（水文学及水资源专业论文）贝叶斯模型平均法在水文模型综合中的应用研究.pdf

摘要 到目前为止，在水文学领域已经研究出很多成熟的流域水文模型，广泛应用 于流域降雨径流模拟和实时水文预报。然而，这些水文模型都仅是对真实水文 过程的概化和抽象，往往强化了水文过程的某些方面而忽视了另一些方面。因此， 急需一种多模型组合预报方法。一方面，可以综合各模型优势，提高预报精度； 另一方面，给出可靠的概率水文预报，定量地评价模型结构不确定性对预报的影 响。因此，论文将贝叶斯模型平均法应用于水文模型综合中。 贝叶斯模型平均法是一种基于贝叶斯理论的将模型本身的不确定性考虑在 内的统计分析方法。它以实测样本隶属于某一模型的后验概率为权重，对各模型 预报变量的后验分布进行加权平均。因而，在将贝叶斯模型平均法应用于水文模 型综合之前，需要解决下面两个问题：如何确定各模型的权重；如何确定各 模型预报量的后验分布。为此，论文采用了三个关键技术，分别是运用遗传算法 对水文模型参数进行优化，从而获得各模型的模拟样本；通过亚高斯模型分别对 实测和各模型模拟样本进行正态分位数转换，并对转换后的时间序列进行线性假 设，以确保各模型的预报变量近视服从正态分布；采用期望最大化算法估计高斯 混合模型参数，进而确定出综合预报变量的概率分布。 论文选用萨克拉门托和t o p m o d e l 模型，将基于贝叶斯模型平均法的水文模 型综合应用于浙江省密赛流域的洪水预报中。实例分析表明，基于贝叶斯模型 平均法的水文模型综合预报，不仅可以给出精度较高的均值预报，而且可以给出 以指定概率的置信区间为指标的预报不确定度，实现了洪水的概率预报；单组 或多组权重贝叶斯模型平均法在洪峰时刻的概率预报均较优；对整个洪水过程 的预报，多组权重贝叶斯模型平均法比单组权重更可靠。 关键词：概率水文预报；贝叶斯模型平均法；遗传算法；亚高斯模型；期望最大 化算法；高斯混合模型 a b s 们c t s of 弛i th a sc o m eu p 诚la1 0 to f h y d r o l o g i c a lm o d e l sa 1 1 dt h e ya r e 诵d e l yu s e d i i lr a i n f a1 1 n m o 行s i m u l a _ t i o nm l dr c a l t i i i l eh y d i o l o 百cp r e d i c t i o l l h o w e v e r e v e 巧 m o d e li so i l l yg e n e r a l i 砒i l 埘a n da b s 仃a c to ft 1 1 e 仇圮h y d r o l o g i cp r o c e s s a n do 胁 s t r e n g m e 璐c e 蹦na s p e c t so fh y d r 0 1 0 西cp r o c e s sa 1 1 dn e g l e c t so t l l e r s t h e r e f o r e ，a m u l t i - m o d e lm e n l o di sg r e a t l yn e e d e d o nt l l eo n eh 锄d ，i tc a 芏li n t e 蓼a t ea d v 锄t a g e so f d i f f e r e n tm o d e l sa n di m p r o v ef o r e c a s t i n ga c c u r a c y ；o nt l l eo t l l e rh a l l 也i tp r o v i d e s r e l i a b l ep r o b a b i l i s t i ch y d r 0 1 0 9 i cp r e d i c t i o n sq u a n t i 匆i n gn l eu n c e r t 曲毋o fh y d r o l o g i c s 协j c t u r e t 1 1 e r e f o r e ，t h i sp a p e rp r e s e n t sac o m b i n a t i o no fm u l t i p l eh y d r o l o 西c p r e d i c t i o n su s i n gb a y e s i a l lm o d e la v e r a g i n g ( b m a ) b a y e s i a nm o d e la v e r a g i n gt a ：l 【i n gt h eu n c e n a i m yo fm o d e li t s e l fi 1 1 t oa c c o u n ti s as t a t i s t i c a lm e m o db a s e do nb a y e s i a i lt 1 1 e o 巧 i ti n f e r sc o i l s e n s l l s p o s t e r i o r d i 矧b u t i o no ff o r e c a