（电机与电器专业论文）基于小波分析的异步电动机故障诊断的研究.pdf

太原理工大学硕士研究生学位论文 由于小波包变换具有对信号的传递特性和对噪声的抑制特性， 即相当于带通滤波器，从理论分析上和对降噪处理的结果对比 中都证明了小波包变换对信号具有最优的降噪处理效果。 同时小波包变换还具有优良的时频局部特性和多分辨率的 处理能力，既可对信号整体进行分析，又能反映信号局部细节 的内容，能够及时准确的捕捉到非平稳局部突变信号的故障特 征。而电机电流和振动等信号能及时准确地反映异步电动机的 早期故障信息，因此本文采用小波包分析法对异步电动机振动 和电流信号进行详细的分析，从而实现异步电动机的故障诊断。 本文在分析和总结电机常见故障机理及其在振动或电流频 谱上出现的故障特征的基础上，对异步电动机振动信号和定子 电流信号分别在正常和故障两种运行状态下进行基于小波包分 析的故障特征提取。为模拟实际电机故障，人为制造电机轴承 和转子故障，并在相应工况下对电机振动信号和电流信号进行 了采样，对采集到的信号做了大量的整理、分析和比较工作， 将正常和故障两种状态下的电机振动和电流信号分别进行了小 波包分解和单支重构，从中提取到故障特征频段，将正常和故 障运行时的特征频段进行了详细的对比，从特征频段重构信号 的波形上可以看出，基于小波包分解和重构的电机故障特征提 i i 太原理工大学硕士研究生学位论文 s t u d y 攀吲囊墓攀鬟誉萋i 驾塑豢薹萋l 霎薰掌 璧善霉曼蘧霎霎蓦羹霎萋囊鬟瀑冀冀冀囊雾耄蓑委囊勺自 囊囊篓；蓁霪萋囊羹羹薹塞飘萋鬻薹i 萎 萋囊雾囊羹霎篓菲 蕊登i 篓窜刘i 耋i 屿毫划；莹妻蓬毒妻毫季事室l 蚕手壬蠢嚣谶量萋，仕叠缎鬟地蠢 笺善i 蒜羹i 孽毫董琴三蘩差匿眭1 2 ；愕i 萋卅4 董il i 薯；冀i ! 垂菩菱i 墓f b 薹；毫i 薯降噪 1 治觥藕沤翟ix 分类号y7 8 8 3 8 7 太原理工大学 密级 硕士学位论文 题目失量墼蹦感应电动机转速辩识方法研究 s p e e de s d m a 6 0 m e t l i o d so f 英文并列题目! ! 竺! ! ! 塑! ! 墅! ! ! ! ! ! o l 里i 呷u 哩。nm o t o r 研究生姓名：堑金盘 学、号： 专业： 研究方向： 2 0 0 2 0 l l o 它缸与电器 电机变频调速 导师姓名：主基 职称：墼蕉 论x 提交日期 2 0 0 5 5 学位授予单位：盘堕望王茎堂 地 址：些亘：盔堕 太原理工大学 x 太原理j ：人学硕十研究生学位论文 1 1 引言 第一章概论 1 1 1 交流调速的发展 随着生产技术的不断发展，电机传动在工农业生产、交通运输、国防、 军事以及只常生活中应用越来越广泛，用来传动的电机大多要求调速，如 车辆、电梯、机床及造纸机械等，而为了减少损耗、节约电能，风机、水 泵等也需要调速。过去由于直流调速系统调速方法简单、转矩易于控制， 比较容易得到良好的动态特性，因此高性能的传动系统都采用直流电动机， 直流调速系统在变速传动领域中占统治地位。但是直流电动机的机械接触 式换向器结构复杂、制造成本高、运行中容易产生火花、需要经常的维护 检修，使得直流传动系统的运营成本很高，特别是由于换向问题的存在， 直流电机无法做成高速大容量的机组，远远不能适应现代生产向高速大容 量化发展的要求。 交流电动机特别是鼠笼式异步电动机，由于结构简单、制造方便、价 格低廉，而且坚固耐用、惯量小、运行可靠、很少需要维护、可用于恶劣 环境等优点，在工农业生产中得到了广泛的应用。