（水文学及水资源专业论文）多维联合分布计算理论在南水北调东线丰枯遭遇分析中的应用研究.pdf

摘要 摘要 随机水文事件的定义和描述以及不同水文事件组合概率的计算，在数学上，可以采 用多维联合分布进行求解。我国水文分析中通常假定水文变量的分布总体为皮尔逊i i l ( p - i i i ) 型分布，因此，本论文重点研究了多维p i i i 联合分布的计算方法。 本论文研究了五种多维p i i i 联合分布的计算方法，包括基于正态变换的m o r a n 方法、基于经验频率分析的e f m 方法、理论导出的二维p i i i 联合分布的t a n 方法、将 多维分布转化为一维分布的f e i 方法、不需要假设分布总体的f g m 方法。采用蒙特卡罗 ( m o n t e c a r l o ) 随机模拟技术，对以上方法中存在的关键性问题进行了深入的研究， 包括：m o r a n 方法中两种数据正态变换工具的比较研究，即b o x c o x 变换及p n t 变换的 变换后样本的正态性、反变换估计总体设计值的比较研究：f e i 方法中一维随机变量频 率分析方法的对比研究，即p n t 法及l - m 法对总体设计值的比较；五种多维联合分布计 算方法的比较研究。 本论文将多维p i i i 联合分布的计算方法应用于南水北调东线工程不同水文区年 径流丰桔遭遇分析，对南水北调东线工程的调水潜力进行评价，对各种多维联合分布计 算方法进行比较，与统计试验结果进行验证，推荐合适的水文事件遭遇概率的计算方法。 多维p - i i i 联合分布计算方法的比较分析表明，t a n 方法在其适用范围内最优，否 则以m o r a n 方法成果最好，f g m 方法适用于弱相关，f e i 方法成果不稳定，传统的e f m 方法受系列长度影响较大。 南水北调东线工程年径流丰枯遭遇分析表明，东线工程各水文区的丰枯同步频率一 般都小于丰枯异步频率，丰枯变化的不一致，造成了水资源时空分布的不均匀，有利于 调水的频率较大，为跨流域调水提供了有利条件。 关键词：多维联合分布；p - i i i 型分布；正态变换方法；蒙特卡罗技术；南水北调东线 工程；丰枯遭遇分析 a b s t r a c t i nm a t h e m a t i c s ac o m p l e t ed e f i n i t i o na n dd e s c r i p t i o no fh y d r o l o g i c a le v e n ta n d c a l c u l a t i o no f e n c o u n t e r i n gf r e q u e n c yf o rh y d r o l o g i c a lv a r i a b l e sc a n b es o l v e db yt h e t h e o r yo fm u l t i v a r i a t ej o i n tp r o b a b i l i t yd i s t r i b u t i o n a r i t h m e t i c o ft h em u l t i v a r i a t e p e a r s o n t y p e - t h r e e ( p - i i i ) j o i n tp r o b a b i l i t yd i s t r i b u t i o ni si n v e s t i g a t e d i nt h i st h e s i s ， c o n s i d e r i n g t h a tm o s th y d r o l o g i c a lv a r i a b l e s ，i nv i e wo f s t a t i s t i c s ，a r ec h a r a c t e r i z e db y p i i i p r o b a b i l i t yd i s t r i b u t i o n s f i v ec o m p u t a t i o n a lm e t h o d sf o rm u l t i v a r i a t ep i i ij o i n tp r o b a b i l i t yd i s t r i b u t i o n a r es t u d i e d ，i n c l u d i n gt h em o r a nm e t h o db a s e do nn o r m a l i t yt r a n s f o r i n ，t h ee f m m e t h o db a s e do ne m p i r i c a lf r e q u e n c ya n a l y s i s t h et a nm e t h o db a s e do nb i v a r i a t e p 。