（电机与电器专业论文）高速无刷永磁电机的磁场分析.pdf

a n a l y s i so fm a g n e t i cf i e l di nab r u s h l e s sh i g hs p e e dp m m o t o r a b s t r a c t t h e r e i s i n c r e a s i n g i n t e r e s t s i n h i # s p e s d m o t o r s i n i n d u m y a p p l i c a t i o n s s u c h a s g a s t u r b i n e s , m a c h i n e t o o ls p i n d l e d r i v e s , i n f o r m a t i o ns t o r a g e d i s k d r i v e s a n d e t c i n t h i s p a p e r , r e c e n t d e v e l o p m e n t o f h i g h s p e e d m o t o r s i s a m o n g w h i c h b r u s h l e s s p m m o t o r s , a p 日碰c u l 盯鼬i 】d o f b m 枷鼯s p e m l a 姗f m 8 印戚d c 脚6 鸥i s h 则g l i 刚鼬t l l e m o s 珥d m 江 i n g t e c h n o l o g y s u c h m o t o r , w h i c h h a ss l o t t e d t o p o l o g yi n p a r t i c u l 北, i sc o n s i d e r e db y i 螂 o f b o t h a m l y f i c a l a n d m a n e r i c a l m e t h o d a t f 璐- t , o n t h e b a s i s o f a n a n a l y t i c a l t e c h n i q u e f o r p r e d i c t i n g t h e i n 吡均衄邮m 叼瞎i i c 矗d d d i s 缸司姗i i l l 也e a i 聊r e g i o n o f b r u s h l e s s p e m m e n t m a g n e t d c m o t o r s u n d e r m y s p e c i f i e d l o a d c o n d i t i o n , a n i m p r o v e d m e t h o d f o rm o d e f i n g t h e e f f e c t o f s t a t o r s l o t t i n g o n t h e m a g n e t i c f i e l d d i s t r i b u t i o n i n t h e a i r g a p s l e e v e - m a g n e t i e g i o n o f a h i g hs p e e d b r u s h l e s s p e r m a n e n tm a g n e tm o t o re q u i p p e dw i 也as u r f a e 露m o u n t e dm a g n e tr o t o re n c l o s e d b yas l e e v ei sp r e s e n t e d w h i c hm a k eu s eo f c o n - f o r m a lt r a n s f o r m a t i o nw i t ht h e h e l po fm n m r i c a lk l t e 鲫o i lt h i sm e t h o dc a ne a s i l yc o m b i n e dw i t ha n a l y t i c a lm e t h o d a n dp r o v i d en e a r l yt h es a l v ee f f i c i e n c ya n d i n s i g h ta st h ec l a s s i cm o d e lb u tm u c hm o r e c 啪c y t b _ a n 锄i y d c a ls o l u l i o m s e c o n d , t h e i x e l i m i n a r y r e s u l t o f c o l e l o s s e s i n a b o v e m o t o r i s p r o v i d e d b a s e d o n a g m e - s t e