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摘要 摘要 地貌瞬时单位线( g i u h ) 是近年来发展起来的一种新的汇流模型，它的主 要优点是定量地将地貌因子引入流域响应以及较少的依赖流域水文资料。因此它 被认为最适合用于无实测水文资料地区的洪水模拟与预报。随着g i u h 理论的不 断成熟，无资料地区水文模拟预报将得到更有力的支持。本文首先简要回顾了过 去二十多年g i u h 的发展，并着重介绍了地貌单位线3 级河网公式的推导，并以 此拓展到4 级和5 级河网，最后介绍了地貌瞬时单位线的通用公式。另一方面随 着地理信息系统( g i s ) 和数字高程模型( d e m ) 的发展，从数字地形中直接提 取地貌参数己成为可能。在详细介绍了从格网d e m 中提取数字河网和地貌参数 的方法后，给出了部分提取结果。随后对g i u h 中的假设以及实际应用中的一些 问题进行了探讨，比较了净雨与河网总入流的区别，并分别用两者作为g i u h 通 用公式的输入对两个集水流域的若干场历史洪水进行了模拟，并与实测洪水进行 了比较，结果表明河网总入流作为输入的结果更符合实测结果。最后使用新安江 产流模型与基于d e m 的g i u h 通用公式相结合，组成完整的流域模型，实例选 择了径流的连续模拟并与实测资料进行比较，结果令人满意。 关键字：地貌瞬时单位线数字高程模型地理信息系统新安江模型 a b s t r a c t a b s t r a c t g e o m o r p h o l o 誊c a l i n s t a n t a n e o u su n i t h y d r o g r a p h ( g r u h ) i s an e wb a s i n h y d r o l o g i c a lr u n o f fm o d e lw h i c h i sd e v e l o p e di nt h e s ey e a r s i t sm a i na d v a n t a g ei s q u a n t i f i c a t i o n a l l yi n t r o d u c i n gt h eg e o m o r p h o l o g i c a le l e m e n ti n t ob a s i nr e s p o n s ea n d l i t t l e r e l y i n gt og a u g e dd a t a t h e r e f o r ei t i ss u i t a b l ef o rh y d r o l o g i c a lm o d e l i n gi n u n g a u g e db a s i n w i t ht h eg i u ht h e o r yg r o w i n gu p ，t h eh y d r o l o g i c a lm o d e lf o r u n g a u g e d b a s i nw i l lb es u p p o r t e dw e l l t h i s p a p e r r e v i e w st h ed e v e l o p m e n to fg i u hi nl a s tt w e n t y y e a r sa n di n t r o d u c e s t h ed e r i v a t i o no ft h ee x p r e s s i o ni nt h r e ec l a s s e sr i v e rn e t w o r k ，f o u ra n df i v ec l a s s e s r i v e rn e t w o r k t h eg e n e r a le x p r e s s i o no fg i u hi si n t r o d u c e df o l l o w o nt h eo t h e r h a n d ，w i t ht h ed e v e l o p i n go ft h eg e o g r a p h i ci n f o r m a t i o ns y s t e m ( g i s ) a n dd i g i t a l e v a l u a t i o nm o d e l ( d e m ) ，i ti s p o s s i b l et oe x t r a mg e o m o r p h o l o g i cp a r a m e t e r sf r o m d i g i t a lt e r r a i n t h e nt h i sp a p e rs h o w st h em e t h o d so f e x t r a c t i n gt h ep a r a m e t e r sf r o m 舀dd e m i nd e t a i la n dd i s c u s s e ss o m e p r o b l e m sw h e na p