i i i o i n tp r o b a b i l i t yd i s t r i b u t i o n ，t h ef e im e t h o do ft r a n s f o r m i n gm u l t i v a r i a t ej o i n t p r o b a b i l i t yd i s t r i b u t i o ni n t ou n i q u ev a r i a b l ep r o b a b i l i t yd i s t r i b u t i o n t h ef g m m e t h o d a p p l i c a b l et oa n yd i s t r i b u t i o n s t u d i e so nv a r i o u sc h a r a c t e r i s t i c so f t h e s em e t h o d sa r e c a r r i e do u tb ym e a n so fm o n t e - c a r l ot e c h n i q u e i n c l u d i n gc o m p a r i s o n so fs t a t i s t i c a l f e a t u r e so nt h en o r m a l i t yo ft h et r a n s f o r m e ds a m p l e sa n dt h ee s t i m a t i o no nq u a n t i l e s t h r o u g hr e v e r s et r a n s f o r mb e t w e e nt w on o r m a l i z a t i o na p p r o a c h e sf o rm o r a nm e t h o d ， n a m e l yb o x - c o xa p p r o a c ha n dp o l y n o m i a ln o r m a l i t yt r a n s f o r m s ( p n t ) ；c o m p a r i s o n s o nq u a n t i l ee s t i m a t i o n sb e t w e e nt h em e t h o do fl i n e rm o m e n t s ( l m 、a n dp n t ； c o m p a r i s o n sa m o n g t h e s em e t h o d sa r ea l s op r e s e n t e d t h e s ec o m p u t a t i o n a lm e t h o d so fm u l t i v a r i a t ep - i i ii o i n tp r o b a b i l i t yd i s t r i b u t i o n a r ea l s o a p p l i e dt o t h ea n a l y s i so f p l e n t i f u l o r s c a n t yr u n o f fe n c o u n t e r i n ga m o n g r e g i o n sw i t h i nt h er a n g eo fs o u t h - t o n o r t hw a t e rt r a n s f e rp r o j e c t ( e a s ta r e a s ) ，t h e p o t e n t i a lo f w a t e r t r a n s f o ri se v a l u a t e d a tt h es a m et i m e ，t h e s em e t h o d sa r ec o m p a r e d b yo b s e r v a t i o nd a t aa n dv a l i d a t e db ys i m u l a t e ds a m p l e s u p o nw h i c hm e t h o d sa r e e v a l u a t e da n dr e c o m m e n d e d r e s u l t si n d i c a t et h a tt a nm e t h o dc a no f f e rm o r e r e a s o n a b l es o l u t i o ni fi t sm a t h e m a t i c a lc o n s t r a i n t sa r em e t ；o t h e r w i s e 。