p p e d f i n i t e e l e m e n t a n a l y s i s ，i n w h i c h g r e a t e f f o r t h a s b e e n m a d e t os i m p l i f y t h e p 形v i o u s m e t h o d , t h a t a l l t h e r e s u l t s c o u l d b e a c q u i r e d m o r e e f f i c i e n t h t h e p r o c e s s i n g o f g e 仕h g h y s t e r e s i s l o s s e s , a k i n d o f p r e i s a c h m o d e l i s a d a p t e d k e yw o r d s ：h i g hs p e e db r u s h l e s sp mm o t o r ，s l o te f f e c t ，c o n f o r m a lt r a n s f o r m a t i o n t i m e s t e p p e d 觚t ee l e m o n ta n a l y s i s ， c o r el o s s e s 。 5 插图清单 图1 1 高速电机功率转速临界曲线1 图1 2 高速同步电机结构2 图2 1 高速同步电机解析模型4 图2 2 电机三相电流波形5 图2 3 槽部导体，线圈电流层分布9 图2 4 一个齿距内气隙磁密的分布1 3 图2 5 无穷槽深模型1 4 图2 6 改进槽口模型的z - w 平面关系1 5 图2 7 不同模型磁导函数的比较2 0 图2 8 不同半径处磁导函数的比较2 l 图3 1 不同频率下的硅钢片磁密损耗特性2 5 图3 2 三角形单元” 图3 3 单元形状函数示意2 7 图3 4 v o r o n o i 多边形与d e l a u n a y 三角形示意2 9 图3 5 电机网格剖分3 1 图3 6 永磁体面电流模型3 3 图3 7 网格边界的处理3 4 图3 8 定子瞬时涡流损耗3 9 图3 9 转轴瞬时涡流损耗加 图3 1 0 套筒瞬时涡流损耗4 0 圈3 1 1 铁磁材料中的偶极子4 2 图3 1 2 铁磁物质磁化状态图4 4 图3 1 3 一种硅钢片的磁滞回线4 6 8 表格清单 表3 1 电机额定数据与主要尺寸3 9 9 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果。据我所 知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果， 也不包含为获得 金日b 王些盔堂或其他教育机构的学位或证书而使用过的材料与我一同工作 的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示谢意。 学位论文作者签名：刘露签字日期：z ，7 年多月7 日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解盒艘三些盔堂有关保留、使用学位论文的规定，有权保留 并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和借阅。本人授权 胆王些太堂 可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、 缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学位论文作者签名： 刘磊 导师签名： 舷跛 签字日期：z 寸可年bn7 日签字日期：0 7 年6 月7 日 学位论文作者毕业后去向： 工作单位： 通讯地址： 3 电话：，f 。i 争9 ，7 7 ； 邮编： 致谢 毕业一近，则知去日苦多，想我奉束惰于社世俊，唐海源两位先生以来已 不止两年了。其间杜老师如洪钟虚受，来而有应，唐老师如春雨广泽，润之无 声，思之真是历历在耳。我虽然也自以为颇用了一番心力，但只不过譬如渴饮 于大海，又何知其深，仰望于高天，只得见一片苍苍罢了。所以如今也只有不 惮菲薄，献此文于两位老师之前。 至于其他师长及同辈的夹持扶掖，已是不能一一道来了，在此一并郑重谢 过。 学生刘磊 2 0 0 7 年5 月2 3 日 6 第一章概述 在主轴驱动，废能发电( c o g e n e r a t i o n ) 以及离心机、涡轮泵等不少实际应用 场合中都已有应用高速电机的要求。这一方面是因为高速的直接驱动不仅能够 简化系统，提高可靠性，而且有利于提高效率，降低成本；另一个方面也是因 为高频变频装置成本的下降以及高速负荷可靠性的提高；此外磁力轴承、高能 低耗材料的涌现，最终使高速电机控制系统的技术得以发展起来。 