p l y i n gg i u h i nr e a lb a s i n b yc o m p a r i n g t h ed i f f e r e n c eb e t w e e nt h en e tr a i na n dn e t w o r k i n c o m i n gf l o w , g i u h a n dx i n a n j i a n gc o u p l i n gm o d e li sg i v e n s i m u l a t e ds o m eh i s t o r i c a lf l o o di ns o m e b a s i n s ，a n dc o m p a r i n g 、v i 血t h ea c r l a im e a s u r e m e n t ，t h er e s u l t si n d i c a t et h a tt h e g i u hi sf e a s i b l ef o rf l o o d p r e d i c t i o na n d f l o o ds e r i a lm o d e l i n g k e y w o r d ：g e o m o r p h o l o g i c a i i n s t a n t a n e o u su n i t h y d r o g r a p h ( g i u h ) ，d i s t a i e v a l u a t i o n m o d e l ( d e m ) ，g e o g r a p h i ci n f o r m a t i o ns y s t e m ( g i s ) ，x i n a n j i a n gm o d e l 2 学位论文独创性声明： 本人所呈交的学位论文是我个人在导师指导下进行的研究工作 及取得的研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方 外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果。与我一同工 作的同事对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并 表示了谢意。如不实，本人负全部责任。 论文作者( 签名) ：望鞋 年月f t 学位论文使用授权说明 河海大学、中国科学技术信息研究所、国家图书馆、中国学术 期刊( 光盘版) 电子杂志社有权保留本人所送交学位论文的复印件或 电子文档，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文。本人电子 文档的内容和纸质论文的内容相一致。除在保密期内的保密论文外， 允许论文被查阅和借阅。论文全部或部分内容的公布( 包括刊登) 授权 河海大学研究生院办理。 论文作者( 签名) ：塑盟 年月目 第一章绪论 第一章绪论 1 1r - v g i u h 的诞生 单位线的定义是系统的脉冲反应。因为流域与河网是一个高阻尼的系统( 即 调蓄作用很大) ，所以在1 9 3 2 年s h e r m a n l l l 就提出用单位线作为流域系统的水文 响应，并且很快被广泛接受。n y1 9 5 7 年，n a s h t 2 提出了第一个瞬时单位线( i u h ) 模型，这个模型在很多流域汇流中取得较好的精度。但是传统单位线的物理意义 并不明确，即使是n a s h 单位线中使用的概念性元素，也只能说明流域的整体响 应，并不联系流域上实际的水力状态，因此不能改变单位线的“黑箱”模型性质。 为此水文学者们始终期望着寻找一种新的途径来确定洪水过程，使之与流域地貌 因子间进行联系，从而将地貌信息转变为水文信息。 1 9 4 5 年，h o r t o n e 3 】提出了河流分级与描述河网地貌几何特征的三种比值，开 创了水文学与地貌学相结合的契机。1 9 5 9 年日本学者石原藤次郎用水力学理论 分析单位线时提出区分“发生场”与“传播场”的概念，他还认为，只有引进概 率论才有可能最终解决汇流计算问题。1 9 7 9 年委内瑞拉水文学者 r o d r i g u e z i t u r b e r 4 】等人在h o r t o n 的理论基础上，用概率分布研究流域上水滴的运 动，着眼于水滴汇流时间的随机分布，用雨水降落的初始概率描述“发生场”； 而用时段转移概率描述水流的“传播场”，两者结合，首次建立了地貌瞬时单位 线( r vg i u h ) 理论，并给出了3 级河网的公式。r - vg i u h 利用了马尔科夫 链理论和h o r t o n 地貌参数推求流域汇流过程，因此它从理论上摆脱了传统u h 的“黑箱”模式，并且使得在无资料地区使用单位线成为可能。 1 2g i u h 的国内外研究进展 r o d r i g u e z i t u r b e 在1 9 7 9 年提出g i u h 的思想后，得到了世界水文学者们的 广泛关注，并在最近二十多年得到了不断的发展。这些研究从g i u h 的不同方面 进行了探讨，形成了各自的理论体系。 