m o r a nm e t h o d i s s u p e r i o r ；f g mm e t h o di sa p p l i c a b l et o v a r i a b l e sw i t hw e a kc o r r e l a t i o n s ；f e i m e t h o di su n s t a b l ei nc a l c u l a t i n gt h ef r e q u e n c yf o raj o i n tp r o b a b i l i t yd i s t r i b u t i o n ； e f mm e t h o di si n t e n s i v e l ya f f e c t e db ys a m p l e l e n g t h ， a n a l y s e so nt h ee n c o u n t e r i n gf r e q u e n c yo fr u n o f fa m o n gr e g i o n sa l o n gt h e s o u t h t o n o r t hw a r e l t r a n s f e rp r o j e c t ( e a s ta r e a s ) a r ew 0 r k e do u t r e s u l t ss h o wt h a t s y n c h r o n o u sf r e q u e n c yo f m n o f f e n c o u n t e r i n gi ss m a l l e r t h a na s y n c h r o n o u sf r e q u e n c y a n di n t e n s ev a r i a t i o n so fr u n o f ! fr e s u l ti nt h eu n e v e nd i s t r i b u t i o no fw a t e rr e s o u r c e s o v e rt h es t u d i e dr e g i o n s i ti sf o u n dt h a tt h ef r e q u e n c yf e a s i b l et ot r a n s f e rw a t e rf r o m s o u t ht on o r t hi sr e l a t i v e l yh i g h 。w h i c hi m p l i e st h a tt h e r ei san a t u r ea d v a n t a g et o m a k et h e p r o j e c tap o t e n t i a lm e a s u r e k e y w o r d s ：m u l t i v a r i a t ej o i n tp r o b a b i l i t yd i s t r i b u t i o n ；p e f l r s o l l - t y p e - t h r e ep r o b a b i l i t y d i s t r i b u t i o n ； n o r m a l i z a t i o n t r a n s f o r m ；m o n t e c a r l o s t a t i s t i c a l e x p e r i m e n t ； s o u t h t o - n o r t hw a t e rt r a n s f e rp r o j e c t ( e a s ta r e a s ) ；r u n o f f e n c o u n t e r i n ga n a l y s i s 学位论文独创性声明： 本人所呈交的学位论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及 取得的研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外， 论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果。