（水文学及水资源专业论文）南水北调中线工程丰枯遭遇组合分析研究.pdf

i 华华 中中 科科 技技 大大 学学 硕硕 士士 学学 位位 论论 文文 摘摘 要要 南水北调中线工程对于解决我国京津华北地区水资源短缺问题具有重要作用， 其调水线路长、跨越流域多，不同水文区降水的丰枯遭遇特性直接影响着中线工程 的调水效益，因此对南水北调中线工程的水源区与受水区丰枯遭遇特性的研究具有 十分重要的意义。 丰枯遭遇概率的计算可以采用多维联合分布的方法进行求解。本论文研究了多 种水文变量多维联合分布的计算方法，包括统计法、copula 函数法、moran 法、 tan 法、fgm 法和 fei 法，并对上述方法的适用范围和局限性进行了分析和比较。 本论文选用统计法和 copula 函数法，按年、季、汛期和非汛期三种时间尺度对 南水北调中线工程的水源区和四个受水区（唐白河、淮河、海河南系、海河北系受 水区）的降水丰枯遭遇概率进行了分析计算。 copula 函数法能够灵活的构建任意边缘分布的多维联合分布，具有极强的灵活 性和适应性。本论文通过 copula 函数法计算南水北调中线工程的丰枯遭遇概率，并 与统计法进行对比，其结果大致相近，相差 0.1%-6%。但是 copula 函数法建立的联 合分布模型在计算连续概率方面比统计方法更有优势，且能绘制出可供决策支持的 联合分布概率等值线图，copula 函数法在多变量水文频率分析中具有很好的应用前 景。 计算结果表明，水源区和各受水区丰枯遭遇组合中调水有利的概率由南向北逐 渐增大；水源区连续枯水是影响中线工程发挥调水效益的最不利的风险因素；受水 区之间丰枯异步的频率平均为 52.97%，在实际的调水过程中可充分利用该特性进行 协调相机补水；受水区之间丰枯异步的频率汛期最大，说明汛期是进行不同受水区 之间协调相机补水的有利时机。 关键词：多维联合分布 统计法 copula 函数法 南水北调中线工程 丰枯遭遇 ii 华华 中中 科科 技技 大大 学学 硕硕 士士 学学 位位 论论 文文 abstract the middle route of south-to-north water transfer project plays an important role in dealing with the water shortage problems of beijing, tianjin and north china. involving a long route and several basins, the encounter probability characters of rainfall in different hydrological zones have direct impact on the transfer benefit of the middle route project. it is of great significance to study the encounter probability character of water resource and receiving areas of the middle route of south-to-north water transfer project. the multivariate joint probability distribution method can determine the encounter probability. this paper studies many kinds of multivariate joint probability distribution methods, including the statistical, copula, tan, fgm and fei methods. adaptability and limits of the above methods are also analyzed and compared with each other. the statistical and copula methods are applied to analysing encounter probability of rainfall in the middle route of south-to-north water transfer project .the encounter probabilities of water resource and four receiving areas with time scales of year, season, flood season and non-flood season are calculated. the copula method possesses strong adaptability and