但是由于交流电动机调 速比较困难，早期的应用主要是调压调速、电磁转差离合器调速、绕线式 异步电动机转子串电阻调速及串级调速，这些方法都是在电机旋转磁场的 同步转速恒定的情况下调节转差率，效率都很低。另一类调速方法是调节 电动机旋转磁场的同步速度，这是一种高效的调速方法，可以通过变极或 太原理工大学硕士研究生学位论文 q u a m i t a t i v ec o m p a r i s o nr e s u l 乜o fm ee n e f g ye i g e n v a l u e ，g r e a t d i 日e r e n c e s a r ef o u n db e t w e e nn o n n a la n d f h u l t s i g n a l s f u r t h e n l l o r e ， f a u l t d i a g n o s i s o fa s y n c l l i o n o u sm o t o r sc a nb e a c h i e v e dc o r r e c u yb a s e do nw a v e l e ta n a l y s i si sp r o v e d k e yw o r d s ：a 8 y n c h r o n o u sm o t o r s ，f a u l td i a 印o s i s ，w 打e l e t a n a l y s i s ，d e - n o i s i n g 太原理工大学硕士研究生学位论文 第一章绪论 1 1 本课题研究的目的和意义 现代工业生产及产业部门以至我们的日常生活，几乎都离不开各种各 样的电机，电机已经是当今生产活动和日常生活中最主要的原动力和驱动 装置。电机的正常工作对保证生产制造过程中的安全、高效、敏捷、优质 及低耗运行意义非常重大。电机的故障和停止运行，不仅会损坏电机本身， 而且会影响整个系统的正常工作，甚至会危及人身安全，造成巨大的经济 损失，因此，对电机故障的诊断要求十分迫切。通过对电机常见故障的诊 断和分析，可以及早发现故障和预防故障的进一步恶化，减少突发事故造 成的停产损失，防止对人员和设备安全的威胁，并为实现状态检修创造条 件：还可以为设计制造者提供经验、积累数据，有助于电机性能及可靠性 的改进：同时，对电机故障定位、决策及维修都是极为重要的。 大型电机在系统中有着重要的地位和作用，一般除应采取各种积极的 维护措施消除或减少故障隐患之外，在故障初期便能可靠地诊断出故障的 类型和成因是最理想的解决方法。为了能在电机有早期故障征兆时采取积 极主动的调节措施，防止故障的进一步恶化，应配备故障在线监视、检测 和智能诊断系统，通过对各种电气量或非电气量的连续监视，分析早期故 障征兆信号，并结合智能诊断系统进行判别。在电机故障初期便能捕获到 故障信息，为实现合理的状态检修创造条件，这是电机最为理想的诊断和 保护措施。但早期故障微弱信号的获取和智能诊断系统的准确性，特别 是在信号处理技术和特征提取环节上还存在很多困难，使得这种方法还未 能取得理想的效果并真正进入实用化阶段，一般只能靠定期停机检修来消 1 太原理工大学硕士研究生学位论文 除故障隐患1 1 0 1 。 电机发生故障时，信号中往往含有大量的时变、短时冲击、突发性质 的成分，这使得电机故障诊断和保护中广泛应用的基于稳态信号的传统分 析方法，如f o u r i e r 变换、最大值算法、最小二乘法与递推最小二乘法等 产生了较大误差2 9 1 ，不利于故障的及时诊断与保护的启动。