与我一同工作的同 事对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示了谢 意。如不实，本人负全部责任。 论文作者c 签名，：二i 军墨；一，年j 月z 日 学位论文使用授权说明： 河海大学、中国科学技术信息研究所、国家图书馆、中国学术期刊 ( 光盘版) 电子杂志社有权保留本人所送交学位论文的复印件或电子文 档，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文。本人电子文档的内 容和纸质论文的内容相一致。除在保密期内的保密论文外，允许论文被 查阅和借阅。论文全部或部分内容的公布( 包括刊登) 授权河海大学研究 生院办理。 论文作者( 签名) 年7 月圹日 第一章绪论 第一章绪论 1 1 问题的提出 随机水文事件一一般比较复杂，具有多方面特征属性，为了全面了解其统计规律， 需要从多个角度对它进行定义和描述。但是由于全面分析水文事件需要大量的数据资 料和复杂的数学计算，在实践中很难实行，往往只挑选某个最重要的特征属性来代表 水文事件，然后进行分析。例如，在洪水频率分析中，洪水的特征属性包括洪峰、洪 量、峰现时间、洪水历时、洪水发生次数等，但在实际应用中，往往是对各要素单独 进行频率分析，没有或者很少考虑这些变量之间的相互关系。近年来，水文事件各方 面相关性及其联合概率计算问题得到了深入的研究，取得了一定的研究成果“3 1 。 水文事件遭遇组合概率的计算是水资源规划、水文分析计算中的常遇问题。如： 拟定设计洪水的地区组成时，往往需要考虑不同区间的来水遭遇；沿海地区城市防洪 规划时，需要考虑风暴潮、上游洪水、区间暴雨等水文事件的遭遇概率；跨流域水资 源调配中，需分析不同水文区径流或降雨的丰枯遭遇情况；暴雨洪水共同作用下的风 险分析，需要考虑多变量防洪计算问题。对于这类问题，通常采用的分析研究方法有： ( 1 ) 建立水文变量相互之间相关关系，通过相关关系确定遭遇概率；( 2 ) 选择若干典 型年，分析典型年各水文变量的相互关系；( 3 ) 根据同步水文系列，采用经验频率方 法确定遭遇概率。这些方法偏重于实际应用，理论上并不完善。近二十年来，国内外 的学者不断提出了新的研究思路及研究方法“1 3 。 随机水文事件的定义和描述以及不同水文事件遭遇组合概率的计算，在数学上， 都可以采用多维联合分布进行求解。但在实际应用中，利用多维联合分布理论进行水 文分析计算的研究较少，主要原因在于水文变量多维联合分布的显式表达式不易获得， 只有正态分布、对数正态分布等少数几种分布可以推导出多维联合分布的解析表达式。 我国水文分析中一般假设水文变量服从皮尔逊i i i 型( p i i i ) 分布，而多维p i i i 联合分 布的解析求解相当困难。 本论文针对多维p i i i 联合分布，对其各种计算方法的适用范围及性能进行比较， 推荐合理的水文事件遭遇概率计算方法，并应用于南水北调东线工程不同水文区径流 丰枯遭遇分析，对南水北调东线工程的调水潜力进行评价。 ? i ，拜鞋夫学壤学位论文多缝联台分毒计算理论奁蓠承毙渊末线丰掂避避泠辑中抟瘟霹麟究 1 2 研究的现实意义 南拳就调王疆楚簿决我溺托方遗嚣拳瓷滚严重戆筑鲻题熬重大藏戆举箍，经过半 个瞪纪的研究，籍划确定分尉然长江上、中、下游两j 方调东的淹承j 调东、中、嚣 三条调水线路，形成与长江、淮河、黄河和海河相互谶通的“四横三纵”总体格局。 东线工程筑长江下渗子滚鞍隶，基本沿索抗运河囊j i 送水。在乾方瘩炎滚配受熬蕊毒搴 格简中，考虑零线工程谴鬣编东，遗势较低，叛定葵 鼗东区域秀黄溶海平舔东部耥国 糸半岛，主要供水目标为解决东沪铁路淤绒和山东半岛盼城市缺水，并为农业斧h 生态 环壤羚承踊。 长江是我黼最大的河溅，永资源丰富，率秸变纯横对较小，多年平鹚径流鲎魏9 6 0 0 己矗，特枯年也肖7 6 0 0 亿村，每年长波的入海水璧鳓占天然径流爨的9 4 以上。也 簸怒滋，长 登= 事鬣匏瘩资滁攀黢土壤势澜节我嚣南j g 承淡澡瑟空分蠢举跨豹毽怒承漾 酶。淮河流域蕊体上永资源较为缺乏，德魑在某些丰求年份，承资深瓷较为丰霞，因 此从淮河流域渤黄河调水可成为长江调水蛉补充。在向激溯以北地港补水的大嚣标羚， 秘鲻淀壤涵较滚戆丰疆互棼，在可憩豹游淤下，自黄淫下游衽穰羚求，茸藏轻鞭滚影 响，改善其生态环境。