（信号与信息处理专业论文）棋盘形滤波器设计及其在图像去噪中的应用.pdf

摘要 摘要 图像多方向信息的提取是目前图像处理研究的一个热点。目前常用的工具有 小波变换和方向滤波器组。然而小波变换只能提取图像三个方向的信息，而余弦 调制滤波器组很多子带不能提取方向信息。为此，本文首先设计了具有4 5 度和1 3 5 度方向的棋盘形滤波器对，然后将其分别与小波变换和余弦调制滤波器组结合， 构造了两种能有效提取图像多方向信息的滤波器组。棋盘形滤波器对级联小波的 算法能够提取图像六个方向的信息，我们将其应用到基于椭圆型方向窗的局部阈 值维纳滤波，提出了一种新的去噪算法，去噪效果相比于已有的基于二维可分小 波的图像去噪算法有了显著的提高。通过将二维棋盘形滤波器和二维可分离余弦 调制滤波器组相结合，构造了具有灵活的方向和频率选择性的新的方向滤波器组。 通过棋盘形滤波器对，输入图像首先被分解为两幅图像。然后，二维余弦调制滤 波器组被分别应用到每幅图像。这种结构等效于一个冗余比为2 的方向滤波器组。 作为新滤波器组的一个应用，我们把高斯尺度混合模型和新的方向滤波器组相结 合，提出了一种新的图像去噪算法。实验结果表明，对于具有丰富纹理的图像， 提出的算法获得了明显的去噪性能改善。 关键词：图像去噪方向信息小波变换余弦调制滤波器组棋盘形滤波器维纳 滤波高斯尺度混合模型 a b s t r a c ti l l e x t r a c t i n gt h em u l t i - d i r e c t i o n a li n f o r m a t i o no fi m a g e sh a sl a t e l ya t t r a c t e dm u c h a t t e n t i o ni ni m a g ep r o c e s s i n g a tp r e s e n t ，t h ew a v e l e tt r a n s f o r ma n dt h ed i r e c t i o n a lf i l t e r b a n k sa r ei nc o m m o nu s e h o w e v e r , t h ew a v e l e tt r a n s f o r mc a ne x t r a c to n l yt h r e e d i r e c t i o n s ，a n dm o s ts u b b a n d so ft h ec o s i n ef i l e rb a n k sc a nn o te x t r a c td i r e c t i o n a l i n f o r m a t i o n f i r s t l y , w ed e s i g nt w o2 一dc h e c k e r b o a r d s h a p e df i l t e rp a i r s 、析t l ld i r e c t i o n o f4 5a n d13 5 t h e nc o n s t r u c tt w ok i n do fd i r e c t i o n a lf i l t e rb a n k sv i at h ew a v e l e t t r a n s f o r ma n dt h ec o s i n em o d u l a t e df i l t e rb a n k s s i xd i r e c t i o n a lf e a t u r e so ft h ei m a g e a l ee x t r a c t e ds i m p l ya n de f f e c t i v e l yb yc a s c a d i n gt h ec h e c k e r b o a r d - s h a p e df i l t e rp a i r s a n dw a v e l e t s t h em e t h o di si m p l e m e n t e di nt h ew a v e l e t b a s e di m a g ed e n o i s i n gb y t h r e s h o l d i n ga n dw i e n e rf i l t e r i n g 、析t l le l l i p t i cd i r e c t i o n a lw i n d o w s t h ee x p e r i m e n t a l r e s u l t ss h o wt h a tt h ep r o p o s e da l g o r i t h mc a na c h i e v es i g n i f i c a n ti m p r o v e m e n tt h a nt h e e x i s t i n gi m a g ed e n o i s i n ga l g o r i t h m su s i n gt h e2 - ds e p a r a b l ew a v e l e t s w ec o n s t r u c ta n e wd i r e c t i o n a lf