s t 啦v a r i a b l eb yw e i g l l i n gi n d i v i d u a lp o s t e r i o rd i s m b u t i o nb a s e d o nm e i rp r o b a b i l i s t i cl i l 【e l i h o o dm e a s u r e s ，埘t hm eb e 讹rp e 订0 m i n gp r e d i c t i o n s r e c e i v i l l g1 1 i 曲e r 、w i g h t sm a i lt h ew o r s ep e r f o m l i n go n e s s ob e f o r eb a y e s i a nm o d e l a v e r a g i l l gi s 印p l i e di nt l l ec o m b i n a t i o no fh y d r o l o 西c a lm o d e l s ，t 、oi s s u s e si n u s tb e s o l v e d ：h o wt od e t e m ：1 i l l et h ew e i g h t s ? h o wt og e ti n d i v i d u a lp o s t e r i o rd i s t r i b u t i o n 9 f o rt h i s ，t l l r e ek e yt e c l l l l o l o g i e sh a v eb e e nl l s e di i lt 1 1 i sp 印e r i 1 1 c l u d 堍t l l ep 跚吼e t e r o p t i m i z a t i o nu s i i 玛( 艳n e t i c舢g o r i 廿1 m s ；m e n o m l a l q u a l l t i l e 仃a n s f o m b y m e 协g a u s s i a i l ； g a u s s i a ni i l i x n 鹏l n o d e lp 揪t e r se 毗m a t i o nb ye x p e c t a t i o n m a ) 【i i n 啪a l g o r i t h 鼽 1 1 1t h i ss t l l d y ，廿l ec o m b i n a _ c i o no fm u l t i p l eh y d r o l o g i cp r e d i c t i o n si n c l u d i n gt h e s a c r a m e n t om o d e la n dt o p m o d e lb a s e do nb a y e s i a l lm o d e la v e r a g i n gw e r c 印p l i e d t on o o df o r e c 枷n gi nm i s a i b a s i l l so fz h e j i a i l gp r o v i n c e ，n l er e s u h so fc a s e ss h o w e d t l l a t ，f i r s t t l l e9 0 0 dm e a j lf o r e c a s t i n ga n dt 1 1 es p e c i f i e dp r o b a b i l i s t i cc o 血d e n c e i n t e r v a lo fn o o dd i s c l 熘ew e r ep r o d u c e da 1 1 dn l el a t e rc h a r a c t c r i z e dn l ee x t e n to f u n c e 删n t y ；s e c o n 也ag o o dp r o b a _ b i l i s t i ch y 出o l o g i cp r e d i c t i o na tp e a kf l o ww 勰 p r o v i d e db yas i n g l e s e to fb m a 、e i g h t so rm u l t i p l es e t so f 、v e i g h t s ；t h i r d ， p r o b a b i l i s t i c1 1 y d r o l o g i c p r e d i c t i o n sb y 舢l t i p l es e t so fb m aw e i 出sw e r em o r e r e l i a b l e mt h o s eu s i i l gas i i l es e to fw e i g h t si nt l l ew h o l ep r o c e s so fn o o d f o r e c a s t i n g k 呵w o r d s ：p r o b a b i l i s t i ch y d r 0 1 0 9 i cp r e d i c t i o l l s ；b a y e s i a i lm o d e la v e r a 西n g ；g e n 硝c a l g o r i t l u n s ；m e t a - g a u s s i a i l ；e x p e c t a t i o nm 嫡m l l i i l ；g a u s s i a l l1 1 1 i x t u r em o d e l 藿霎奏羹喜主霎薹耋菱 藿雾薹鼙鬓羹妻墓蓁霾雾薹蚕茎妻 喜蠹耋萎蓥 = 圣薹萋至i 主i i 霎薹| 耋矍；至i 主霎善ii 耄薹l 一薹。 ；霎薹! ! ；嚣主羹鼙羹：囊芝三三j i i 茎茎毫i 囔薹i 茎茎室量主至i 薹i 雾誊i 蚕i l 露墼s 耋! 囊! i ；兰；奏蓁霎霎；! 蓄；霎叠茎至l 墓雾羹曼i 襄霎；主 霎重l i 霎至；主霎窆i 墓毫耋；耋薹善雾主i 堇目；摹妻妻羹娄薹i i i i 雾l 霎耋耋i 垂霎霎茎i ；薹l ii 鋈囊一ii 蓁重i i 茎霎! 薹蓁重醛亨耋i 主习耄藿晕薹蕈塞囊妻塞l 薹季主摹圣妻萋矍主事亨；妻妻备蚕蚕塞塞耋蚕雾霎萋塞萋l 薹雾薹霪圣茎妻i l 耋薹塞蚕葶季专霎耋室 主i 主 霎霍! 薹l l 蓁蓁；蠢蠢霎i 要至；墓! l | ! ! ；萋i 薹主茎i 目差l ；墓薹季零! 蓁量i 主耄季；= 主| 主要耄；耄蓁委巨薹錾耋毫蓄i 主主i 窭薹雾雾! 霎i 霎霎i 搴堂薹薹i ；妻! 霎霎? 囊霎霎茎蚕；耄薹薹蓁：霎冀霎： x 第一章绪论 1 1 问题的提出 第一章绪论 水文预报是建立在尽可能掌握客观水文规律的基础上，预报未来水文现象变 化的应用科学技术【l 捌。及时准确的水文预报结果可以直接为防汛抢险、水资源 合理利用与保护、水利工程建设和调度运用管理、工农业生产发展服务。 自从2 0 世纪5 0 年代以来，流域水文模型经过了几十年的发展，已经比较成 熟。国内外水文专家针对不同的流域特点研制了诸如新安江模型、萨克拉门托模 型、水箱模型等不同的流域水文模型，在洪水预报和水资源管理等众多领域得到 广泛的应用。然而，这些模型采用数学模型的形式简化描述流域水文过程，且大 量的水文模型研究与实践表明：没有哪个模型能够在任何情况下都可以很好地 模拟流域降雨径流关系；在实际的水文预报中没有哪个模型始终提供优于其 它模型的预报结果。因此，每个模型都有自己的特色。事实上，可以同时采用几 个不同的模型在相同的输入条件下进行“并行”运算。对于同样的输入，不同的 模型一般给出不同的模拟或预测结果。在这种情况下，可以采取某种综合方案来 对这些不同的结果进行处理，将它们在预报过程中互相嵌入，发挥不同模型优势， 提高预报精度。 在水文模型综合研究过程中，已经涌现出很多比较成熟的水文模型综合方 法，包括简单平均法、加权平均法、神经网络和模糊推理法等。其中有些方法有 效地弥补了单个模型对特定状况下预测不准的不足，可提供更稳健及精度更高的 预报结果。但因为水文模型描述的一些物理过程，如降雨一径流转换、下渗、河 道演算等都建立在物理简化的基础上，加之水文模型的输入和初始状态本身都具 有随机性，所以，任何水文模型都不可能真实完全地反映水文过程。水文模型存 在着的这种结构不确定性，使得预报结果也必然具有不确定性。仅仅给出各个模 型以及模型综合预报结果并不能定量地说明水文模型结构的不确定性。因此，既 能给出精度高的综合预报结果，又能考虑水文模型结构不确定性的综合预报方法 已成为发展趋势。 本文提出的贝叶斯模型平均法可以满足上述要求。该方法可以给出水文预报 量各种统计特征( 均值、方差和置信区间等) ，其中均值反映了各模型综合预报的 河海大学硕士学位论文贝叶斯模型平均法在水文模型综合中的应用研究 效果，方差或置信区间反映了在模型结构不确定性影响下预报量可能的变动范 围。这对于提高我国水文预报的水平具有重要的现实意义和科学价值。 1 2 国内外研究动态 1 2 1 水文模型的研究进展 水文模型根据降雨和径流在自然界的运动规律建立数学模型来分析和模拟 现实中的水文过程。其中斯坦福模型( s 伽怕r dw 乱e r s h e dm o d e l ，简记s w m ) 【3 j 是 世界上最早研制成功的概念性水文模型，它从1 9 5 9 年开始研发，到1 9 6 6 年完成 第号模型。该模型特点是物理概念明确、模型结构基本符合水文物理过程，同 时考虑温度、辐射来模拟流域上的融雪径流，是最早的融雪径流模型。但因s w m 模型的参数过多、计算复杂，实际应用不便。因此，美国国家气象局( n w s ) 的 b 啪a s h 等【4 】在s w m 的基础上开发了s a c r 锄e n t o 模型，该模型因最早应用在美 国加里福尼亚s a c r a m e n t o 河而得名。它与s w m 模型的区别在于s a c r a m e n t o 模 型的上层以渗漏代替入渗，把水汽输入分为张力水和自由水，降雨入渗的水先满 足张力水后再产生自由水，模型功能比较完善，应用于大、中流域。