南求藏澜工程蹩褰鬻我国求资源南北调配、系谣互济，穗筑我 豳灏淮海流域乃麓整个北方地区经济社会可持续发展的水资源保障体系的有效途裰。 强l 邈，疆窕裔承j l 灞客绫工程彝黄溪替承( 汪灌隶互补浅靶方疆承) 静霹魏羲，避褥 开餍东线工耧鞠辘向黄河补承磷究是十分必骚和追切鹃。 不同水文瞰浓水丰桔的避遇性是跨流域水资源调粼的重要依据，它直接影响了谓 承王疆翡可靠瞧嗽。撮覆鬻承悲调东凌熬姆点，本磅究选择长、弪孛下游、瀑溪、黄溺中 下游径流代袭嫡，采用多绻联合分布的计黧方法进行年较流分析，研究长江中下游、 淞涎、黄河中下游来水事桔邋遗情况，提嫩适合 水时槐和不适会孙农时机的檄遂镒 逐，哥是囊承l 溪工程囊剡浚诗及稿秘引东提供沿线各承文遂塞资源蓬及其分布兹鹜 暴信息，为研究永线工程向黄河补水提供基础。 l 。3 翟蠹外磷究魂态 1 3 1 一维交爨的水文分析 维变量水文分柝是多变麓水文分掇麓礁。 承文分橱中瓣要信诗东文变董熬籀瘦颓率兹竣诗 囊，承文设诗禳豹筵诗遴攀鸯参 藏鸯鏊设 数和非参数方法之分，参数方法先假定总体分布型式，再估i 1 分布参数，根据分布函 数榷豫设计嶷。 参数方法不嚣要假设总体分毒型式，蹇接由样本髂诗设诗菹。 舀翁，参数估计弱方法耱对成熟，弱内外麴研究者都骰了丈鬣豁研究工作。丛树 铮等”1 对矩法( m o m ) 、极大似然法( m l ) 、计算机寻优适线法( f i t ) 等方法谶行了 大囊匏统计试黢，谖为在一般情嚣下绝对蕊适线准粼缝合w e i b u t l 绘点公式戆逡线法鳇 耩发最好。美灏g r e e n w o o d 等人“于t 9 7 9 年提密概攀权重矩法( p w m ) ，丁晶、宋德 敷等人3 在此黻础上把它推广到p i i i 型分布中。马秀峰”于1 9 8 4 年提出权函数法，通 过壤少蝼矩麓寒提高菇诗精度，露后支光文“”提出了滚避投函数法，粱枣甓“4 “5 1 、 豫元芳。8 等先籍进行了进一步的研究。h o s k i n g 等“予1 9 9 0 年提密了线性矩法( l 。m ) 。 l ，m 法理论上与p w m 法等价，但更容易解释，应用方便，是一种统计性能优皂的参数 健诗方法； 1 9 8 1 年，t a n g 和m a y ( 1 9 8 t ) 首次将菲参数统计方法自藤法应用于永文频率 分析中，此后非参数方法得剿广泛研究。a d a m o w s k i “”( 1 9 8 5 ) 首次将非参数核密度估 诗瘫臻与东文频率势辑，以实溅滤承瓷瓣为算镑，嚣参数棱密度话计法攘末懿洪求设 计值与参数统计模型( 三参数对数正态分布，对数疫尔逊型分布，檄德分布) 摧求的结 聚相近，可用于设计洪水。a d a m o w s k i “”( 1 9 8 9 ) 根据实测年洪水资料将非参数核密度 估计法与参数摸整蘸不霆鬟魂麓洪隶设秘。德进嚣了对魄辑塞， 蕈者在该文孛捷霜鼷定 缓和变化核两种不同的核密壤函数，通过m o n t e c a r l o 试验得出以下结论：非参数核密 度估计法适合于各种分布的洪水资料，能给出可靠的淡水设计值：变核估计法比固定 核髅谤法更其有遥矮缝。燹球天戮( 1 9 9 0 ) 弓 焉饕参数棱密痰毽计络台再拯群煞方洼 滋行水文频率分析研究，通道大量模拟试验表明非参数方法的稳键牲最好，其计算结 粜与各总体的较优参数估计方法的计算结果近似。郭生练9 ”( 1 9 9 1 ) 在考虑我围察测 资秘不太长两掰吏漠拳器吉洪拳骚究又缀有特色戆祷提下，挺窭了毒虑赁变洪求鞠吉 淡水的菲参数核密度估计法。由于非参数在进行统计撼断时，不需蕊假设样本的总体 分布，所以彳芏往恩有优良的统计性能，特别地，与参数方法相比，估计的稳健性掇好， 当臻予努辑诗箕蛉隶文样本缀威复杂霹，嚣参羲方法燹逶矮。 此外还有一类方法兼谢势数与非参数方法的特点。s c h u s t e ra n dy a k o wi t z 嫦。“ ( 1 9 8 5 ) 提出t 一种兼有参数方法与非参数方法的核密度估计法，并证明了这种方法 的育效链。y e o u * k o u n gt a n g 。”霹0 0 棼褥多项式正态变换方注( p n t ) 疲震与甭确宠努 河海大学坝上学位论文多维联台分布计算理论在南水北调东线丰精遭遇分析中的应用研究 析，p n t 法是先将样本变换成正态分布样本，再对正态分布进行估计，然后通过一 变换得到对原始分布的估计。因为不需要假设原始水文变量的分布线型，所以本质上 属于广义的非参数方法，但仍兼有参数方法特点。