由此看来，电 机等电力设备的故障诊断，其应用效果必然会受到传统信号处理技术的限 制，寻找一种有效的信号处理技术成为电机故障诊断的迫切要求。 小波变换作为一种时频分析方法，具有多分辨率的特点，且在时域和 频域都具有表征信号局部特征的能力，被誉为“数学显微镜”。它是傅立 时变换思想方法的发展和延拓，具有良好的时频分析特性，特别适宜于非 平稳信号的处理，从而为实现电机在线故障诊断系统提供了良好的技术支 持。 1 2 异步电动机工作原理及其常见故障形式 1 21 异步电动机工作原理 异步电动机主要由定子和转予两大部分组成，它们之间存在空气隙。 它是靠旋转的定子磁场切割转子导体产生感应电流，此旋转磁场又对转予 感应电流作用而带动转子转动，从而实现机电能量的转换。 当电动机定子对称三相绕组通入顺序三相电流时，电动机内部就产生 一个旋转磁场。设某瞬间的电流及两极磁场如图卜l 所示，并以”转速顺 时针旋转。由于转子导体与旋转磁场间的相对运动而在转子导体中产生感 应电动势。若把旋转磁场视为静止，则相当于转子导体逆时针方向切割磁 力线，感应电动势的方向可用右手定则来判定。因为转子绕组是闭合的， 所以会产生与感应电动势同方向的感应电流。这样，上半部转子导体的电 2 太原理工大学硕士研究生学位论文 流是从纸面流出来的，下半部则是流进去的。 通电( 载流) 导体在磁场中要受到电磁力作用，故载有感应电流的转 子导体与旋转磁场相互作用便产生电磁力，其方向可用左手定则判断。 此力对转轴形成一个与旋转磁场同向的电磁转矩，使得转子沿着旋转磁场 的方向以”的转速旋转起来。异步电动机转子的转速”永远低于旋转磁场 的转速h 。 图卜l 异步转动原理图 f i g 1 1t h ea s y n c h r o n o u sr o t a t i o ns c h e m a t i cd i a g r a m 转子的转速是随着轴上机械负载的变化而略有变化的。当电动机拖动 的机械负载转矩增大时，转速”将要下降。 旋转磁场与转子转速存在着转速差( ”。一”) 是异步电动机工作的一个 特点。通常，我们将这个转速差与同步转速啊之比称为转差率，用s 表示。 即： s ：兰型( 卜1 ) 竹i 它是反映异步电动机运行情况的一个重要物理量。当异步电动机接通 电源起动瞬间n = o ，所以5 = 1 。电动机转差率的变化范围为：0 s 1 ， 中、小型电动机在额定运行时的转差率一般为z ( o 0 2 o 0 6 ) 。 3 太原理工大学硕士研究生学位论文 122 异步电动机常见故障形式 异步电动机发生故障的类型取决于电机的结构以及电机工作的环境。 不论哪种故障，都会按一定的模式或机制发展，即从最初的缺陷发展成为 部分故障，或者最终导致完全损坏。这一发展过程所需时间各不相同，因 具体情况不同而存在差别。然而，最重要的是，不论哪种故障都会有其早 期征兆。通过监测可以从中找出一些基本故障的发展过程，从而识别这些 故障的早期征兆。 ( 1 ) 定子铁芯故障 异步电动机的定子铁芯结构是：从铁芯背部将硅钢片夹紧，然后固定 在定子的支架上。如果制造或修理过程中穿转子时损伤了定子铁芯，则会 使定子形成片间短路。环路电流不断流过定子膛内铁芯短路的地方，经过 一段时间，电流渐渐增大。当电流增大到一定程度，定子铁芯硅钢片会出 现熔化现象，然后钢水流入定子槽中，烧毁绕组绝缘。此时，定子铁芯的 故障己相当严重，而线圈也必需更换。这种故障的早期征兆是定子出现大 的环路电流、高温，同时绝缘材料出现高温分解现象。