i l t e rb a n k 、析t l lf l e x i b l ed i r e c t i o na n df r e q u e n c ys e l e c t i v i t yb y c a s c a d i n gc h e c k e r b o a r d - s h a p e df i l t e rp a i r sa n dt h ec o s i n em o d u l a t e df i l t e rb a n k f i r s t ，a c h e c k e r b o a r d - s h a p e df i l t e rp a i ri su s e dt od e c o m p o s ea ni n p u ti m a g ei n t ot w oi m a g e s c o n t a i n e dd i f f e r e n td i r e c t i o n a li n f o r m a t i o no ft h eo r i g i n a li m a g e n e x t ，a2 ds e p a r a b l e c o s i n em o d u l a t e df i l t e rb a n ki sa p p l i e dt oe a c ho ft h et w oi m a g e sf o rd i r e c t i o n a l d e c o m p o s i t i o n t h i sn e ws t r u c t u r ee q u a l st oan e wd i r e c t i o n a lf i l t e rb a n k sw i t h r e d u n d a n c yr a t i oo f2 a si t sa p p l i c a t i o n ，t h eb l s g s ma l g o r i t h mf o ri m a g ed e n o i s i n g i se x t e n d e dt ou s et h en e wd i r e c t i o n a lf i l t e rb a n k s e x p e r i m e n t a lr e s u l t ss h o wt h a tt h e p r o p o s e dd i r e c t i o n a lf i l t e rb a n k sa c h i e v eb e t t e rd e n o i s i n gp e r f o r m a n c et h a nt h em e t h o d s u s i n go t h e rd i r e c t i o n a lf i l t e rb a n k sf o ri m a g e so fa b u n d a n tt e x t u r e s k e y w o r d ：i m a g ed e n o i s i n g d i r e c t i o n a li n f o r m a t i o nw a v e l e tt r a n s f o r mc o s i n e m o d u l a t e df a l t e rb a n kc h e c k e r b o a r d - s h a p e df i l t e rw i e n e rf i l t e r i n g b l g s m 西安电子科技大学 学位论文独创性( 或创新性) 声明 秉承学校严谨的学风和优良的科学道德，本人声明所呈交的论文是我个人在导 师指导下进行的研究工作及取得的研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注 和致谢中所罗列的内容以钋，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果： 也不包含为获得西安电子科技大学或其它教育机构的学位或证书而使用过的材 料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均己在论文中做了明确的说明 并表示了谢意。 申请学位论文与资料若有不实之处，本人承担一切的法律责任。 本人签名：二毽l 堆日期j 孥乒j 上一 西安电子科技大学 关于论文使用授权的说明 本人完全了解西安电子科技大学有关保留和使用学位论文的规定，即：研究生 在校攻读学位期间论文工作的知识产权单位属西安电子科技大学。学校有权保留 送交论文的复印件，允许查阅和借阅论文；学校可以公布论文的全部或部分内容， 可以允许采用影印、缩印或其它复制手段保存论文。同时本人保证，毕业后结合 学位论文研究课题再攥写的文章一律署名单位为西安电子科技大学。 ( 保密的论文在解密后遵守此规定) 本学位论文属于保密，在一年解密后适用本授权书。 日期翻：童! 坠 | 第一章绪论 第一章绪论 我们生活在一个信息时代，科学研究和统计表明，人类从外界获得的信息约 有7 5 来自视觉系统，也就是从图像中获得的。随着计算机的发展，数字图像 处理得到了广泛的发展和应用。