另外一种常用的变换方法是b o x c o x 变换，与p n t 法的求解思路类似。 l _ 3 2 多维变量的水文分析 目前的国内外研究中，多维联合分布的计算以二维联合分布求解较为成熟，对三 维以上联合分布的求解较为困难。以下分别对多维变量水文分析的计算方法进行介绍。 1 3 2 1 超定量洪水频率分析 为了更大限度利用实测资料的信息量，上世纪6 0 年代以来，一种新的洪水频率分 析模型方法p 盯t i a ld u r a t i o ns e r i e s ( 简称p d s ) 模型，也称作p e a ko v e rt h r e s h o l d ( p o t ) 模型被提出并得到了发展。传统的年最大值模型( a n n u a lm a x i m a ls 甜e s a m s ) 每年选择一个最大值，实际上，丰水年的第二大值、第三大值可能比枯水年的最大值 要大，而p d s 模型选取的样本为大于门限值的那一部分洪水观测值，通过设定门限值 选取样本的方法能够避免a m s 模型的缺陷，获取更多的信息。 p d s 模型与我国的超定量理论本质上是一致的。”，因此称p d s 模型的样本为超定 量样本，p d s 模型的样本数为超定量发生次数。 经典的p d s 模型包含三个基本假定。：( 1 ) 超定量发生次数服从p o i s s o n 分布；( 2 ) 超定量样本独立；( 3 ) 超定量样本服从指数分布。根据以上三点假设，可导出a m s 模 型服从g u m b e l 分布( 也称为e v l 型分布) 。所以，这两种模型可分别表示为：p d s e x p ， a m s e v l 。 p d s 研究中，对超定量样本是否服从指数分布，有着不同的认识陆”3 。z e l e n h a s i c ( 1 9 7 0 ) 采用了g a m m a 分布，e k a n a y a k e 和c r u i s e ( 1 9 9 3 ) 采用了w e i b u l l 分布，r o s b j e r 等( 1 9 9 1 ) 采用了时数正态分布。近十几年来，研究的焦点集中在广义p a r e t o 分布( g p 分布，指数分布为其特例) ，假定超定量样本服从g p 分布及超定量发生次数服从p o i s s o n 分布，可导出a m s 模型服从广义极值分布( g e v 分布) 。所以，这两种模型可分别表 示为：p d s g p 、a m s g e v 。 由于超定量样本可以认为其服从某分布( 指数分布或g p 分布) ，因此可以直接 采用超定量样本计算设计值。由超定量样本直接计算得出的设计值是对超定量样本相 应回归期的设计值，可以记为p d s 模型对t 年设计值的估计。 第一章绪论 我们在实际应用中需要知道年最大假对应的设计值的回归期。 疆据随枧患过程理论，t 年蠹超定鬟笈生次数发生n 次涎橇率鼹觚p o i s s o n 分毒 p ( o ) ：h ) ：_ l = 半e x p ( 一五f ) ，n ：o ，1 ，2 ”! 鲑有趣定量鬈本缀扶g p 分枣： ，( x ) = 1 一 1 - k ax ( x - s ) n k s 0(1-2) lf ( x ) = 1 一e x p ( x s ) a ， k = 0 式中，g 是鬣摸参鼗，k 怒形状参数，s 为门疆篷。 此时年最大超定量值服从的分布可以霹为如下联合分布的形式： g x ) = ，( 工) p ( s ) = 弹) # = 0 l。ee冲xp 卜卜掣肛。 一量(i一确tk 。f i 一 。抗“ 七o ( 1 。3 ) 翼1 年最大越定量蓬鼹歇豹分布为g e v 努毒，采髑tp d s 参数懿g e v 分布影式蘧 化如下： jg ( x ) = e x p - 2 1 - k a 吣吖r k 0 ( 1 - 4 ) lg ( 善) = e x p - 2 e x p 一( x s ) c c 】 毳= 0 。 幽超定量样本估计g e v 分布参数，迸而可估计对年最大超定量的相应回归期的设计值， w 以记为p d s 模型对l 年设计值的估计，这种定义才是传统意义上对洪水相应圆归期 戆设诗 壹豹糖计。 超定量洪水频率分析方法根据超定避发生次数满足p o i s s o n 分布、超定量样本服从 g p 分布的假设，推导出年墩大超定量的联合分布服从g e v 分布，将二维泊松- - g p 联 合分毒转换为一维g e v 分京进行诗算。 