1 2 1g i u h 的研究方法 h o r t o n ( 1 9 4 5 ) 【3 】首先提出了一个划分组成河系各河流的方法，并发现了流 1 第一章绪论 域中河网地貌的几个基本规律。r o d r i g u e z i t u r b e 和v a l d e s ( 1 9 7 9 ) 4 1 在 h o r t o n s t r a h l e r 的河系分级的理论基础上，用概率论的方法首次建立了地貌瞬时 单位线( r - vg i u h ) ，并给出了3 级河网的计算公式。随后g u p t a ，w a y m i r e 和 w a n g 等人( 1 9 8 0 ，1 9 8 3 ) 嘶1 在r - vg i u h 理论的基础上用统计的方法重新推导了 g i u h 公式，并对此进行了扩充，可以处理任意雨滴在河段中的滞留时间分布。 文康、李琪( 1 9 8 5 ) f 7 1 在三级河网公式的基础上，推导了四级和五级河网公式。 并总结了各级河网公式中隐含的规律，推导出了适用于任意级别河网的g i u h 通 用公式( 详见第二章) ，并把g i u h 通用公式应用在多个实际流域中，取得了较 好的效果。 后来有一部分水文学者( g u p t a 等人，1 9 8 6 g ；m e s a 和m i f f l i n ，1 9 8 6 【9 1 ； t r o u t m a n 和k a r l i n g e r ，1 9 8 4 l l o j ，1 9 8 5 1 ，1 9 8 7 1 1 2 】；g u p t a 和m e s a ，1 9 8 8 1 1 3 l ：r i n a l d o 等人，1 9 9 1 4 l ：s n e l l 和s i v a p l a n ，1 9 9 4 卯；l e e 和y e n ，1 9 9 7 1 6 】：芮孝芳和石 朋，2 0 0 2 1 7 1 ) 认为流域瞬时单位线是地貌扩散和水动力扩散对降落在流域上净 雨共同作用的结果。他们采用宽度函数和河系随机理论来建立g i u h 的公式： u ( t ) = f g ( x ，t ) n 。( x ，t ) d x ( 1 1 ) i 式中g ( x ，t ) 为距出口断面x 处河道对流域瞬时单位线的作用；n ( x ，t ) 为标 准化的宽度函数，它表示距出口断面x 处的水系链数目的概率密度函数。公式如 下： n ( x ，t ) = n ( x ，t ) f n ( x ，t ) d x ( 1 - 2 ) i 式中n ( x ，t ) 即为宽度函数，它是计算距出口断面x 处水系链的数目的，基于 宽度函数的g u h 近似等于它的条件期望值； e 【u ( 训m 】= 丽斋e x p ( 筹) t 。 ( 1 _ 3 ) 式中m 为流域的量值，等于河源数；f j 为内链的平均长度；v 为传播速度。 概念性流域汇流模型和流域地貌瞬时单位线理论是研究流域汇流的两条不 周途径，前者基于水的“波动性”，而后者基于水的“粒子性”。通过弱者的结合， 第一章绪论 陆桂华( 1 9 9 0 ) 【嘲提出了用确定性方法来推求地貌瞬时单位线，即采用了线性 水库的概念，按流域地貌特征进行排列，构成流域汇流模型。作者认为用确定性 方法推求的地貌单位线也同样具有明确的物理概念，并且避免了繁琐的数学推 导，从而容易被水文工作者理解和接受。随后国内水文学者( 谢平等人，1 9 9 4 ， 1 9 9 5 ，1 9 9 6 ，1 9 9 7 ，1 9 9 9 ，2 0 0 3 1 蚍4 】：梁瑞驹等人，1 9 9 6 2 1 】) 基于其它概念性 元素( 滞时演进河段、特征河长河段、加里宁米留柯夫河段、扩散模拟河段、 马氏京根河段、线性动力波河段) 对g i u h 进行了研究。 除了以上三种研究途径外，还有一些水文学者提出了一些比较实用的方法。 如气候地貌瞬时单位线( g c l u h ) 【2 ”，该方法回避了使用流速的困难；另外芮孝 芳( 2 0 0 3 ) 2 6 1 提出了应用概率论建立由雨滴的径流路径长度分布律与流速分布 规律确定g i u h 的方法，并提出由坡度分布规律转换为速度分布规律的原理和方 法，同时应用最大信息熵原理给出了坡度分布密度的解析表达式。 1 2 2 等待时间概率密度函数分布的假设 在大部分确定g i u h 的方法中都要用到等待时间的概率密度函数，如何确定 等待时间密度函数是个关键的问题，其实质是如何确定水质点流速的概率密度函 数。r o d r i g u e z i t u r b e 等人首次建立g i u h 时，借用的是数理统计学的观点，因 此采用了单参数指数型函数作为概率密度函数。而k i r s h e n 和b r a s ( 1 9 8 3 2 7 1 ) 认 为必须要首先对时间分布的假设进行仔细验证。后来的一些研究者对此进行了广 泛的探讨，采用了各种不同类型分布的函数进行研究，如逆高斯分布的概率密度 ( m e s a 和m i f f l i n ，1 9 8 6 g j ；谢平和梁瑞驹，1 9 9 7 2 8 l ；) ，伽玛分布( v a nd e rt a k 和b r a s ，1 9 9 0 2 9 1 ；j i n ，1 9 9 2 1 3 0 l ；梁瑞驹和谢平，1 9 9 6 2 1 】) 以及皮尔逊型分 布( 张明，2 0 0 0 3 1 】) 。