flexibility since it can flexibly build the multivariate joint probability distribution with arbitrary marginal distributions. the copula method is used to calculate the encounter probability of rainfall in the middle route of south-to-north water transfer project and the results are compared with the ones derived with the statistical method. the results of the two methods are close, with a discrepancy of 0.1%-6%. the joint probability distribution model built by the copula method shows advantages in calculating continuous probability, and the isograms of joint probability distribution probability can be obtained by the copula method to provide decision support. the copula method is practically better in hydrologic frequency analysis of multivariate variables. results indicate that the probabilities of advantage in water transfer increase from south to north. the continuous low water of the water resource area is the worst risk factor which affects the benefit of water transfer. the asynchronous probabilities between receiving areas average about 52.97%. this information is useful for timely water supply iii 华华 中中 科科 技技 大大 学学 硕硕 士士 学学 位位 论论 文文 in phase. the asynchronous probabilities between receiving areas is the largest in flood season, which suggests that the favorable opportunity in timely water supply for different receiving areas is in flood season. key words：multivariate joint probability distribution the statistical method the copula method the middle route of south-to-north water transfer project encounter probability 独创性声明独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研 究成果。尽我所知，除文中已经标明引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或 集体已经发表或撰写过的研究成果。对本文的研究做出贡献的个人和集体，均已在 文中以明确方式标明。本人完全意识到本声明的法律结果由本人承担。 学位论文作者签名： 日期： 年 月 日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权 保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借阅。 本人授权华中科技大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检 索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文。 保 密，在_年解密后适用本授权书。 不保密。 （请在以上方框内打“”） 学位论文作者签名： 指导教师签名： 日期： 年 月 日 日期： 年 月 日 本论文属于 1 华华 中中 科科 技技 大大 学学 硕硕 士士 学学 位位 论论 文文 1 绪绪 论论 1.1 问题的提出问题的提出 水文现象具有随机性的规律。