主要包括图像的采集、获取、编码、存储和传输、 图像的合成和产生、图像的显示和输出、图像的变换、增强、恢复和重建、图像 的分割、目标的检测、表达和描述、特征的提取和测量，序列图像的校正、3 - d 景 物的重建复原、图像数据库的建立，索引和抽取、图像的分类，表示和识别、图 像模型的建立和匹配、图像和场景的解释和理解，以及基于它们的判断决策和行 为规划等等口1 。然而，在数字图像的生成、存储以及传输等过程中，受到设备噪声、 周围环境噪声的影响，图像的质量不可避免的会受到影响。常见的噪声类型包括 电传感器噪声、电磁波干扰和信道误差噪声等。因此，就需要对获得的数字图像 进行预处理来改善降质图像的质量，以利于图像分割和目标识别等图像理解和图 像分析后续处理。常见的图像预处理包括图像去噪、图像融合、对比度增强和图 像解卷积( 图像恢复) 等。最早的图像处理算法一般是对图像进行空域滤波，早期的 空域滤波器包括均值滤波器、中值滤波器和空域维纳滤波器等。但是图像的很多 特性在空域并不能很好的表现出来，因此，在变换域对数字图像进行滤波处理就 成为目前研究的一个热点。 近年来，小波理论广泛运用于多种学科研究领域，并取得卓越的成效。它既 包含丰富的数学理论，是数学领域中泛函分析、调和分析、数值分析的完美结合； 又是信号与信息处理中强有力的工具，是继傅立叶分析的一个划时代进展。与傅 立叶变换相比，小波变换是时间和频率的局域变换，是一种线性时频分析；与短 时傅立叶变换相比，小波变换在时频平面不同位置具有不同的分辨率，是一种多 分辨分析方法，由于小波分析这种可聚焦到对象的任何细节的优点，使得它“既 看到森林( 信号全局) ，又看到树木( 信号细节) 。由于小波分析既包含丰富的数 学理论，又是工程应用中强有力的方法和工具，所以其发展推动着其它许多学科 和领域的发展。接下来我们着重介绍一下小波理论的发展，其在图像处理中的应 用将在下一章中详细介绍。 1 1 小波理论的发展 小波分析是在短时傅里叶变换的基础上发展起来的一种新的时频分析方法， 和傅里叶分析相比有着许多本质上的进步。小波变换通过伸缩和平移等运算功能 2 棋盘形滤波器设计及其在图像去噪中的应用 对函数或信号进行多尺度细化分析，其主要特点是具有对时频域双重局部定域能 力和多分辨分析能力，被誉为“数学显微镜 ，能够有效地从信号中提取信息，已 成为瞬变信号分析的有力工具。 小波分析的发展历史最早可追溯到上世纪初u 呻。1 9 1 0 年h a a r 提出了第一个 小波规范正交基的思想。不过当时还没有“小波这个概念。1 9 2 2 年，r a d e m a c h e r 利用h a a r 子波定义了区间【o ，1 ) 上的一个正交函数序列。1 9 2 3 年，w f l s h 构造了区 间【0 ，1 ) 上完备标准正交系，它是迄今为止人们发现的最早的小波包原型。1 9 4 6 年， d g a b o r 提出了加窗f o u r i e r 变换( 或g a b o r 变换) 进行信号表示的方法，它与连 续小波变换有许多相似之处，它用平移的g a u s s 函数对信号进行展开，这是一种 无限支撑的非正交小波展开。相应地也引入了时频局部化原则以及等q 原理。 小波的迅速发展和应用是在8 0 年代以后喝。它从一开始就是沿着两条不同 的路线发展，即多速率滤波器的构造和小波基的构造，前者是相对于后者发展的。 1 9 8 3 年，b u r t 和a d e l s o n 构造了一种级联式塔形数字滤波器结构以分析和重建图 像，而且可以用来构造小波基。特别是s m i t h ，b a m w e l l ，s t o n e ，v a i d y a n a t h a n 和 v e u e f l i 等在多速率系统中引入了矩阵的表示后，它为人们深刻地理解多速率系统 中的混叠失真提出了一个强有力的分析工具，同时极大地推动了多速率数字信号 处理理论的发展和应用。19 8 4 年， g o u p i l l a r d ，g r a s s m a n 和m o r l e t 在分析地震波 的局部性时，发现传统的f o u r i e r 变换不具有时频局部性，很难达到实际的需要， 因此他们提出了“小波 ( w r a v e i n ) 的概念，即用一个函数的时移和尺度的组合表 示信号的新思想。1 9 8 5 年，m e y e r 创造性的构造出了一个具有一定衰减性的光滑 函数，其二进制伸缩和平移构成了连续平方可积空间的规范正交基。随后的1 9 8 6 年，s m i t h 和b a m w e l l 提出了共轭镜像滤波器这一重要概念。这为二进紧支撑小 波的构造提供了契机。与此同时，d a u b e c h e s ，g r a s s m a n 和m e y e r 等对完全重构的 非正交小波基进行了详细的研究，给出了小波的容许条件并证明了一维小波函数 的存在性。 八十年代后期是小波发展的一个重要时期，大量的正交小波基被构造出来。 1 9 8 7 年v e t t e f l i 和v a i d y a n a t h a n 各自独立的提出了多速率信号处理方法，且 v m d y a n a t h a n 提出了完全重构的最大抽取系统，并对因果f i r 无损系统进行了参数 化，这一结果不仅对多速率信号处理本身的发展起着重要作用，而且成为m 一带 小波理论建立的理论基石。