（计算机应用技术专业论文）几类分形图的计算机构造与研究.pdf

大连理工大学硕士学位论文 摘要 本文从分形的基本理论谈起，对j u l i a 集理论及其应用作了相关探讨，主要内容介 绍如下； ( 1 ) n e w t o n 变换的j i l l i a 集是分形学中一个十分诱人的问题，对n e w t o n 变换的j u l i a 集的吸引域及其内部结构的研究，有助于理解迭代法求根逐次逼近的本质。本文构造了 n e w t o n 变换、h a l l e y 方法以及s c h r 6 d e r 方法的分形图，理论研究了j u l i a 集的结构特征， 给出了标准n e w t o n 变换、h a l l c y 变换以及s c m m 盯变换的不动点的性质与条件，并观 察了多项式的根和对应j u l i a 集结构之间的关系。即若保持多项式的根的相对位置不变， 则其对应j u l i a 集的拓扑结构保持不变；若存在额外不动点，则其额外不动点亦保持不 变。否则，j u l i a 集的结构和额外不动点都将发生改变。 ( 2 ) 将分形的思想引入到一类指数方程的研究中，研究指数方程解与j m i a 集理论的 关系。将k i m 的复指数函数推广为更一般形式，阐述了一般指数方程所对应牛顿变换的 j u l i a 集的理论，分析了一类复指数方程解的特性，理论证明了j m i a 集的对称性、有界 性以及吸引域的嵌套拓扑分布结构。 ( 3 ) 3 x + l 问题最早由c o l l a c z 在一次国际数学大会上提出，5 0 多年来，国际数学界 对3 x + l 问题进行了深入研究并提出了多种猜想。本文将3 x + l 函数推广到复平面，得到 两种不同的复映射形式。利用逃逸时间、停止时间和总停止时间算法，构造了这两种复 映射的分形图，并基于分形图的结构特征分析了广义3 x + l 函数的动力学特性。由这三 种算法所构造的分形图显示了3 x + l 函数在复平面上具有精细的分形结构特征，通过对 分形图的比较，说明了3 x + l 函数有稳定的收敛性。 关键词：j l i l i a 集；广义缸+ 1 函数；动力学 大连理工大学硕士学位论文 c o m p u t e r c o n s t r u c t i o na n dr e s e a r c ho ns e v e r a lt y p e so f f r a c t a li m a g e s a b s t r a c t ，1 1 l i sp a p e rb e g i 璐w i t ht h ef u n d a m e n t a lt h e o r y , d i s c u s s e st h et h e o r yo fj u f i as e t sa n di t s r e l a t i v ea p p l i c a t i o n 1 1 地m a i nc o n t e n t sa sf o l l o w s ： ( 1 ) 1 kj u l i as e t so fn e w t o n sm e t h o di saf a s c i n a t i n gp r o b l e mi nt h es t u d yo ft h e f l a c t a l s t h es t u d i e sa b o u tb a s i n so f a t t r a c t i o na n di n n e rs t r u c t u r e so f j u l i as e t sw i t hn e w t o n s m e t h o da f eh e l p l f u lt ou n d e r s t a n dt h e 麟o n c eo fa p p r o x i m a t i n gt l l er o o t sw i t hi t e r a t i v e m e t h o d s t i l i sp a p e rc o n s t r u c t sf r a e t a li m a g e sf o rt h es t a n d a r d sn e w t o nm e t h o d , h a l l e y s m e t h o d , a n ds c h r o d e r sm e t h o d ，a n a l y z e st h ej u l i as e t st h e o r yo ft h e m ，s t u d i e ss t r u c t u m e h a r a e t e r i s t i c so fj u l i as e t s s h o w st h ep r o p e r t