所谓高速电机，通常意义上是就转速而言的，但是在设计上并不只关注速 度，因为在理论上达到单纯的高速并不难，关键在于所能提供的功率，换言之 即高速下保证一定转矩输出的能力。已有研究表明：在现有技术条件下，输出 功率与转速有一条输出功率随着速度升高而下降的临界曲线，如图1 1 所示。 为使表示紧凑，该图采用了对数坐标系。一般的电机都落在这条曲线之下，只 有突破限制的才能称之为真正意义上的高速电机，或称之为“超高速电机” ( s u p e r h i g hs p e e d m o t o r ) 【1 1 。 1 0 0 窖 邑 苫i o e o l 图1 1 高速电机功率- 转速临界曲线 在现有的各类电机中，成功地实现高速化的虽然也有爪极电机，单极电机 等类型，但主要是感应电机，永磁同步电机和磁阻电机，这也是最有发展前景 的三种电机。三者共同的优点就是效率高，而且在结构上又都比较简单，对其 在实际应用中的高速运行有很重要的意义，尤其是前两者都有着多年的制造经 验。目前看来，在转速2 0 。0 0 0 r m i n 以下或功率不大的情形下，出于成本考虑经 常采用异步电机。对于永磁同步电机，在大功率，性能要求高的场合则更有意 义。至于磁阻电机虽相当多的显见的优点，但在高速领域应用的技术因尚不成 熟而有待进一步的研究。就上述三种电机比较而言，磁阻电机的效率最低，噪 声振动也最严重。感应电机虽然制造成本低廉，但是在效率、功率因数等方面 都逊色于永磁同步电机，在长期的运行成本上并没有优势。永磁同步电机不论 是出力还是动态响应都更适于高性能的控制，制造成本在考虑到运行成本后也 是可以接受的，而且通过优化设计还可以得到有效的降低，再加上我国稀土资 源丰富，所以永磁同步电机应当是高速运行中最有发展前景的电机l l 司 在结构形式上，用于高速运行的永磁同步电动机可分为有槽电机( 直流无 刷电机) 和无槽电机，如图1 2 所示： a有槽 b 无槽 图1 2 高速同步电机结构 其定子提倡采用软磁复合材料，这是一种电阻率高而且磁滞损耗占优的材料。 同时定子采用厚度很薄的迭装形式。上述措施是为了抑制高速运行下显著增加 2 的涡流损耗。永磁体则选用高能永磁体如烧结钕铁硼和钐钴合金，采用了径向 场结构。这样可以在较小的体积下达到较大的转矩，以满足对电机高速运行下 的出力要求。为了减少离心力转子要尽量小。目前最好的选择是采用非磁性金 属( 如铜，不锈钢等) 套筒来封装永磁体。因为套简如果选用铁磁性材料损耗 会很大，而采用塑料类的非金属材料则往往无法与转子热配合翻。永磁体则以 表面放置式为最佳，而且厚度上也要尽量薄一些。 这类电机事实上为两极电机，因为每当电机的某相导通，事实上磁通将共 用了其它相的极，也即是等效为一极。值得注意，为了防止轭部磁路饱和，转 轴一般采用导磁性能良好的钢材( 如a - 4 5 号钢) 作为磁路的一部分。 至于电机的驱动则采用无传感器控制。这是由于在高速场合下，往往环境 比较恶劣( 如高温) ，出线受体积限制也比较难以安置，于是轴部传感器便不 再适用了，故无传感控制技术正是最好的选择。该技术由于要使用电流波形， 所以希望使用电流源逆变器。在调速场合，常用的p w m 由于速度控制与换流 过程不是独立的，于是在高速运行时就会有很严重的换流延迟。 在高速场合下采用p w m ，或者为了保证换流过程与酬周期同步而导致比 开关频率大很多的不规则频率，或者为保证每6 0 度换相而使p w m 的脉冲数量不 够，进而带来严重的稳态速度波动。目前多采用变直流环节的逆变器，包括一 个逆变器和一个降压斩波器，使电压控制和频率控制相独立。这种方案下，逆 变器有1 2 0 度导通范围，速度控制由斩波器调节直流环节电压来完成同。 显然，对上述这类电机，不仅磁路复杂，且定子磁动势含有大量时间与空 间谐波，分析与设计就要建立在磁场分析的基础上。采用数值方法( 如有限元 法) 虽然可以得到精确的分析结果，但是缺少物理直观，也不便应用于优化设 计中，所以有必要提供一种解析方法。比较而言其中有槽电机的分析更具有代 表性，本文将讨论这类电机的解析方法。 同时，为了满足高速电机的技术要求，也就是在极高的转速下维持一定的 转矩输出能力，除了考虑优化转矩输与贺转矩波形外。对损耗的分析有很大意 义。因为，在高速下减少损耗对于提高输出功率，进而提高输出转矩的作用是 不容忽略的。作为机电能量转换装置，高速永磁同步电机的损耗也就相应地分 为机械损耗、电气损耗以及铁耗。机械损耗，尤其是通风损耗虽然占了高速下 损耗很大的份额，但是计及这些损耗涉及到流体力学和磁力轴承等技术，与电 磁设计关系并不紧密。如果要讨论高速永磁同步电机的电气损耗与铁耗，就要 获得对应区域的磁密分布。而铁磁物质中的损耗计算无法由解析法得出，只有 借助于数值方法，故本文将讨论适合于分析损耗的磁场分布计算方法。 更复杂的是，与通常的电机不同，在高频率以及非正弦波形下的硅钢片特 性是厂商无力提供的，所以无法由磁密分布直接获得铁耗，所以本文还将讨论 铁耗的计算方法。 