1 9 8 8 年，m a l l a t 提出了多分辨率分析的概念，给出了 构造正交小波基的一般方法。他受金字塔算法的启发，以多分辨分析为基础，提 出了著名的快速小波变换算法一一m a l l a t 算法，这是小波理论的突破性成果，其作 用和地位相当于f o u r i e r 分析中的f f t 算法。1 9 8 8 年，d a u b e c l l i e s 用m f l l a t 和 m e y e r 的方法构造了具有紧支撑的正交小波基，并得到了广泛的应用。1 9 8 9 年， 作为正交小波基的推广，c o i f m a n ，m e y e r 和w i c k e r h a u s e r 等人又引入了正交小波 第一章绪论 3 包的概念。 随着小波理论和实际应用的结合，对小波性能的要求也不断增加，如：线性 相位、紧支撑、消失矩、正则阶等。这些要求在两带正交小波中是无法兼容的。 因此就出现了由c o h e n ，d a u b e c i t i e s ，f e a u v e a u ，k o v a e e v i c 和v e t t e r l i 提出的“双 正交小波 概念。其分析小波和综合小波函数可以是两组不同的函数系，这使得 它能同时具有许多正交小波所不能同时具有的良好性质。c k c h u i 等人则将其推 广为有限冲激响应和无限冲激响应( 互对偶的非正交滤波器组形式，由此构造了最 小支撑的线性相位样条小波系。1 9 9 4 年，g e r o n i m o ，h a r d i n 和m a s s o p u s t 把分形 理论中迭代函数系应用于小波设计，提出通过双尺度差分方程组迭代生成小波的 构造方法。后来，g o o d m a n 等提出多小波的概念。随后，g e r o n i m o ，h a r d i n 和 m a s s o p u s t 给出了用分形函数构造多小波的方法和例子。m i c c h i l l i 和x u 讨论了构 造区间上的不连续正交多小波的一般方法。多小波和双正交小波克服了正交单小 波的一些缺点，可使小波同时兼顾更多的实际应用中需要的性质。1 9 9 5 年， s w e l d e n 提出了通过提升方法构造第二代小波的新思想。提升方法是一个简单实用 的工具，使得小波的构造摆脱了对f o u r i e r 变换的依赖，并且更具有灵活性，包容 了已有的小波构造方法。这为信号自适应地构造小波系统提供了可能。1 9 9 8 年， v a i d y a n a t h a n 提出了最优正交子带编码器的理论，在1 9 9 8 和2 0 0 0 年，v a i d y a n a t h a n 和m o u l i n 等人提出自适应双正交滤波器组设计理论。2 0 0 1 年，l uw h s h e n g 等人 研究了一般两通道自适应f i r 双正交滤波器组的设计问题，给出了一个高度非线 性的优化问题。2 0 0 3 年，利用提升结构，水鹏朗等设计了可以兼容紧支撑，正交 性，对称性，正则性的内插尺度函数，给出了自适应递归双正交内插小波和小波 包的设计方法，并给出了一种新的m 带内插小波系统的设计方法。 随着小波理论的发展和日趋成熟，小波的应用也被广泛的开展。主要集中在 以下几个部分： 1 ) 小波在图像处理中的应用，其中包括图像去噪，图像压缩，图像恢复，边缘检 测和纹理提取，数字水印，指纹鉴别，模式识别等。 2 ) 小波在数学其它分支中的应用。如求微分方程、积分方程，函数逼近，分形、 混沌问题，概率小波，非线性分析等等。 3 ) 小波在通信中的应用，如c d m a ，自适应均衡，扩频通信，分形调制等。 4 ) 小波在信号处理中的应用。包括信号的检测、识别以及去噪等，比如语音信号、 雷达信号、医学信号、天文信号、地震信号、机械故障信号等等。 图像去噪是图像恢复的一种特殊情况。数字图像在获取的过程中一般都会受 到噪声的污染，如何对图像中含有的噪声进行去除是图像预处理中一个很重要的 课题。传统的去噪方法一般只考虑图像在空域的统计特征和在频域的分布情况上 对含噪图像进行滤波，在去除一部分噪声的同时丢失了图像大量的信息。因此， 4 棋盘形滤波器设计及其在图像去噪中的应用 在图像去噪中，存在着在去除噪声的同时如何保留图像的信息的难题。小波去噪 近来受到了许多学者的重视，并获得了良好的效果。小波去噪方法的成功主要得 益于小波变换具有如下特点：( 1 ) 低嫡性，小波系数的稀疏分布，使得图像变换后 的嫡变低；( 2 ) 多分辨率，由于采用了多分辨率的方法，所以可以非常好地刻画信 号的非平稳特征，如边缘、尖峰、断点等；( 3 ) 去相关性，因为小波变换可以对信 号进行去相关，且噪声在变换后有白化趋势，所以小波域比时域更利于去噪；( 4 ) 选基灵活性，由于小波变换可以灵活选择变换基，从而对不同的应用场合，对不 同的研究对象，可以选择不同的小波母函数，得到最佳效果。