（应用数学专业论文）半线性微分方程变分问题的周期解研究.pdfVIP

中文摘要 对于微分方程的研究，解的存在和唯一性具有基础性的意义。其中，关于 非线性微分方程有无解，解是否存在和唯一，解的稳定性如何，一直是微分方 程研究的热点。其研究方法有变分方法，全局同胚方法，算子半群方法等等， 而h i l b e r t 空间方法作为一种重要而且具有创见性的方法引起了很多学者的兴 趣。本文中作者运用h i l b e r t 空间方法讨论了两类半线性微分方程的解的存在 唯一性。论文的第一部分，首先运用s o b o l e v 嵌入定理和s c h a u d e r 不动点定理， 在建立了具有有限网格特征值的问题的h i l b e r t 空间方法的基础上考虑了一类 半线性算子方程解的存在性。然后将此类方法应用于特定的常微分方程得出了 解的存在和唯一性。论文的第二部分，对满足非共振条件的二阶双曲型方程运 用g m e r k i n 逼近原理进行了讨论。在有限维的情况下运用极大极小原理证明了 一类近似方程解的存在性，然后给出了近似解的先验估计。最后通过s c h a u d e r 不动点定理，证明了双曲型微分方程组周期弱解的存在性。 关键词：半线性双曲型方程，h i l b e r t 空间方法，s c h a u d e r 不动点定理，极大 极小原理，周期解。 a b s t r a c t a se v e r y o n ek n o w s ，i ti so fg r e a ti m p o r t a n c et os t u d ye x i s t e n c ea n du n i q u e n e s s f o rd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s t h e r ea r em a n ym e t h o d st os t u d yt h i s , s u c ha sv a r i a t i o n a l m e t h o d , h o m e o m o r p h i s mm e t h o d , s e m ig r o u po fo p e r a t o r se t c h i l b e r ts p a c em e t h o d a t t r a c t sag r e a tm a n ys c h o l a r si n t e r e s ta sa ni m p o r t a n tf t l r t h e r m o l c r e a t i v em e t h o d i nt h i st h e s i s ，w ed i s c u s st h ee x i s t e n c ea n du n i q u e n e s sf o rt h ew e a ks o l u t i o no ft w o k i n d so fs e m i l i n e a rd i f f e r e n t i a le q u a t i o n sw i t hh i l b e r ts p a c em e t h o d f i r s t , b y s o b o l e ve m b e d d i n gt h e o r e ma n ds c h a t u t e rf i x e dp o i n tt h e o r e m ，w ee s t a b l i s hr l l b e r t s p a c em e t h o df o r t h es y s t e m sh a v i n gm e s h e ds p e c t r a lc o n d i t i o n sa n d o b t a i ne x i s t e n c e o fs o l u t i o nt ot h es e m i l i n e a ro p e r a t o re q u a t i o n t h e nw ea p p l yt h i sr e s u l tt o s p e c i f i c a l l yo r d i n a r ye q u a t i o n s e c o n d , w i t hg a l e r k i na p p r o x i m a t i o np r o c e d u r e ，w e d i s c u s sat y p eo fs e c o n d - o r d e rs e m i l i n e a rh y p e r b o l i cs y s t e m sw i t h o u tl e s o l 馏l c e a t e a c hf i n i t es t