比如，一个河流流域每年出现的最大降雨量是变 化莫测的，具有偶然性的特点。然而，通过长期的观测可以发现，特大暴雨出现的 机会较小，中等降雨出现的机会比较大，而多年平均降雨量渐趋于一个稳定的数值。 水文现象的这种随机性规律可以利用概率论和数理统计的理论和方法，研究和分析 水文的随机现象，找出水文现象的统计规律，以此为基础，对水文现象未来可能的 长期变化作出概率意义下的定量预估，以满足工程规划、设计、施工以及运营期间 的需要。 水文事件通常具有多方面的属性，如洪水的特征属性包括洪峰流量、洪量、洪 水历时等等，应该从多方面对其进行定义和描述，但在实践中由于数据资料的不完 备和数学计算上的困难，往往只挑选其中最重要的特征属性洪峰流量进行单变量频 率分析，而没有考虑洪峰流量与洪量、洪水历时等因素的联合分布关系，因此水文 事件的真实特征没有得到全面的反应。随着水文计算领域的不断演进，单变量频率 分析已经不能满足工程实践的设计要求，多变量频率分析方法已经成为一个研究热 点，其能更好的定义和描述水文事件，建立各个特征属性之间的相互关系1-2。 多变量水文频率分析还广泛应用于水文事件的遭遇组合概率问题中。比如，沿 海地区进行城市防洪规划时，需要考虑风暴潮、上游洪水、区间暴雨等水文事件的 遭遇概率3-4；拟定设计洪水的地区组成时，往往需要考虑不同区间的来水遭遇5； 在跨流域水资源调配规划中，常需要分析不同水文区降水和径流的丰枯遭遇情况6。 这些问题的解决需要采用多维联合分布的方法。 多维联合分布理论是研究两种及以上随机变量共同作用下的某个事件概率分布 的重要理论方法，然而其在水文频率分析中应用不是很广，主要原因是我国水文频 率分析计算通常采用皮尔逊型（p-）频率曲线，而二维甚至多维的 p-型联合 分布的解析求解难以获得。 2 华华 中中 科科 技技 大大 学学 硕硕 士士 学学 位位 论论 文文 本论文针对二维 p-型联合分布，分别研究了统计法、copula 函数法、正态变 换法、tan 法等多维联合分布计算方法，并将统计法和 copula 函数法应用于南水北 调中线工程不同水文区之间的降水丰枯遭遇分析。 1.2 选题的研究选题的研究意义意义 水是人类赖以生存的最宝贵的自然资源，然而随着世界人口的不断增长、经济 的飞速发展、粮食需求的不断增加和城市化进程的加快，必然导致全世界范围内的 用水量增加，而目前地区性缺水问题已经日益严峻，已经逐渐引起世界各国的关注。 调水工程是解决部分地区缺水问题的一种有效途径， 目前在世界范围内已得到了 广泛应用，如美国加利福尼亚州调水工程、巴基斯坦西水东调工程、澳大利亚雪山 调水工程、加拿大魁北克调水工程等等，这些调水工程都取得了良好的实际效果。 中国幅员辽阔，全国境内的地理条件十分复杂。对于降水的空间分布来说，由于 季风气候和海陆位置的影响，我国年降水量的空间分布表现为由南到北、由东南向 西南减少的趋势。京津华北地区是我国政治、经济和文化的中心，也是十分重要的 工农业生产基地，但该地区人均和亩均水资源量仅为全国平均水平的 16%和 14%， 水资源十分匮乏。其中海河流域地区的缺水问题最为严重，若以国际标准衡量，则 属于严重缺水的地区，其主要表现特征为：水资源利用率高达 90%，水源干枯，严 重超采地下水，水质逐渐恶化，超过半数河道季节性无水或常年无水，城乡供水形 势严峻。因此，向京津华北地区进行跨流域调水，补充严重缺失的水资源成为一项 迫在眉睫的任务，已经受到党和国家的高度重视以及全国社会各界的热切关注。在 这样的情形下，南水北调工程应运而生，其对于水资源短缺的缓解、经济发展和社 会进步的促进以及生态环境的改善具有十分重要的意义。根据工程总体规划，南水 北调工程分别在长江下游、中游、上游规划了三个调水区，形成了东线、中线、西 线三条调水线路，与长江、淮河、黄河、海河相互连接，构成我国水资源“四横三 纵、南北调配、东西互济”的总体格局7。 南水北调中线工程从加坝扩容后的丹江口水库陶岔渠首引水，在长江流域 内总体由西南向东北穿过，沿线开挖渠道，经唐白河流域西部过长江流域与淮 3 华华 中中 科科 技技 大大 学学 硕硕 士士 学学 位位 论论 文文 河流域的分水岭方城垭口，沿黄淮海平原西部边缘，在郑州以西孤柏咀附近穿 过黄河，然后沿京广铁路西侧北上，可基本自流到北京、天津。输水干线全长 1432 千米（总干渠长 1277 千米，天津输水干线长 156 千米） ，受水区总面积约 15 万 2 km，全部建成后年调水规模 130 亿 3 m 8。工程主要向唐白河流域、淮河 流域和海河流域的河南、河北、北京及天津四省市供水，重点解决北京、天津、 石家庄等沿线 20 多座大中城市的缺水问题，并兼顾沿线的生态用水和农业用 水。中线工程能有效缓解京津华北地区的水资源危机，并将大大改善供水区的投资 环境和生态环境，推动我国京津华北地区的经济发展。 