通过小波变换，图 像的能量大部分都集中在小波变换域的少数系数上，而噪声一般是散布于整个小 波域，这样对那些比较大的系数做一些特殊处理，就可以在去除噪声的同时很好 的保留图像的信息，来获得更好的图像去噪效果。目前，基于小波分析的图像去 噪方法已经成为图像去噪研究的一个主流方向。 1 2 多尺度几何分析和方向滤波器组 过去几年，在数学分析、计算机视觉、模式识别、统计分析等不同学科中，分 别独立地发展着一种彼此极其相似的理论，人们称之为：多尺度几何分析。发展多 尺度几何分析的目的是为了检测、表示、处理某些高维空间数据。随着人们对小 波理论的研究和应用，小波变换的缺点越来越明显。在高维情况下，小波分析并不 能充分利用数据本身特有的几何特征，并不是最优的或者说“最稀疏”的函数表示 方法。由于二维可分离的小波变换是由一维小波变换张量积得到的，它在捕获图 像的方向信息方面存在明显的不足，严格来说，二维可分小波变换只能提取图像 在水平和垂直两个频率方向上的信息。导致了它在表达图像的方向信息和纹理结 构等特征上受到了很大的限制，而这些特征在图像处理中是非常重要的。在数字 图像处理中，如何有效的提取并利用方向性信息受到了越来越多的关注。多尺度 几何发展的目的和动力正是要致力于发展一种新的高维函数的最优表示方法阳1 。为 此，一些学者提出了各种各样的方法，这些方法根据思路的不同大致可分为两类。 一类是以小波变换为基础，对小波变换进行一些改进来得到能提取更多图像 方向信息的工具，如双树复小波n 伽u a l t r e ec o m p l e xw a v e l e t ) ，基于映射方法的 复小波n ( m a p p i n g b a s e dc o m p l e xw a v e l e t ) ，b a n d l e t n 2 1 ，d i r e c t i o n l e t n 3 1 和基于自适 应方向提升方法的小波变换n 们等。其中，b a n d l e t 变换的中心思想是将图像中的几 何特征定义为矢量场，而不是简单的把图像看成是边缘的集合。矢量场的方向代 表着图像中灰度级含有规则变化的方向。b a n d l e t 基并不是预先选定的，而是以优 化最终的应用结果来自适应的选择具体的基函数。d i r e c t i o n l e t 则通过同时自适应 的调整图像的方向特征和小波滤波的方向来实现对图像中边缘的自适应方向表 第一章绪论 5 示，也就是沿着图像的边缘方向来进行小波变换。2 0 0 7 年，d i n g 等提出了基于自 适应方向提升格式的小波变换n 钉，它的思想是根据图像局部特征的方向来选择提 升格式的方向，以此来达到自适应的表示图像当中方向信息的能力。而双树复小 波变换n 们是从两个构成近似h i l b e r t 变换对的小波基构造的，这个小波基可以把图 像的正频和负频信息分解到不同的子带中来实现对图像多个方向上信息的提取， 但是它只能提取图像在六个方向上的信息。基于映射的复小波n 妇则是利用一个滤 波器对，把图像首先分成两幅图像，一幅包含原始图像在二维频率平面上第一、 三象限的内容，另外一幅图像包含原始图像在二维频率平面上第二、四象限的内 容，接着再对这两幅图像做小波变换来提取图像的多方向信息。遗憾的是，它也 只能提取图像在六个方向上的信息。在论文第四章中我们提出的利用二维可分小 波和棋盘形滤波器对的图像多方向信息提取方法就属于这一类。 目前各种各样的方向滤波器n 纠阳( d i r e c t i o n a lf i l t e rb a n k ，d f b ) 被广泛的研究和 应用， 像导向塔变换n 引( s t e e r a b l ep y r a m i d ) ，r i d g e l e t 例，c u r v e l e t 瞳u ， w e d g e l e t m j , b r u s h l e t 乜3 1 和c o n t o u r l e t 乜4 1 等。另外一大类是调制滤波器组，包括d f 1 i 调制滤波器组和余弦调制滤波器组乜铷1 。r i d g e l e t 的主要思想是以直线段为单位来 近似图像的边缘。但是图像中的边缘大部分都是曲线，这就需要对图像进行分块 处理，使每个小块中的曲线可以近似的用直线来代替，然后再对每个小块进行 r i d g e l e t 变换。但r i d g e l e t 不能对图像进行多尺度分解。因此，c a n d e s 和d o n o h o 又提出了多尺度的r i d g e l e t 变换一- - c u r v e l e t 变换。实现有三步：( 1 ) 根据曲线曲 率大小对图像进行子带分解，然后根据子带图像的尺度来决定图像分块的大小： ( 2 ) 对图像进行分块，使每个块内部的线条都近似直线；( 3 ) 对每个分块做r i d g e l e t 分析。但是c u r v e l e t 变换是一种基于块刨分的变换，需要对各刨分块进行叠加处 理，在增加计算量的同时也增加了冗余度。另外，r i d g e l e t 和c u r v e l e t 都存在数字 图像中的r a d o n 变换问题，为了解决数字图像r a d o n 变换中笛卡儿坐标与极坐标 之间的转化问题，人们提出了各种各样的插值方法，但都额外的增加了计算复杂 度和冗余度。