（基础数学专业论文）plaplacian和pxlaplacian方程解的存在性和多解性.pdf

中文摘要 我们首先研究下面半线性椭圆方程d i r i c h l e t 边值问题： j 一u = ，( 吐“) ，z q ， i b n = 0 ， 在次临界增长情况下，利用变分方法中的归约方法和三临界点定理，得到了方程至少 有两个非i 卜凡解 其7 欠，我们研究下面拟线性椭圆方程d i r i c h l e t 边值问题( p 1 ) ： i 一p = f ( x ，) ，z q ， i l a n = 0 ， 在非线性项不再满足经典的a m b r o s e t t i r a b i n o w i t z 条件( 简称( a r ) 条件) 的渐近线性 情况下，利用改进的山路引理，得到了方程正解的存在性和多解性 品后，我们研究下列p ( z ) 一l a p l a c i a n 方程( p ( x ) 1 ) ： j 一p ( ；) = f ( x ，u ) ，。q 。 i 乱】d n = 0 ， 在超线性情况下，利用“喷泉定理”得到了无穷多解 关键词s o b o l e v 嵌入定理，归约方法，i 临界点，( p s ) 。序列( 条件) ，p ( z ) 一l a p l a c i a n ，广 义l e b e s g u e s o b o l e v 空问 a b s t r a c t t h ec o n t e n t so ft h i sp a p e ra r ea sf o f i o w s ： f i r s t l y w es t n a yt h ef o l l o w i n gs e m i l i n e a re l l i p t i ce q u a t i o nw i t hd i r i c h l e tb o u n d a r y v a l u ep r o b l e m ： i a u = ，( z ，u ) ，。n ， iu l o s ! = o ， i nt h es u b c r i t i c a lg r o w t he 2 s ew eo b t a i na t l e a s tt w on o n t r i v a ls o l u t i o n sb yu s i n gt h e t h r e e c r i t i c a l p o i n tt h e o r e ma n d t h er e d u c t i o nm e t h o d s e e o n d l 弘w ed i s c u s st h ef o l l o w i n gq u a s i l i n c a re l l i p t i ce q u a t i o nw i t h d i r i c h l e tb o u n d _ a r yv a l u ep r o b l e m ( p 1 1 ： i 一p 让= ，( z ，u ) ，。q ， iu l 越l = 0 ， w h e nt h ea m b r o s e t t i - r a b i n o w i t zc o n d i t i o n ( a r ) c a n n o tb es u p p o s e d ，u s i n g t h ei m p r o v e d m o u n t a i np a s sl e m m a s ，w eg e tap o s i t i v es o l u t i o na n dm u l t i p l es o l u t i o n su n d e r a u a s y m p - t o t i c a l l yl i n e a rc o n d i t i o n f i n n y ，w es 七u d yt h ef o l l o w i n g 躐霉) 一l 氆p l a c i a ne q u 氆t i o n ( p ( x ) 1 ) ： i 一p ( ；) u = ，( ，u ) ，z q ， lu l 椰2 = 0 ， b yu s i n ga “f o u n t a i nt h e o r e m ”，w e g e ti n f i n i t ym a n y s o l u t i o n su n d e ra ns u p e r l i n e a r c o n d i t i o n k