c p ，w ep r o v et h ee x i s t e n c eo fa na p p r o x i m a t es o l u t i o nb ya p p l y i n ga m i n i m a xp r i n c i p l e t h e nw cg i v ea ne s t i m a t ef o rt h ea p p r o x i m a t es o l u t i o n s i nt h e e n d , b yv i r t u eo fs c h a n d e r 血c dp o i n tt h e o r e m , t h ee x i s t e n c eo fp e r i o d i cw e a k s o l u t i o nt oh y p e r b o l i ce q u a t i o ni sp r o v e da sw e l l k e yw o r d s ：s e m i l i l l e a rh y p e r b o l i ce q u a t i o n ，h i l b e r ts p a c em e t h o d ，s c h a u d c rf i x e d p o i n tt h e o r e m , m i n i m a xp r i n c i p l e ，p e r i o d i cs o l u t i o n u 学位论文独创性声明 本人郑重声明： 1 、坚持以。求实，刨新。的科学精神从事研究工作 2 ，本论文是我个人在导师指导下进行的研究工作和取得的研究成果 3 ，本论文中除引文外，所有实验，敦据和有关材料均是真实的 4 、本论文中除引文和致谢的内容外，不包含其他人或其它机构已经发 表或撰写过的研究成果 5 、其他同专对本研究所徽的贡献均已在论文中作了声明并表示了谢意 作者签名：互旌堡 j 日 期：二望12 。! ：垒生 学位论文使用授权声明 本人完全7 解南京信息工程大学有关保留、使用学位论文的规定，学校 有权保留学位论文并向国家主管部门或其指定机构送交论文的电子版和纸 质版；有权将学位论文用于非赢利目的的少量复制并允许论文进入学校图书 馆被查阅；有权将学位论文的内容编入有关数据库进行检索；有权将学位论 文的标题和摘要汇编出版保密的学位论文在解密后适用本规定 作者签名： 日期： 第一章绪论 第一章绪论 1 - 1 研究的目的及意义 对于微分方程的研究，解的存在和唯一性具有基础性的意义。线性问题的 理论较为成熟，现在，国内外的研究重点都转向了非线性领域。关于非线性问 题有无解，解是否存在和唯一，解的稳定性如何，一直是微分方程研究的热点。 对于非线性微分方程研究的方法也很多，大致有变分方法，全局同胚方法，算 子半群方法等等。h i l b e r t 空间方法是一种重要而且具有创见性的方法，引起了 很多学者的兴趣。作者在本文中将运用这种方法对两类半线性微分方程解的存 在和唯一性进行讨论。 1 2 国内外研究概况 非线性周期振荡问题的牛顿运动方程历来是研究的热点之一。牛顿类方程 源自非线性摄动守恒系统，这类方程表示质点受到守恒的内力和周期性外力作 用。 1 9 7 2 年，l a z e r 1 基于两个基本的抽象代数引理和傅立叶级数的基本性 质证明了在满足如下限制条件( l ) 时，d u f f i n g 方程u 。( f ) + v g ( f ) ) = p o ) ( 1 ) 至多有一解： ( l ) 若存在两个疗弗常数对称矩阵a 和b 使得： 爿( 霉 ) ) 蔓b v 口e 掣 斑，c k 且若as 五无和4 胁s 胁分别是a 和b 的特征值，那么存在 整数以k - - i ，2 竹满足研五 o ； ( i i i ) g 关于t 可微，并且存在a 0 ，b 0 使得i 彰( ，= ) t _ o ，当h 肘时，w i ( g ( t , x ) 一手r ( r ) 毋) s g n x 0 ； ( v ) b y t 2 2 x 2 而在文献 1 1 中，王文利用整体反函数定理对广义l i 6 n a r d 方程 a ( t ) x 。+ ，( x ，x ) r + g ( t ，x ) = ( f ) ( 4 ) 的周期解证明了存在唯一性，并得到了新的存在唯一性的充要条件。这个结论 对于方程( 1 ) 和( 2 ) 也是同样成立的。陈红斌 1 2 1 3 着重讨论了t i d n a r d 方 程( 2 ) 在g ( x ) 严格递减情形下的存在唯一性，给出了此条件下解存在唯一的条 件。并进一步考虑了( 2 ) 在f ( x ) - - - - c ，g ( x ) 为严格凸函数且跨越了第一个共振点 零时，给出了唯二性定理。 