微积分习题讲解与答案.doc

_习题8.11.指出下列微分方程的阶数，并指出哪些方程是线性微分方程： (1) (2) (3) (4)解 (1) 1阶 非线性 (2) 1阶 线性 (3) 3阶 线性 (4) 1阶 线性2.验证下列函数是否是所给微分方程的解 (1) (2) (C为任意常数) (3) (C为任意常数) (4) (C1 ,C2为任意常数) (5) (C为任意常数) (6) 解 (1) 是，左=右 (2) 是，左=右 (3) 是，左=右 (4) 是，左=右 (5) 是，左=右 (6) 是，左= = = 右3.求下列微分方程的解 (1) ; (2) ; (3) (4) 解 (1) (2) (3) 解得 即 (4) 解得 整理得 4.已知曲线经过原点，并且它在点处的切线的斜率等于，试求这条曲线的方程。解 已知 解得 又知曲线过原点，得 所求曲线方程为习题8.21.用分离变量法求下列微分方程的解 (1) (2) (3) (4) (5) (6) 解 (1) 解得 (2) 解得 (3) 解得 即 (4) 解得 整理得 (5) 解得 由于 ，解得 则 (6) 解得 由于 则 原方程解为 2.求下列齐次方程的解 (1) (2) (3) (4) (5) (6) 解 (1) 令，代入方程得分离变量得两边积分得整理得 将回代，即得原方程通解(2) 原式可化为 令，代入方程得分离变量得两边积分得将回代，即得原方程通解整理得 (3) 原式可化为 令，代入方程得分离变量得两边积分得即 将回代，即得原方程通解(4) 原式可化为 令，代入方程得分离变量得两边积分得即 将回代，即得原方程通解(5) 令 (6) 原式可化为 令，代入方程得分离变量得两边积分得即 将回代，即得原方程通解将代入得C=2于是，特解为习题8.31.求下列微分方程的通解 (1) (2) (3) (4) (5) (6) 解 (1) 这是一阶非齐次线性微分方程，先求对应的齐次方程的通解。分离变量得两端同时积分，得得通解为用常数变易法，把C换成C(x)，即两边微分，得代入原方程，得两端同时积分，得故所求微分方程通解为其中C为任意常数。(2) 则 或：这是一阶非齐次线性微分方程，先求对应的齐次方程的通解。分离变量得两端同时积分，得得通解为用常数变易法，把C换成C(x)，即两边微分，得代入原方程，得两端同时积分，得故所求微分方程通解为其中C为任意常数。(3) 则 (4) 则 (5) 原式可化为 则 (6) 原式可化为 则 2.某种商品的消费量X随收入I的变化满足方程 （a是常数）当时，求函数的表达式。解原式可化为 则 又当时，得 则原方程解为 习题8.41.某商品的需求函数与供给函数分别为(其中a,b,c,d,均为正常数)假设商品价格P是时间t的函数，已知初始价格，且在任一时刻t，价格P(t)的变化率与这一时刻的超额需求成正比（比例常数为k0）(1)求供需相等时的价格（均衡价格）（2）求价格P(t)的表达式（3）分析价格P(t)随时间的变化情况解 （1）当时，即，得 （2）由于，即方程通解为已知价格，代入得 ，于是 （3）由于2.已知某种商品的需求价格弹性为，其中p为价格，Q为需求量，且当p=1时，需求量Q=1，试求需求函数关系。解 设需求关系式为，则由题设知即此微分方程通解为将Q(1)=1代入，得C=1，故所求需求函数为3. 设某厂生产某种产品，随产量的增加，其总成本的增长率正比于产量与常数2之和，反比于总成本，当产量为0时，成本为1，求总成本函数。解 设产量为x，总成本为C，比例系数为1，则依题意有解此微分方程，得把初始条件代入解得于是总成本函数为4.在宏观经济研究中，发现某地区的国民收入y，国民储蓄S和投资I均是时间t的函数，且储蓄额S是国民收入的，投资额为国民收入增长率的。