2 0 0 2 年，d o 和v e t t e r l i 提出了一种新的图像多尺度几何表示工具 1 0 n t o u r l c t 变换。c o m o u r l e t 变换主要由两部分组成：首先是用拉普拉斯塔变 换( l p ) 把图像分解为低频和高频两部分，然后通过临界采样的方向滤波器组( d f b ) 把高频的部分分解为各个方向子带。由于l p 是有冗余的，c o n t o u r l e t 变换的冗余 趋向于4 3 。由于c o n t o u r l e t 是直接在数字域构造的，所以它很好的克服了c u r v e l e t 的缺点。它能很好的表示图像中的直线或曲线状的奇异。它可以同时拥有多种人 们想要的特性，如多分辨性，时频局部性，方向性和各项异性等。另外，它在不 同尺度上可以允许有不同数目的方向。调制滤波器组包括余弦调制滤波器组和 d f t 调制滤波器组。调制滤波器组是通过原形滤波器调制得到滤波器组的分析和 综合滤波器，只需要设计一个或者两个原形滤波器即可实现，于是调制滤波器组 6 棋盘形滤波器设计及其在图像去噪中的应用 相比于一般的滤波器组设计的复杂度降低了许多，因为调制滤波器组只需要设计 原型滤波器。余弦调制滤波器组可同时拥有多个优点：临界采样，线性相位，高 的阻带衰减以及完全重构( p r ) 或者近似完全重构( n p r ) 性质。双正交余弦调制滤波 器组可以提供具有低系统延迟的p r 或n p r 滤波器组。通道临界采样p r 余弦调 制滤波器组可由采样因子为膨的2 , , 通道p rd f t 调制滤波器组所得到。临界采样 p rd f t 调制滤波器组具有差的阻带衰减，这是因为混叠对消和阻带衰减之间的冲 突所造成的。修正的d f t 调制滤波器组通过分别重采样子带信号的实部和虚部可 以同时实现临界采样和高的阻带衰减。过采样p r n p rd f t 调制滤波器组因其设计 简单且具有将信号的正负频率分量分割到不同子带的优点越来越受到人们的重 视。这个优点对于复值信号处理和构造具有方向选择性的二维方向滤波器组是很 有用的。 1 3本文主要的研究工作和论文安排 在图像处理的许多应用中，对图像特征的有效表示直接影响到其后续处理， 一般所关注的特征有物体光滑的轮廓，边缘和纹理等。由于这些图像的特征大多 都表现出一定的方向性，如何有效地提取和表示图像中的多方向信息就成为一个 研究的热点。本文的工作主要是围绕图像多方向信息的提取展开的。 首先提出了新的棋盘形滤波器对的设计，该滤波器对具有4 5 0 和1 3 5 0 方向。然 后将其与小波变换结合构造了一种新的方向滤波器组，能够提取六个方向的信息。 把设计的棋盘形滤波器对和余弦调制滤波器组结合构造了一种新的方向滤波器 组，它能够灵活的提取图像的方向信息，具有多尺度和多方向特性。作为提出的 两种多方向信息提取方法的应用，我们把阈值维纳滤波算法和高斯尺度混合模型 滤波算法分别跟新的图像多方向信息提取方法相结合，提出了两种新的图像去噪 算法。实验结果表明：对于具有丰富纹理的图像，提出的算法均获得了明显的去 噪性能改善。 论文的内容安排： 1 ) 第一章绪论。介绍了小波理论的发展，多尺度几何分析的理论。 2 ) 第二章小波阈值去噪。主要是基于小波的图像去噪的过程，阈值处理。 3 ) 第三章棋盘形滤波器对的设计。主要是提出的这个新的滤波器对的设计。 4 ) 第四章棋盘形滤波器对级联小波的不可分滤波器组的构造及其在图像去噪 中的应用。 5 ) 第五章棋盘形滤波器对结合余弦调制滤波器组构造新的方向滤波器组。结 合高斯尺度混合模型提出了新的图像去噪算法。 最后是本文工作的总结和展望。 第二章基于阈值的小波去噪 7 第二章基于阈值的小波去噪 图像在获取或传输的过程中不可避免的要受到噪声的污染。为了后续有效的 图像处理，有必要对图像进行去噪，并且去噪的好坏直接影响到后续处理的质量。 图像去噪的目的就是为了在减少图像噪声的同时，尽可能多的保持图像的特征信 息。一般图像去噪可以分为空间域去噪和变换域去噪两种。 图像空间域去噪方法很多嘲，如：线性滤波法、中值滤波法、维纳滤波法。而 图像变换域去噪方法是对图像进行某种变换，将图像从空间域转换到变换域，变 换域中的变换系数进行处理，再进行反变换将图像从变换域转换到空间域来去除 图像噪声的目的。将图像从空间转换到变换域的变换方法很多，如傅立叶、小波 变换，方向滤波器组法，多尺度几何分析法等。每种变换的变换域得到的系数都 有不同的特点，合理地处理变换域系数，再通过反变换将图像还原到空间域可以 有效地达到去除噪声的目的。图像去噪存在一个如何兼顾降低图像噪声和保留细 节的难题。传统的低通滤波在消除图像噪声的同时，也会消除图像部分有用的高 频信息，所以传统的低通方法在对保留图像细节的要求方面没有得到满意的效果。 由于小波变换具有低熵性，去相关性，时频聚集性和选基灵活性等特点，使它在 图像去噪领域取得了许多学者的关注。通过小波变换，图像的能量大部分都集中 在小波变换域的少数系数上，而噪声一般是散布于整个小波域，这样对那些比较 大的系数做一些特殊处理，就可以在去除噪声的同时很好的保留图像的信息，来 获得更好的图像去噪效果。目前，基于小波分析的图像去噪方法已经得到了广泛 的研究和应用。 