关于满足非共振条件的算予方程，最早由l a z e r 1 7 在1 9 7 5 年发展了极大 极小原理，并将之运用于一类非线性椭圆型方程，得出了存在唯一性结果。其 后，m a w h i n 2 1 于1 9 7 6 年考虑了此类算子方程的典型形式l u n u = 。其中 三是线性自伴算子，而为非线性并且满足由三的特征值所决定的一定条件。 第一章绪论 m a w h i n 给出了关于这个方程的一个抽象定理，并且由b a t e s p w 1 8 将这个结 果加以推广，在一个特殊的情况下给出了抽象的h i l b e r t 空间方法。在 1 9 中， b a t e s p w 进一步推广了他前面的工作，在比 1 8 宽松的条件下建立了h i l b e r t 空间方法。在此基础上，2 0 0 3 年，邵荣等在 1 4 中应用h i l b e r t 空间方法考虑了 一类半线性二阶椭圆型方程解的存在性： 工“+ h ( u ) u = 厂( “) ( 5 ) 其中l u = 口口材 ，+ 口f 虬，+ 鲫为二阶椭圆型算子文章证明( 5 ) 在满足一定条件 时至少有一解。关于半线性二阶双曲型方程，b a t e s p w 在文献 1 6 中运用极大 极小原理和g a l e r k i n 逼近方法对其中的一类进行了讨论，证明了其弱解存在而 且唯一牛欣 2 0 在2 0 0 5 年扩充了b a t e s p w 1 8 的结论，突破了文献 1 9 中 的限制条件，并使得 1 8 和 1 9 的结论成为了推论。进一步，牛欣 2 4 还解决 了当右端的摄动项厂不依赖于砧且在有界集上充分小时，问题解的唯一性。而 在 1 5 中，徐晶晶等研究了一类非共振二阶椭圆型方程弱解的存在唯一性。 a h m a d 2 2 1 证明了类似的二阶常微分方程组解的存在性和唯一性。 1 3 本文的研究方法及研究结果 对于非共振的算子方程，所谓的h i l b e r t 空间方法是一种重要而且具有创 见性的一种方法。作者的第一部分工作根据m a w h i n 在 2 1 中得到的结论，试图 建立对具有有限的网格特征值问题的h i l b e r t 空间方法，并将这种方法应用于 半线性常微分方程血一c ，o ) u = 厂( “) 。作者在第二章中首先运用s o b o l e v 嵌入 定理和s c h a u d e r 不动点定理，考虑了这类半线性算子方程解的存在性，在一个 控制条件比文献 1 9 更宽松的情况下，建立了h i l b e r t 空间方法。然后将此类 方法应用于特定的常微分方程，并且考虑了当右端项f 满足一定条件时，解的 唯一性。 作者的第二部分工作在b a t e s 1 6 的基础上接着对满足此类非共振条件的 4 第一章绪论 二阶双曲型方程进行了讨论，将偏微分方程组口+ v g ( “) = h ( 6 ) 中右端函数h 的自变量扩展到了三个，并且考虑了h 与函数u 相关的情况。在第三章，作者 先运用g a l e r k i n 逼近方法证明了当h 与u 无关时，其弱解的存在性。首先在有 限维的情况下，应用文献 1 6 中的证明了近似解的存在唯一性，然后给出了近 似解的先验估计，最后通过s c h a u d e r 不动点定理，证明了双曲型微分方程组( 6 ) 周期弱解的存在性。 第二章非共振算子方程中的h i l b e r t 空间方法 第二章非共振算子方程中的h i l b e r t 空间方法 2 1 引言 许多作者曾经考虑过此类方程：l u n u = 厂 ( 2 1 1 ) 其中三是线性自伴算子而是非线性的且满足由上的谱所决定的一定条件。这 其中m a w h i n 2 1 给出了如下关于( 2 1 1 ) 式的一个抽象定理： 定理1 1 ( m a w h i n ) ：假设上在h i l b e r t 空间日中是线性自伴的，n ：日哼日存 在有界线性对称的g a t e a u x 微分使得： q l n ( “) ，v u 日 这里 g 纠n 盯( 工) = 。这样三一必为双射且( 三一) 。1 为全局l i p s c h i t z 连续。 这个定理统一了很多关于常微分和偏微分方程的非共振理论，并且，由于 在的预解式中没有提到任何关于紧致性的假设，双曲型p d e 系统例如非线性 波动方程也可以纳入考虑的范围之内。美中不足的是，a h m a d 2 2 和l a z e r 1 分别证明了下述定理的存在性和唯一性，而m a w h i n 的定理与定理1 2 似乎并不 能统一起来。 定理1 2 ：令pe c ( r ，丑4 ) 是以2 石为周期的，g c 2 ( 掣，五) 满足： 彳( 呈! 娶! b 曰，v 口e 胄一 ( 2 1 2 ) o u , d u 。 此处a 和b 是实对称的厅n 维常系数矩阵，假设a 和曰的特征值分别为 s 五s 元和鸬鲍s s 觞满足： 联 五 段 ( 以+ 1 ) 2 ( 2 1 3 ) m 为整数，k = l ，2 ，一。