第二章高速无刷电机磁场分析 一解析法 以图1 2 的电机为例，从原理上讲其实是一种无刷直流电机，因此可以按 照一般无刷直流电机的解析方法来求解气隙、套筒、永磁体区域的磁场，而这 方面的模型有很多。其中以文献 5 - 9 中的较为完善；该方法在分析空载磁场的 基础上综合考虑了电枢反应与齿槽效应。结合本文将要考虑的电机，现简述于 下。 2 1 基本假设 m g n e n t 图2 1 高速同步电机解析模型 解析法必须要求求解的场域的构成关系是线性的，这对于气隙、套筒、永 磁体而言是精确的，为避免引入非线性因素则假设铁磁物质的磁道率为无穷 大，这在磁密较低的情形下是合理的。此外，为了使求解场域规则化，假设定 子表面是光滑的，绕组用电流片来代替，而齿槽的影响则由引入磁导函数来考 虑。 由于线性的假设，所以可以采用叠加原理，分别考虑空载磁场，电枢反应 与齿槽效应，再根据彼此的空间关系相叠加即得到负载运行下得总磁场分布。 又因为简化了场域形状，故可以在极坐标系下求解磁场分布。最后，假设三相 电流波形为方波如图2 2 所示，其幅值为j 。 4 2 2 空载磁场 图2 2 电机三相电流波形 对于如图2 1 所示的电机模型，设定子内径为凡，考虑永磁体厚度的转 子外径为r 。，减去永磁体厚度后为耳现仅仅考虑由永磁体造成的电机在 气隙、套筒、永磁体中的磁场分布。由于永磁体相对于套筒是静止的，所以空 载磁场在不考虑齿槽效应的前提下是可以按照静磁场来处理的。 首先定义标量磁势p ： h = 一v 妒( 2 1 ) 于是在极坐标下有： 气隙、套筒中； 永磁体中： 等七等+ 吉鲁= 。 争砖誓+ 吉争= 等 ( 2 2 a ) ( 2 2 b ) 其中 m = m ，e ，+ m o e o m ，= m 。c o s n p o 即等s 畸 = o 所以v m ；丝+ 譬+ 三尝孕；丝。今约定下标，g 指气隙；。指永磁体； r凹，口f， 酊指套筒；r 指径向分量；p 指周向分量，下文无特殊说明以此处为准。 对于前一个l a p l a c e 方程的求解是常见的。通解为： 曼 i h c ! 曲，：艺“r 4 + 或r ”k 1 c o s n 占+ 戌s 缸一p ) + “h ，+ b o ( c o o + o o ) ( 2 3 ) 但是根据自然周期条件以及口角的起始位置，上式实际上可以写为： 曲。= r n p + 岛r - m p ) c o s n p o ( 2 4 ) 对于永磁体区域中的非齐次拟f o s s i o n 方程则可以利用f o u r i e r 级数来求 解。首先，根据方程右侧所展开的余弦级数将解取为： 时，刃= r ( r ) e o s ( n p o ) ( 2 5 ) 代入方程中比较余弦级数的系数，可以得到： ，2 掣+ ，掣一佃) 2 删= 鲁， 将r 。d ) 在，= 0 处展开为幂级数： 焉( ，) = ， 代入方程比较级数的系数可以知道r 有一个系数： ql - n 2 p = 鲁 当1 - n 2 p 2 o 时 焉。莉g n r ( 2 7 ) ( 2 8 ) ( 2 9 ) 当1 一矿p 2 = o 时，方程化为： ，2 掣+ ，掣砌) = 万g n ， ( 2 1 0 ) 这是一个欧拉型方程，取，= e 即可将方程化为非齐次二阶常微分方程，易于 求得： 焉= 瓦g i 巾， ( 2 1 1 ) 至此特解已经获得，再叠加上齐次解，可得方程的通解为： ( ，= k ，审+ 以r 1 ) c o s ， p 口 + ：l _ m 所lr l n r c o s o + 。钸 争互忑而m n 同印一 。 于是再根据边界条件： 曰喀( ，f l ，喝= o 6 ( 2 1 3 a ) ( ，口l ，吨= ( r ，叫吨 ( ，p 1 ，- 墨= 月_ ( ，口l ，l 厶 舶( ，口1 ，- 耳= o 即可求得标量磁势 根据已经求得的标量磁势，由 研：一挈 o r 以= 号舅 以及磁场的构成关系，可以得到： 在气隙套筒中： b ：坐丝f 。 2 以 ) 1 + ( 铷硎 + 蠹百u o m , 南p 棚 r ( ，驴一l 皿：”+ 2 r 7 “r ? 一一g p + 1 皿；”1 譬妒叫”】- 簪b 卅” 朋。p i 【r r 一- + 置；”，一t - “ c o s n p o ( ， 功一学 一卜t - 产一、2 j j 一 譬2 悻附( 圳r + 喜j - 警高尚1 咖。镪所妇) 2 一“ 州一舻r 如“) 】s i l l 印0 ( 2 1 3 ” ( 2 1 3 c ) ( 2 1 3 d ) ( 2 1 4 a ) ( 2 1 4 b ) ( 2 1 5 a ) 7 ( 2 1 5 ” 在永磁体中： 丑。= 学t 曰钿 1 + ( 争) 2 一护+ 学h 廿( 小f t 蹦r , j j 一一 + 童删一南” 置+ 【- + 去p 矗一【印+ 去j j r ，一【一去弘，屯户“r ； 譬【r 卜胪】_ 簪峥叫” ，尺) 2 ”】 【，- 一+ 置；- r 一一”，】c o s 印口 + # x o 吖。 = 半 诗司( 争) ”1 口 印日 ( 2 1 6 a ) 1 _ ( 铘半h 州钒刚 点( _ 彬一) 南”l j ，c 矽i x , 厩+ f k + 上i z , b ) 毕一( 印+ 爿舻一( t 一去一时啊 簪【r 卜矽】_ 簪陋叫9 取棚，) 2 】 6 - 一一一只；v r 押“】s i nn p o + 胁m - ，5 诗司( 孚) 南如妒) 2 一l r 舶+ l ( 2 1 6 b ) m o 声 。 + m 鳓 。弧 一 2 3 电枢反应磁场 为考虑定子绕组电流对于电机磁场分布的影响，将定予的安培导体数表示 为定子内表面的等效电流层。仍然假设定子表面是光滑的。 扣云 a 单根导线b 单个线圈 图2 3 槽部导体线圈电流层分布 对于单个导体的电流层分布，如图2 3 ( a ) 所示，为： 以；j 寺一老s 口5 j b i o 位于槽口位置上 ( 2 1 7 ) l o 其它位置 其中6 0 为定子槽口宽度 将其展开为余弦级数。得： 以= 面i + 丢莩扣去c o s v 口 对于一匝线圈来说，如图2 3 ( b ) 所示， 根导体的电流层叠加，得： 以= 瓦4 i 乍 f k k ，s i n v 口 ( 2 1 8 ) 取空间坐标原点为线圈轴线，将两 ( 2 1 9 ) s i n v 生 k 2 为槽口系数；b 2 如v 鲁为节距系数口，即绕组节距。 再考虑每相绕组产生的等效电流层，由于是集中绕组，分布系i 。= 1 ， 取每相绕组匝数为n，以a 相绕组为例： 以= 篆莓k 出v 口 ( 2 2 0 ) 根据图2 2 ，可以将电流波形分解为f o u r e r 级数 = 莓5 g ( 甜) 等l c o s 印q ，( 2 2 1 ) 其中所定义符号函数为： 蚋，= 胯裂罄 于是口j 以求得= 相绕组电沉形成得等效电流层 j = j a + jh + j 。 = 篆军军k 七枷 c o s ( 妒q d s i n ( v 口) + c o s m ( p q ，一；石) 】s i n 【v 一詈刀) 】 + c o s m ( p q r + 詈万) 】s i n 【v + 詈石) 】) = 等莓莓k 蛳印q r 嘲 【2 2 2 ) 为便于推导，将式( 2 2 2 ) 简写为： j ( a ，皿，o = 厶s i n ( u p a ，, t + v a ) ( 2 2 3 ) 当u + v = 3 k ，七= o , l ，2 , 3 ，时等效电流将不会存在对应次行波。 假定在r ，s r 。的区域内全部是永磁体。同时由于求解的是稳态解，所 以根据上面所求等效电流层的形式可以取矢量磁势为a e 卸c a r t ，于是可以建 立方程如下： 气肫 等+ 7 1 i c 8 a g + 专等= o ( 2 2 4 a ) 套筒中：石a 2 a 丁a + 7 1 a 荔a _ s t + 砉笔争= 却啡盯。风如 ( 2 2 4 b ) 永磁体中：争+ 吾等+ 专丢争= j u p c o , o r ，胁以 c 2 对于气隙中的l a p l a c e 方程，同样根据自然周期条件可知其解有式( 2 2 5 ) 的形 式： 1 0 a 。= ( 爿，+ e ，”弦” ( 2 2 s ) 至于在套筒与永磁体中的扩散方程仍然可以通过上文的傅立叶级数法求解，此 时如取a = r ( r ) o ) ，可以分离变量得到： 窘+ 吉警七2 + 多脚 2 s ， 其中f = j j 即m r 叩 再做变量代换，取p = t i 后方程即可化为虚宗量的贝赛尔方程，其解为第 一类和第二类b e s s e l 函数j 。( f ，) 与y ( r r ) 的线性组合。因此综上述，各区域的 通解为： 气隙中： a g = 【一，+ e r ” s i n ( u p o j , t + r o t ) ( 2 2 7 a ) 套筒中： 永磁体中： 如= 瞻以( r ) + q e ( “r ) 】s i i l ( 印q f + v 口) 扣l ，- 哪 a ，= 阪，( f 。，) + 只e ( f r ) s i n ( u p , v ，f + v a ) 根据边界条件 ，= 墨如= j ( a ，r ，f ) r = r db = b m h 电= h 似 r = r _ b 日= b mh l = h _ r = r rh _ z 0 其中为考虑到套筒厚度后的转子外径。 磁场分布即可获得。 于是在气隙中： ：妻妻；k ，+ b ，一 e o s ( u p o j + v c t )= b + 即1 ：一宝妻k ，一e ，一】s i n ( 妒竹t + v a ) 在套筒中： = 妻妻詈笋b 以( ，) + 域( ) k o s ( u p o j , t + v e t ) = 妻u - i 磬p 掣+ q 掣 蚴咿v 口， 在永磁体中： ( 2 2 7 b ) ( 2 2 7 c ) ( 2 2 8 a ) ( 2 2 8 b ) ( 2 2 8 c ) ( 2 2 8 d ) ( 2 2 9 a ) ( 2 2 9 b ) ( 2 3 0 a ) ( 2 3 0 b ) b 二= 量n - iv 量- - 。