2 0 世纪5 0 年代，美国农业部水土保持局研发了适用于小流域洪水预报的s c s ( s o i l c o n s e a t i o ns e r v i c e ) 模型【5 1 ，该模型考虑了流域下垫面的特点对预报的影响。 1 9 6 1 年日本国立防灾科学研究中心菅原正已博士提出了水箱模型( t a i l l 【m o d e l ) 【6 】，该模型概念简单，弹性较大，适于大、中、小流域。1 9 7 9 年b e v e n 和飚r b y 提出了一种半分布式流域水文模型- t o p m o d e l 【7 】。该模型参数较少，且具有比 较明确的物理意义，能较充分地利用地形资料，不但适用于坡地汇流计算，还可 用于无资料地区的产汇流估算。赵人俊教授提出的适用于湿润地区的新安江模型 嗍是我国最具代表性的概念性水文模型。它的特点是认为湿润地区主要产流方式 为蓄满产流，所提出的流域蓄水容量曲线是模型的核心，其考虑了流域特性的空 间变异性，因而也成为半分布式( 或分散式) 概念水文模型。 概念性水文模型可以有效地模拟水文过程，但也存在着一定的缺陷，如模型 参数缺乏明确的物理意义，且对降雨等资料的均化处理不能客观反映实际情况 等。因而，伴随着计算机技术的发展，基于物理机制的分布式水文模型得到了普 遍关注。 2 第一章绪论 f r e e z e 和h a r l 9 1 于1 9 6 9 年首先提出了分布式水文模型的概念。由于模型 对资料的要求很高，要从有限观测站点的有限资料中找到在质量上符合要求，且 在空间和时间分辨率上合适的资料是十分困难的，加之对计算机的要求提高，使 得分布式水文模型在上世纪7 0 年代末以前较慢。分布式水文模型的大量出现开 始于2 0 世纪7 0 年代末以后。s h e 模型【l o ，1 1 】是典型的分布式物理模型，主要的水 文物理过程均采用质量、能量或动量守恒的偏微分方程的差分形式来描述，同时 采用了经过一些独立实验研究得来的经验公式。至今，国内外的水文学者已研制 了一系列的分布式水文模型，s h e 模型就出现了不同版本，如m i k e s h e 、 s 印三t p a n 等f 1 2 ，1 3 1 ，较为常见的还有t o p 心i 模型f 1 4 1 、d h s v m 模型【1 习以及国 内夏军等开发的d t v g m 模型【1 q 和郭生练、熊立华等【1 7 】提出的一个基于d e m 的 分布式流域水文物理模型等。 1 2 2 水文预报不确定性的分类 人们发现，除了水文过程存在着自然不确定性外，水文预报不确定性主要归 咎于模型输入、模型参数和模型结构的不确定性。 ( 1 ) 水文现象自然不确定性 不确定性广泛存在于水文现象之中。由于水文过程在其发生、发展和演变过 程中受到来自不同方面的诸多因素的共同影响，使得它的状态始终体现为一种不 稳定、模糊、无序或混沌现象，这就是所谓的水文现象不确定性。即使模型尽善 尽美，预报误差仍然是不可避免的。 水文现象不确定性按形态可分为随机不确定性和模糊不确定性。 ( 2 ) 模型输入不确定性 水文预报依赖于可靠的水文气象资料。降雨资料的不确定性对水文模型的预 报有着至关重要的影响。降雨的时空变异性与观测站网的固定点观测之间的矛盾 是不确定性的主要来源。当以流域平均降雨方式输入集总式水文模型时，会导致 预报的不确定性。分布式水文模型通常采用插值的方法将点降雨内插到模型网格 上。然而不同的插值方法所得的河川径流量可能相差很大，这些方法能够客观反 映降雨的空间分布尚无法验证，需要进一步研究。流量资料的不确定性主要来自 于水位测量、流速测量、断面测量、水位流量关系的确定。站网布设以及仪器设 备的性能是导致蒸散发及土壤湿度的误差的主要原因。 河海大学硕士学位论文 贝叶斯模型平均法在水文模型综合中的应用研究 ( 3 ) 模型结构不确定性 现有的水文模型数以百计，它们都是水文学家对水文现象不同的理解和解 释，在结构上都经过了统计概化，做了大量的假定，任何模型都无法准确的反映 实际水文现象，因此模型结构存在着不确定性。 模型结构不确定性一般表现在两个方面，一是同一模型的不同子结构组成对 预报结果产生的不确定性，如二水源新安江和三水源新安江的差别带来的不确定 性；二是采用不同模型给预报结果带来的不确定性。 ( 4 ) 模型参数不确定性 一方面，水文模型有些参数只能在对实测资料进行分析的基础上通过参数优 选得到，其中便增加了资料的选取、优化方法的选择、目标函数的确定及参数组 合等因素而产生的模型参数率定的不确定性。另一方面，不同的率定样本优选出 参数也不同。率定参数时所用水文资料的质量对模型参数率定的影响远大于所选 取水文资料的数量对模型参数优选的影响1 8 1 。水文资料的质量依赖于数据中所 包含的有关水文过程信息的多少以及数据本身存在的误差，数据包含的信息多少 取决于水文过程的变幅，如果数据涵盖了丰水、中水、枯水年，则认为数据中包 含的水文信息较多。 1 2 3 水文综合预报方法 至今，在对并行运算的多个水文模型的结果进行综合时，常用的方法有简单 平均法和加权平均法等【1 9 ，2 0 2 。 ( 1 ) 简单平均法( s i m p l ea v e 强妒m e m o d ，简记鼬m ) 假定有个模型进行水文预报，在f 时的各预报结果为q ( _ ，= 1 ，2 ，) ， 则根据简单平均法，f 时综合预报结果q 为 1 磊= 寺g ， ( 1 1 ) ”= l 从上式可看出，s a m 法同等看待各模型，赋予各模型相同的权重。然而在 某些情况下，各个模型的模拟好坏并不一样。这时，s a m 法可能得不到令人满 意的结果。 ( 2 ) 加权平均法( w e i g h t e da v e 豫g em e 恤o d ，简记w a m ) 4 第一章绪论 g r a i l g e r 和砒吼a n a t l l a n 于1 9 8 4 年提出了加权平均法，其计算公式为 龟= 口g + 巳 # l ( 卜2 ) 式中巳为加权平均法计算误差，口j 为第j 个模型的权重，则各模型的权重之和为 1 ，其它符号的意义跟式( 1 1 ) 相同。很明显，模型权重越大，该模型拟合效果越 好。 ( 3 ) 其它 s l l 锄s e l d i i l 【2 2 】将5 个水文预报模型在1 1 个流域进行预报应用，采用3 种不 同的方法( 简单平均、加权平均和神经网络) 将各个预报结果进行综合，通过比较 得出用神经网络把5 个模型各自结果综合后的预报结果明显好于其它2 种方法。 x i o n g 【2 3 】等利用t a k a g i s u g e n o 模糊系统对各个模型的预报结果进行模糊结合， 取得了令人满意的结果。s e e 【2 4 】同样将几个水文预报模型的结果输入神经网络得 到数据融合后的预报结果，充分弥补单个模型对特定状况下预测不准的不足。在 国内，路志英【2 5 】等于2 0 0 4 年提出了用a m i 的前馈网络( b p 算法) 串入竞争自组 织映射网络( s o m 网络) 方法对同一预报量进行不同结构类型的m o s 模型、动力 诊断模型和人工智能模型的综合预报，结果表明基于人工神经网络的多模型综合 预报方法具有很好的应用前景。熊立华和郭生练等【2 6 】采用自适应神经模糊推理 系统( 砧师i s ) 作为水文模型综合平台，对多个并行运算结果进行处理，提高了模 型效率和模拟精度。张弛等【2 7 1 针对历史洪水数据丰富和相对贫乏两种情况，分 别提出基于多目标模糊优选和基于贝叶斯分析的组合预报模型，试验结果表明两 种模型可行而且实用，预报精度均明显高于单个模型的预报精度。 近年来发展起来的贝叶斯模型平均法在水文和气象等模型综合中得到广泛 的应用。惭y 等鼢2 9 1 将贝叶斯模型平均法应用于天气预报，获得有价值的结论； n e 啪a 1 1 和w i e r e n g a 【3 0 1 利用贝叶斯模型平均法进行地下水模拟；d u a i l 等【3 i ，3 2 】将 该方法应用于水文模型结构不确定性分析中，得到令人信服的效果。在国内，刘 攀等【3 3 1 利用贝叶斯模型平均法对水文频率线型进行选择和综合，结果表明： 线型的后验概率越大则可拟合越好；贝叶斯模型综合能根据各线型的后验概率 设置权重进行加权平均，以此减少线型选择的不确定性。 河海大学硕士学位论文贝叶斯模型平均法在水文模型综合中的应用研究 1 3 主要研究内容及技术路线 1 3 1 主要研究内容 论文主要研究内容包括贝叶斯模型平均法的理论研究和应用验证研究两个 组成部分。在理论研究方面，论述了贝叶斯模型平均法的理论框架和关键技术； 在应用研究方面，将针对典型流域，采用两种水文模型对理论进行验证检验。 ( 1 ) 贝叶斯模型平均法的理论研究 贝叶斯模型平均法是一种基于贝叶斯理论的将模型本身的不确定性考虑在 内的统计分析方法。它以实测样本隶属于某一模型的后验概率为权重，对各模型 预报变量的后验分布进行加权平均，获得综合预报变量的概率密度函数，进而推 导出均值、方差公式和置信区间。 论文对三个关键技术进行理论研究，以获得综合预报变量的概率密度函数的 准确形式： 根据目标函数，运用遗传算法对选用的水文模型参数进行优化的理论研 究； 通过亚高斯模型分别对实测和各模型模拟样本进行正态分位数转换处理， 并对转换后的时间序列进行线性假设，以确保各模型预报变量近视服从正态分布 的理论研究； 采用期望最大化算法估计高斯混合模型的参数，进而确定出综合预报变量 的概率分布的理论研究。 ( 2 ) 应用验证研究 为了挖掘出各水文模型在模拟流量的优点，论文采取了两方面的策略： 将贝叶斯模型平均法应用于整个时间序列中，获得单组权重，以反映各模 型在整个时间序列方面模拟的好坏，称之为单组权重贝叶斯模型平均法( 简写为 b m a l ) ； 首先将时间序列划分为若干个级别，然后用贝叶斯模型平均法分别对各级 别的时间序列进行分析，获得若干组不同权重，以反映各水文模型在模拟不同流 量级别的优点，称之为多组权重贝叶斯模型平均法( 简写为b m a n ，其中n 代表 级别数) 。 论文选用萨克拉门托和t o p m o d e l 模型，将前述的b m a l 和b m a n 应用于 6 第一章绪论 属湿润地区的浙江省密赛流域的洪水预报中，以验证贝叶斯模型平均法的可行 性。 1 3 2 技术路线 主要技术路线包括基本数据的收集整理、方法体系的建立和应用验证研究。 