则“。( r ) + v g ( 甜( r ) ) = p ( t ) ( 2 1 4 ) 有唯一的2 n 周期解。 6 第二章非共振算子方程中的h i l b e r t 空间方法 本章中将延续定理1 1 的思路，试图建立对( 2 1 _ 2 ) 和( 2 1 3 ) 这种具 有有限的网格特征值的问题的h i l b e r t 空间方法，并将这种方法应用于非线性 常微分方程三“一c ，o ) u ；，) 。 在第二部分的线性化引理中，我们所用到的一些方法来源于定理1 1 和定 理1 2 的证明。在定理1 1 中，当五叠a l l ) 时，算子n u 的身份很像加，所以 易得工一是可逆的。在定理1 2 中，算子的身份就像一个与盯( l ) 具有有限 的网格特征值的自伴算子，这样就不能直接得到上一是可逆的了。实际上，由 于工和线性化的是在不同的h i l b e r t 空间中，所以不可能是相交的。我们下 面将完成相关的证明。 2 2 线性化的引理 令月和日。是实的h i l b e r t 空间，m m ( 日- ) = 行。令日是日和日。的h i l b e r t 空间张量积，h = h 固日。h ，h 和日的范数分别定义为卜r ，h 和1 。设三 在日中是自伴算子，那么显然l o ，在日中也是自伴的。为了简化符号起见， 我们有时会将l o i 简写成。令c 是日中的自伴算子，则三一c 在日中也必是 自伴的。假设a 和口是日。中的自伴算子，其特征值分别为嘶s 呸s 和 屈s 岛s 属，同时有对应的正交化特征向量 q = - 。和 岛 二i 。构成日的基底， c 的特征值为盯( c ) = ( 托s 凡) ，同时相应的正交化特征值国 ：。构成日 的基底。并且c 需满足： i o a s c s ，圆b ，( q 届) ( 2 2 1 ) 假定三的特征值盯( 上) = 五九) ，当行_ 佃时，凡一佃 ( 2 2 2 ) 且对应的特征向量是日中完全正交的序列 v ， 。 7 第二章非共振算子方程中的h i l b e r t 空间方法 引理2 1 ：若工和c 满足条件( 2 2 2 ) 和( 2 2 1 ) ，且有u h ，屈】n 盯( ) = ， 则算子方程 “一c “= 0 不存在任何非平凡解。 ( 2 2 3 ) 证明：我们用类似于l a z e r 在文献 1 中证明定理l 的方法。对每个f ，1 s ，s ， 存在整数l ，使得丸 qs 届 丸“( 必要时可取 = m ) 令矿= 面棚( 工0 0 ， 考虑下述v 的子空间： z = 缸矿卜= 扫， ； t - i ，- 十l ， y = j ，矿| j ，= 如缸v ， ； t - l ，l ， z = 扛e y k = 如v ，； t lr l l 这里如是标量。显然有y = x 0 】，_ 目d i m y ：d i m z o o 。与此同时，我们还有 l - c 在x 上是正定的而在z 上是负定的，所以有z n z = o ) a - t - 是v = x o z 且当甜= 0 时，对v v v 有( 一c h ，v ) = 0 a 假设日：和分别是范数为乩和h 的h i l b e r t 空间，甄连续嵌入三毛，皿 连续紧的嵌入日，且有h 。s 心。我们对工赋予更多的假设：d o m l o i c h 2 ，且 对给定的m ，有 l u l 2 m 酬t 川) ，v u d o m l o i ( 2 2 4 ) 引理2 2 ：如果三满足条件( 2 2 2 ) 和( 2 2 4 ) ，c 满足条件( 2 2 1 ) ，若同 时还有u k ，屈】n 盯( 三) = ，则( ( 一c ) 一在r a n ( l c ) 上是有界的。 8 第二章非共振算子方程中的h i l b e r t 空间方法 证明：我们用反证法证明这个引理。如果( 三一c ) - 1 在r a n ( l c ) 中无界，亦即存 在序列o r c r a n ( l - c ) ，使得当n l 1 。；g - c ) 。1 l 时，有i | 疗。令 吒= l | ，则【k l = 1 且当玎专时，( l - c ) v 斗o 。根据( 2 2 4 ) 式可得， h l ：m ( k 卜陋i ) ，而i l , , , , i = 1 1 - c , , , , i 1 + 1 1 c l i ，从而有i l ：s m ( i + i i c l i + o ，根 据嵌入h 2ch 的紧致性，我们可以选择 的一个在日中收敛到v 子序列( 这 里为了方便起见，我们也记为 k ) ) 。我们有当一哼时，_ v ，( z - o r 专0 a 由于一c 是闭的，则v d o m ( l c ) 且g c ) v = 0 。