e yw o r d ss o b o l e ve m b e d d i n gt h e o r e m ，r e d u c t i o nm e t h o d ，c r i t i c a lp o i n t s ( p s ) c s e q u e n c e ( c o n d i t i o n ) ，p ( 第) 一l a p l u c i a n ，g e n e r a l i z e dl e b e s g u e - s o h o l e vs p a c e 一、绪论 ( 一) 、变分法概述 微分方程中的变分法是把微分方程边值问题转化为变分问题，以证明解的存在 性、船的个数及求近似解的方法用变分法解决非线性微分方程主要是通过某个花函 ，( 通常称为e u l e r l a g r a n g c 泛函) 在个恰当的b a n a e h 空间x 上的临界点“来刻画 的，即满足 ，7 ( 乱) = 0 这里j ( u ) 是c 1 一泛函j 在点“处的n 6 c h e t 导数于是，寻找泛函的临界点成为解 决问题的关键所在迄今为止。经过许多数学家长期努力的工作，逐渐形成了一个解 决非线性问题的数学分支学科一变分法 古典变分法的基本内容是确定泛函的极值和极值点，因此要求其相应的e u l c r l a g r a n g e 泛函是下方有界的极值点是最简单的临界点，但是在一些具体问题中我们 要研究的泛函是不定的或者强不定的( s t r o n gi n d e f i n i t e ) 即使是一些下方有界的泛函 也可箭存在一些鞍点，这些鞍点在物理上通常是一些微分方程的不稳定的解因此需 要新的工具去寻找更一般的临界点，特别是鞍点 应这样的要求，近几十年来，近代变分法( 又称为大范围变分方法) 逐渐完善地 发展起来近代变分法主要包括极小极大理论和m o r s e 理论这两种理论都是依靠 拓扑方法，研究一般的、未必是极值点的临界点1 9 7 3 年，a a m b r o s e t t i 和p r a b i n o w i t z ( 见【l j ) 的山路引理( m o u n t a i np a s sl e m m a ) 可以说是临界点理论发展史上 的一个重要里程碑，随后的鞍点定理( s a d d l ep o i n tt h e o r e m ) 和环绕定理( l i n k i n g t h 争 o r e m ) 是对山路引理的进一步推广这些抽象的定理被广泛用于寻求椭圆问题非平 凡解的存在性与多解性以及h a m i l t o n 系统的周期轨道和波的受迫振动等，只要与其 相应的e u l e r - l a g t a n g c 泛函满足紧性性质( 通常称为( p s ) 条件) 但是在一些实际问 题的研究中，失去紧性条件的现象大量存在，诸如有界区域上包含临界s o b o l c v 指数 ( c r i t i c a ls o b o l e ve x p o n e n t ) 的半线性椭圆方程和无界区域上的半线性椭圆方程1 9 8 3 年，b r e z i s 和n i r e n b e r g ( 见【2 】) 的文章可以说是临界点理论研究的又个重大突破， 他们首次选择特殊的山路和能量估计，证明了如果泛函满足局部的( p s ) 条件，那么 存在一个山路型的临界点另一类失去( p s ) 条件的问题是强共振问题，这里涉及到 退化临界点特别是无穷远处临晃群的计算以及更一般形式下的m o r s e 不等式加上 某种强制性条件或应用微分方程中的截断技巧也可以处理某些失去( p s ) 条件的问题 1 ( 二) 、相关的记号、定义及引理 今后将不加声明地使用下列的记号和定义 令q 是r ”( 1 ) 中具有光滑边界的有界区域，l p + o 。，用p ( q ) 表示q 上的p 次可积函数的金体，其上的范数记为i ，= ( j ；：i “i ，出) ；一，一，土，一分别表示 强收敛，弱收敛，弱+ 收敛和嵌入 设函数集合 x = 日1 ( q ) = w ，1 ，2 ( q ) = l 2 ( n ) l w l 2 ( n ) ) ， 其内积为： ( u ，”) 2 l 。( v u v ”+ ”) 衄 相应的范数为t i i 鼢v “1 2 + ir 则h 1 ( 嗡是一个h i b c r t 空间。q 骰s o b o l e v 空阊 设函数集合 x = h 3 ( q ) = w j 2 ( n ) = t u h 1 ( n ) i 在h 1 ( q ) 中钍。