小型电机也同样会 出现此类故障。造成小型电机出现此类故障的原因可能是制造上的原因， 但更常见的原因则是由于电机自身振动过于剧烈，导致电机定子铁芯片间 绝缘损坏。另外，轴承的损坏可能造成转子与定子之间发生摩擦，从而损 坏定子铁芯。 ( 2 ) 绕组绝缘故障 绝缘系统是电机本身固有的，无论是机械方面还是电气方面都是最为 薄弱的部分之。绕组故障常常是由于绝缘缺陷形成的。绝缘缺陷包括主 绝缘中的空洞或杂质。绝缘中从其他地方来的杂质油或金属都是在制造过 程中形成的。无论是由于绝缘老化或是孤立的缺陷所引起的绝缘故障，其 故障的表征基本上是一致的，即电机内活动性放电量增加，这是该类故障 4 太原理工大学硕士研究生学位论文 的早期征兆。 ( 3 ) 定子端部线圈故障 在电机运行过程中，定子端部绕组在力的作用下，会发生移动现象。 当支撑结构松弛时，端部绕组便会发生故障。在某些情况下，端部绕组绝 缘会出现裂纹、磨损或完全损坏。对于大型电机，正常运行时，由于绕组 绑扎松弛，线棒产生较大的位移，可引发线棒疲劳磨损故障。进入电机的 外来异物，如钢垫圈、螺母等会被转子打飞，直接击伤定子的端部绕组， 从而损坏电机。这些碎粒还可能在电磁力的作用下，侵入端部绕组的绝缘 层，侵蚀绝缘，产生端部绝缘故障。定子线圈端部故障的早期征兆使端部 绕组的振动不断加大，并可能出现对地放电现象。 ( 4 ) 转子绕组的故障 对于鼠笼式异步电动机，其转子故障常常表现为以下的几种情况：转 子断条端环破裂，铸铝转子中铸造间隙和气泡。导致转子故障的原因通常 是转子温度过高，以及作用在鼠笼端环上的离心负荷过大，这种情况在电 动机起动时特别突出。导致转子故障的某些缺陷也可能是在制造过程中就 己存在。例如，在制造压铸转子时使用了不合格的铸件以及采用铜焊或电 焊的端环出焊接质量不良等都会留下故障隐患。这些缺陷会导致电阻过 高，从而引起过热。而在高温条件下，鼠笼的强度降低，鼠笼条可能出现 裂纹。此类故障常常发生在鼠笼的端环上，导致笼条伸出转子槽外而得不 到转子铁芯的支撑。鼠笼条与转子的相对位移，连续的高温运行或停车同 样可以引起鼠笼端环和鼠笼条变形，并最终导致端环与鼠笼条断裂。必须 指出，当电机改变运行速度时，鼠笼条必然会向端环簏加制动力或加速力： 如果由于负荷变化或由于正常负荷的周期变化而引起电机的速度发生波 动，则会在鼠笼条和端环之间的连接处发生高频疲劳断裂故障。笼条断裂 的早期迹象是电机速度、电源电流和杂散漏磁通等出现脉振现象。 5 太原理工大学硕士研究生学位论文 对绕线式异步电动机来说，转子绕组击穿、开焊、匝间短路等是转子 常见故障，主要征兆和鼠笼式异步电动机类似。对转子电流监测会发现三 相电流不平衡。 ( j ) 转子本体故障 犹如对绕组的影响一样，电机转子在高速运行中所承受的强大离心力 同样也可能引起转子的本体故障。转子本体故障一般表现为不平衡、不对 中、轴弯曲、轴裂纹以及偏心等。 转子不平衡故障是电机常见故障，不平衡时，转子质量偏心，转子产 生同转频的周期性激振力，使振动增大。在频谱图上主要表现为同转频的 频率分量幅值增加，如果不平衡超标，应该进行动平衡处理。如果电机转 子在加工过程中存在伤痕等隐患，在运行中，这些裂纹会进一步扩展，从 而会导致转子断裂的灾难性故障。转子偏心分为静偏心和动偏心，最小径 向气隙位置在空间固定的偏心为静偏心。例如静偏心能由定子铁芯椭圆度 或者转子或定子的不正确定位引起的。当转子中线不在旋转中心和最小气 隙随转子一起旋转时，就出现动偏心，所以动偏心应是空间和时间的函数。 