但是r i n a l d o 等人( 1 9 9 1 1 4 】) 通过分解水力扩散和地貌扩 散来研究水文响应的时候发现地貌扩散在流域响应中起主要作用，而与等待时间 的概率密度函数的选用无关。 1 2 3 动力因子的确定 g i u i - i 通用公式中除了h o r t o n 地貌参数外，还需要输入各级河流的平均等待 时间( 滞时) 。地貌参数可以通过地形图量取，在现代数字化技术的支撑下，我 3 第一章绪论 们已经完全可以通过d e m 自动提取。但是平均等待时间是一个动力因子，它的 确定是非常困难的，是整个g i u h 应用的最不确定的参数。因此g i u h 的推求关 键在于它的动力因子。为了求定方便，也常以平均流速代替，然后在计算公式中 自动将之转换成等待时间。下面介绍几种常用的确定流速的方法【7 】。 1 建立断面平均流速v 与净雨强度i 间的相关关系 分析流域出口断面处实测洪水的相应流速过程，建立实测流速与相应净雨强 度( 应注意提前一个汇流时间) 之间的相关关系( 一般为指数型或对数型) ，再 考虑一个折减系数将出口断面平均流速转换为流域平均汇流速度。该法优点在于 充分考虑了流域汇流的非线性特点，无论在各场雨洪之间或同一场雨洪之中，只 要雨强不同，采用g i u h 即随之不同。当雨强增大到一定程度时，可以采用某定 值对非线性外延予以控制。对于确定存在良好v i 关系的流域，使用该法确定 g i u h 的动力因子后一般能取得较好的计算效果。 此法使g i u h 不仅能用于解决工程地点设计洪水计算，同时还能用于流域水 文预报。 2 以洪峰滞时t d 作为流域平均汇流时间并据以计算流速 定义洪峰滞时t 。为净雨峰与实测洪峰闾的时距。计算流域内最大几场洪水的 t d 值，将其与相应的某种时段长的最大净雨强度i 建立相关关系。当净雨强度i 增大时，t 。逐渐减小并趋于某稳定值。以该值作为流域代表性滞时，进行地区综 合。 地区综合可采用多元回归法。回归因子可包括诸如流域面积、河道坡降、河 网密度以及各种地貌率。由于t p 表征流域平均汇流时间，故可假设雨水集中于流 域重心处，即距出口断面1 2 - - 1 3 总河长( l ) 处，利用公式v = ( 1 2 1 3 ) l t 。将 t p 换算成流域平均汇流速度v 。 此法概念明确，有关因素易于确定。由于t p 业经地区综合，故可用于无水文 资料地区工程地点的水文计算。 3 通过数值试验，建立半理论、半经验的流速公式 基本思路是：依据g i u h 理论的通用公式，用数值试验方法，选择某特定级 的河网、若干种一级河网平均长度l - 以及若干种流域平均速度和地貌因子，分 别计算g i u h 并摘取相应的洪峰滞时t p ，用多元回归方法求出q 级河网条件下 4 第一章绪论 ( v t p ) 与地貌因子的相关关系，进而拓展为相应于任意级河网的( v t o ) 与 地貌因子间关系。将式中的k 代之以地区综合的经验关系，从而锝到半理论、半 经验的流速公式。 该公式的精度很大程度上取决于t 。地区综合公式的精度。由于这种流速公式 的最终形式仅表达为流域几何状态和地貌因子的函数，故便于用来解决无资料地 区动力因子的内插计算问题，使g i u h 可以在无资料地区得到推广应用。 4 利用高水稳定流速作为平均汇流速度 一般的山区性河流，当水位达到一定高度后，流速趋于稳定，这种稳定流速 可视作缓变流速的平均汇流速度，亦即苏联加里宁定义的稳定情势下的流速，这 是一种很重要的水文信息。为此，分析各站的水位h 与流速v 之间关系，并合 理确定各站稳定的高水流速v 。，以v ；作为该流域的平均汇流速度。这种方法用 于计算设计洪水更有意义。 地貌单位线方法能否有效的用于无水文资料地区，关键在于能否在无水文观 测情况下求得合适的流域平均汇流速度。 5 在完全缺乏水文资料的地区，可以考虑利用经验流速公式 例如，1 9 8 2 年r l b r a s 等根据p s e a g l e s o n 的思路，从运动波理论出发，推 出如下流速公式： v = 0 6 6 5 t z ：6 ( i ，a n ) “4 口n = s o 5 n b 2 7 3 式中，i ，为净雨强度，以c n a h 计；a 。为流域面积，以k m 2 计；b 为河宽，以m 计；s o 为河道坡降，以小数计；n 为曼宁糙率系数。 利用e a g l e s o n b r a s 公式的难点，在于确定流域的平均糙率与河道平均宽度。 这两个参数具有相当的概化性，往往取决于计算者对于流域的熟悉程度。但是， 该公式具有一定的水力学基础，考虑了影响流速的几个主要地理因子，并可通过 净雨强度的变化，反映流速的非线性影响，因而较之其他经验公式更具有吸引力。 根据初步尝试，发现即使糙率因子处理的粗糙一些( 例如一律取作o 0 2 5 ) ，对成 果影响并不太大。