域( 或负数域) k 上的一个线性空间。如果【，上的实值函数 ( 记为l | 1 | ) 满足下列范数公理 1 0 u i j - 0 v u u 2 制悱v “以a 钋 ( 25 ) 3 + “：i j - l j u ，删，v u ：【， “ 4 ，删= 0 铮h = 0 则称是甜的范数，且u 称为赋范线性空间。 在任何一个赋范线性空间u 中，可以由范数弓l 出两点( 即u 中两个元素和“：) 间的距离p ( u l ，“2 ) p ( u l ，甜2 ) = 如- u , i j ，v “1 ，“2 u ( 2 6 ) 这个距离称为相应于范数的距离。当按上式引入距离后，赋范线性空间成为度量空 间。 设u 为赋范线性空间，“u ，月= 1 2 一如果存在“u ，使”按距离收敛于 “，即 嬲一“j i = 0 ( 2 7 ) 则称点列缸。 依范数收敛于“。并写成嫩_ “，或“。 2 2 2b a n a e h 空间 设u 是度量空间，k ) 是c ，中的点列。如果对于任一正数占，存在正数( 占) ， 使得当自然数n ，m n ( e ) 时有 p ( u ，“) 0 ，使之当 i l u - 忆 占 有 护( “) - p ( u 。) 1 1 ， 占 ( 2 1 4 ) 则说算子p ：u v 在点u 。u 上是连续的。 或者，令函。 表示中的点列。如果 剖一i i 。= o 等! i 到p e ) 一p ( ) b = o ( 2 1 5 ) 则说算子p ：u _ 矿在点u 上是连续的。 关于算子连续的这两个定义是等价的，且这里的算予p 并不限于线性算子。 设p 是线性算子，很容易证明，如果p 在某一点“。u 上连续，那么它在u 中处 处连续。 对于线性算子p ，如果存在正常数m m ，使得 i 脚0 ， m 删。，v u u ( 2 1 6 ) 则称p 为有界算子。显然，线性算子的有界性与连续性等价。 设p 是非线性算子，如果存在正常数m o o ，使得 i i p ( “) 一h v ) b v 来表示这个对应关系，亦即p ( u ) = 或。算子p 就称为泛函置在“上的梯度，并写成 尸( ”) = g r a d k ( u ) 泛函梯度的表达式，需要有下式给出： ( 蹴叩) = 骧掣v 瑁u ( 2 i2 9 ) 1 4 沈阳工业大学博士学位论文 2 时空有限元理论 在上节中，我们曾给出g r a t e a u x 导数的概念。此处的哦实际上是泛函足在“u 上 的g j t e a u x 导数k ( u ) ，即 p ( “) = 哦= 彭( “) ( 2 3 0 ) 将泛函梯度的概念引入到变分法理论中。设点“。e u 代a g r a d k ( u ) 中后得到 g r a d k ( u o ) = 0 ( 2 3 1 ) 则称点u 为泛k ( u ) 的临界点，式中右端的零是u 中零元素。由上可知，求泛函 k ( u ) 的临界点与方程 p ( “) = 0 ( 2 3 2 ) 的求解等价。这个方程就称为泛函x ( 群) 的e u l e r 方程。 前面已经指出，e ( u ) 的表达式需由式( 2 2 9 ) 或式( 2 2 7 ) 给定。所以上式的 e u l e r 方程的求解实际上需由方程 ( p ( “) r ) = 0 ( 2 3 3 ) 的求解来代替。这个方程的解也就是e u l c t 方程p ( “) = 0 的弱解。 因此，得到结论：泛函k ( u ) 的临界点就是e u l 贯方程的弱解。 应该指出，泛函的临界点与泛函的极值点( 极小或极大值) 是两个不同的概念。设 b ( u 。) 为摊。芒u 的邻域，在此占( ) 上有 k ( u o ) k ( u ) o r k ( u o ) 置( “) ，v u 仨a ( u o ) ( 2 3 4 ) 则称是泛函k ( u ) 的局部极小值点或局部极大值点。如果以上不等式对于所有的 “eu 都成立，则称是泛函k ( ”) 的全局极小值点或全局极大值点。 设s 是b a n a e h 空间u 中的子集。令k ：s c u r 在s 上有连续的g l t e a u x 微分。 可以证明，“。s 成为泛函芷 ) 的极值点的必要条件是乎a d k ( ) = 0 。即如果泛函 k ( u ) 有极值点u 。，那么也有临界点。这两个点是相重合的。反之则不然。 