技术路线如图卜l 所示，主要步骤如下： 流域水文模型 遗传算法 水文模型参数优化 各模型的模拟序列ll实测流量序列 亚高斯模型j l 亚高斯模型 正态分位数转换( 模拟)ll 正态分位数转换( 实测) 假设实测与模拟之间存在着线性关系 高斯混合模型 e m 算 确定高斯混合模型的参数 获得正态转换后的综合预报量概率密度函数 进行模拟和预报( 均值和置信区间) 均值和置信区间转化为原始空间 图卜1 技术路线图 ( 1 ) 密赛流域基本资料收集和分析 收集密赛流域的地理、地形、河流水系，气象，水文资料，其中，大，中等 场次洪水资料1 0 场以上，连续日降雨径流资料5 年以上，对上述资料进行基本 的纠错、插补和统计整理分析。 ( 2 ) 水文模型参数优化 根据设定的目标函数，运用遗传算法对选用的水文模型参数进行优化，从而 获得各模型对历史洪水的模拟值。 ( 3 ) 正态分位数转换 7 河海大学硕士学位论文贝叶斯模型平均法在水文模型综合中的应用研究 通过亚高斯模型分别对实测和各模型模拟样本进行正态分位数转换处理，并 对转换后的时间序列进行线性假设，使得综合预报变量的概率分布为高斯混合模 型。 ( 4 ) 高斯混合模型参数估计 采用期望最大化( e m ) 算法估计高斯混合模型参数，获得高斯混合模型的准 确形式。随后，利用综合预报量的均值公式和置信区间的数值解法，计算均值和 以指定概率的置信区间。同时将结果转换为原始空间。 ( 5 ) 理论方法的验证研究 根据典型流域的水文资料，对贝叶斯模型平均法进行应用研究，以检验方法 的可行性。 ( 6 ) 研究成果的总结 根据上述研究结果，对提出的方法体系和应用验证结论进行归纳，最终形成 本论文的研究成果总结。 第二章贝叶斯模型平均法的理论框架 第二章贝叶斯模型平均法的理论框架 2 1 贝叶斯模型平均法的基本原理 贝叶斯模型平均法( b a y e s i a nm o d e la v 毛f a 百n g ) 是一种基于贝叶斯理论的将 模型本身的不确定性考虑在内的统计分析方法【3 4 3 5 3 6 如。 2 1 1 概率密度函数 设y 为预报变量，= 秒。，y ：，均 为模型率定所需的实测资料， m = 必，m ：，心) 代表所有可能的水文模型组成的模型空间，而哪一个模型 是最佳模型事先并不知道，即模型本身存在着不确定性。根据贝叶斯模型平均法 的理论，综合预报量j ，的后验分布为： p i d d 缸) ：囊尸一见缸b ( y i m ，d 幽) ( 2 1 ) 式中，p i m ，见。，) 为在给定数据和模型m ，的条件下预报量j ，的后验分布， 其形式为： p l m ，d o 缸) = 工p i ，m ，d d b b ( i d 咖坯 ( 2 2 ) 其中，= 缸，) 代表模型m 。的输入、参数向量。在本文中，由于只考虑水文模 型结构的不确定性，忽略输入、参数等的不确定性，因此，假定m ，为最优模型 的情况下，通过参数优化，预报量y 的后验分布变为： p m m ，) = p ，m 。，) ( 2 3 ) 另外，p f l 见缸) 为在给定数据的情况下m ，为最优模型的概率。根据贝叶 斯理论，模型的后验概率尸似) 形式为： 咖斛一 ( 2 _ 4 ， p 慨缸l m ，妒，) 9 河海大学硕士学位论文 贝叶斯模型平均法在水文模型综合中的应用研究 其中，尸) 为模型必为最优模型的先验概率，在没有特别信息的条件下可取 均匀分布，即p 似。) = 1 七；p 咖l m ，) 为模型m ，的边际似然函数。 因此，综合预报量j ，的后验分布实际上是以后验模型概率尸似一) 为权 重，对所有模型的后验分布p i m ，见缸) 进行加权的一个平均值。 2 1 2 期望和方差 根据式( 2 1 ) ，综合预报量y 的点估计均值和方差【2 8 ，：2 9 ，3 4 1 分别为： e 慨，】= d 书( 喜尸似她缸堋归 ：壹尸似f i d o 泌) e y 木p i m ，d d 缸协 七 = w 仇 f - l 脚m d 。缸】= e 陟一e l 见如) 】2 母( 喜尸似d 口如b i m 。，d d 如) 方 ( 2 5 ) = e 陟2 2 掌y 掌e ) + e 2 叫见缸辽喜p ，i 。咖b i m ，) ) 砂 = d 2 陲尸似她如b 蚝归圳e 2 纠) + e 2 m ) = 喜尸似j l 见。，) e y 2 p m ，d o 蛄协一e 2 纠) ：圭w ，6 7 7 + 盯小r 圭 2 = 喜w ，f 刁? 一2 刀，喜刁，+ ( 喜_ 刁， 2 + 喜砰 = w ，旧一2 刀，7 ，+ l _ ，7 ll + 砰 j = 1 i = 1歹= l j f = 1 = w ，h 一嵋仇i + 盯? ( 2 6 ) 这里的w f = p ，1 ) ；仇、仃；分别为在给定数据和模型m ，的条件下预报 l o 第二章贝叶斯模型平均法的理论框架 变量y 的期望值和方差。因此，贝叶斯模型平均法中综合预报量) ，的点估计均值 为以嵋为权重，对各模型矾进行加权的一个平均值；方差可分为两部分，即模 型间误差和模型内误差，其中模型间误差为式( 2 6 ) 中嵋l 仇一w f 仇i ，模型 七 厂 七 、z f = l 、 f - l 七 内为盯；。 