i e sa n dc o n d i t i o n so ff i x e dp o i n t sf o rt h e s t a n d a r dn e w t o nm e t h o d ，h a l l e y sm e t h o d a n ds e h r o d e r sm e t h o d t l l i sp a p e ra l s oo b s e t v e s t h er e l a t i o nb e t w e e nr o o t so fp o l y n o m i a la n dj u l i as e t ss t r u c t u r e , n a m e l y , i fk e e p i n gt h e r e l a t i v ep o s i t i o no f t h er o o t so f ap o l y n o m i a li n v a r i a b l e t h e nt h et o p o l o g i c a ls t r u c t i n ei sa l s o i n v a r i a b l e i ft h e r ei sa l le , x t r a n e o u sf i x e dp o i n t , t h a nt h ea 【t n i n 瑚f i x e dp o i n ti sa l s o i n v a r i a b l e o t h e r w i s e , t h es t r u c t u r e so f j d i a s e t sa n df i x e dp o i n t sw o u l db ec h a n g e d ( 2 ) p a p e ra p p l i e st h ef r a c t a lt h e o r yt os o m ee x p o n e n t i a le q u a t i o n s ，s t u d i e st h e r e l a t i o nb e t w e e nr o o t so fs o m oc o m p l e xe x p o n a n t i a le q u a t i o na n dt h e o r yo fj u l i as e t s 1 f 1 怆 p a p e rc x t e n d e sk i m sc o m p l e xe x p o n e n t i a lf u n c t i o n , c o m e su pw i t ht h e o r ya b o u tj u l i a s e t so f n e w t o n st r a n s f o r m a t i o nf o rg e n e r a le x p o n e n t i a le q u a t i o n , a n a l y z e st h eb e h a v i o ro f t h er o o t s o f s o m ec o m p l e xe x p o n e n t i a le q u a t i o n , a n dp r o v e st h ej u l i as e t ss y m m e t r y , b o u n d e d n e s sa n d e m b e d d i n gt o p o l o g yd i s t r i b u t i o ns t r u c t u r eo f b a s i n so f a t t r a c t i o ni nt h e o r y ( 3 ) c o l l a t zp u tf o r w a r d3 x + lp r o b l e ma t f i r s ti na ni n t e r n a t i o n a lm a t h e m a t i c s c o n v e n t i o n , h e n c ei ti sk n o w na s c o l l a t zp r o b l e m i n t e r n a t i o n a lm a t h e m a t i c sw o d dh a v e s t u d i e d3 x + lp r o b l e md e e p l yf o r6 衄y e a r sa n dp u tf o r w a r dt h es e v e r a lc o n j e c t u r e s 啦s p a p e rg e n e r a l i z e s 3 x + 1f u n c t i o nt ot h ec o m p