1 3 2 2 复合极值理论 与超定量洪水频率类似，刘德辅”将极端海况发生的频次( 离散型随机变爨，如 台风) 与海爨引发的环凌要素( 连续登隧祝交量，热波窝、波速) 复合在一起，导出 多鳝联合分布计算璞论在南东北调末线主 ，瀵迟分揍中的应用硪竞 了寝合板值分布。复合极值分布理论可以计算一维以至多维分布，前提是连续性变量 的多维联合分布存在且可以计算。本文给出二维复合极值分布的计算表达式。 刘德辅对二维复合饭值分布进行定义： 一维离敬型隧撬变囊骚扶静概率分布律为： f p o p lp 2 2 一一p 女， 同时，二维连续型随蛾变量熬联会分东为g ( x ，y ) ，则有： f 0 ( x , y ) = p 。+ 仇f 心( 矿g ( “，v ) d u d v ( 1 - 5 ) 式中，磊瓴力髂为两釉分奄构成的复合极傻分在。具体计算时，离数型分毒霹以楚二 硬分布、p o i s s o n 分蠢等，连续型分毒霹以是正态分毒、对数正态分毒、指数分布、g u m b e l 分布等。 复合极傻理论与越定量洪水频率分板的基五 | 是致的，都是假定一耪水文变擞服 从离散型分布，种水文变量服从连续型分布，构造两者之间的联合分稚。 1 3 + 2 3 利用边缘分布求解联合分布 ( 一) 边缘分布魑正态分布 多数静联合分布磺究都是集中予多维歪态分布“3 。 c o r r e i a ( 1 9 8 7 ) 基于正态分蠢提溅漠蟋与洪量的联合努毒，并应焉与实鼯懿漤东 频率分攒中es a c k 和b e r g m m m ( 1 9 8 7 ) 、g o e l 等( 1 9 9 8 ) 剥用二维正态分毒搂述洪峰 及洪量的联合分布。k r a t a n o v i c 和s i n g h ( 1 9 8 7 ) 利用极大熵原理，推导出多维正态及 指数分布。国外般将这种方法称为m o r a n 方法。 多维正态分布的密度函数如下： ，羔；，工：，z 。) 2 i 斋e x p 【一吉( x 一) 7 一。( x 一) 】 ( 1 5 ) 式中，_ ，屯，x 。为正态分布变鬓；为协方差矩阵；= ( l ，：，h ，) 7 ， x = l ，_ 2 ，x 。) 7 。 利用正态分布进行频率分析，需要将疑始数据变换成正态分布。正态变换方法的 采用是+ 个关键问题。水利工程领域常用的正态化变换方法主要有b o x c o x 变换m 和 第一索缝跫 多项式正态变换( p n t ) “。b o x 。c o x 变换将原始变量变换成正态分布，v ( ，；p n t 变换跫透过多项式组合携愿贻炎量变换成标准正态分蠢n ( o ，1 ) 。 ( 二) 边缘分布建对数正态分布 由于对数正态分布可以与正态分布建立联系，且对数正态分布与实际水文系列的 数食往往也较好，因此有攀尝应用多维对数正态分毒进行洪水频率分孝厅。 多维对数正态分布的密度蹲数如下8 “： 地 ，= 两南e x p 一虿1 ( 卜_ b 刊 骢o i ( x i - - a i ) ( ) 其中，y l , y ：，y 。为对数正恣分布变量；盯。与a ，为对数正态分布的参数；其他交裁与 上式相同。 ( 三) 边缘分布楚g u m b e l 分蠢 g u m b e l ( t 9 6 0 ) 采用g u m b e l 边缘分布，推导出二维g u m b e l 联合分布函数： f ( x ，y ) = e x p - ( - l n f _ ( x ) ) ”+ ( 一1 n 目( y ) ) ” “) ( 1 - 8 ) 其中，x ，y 骚麸g u m b e l 分套；辫l 。 y u e 。( 1 9 9 9 ) 采用二维g u m b e l 分布进行洪水频率分析。国内研究中，熊立华、 郭生练( 2 0 0 4 ) 。”也采用了二维g u m b e l 进行洪水频率分析。 ( 巍) 透缘分蠢楚p 1 1 1 分毒 我国水利水电工程设计滋水计算规范中规定，水文分析计算聚用基于p ，1 i i 型 分布： f ( x , c t , 助) 2 高( p 辞) e x p 一( 予】 滔9 ) 式中，口、从，为分布参数。 毽莛长鬻敬慕，一壹寿邃祥一令蕊点，帮二缍阪上豹p i i i 联合分布不麓推导溺麓 析袋达式。从客观上也造成了国内进行洪水频率分析、淤水遭遇分析时都不采用多维 p i i i 联合分布，而是转而求助与其他方法。 基于d a v i d 等人静骚究残聚，蕈爱萋。”( 1 9 8 5 ) 撵馨警二维p l l l 联合分布鹃解耩 表达式，并应用推导的公式计算条件概率。但是他的方法适用于正相关的变量，且两 个变量的偏态系数需满足一定关系。