这样( 工一c ) 是双射就与 l v i = 1 矛盾了，从而结论成立。 注意到由于l c 是自伴且双射的，所以r a n ( l c ) 在日中稠密。 引理2 3 - 令工满足条件( 2 2 2 ) 和( 2 2 4 ) ，如果盯( 三) n 盯( c ) = ，贝对每 一个厂日，方程 三甜一c u = f ( 2 2 5 ) 有唯一的解叶且有k i 占一1 i 卅，其中j = 踟( o ，c r ( l - c ) ) _ k t 嗍= i = f 。、 证明：由引理2 2 ，( l c ) 。1 在r a n ( l c ) 上是有界的，由于算子l c 是自 伴的，且r a n ( l c ) 在日中稠密，则0 叠a ( t c ) 且l c 是日上的一个同胚， 于是( 一c ) 。1 在日上是良定的。根据 2 3 ，j f f 1 ( z - c ) l l 一= 万一，所以结论成立。 2 3 非线性算子方程解的存在唯一性 基于以上引理，在这一节里，我们主要证明非线性算子方程解的存在唯一 性。 设映射c ：蜀圆q 一占( t t ) ，( 下文中将用c ( u ) 来代替c ( u ，o ) ) ，使得： 9 第二章非共振算子方程中的h i l b e r t 空间方法 c ( ，o ) ：墨一b ( i - i ) 是一个连续映射，或者对每一个固定的”，w c ( w ) u 在 喝一日上连续。 ( 2 3 1 ) 设厂：h l 一日连续且满足 i i rc v , , , ) l i = d ( 艿( w ) ) 当l 叫寸佃 ( 2 3 2 ) 其中j ( w ) = d i s t ( o ，矿( 一c ( w ) ) 。 记c ( 奶的特征值为 ( w ) 儿( w ) s s ( w ) ， ( 2 3 3 ) 于是有如下结论： 定理3 1 ：假设和c 分别满足条件( 2 2 2 ) ( 2 2 4 ) ( 2 3 1 ) 和( 2 3 3 ) ，厂 满足条件( 2 3 2 ) ，如果对每个i ，存在一个正整数f ，使得对一切的w e 墨， 都有九 门( w ) 0 ， 使得矿p ) l 万 ) 鳙。由于 , f f w ) = d i s t ( o ，口( 工一c ( w ) ) s 嘞( 氏+ t 乃( 叻，r a w ) 一九) 卿 丸+ - 一九 ；c o n s t ( 1 ) 所以厂p ) 在中有界a 令岛= 懋4 i ) ，r = 慨( 1 + 屯+ 屯) ，则对所有的w q 和丑( o ，胄) 都有 i i c ( w ) 忙岛。 由引理2 3 ，对于每一个固定的w e 且( 0 ，r ) ，方程 l u - c ( w ) u = ，( 们 ( 2 3 5 ) 有一个唯一的解甜d o m ( l ) c h 2 ，同时满足川= 陋一c ( w ) 】1 八叻l 万1 ( w ) i ，( w ) i 1 0 第二章非共振算子方程中的h i l b e r t 空间方法 毛，则由方程( 2 3 5 ) 定义了一个算子：t ：占i ( 0 ，且) 一d ( l ) c 马，t i c = 球， 其中“是方程( 2 3 5 ) 的解。 另外，我们还有 f 驯：= l u l ： g l u l + l l u b m ( 1 u + l l u - c ( w ) u i + l c ( w ) u i s f ( 艿“( w ) + l + 万。( w ) k 3 ) i f ( w ) l 设对h i 且( o ，五) ，z w f = 坼，i = l ，2 ，则吩一屹满足 三( 嘶一心) 一c ( w l 一u 2 ) = ( c ( w 1 ) 一c ( w | ) ) 甜2 + ，( w 1 ) 一f ( w 2 ) 于是 i 川一巩i ：= k - u 2 1 ： ，眵“( ) + 1 + 岛艿_ 1 ( w 1 ) 】| c ( w 1 ) 一c ( t ) 】屹+ 厂( w 1 ) 一厂( 心) l m i l l j ( w 1 ) + l + 岛艿( w 1 ) 圳c ( m ) 一c ( ) l i 岛+ l ( w 1 ) 一f ( w d i ) 根据条件( 2 3 1 ) 和( 2 3 2 ) ，得到r 是连续的。 根据假设，马紧连续嵌入日，所以算子r ：置( 0 ，r ) 一日是全连续的。下面 我们将证明：r ( 且( 0 ，足) ) c 尽( o ，震) 。 对每一个w e 置( o r ) ，t w = u ，有 i u l 。- l u l ：= n 叫：s m ( t f ( w ) i ( i + j h ) a ( w ) + i 厂( 叻i ) r 所以= m 且( o ，r ) 。根据s c h a u d e r 不动点定理，至少存在一个 w e 且( o ，矗) n 皿使得t w = w 。