f ；l 2 1 3 置信区间 虽然上述中给出了反映模型结构不确定性的综合预报变量的方差计算公式， 但是人们一般想要的是预报变量某一置信水平的置信区间。为此，本文在用解析 法直接求解困难情况下，给出了求解预报量某一置信区间的数值解法。其计算步 骤如下： 根据各水文模型的权重 ， ，随机抽选一个模型f ； 利用模型f 预报量的概率密度函数p l m ，) ，随机产生一个预报流量 值q ； 重复步骤所次，得到一系列某一时间点的预报流量值q 1 ，绋； 对上述的流量值系列进行统计，就可获得预报流量的点估值( 如期望估计 值，也称之为贝叶斯估计值) ；同时，也可得到对流量估计的不确定性评价，如 某一置信水平的置信区间。 2 2 贝叶斯模型平均法的特性 从贝叶斯模型平均法的基本原理中可以看出，贝叶斯模型平均法具有下面的 两个重要特性：该法能综合各模型的优势，提供精度较高的均值预报；方差 或某一置信水平的置信区间反映了在模型结构不确定性影响下预报量可能的变 动范围，实现了概率预报。 2 3 本章小结 本章主要讲述贝叶斯模型平均的基本原理及其特性，即： 河海大学硕士学位论文贝叶斯模型平均法在水文模型综合中的应用研究 贝叶斯模型平均法是一种基于贝叶斯理论的将模型本身的不确定性考虑 在内的统计分析方法。它以实测样本隶属于某一模型的后验概率为权重，对各模 型预报变量的后验分布进行加权平均，获得综合预报变量的概率密度函数，进而 推导出均值、方差和某一置信水平的置信区间。 贝叶斯模型平均法不仅能综合各模型的优势，提供精度较高的均值预报， 还能给出可靠的概率水文预报，定量地评价模型结构不确定性对预报的影响。 1 2 第三章贝叶斯模型平均法的关键技术研究 第三章贝叶斯模型平均法的关键技术研究 第二章主要论述了贝叶斯模型平均法的理论框架，但在应用于实际之前，需 要解决它的两个问题：如何确定各模型的权重；在只考虑模型结构不确定性 条件下，如何确定各模型预报量的后验分布。本章正是针对上述问题，提出三个 关键技术，以获得式( 2 1 ) 的准确形式。 3 1 水文模型参数优化 3 1 1 问题描述 由于忽略了流域水文模型输入、参数的不确定性，模型参数根据某目标函数 进行优化问题就值得本论文的研究。实际应用中由于优化问题所涉及的影响因素 很多，解的空间也很多，而且解空间中参变量与目标函数之间的关系又非常复杂， 所以在复杂系统中寻求最优解一直是人们努力解决的重要问题之。有时候，可 以采用随机抽取定义域中几组参变量的方法来搜索最优解，其基本思路是对随机 得到的有效解进行分析与比较，最后获得近视最优解。这种搜索对于小空间，简 单的穷举法就可以完成，但是对于较大的搜索空间，则需要使用特殊的优化技术。 遗传算法( g e n e t i c 舢g o r i n n s ) 嗍就是一种有效的搜索技术。 3 1 2 遗传算法的基本原理 遗传算法是通过模拟自然选择和自然遗传机制而形成的一种随机搜索算法， 其基本思想来自达尔文的进化论。它以编码空间代替问题的参数空间，以适应度 函数作为评价种群个体的依据，并采用选择、交叉和变异三个基本操作建立起一 个迭代过程，实现对自然选择和遗传机制的模拟。每一次迭代都是一个进化过程， 通过该迭代得到的子代个体总是优于其父代个体，因此经过一定代数的进化，经 过算法优化所得到的种群个体就很可能逼近于实际的最优解集，从而达到求解的 目的。 3 1 3 遗传算法的基本操作 遗传算法一般包括下面4 个基本操作【3 9 】：染色体编码与解码、个体适应度 的检测评估、遗传算子和终止准则。 。 河海大学硕士学位论文 贝叶斯模型平均法在水文模型综合中的应用研究 ( 1 ) 染色体编码与解码 遗传算法使用固定长度的二进制符号串来表示群体中的个体，其等位基因由 二值 0 ，1 ) 所组成。初始群体中各个体的基因可用均匀分布的随机数来生成。 编码：设某一参数的取值范围为眇。，u ：】，并用长度为刀的二进制编码符 号来表示该参数，则它总共产生2 ”种不同的编码，可使参数编码时的对应关系 为： o o o o 0 0 0 0 = oo u 0 0 0 0 0 0 0 l = l u + 万 1 1 1l 1 11 1 = 2 ”一1 一u 2 其中，万= 喾。 解码：假设某一个体的编码为瓦色_ 1 6 2 反，则对应得解码公式为： x = u + 隆吲寸碧 伊t ， f = l 一1 ( 2 ) 个体适应度的检测评估 对个体检测评估的目的是按个体适应度成正比的概率来决定当前群体中各 个体遗传导下一代群体中的机会多少。为了正确估计这个概率，要求所有个体的 适应度必须为非负数。所以，根据不同种类的问题需要预先确定好由目标函数值 到个体适应度之间的转换规律，特别是要预先确定好当目标函数为负数时的处理 方法。 ( 3 ) 遗传算子 选择算子 选择操作的目的是为了从当前群体中选出优良的个体，使它们有机会作为父 代为下一代繁衍子代。不同的选择策略形成不同种的选择算子，常用的有适应度 比例选择算子、排序选择算子和联赛选择算子等。 本文使用适应度比例选择算子。