并且对于三维以上p i i i 联合分布仍然不能进； 亍求 豁。 多维联合分布 十算理论在南水北州东线丰枯遭遇分析中的应用研究 国外研究中，用来计算二维p 1 1 1 分布的方法还有：i z a w a 方法、s a v 方法、k i b b l e 方法、n y - g m 方法等。但多数方法都有参数的限制，仅对特定参数的p 1 1 1 分布能够进行 计算，不能解决实际水文计算中遇到的问题。其中，k i b b l e 方法只能计算口= l 的情况； n k m 方法只能计算两变量的参数n = y ：的情况；i z a w a 方法及s a v 方法适用正相关的 变量，但计算过程极为复杂。y u e 等。5 1 ( 2 0 0 1 ) 研究表明，上述几种方法在其适用范围 内计算结果与经验频率拟合都较好。 ( 五) 边缘分布任意 以上介绍的几种方法，都必须要求给出明确边缘分布，m o r g e n s t e r n ( 1 9 5 6 ) 、 6 u m b e l ( 1 9 5 8 ) 和f a r l i e ( 1 9 6 0 ) 先后提出并完善的f o m 方法则不需要假设边缘分布。 f g m 方法的联合分布函数如下。”： f ( 葺，x 2 ) = b l ( x 1 ) f x 2 ( z 2 ) + 3 厦1 一最l ( x 。) ) o 一最2 ) ) 】( 卜1 0 ) 式中，最。( 丑) 、足：( 屯) 是边缘分布，可为任何类型的分布函数；p 为相关系数，但需 满足一1 3 _ p - 1 3 。 f g m 方法计算较为简便，但只能应用于弱相关的变量。 1 3 2 4 将多维分布转化为一维分布 费永法。7 。别( 1 9 8 9 ，1 9 9 5 ) 利用事件积先后推导出二维及多维随机变量转化为一 维随机变量的计算方法，并用来求解丰枯遭遇频率。多维联合分布的计算公式： 尸( 五，五x 2 ，瓦吒) = 只z z ) ( 1 一1 1 ) 随机变量z 的系列为：z 女= m m ( x l 女，z 2 t + 口2 ，x “+ d 。) ，同理，可以得到另一种 形式的计算公式： 以五，五 x z ，五 0 ，a3 0 ( 2 - 9 ) p n t 法的系数“。，d ，d ：，a 、可以通过以下几种方法来求解。 河海人学硕士学位论文多维联合分布汁箅理论在南水北训尔线丰枯遭遇分析中的应用研究 ( 1 ) p r o d u c t m o m e n t 方法 通过估算x 的四阶原点矩和相应的正态分布的原点矩建立联系 ；= e 【( ao + a l z + a2 z2 + 口3 z3 ) ，1 r 4 ( 2 - 1 0 ) 通过实测资料计算联，然后再求出z 的各阶矩，即可估计出多项式变换的系数 a 。，a 。，a ：，a ，但是非线形方程组的解法比较复杂。 ( 2 ) l m 法 按照概率权重矩的定义： 。= f x ( “) “如 将之代入式( 2 - 1 1 ) ，则有： 成= 口o c 弘o + 口l e u + 1 5 1 2 c 眠2 + a 3 c 邮 ( 2 一1 1 ) ( 2 1 2 ) 式中， c 。，。= z ”m ( z ) 庐( z ) 出，中( z ) 、庐( z ) 分别为正态分布的分布函数与概率密度 函数，e 。可以提前计算出来，结果见表2 1 。 表2 1 c 。表 n 简单样本时，卢。的估计可采用下式 小 攀。 小考告鬻告。 6 ：l 9 n 粤 非简单样本时，。的估计可采用下式 ”专 等薯x 4 ( j 一1 ) 2 ( t 1 1 ) ( 2 1 3 ) ! = 丛二12 11 二型， ( n 一1 ) ( ”一2 ) ( n 一3 ) “7 。州 一” = 6 _j_l 。z m h i = + 第二章雾维联台势布计葬璎论及方法 甄一1 塑上型”“芦生旦生竺型_ | ( 2 嘲) ln f 智月一，一1 n 一1 。鲁鼻l n1 。j 铲专c 等雾篙潞 + 警 i = n - i + l 毛= 万1 一f + 口 + ，：善， ( n 一拜+ ，一拉+ i l x 一摊+ # ( n ，- a - 1 ) ( n - , , - 7 2 并 ( n 一1 ) ( v 一2 ) - i 一2 - 算+ ( 1 ) ( 2 ) n 川- a 挚两嵩 ( 一, + z d + 1 ) ( 一 f 一 ! 巡二翌( n - a - t ) ( n - a - 2 ) ( n - a 2 ) ( n t 一3 )( n 一0 ( n 一2 ) ( 一3 ) 黑妥譬攀塑尘竺乏，】 1