2 1小波去噪的基本原理 含噪图像的模型为： y ( m ，z ) = x ( m ，以) + e ( m ，刀) ，m = 1 ，2 ，m ，刀= 1 ，2 ，n( 2 1 ) 其中y ( m ，嚣) 是观测图像的灰度值，x ( m ，露) 是真实图像的灰度值，“捍) 是观测 噪声。大多数图像去噪中假定噪声独立于信号，并且是空间平稳的高斯白噪声 ( a w g n ) ( 设噪声方差为仃2 ) ，也就是其空间相关函数满足： e e ( m ，以) = 0 ，e e ( m ，n ) e ( m ，n ) ) = 盯2 6 ( m m ) 万( 玎一力) ( 2 2 ) 直接在空域从含噪图像y ( m ，甩) 中提取出原始图像x ( m ，刀) 是十分困难的，必须 8 棋盘形滤波器设计及其在图像去噪中的应用 借助于其它变换域方法作为工具，在变换域中能更有效的去除噪声。近年来兴起 的小波变换理论为图像去噪提供了强有力的工具，克服了传统方法在处理非平稳 信号存在的许多局限性。基于小波变换的图像去噪的一般实现流程如图2 1 。 i i i l - - 图2 1 小波去噪的一股流图 对含噪图像进行离散二维小波变换，设小波变换的分解矩阵为，则原始的 含噪图像模型在小波域可以表示为： y ( m ，刀) = w y ( m ，胛) = 麟( 研，z ) + w n ( m ，聆) = x ( m ，聆) + 占( 垅，n ) ， 其中，y ( m ，刀) ，x ( m ，刀) ，g ( m ，r 1 ) 分别为含噪图像，原始图像和噪声在小波域的系 数。当使用正交小波变换时，8 ( m ，阼) 也是服从零均值，方差为o r 2 的独立同分布的 高斯型随机变量。 2 2二维离散小波变换和去噪方法 相对于一维小波变换，二维小波变换种类繁多，设计相对困难。最常用的是 直接从一维小波经过张量得到的可分小波变换，具体生成过程如下： 设 缈( x ) ，y ( z ) ) 是一维小波的尺度、小波函数，相应的二维小波系统的尺度 函数和三个小波函数是： 工( x ，少) = 缈( x ) 妒( y ) ，沙鹏( x ，y ) = 缈( x ) 妙( y ) ，、 沙肌( x ，少) = 沙( x ) 够( x ) ，y 删( x ，y ) = 妙( x ) 沙( y ) 恤1 7 在利用二维离散小波对图像进行分解重构时，首先对图像进行分解，得到四 个子带，分别为低通子带( l l ) 、垂直子带( l h ) 、水平子带( h l ) 和对角子带( h h ) ， 后三个为高通子带。然后再对低通子带( l l ) 进行分解，又得到类似这样的四个子 带，以此类推继续分解，分解的层数根据实际需要来决定，重构是分解的逆过程。 图2 2 给出了两层小波分解的示意图。在这个分解过程中，每一层的分解实现框 图如图2 3 。其中d i i , d 1 2 , d 1 3 分别是三个高通子带，c 1 为低通子带，c o 为原始图 像( 第一层小波分解时) 或者低通子带( 第二层或者后面的分解时) 。日、g 是小波滤 波器。对于离散的图像数据，二维张量小波变换等同于对数据的行、列分别进行 第二章基于阈值的小波去噪 9 一维离散小波变换。 小波去噪的方法及步骤：含噪图像经小波变换后得到离散细节信号( 小波系 数) 和离散逼近信号( 尺度系数) ，噪声的离散细节信号的幅度和方差随着小波变 换级数的增长而不断减小。对于所有的尺度，白噪声的离散细节信号的系数方差 随着尺度的增加会有规律地减小，但有用信号的小波变换的平均功率与尺度没有 什么关系。同样，对应于信号的离散细节信号的幅度和方差也不会随着尺度的增 加而减小。利用这一特性，可以选择一阈值，对小波变换后的系数进行处理，从 而达到去噪的目的，这就是小波阈值去噪的方法。 图2 2 两层小波分解示意图图2 3 一层小波分解的m a l l a t 实现 一般来说，含噪图像的小波去噪过程可以分为三步： ( 1 ) 对含噪图像进行小波分解。得n 4 , 波域系数。 ( 2 ) 根据某种准则，对含噪图像的小波域系数做滤波，得到对原始图像的估计 的小波系数。本章中主要介绍阈值去噪准则。 ( 3 ) 重构。利用去噪后的小波系数进行小波逆变换，得到去噪后的图像。 在这三步中，最关键的就是第二步去噪准则的选择。现在最常用也非常有效 的准则即是阈值去噪，阈值的选取就变得非常关键，阈值过高，则会将信号分量 也当作噪声滤掉，丢失的信号信息太多；如果阈值太小，又会使得滤波效果不好， 噪声的成分过多，不利于对信号的分析。从某种程度上来说，它直接关系到信号 去噪的质量。 2 3 小波去噪的阈值处理 1 9 9 2 年，d l d o h o n o 在小波变换的基础上提出了阈值去噪的概念，此方法 在b e s o v 空间上可得到最佳估计值，而任何其他线性估计都达不到与此相同的估 计效果。因此，阈值去噪的方法引起了国内外学者的关注。d l d o h o n o 和i m j o h n s t o n e 对此做了较深入的理论研究，先后提出了硬阈值、软阈值和几乎硬阈值 等阈值处理函数。 1 0 棋盘形滤波器设计及其在图像去噪中的应用 阈值收缩法主要是基于图像和噪声在经小波变换后具有不同的统计特性，即 图像本身的能量对应着幅值较大的小波系数，主要集中在低频子带；噪声能量则 对应着幅值较小的小波系数，并分散在小波变换后的所有系数中。