南水北调中线工程按照水资源分区来划分包含四个受水区，分别为唐白河受 水区、淮河受水区、海河南系受水区、海河北系受水区。中线工程调水线路长，跨 越流域多，不同水文区在水文气象等方面的特点和规律各不相同，导致不同区域的 降水丰枯遭遇呈现复杂的不确定性特点。不同水文区降水量的丰枯遭遇性是跨流域 水资源配置的重要依据，它直接影响着调水工程的可靠性。水源区降水量的丰枯变 化影响中线工程可调水量，受水区降水量的丰枯变化影响需调水量及供水保证率， 水源区与受水区降水丰枯遭遇分析将为南水北调中线工程的水资源调度提供重要的 科学依据，为南水北调中线工程的社会经济效益提供保障。 1.3 国内外研究概况国内外研究概况 1.3.1 水文变量一维分布水文变量一维分布 水文变量一维分布是多维联合分布的基础，因此本论文先介绍水文变量一维分 布的国内外研究概况。通常用参数法和非参数法两种方法来估计水文变量相应频率 的设计值。其中参数方法是先确定水文频率曲线线型，再估计出概率分布函数的参 数值，从而得到水文设计值，而非参数方法则是直接通过样本数据来估计水文设计 值。 国内外许多研究学者都对参数估计的方法进行了大量的研究，该方法目前已经 比较成熟。丛树铮9等对矩法、极大似然法、计算机寻优法等方法进行了大量的统计 实验， 表明在通常情况下精度最好的是绝对值适线准则结合 weibull 绘点公式的适线 4 华华 中中 科科 技技 大大 学学 硕硕 士士 学学 位位 论论 文文 法。1979 年 greenwood10等人提出概率权重矩法，丁晶、宋德敦11等人在此基础上 将它推广到皮尔逊型分布中。1984 年马秀峰12提出权函数法，该法使靠近均值部 位变数的权重增加， 使系列两端变数作用减弱， 从而提高了估计精度， 后来刘光文13 提出了改进的权函数法，梁忠民14-15、陈元芳16等先后进行了进一步的研究。1990 年 hosking17等提出了线性矩法。1997 年谢崇宝18等提出模糊极值法，应用模糊数 学的方法，取隶属度函数作为权重来估计参数。 水文频率分析计算中的线型问题一直困惑水利工作者多年，目前仍然没有得到 很好的解决，而非参数估计法的产生避开了这个问题，为研究水文频率分析计算提 供了一种新的视角。1981 年，tang等将自展法应用于水文频率分析计算中。1985 年 adamowski19在洪水频率分析中采用了非参数核密度估计法，并与三参数对数正态 分布、对数皮尔逊型分布、极值分布等参数统计模型进行对比分析，应用实测洪 水资料推求洪水特征值。结果显示，核密度估计法与参数统计模型推求结果相似， 并能解决参数法所不及的洪水多峰问题。1990 年夏乐天20将核密度估计法与再抽样 法结合对核密度估计法进行了纠偏处理，通过统计试验结果表明非参数核密度估计 法的稳健性最好，其结果与皮尔逊型总体和三参数对数正态总体的参数法结果相 似。1991 年郭生练21考虑到我国水文实测资料较短而古洪水和历史洪水研究又很有 特色，提出了考虑古洪水和历史洪水的核密度估计方法。 参数估计法的优点是比较直观，求解的方法比较多，计算简便，方法比较成熟。 而非参数估计法的优点是统计性能优良，估计的稳健性更好，但其缺点是样本数据 资料不多时估计精度不高。 1.3.2 水文变量多维联合分布水文变量多维联合分布 目前在国内外水文研究领域，二维联合分布的研究和求解已经比较成熟，而三 维及以上的水文变量联合分布的求解比较困难，仍然在探索中。下面分别介绍几种 多维联合分布计算方法： 1）利用边缘分布构成联合分布 此类方法一般要求水文变量为同一类边缘分布，主要应用于二维联合分布中。 按边缘分布的类型主要分为以下五种： 5 华华 中中 科科 技技 大大 学学 硕硕 士士 学学 位位 论论 文文 （1）边缘分布为正态分布 多维正态分布研究时期最早，应用范围也最为广泛。1987 年 correia22提出洪峰 和洪量超定量系列的二维正态分布，应用于洪水的频率分析中。随后用二维正态分 布描述洪峰和洪量联合分布关系的还有 sack 和 bergmann23，goel24等。kratanovic 和 singh25采用最大熵法推导出多维正态分布和多维指数分布， 建立了洪峰和洪量的 多维联合分布。 由于水文变量大多服从偏态分布，要利用正态分布进行频率分析，必须首先将 原始水文序列变换成正态分布。在水利领域常用的正态化变换方法主要为 box-cox 变换26和多项式正态变换27。 （2）边缘分布为对数正态分布 由于对数正态分布与实际水文系列的拟合比正态分布好，且其与正态分布存在 一定的联系，因此有水利专家学者对此进行了研究利用来进行水文的频率计算。 （3）边缘分布为 p-分布 我国水文领域有关水利规范规定水文频率计算采用皮尔逊型分布，因此研究 边缘分布为皮尔逊型分布的多维联合分布方法具有十分重要的意义。1985 年覃爱 基28推导出二维皮尔逊型分布的解析表达式，但该方法具有一定的参数限制，在 实际的水文计算中应用并不广泛。 （4）边缘分布为 gumbel 分布 1960 年 gumbel 推导出二维 gumbel 分布函数，1999 年 yue29-31，2004 年熊立 华、郭生练32-33等均用该分布进行了洪水频率计算。 （5）边缘分布任意的 fgm 方法 1956 年 morgenstern提出了 fgm 方法34。 该方法的边缘分布可以是任何类型的 分布函数，计算简单，但只适用于相关关系为弱相关的变量。 2）将多维分布转换为一维分布 1989年和1995年费永法35-36采用事件积先后推导出将二维和多维的随机变量转 换为一维随机变量的计算方法，并用来求解水文领域的丰枯遭遇频率。 3）非参数方法 6 华华 中中 科科 技技 大大 学学 硕硕 士士 学学 位位 论论 文文 非参数方法37中应用最为广泛的是非参数核估计， silverman38、 lall和 basworth 利用非参数多维核密度估计模拟二维变量联合分布。王文圣和丁晶39采用该法模拟 水文变量的联合分布。 4）统计方法 水利工程实际应用中经常采用传统的统计法进行水文分析。郑红星和刘昌明6 利用同步降水系列进行统计计算，确定南水北调东中两线不同水文区降水的丰枯遭 遇概率。 5）copula 函数法 copula 来源于拉丁语，其意思是“联合、连接” 。copula 函数可以将多个随机变 量的边缘分布连接起来形成多维概率分布函数，诞生于上世纪 50 年代，从上世纪 90 年代开始迅速在统计学领域中发展，广泛应用于金融、保险、风险分析及水文领域。 zhang40-41采用 copula 函数法对暴雨和洪水进行了频率分析， 通过对 copula 函数法、 混合 gumbel 法以及二维正态分布法的比较，表明 copula 函数法的结果优于其它两 种模型。肖义等42采用 copula 函数法研究了洪峰和洪量的联合分布问题，并提出了 一种推求设计洪水过程线的方法。zhang和 singh43-44分别用两变量和三变量 copula 函数联合分布方法先后研究了降雨的雨强、雨深和历时的联合分布关系，并得出联 合重现期。 favre45等将 copula 函数法应用于洪水的地区组成来分析洪水丰枯遭遇的 概率。闫宝伟8等采用 copula 函数法建立南水北调中线工程水源区和受水区的降雨 联合分布。 1.4 主要研究内容主要研究内容 本论文的主要研究内容如下： （1）归纳并总结了国内外水文变量一维分布和多维联合分布的研究概况。 （2）详细介绍了统计法、copula 函数法和其他几种常用的多维联合分布方法， 包括多维正态分布方法、tan 方法、fgm 方法和 fei 方法。 （3）收集整理了南水北调中线工程相关降水资料，将中线工程按水资源分区划 分为六个研究区域， 针对多种时间尺度 （年、 季、 汛期、 非汛期） ， 基于遗传算法 （ga） 7 华华 中中 科科 技技 大大 学学 硕硕 士士 学学 位位 论论 文文 频率计算统计参数和设定频率的设计值，确定相应的丰水年、平水年和枯水年的划 分标准。 （4）利用统计法对水源区与各受水区的丰枯遭遇、各受水区之间的丰枯遭遇、 水源区和受水区连续枯水年遭遇进行了分析计算，综合分析了中线工程调水有利和 不利的概率。 （5）建立了 copula 联合分布模型，研究了水源区与各受水区、各受水区之间 的丰枯遭遇组合状态，计算并绘制了水源区与各受水区降水联合分布等值线图，为 水资源的优化配置提供可靠的依据。 （6）分别采用统计法和 copula 函数法对水源区与丹江口以下干流的丰枯遭遇 组合状态进行了分析计算，研究在南水北调中线工程实际运行以后对丹江口以下干 流的调水影响程度。 8 华华 中中 科科 技技 大大 学学 硕硕 士士 学学 位位 论论 文文 2 水文变量水文变量多维多维联合分布联合分布计算方法计算方法研究研究 2.1 统计统计法法 工程实践中通常应用统计法进行水文事件丰枯遭遇组合概率问题的研究。 根据古典概率的定义，某一随机事件的概率计算公式为： n k ap)( （2-1） 其中：)(ap随机事件a在一定条件下出现的概率 k随机事件a出现的结果数 n统计样本总量 遭遇组合分析的基础是丰枯指标。丰枯指标的确定通常是根据实际资料确定概 率分布函数，然后以“小于某值”事件出现的概率 p 作为划分的标准，该值即为丰 枯判别指标，以下就二维变量进行说明。 对于随机变量 x，y，设其边缘分布函数分别为 x f和 y f，随机变量 x 的丰枯指 标分别为 pf x和 pk x，随机变量 y 的丰枯分指标分别为 pf y和 pk y。 丰、平、枯等级划分标准如表 2-1 所示。 