l e xp l a n e ，g a i n st w od i f f e r e n tc o m p l e xm a p s t h e nt h ep a p e rc o n s t r u c t sf r a c t a li m a g e sf o rt h i st w oc o m p l e xm a p su s i n ge s c a p et i m e , s t o p p i n gt i m e a n dt o t a ls t o p p i n gt i m ea r i t h m e t i cr e s p e c t i v e l y ，s t u d i e st h ed y n a m i c sf o r g e n e r a l i z e d3 x + lf u n c t i o no nt h eb a s eo f t h es t r u c t u r ec h a r a c t e r i s t i c so f t h ef r a e t a li m a g e s n 把f r a e t a li m a g e sc o n s t r u c t e db yt h et h r e ea r i t h m e t i cs h o w st h a tt h e r ea r ec o m p l i c a t e df r a e t a l s t r u c t u r ec h a r a c t e r i s t i c sf o r3 x + lf u n c t i o ni nt h ec o m p l e xp l a n e i ts t a t e st h a t3 x + l f u n c t i o nh a ss t a b l ec o n v e r g e n c eb yc o m p a r i n gt h ef r a e t a li m a g e s k e yw o r d s ：j u h as 出：g e n e r a l i z e d3 x + 1f u n c t i o n ；d y n a m i c s - - i i i - 独创性说明 作者郑重声明：本硕士学位论文是我个人在导师指导下进行的研究工 作及取得研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外， 论文中不包含其他人已经发表或撰写的研究成果，也不包含为获得大连理 工大学或者其他单位的学位或证书所使用过的材料。与我一同工作的同志 对本研究所做的贡献均已在论文中做了明确的说明并表示了谢意。 作者签名： z 护p ；，7 2 口 大连理工大学硕士学位论文 大连理工大学学位论文版权使用授权书 本学位论文作者及指导教师完全了解“大连理工大学硕士、博士学位论文版权使 用规定”，同意大连理工大学保留并向国家有关部门或机构送交学位论文的复印件和 电子版，允许论文被查阅和借阅。本人授权大连理工大学可以将本学位论文的全部或 部分内容编入有关数据库进行检索，也可采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇 编学位论文。 作者签名：寻雪晶 导师签名： i 。圣主、 垫旦年监月旦日 大连理工大学硕士学位论文 引言 非线性科学是2 0 世纪6 0 年代以来在各门以非线性为特征的分支学科的基础上逐渐 形成的，旨在解释非线性系统的共同特征、基本特征和运动规律，是跨学科的- - f 3 综合 性基础科学。在非线性科学的研究中，己涉及对确定论与随机性，有序与无序，偶然性 与必然性，量变与质变，整体与局部等范畴和概念的重新认识，它将深刻地影响人类的 思维方法，并涉及现代科学的逻辑体系的根本性问题。一般认为非线性科学的主体包括： 混沌、分形、孤子。 分形理论是非线性科学中的一个活跃分支，其研究的对象是在非线性系统中产生的 不光滑和不可微的几何形体，对应的定量参数是维数。分形理论的数学基础是分形几何 学，它是刻画混沌运动的几何语言和探索复杂性的有效工具，是更接近现实世界的数学。 自从2 0 世纪7 0 年代m 锄d e l b m t 首先提出分形以来，这门学科无论在其数学基础上 还是在其他学科的应用方面都得到了迅速的发展，并对一些久悬未解的难题的研究取得 突破性进展。今天，分形已被认为是研究非线性复杂问题最好的一种语言和工具，成为 世人瞩目的学术热点。 o 分形理论为科学地研究具有随机形态特征及无穷细节的自然现象，提供了一种全新 的数学工具。分形研究的主要目的是揭露、了解隐藏得很深的自然界混乱无规律结构中 的规律性及其物理本质，并进而支配它们，但这个目的还远未达到。