+ t ，u 。c 护( q ) ) ， 其内积为： ( 灿) 2 上v v v d x , 相应的范数为： 1 1 “1 1 = 五1 v 拖i 1 ，2 ， 则瑶( q ) 是一个h i l b c r t 空间，也是一个s o b o l e v 空间 对于更一般的s o b o l c v 空间为 w 7 1 ，”( q ) = w 1 ( n ) 1 w l 9 ( n ) ) ， 相应的范数为 埽= ( 加1 9 + i v “p d x ) ；， 这里i 伊( q ) = u l k ( n ) l u 有弱导数v ) 另一类s o b o l e v 空间w 0 9 ( n ) 为铝( n ) 在w 却( q ) 中的闭包。相应的范数为； 1 1 “1 1 ，扩 五f 孔i 妙 当p = 2 时，w 1 , 2 ( n ) = h 1 ( q ) w 苫2 ( q ) = 础( n ) 引理1 2 1 ( s o b o l e v 嵌人定理) 1 3 】设n 是r “中的有界区域，当1 p o 。，那么 榔，一i r l 飘一n p 毪麓。， 其中当p n 时，q 取任意正数， g 0 1 ( 丽) = u g ( 豆) | 。，s 。u 西p t ；x ，e ，y 竖篙 掣 o 。) o ，”i i 7 l 注易知，当g p 时， l 。( q ) q 驴( n ) 因此，对p ，g n 且p ，q 0 和 7 口，r 十) ，使得对任意的t r 和几乎所有的z n 及1 肠+ 1 q = 1 有 i y ( x ，t ) i c 0 ”。1 + 7 ( 霉) ，( 212 ) 其中当n 3 时，2 p 2 n ( 一2 ) ，当n = l 或2 时，2 p + o o 设九是特征问题 i 一“= a u ，g q ， i 训虎2 _ 0 的第k 个特征值且有 0 a l k a 3 - 令 妒( 让) = 一扣“j | 2 + 上f ( 杖“) 出，讹g j ( a ) ， 其中f ( 。，t ) = z ，( z ，s ) d s ，l l u i = ( 五l v u l 2 如) 5 易知妒是连续可微且 ( 妒( u ) ，”) 一上讥v ”如+ 上，( 。，u ) ”妣沌，”硪( q ) 众所周知“硼( q ) 是问题( 2 11 ) 的解当且仅当是瑟函妒的临界点 i f 面给出我们的主要结果： 定理2 1 1设( 2 1 2 ) 成立假设存在o ( ) l 。( n ) ，对几乎所有的n ，有 n 扛) k + 1 及 7 n e a 3 x a 1 ( x ) o ，( 2 1 3 ) 又对v5 ，t r ，s t 和几乎所有的z q ，有 丝车4 业。( 。) (2_14)ts 一 、 成立，且当t o o 时， f ( x ，t ) 一去k t 2 一+ o 。( 2 1 5 ) 4 对几乎所有的z n 致地成立若存在0 o ，对所有t 6 和几乎所有的z n ，有 ；a 。_ l t 2 脚，雌扣妒 成立，则问题( 21 1 ) 在珧m ) 中至步有两个非平凡解 注文献 4 中定理1 是本定理的特例 ( 2 ，1 6 ) ( 二) 、主要结果的证明 设 k e ( a 1 ) o 一0 e ( a k ) 且w 女= 曙，其中e ( a ；) 是相对于的特征函数空间，即是相对于凡的所有特征函 数张成的有限维空间定义函数砂为 妒p ) = s u p 妒扣+ ) ，口e 扳， w w k 为了证明主要定理，需要以下引理： 引理2 2 1 s l 假设( 2 1 2 ) 和( 2 1 4 ) 成立则妒：圪一r 是连续可微的且 妒扣) = j k 妒7 扣+ 目扣) ) ， k ， 其中b i ：珊( 固一k 是在k 上的投影，口：k h 是一连续映射且满足 舻( 舢) = 妒如+ 口( 劬) ) ，v 础ek 易知”+ p ( ”) 是妒的临界点等价于”是咖的临界点 引理2 2 2 i q 若( 2 1 2 ) 和( 2 15 ) 成立，且对所有的m 0 ，有 加( z ) ：= s 印 l ，( z ，t ) 一a 川引 f ) l 1 ( n ) ， 则妒是强制的 引理2 2 3 f 5 | 假设6 ( ) 。( q ) 且对几乎所有的z n ，有6 ( z ) h ，并满足 m e t l s 霉, q 6 ( 。) l 0 ， 则存在常数b o ( 1 ，使得对v y z l ， z6 ( z ) w 2 d a 6 。