此即为( 2 3 4 ) 式的解。 如果对所有的，v 局，存在算子：凰专日满足 n u n v = c ( u ，v ) m - v ) ( 2 3 6 ) 其中c 为如条件( 2 2 1 ) 所定义的算子。则根据定理3 1 ，我们还可以得到下 面的推论： 第二章非共振算子方程中的h i l b e r t 空间方法 推论3 2 ：设工和分别满足条件( 2 2 2 ) ，( 2 2 4 ) 以及( 2 3 6 ) ，且厂：日l _ 日 连续有界，若u 心，屏】n 盯( 三) = ，则( 2 i 1 ) 式至少有一个解a “ 证明：取v = 0 ，根据( 2 3 6 ) 式，方程( 2 1 1 ) 可以被改写为 l u c ( u ) u = ，( “) + n ( 0 ) ( 2 3 7 ) 条件u 慨，屈】n 盯( ) = 妒表明了对所有的w 和每一个l l s f 玎，都存在一个 s 1 整数m ，使得丸s q 以( w ) 屏董氏+ l ，也就是说，条件( 2 3 2 ) 是满足的a 实际上，对所有的w 且， 艿( w ) = d i s t ( o ，盯( 工一c ( w i ) ) 5 嬲 九+ t 一以( w ) ，r a w ) 一九) r a l i n 丸r 届，q 一九) 2 c o n s t 很显然满足条件( 2 3 2 ) 中对厂的有界性的要求。根据定理3 1 ，结论成立。 前面的定理只证明到了存在性，没有得到关于唯一性的结论。下面我们将 在右端项厂满足一定条件的情况下，证明此类方程唯一性的定理。 设厂在目中一个有界开凸集d 上充分小，其中0 是d 的内心，西是d 的闭 包。 定理3 3 ：设和在石中满足条件( 2 2 2 ) ，( 2 2 4 ) ，( 2 3 i ) ，( 2 3 3 ) 和 ( 2 3 6 ) ，如果对每一个f ，i s f 珂，都存在一个整数m ，使得对所有的w 西， 有丸 _ 0 ，柳e 西 。由于西是有界闭集，所以e ( 叻在骂中是良定的， 且满足( 2 3 1 ) 和( 2 3 3 ) 则对所有的，e 日，有丸只( w ) 丸+ l 。于是 方程( 2 3 8 ) 等价于 l u c ( u ) u = p 一( o ) ( 2 3 9 ) 对固定的w e 历，方程肠一c ( w ) u = p 一( 0 ) 有唯一的解“。设有充分小的万， 下证当在石中，有怕- n ( o ) i i 万时，此解“在石中。令 8 ( w ) = d m t ( w ( l 一反w ) ，o ) 等嘧d i s t ( c r ( l 一反w ) ，o ) = c o n s t ( 占) 0 贝u 有l i “0 s i i p 一( o ) 0 万( w ) s 于1 l i p - z v ( o ) l 和 i u l 。s f “f ：s 。w 日“l + i 三甜i ) s m ( k i + k 三一c ( w ) ) “l + l c ( w ) “l f ( 卜i + l l p 一( o ) 0 + 1 i c ( w ) 0 卜1 ) ，( 于1 + 1 + 毛) 0 p + ( o ) f l 如果忉- n ( o ) i i 充分小，则有“乃。根据定理3 1 ，方程( 2 3 9 ) 在历中至少 有一个解。再由引理2 3 ，得方程( 2 3 8 ) 在乃中有唯一的解。 2 4 小结 本章运用s o b o l e v 嵌入定理和s c h a u d e r 不动点定理，考虑了一类非线性算 子方程解的存在性，在一个控制条件比文献 1 9 更宽松的情况下，建立了 h i l b e r t 空间方法。另外，本章还解决了当右端函数f 与u 无关且在有界集上充 分小时，此类方程解的唯一性。 第三章一类半线性二阶双曲型方程周期解的存在性 第三章一类半线性二阶双曲型方程周期解的存在性 在上一章中，我们运用s o b o l e v 嵌入定理和s e h a u d e r 不动点定理建立 h i l b e r t 空间方法对抽象的半线性算子方程讨论了解的存在唯一性。但这种方法 的前提是右端函数f 不依赖于u ，并且由于结果中牵涉到了算子的紧致性，这个 方法也难以扩充到双盐型方程领域。在这一章中，我们将考虑把极大极小原理 运用到h i l b e r t 空间中去。微分方程边值问题的弱解就是相应泛函的临界点。 在线性方程情形其弱解使相应泛函取极小值；而在半线性方程情形，其相应泛 函可能既没有上界，也没有下界。为了研究半线性方程边值问题解的存在性， 极大极小原理不仅给出了泛函的临界点，而且对相应的临界值作了估计，从而 成为研究半线性微分方程边值问题的重要技巧。 3 1 引言 关于半线性二阶双曲型方程，b a t e s p w 在文献 1 6 中运用极大极小原理和 g a l e r k i n 逼近方法对其中的一类进行了讨论，证明了其弱解存在而且唯一。 