而且，在使用这种经验公式时，若能对流域情况有较多了解， 对糙率和河宽做出合理的概化，最后的计算结果可望满足无水文资料地区的水文 第一章绪论 计算精度要求。 除了这类公式之外，在缺少水文资料的流域，甚至还可以直接采用汛期野外 浮标钡4 速等方法获得相应的高水流速作为g i u h 的动力因子等等。 另外也有学者提出用空间分布的流速( 陈绳甲，陈元深，1 9 8 6 3 2 l ；a g n e s e ， d a s a r o 和g i o r d a n o 等人( 1 9 8 8 ) 1 3 3 1 ；赖佩英，夏岑岭，1 9 8 8 3 4 1 ) ，而不是单 一的流速，因为他们认为水滴在坡地上的滞时被忽略或只是象征性的加以考虑， 在某些情况下可能造成很大的误差。 1 2 4g i u i - i 的应用 g i u h 从提出以后，就备受关注。因为g i u h 对水文资料的要求较少，故而 在无实测水文资料地区的洪水模拟，特别是设计洪水计算和小河站网规划等方面 有着明显的优势。 传统的流域设计洪水要通过大量的历史洪水的洪峰值进行频率分析，而使用 g i u h 推求洪峰就只需要流域的气候地貌资料。在e a g l e s o n 提出的洪水频率分析 通用框架( 图1 - 1 ) 的基础上，国内外的水文学者( h e b s o n ，w o o d ，1 9 8 2 3 5 】： c o r d o v a ，r o d r i g u e z ，1 9 8 3 口6 】；d i a z g r a n a d o s ，v a l d e s 等人( 1 9 8 4 ) 1 3 7 】：s i v a p a l a n ， w o o d ，b e v e n ( 1 9 9 0 ) 3 8 1 ；梁瑞驹等人，1 9 9 7 1 3 9 1 ) 纷纷提出使用g i u h 进行洪 水频率计算，以适应无资料地区的使用。 漉域参数f 图l 一1 洪水频率分析通用框架 水文站网规划是把各个测站及各个项目看作一个有机联系的网络，并对这个 网络内收集的水文资料，按照国民经济各方面实用的精度标准，进行相关、内插、 移用和对短系列插补延长，以此来提高站网产出的社会效益和经济效益。g i u h 以其独特的优点在小河站网规划方面有着广阔的应用前景，特别在径流规律相似 ( 水文相似) 、测验项目的调整、测站观测年限的调整f 7 1 、暴雨洪水计算参数1 4 0 l 6 第一章绪论 等方面，国内水文学者作了大量的工作，并取得了显著的成果。 1 3g i u h 的研究意义 水是人类生命和自然环境机能的基础。水循环是与人类最密切相关的自然循 环，而降雨径流过程又是这个循环中对人类最为重要的一部分。因此人们始终在 探求对降雨径流过程的认识。最初人们通过实测水文数据拟合获得了流域系统对 降雨的水文响应单位线( u h ) ，从此开创了流域洪水预报的先河。然而u h 概念只要求系统反应，并不联系流域的实际水力状态，对于整个过程的认识还是 不够的。在前人的工作基础上，有一批水文学者提出了地貌单位线( g i u h ) ，即 通过流域地貌特征来确定单位线。这样使得单位线的推求具有了明确的物理概 念，也使得单位线的使用摆脱了“黑箱”模式。同时由于地貌单位线定量地将地 貌因子引入流域响应以及较少的依赖流域水文资料，使得它成为最适合于无实测 水文资料地区的洪水模拟与预报。 随着人口的增长和社会的不断发展，作为人类生存基础的水资源的各种问题 将会不断增多。当前许多国家，特别是发展中国家，都在不同程度上面临着水资 源短缺、水环境污染和洪灾泛滥的问题。流域水问题的解决需要建立在充分掌握 本流域水文时空变化规律的基础上。但是目前在很多国家和地区的许多流域，所 掌握的水文数据信息并不足以满足建立足够精度的水文模型的要求，或是由于各 种自然条件与人为因素的限制，一些基础性的水文数据都无法取得。另外，现有 的人类生存空间已经不能满足日益膨胀的人口的需求，此时人类必然向一些未曾 有人类涉及的区域去探索和开发。这些地方当然也不会有水文实测资料。面对现 实，水文学家们不得不开展无资料地区的水文模型研究以获得能够解决水问题需 求的相关数据。 我国是世界上最大的发展中国家，拥有9 6 0 万平方公里的国土面积。根据 最新的站网普查，我国有国家级、省级和一般水文站点共计3 0 0 0 余个。站网稀 疏而且分布不均，多集中在经济较为发达、人口较多的中、东部地区，而作为众 多大江、大河的源头和上游区域的话部地区( 如长江、黄河的源头青藏高原1 以 及一些国际河流站点密度就非常低，这就对我国经济发展造成了潜在的不利因 素。比如在西藏、云南等高原地区有着很多的无人区，这些地区没有水文站进行 日常观测，当然也不会有率定好参数的水文预报模型。然而这些地区往往是通向 7 第一章绪论 国外河流的上游，有的关系到一部分下游居民的生命和财产，有的造成误解甚至 影响国际关系。另外国内一些地区随着经济的发展，原本不重要的地方建起了乡 镇，而在这些地方的防洪却是一片空白。因此这些无资料地区都迫切的需要一个 能实时预报洪水的模型，至少对于决策者能在第一时间掌握当时或即将到来的洪 水情况。因此，除了加大站网投入外，在现有站网的情况下必须加强对无资料地 区水文模拟的探索。 