五1 w 1 2 如 5 引理2 2 4 令v i = e ( a 1 ) o - - o e ( a m - 1 ) ，k e ( a 。) o o e ( a ) 假设( 2 1 3 ) ， ( 214 ) 和( 21 6 ) 成立，则存在 0 有 妒( u ) 芝0 ，m ，| | 训如( 2 21 ) 妒( 封) 茎0 ，v w 门1 削j j 南( 2 22 ) 证明由文献【4 中引理3 知，( 2 2 1 ) 成立下证( 2 22 ) 由( 21 6 ) 及，( z ，t ) 关于t 连续可知，对几乎所有的z 订，有f ( z ，0 ) = 0 因此， 由( 2 1 4 ) ，对v t r 和几乎所有的z n 有， ，( 。，t ) t o ( 。) 只 从而对v t r 和几乎所有的z n ， ，( 。，s o t n ( z ) s t 2 成立一注意到f ( z ，t ) 。上，( z ，“) 如，我们有 f ( z ，t ) o ( z ) t 2s a k + l 2 c l l t l 9 对v t r 和几乎所有的。q 成立，这里q = a k + 1 5 2 一从而由( 2 16 ) 有 f ( z ，t ) q i t r + ；6 ( z ) 铲( 2 2 3 ) 对vt r 和几乎所有的z n 成立由引理1 21 ，存在g 0 使得 l p c l l “l f ，札肼( q ) 又由引理22 3 ，存在b o 1 ，使得 上6 ( z ) ”2 如五i v t ”1 2 如，vu 味。 ( 2 2 4 ) 因0 是连续的，所以存在5 0 ( 0 ，j ) 使得 l l + p ( u ) 1 1 1 l - u b ，o 、1 ，( p 一2 1 ( 2 2 5 ) 对所有的”k 和i i v l is5 0 成立从而对所有v 且州l 6 0 ，由( 2 2 3 ) 一( 2 2 5 ) 可 妒0 ) = l p 扣+ 目( ”) ) 一言l i 口+ 口0 ) 9 2 + 6 0 i l v + 日和) 0 2 + c l ij v + 目扣) l ； 一三三粤i i u + 甘( ”) i i z + e ，g ，i i 勘+ p ( 。) l i p o 引理2 2 5 l z j 令x 是b a i l a c h 空间，具有直和分解x = x 1o 局，其中d i m x 2 0 0 有 妒 ) 0 ，v 0 x i 且l l u | | 6 0 和 妒( ? j ) 0 ，v v x 2 且i i 训l 6 0 如果妒是下方有界的，并且i n f x 妒 1 ) ： ：全“2 ，。t “l 。q c s ， 其中一a 。i t , 是p - l a p l a c i a n 算子 一p “：= 一d i v ( i v u l p - 2 v u ) 记f ( x s ) = 蝣f ( z ，t ) 出，a ( x ，s ) = ，( z ，8 ) 8 一p f ( x ，s ) 令泛函j ：w p ( n ) 一r ， m ) = ：五i v 卵如一五脚，州z 在文献 1 】中当p = 2 时，f ( x ，s ) 满足超线性及下列( a r ) 条件 0 o ，j _ 0 运用山路引理得到了方程( 3 1 1 ) 的多重解，其中( a r ) 条件的作用 是保证方程( 3 1 1 ) 对应的能量泛函的所有( p s ) 序列都有界 文献【9 】中，非线性项，( z ，s ) 满足条件( ，1 ) 一( f 3 ) ，但不满足( a r ) 条件，这就不 能象通常那样得到( 3 1 1 ) 能量泛函的( p s ) 序列的有界性为了克服这一困难，作者 采用了c e r a i r d 介绍的紧性条件的等价形式，并利用对称山路引理得到了方程( 3 1 1 ) 的多重解 本章第二节在【1 0 】的基础上，用条件( a 2 ) 替换条件) ，由文献【1 1 】命题2 3 知。 我们的，( z ，t ) 适用范围更广而此时仍然不满足( a r ) 条件，但可采用c e r a m i 介绍 的紧性条件的等价形式，并利用变化形式的山路引理得到了方程( 3 11 ) 的一个正解 而第三节用条件( g z ) 替换了【9 】中条件( f 2 ) ，此时( a r ) 条件仍然不满足，但可证明 ( 3 l 1 ) 对应的能量泛函满足( ps ) 。条件，并运用对称山路引理可得方程( 3 1 1 ) 的多解 性 为了给出主要结果。