分形来源于数学， 分形中很多急待解决的问题，追根溯源，本质上仍回归到数学问题的解决。由于应用学 科和计算机制图的刺激与推动，分形的数学理论也得以迅速发展，并且目的更明确，思 想更深入。近年来，在维数的估计与算法，分形集的生成结构，分形的随机理论，动力 系统的吸引子理论与分形的局部结构己获得较深入的结果，其势方兴未艾。 本文重点是对几类分形图的计算机构造与研究，全文共分为五章：第一章介绍了分 形理论的发展史、分形学研究的主要内容和本文研究的主题。第二章研究了标准n e w t o n 变换、h a l l e y 方法和s c h 埔d 盱方法的j u l i a 集。第三章阐述了牛顿变换的j u l i a 集理论， 并对一类复指数方程的牛顿变换的j 试i a 集进行了相关的研究。第四章简单介绍了3 x + l 问题，并通过分形可视化方法对广义3 x + l 函数的动力学特性进行了相关研究。最后为 全文的总结。 几类分形图的计算机构造与研究 1 分形理论概述 非线性混沌与分形理论的基本思想起源于2 0 世纪初，发生于2 0 世纪6 0 年代后， 发展壮大于2 0 世纪8 0 年代。这一理论揭示了有序与无序的统一、确定性与随机性的统 一，并成为正确的宇宙观和自然哲学的里程碑。 1 1 分形理论的产生和发展 分形理论既是非线性科学的前沿和重要分支，又是- f l 新兴的横断学科。但其本质 却是一种新的世界观和方法论。作为一种方法论和认识论，其启示是多方面的；一是分 形整体与局部形态的相似，启发人们通过认识部分来认识整体，从有限中认识无限：二 是分形揭示了介于整体与部分、有序与无序、复杂与简单之间的新形态、新秩序；三是 分形从一特定层面揭示了世界普遍联系和统一的图景【l l 。 分形理论的发展大致可分为三个阶段。下面简要回顾一下分形理论在这三个历史阶 段的发展过程【2 3 1 。 第一阶段为1 8 7 5 年至1 9 2 5 年，在此阶段，人们已认识到几类典型的分形集，并力 图对这类集合与经典几何的差别进行描述、分类和刻画。1 8 7 2 年，德国数学家w e i e r s t r a s s 证明了一种连续函数在任意一点均不具有有限或无限导数。1 9 0 4 年瑞典数学家k o c h 通 过初等方法构造了如今被称为k o c h 曲线的处处不可微的连续曲线。该曲线是第一个人 为构造的具有局部与整体相似的结构的例子，它被称为自相似结构。之后，意大利数学 家p e a n o 又构造出填充平面的曲线，这导致了后来拓扑维数的引入。1 8 7 2 年，集合论创 始人c a n t o r 引入了一类全不连通的紧集一康托尔三分集。1 9 1 3 年，p e r t i n 对布朗运动 豹轨迹进行了深入研究，明确指出布朗运动作为运动曲线不具有导数。为此，w i e n e r 建立了布朗运动的概率模型。1 9 1 5 年，波兰数学家s i e r p i n s k i 设计了象地毯和海绵一样 的几何图形。这些都是为解决分析与拓朴学中的问题而提出的反例，但它们正是分形几 何思想的源泉。 为了测量上述集合，同时为了更一般的理论，德国数学家h a u s d o r f f 于1 9 1 9 年引入 了h a u s d o r f f 预t j 度和h a u s d o r f f 维数。这些概念实际上指出了为了测量一个几何对象，必 须依赖测量方式以及测量所采取的尺度。 总之，在分形理论发展的第一阶段，人们已经提出了典型的分形对象及其相关问题 并为讨论这些问题提供了最基本的工具。 第二阶段大致为1 9 2 6 年到1 9 7 5 年，在这半个世纪里，人们实际上对分形集的性质 做了深入研究，特别是维数理论的研究已获得了丰富的成果，而且将研究范围扩大到数 一2 一 大连理工大学硕士学位论文 学的许多分支中。尽管在此阶段分形的研究取得了许多重要的结果，并使这一学科在理 论上初见雏形，但是绝大部分从事这一领域工作的人主要局限于纯数学理论的研究，而 未与其它学科发生联系。另一方面，物理、地质、天文学和工程学等学科已产生了大量 与分形几何有关的问题，迫切需要新的思想与有力的工具来处理。正是在这种形势下， 1 9 6 0 年，m a n d e l b r o t 在研究棉价变化的长期性态时，发现了价格在大小尺度间的对称性。 同年在研究信号的传输误差时，发现误差传输与无误差传输在时间上按康托集排列。在 对尼罗河水位和英国海岸线的数学分析中，发现类似规律。他总结自然界中很多现象从 标度变换角度表现出的对称性。他将这类集合称作自相似集，其严格定义可由相似映射 给出。他认为，欧氏测度不能刻划这类集的本质，转向维数的研究，发现维数是尺度变 换下的不变量，主张用维数来刻划这类集合。m a n d e l b r o t 以其独特的思想，对自然界中 的典型分形现象进行了系统、深入地研究，取得了一系列令人瞩目的成功。 