1 5 沈阳1 i ：业大学博士学位论文 2 时空有限元理论 由上所述，给出c 诺t e a u x 可微的泛函足( “) ，按式( 2 2 7 ) 或式( 2 2 9 ) 求得相应的 梯度和e u l e r 方程并不困难。重要的是前面提到的逆问题：给出一个方程或方程组，是 否存在这样的泛函，它的临界点就是所给出方程或方程组的弱解。 如果存在这样的泛函，所给出的方程( 方程组) p u = 0 中的算子p ：u u 就称为 势算子，或算子p 有势。确切地说，算予p ：u _ u 在s c u 上是有势的，当且仅当有 这样的g i i t e a u x 可微泛函k ( “) 存在，使得p ( ”) = g r a d k ( u ) ，v u s 。 2 4 算子有势的必要和充分条件 定理：设( 1 ) 算子p ：u - - - h u 是连续的；( 2 ) 在凸集s c u 的每个点纵；s 上， 算子p 有线性的 t 髓u x 微分d p ( “；玎) ；( 3 ) 泛函( d p ( 嵋叩) ，g - ) 在“s 上是连续的， 则算予p 在s 上有势的必要与充分条件是 ( d p ( u ；r ) ，f ) = ( d p ( “；f ) ，叩) ( 2 3 5 ) 即对于各“s 双线性泛函( d p ( “；叩) f ) ，沿叩和f 必须是对称的。 定理中的凸集是指这样的集合：对于s 中任意两点呐和”：，连接这两点的线段 i + ( 1 一r ) u 2 ，0 s f 1 ，也属于s 。 这个定理解决了变分定理的逆问题，也是建立各种工程问题的变分定理的重要理论 基础。为此，首先证明两个预备定理。 预备定理1 ( 关于泛函的l a g r a n g e 公式) ： 如果泛函k ( u ) 的g 澈e a u x 微分d 置( 群；，7 ) 在凸集scu 中的每一点都存在，则对于任 意两点“，“+ r l s ，以下l a g r a n g e 公式 k ( u + ，7 ) 一足( 田= d k ( u + r r ；q ) ，0 f l ( 2 3 6 ) 都成立。 证明：令中( f ) = k ( u + r q ) ，则根据g i t e m 微分定义有 西仔1：lirak(u+rri+zlrr1)-k(u+rrl) d r - + o a 7 = d k ( u + 明；叩) 一1 6 沈阳工业大学博士学位论文2 时空有限元理论 由此得 k ( u + 1 7 ) 一k ( “) = 中( 1 ) 一中( o ) = 毋扛) = d k ( u + r r , q ) 0 r 1 即上述的l a g r a n g e 公式成立。 预备定理2 ( 关于算予的l a g r a n g e 公式) ： 如果算子p ：u 斗u 在凸集s c u 的每一点群上有线性的g l t e a u x 微分d 髟( 珥吁) ， 则对于任意两点“，“+ f s ，以下l a 蓼a n g e 公式 ( p ( u + f ) 一p ( “) ，r ) = ( d 尸( “+ ；f ) ，叩) ，0 r 1 ( 2 3 7 ) 成立。 证明：( e d e ( “；叩) = 姆璺芝竺掣，令泛函中( “，7 ) 表示 根据这一表达式，有 中( “，1 1 ) = ( p ( “) ，彩 虫鱼堕：翌2 = ! ! ! ! ! 型；i 丛生堕! ：尘二竺! ! ! ：啦 ；( 丝型土型，书 、 引入d 中( “：f ，r ) ，它等于 吲蝣神= 姆垫垡譬曼业：( ；“，7 ) 由预备定理一得 廖( “+ f ，刁) 一咖( ，r t ) = d 毋( “+ ；f ，叩) ，0 f 1 所以，以下l a g r a n g e 公式成立 ( p ( “+ f ) 一p ( “) ，叩) = ( d e ( u + ；f ) ，7 ) ，o r 0 有“+ a r l s 及“+ 吖s 。选 取正数a 和b ，使得对于0 x s a ，0 y s b 有h + x r l + y f s 。 以4 表示以下表达式 a = k ( u + 日叩+ 6 f ) 一k ( u + 口叩) 一k ( u + 6 f ) + 足( “) 令 中扣) = k ( u + a r l ) 一足“) 则4 等于 a = 中( “+ 6 f ) 一面( h ) 出预备定理i ，上式可写成 a = d o ( u + t 6 f ；6 f ) = d k ( u 十口叩+ f 1 6 f ；6 f ) 一a k ( u + r t