先介绍下列概念 枷i 咖n f o # u e 。锶苦d x ， 1 埘4 ( 1 2 ) j s 2 川” 母= u 孵9 ( n ) i i n i l = 1 ) ， u 名= v l v 是嘣”( q ) 的子空间，妒1 v 且d i m v ，1 ， 其中妒1 0 是相对于( * ) 式中a ，的特征函数令 址i n f 倒s u p ，镰警= i n f 。嚣瓦雨1 设e 是一实b a n a e h 空间，j c 1 ( e ，r ) ，令 3 = u e l l l “l l 1 ) ，s = “e i i i u i l = 1 ) ， a o = e i i ( u ) o ，砭= e i j ( “) = 0 ，j ( u ) = c ) ， 1 1 = c ( e ，e ) i h ( 0 ) = 0 ，h 是e 到e 的奇同胚且h ( b ) c a o ， r 。= kce l k 是紧的，关于原点对称，vh r ，2 ( k n ( s ) ) m ) 其中7 n ( s ) ) 表示k n h ( s ) 的亏格，详见文献【1 2 】_ ( = ) 、p - l a p l a c i a n 渐近线性问题正解的存在性 关于非线性项，( ，t ) ，假设： ( a 1 ) ，如，t ) c ( n 兄) ，vt 0 ，。q ，扛，t ) 0 及vt 0 ，。n ，f ( x ，t ) = ，( g ，0 ) ；0 ； ( 。) l ；m 。鲁 = o ，恕舄掣= t ( e o ) 对嚣q 一致成立； ( ) 存在日l ，对任意( 善，t ) qxr s 【0 ，“有o a ( z ，t ) a ( z ，s t ) ； ( “4 ) l i m 。 a ( 。，) 】= + o o ， 由条件( 0 2 ) ，对任意e 0 ，存在q 0 有 ，( 甜，t ) s ( e + c ) ”一( 3 2 1 ) 又由( 3 21 ) 可知j 是g 1 的，且 ( j 7 ( ) ，曲) = 二i v p v “v d x 一上m ，) 批，u ，埘9 ( q ) 众所周知u 口( q ) 是问题( 3 11 ) 的解当且仅当“是泛函j ( “) 的i 临界点 定理3 2 1 若条件( a 1 ) 一( a 3 ) 成立，则 ( i ) 若 m & x a - ，1 且不是- a ，“在懈9 ( q ) 中的特征值，则( 3 1 1 ) 有一正 解； ( i i ) 若f m “d 1 ，1 且是一x p u 在嚼。( q ) 中的特征值且满足条件( n 4 ) ，则 ( 3 11 ) 有一正解 为了证明主要结果，需要以下引理： 9 引理3 2 2 【1 3 】设e 是实b a n a c h 空间，e + 是它的对偶空间假设j c l ( e ，r ) 且对某个n 0 和u 1 e 及l l “l l p 满足 ” o z ( j ( o ) ，t ，( 札1 ) ) 茎耻 0 ，p ( s ) = 0 ，或者对任意s 0 ，p ( s ) 0 并满足矗1 叭s j ，- 一i d s = o 。，其中 ( s ) = 届卢( t ) 缸若u 在n 中不恒为0 ，则u 在n 内处处是正的 引理3 2 4 f 1 0 j 令妒l 0 是a l 的特征值且l i i = 1 ，假设( a 1 ) 和( a 2 ) 成立则有 ( a ) 存在p ，卢 0 ，使得对任意u 略。( q ) 和i = p ，有j ( u ) 口； ( b ) 若( l ，十。o 】，当t 一十o o 时，则有( t 妒1 ) 一一o o 定理3 2 1 证明( i ) 因( a i ，+ ) ，由引理3 2 4 存在足够大的t o 0 使得 j ( t o 妒1 ) 0 由引理3 2 2 ，存在 u 。) 嘲9 ( q ) 使得 t ，( u 。) = ；五i v u 。i9 如一五f ( z ，“n ) d z - - - , c o 一。o ) ， ( 32 ，3 ) 五j v ”。9 2 v u n v 咖如一上，( z ，u 。) 如一o 一o o ) ，v 咖w 护( n ) ， ( 3 2 | 4 ) 且 ( ( u n ) ，“n ) = ll v “n 1 9 如一2 ，( z ，n n ) u n 如一o m o 。) ( 3 2 5 ) 下证 u ，) 在w 护( q ) 中有界 假设 。) 在馆9 ( n ) 中无界，不妨设i i 钍。