随着对无资料地区水文模拟的更加重视，g i u h 的作用将越来越大。作为近 年来发展起来的一种新的汇流途径，g u h 已经在无资料地区水利工程设计洪水 的计算和水文站网布局等方面展现了广阔的应用前景。但是g i u h 还存在着一些 不足，应用还不够广泛，特别是在新技术条件下，g i u h 还没有发挥其优势。因 此，对g i u h 的研究不仅是对降雨径流过程的一个重要认识，对社会经济的发展 也是有现实意义的。 1 4 本文研究内容 g i u h 作为近年来发展起来的一种新的汇流途径，其拥有定量的将地貌因子 引入流域响应以及较少的依赖流域水文资料的优点，是当前最适合无资料地区水 文预报的方法之一。随着对无资料地区水文模拟的重视，以及地理信息技术，数 字高程模型、计算机技术的发展等为g i u h 的应用和发展提供了有力支持。 因此本文的研究内容是 1 ) 用地理信息系统技术对数字高程模型进行提取分析，以获得g u h 中所 需的地貌参数及其他流域信息； 2 ) 通过分解流域汇流过程来分析g i u h 中输入的净雨的不同水源的作用， 提出使用河网总入流来代替净雨输入； 3 ) 提出g i u h 与新安江模型的耦合，以实现一个完整的水文模型，来进行 径流的连续模拟。 第二章r - vg i u h 及其通用公式介绍 第二章r - vg i u h 及其通用公式介绍 2 1r - vg i u h 基本思想 当一个单位体积的净雨在瞬间均匀的降落在流域上，随后在流域的出i e i 处形 成了一条累积出流过程v ( t ) ( v ( t ) =) ，如图l 所示。对v ( t ) 求导即得 o f q ( t ) d t 2 - 流域的瞬时单位线( d v ( t ) ；i u h ) 。 n t v ( t ) 1 0 图2 - 1 水量累积过程线图2 2 汇流时间概率分布曲线 设想一个单位体积的净雨含有r 1 个水质点，它们均匀地散布在流域上，各个 水质点都有自己的汇流时间( 或称等待时间) ，然后在流域出口测定不同汇流时 间所对应的频数f ( 即各汇流时间的水质点数占水质点总数的百分数) 。点绘累积 频率分布曲线如图2 - 2 。定义该曲线为汇流时间概率分布曲线，相应得频数分布 为汇流时间密度函数。由于上述概率分布曲线是水质点的频数所构成，故等价于 图1 2 中的水量累积曲线。这条概率分布曲线告诉我们：在t 时刻流过出口断面 的水量是由不同地点但汇流时间f 相同的水质点组成的。在t 时刻，凡t t 的水 滴全部流过出口；留存在流域内的是tq 的那些水滴，显然汇流时间概率分布曲 线的导数就是瞬时单位线。正因为如此，就可以用概率论来研究水滴的状态与转 移。鉴于水滴运动的随机性质，因而可以引用无后效的马尔科夫转移概率；为了 考虑等待时间，还必须引入动力因子流速。 由于雨滴降落的初始位置决定了它开始流动的起始状态，所以必须引入初始 概率0 ( 0 ) 描述这一特征。同时，用状态转移概率描述水滴自降落地点逐步向较高 级河道的流动( 转移) 在描述水滴转移时，除了需要状态转移概率p i 外，还需 q 第二章r ，vg i u h 及其通用公式介绍 有汇流时间分布的时段转移概率吼( t ) ，才能完整描述水滴沿程的转移规律。由于 初始概率与时段转移概率相互独立，故初始状态i 具有q 种( 即河网级别数) ， 全部水滴沿不同流程在t 时刻到达流域出口的概率o i 当为岛( o ) 吒( t ) o = q + 1 ) 。 此即前述的概率分布。对其求导即为地貌瞬时单位线u c t ，= 未 姜萌c 咿中i j ( t ) 。 由此可见，g i u h 数学模型的建立即在于寻求初始概率e i ( o ) 和时段转移概率 m q ( t ) 。 2 2g l u h 公式推导 g i u h 公式的推导是非常复杂的，因为河网中的水文响应的马尔科夫过程 ( 包括初始概率、状态转移与时段转移) 的求解。本节将以3 级河网为例进行说 明。 2 。2 1 马尔科夫过程 满足无后效性的过程称为马尔科夫过程。因为水流不能停滞不前，更不能倒 流，所以河网中水流的运动可视为马尔科夫过程。水流的马尔科夫过程同样具有 状态、路径和状态转移。定义如下，并以三级河网为例解释( 如图2 3 ) 。 1 ) 状态：流域中水质点在流域内所处的空间位置，具体指某级河流或相应 的坡面。在图2 0 中指c 1 ( 一级河流) 、c 2 ( - - 级河流) 、c 3 ( 三级河流) 以及 c 4 ( 出口) 。 2 ) 路径：由各水质点从初始状态按流域汇流的先后顺序组成的集合。它表 示了水质点在流向流域出口的过程中流经的过程。 如图2 3 中，3 级河网的路径为： s 1 ：q 呻c l c 2 斗c 3 一c 4 s 2 ；h 斗c i 斗c 3 _ c 4 s 3 ：r 2 甘c 2 一c 3 _ c 4 s 4 ：r 3oc 3 _ c 4 1 0 第二章r - vg i u h 及其通用公式介绍 3 ) 状态转移：水质点从一个状态流向下一个状态。图2 - 3 中，p 1 2 ，p | 3 ，p 2 3 p 3 4 即是状态为c 卜c 2 、c 3 的水质点的无后效性转移。 