第三阶段大致为1 9 7 5 年至今，是分形几何在各个领域的应用取得全面发展，并形 成独立学科的阶段。m a n d e l b r o t 涉猎众多学科，加上他善于把各学科联系起来，从具体 的、个别问题中发现抽象的、一般的共性，最终产生分形思想。1 9 7 5 年，m a n d e l b r o t 将前人的结果进行总结，集其大成，以分形：形状、机遇和维数为名发表了他的划 时代的专著。在此专著中，第一次系统地阐述了分形几何的思想、内容、意义和方法。 此专著的发表标志分形几何作为一个独立的学科正式诞生，从而把分形理论推进到一个 更为迅猛发展的阶段。 今天，分形理论已经与计算机科学理论等领域相结合，这种结合使人们对久悬未解 的基本难题的研究取得突破性进展，在探索、描述及研究客观世界的复杂性方面发挥了 巨大作用【4 ，习。其作用涉及到几乎整个自然科学和社会科学。分形已被认为是研究非线 性复杂问题最好的一种语言和工具。并受到各国政府及学者的重视和公认，成为举世瞩 目的学术热点。 1 2 分形理论对相关领域的影响 分形理论的创立，与计算机图形学密切相关，而分形理论的研究又是科学计算可视 化的重要应用领域，它促进了计算机实验数学的建立和发展【6 】。 ( 1 ) 分形与计算机图形学 计算机图形学是研究如何利用计算机生成、处理并显示图形的学科。早在一个多世 纪前，h a u s d o r f f 就已提出了分维的概念。早在1 9 1 8 年，法国数学家j u l i a 和f a t o u 等人 就研究过现在以他们的名字命名的数集，并使当时关于复动力系统的研究达到很高的水 平，但由于当时尚未出现计算机，以致他们的研究在随后的5 0 多年间几乎没有进展。 一3 一 几类分形图的计算机构造与研究 直至后来，m a n d e l b r o t 以计算机为工具，将复动力系统迭代所生成的美丽图形呈现在大 家面前时，复动力系统的研究才得以发展，分形才引起全世界的广泛关注。同时，分形 理论的产生和发展，又使计算机在图像、数据压缩技术中发挥重要的作用。 ( 2 ) 分形与科学计算可视化 科学计算可视化是计算机图形学的一个重要研究方向，是图形科学研究的一个的新 领域。它是将计算机图形学与图象处理技术应用于计算科学的一种计算方法，能够将科 学数据转换为可视的信息，以帮助研究或应用人员理解。可视化的应用极大地推动了分 形理论地发展，通过可视化技术不仅可以十分逼真地模拟自然现象，而且可以将分形研 究过程中所处理的各种物理模型、数学模型和抽象的计算过程或结果用梦幻般地图像显 示出来，帮助研究人员形象直观地感知和洞察这些数据和结果，从而更有效地进行分析 和处理，揭示其中所蕴藏的本质和规律。此外，分形的研究使计算机在模拟各种奇妙的 自然现象和可视化抽象的计算过程中发挥的重要作用。 ( 3 ) 分形与计算机实验 计算机应用于科学计算产生科学计算可视化方法，在数学研究中的应用产生实验数 学，在工程技术中的应用产生计算机仿真以及虚拟现实等新的技术和方法【6 】。计算机实 验是人们通过建立实际系统的数学模型，而在计算机上实现对模型的一种实验。分形理 论的创立是数学理论与计算机实验的一个有益结合。在分形理论的发展过程中，复动力 系统的分形集如m a n d e l b r o t 和j u l i a 集等复杂图像的生成、分形的无限自相似结构等都 离不开计算机的应用。目前，用计算机作为工具来进行各种抽象概念与理论的实验，已 成为数学发展的一个重要方向，许多理论上的难题只有借助计算机实验的方法才能给出 丰富的、生动直观的启示，计算机实验数学方法为非线性科学复杂系统的研究开辟了一 条新途径，也将许多过去令人望而却步的动力系统演化过程的研究带来新的进展。 1 3 分形基本理论 1 3 1 分形的定义 分形( f r a c t a l ) 这个名词是m a n d e l b r o t 在2 0 世纪7 0 年代为了表征复杂图形和复杂过 程首先引入自然科学领域的，它的原意是不规则的、支离破碎的物体。 分形可以分为规则分形和不规则分形。在分形名词使用之前，一些数学家就提出过 不少复杂和不光滑的集合，如c a n t o r 集、k o c h 集、s i e r p i n s k i 垫片、地毯和海绵等这 些都属于规则的分形图形，它们具有严格的自相似性。而自然界的许多事物所具有的不 光滑性和复杂性往往是随机的，如蜿蜒曲折的海岸线；变换无穷的布朗运动轨迹等。这 一4 一 大连理工大学硕士学位论文 类曲线的自相似性是近似的或统计意义上的，这种自相似性只存在于标度不变区域，超 出标度不变区域，自相似不复存在。这类曲线为不规则【刀。 