0 一0 0 m o 。) ( 否则取子列) 令 2 赫， ( 3 删 u ：= 堕1 1 - i i ， 】n 则 u n 在 信9 ( n ) 中有界于是存在 p ，7 p n p ( n p ) ) ，当1 n p ，r 【p ，+ o 。) 下证u 0 若“= 0 如文献 1 5 1 中那样，由下式定义一列实数 t ，。) ： j ( t n u 。) = m o 。t i o ，q j ( t u n ) ， 如果对某个自然数1 2 ，有多个t 。满足上式，就任取其中一个对任意的m 0 ，令 玉沪职万亓b 。由于对a ez n ，( z ) 一u ( z ) = 0 ，故 规上尸( e 孑n ) 如= ，魄五f ( z ，2 痂w ) d x = 0 所以对充分大的m j ( t 。 。) j ( 瓦) = 2 m 一 zf ( x ，0 。) 如m ，即l i r a 。j ( t 。) = + o o 叉由j ( o ) = 0 及j ( 。) 一c ，可得0 0 ，使得l p 。( z ) l m ，因此存在艮( ) l ”( n ) 且i h ( z ) i m ，使得在l 。( q ) 中 p 。( z ) 生 ( z ) ( 32 1 0 ) 由( 3 2 1 0 ) 知在2 ( n ) 中 p 。( z ) ( ：) 9 1 。h ( 。) ( + ) 9 1 ( n o o ) ，( 3 2 1 1 ) 其中p = p ( p 1 ) 从而 一：m ( 。) ( “：) 9 出。五“( z ) + ) 9 d x ( n _ o 。) ( 3 t 2 1 2 ) 结合( 3 2 4 ) ，( 3 2 5 ) ，( 3 2 1 1 ) 和( 3 2 1 2 ) 有 五1 w d 出= ： ( 。) ( 矿) 如+ 。( 1 ) ， - 1 3 ) 和 ：i v p v u n v c d z = 2 ( 。) ( u + ) 州如+ 。( 1 ) ，w 埘9 ( n ) ( 3 2 1 4 ) 由( 3 2 1 3 ) 和( 3 2 1 4 ) 便有 。( 1 v u n i p 2 v u n l v w l p 2 弓。) ( v 一v ) d z o ( _ o 。) - 根据文献【1 6 引理2 ，7 可知，在( q ) 中，v u 。一乳m o 。) 故 - ：i v u p v w v c d z 一：h ( ) ( u + ) 如= o ，w 嘲9 ( n ) 上式令廿= u + ，类似f l o l 定理1 1 ( i i ) 的证明可得结论 ( i i ) 在条件( 0 3 ) 中，若取d = l ，s = 0 ，则对任意( ，t ) n x r ，有p f ( ，t ) ，( 。，t ) t 类似【l o 】中定理1l ( i i i ) 的证明可得结论定理证毕 ( 三) 、p - l a p l a c i a n 渐近线性问题的多解性 设n ( z ) l 。( q ) ，且对zeq ，n ( ) a l 但不恒等于入1 又设s 是s o b o l e v 嵌入 懈9 ( n ) 一2 + ( n ) ( 矿= 芒：) 的最佳常数，即 拈i 帅n f o # u e ，雠咐一 n ) 瞄 1 2 对非线性项f e ( 豆r ，r ) ，假设满足下列条件： ( 9 1 ) l i m 掣：f ( 1 o ) ； ( 9 。) 1 i l i l t o 答掣：。( 。) ； ( 乳) ，( z ，- t ) = 一，( z ，t ) ； ( 9 4 ) l i m a ( xt ) = + 。 定理3 3 1 假设，( z ，t ) 满足( 9 1 ) 一胁) ，当f m a x a * a l + s u p 。日l i n ( z m 时， 1 ) 若不是一一在信9 ( q ) 中的特征值，则问题( 3 1 1 ) 至少有对非平凡解； 2 ) 若是一，u 在w 护( n ) 中的特征值且满足协) ，则问题( 3 11 ) 至少有七对非 平凡解 为了证明主要结果，需要以下引理： 引理3 3 2 1 9 1 设e 是一实b a n a c h 空间，e l ，e 2 ，在e 中是线性无关 的，e ；= s p a n e 1 ，e 。) ，i = 1 ，2 ，扎对任意m n ，令 。