它是利用比例于各个个体适应度的概率决定 1 4 第三章贝叶斯模型平均法的关键技术研究 其子孙的遗留可能性。若设有，个初始父代，个体f 的适应度为z ，则个体f 被选 ， 取的概率为z = ，乃。当个体选择的概率给定后，产生 o ，1 之问的均匀随 = 1 机数来决定哪个个体参加交配。若个体的选择概率大，则能多次被选中，若个体 的选择概率小，则被淘汰。 交叉算子 通过交叉操作，遗传算法的搜索能力得到飞跃地提高。目前常用的交叉算子 有：由二进制编码引申而来的单点交叉、多点交叉和均匀交叉，以及针对实数编 码的算术交叉和启发式交叉等。 本文选用单点交叉算子。经过选择操作后种群中两个个体以事先给定的交叉 概率只进行交叉操作：随机产生一个交叉点位置，两个个体在交叉点位置互换部 分基因码，形成两个子个体，如图3 一l 所示。 图3 1 单点交叉示意图 变异算子 在遗传算法的结构中引入变异的目的在于：第一，使遗传算法具有跳出局部， 实现全局随机搜索的功能；第二，维持群体的多样性，避免出现早熟收敛问题。 本文变异运算使用基本位变异算子。该法将二进制的基因编码组成的个体种 群实现基因码的小概率己翻转，即o 变为1 ，而1 变为0 ，如图3 2 所示。 臣匹 = 缶圈 图3 2 变异操作示意图 ( 4 ) 算法运行的终止准则 遗传算法的终止准则应根据不同的问题采用不同的方法。文献【4 0 】把这些准 则归纳为四种。第一类方法就是给定一个最大的遗传代数朋撕g 阴，算法迭代代 数达到砣缸g 绷时停止。第二类方法是给定问题的一个下界三b ，当进化中达到 河海大学硕士学位论文贝叶斯模型平均法在水文模型综合中的应用研究 要求的偏度差g 时，算法终止。第三类方法是当观察到最优解已经连续k 代没有 进化到一个更好的解时，算法终止。第四类是组合以上多种终止规则。 3 1 4 遗传算法的运算流程 简单遗传算法的运算流程如图3 3 所示： 参数进行编码，并随机产生初始种群，确定个体数目，每个个体表示为 染色体的基因编码； 计算个体的适应度，并判断是否符合终止准则。若符合，输出最佳个体 及其代表的最优解，并结束计算；否则转向第步； 依据适应度选择再生个体，适应度高的个体被选中的概率高，适应度低 的个体可能被淘汰； 按照一定的交叉概率和交叉方法，生成新的个体； 按照一定的变异概率和变异方法，生成新的个体； 由交叉和变异产生新一代的种群，返回第步。 图3 3 遗传算法的简单流程图 3 1 5 水文模型参数优化中的几个问题 常用的流域水文模型中大多数参数具有明确的物理含义，可根据流域历史 水文资料和流域特性进行分析，选定初值。然后挑选出敏感性参数，运用遗传算 法对之进行自动优选。 目标函数。目标函数是用来评价实测流量与模拟流量的吻合程度，不同的 1 6 第三章贝叶斯模型平均法的关键技术研究 目标函数评价水文过程的不同特征。本文采用如下的目标函数： d 够= d 矾+ d 巧2 ( 3 2 ) 其中，d 巧1 评价实测与模拟流量过程的吻合程度；d 阿2 评价实测与模拟洪峰流量 过程的吻合程度。 d 巧l = ( 3 3 ) 邮= 击如弘硝 1 ，2 净4 ， 式中，y ，为实测流量，z 为模拟流量；m p 为洪峰个数；乃为第_ ，个洪峰过程节 点数。 精度指标。以确定性系数h 1 1 、峰值相对误差和峰现误差作为度量模型精 度的指标。 循环结束的判别。为防止死循环，符合下列条件之一时应停止计算。第一、 1 0 0 次循环后仍无法显著改变参数值并且无法改善目标函数；第二、循环的最大 次数1 0 0 0 0 已经达到。 3 2 正态分位数转换 3 2 1 问题描述 将各水文模型在率定阶段的历史洪水模拟值与实测值之间进行分析，以获得 各模型预报量y 的后验分布，其形式可能很复杂。这给式( 2 1 ) 的计算可能带来 很大的不便。虽然近些年发展起来的统计方法m 酞o vc h a i nm o n t e c a l l o ( m c m c ) 【4 2 1 可以模拟任何复杂概率分布，但这不在本论文考虑之内。为此， 本论文通过亚高斯模型( m e 协g a u s s i a n ) 【4 3 ，删分别对实测和各模型模拟样本进行 正态分位数转换处理，并对转换后的时间序列进行线性假设，以确保各水文模型 的预报变量近视服从正态分布。 3 2 2 亚高斯模型 亚高斯模型的核心内容就是正态分位数转换( n o 彻面q u a n _ t i l et r a l l s f o m ，简 河海大学硕士学位论文贝叶斯模型平均法在水文模型综合中的应用研究 称写为n q t ) 。n q t 是已知变量的边缘分布函数，并假定其服从正态分布且严 格递增，从而推求该变量相应得正态分位数。令q 表示标准正态分布，则实测序 列 、模型m 模拟序列 转换后的正态分位数分别为： = q 。( f ，巍f = 1 ，丁 ( 3 5 ) = q 。1 巍f = 1 ，2 ，丁 ( 3 6 ) 式中，r 为时间序列长度；y ：、分别为y ，、厶的正态分位数；r 、分别为y ，、 以的边缘分布函数。在本论文中，设实测或模拟流量序列服从三参数w e i b u l l 分布，因此其概率密度函数为： 啡焉脚卜文刳弘1 唧( _ ( 爿卜 三z r