m a n d e l b r o t 于1 9 8 6 年提出了关于分形的较新的定义； 定义1 1 分形是由一些与其整体以某种方式相似的部分所组成的形体 英国数学家法尔科内( f a l c o n e r ) 于1 9 8 9 年提出了类似的但较全面的定义i s ： ( 1 ) f 具有精细的结构，即有任意小比例的细节。 ( 2 ) f 是如此的不规则的，以至它的整体和局部都不能用传统的几何语言来描述。 ( 3 ) f 通常有某种自相似的形式，可能是近似的或统计的。 ( 4 ) 一般地，f 的分形维数( 以某种方式定义) 大于它的拓扑维数。 ( 5 ) 在大多数令人感兴趣的情形下，f 常以较简单的方法来定义，可能由迭代产生。 1 3 2 分形的基本特征 分形的基本特征是具有标度不变性。几何学是研究图形在其变换群作用下不变性和 不变量的学科。欧式几何学研究的图形都是规则而光滑的，具有几何对称性。分形几何 学研究的图形是非常不规则和不光滑的，已失去了通常的对称性；但是，在不同的尺度 下进行观测时，分形却具有尺度上的对称性，或称标度不变性1 9 1 分形集的几何特征主要在两个方面：其一是这种集合在其几乎每一点的每一个邻域 内，点的分布是零落散乱，疏稠无规的；其次是这种集合在几乎每一点都是没有切线的。 1 4 本论文涉及的理论 复解析函数迭代的研究可追溯到c a y l e y 的工作，他在1 9 世纪初致力于复的牛顿迭 代法的研究。1 9 2 0 年，f a t o u 和j u l i a 有关复多项式和复有理函数迭代的工作曾把该领域 的研究引到了一个极度繁荣的时期，然而随后的5 0 多年间，这方面的工作进展不大， 直到1 9 8 0 年，m a n d e l b r o t 在计算机上绘制出了以他的名字命名的m a n d e l b r o t 集的第一 张引人入胜的图形。同时，8 0 年代初d a u n d y 、h u b b a r d 和s u l l i v a n 在数学上所做的深入 漂亮的工作，再一次引起人们对该领域的极大关注。这一次不仅仅是数学家们对此兴趣 盎然，而且由这种动力行为产生的那些美妙的分形图案也给大众提供了一种美的享受， 美的欣赏【1 0 1 。 记复平面为c ，复平面上的点为z = 工+ i y ，其中i = - 1 ，r e ( z ) ；工为z 的实部， i m ( z ) = y 为z 的虚部，z 的模为：l z i - ，+ y 2 。接下来，我们以简单的复二次多项式 的迭代来阐述分形集的相关定义及其两类典型的分形集m a n d e l b r o t 集和j u l i a 集相 关的基本概念。 - - 5 一 几类分形图的计算机构造与研究 1 4 1 复解析函数相关定义 定义1 2 设厂：c 斗c 为复平面上的函数，u c c 为复平面上一个连通的开集，则 当极限厂，( 气) ：l i mf ( z ) - f ( z o ) 存在时，称厂在点z o 处是解析的：当函数厂：u c 在任 2 叶1 z z o 意一个u 处均为解析时，称厂在u 中是解析的。 定义1 3 对一个解析函数厂( 力，若有厂( 知) = o ，则称z o 为该函数的临界点，称 f ( z o ) 为该函数的临界值。 定义1 4 若复函数r ( z ) 可以表示为，( ：) = p ( z ) q ( z ) ，其中e ( z ) 和鼋( z ) 均为多项式， 则称，( z ) 为有理的。使p ( z ) = o 的点为零点，使q ( z ) = o 的点为极点。 有理复映射r ( z ) 的极点一般不属于定义域，但可以通过黎曼映射将其定义域扩充到 极点上，黎曼映射把复平面c 及无穷远处点m 映射到黎曼球面e 上，即0 = c u 0 0 1 ，c 平面上的原点和无穷远点分别对应于黎曼球面的南北极点，从而使得有理函数，0 ) 在原 点和o o 处具有相同的性态，并在整个黎曼球面上定义了一个解析函数。 1 4 2 复多项式迭代及其分形集 考察定义在复平面上的函数： ，- ( z ) = z 2 + c 。 其中，z ，c c ，c 为复平面，c 为f ( z ) 的复参数。显然，多项式函数厂( 力有唯一的临 界点工= 0 。 定义1 5 记广= 厂。厂00 0 f 为函数厂的万次复合，即对某一给定的起始点气，其 第万次迭代厂( 厂( ( 气) ) ) 可以表示为广( ) 。若存在正整数p ，使得厂) = 而，则称z o 为函数厂的周期点，并称使尸( z o ) = z 0 的最小整数p 为气点的周期，称 z o , 厂( 知) ，厂( 气) 是函数厂的周期为矽的轨道。特殊的，当p = l 时，又称z o 为函数厂 的不动点。设是函数f 的不动点。设z 0 是函数厂的周期为p 的周期点，并令其周期轨 道的特征值为p = ( f p y ( z o ) ，称点z o 为： ( 1 ) 超吸引的，若h = 0 ； ( 2 ) 吸引的，0 i p i l 。 