根据该特征， 设置一个阈值门限，认为大于该阈值的小波系数的主要成份为有用信号，给予收 缩后保留；小于该阈值的小波系数，主要成份为噪声，予以剔除，这样就可以达 到去噪的目的。阈值去噪时，通常认为低通系数含有大量的图像能量，一般不做 处理，只对剩余三个高通部分进行处理。因此，一次阈值去噪并不能完全去除噪 声，还需要对未作处理的低频子带部分再次进行小波分解和阈值去噪。但是，随 着分解和去噪次数的增加，小波系数中的噪声能量越来越少，并且趋于分散，去 噪的效果将逐渐降低。一般来说，进行三至四层小波分解和去噪，就可以达到满 意的去噪效果。 阈值去噪法是典型的基于非参数模型的噪声抑制方法，具有稳健性好、计算 简单和需要信号先验信息少的优点，因而被广泛采用。通常，影响小波阈值去噪 的因素主要是阈值门限的估计和阈值处理方法的选择。下面我们分别来简单介绍 一下阈值处理的方法和阈值门限的估计陋蚓。 1 1 硬阈值法和软阈值法 硬阈值处理方法对各层小波系数做如下处理： 叫0 粥w t ， 亿5 ， 【， ll 五 ( 2 7 ) 1 w t i 兄 ll 3 ) 软、硬阈值折衷法 定义 。r = s 0 w f 。q w 叫一晓名i w i t 丫型主五，c 。口， c 2 8 ， i ，ll 0 ) a n d ( 啊 o ，吃= o ) ) 这样，式3 6 中的目标函数就被简化为滤波器系数的一个二次函数，于是式( 3 6 ) 就转变成了一个有约束的二次优化问题。 3 2 初值的选取 对于式( 3 6 ) 的优化设计闯题，在对目标函数进行优化的时候需要有一个初 值。由式( 3 6 ) 和式( 3 7 ) 知，目标函数是滤波器的系数9 0 ( n l ，n 2 ) 的函数，所以应 该给g o ( n l ，n 2 ) 一个初值( 矩阵) 。本文设计时采用的g o ( n l ，n 2 ) 初值由其理想滤波 2 2 棋盘形滤波器设计及其在图像去噪中的应用 器的系数截断得到的。由式( 31 1 知理想的滤波器频率响应。由逆傅立叶变换 g o ( 唧吩) 2 两1 e e 撕吐) 。e 轴( q 竹+ 吡性) ) 岫崛 可知理想的滤波器系数为 岛“，恐) 3 8 一! 苎! ! ! ! ! ! q 三! ! q ! ! ! 型_ o ，慢o ( 2 q 嚏 0 5 = q 吨= 0 ( 39 0 其白，n 2 设计时g o ( n l ，n 2 ) 的初值南l 式得到。 3 3 仿真结果 图35 给出了当a ，= 2 a i = 6 z 2 5 ，且滤波器的支撑区域为2 5 x 2 5 时采用上述 方法设计出的棋盘形滤波器对的频率响应。由图可以看出，设计出的滤波器的频 率响应可以很好的逼近理想的频率响应。 叠 y ，_ 4 二 ：，9 图3 5 设计出的棋盘形滤波器的频率响应 利用上述方法所设计 乜的滤波器g o ( r ，也) ，g ( _ ，n 2 ) 对i 。e 1 o 罔像进行滤波，得 到图36 ( a ) 和( b ) 所示的图像。可以看出图像特征被很好的保留了下柬。进一步，对 其做基于c a n n y 算子的边缘检测，结果如图36 ( c ) 和( d ) 所示。可以看出图像沿着 4 5 度和- - 4 5 度方向上的边缘被很好的检测出来。通过图3 6 可队看出，使用我们 的方法设训出的棋盘形滤波器对不仅有良好的频率响应，同时也保持了很好的空 间局部性。 第三章棋盘形滤波器对的设计 下一章中我们主要将设计的棋盘形滤波器对和小波滤波器结合构造一种新的 滤波器，并将其应用到图像去噪中。 l 既基瓯 营n ，；巧1 曩1 f ， - ? “。f r 奠 ) r + - ( 西 l e n a 图像和边缘检测敛果 第四章棋盘形滤波器对级联小被的图像击噪算法 2 5 第四章棋盘形滤波器对级联小波的图像去噪算法 4 1多方向信息的提取 前面的章节中我们提到传统的二维可分实小波变换在处理二维图像时，只能 提取图像在水平、垂直和对角方向的信息，如图41 所示，给出了二维小波变换的 频率划分图，l l ，l h ，h l 和h h 分别对应的低通子带，垂直高频子带，水平高频子 带和对角高额子带。图4 2 给出了小波分解的一个实例，正十二边形经过小波分 解后得到水平、垂直和对角子带。由图42 ( d ) 看出，在对角子带h h 上，由于频 率分量相互一交并来完全分开，其真正意义上只有水平和垂直两个方向上的信息， 所以小波变换缺乏更多的方向性。 “2 ，( 。” 心钐 彩蕊 阿41 二维小波变换的频率划分图 雕 ( 苟(0(co 图4 2 ( a ) 正十一边形( b ) 一( d ) 是( a ) 经过小渡分解斤得到的水平、垂直和对角方向的于带 为了区分对角方向信息，获得更多方向特征，我们将设计的棋盘形滤波器对 和小波变换结合，得到新的方向滤波器组。图43 ( a ) 和( c ) 分别是g 0 ( q ，m ：) 和 g ，( q ，屿) 在个阁期内的频率划分示寇图，灰色区域表示通带，白色区域表示阻 带。图4 3 ( b ) 是层小波变换后的频率划分示意蹦，l h 、h h 和h l 分别是垂直 子带、埘角子