表 2-1 丰、平、枯等级划分标准 名名 称称 丰水年丰水年 平水年平水年 枯水年枯水年 随机变量x pf xx pk xx pf x pk xx 随机变量 y pf yy pk yy pf y pk yy 随机变量 x 和 y 均有丰、平、枯三种状态，则其丰枯遭遇组合状态共有以下 9 种情况： 丰丰型 p( pf xx, pf yy)； 丰平型 p( pf xx, pkpf yyy)； 丰枯型 p( pf xx, pk yy)； 平丰型 p( pkpf xxx, pf yy)； 平平型 p( pkpf xxx, pkpf yyy)； 平枯型 p( pkpf xxx, pk yy)； 枯丰型 p( pk xx, pf yy)； 枯平型 p( pk xx, pkpf yyy)； 9 华华 中中 科科 技技 大大 学学 硕硕 士士 学学 位位 论论 文文 枯枯型 p( pk xx, pk yy)。 确定丰枯遭遇组合状态条件后，利用统计方法对实际样本进行各种丰枯遭遇组 合状态的个数统计，计算每种组合状态发生的概率，从而确定丰枯遭遇概率。 2.2 copula 函数法函数法 copula 理论的提出可以追溯到 1959 年，但由于当时条件的限制，使得其发展和 应用受到了限制。直到 90 年代，随着信息技术和计算机技术的不断发展和完善， copula 理论才得以迅猛发展并成功的应用于各个领域。 copula 函数法的主要优点是其能将联合分布分为随机变量的边缘分布和变量间 的相关性结构两部分进行研究，并且不要求随机变量具有相同的边缘分布，因而具 有极强的适应性和灵活性，为探索随机变量间的相关性结构提供了新的途径。 2.2.1 copula 函数的定义函数的定义 定义：n维 copula 函数 c 是指具有下列性质的函数： （1）0,1 n n ci （2）c是n维增函数，即对它的每一个变量都是递增的 （3）c的边缘分布 n c满足) 1 , 1 , 1 , 1 ()( iii ucuc，其中1 , 0u， ni, 1 显然，如果 1 , n ff是一维分布函数，则 11 ( ),() nn c f xf x是一个边 缘分布函数为 1 , n ff的多维分布函数。 sklar 定理： 若多个随机变量 12 , n x xx的联合分布函数 1 ( ,) n f xx的边缘 分布函数 11 ( ),() nn f xf x连续，那么存在唯一的 copula 函数 1 ( ,) n c uu使46 111 ( ,)( ),() nnn f xxc f xf x （2-2） 特别地，通过 copula 函数的密度函数 c 和边缘密度函数可以得到 n 维联合分布 函数 1 ( ,) n f xx的密度函数f： 1111 ( ,)( ),()() n nnnnnn f xxc f xf xfx （2-3） 10 华华 中中 科科 技技 大大 学学 硕硕 士士 学学 位位 论论 文文 其中： 1 1 1 ( ,) ( ,) n n n n c uu c uu uu n f边缘分布 n f的密度函数。 公式(2-2)、(2-3)表示，我们可以把联合分布函数用它的边缘分布表示，将联合 密度函数拆解成两部分， 一部分为copula函数 1 ( ,) n c uu的密度函数 1 ( ,) n c uu， 其可以看作随机变量 12 , n x xx的相关性结构部分； 另一部分 1 () n nnn fx 为边缘 密度函数的乘积。 2.2.2 copula 函数的分类函数的分类 copula 函数有许多不同的构造方式，比较常见的有椭圆型、阿基米德型。其中 椭圆型 copula 函数主要有正态 copula 函数和 t-copula 函数。阿基米德型 copula 函 数主要有gumbel copula函数、 frank copula函数、 clayton copula函数和amh copula 函数。下面分别介绍椭圆型 copula 函数和阿基米德型 copula 函数。 2.2.2.1 椭圆型椭圆型 copula 函数函数 椭圆型 copula 函数是根据椭圆型分布函数推导而来，常见的主要为正态 copula 函数和 t-copula 函数，下面以二维随机变量为例分别介绍这两种函数： （1）正态 copula 函数 正态 copula 函数的两个边缘分布都为正态分布 11 22 1 2 2 2 12 ,exp 2 1 21 uv n r srstt cu vdsdt r r （2-4） 其中：r相关系数，下同 1 x 标准正态分布函数的逆 （2）t-copula 函数 11 22 22 ,1 2 2 2 12 ,1 1 21 v tu tv t v r srstt cu vdsdt vr r （2-5） 其中： 1 v tx 自由度为v的标准t分布函数的逆 11 华华 中中 科科 技技 大大 学学 硕硕 士士 学学 位位 论论 文文 2.2.2.2 阿基米德型阿基米德型 copula 函数函数 阿基米德型 copula 函数相比椭圆型 copula 函数来说其应用范围比较广泛， 构造 方式比较简单，计算也很简便，构造的联合分布函数形式多样，并且具有很强的适 应性。 阿基米德型 copula 函数的构造通常是二维的，可写成如下形式： )()(),( 1 vuvuc （2-6） 其中：生成函数，是一个连续、严格递减的函数，满足)0(，0) 1 ( 1 的逆函数，满足0)( 1 ，1)0( 1 由式（2-6）可见，如果生成函数唯一确定，则 copula 函数也是唯一确定的。 