6 一 大连理工大学硕士学位论文 定义1 6 对一个形如式( 1 1 ) 的多项式函数厂，通常称z 平面为动力平面，称c 平面 为参数平面。 ( 1 ) 动力平面的二分性和j u l i a 集 动力平面具有二分性：函数厂( z ) = z 2 + c 的迭代把动力平面分成轨迹有界的起始点 集( 在其上动力性质温顺的稳定集) 和轨迹无界的起始点集( 在其上动力性态为混沌的不 稳定集) 这两个互不相交的子集。 定义1 7 令 足( ，) = z e c ： i ，4 ( z ) | 二。是有界的 ， ( 1 2 ) 足( ) 显然包含了函数厂的所有周期点。 定义1 8 称函数f 的迭代轨迹为无限的起始点集为j u l i a 集，可简记为j ( f 1 ，则 ，( ) = ，为斥性周期点的闭包。 显然，j u l i a 集是不稳定集，它的补集又称为f a t o u 集，记为f ( f ) ，f ( 厂) = c s ( ) ， f ( ，) 是一个稳定集。 由式( 1 2 ) 可以看出，足( ，) 集合的边界就是，( 厂) ，即o k ( s ) = ，( 厂) 因此，又称 k ( ) 为f 的填充j u l i a 集。值得注意的是，填充j u l i a 集或j u l i a 集定义的本身不要求函 数厂一定是二次的，它可以是任意多项式函数。 j u l i a 集研究的是对某确定的参数c ec ，整个复平面上点z 的轨迹的性态，称此时 的复平面为动力平面，j u l i a 集把这个动态平面一分为二，一是轨迹趋于无穷远处的起始 点集合，又称逃逸集；一是轨迹不发散的起始点集，即填充j u l i a 集。填充j u l i a 集本身 由于不同的参数值c 又有不同的性态，表现出典型的二分性，即对有些c 值，填充的j u l i a 集是连通的，而对其它的c 值，则有不连通的j u l i a 集，有时又称是c a n t o r 集或f a t o u 集。 ( 2 ) 参数平面的二分性和m a n d e l b r o t 集 在参数空间中考虑c 取不同值时的影响，有如下m a n d e l b r o t 集的定义： 定义1 9m a n d e l b r o t 集m 是使厂的j u l i a 集为连通的所有参数c 的集合，即： m = c c l j ( f ) y 。 显然，复参数平面被m a n d e l b r o t 集分成了m 集和它的补集c m 两个部分。 对于( 1 2 ) 式所定义的复函数而言，m a n d e l b r o t 集还有；另一个等价的定义： 定义1 1 0 令 一7 一 几类分形图的计算机构造与研究 膨= c e c i i 厂瓴) l 二有界 。 其中，是函数厂的临界点。可见，临界点的性态支配着动力系统的动态性质。 m 集与周期循环的关系，每一个吸性周期循环吸引着至少一个临界点。那么，使得 厂有吸性周期循环的参数c 必然使得临界点的轨迹不会趋于无穷远处，因此，此时的c 值 一定属于m 集，令日( m ) 表示这样c 值的集合，则 日( 肘) = c c i 厂有吸性周期循环 。 1 4 3 相关定理 m o n t e l 定理断言了非正规函数族在每一点附近除去一个可能的复数值外可取到的 任何值。为研究j u l i a 集的基本性质，我们引入正规解析函数的概念和m o n t e l 定理【1 1 l 。 设u 是c 中的开集，g 士：【，寸c 为一解析函数族( 即函数在u 上在复的意义下可 微) 。如果从 g 量) 中选出的每一函数序列都有子序列在u 的每一紧子集上一致收敛，并 且或者收敛到有界解析函数或者收敛到m ，则 ) 在【，上称为正规的。根据普通复变理 论这意味着在u 的每一连通区域上，子序列或者收敛到有限解析函数或者收敛到0 0 。在 前面的情形中，子序列的导数必定收敛于极限函数的导数。如果存在【，的某个包含w 的 开子集v ，使 ) 是v 上的正规族，称函数族 既) 在u 的内点w 上为正规的。注意到 这等价于存在w 的一个邻域v ，使 & ) 的每一序列都有在v 上一致收敛于有界解析函 数或0 0 的予列。下面给出m o n t e l 定理。 ， 定理1 1 设 级) 为开区域u 上的一族复变解析函数，如果 & ) 为非正规族，则对 所有的w c ，至多除去一个例外值，存在k 和z u ，使缸( 力= w 。 利用该定理，可以得出j u l i a 集的一系列性质，如若证明却需要较深的复变函数的 知识，故此只把这些性质总结成下面的定理。 定理1 2 设厂：c 寸e 是阶数大于l 的多项式，乃是厂的充满的j u l i a 集，是厂 的j u l i a 集，则f f 和，是c 的非空紧子集，即0 ，以，( c ) ；同时f ( j ，) = = 厂