兰y 警t w 眩以( _ ，) + e e ( r 一，) 】c o s ( 妒q f + v 口) = 一砉莹p 掣+ e 删洲俐， 其中 4 = 訾r 盯【c i g + c 2 c s ( 2 3 1 a ) ( 2 3 1 ” e = 訾删 c l c 5 嘲】足= 时i c , c , + c ：c , i 一( 封i c , c , + c ：c , i c l = 以降( 驴e 如) c 3 - c c 2 = 所【i , l f r m 山( 白r 。) 一以( 乃如) c 3 + 正( 如) q c 3 = 以虮降讹驴驰圳 讹畔争山一以 q = 降剐吲删 降山( 饯h ( 叫 一降山一山姒) 降k 堋删 l v l c s = 2 以( 白一华山如) g ：2 e ( h 凡) 一丘墨芝k 。( “凡) g ：r t r tj , ( 如) c 。：三如) c 2 面一w 气功2 c 1 q = 去厶五，毛c 2 e = 去厶墨粕降( 驰h ( 柏) e = 一去抛f ：c 9 降山( 删一以彤) c 9 = 鱼争阢( 凡m ( 屯) 一，- ( t a i r m ) ( 力如) 】 2 4 齿槽效应 磁路计算中，在获知磁路上某处的磁密b 以及产生该磁密所需的磁动势， 后，可以定义磁导函数a ： 口= f a ( 2 3 2 ) 注意，这里的磁导与通常意义上的磁导略有差异，是利用磁通密度而不是 磁通来定义的，所以可以推广为磁导函数。显然，由于漏磁，电机每极下的磁 动势会由于齿槽而变化，而磁导函数则正可以刻划极下不同点磁动势的变化， 也就表示出了齿槽对气隙磁密分布的影响。换言之，此处的气隙磁导函数也可 以定义为单位磁势下气隙磁密在定转子表面间的分布( 不考虑永磁体) 图2 4 一个齿距内气隙磁密的分布 因此，由图2 4 的齿槽效应即可得到磁导函数，为了简化分析，一般采用 余弦函数来拟合开槽造成的磁密的变化。此时有： 缸d j =俐俐c o 悍士悱蔷 篑 屿 ( 2 3 3 ) 其愀咖与 通过将磁通等效为三角形，可以求得： 卸= 三( 一h2 凡譬o - ( 2 - 3 4 ) 于是在求得与后，磁导函数五 ，) 即可求得。为便于应用，采用标么 值 砘班掣“5 盎 。所 此外经常将磁导函数展开为f o l u i 盯级数： 风口，) = 天。( ，) c o s w q + ) ( 2 3 5 ) 其中口。是4 相绕组轴线与槽中心线之间的空间夹角，而 i l 一刖 瓦舻1 - 三赢+ 南脚万 g 3 6 ) 可见问题的关键在于给出b u 与。而通过假设电机的定子具有无限槽深， 即忽略槽形的单槽模型，如图2 4 所示，利用保角变换可以很容易地得出 与以及胎) ，可参见 7 1 。但是，有槽高速无刷电机的气隙宽度较大，相对 m a g n e t i 曲 圈2 5 无穷槽深模型 显然高速电机采用单槽模型是合适的，因为这种模型本来就适用于齿数较 少或气隙较之槽口宽度较大的情形。而且值得指出的是，因为气隙较大，所以 1 4 开槽而减少的每极磁通可以忽略不计。故根据s c h w a r t z - c h r i s t o f f e l 变换建立模型 如图2 6 所示： z - j - 专 x 图2 6 改进槽口模型的z w 平面关系 口 o + 螂螂 6 三3 石b o 2 + y g c 扣2 + a g 枷 d 扣b o l e 讹+ ，r 口- 1 兰2 。他+ 趣) f 庇，可以由对称性相应的写出，于是：一。平面的s c 变换为： 砉叫w + - l ( - + 寺 1c w + 寺* 一t w + 古， c w 扣 t w 一幸一寺玑w 一寺；：知加一寺j + 1 0 ( w - 1 ) 扣 ( 2 。3 7 ) = s 踽c 糍，* 而w t 平面的二次变换为： ，：譬 呱w 一7 i ) 一h w + 刍1 ( 2 3 s ) 万 1h 首先，对于s 可以由围道积分求得：对于a 点，在z 平面上有a z = - i s ， 而在w 平面上，令w 2 击+ 户，因为p _ o ，口何o ，于是 止= 一芦每掣篆 竿声? 、1 砰k , 2 一- v l 碍k ；，* 万 令 州错) 2l l 纠k ；- 1 m n * 则 s = 叠l( 2 3 9 ) 石毛k 至于其它参数的确定，则要借助于数值积分。对于复平面z 上的n 边形， 其顶点和内角分别为互与口，刀，则c s 变换为1 0 】： z ；s r 垂( 孝q 严。1 西+ c ( 2 4 0 ) 设z 为n 多边形第i 边的边长，于是： 西= i 五五+ - | = i s e “疆c ；一。严。西i = ( - - ) 至；，j 。