2 2 2 初始概率 图2 33 级河阙水流马尔科夫过程示意图 初始状态概率鼠( 0 ) 为雨滴在开始转移前处于流域中某种位置的概率。由于 假定净雨均匀分布在流域内，因此各级河流相应的集水面积a ：占全流域面积a ， 的比值，即代表各状态i 的初始概率o i ( 0 ) 。 b ( o ) = a ：a t ，岛( o ) = a ；a t ，b ( 0 ) = a ：a 。 ( 2 1 ) 式中a i 指第i 级河流的集水面积。由于它不包含低于i 级河流注入面积，故 a ：可视为“纯”区间集水面积，如图2 - 4 所示。 图2 - 4 流域分级示意图 在r - vg i u h 理论中，用河网连接数的比值计算平均的、理想的各级河流集 第二章r vg i l v i - i 及其通用公式介绍 水面积a ? 。设i 代表每条第i 级河流平均总集水面积( 包括低于i 级但汇入i 级河流的集水面积，有别于a ：) ，n i 代表第i 级河流数。以3 级河网为例 a ：= n 1 a l ( 2 2 ) 由定义可知，a ：为扣除1 级河流相应的集水面积后“纯”2 级区间面积。 由丽司知，注入2 级问沉的i 级间流总数有n l ( 2 ) 条( 包括形成2 级洞流的2 n 2 条1 级河流，以及注入2 级的单支型1 级河流) ，按平均计，每条2 级河流有 n 1 ( 2 ) n 2 条- 1 级河流注入。由于1 级河流的平均面积为一a i ，故每条2 级河流集 水面积中所包含的l 级河流面积为石弓等。又因2 级河流总面积为i ，因 此( - 警卜然就代表扣除- 级河流集水面积后胪肌级河流平均区 间面积。就全部2 级河流而言，总纯区间面积a ：如下： 夺n ：p 石等 ：n 2 石一石( 觜+ z 协。， 最高级( 本例为3 级) 河流的纯区间面积为总流域面积a ，与1 、2 级河流相 应的面积a ：、a ：之差，即 夺小c 小a ；) = a t - n 2 瓦一i n l - 等制： c 2 4 ， 以上论述，可以推求a ：的普遍公式。以5 级河网为例：a ：应当是五。中扣 除注入4 级的1 、2 、3 级河流面积，即五t n 。( 4 ) ，x 2 n ：( 4 ) 及_ 3 n ，( 4 ) 。在每条 ，3、 4 级河流中则有 五n ；( 4 ) n 。i 条1 、2 、3 级河流相应的面积注入。平均而论 b l 从平均的j 级河流面积中扣除注入j 级河流的低级河流面积为： 一a j = 耻斟剥 沼s ， 再乘以n ，即代表直接注入j 级河流的区间面积a ： 第二章r vg 1 u h 及其通用公式介绍 a ：= n ，五。一善五t 。n n i p ，i i 1 c z s ， 根据初始概率的定义，1 9 8 0 年v k g u p t a 给出了如下通用公式： 肿，= * 一塾n i p i j 沼， 为使最终参数n j 、x 。以及p i i 能用r e h o r t o n 地貌律参数表示，我们引入转 换关系，先考察3 、4 级河网： = 是鼍= r s r n = r 2 ( v n 3 = 1 ) 毕鲁州，姐a a il a 3a 3 a l n ：生 n 。 = = ：= = - = = - a 2 a 】a 3 t a 2 堕：r 。： n 。 。 n ，：导n 4 ：r 。 “4 a 1 a 。 = r 土r 一= r ： a ，a 8 。n 。= 1 ) = = = = = 1 = = + ：= = = = 一= - 一 a 2 a i - a 3 a 2 a 4 i a 3r a 。r a r a 等2 丽靠a a 3 矾：a 4 a 3 a 2 d “ 筹= 志a a 3 趣：a 44 “ 1 3 = r ? 畦 d = r 屯一“ 姐 盟h l 盟m百时崔 一a a 叫 n 第二章r - vg i u h 及其通用公式介绍 由此可以综合出下述公式： n ，( q ) = r f 3 ) ( 2 8 ) 筹= r 一 ( 2 9 ) 式中q 为流域内最高河流级别。将各式代入初始概率通用公式。仍以q = 3 为例： b ( o ) ：a ；a 3 ：n , x i a 3 ：r b 2 k - 2 ( 2 1 0 ) 卿m m ，吼卜五t ( 特+ z ) 么，= 惫案 ( 2 1 1 ) h 撕啪， = 1 - r b r a - 等幕p r j 弦 2 2 3 状态转移概率 状态转移概率表示事物从状态i 转移到状态j 的概率。在河网汇流中，状态 转移概率p i i 的定义如下： 。注入第j 级河流的第i 级河流数 叫 第i 级河流总数 按照s t r a h l e r 河流分级法，2 条i 级河流形成1 条( i + 1 ) 级河流。设i 级河 流数为n i ，则其中有2 n i + 1 条i 级河流形成( i + 1 ) 级河流，剩余的( n i 2 n i + 1 ) 条单支型i 级河流则注入高于i 级的河流。侈| 如一个3 级河网中有n 1 条l 级河流， 其中有2 n 2 条l 级河流形成2 级河流，剩余的( n l - 2 n 2 ) 条单支型1 级河流则分 别注入2 级与3 级河流中。