若当t=0时，国民收入为5亿元，试求国民收入函数（假定在时间t的储蓄额全部用于投资）解 依题意得因为储蓄额全部用于投资，故有即国民收入函数应满足方程解得将初始条件代入上式，得于是习题8.51、求下列微分方程通解 (1) (2) (3) (4) 解 (1) (2) (3) 令，原方程降阶为分离变量得 两边积分得即所以(4) 令，原方程降阶为分离变量得 两边积分得即所以2求解初值问题(1) . (2) 解 (1) 设，则，代入原方程，得分离变量得积分得，即 由 得 则 ，由知单调增加，于是再积分一次，可得通解由 得 即 (2) 令,原方程化为 属于一阶线性方程 由得 又由 得 初值问题的解为习题8.61.求下列方程通解 (1) (2) (3) (4) 解 (1) 解 特征方程为解得两个不同实根，所求方程的通解为其中是任意常数 (2) 解 特征方程为解得两个不同实根，所求方程的通解为其中是任意常数(3) 解 特征方程为其特征根为二重实根，所求方程通解为其中是任意常数(4) 解 特征方程为解得两个共轭虚根，所求方程通解为其中是任意常数2.求方程满足初始条件的特解解 特征方程为解得两个共轭虚根，所求方程通解为由初始条件得 又由由，得于是满足初始条件的特解为3.求微分方程的一个特解 解 ，其中不是特征方程的根，得为所给方程的一个特解，直接将代入原方程，得比较系数得解得所以即为所求特解4.求微分方程的通解解 ，其中对应的齐次方程为特征方程有二重特征根齐次方程通解为由于是重特征根，所以设非齐次方程特解为直接将代入原方程，得比较系数得解得，因此为所给方程的一个特解，从而所求方程通解为其中是任意常数5.求方程的通解解 对应齐次方程为它的特征方程有重根故对应齐次方程的通解为由于不是特征根，因此设所给方程的特解为代入原方程得比较系数得解得，因此为所给方程的一个特解，从而通解为习题8.71. 设某种产品就要推向市场，t时刻的销量为x(t)，由于产品良好性能，每个产品都是一个宣传品，t时刻产品销售的增长率与x(t)成正比，同时，考虑到产品销售存在一定的市场容量N，统计表明与尚未购买该产品的潜在顾客的数量N- x(t)也成正比，试给出x(t)的方程，并求销量达到多少时最为畅销。解 其中k为比例系数，分离变量积分，可得 由以及当时，有，即销量单调增加；当时，；当时，；当时，；即当销量达到最大需求量N的一半时，产品最为畅销，当销量不足N的一半时，销售速度不断增大，当销量超过一半时，销售速度逐渐减少。2、某商品的价格由供求关系决定，若供给量与需求量均是价格的线性函数：若价格是时间t(年)的函数，且已知在时刻t时，价格的变化率与过剩需求成正比，比例系数为2，试求价格与时间t(年)的函数关系，且已知初始价格元，问当年时价格应为多少？解 依题意，得解得由已知，代入得于是则当时，习题8.81、计算下列各题的差分（1） （2）解 (1) (2) 解 2、求下列差分方程的通解（1） （2）（3） （4）解 （1） 因，对应齐次方程通解为 （C为任意常数）设代入原方程，有比较系数得，所以所求方程通解为C为任意常数（2） 因，对应齐次方程通解为 （C为任意常数）设代入原方程，有比较系数得故有所求方程通解为（3）对应齐次方程通解为 （C为任意常数）又，即，且，因此，原方程的特解为故原方程通解为（4）对应齐次方程通解为 （C为任意常数）又，即，且，因此，原方程的特解为故原方程通解为3、求下列二阶差分方程的通解（1） （2）（3） （4）解 (1) 特征方程 得特征根从而得到方程的通解其中为任意常数。（2）原方程对应的特征方程为特征方程有两个共轭复根且，即知方程有两个特解于是原方程通解为其中为任意常数。（3）特征方程为解得重根，于是原方程通解为其中为任意常数。 下面求非齐次方程特解