i s | e “ 重( f 一乃广r 1 群 ( 2 4 1 ) = p 阻 具体到= e + 1 珥n - i ( 善一口，) 唧1 孵 ，则可以转化为： = g f f 4 0 一，) 4 f , ( t ) d t ( 2 4 2 ) 苴中 1 6 ( 幻一i ) g = - a 1 ) ”1 z = p 广1 “( ，矗严4 毗- ，) 斯4 ”面哪铂 = 啦- 1口= 口m 一1 这个含有奇异点的积分可采用g a u s s - j a c o b i 型数值积分来求解， 来计算g a u s s 节点。积分中的权函数为： w ( t ) = ( 1 - t ) t p 将对应的正交多项式的递推公式写成矩阵形式即为： , e ( o l = r k ( o l + i f 】 e ( 0 - - p o * ( f ) ，e “4 ( ，) ，础( o 】7 【f 】= t o ，o ，0 ，嚣一( t ) l a 。r 卜岛q 他0 l 岛如一如呸l 吗0 闭= l 1铀铀一铀v 铀 0c n | n nb n | 依照特征值法 ( 2 4 3 ) ( 2 4 4 ) 因为t ，是g a u s s - j a c o b i 结点，所以瑶( f ，) = 0 ，于是问题转化为求特征值问 题： ， ，( f ，) 】= 【r 】【p ( f ，) 】 ( 2 4 5 ) 采用q r 算法即可得到特征值。最后根据正交性，可以利用特征向量来表 示高斯积分的权系数： 乃= 面f ( 1 一矿t d t = q ；b ( f l + l , o t + 1 ) ( 2 4 6 ) 式中矗，表示各单位特征向量的第一个元素。b ( p + l ，a + 1 ) 则是常见的特殊 函数b e t a函数。需要注意上面的结论事实上应当采用规格化正交多项式，但 是j a c o b i 多项式用于规格化的范数很繁难，不便在计算时使用。但是根据递推 关系，只要在对应元素上乘以范数的比值即可。 对5 ：i t 】主对角线的上方副对角线元素f ，要分别乘以： 对于【刀主对角线的下方副对角线元素f 要分别乘以： 1 7 ( 2 4 7 a ) 豸 i 扛+ 卢+ 3 ) 【( 口+ l x + 1 ) 】i = i 1 、粤j - 1 ) ( 2 j + 戛a + f l 雩- l x j + a + f l 暮- 1 ) 川 g 4 7 脚 l yo + 口一1 x j + 卢一1 x 2 j + 廿+ 一3 ) 。 这样就完全确定了电机槽部的保角变换的数值积分方程，最终有 声( 1 【_ k0 x = d s ( 2 4 8 ) 其中k = 【七1 ，t 2 ，t 3 ，】r 已知的各边边长分别等于对应的g a u s s 型积分，这样确定各个参数| 。，的 问题就转化为一组非线性方程组的零点问题，而且含有约束条件。显然这是一 个非线性规划问题。根据采用的保角变换模型模型，参数k i 要满足线性约束条 件： a = 佗4 9 ) 目标函数为： - ，= m 删l s 叫k 叫- 4i ) ( 2 5 0 ) f = 1 , 2 ，3 ，4 于是可以采用s u m t 方法中的外点法来求解，引入外罚函数 m i n c g ( k ) ，o ”2 ( 2 5 1 ) 即可转化为无约束最优化问题。但是这个问题的解严重依赖于初始点的选择， 极容易陷入局部极小值，不能满足零点的求解。所以每求解一次都要重新代入 式( 2 4 8 ) 中以观察是否满足零点的条件。如果不能满足就要根据已经求出的 极小点重新开始优化。但是这个过程十分漫长。为了加快向零点的收敛，取一 组在l 以内的随机数，与已经求出的极小点的1 1 0 相乘，添加到极小点中作为 扰动，事实表明这个措施是有效的。 在确定出所有的参数t ，进而得到s 后，电机齿槽的保角变换模型得以建 立。 根据物理意义不难知道，在w = + l t l 处存在最大值，恰好得到躺姚。 至于则与半径有关，此时取w = j v ，根据c s 变换式不难看出其对应于： 平面的虚轴，正好得到槽i ：1 处不同半径下的磁密，即： 一譬嚆器 v - - 0时得到定子槽内表面的磁密，其余情况下要确定v 则需要求解积分： 1 8 o o o l 1 o o o o o l l o 0 l i o 0 o 一 ”= s 噼滞告鬃尸。西 根据这个积分就可以确定半径为，时对应的v ，进而得出该半径下的最小磁 密。 上述的求解涉及到两个数值积分的求解问题【1 1 】： 1 ) 求解磁通变化的积分 由拈胁隆| = 胁b 剖可知： 亡= 悭燃2 10 在转子表面上i 叫，帆，故绝对值号可以去掉。又 捕踽镶尚 ( 2 5 4 ) ( 2 5 5 ) 于是根据图可以知道积分转化为在w 平面上的环路积分，即 叫。胁警o 一芒芦2 砜孚丘+ 爿o - - 是j ( 2 5 6 ) t m 第一项实际是实积分，后面一项为在无穷远处的积分，容易证明： 悟斗专一。 ( 2 5 7 ) 同时为便于数值处理，进行换元w = i t 后可得积分区间有限的积分。