不同的生成函数可得到不同的阿基米德型 copula 函数。下面介绍几种常见的阿基 米德型 copula 函数： （1）gumbel copula 函数 1 ,explnln uv cu v ，1 （2-7） 其中：描述两个变量间相关性关系的参数， 下同。与 kendall秩相关系数 存在如下关系： 1 1，1 （2-8） kendall 秩相关系数的计算公式如下： 21 ()si()() nijij ij cgn xxyy （2-9） 其中： sign 符号函数，当 0 ijij xxyy时，1sign ； 0 ijij xxyy时，1sign ；0 ijij xxyy时，0sign 。 （2）frank copula 函数 ( , )c u v = 1)exp( 1)exp(1)exp( 1ln 1 vu ，0 （2-10） 参数与 的关系为： 12 华华 中中 科科 技技 大大 学学 硕硕 士士 学学 位位 论论 文文 0 1 1)exp( 14 1dt t t ，0 （2-11） （3）clayton copula 函数 ( , )c u v = 1 uv1 ，0 （2-12） 参数与 的关系为： 2 ，0 （2-13） （4）amh copula 函数 ( , )c u v =)1)(1 (1/vuuv，11， （2-14） 参数与 的关系为： )1ln( 1 1 3 2 3 2 1 2 ）（）（，11， （2-15） 2.2.3 copula 函数的参数估计函数的参数估计 对于一维 copula 函数，主要采用适线法来估计参数，即在一定的适线准则（即 目标函数）下，估计与经验点距拟合最优频率曲线参数的方法。 对于二维 copula 函数，参数估计目前普遍采用的是相关性指标法，即根据上面 提到的 kendall 秩相关系数与的关系求得 copula 函数的参数。 对于三维及以上的 copula 函数，相关性指标法已经不再适用，此时大多运用极 大似然法和非参数法进行参数估计。 由于目前对于 copula 函数的研究主要为二维 copula 函数， 所以主要采用相关性 指标法进行参数的估计。随着计算机技术的不断发展和研究问题的复杂程度不断增 加，多维 copula 函数的研究将会受到更多的重视，极大似然法和非参数法等方法将 越来越多的应用到 copula 函数的参数估计中。 2.3 其它多维联合分布方法其它多维联合分布方法 2.3.1 正态正态变换方法变换方法 正态变换方法也称 moran 方法，多维联合分布的研究目前主要集中于多维正 13 华华 中中 科科 技技 大大 学学 硕硕 士士 学学 位位 论论 文文 态分布。 多维正态分布的密度函数如下： )()( 2 1 exp )()2( 1 ),( 1 2/12/ 21 xxxxxf t n n （2-16） 其中： n xxx, 21 正态分布变量 协方差矩阵 = t n) ,( 21 x= t n xxx),( 21 水文变量的分布大多为偏态分布，如果假设水文变量服从正态分布会带来很大 的误差。因此若要采用 moran 方法进行频率分析并构造多维联合分布，关键问题 就是首先必须将原始样本变换为正态变量。目前在水文研究领域常常采用的正态变 换方法主要有 box-cox 变换和多项式正态变换。box-cox 变换的原理是将原始样本 变换为正态分布),(n；pnt 变换的原理则是将原始样本变换成标准正态分布 ) 1 , 0(n。 2.3.2 tan 方法方法 tan 方法也称覃爱基方法， 是 1985 年覃爱基基于 david 等人的研究成果推导出 的二维联合 p-型分布。我国水利水电工程设计洪水计算规范中明确规定，我 国水文频率计算采用 p-型分布，因此研究边缘分布为 p-型分布的联合概率模型 具有十分重要的研究意义。 tan 方法的密度函数如下： *)(exp)(exp )( 1 )()( ),( 2211 2 2 1 1 21 yx mrr yxf duuuuyux mr yx r )exp()()/()/( 11 22 ),min( 0 1 11 2 11 1 （2-17） 其中：，分布参数 tan 方法只适用于具有正相关关系的随机变量，并且要求变量之间的偏态系数 满足一定关系，因而具有一定的局限性。三维及以上 p-型联合分布函数目前仍然 14 华华 中中 科科 技技 大大 学学 硕硕 士士 学学 位位 论论 文文 没有求解。 2.3.3 fgm 方法方法 fgm 方法的密度函数如下： )(21)(21 (31)()(),( 212121 2121 xfxfxfxfxxf xxxx （2-18） 其中：)( 1 1 xfx，)( 2 2 xfx边缘分布的密度函数 )( 1 1 xfx，)( 2 2 xfx边缘分布函数，可以是任何类型的分布函数 相关系数，必须满足条件3/13/1 fgm 方法只适合于弱相关的变量，且只能应用于二维联合分布的计算，其优点 是计算方法比较简单。 