在天然流域中，河网比较复杂，1 级河流往往数以百 计，若靠人工计算p i i 值是很繁琐的，因而需要进行数学概化，即寻求某种分配 比例将剩余的单支型i 级河流分配到高于i 级的各级河流中去。这种概化模型就 是计算各级河流连接数占等于或大于该级河流的连接数之总和的比值，。该比值 愈大，则假定被分配到该级河流的单支型河流愈多。以3 级河网为例，剩余i 1 4 第二章r vg i u h 及其通用公式介绍 级河流的分配比例为 矿瑟纂篆丽盱z 2 级与3 级连接数之和 。 这样，注入2 、3 级河流的单支型1 级河流分别为y ：( n l 一2 n ：) 与 y 3 ( n l 2 n 2 ) 。1 9 7 2 年j s s m a r t 给出了j 级连接数e ( j ，q ) 计算公式： e ( j ，鳓= n j 口= 2 i ! in 2 n , , _ 。t 一- 1 1 ( j 2 2 ，3 ，) ( 2 - 1 3 ) 下面给出一个3 级河网计算p i j 的示例。按j s s m a r t 公式，在3 级河网中， 2 、3 级连接段总数分别为： 故 e ( 2 ，3 ) = n ：面( n i 可- 1 ) e ( 3 3 ) = n ，两( n j l - 1 ) 两( n 2 两- 1 ) ( n 2 2 1 ) y ； 里塑2：旦l 。e ( 2 ，3 ) + e ( 3 ，3 ) 2 n 2 1 ，；星鱼：兰一：竖 “e ( 2 ，3 ) + e o ，3 ) 2 n 2 1 注入2 级河流的单支型1 级河流有y ：( n , - 2 n 2 ) 条，即五j ( n , - 2 n 2 ) 。 此外，尚有2 n 2 条双支型1 级河流，因此注入2 级河流的1 级河流总数有n l ( 2 ) 条： n l ( 2 ) = 2 n ：+ 熹( n , - 2 n ：) 注入3 级河流的i 级河流中没有双支型i 级河流，所以单支型1 级河流数就 是注入3 级河流的1 级河流数， y 3 ( n 。一2 n 2 ) 条，即： n l ( 3 ) = 筹( n , - 2 n ：) 有了n i ( 2 ) 与n i ( 3 ) ，即可求得p 。，及p 。 第二章r vg 1 u h 及其通用公式介绍 耻等：2 n 2 + 专n 2 ( n 1 一- 2 n 2 ) 刈啦，2 n 2 1 ) n + ：瓮 “ ，1 、1 一 一 i川1 耻等：坐n 2 - i ( n i 一_ 2 n 2 ) ：粉铲 同样运用“二叉树”的原则求p 2 3 ：即2 条2 级河流形成1 条3 级河流，剩 下( n 2 2 n 3 ) 条单支型2 级河流直接注入3 级( 即最高级) 河流，分配比y ，= 1 。 换言之，单支型的2 级河流数为( n 2 - 2 n 3 ) ，双支型的2 级河流数为2 n s ，因而 注入3 级河流的2 级河流数n 2 ( 3 ) 蔓j ：n 2 ( 3 ) = n 2 2 n 3 + 2 n 3 = n 2 ，故 p 2 3 警= 熹= 1 9 8 0 年，v k g u p t a 给出如下计算状态转移概率的通用公式： b =( m 一2 n j + 1 ) 百盟 点( k ，q ) n 一 、 k = t + l 式眠u = 矗当篙： 2 2 4 时段转移概率 + z 等。( 2 - 1 4 ) 状态转移概率没有考虑水滴在各级河网中的等待时间，亦即水流的汇流时 间，因此仅仅利用p 。i 是不够的。 设水滴从i 到j 的等待时间为7 r 亦即在t 时刻，凡7 日 t 的水滴尚在途中，或者说还在“等待”状态。因此，在考虑时 段状态转移概率时应计算气 t 两部分水滴的等待对间概率a 一、矗 t 时的等待时间概率分布 舀是一种任意正值的随机变量，其擐率密度函数为h ；，( i ) ，由于水滴状态转 1 6 第二章r vg i u h 及其通用公式介绍 移的终点不固定，因此等待时间是无条件的，以f 表示。显然，f ；的概率密度；( f ) 为状态i 转移到任意状态j 的概率之和。 n 珊。( 小= 即o ( f ) i = l ( 2 1 2 ) 水滴由状态i 流到状态j 有多种途径，如图所示，可先由i 到a ( a = l ，2 ， n ) i a j ，再由a 到j 。若从i 到j 的等待时间为t ，由i 到a 的等待时间为f ，则 由a 到i 的等待时间为t f 。显然，由i 到a 的一种可能的等待概率为 e , h 。( f ) 妒( t f ) ，这里的庐( t - r ) 代表在( t r ) 时段内水滴由a 到j 的转移概率。 对于a 的全部取值范围以及对于某一特定的f 所相应的等待时间概率应为 n p i h ( f ) 九( t a ) 。由于f 是随机变量，可在t 范围内取值，故对吒 t 时的等待时间概率分布 因为i ( f ) 是f i j t 的等待时间概率分布函数，即 龟( t ) = 瞄i ( r ) d r i 三、所有水滴的等待时间概率分布 ( 2 1 4 ) 就水滴从i 转移到j 的全部可能性而言，其等待时间概率分布丸( t ) 为： 丸( t ) ；岛西i ( t ) + t 侄np