但是这个 积分的k l 点为奇异点，所以积分时要截去一部分区间【k 。一坑毛】，如果适当 的选取艿，是可以是误差处于允许范围内的，即 i l l i 。刮 占 ( 2 5 8 ) 1 1 岬l 具体做法是先取【o ，七1 一刃区间进行积分，然后等分【魄一艿，k l 】区间，求 【走卅尹。乇卅力 上的积分，显然如果小区间内的积分值小于一定值，是可以 看成满足误差要求的。为了加快试探进程，要提高积分收敛速度，但又要满足 各类函数性态( 函数、导数的奇异性) ，所以不能采用高精度的g a u s s 积分， 而采用r o m b e r g 积分，并利用上述自适应的方法。除了在收敛控制时检查积分 的主对角线序列外，还同时对生成的梯形、s i m p s o n 序列进行检查，这样就可 以就不同特性的函数寻找最快的收敛序列。 2 ) 求解最小磁密的积分 在求最小磁密时出现了( 2 5 3 ) 式中的积分 1 9 瑚f 踹专器) l ，驯西 很难获得解析解，自然可以在x 变化的范围内取一系列数值，将计算转化为定 积分计算。但只能得到若干离散值，于应用是不方便的。于是可以用砂 鼬级数将被积函数展开，而对于有界变差函数总是可以将函数表示为 c e b y i s h e w 多项式的线性组合的，但是注意在应用前应当首先将v ( o ，* ) 转换 ，e ( - l ，+ 1 ) ，采用换元v = 祷( 1 + 功即可。具体的积分过程参见文献【1 l 】 根据上述方法所得结果与采用无穷深槽的简化模型相比，磁导函数有比较 明显的差别，如图2 7 所示。至于磁导函数的变化趋势则是与原有结果一致 的，见于图2 8 。 卜卜 卜 鞲鞲兰 r i a b ( r o d ) 型喜 经典模型 改进模型 图2 7 不同模型磁导函数的比较 一 叼ki r d r = 0 8 3 c m 8jg_-n善口 8星善乏 8il；譬0 瓣篚 晴呻 r = 0 9 3 c m 图2 8 不同半径处磁导函数的比较 从结果可以看出，由于气隙磁密在齿部的集中效应，定子槽内的磁密迅速 的衰减到只有气隙磁密的一成左右，但是衰减是从c 点之后才明显的。所以槽 形特征产生了较大的影响。这为进一步简化模型提供了启发。简化是必要的， 因为采用数值积分来确定参数在一定程度上影响了解析算法的效率，而且本身 也不是从磁密分布来直接分析齿槽效应的，并且也忽略了电机的曲率与槽之间 的关系。可以进一步简化保角变换模型的节点数，同时合理地忽略掉槽部地非 直角倾角，即可利用椭圆函数来求解这一问题。 2 5 负载磁场 为了预测在任意负载条件下的磁场分布，需要根据瞬时转子位置与对应的 相电流来预测空载磁场场与电枢反应场以及磁导函数的的相对位置。为此，需 要做出如下假定： 1 ) 假定转子旋转正方向是逆时针； 2 ) 相序正方向为a b c ，相差1 2 0 度电角度。a 相轴线是空间起始角。时 间起始角为电流换向结束后a 相电流为正极性的时刻； 3 ) 空载场与电枢反应场以及磁导函数的相对位置。由永磁体产生的磁场 的解析解的起始角是永磁体磁极的轴线( 由磁化强度的展开所决定) 。类似的 电枢反应场的解析解的起始角则对应这a 相绕组的轴线。但是磁导函数的起始 角则相对于定子槽1 2 1 的中心； 4 ) 时间与转子转角的相对关系；一般要由动态仿真来决定，但是如果假 定转子速度不变，根据上述的简化，得到稳态运行关系为： 口叫= 等， ( 2 6 ) 其中啡为转子角速度，栉，为转子转速。 5 ) a 相绕组轴线与磁导函数间的角位移。气隙磁导和绕组磁动势间的夹 2 i 82差善ie 角取决于电机绕组的布置。如3 ) 所述，磁导函数的起始角是定子槽轴线，如 果起始角改为定子绕组a 相轴线，这可能就不再是定子槽的轴线了。但事实上 也只有两种情况： i 当绕组节距是槽节距的奇数倍时，a 相绕组轴线就与定子齿中心重 合； i i 当绕组节距时槽节距的偶数倍时，a 相绕组轴线与定子槽中心重合； 当三相永磁无刷直流电机采用集中式绕组时，有可能采用叠式与非叠式绕 组。如果是非叠式绕组，绕组节距等于槽节距，如果是叠式绕组，绕组节距则 为三个槽节距。所以a 相绕组轴线都对应于定子齿中心。所以如果电枢反应磁 场表示成： 风 ，f ) = b , s i n ( u p c o , t + v a + 0 。) ( 2 6 1 ) ， 则相对磁导函数为： 孔z ，) = 瓦c o s p q , ( a + a ) ( 2 6 2 ) ， 其中： f 卫 瑾埘= q ， 【0 6 ) 永磁体与a 相绕组轴线间的相对位置。如果取开路磁场为： 丑日目( 只，) = 万( 口，r ) e b c o s n p 8 ( 2 6 3 ) 其中o = a 一口。，口是相对于a 相绕组轴线的角位移。 绕组磁动势的夹角，可表示为： a m = l + 8 q 岛是取决于换相角的。决定方法如下： 口。是磁场轴线与a 相 ( 2 6 4 ) 在一般的三相无刷直流电机中，某一相