a h m a d 2 2 证明了类似的二阶常微分方程组解的存在性和唯一性结果。 本章研究了如下问题( 一) ： p ：i ：y g ( ) 2 霉“，f ，五力( ，工，y ) f 2 = o ，t 】( o ，万) 。( o ，石 ( 3 1 1 ) l ( o ，x , y ) = ”( r ，而力 i = 0 ，l 满足如下( l ) 条件时弱解的存在唯一性。这里口是双曲算子 a 2 西2 一( a 2 叙2 + 扩钞2 ) ，则口为孬上的稠定自伴算子。其中g ：彤r 为 c 2 中的函数使得v g ( 0 ) = 0 ，h ( u ，t ，x ，y ) 连续且可分解为 h ( u ，f ，而= 厂o ，五力+ p ( ) ，其中厂：西专r ”在( 厶( q ) ) ”中连续且对t 有一阶导 数满足，( o # ) = ，( 万# ) = 0 ， p ( 甜) ：r 4 - - h r且满足i p ( “) i s h ( 3 1 2 ) 第三章一类半线性二阶双曲型方程周期解的存在性 ( l ) 设存在两个对称r x n 矩阵a 占，且a 和b 的特征值m 飓以和 五s 五s s 使得( ，4 ) c q k 2 - ，2 一p 2 七，z ，多) = a ( 3 1 3 ) 且 4 ( ：；! 掣) 占v ”r 一 ( 3 1 4 ) 瑚删， 我们令r ( o ) 和k e r ( a ) 表示具有周期条件的算子 口：d ( 口) c ( 上2 ( q ) ) ”_ ( 上2 ( q ) ) ” 的值域和核，d为所有 “：伽r ”r a u a t ，驯a x ，0 - 4 绝对连续 的集。i t l 口根据图范数在d 中是闭的。 这里( ，) 。和i l1 1 分别表示( 厶( q ) ) ”空间中通常的内积和范数，( ，) 。和l im 分别表示 ( 硝( q ) ) 4 空间中的内积( v l = ，v ) + ( a 缸，咖苏) + ( 驯勿，a , a y ) + ( a u a r ， 驯西) 】和范数j i v i i 。2 = l q v l 2 + l 驯苏| 2 + i 驯勿1 2 + i a , o t l 2 ) ，我们有d x , l f ! t 范t t ： l i i - i i i ：r 4 _ r 是一个b a n a c h 空间，l m = 1 1 4 。+ l l o u l la d 中的图范数等价于s o b o l e v 范数，所以根据s o b o l e v嵌入定理，d可以紧嵌入 a o ，明( o ，石) ( o ，万) = a ( 豆) ，e ( 磊) = 伽：掣寸r l “在矗上有连续的一阶偏导 数 。 我们先用文献 1 5 中的方法研究了没有p ( “) 的情况下方程组( 二) 的弱解， 最后通过s c h a u d e r 不动点定理证明了周期弱解的存在性。 3 2 主要引理 我们先讨论方程组( 二) ： 甜，( u o ，u ，+ ，y v ) g ：( u ) ( = r ，而f ( 力t , x ，f , y ：) o ，1 证明本文的结论需要文献 1 7 中的主要定理。 i j l i l _ 2 1 ：令j 是个h i l b e r t 空间h 上的c 2 泛函。对每个h ，w 颤) 和d 2 j ( “) 第三章一类半线性二阶双曲型方程周期解的存在性 分别表不j 在u 处的梯厦和h e s s i a n 矩阵。设x 和z 分别是h 上的闭子空间( 不 必正交) ，使得x 是有限维的且日= x $ z 。若存在常数玛， 0 ，使得对于所 有的“胃，甜z ，v z ， ( d z j ( u ) 国，) j 国旷 ( d 2 j ( u ) v ，v ) 一2 则存在唯- - o g u o 日，使得v 融。) = 0 和，颤。) = m 謦面0 杪) 。这里的内积符 j e j “ 号( ，) 解释为b a n a c h 空间b 和它的共轭空间矿阈的对偶。 下面对于每个正整数n ，我们构造空间x ，z 0 和目 令 q ：j = 1 ，玎 和 层：扣1 ，n 是彤中的标准正交基，使得 a 口l = p p l ， b 反= 五馥。 i = 1 ，再 用九：五哼丑表示( r ，x ，_ ) ，) = ( 争8 i n 打s i n & s i n 定义的函数，显然 缸：七，f ，p ) 是厶( q ) 中的标准正交系定义 z = 氟护属：l s f s 疗，k 2 _ ，2 一p 2 五，k 2 一f 2 一p z f ，仃五矗 l j p 珞= 锄属：1 f 玎，七2 - 1 2 一p 2 五，i j j 2 - 1 2 一p 2 怿，r i j p z o = q 坳喁：l f 七2 - 1 2 一p 2 o ，了( 剜( q ) ) “中的序列 ) ? ，亿) ? ， 绋好使得舰恤一m = o ， 第三章一类半线性二阶双曲型方程周期解的存在性 1 m = i m = l ，且 玎， 纯) ? 