溅m 刺a x m ) 假设j c 1 ( e ，r ) 满足 ( ，1 ) ，( o ) = 0 ，( “) = ，( 一) ，v u e ； ( 如) 存在p 0 ，“ 0 ，使得在岛( o ) 一 0 1 上，1 0 ，在品( o ) 上i “，其中 ，站( z ) = “e i | i n z 0 0 是，的一个临界值若c 1 c 2 一g = c ，则，y ( k ) 2 r 引理3 3 3 ( i ) 若不是一在嚼9 ( n ) 中的特征值，则d ( u ) 满足( p s ) 。条 件，vc r ； ( i i ) 若是一在w ：p ) 中的特征值且满足( 9 4 ) ，则t ，( u ) 满足( p s ) 。条件，vc r 证明( i ) vc r ，假设 u 。) 满足 j 【n j 。c ( n _ o 。) ， ( “。) 一o ( n o 。) 则由( 3 3 2 ) 有 厶j v u 。r 2 v u 。v c d z z ，( z ，乱。) 出一0 ( n o o ) ，w 嚼p ( f 2 ) 上1 v u ，。f 9 如一上，( z ，) u n 如一。伽0 0 ) 1 冀 ( 33 1 ) ( 3 3 2 ) ( 3 33 ) ( 3 3 4 ) 下证 有界 琶扯n ) 无界，不竽设川_ o 。m _ o 。) ( 否则取子列) 令。茬知，于是存在 “w 护( n ) 使得在”譬9 ( n ) 中 一u m o 。) ， 在上，( q ) 中 “。( z ) u ( 。) ，a e z q ， 其中当n p ，r 防n p ( n p ) ) ，当1s 兰p ，r 咖，+ o 。) 令 硝牡j 料，叫埘0 1 l0 ，。( 。) = 0 ， 则出( 9 1 ) 和( 9 2 ) ，存在m 0 使得i ( z ) f m ( 33 ，5 ) ( 3 , 3 6 ) ( 3 3 7 ) 看u = 0 ，则有 l = i l 1 1 9 = 五m ( z ) u ：如+ 。( 1 ) 上蝶出+ 。( 1 ) - - , o ( n o 。) ， 这是一个矛盾，所以u 0 由( z ) 的有界性，存在h l ”( q ) ，l ( z ) l m ，使得在 l 。( q ) 中 p 。( z ) j 危( 髫) ( n + o o ) ( 3 3 8 ) 由( 3 3 6 ) 和( 3 3 8 ) 可知在l p ( q ) 中有 p n ( z ) “景一1 、h ( z ) u ”一1 ( 口一0 0 ) ，( 3 3 ，9 ) 其中p = ( p 1 ) ，从而 2m ( ) 嵋如一2 ( z ) u 9 幽m 一。) ( 3 - 3 l o ) 因此由( 3 3 3 ) ，( 3 3 4 ) ，( 3 3 9 ) 和( 3 3 1 0 ) 我们有 五i v p 如= 五 ( 。) ( u p 如+ 。( 1 ) ( 3 3 1 1 ) 和 互j v 尸一2 v v 乒如= 五 ( ) 扣) 9 1 如+ 。( 1 ) ，v ew 1 9 ( q ) ( 3 3 1 2 ) 又由( 3 3 1 1 ) 和( 3 3 1 2 ) 有 iz ( i v u n ”“v _ n f v u l 9 - 2 v u ) ( v 一v u ) _ o 一o 。) ( 3 矗1 3 ) 根据文献【1 6 1 引理2 , 7 可知，在) 中阢“一v w ( n 一。) 故 上l v u l p 一2 v u v 曲缸一上h ( 。) u 如= o v 咖喇9 ( n ) ( 3 - 3 1 4 ) 1 d 记 于是 n 1 = z n p ( 茁) 盖o ) ，n 2 = z q l u p ) o ) q 3 = ( z q 1 w ( z ) 0 ，当i tj t o ，z n 时，a ( z ，t ) = ，( z ，t ) t p f ( x ，t ) 0 又 由，的连续性和n 的有界性，存在5 3 0 使得 翰m ，“n ) u ”一p f ( 圳n ) “n 蚓曼c 3 , 当n p 时，令k = ( p c + c 3 ) ( 2 m s ) n i p ，其中s 是s o b o l e v 最佳常数 3 3 3 ( i ) 中所取的常数又由( 9 4 ) ，存在t 蜀 0 ，有 ， ，t ) t p f ( z ，t ) k ，v 忙i t ，。n 令 a 。= ( 。q f i 。i 丁 ，= z n f i 口。f 乃， 则由( 3 3 1 ) ，( 3 3 4 ) ，( 3 3 1 5 ) 和( 3 3 1 6 ) 我们有 p c + o ( 1 ) = 2 ，( 。，u 。) u 。一p f ( x ，u 。) 如 厶。( ，( z ，u 。) “。