2.3.4 fei 方法方法 1989年和1995年费永法根据事件积原理先后推导出将二维及多维的随机变量转 化为一维随机变量的方法。 fei 方法的多维联合分布计算公式有两种形式， 分别如下： )(),( 2211 zzpxxxxxxp nn （2-19） 此时，变量z的系列为：),min( 221nnkkkk axaxxz 另一种形式的计算公式为： )(),( 2211 zzpxxxxxxp nn （2-20） 此时，变量z的系列为：),max( 221nnkkkk axaxxz 其中， nppnp xxa 1 ； p xz 1 ； jp x为随机变量 j x的频率为p的设计值。 fei 方法计算简便，且操作方便，但难以确定其转化后的z系列服从的分布，成 果不稳定。 2.4 本章小结本章小结 本章详细介绍了统计法、 copula 函数及其他几种常用的多维联合分布计算方法， 包括 moran 方法、tan 方法、fgm 方法和 fei 方法。 前述的各种多维联合分布计算方法各有所长，但均有各自的应用范围和局限， 15 华华 中中 科科 技技 大大 学学 硕硕 士士 学学 位位 论论 文文 如统计方法计算比较简便，但并没有考虑变量之间的相关关系，而且对样本系列的 长度依赖性较强，比较适合长系列样本数据的联合分布研究。基于正态的 moran 方法比较复杂，首先将原始数据变换为正态变量，再利用反变换进行分析，且在数 据的变换中容易造成部分信息的失真；tan 方法是基于理论推导出来的二维 p-型 联合分布，该方法只适用于具有正相关关系的两变量，且两个变量的偏态系数也必 须满足一定的关系；fgm 方法也只能进行二维联合分布的计算，且仅仅适合于弱相 关的变量；fei 方法将多维随机变量转化为一维变量，操作方便，计算简便，但是成 果不稳定。另外，这些方法都是基于变量之间的线性相关关系来建立，而水文变量 之间往往呈现出复杂的非线性关系，因而上述方法难以准确地描述水文变量的联合 分布概率特性。 copula 函数法能够灵活的构建任意边缘分布的多维联合分布，可用来描述随机 变量间的相依结构，具有极强的灵活性和适应性。copula 函数法还克服了上述多维 联合分布计算方法的不足，能适用于非线性相关性的度量，可用来描述非线性、非 对称的水文变量，在水文领域具有广阔的应用前景。 16 华华 中中 科科 技技 大大 学学 硕硕 士士 学学 位位 论论 文文 3 南水北调中线工程丰枯遭遇分析南水北调中线工程丰枯遭遇分析 3.1 资料处理资料处理 3.1.1 研究区域划分研究区域划分 不同水文区丰枯遭遇组合分析通常采用历年天然径流资料进行分析计算。然而由 于天然径流的特性目前在很大程度上受到了人类活动的影响，而要进行径流还原计算 非常困难，误差也比较大， 很难满足水文系列样本的可靠性、一致性和代表性的要求， 因此本论文南水北调中线工程丰枯遭遇组合分析采用降水资料来进行分析计算。 南水北调中线工程水源区为汉江流域丹江口以上，受水区划分为唐白河受水区、 淮河受水区、海河南系受水区和海河北系受水区。汉江流域丹江口以下干流虽然不 是南水北调中线工程的直接受水区，但中线工程需要在优先满足丹江口以下干流用 水需求的前提下考虑南水北调中线工程的可调水量，因此，本论文将汉江流域丹江 口以下干流也纳入了研究区域，研究分区见表 3-1 所示。 表 3-1 研究区域划分方式 研究区域研究区域名称名称 总面积（总面积（km2） 三级区名称三级区名称 丹江口以上水源区 93760 丹江口以上 丹江口以下干流 37125 丹江口以下干流 唐白河受水区 19426 唐白河 淮河受水区 46478 王蚌区间北岸 海河南系受水区 109340 大清河山区 大清河淀东平原 大清河淀西平原 子牙河山区 子牙河平原 漳卫河山区 漳卫河平原 黑龙港及运东平原 海河北系受水区 58400 北三河山区 永定河册水库至三家店区间 北四河下游平原 17 华华 中中 科科 技技 大大 学学 硕硕 士士 学学 位位 论论 文文 3.1.2 平均降雨量平均降雨量计算计算 1）站点的空间分布 本论文收集整理了 1961-2006 年各研究区逐日降水资料。 2）时间尺度 （1）年：调水年度（11 月 1 日-10 月 31 日） ； （2）季：第一季度、第二季度、第三季度、第四季度； （3）汛期（5 月-10 月） 、非汛期（11 月-4 月） 。 3）平均降雨量计算 在地理信息系统 gis 平台上利用泰森多边形法计算各水文区不同时间尺度的平 均降雨量，为频率计算提供数据支持。 3.2 ga频率计算方法频率计算方法 本论文采用遗传算法（ga）优化频率计算统计参数和各频率设计值。频率曲线 采用皮尔逊型分布曲线。 1975 年美国学者 holland 提出了遗传算法（genetic algorithm，ga） ，原理是根 据适者生存，优胜劣汰的自然进化规