在( 叫( q ) ) ”各自弱收敛于v ，国则 ( d 2 j ( u ) o j 以) 。一( d 2 ，( ) 婊，) 。 = l ( p 2 g ( “) 钆) q ，屹) 一“a 2 g ( ) 钆) 垃，) 】 = l c c a 2 g ) 钆) ( q 一功，) 一( ( a 2 g ( ) 钆) ( 吃一t o ) ，) + ( ( a 2 g 似) 钆抛，) 职) 一“a 2 g ( 她) ，k ) 】 = w = o c h ) 钆呐一a 2 g ( ) 钿，) ( q 一曲，) + l ( ( a 2 g ( 站慨哪一伊g ( ) 钆协) s 2 - 她一l l o m o + ( 仆2 g ( “枷，知厂扩g ( ) 胁鸭1 0 4 2 ) j m 。 因为_ 口，所以2 悯川一埘l l o l l j | 0 专o ，而由a 2 0 ( u ) a u , s u ：的连续性，根据 l e b e s g u e 控制收敛定理，第二项也趋于0 。从而j ( u ) 有二阶连续的f r e c h e t 导算 子，即j 是c 2 类泛函。 假设厶是j 在目上的限制，则对所有的“，v ，晶 ( 砜， ) ，v ) 2l ( 锄缸，驯缸) + ( 锄钞，驯砂) 一( a u a r ，a u a ) ( 3 2 5 ) + ( v g ) ，d 一( 厂，d ( d 2 山。) 缈，v ) 2l 【( a 酬缸，a 苏) + ( a o # a y ，a , a y ) ( 3 2 6 ) ( a 缈西，负，a r ) 】+ ( ( a 2 g ( “) a q 6 吒) 国，v ) 引理2 3 ：对正整数n ，存在唯一的“。目，使砜 ，) = 0 和 以) 2 群瞬j + z ) 证明：对v = 层z ，有 i ，一 ( d 2 厶( “) 脚，彩) = 0 a 叫缸1 2 + i a o 从而有x n z = 0 ) 显然有d i m = d i m z ，则目= o 磊于是条件由 ( 3 2 7 ) 和( 3 2 8 ) 式，引理2 1 满足证毕 引理2 4 ： h 在( 穰( q ) ) “中有界。 证明：我们现在记= 1 + ，1 矗，z ，由引理2 2 可得 o = ( 砜) ，甜 一2 ) = f ，( 域胁，磷胁) + ( 知；胁，赫砂) 一( 抛：既i g u t n l a t ) 一( 弼加，碥缸) 一( 抛；钞，弼钞) + ( 碥a ，粥西) + ( c ( a 2 g o u d a u , o u ) u d s ，( 以一) ) 一u ，以一砖) sf ( 抛；缸，碥缸) + ( 碥胁，瞄砂) 一( 瞄肛，瞄西) ( 3 2 9 ) ( 砩缸，a 霸缸) 一( a 砂，弼锣) + ( 知；西，锄；o o + ( 嘲，1j 弋一2 ，) + 0 厂忆4 陆+ l 睇2 2 ( ，2 + p 2 一j i 2 + 纠“地+ ( 酽一，2 一p 2 一h ) ；1 1 ：+ l l ：l l 。犯m 1l 。2 + 蚓e ) s 一0 砧一铂陋；+ i l f l l 。4 l u 。l 。2 + i l u ；u ：) 这里的啊和分别如引理2 3 中所示a i ! i t 为和是正的且关于n 独立，不等 式( 3 2 9 ) 证明了 ) ，在( 上2 ( q ) r 中有界。 1 9 第三章一类半线性二阶双曲型方程周期解的存在性 若口k 呱口) ，那么c o 必是叫= 0 的弱解。因此，对于v h r ( 口) ，必存在唯一 的国属于k e x - ( o ) 的正交补，使得脚是凹= hi n f 2 ，砧0o n i ) f 2 的弱解。因此 e ( 磁( q 矿，且存在常数c ，使得忪l l ；c l l h l l 。 ( 3 2 1 0 ) 令= v + r o u ，其中v r ( 口) ，蛳k e r ( o ) 。令q 指在目n r ( 口) 上的正交 投影，根据引理2 3 ，我们有口v = g u v g ( ) 打疵，v so o n g q 。因此根 据( 3 2 1 0 ) 式，有 v i l 。s c o 厂儿+ l f ( a 2 g ( ) 砒) 幽j l s c l l ：l l 。+ s l 】p 帆h 1 4 1 b 1 l 。，n = i ，2 ) ( 3 2 1 1 ) k 因此 h ) 。在( 磁( q ) y 中有界。 下面耍- e u n 。在( 磁( q ) ) ”中有界只需证明 ，) 在( 硎( q ) ) ”中有界即可。 我们将咖写成c o n = 簖+ 嘶，这里峨e 以，而西z 。因为 1 ，= 扩西肛2