一p f ( x ，“n ) 】d z c 3 k i a 。i c 3 ， 其中 a 。i 表示a 。的测度 对任意的r p ，由( 3 3 1 ) 和( 3 3 ，4 ) 有 ( ：一枷划卜上f f ( 训。) 一；m 胁) u n d x = c + 邮) ， 由f 的连续性和q 的有界性知，存在c 0 使得 i f b f ( z ，u 。) 一；，( z ，u 。) “，。1 如l g v xe q ，”1 1 5 ( 3 3 1 5 ) m 是引理 ( 3 3 1 6 ) ( 3 3 1 7 ) ( 3 3 1 8 ) i 王恩到pj - 1 ，j 和( 33 1 8 ) 廿】得 c 十o ( 1 ) ( ；一； ) | | 划卜正 f ( 舭。) ；他，叫叫如一e 字队训卜( ；一；) a 。m ，岫一f 宇卜生p 业rd ，a 。坩如g 字一一与竽m 。p e 2 等i i u 。i i ，( r - - ，p ) m si i u 。p l c + r c 3 + 。( 1 ) ，卅一g p r玎。“ 、“ = 筹j 一一幽p r 俐，一e 可见，当n p 时， n 。，在w 1 9 ) 中有界当1s n p 时。选择适当的k ， 同理可得 u 。) 在w j 。( q ) 中有界 由于( “。 在懈9 ) 中有界，和用s o b o l e v 嵌入w j l ，m ) 一( q ) ( 1 r 0 使 得 五( ；v u | p 一矿川9 ) 如p 五m 9 如，v n 喇9 ( q ) 县甲0 1 = m a x 【a ，吣 引理3 3 5 若( 9 1 ) 和( 啦) 成立，则存在n a 0 使得t ，i d 酃a 且卅f o ) 一 o ) 0 证明由( 9 1 ) 和( 9 2 ) ，对任意e 0 ，存在c e 使得 f ( 邵) 釉e + 堕之等 1 9 ) 口凹 ( 若n p 则q ( p v ( n p ) ) ，若l n p ，则q ( p ，+ o 。) ) 对任意e 0 ，由引 理3 3 4 有 五( i v u i 一。( z ) 9 ) 如= 丁毛 五( 1 v 训9 一n ( g ) i u l 9 ) 如+ e 正i v “i ”如一e 五n ( z ) 一如1 r b f 互( v 铭p 一一川9 ) 妇+ e 五 v u 一e 五。( 硎u f ，矗司 五i 审u i 如+ r b 五一一n ( 窖) ) m i ，如 我们取充分小的e 使得对vz n ，有口一e n ( $ ) 0 ，因此我们有 五( i v u i p 一。( 圳u 1 7 ) 出南上i v u p 出 ( 3 3 2 0 ) 由( 3 31 9 ) 和( 3 320 ) 1 vu h 信“( q ) ， m ) = 石1f 2 l v u 陋一正f ( 三；正j v u i 蹦z 一詈工1 “1 4 如一；五( n + 训”阿z = ；五( i v 卵一。( 删“1 9 ) d x 一詈五l “1 4 如一；五l u l 9 如 矗两。学l 钞胪， 取充分小e 使得页f f 巧 等且p 2 i i n l l 充分小，因为g n 所以存在。 0 使得 j i o s 。且有1 i b ，( o ) 一( 0 0 证毕 定理3 3 1 证明显然j ( o ) = 0 ，由渤) ，对v “哪9 ( n ) ，有j ( u ) = j ( 一“) ，即( 1 1 ) 成立，由引理3 3 3 ，3 3 5 知引理3 3 2 条件) 和( ，3 ) 成立，余下证明类似于 9 】中定 弹1 1 的证明所以结论1 1 和2 ) 均成立定理证毕 1 7 四、p ( z ) 一l a p l a c i a n 方程的无穷多解性 ( 一) 、引言 我们考虑下列p ( 。) 一l a p l a c i a n 方程( p ( x ) 1 ) ： i 一( 。) “。，( 。，“) _ 。n ( 4 1 1 ) iu k = 0 ， 。 其中一p ( 。) u 是p ( z ) 一l a p l a c i a n 算子 - - a p ( 。) “：= 一d i v ( 1 v u 酬v u ) 文献 1 s l 引入了咏1 9 。( n ) 空间，并讨论此空间的一些性质，而文献 1 1 研究了一 类超线性椭圆方程，在不满足( a r ) 条件下得到了方程无穷多个大能量解的存在性 本章我们在嚼1 9 叫( q ) 空间中考虑类似的超线性问题，得到了方程( 4 1 1 ) 的无穷多个 大能量解