动偏，d 一般由弯曲轴、临界转速下的机械_ 共振或者轴承磨损和位移引起。 转子偏心会产生不平衡磁拉力，从而引起振动。当整个转子温度分布不均 而使转子发生热弯曲时，这种现象会更加严重，甚至能使转予与定子之间 发生摩擦，最终损坏电机。 ( 6 ) 电气不平衡故障 电气不平衡故障主要有三相电源不平衡、电机断相运行等。这种故障 也较为常见，在负载运行时断相，能使电机定子电流迅速增大，使电机过 热，绝缘老化，使用寿命缩短，甚至烧毁电机，危害极大。 ( 7 ) 轴承故障 电机转子在前后两端由轴承支撑。一般对于卧式电机，轴承主要承受 6 太原理工大学硕士研究生学位论文 代测试技术和信号处理技术的迅速发展，设备故障诊断技术取得了很大的 发展。随着人工智能技术的迅速发展，特别是知识工程、专家系统和人工 神经网络在诊断领域的进一步应用，使诊断自动化、智能化的要求逐渐成 为现实。其中基于知识的智能故障诊断技术是诊断领域最引人注目的发展 方向之一，也是研究最多、应用最广的。 4 、信息融合方法的研究，来实现综合诊断，提高确诊率。目前，进 行信息融合的方法主要有：贝叶斯推理、卡尔曼滤波、d s 推理等，其中 前两种方法需要先验信息，而后者不需要，但以更大的计算量为代价。近 年来，神经网络也应用到信息融合中。 电机故障诊断技术尽管是设备诊断技术的一个部分，但是由于电机的 工作原理和结构上的种种特点，其诊断方法和采用的检测技术和其它设备 的诊断有所不同。根据电机工作原理，其内部存在着电路系统、磁路系统、 绝缘系统、机械系统和通风散热系统等相互关联的工作系统，涉及到电机 学、热力学和传热学、高电压技术、电子测量学、信息工程技术及计算机 技术等知识领域，故障起因和故障征兆往往表现出多元性。故障类型也是 多种多样的，既有缓变故障又有突变故障；既有电气故障又有机械故障； 既有线性系统故障，又有非线性系统故障。这些关系错综复杂，给电机故 障的有效、快速诊断增加了难度。因此要求对电机进行诊断时，必须要熟 悉诊断对象，因为所有的故障都是按一定机理发生和发展的，有一定的客 观规律，而电机故障诊断的目的正是要根据这种规律，利用先进的检测手 段和方法，并利用多年设计、运行经验和理论研究所形成的丰富的诊断软 件，来判定故障原因，并制定出排除故障的维修方案，才能最终实现电机 故障诊断的目的。 长期以来，处于重要位置的大型电机都有继电保护系统，如过电流保 护、过欠压保护、差动保护、负序保护、失磁保护、逆电流保护、接地保 8 太原理工大学硕士研究生学位论文 护、过速保护、过热保护、振动超限保护及润滑油、冷却水、风机连锁保 护等等，用各种继电器整定到某一设定值，当运行参数和状态参数达到或 超过继电器设定值后，继电器就会报警。一些重要参数超限并达到危险值 时，会切断电路，停止电机的运行，以防止发生事故或事故扩大。表面上 看来，继电保护功能己很完善，但继电保护系统只是当被监视参数达到或 超过继电器整定值时才起作用，也就是说只有当故障已经发生时才动作， 并没有预防功能。当继电保护系统动作后，电机被突然切断而使生产流程 意外终止，仍然可能导致重大的经济损失。而电机故障诊断技术不但能根 据早期征兆进行故障预报，并能对故障进行诊断和趋势分析，判定出合理 的检修方案。因此，决不能用继电保护系统来代替电机故障诊断技术。 国外对电机故障诊断技术的研究始于2 0 世纪6 0 年代。尽管各个国家 都很重视，但是直到7 0 8 0 年代，随着传感器、计算机、光纤等高新技 术的发展与应用，电机在线诊断技术才真正得到迅速发展。加拿大、日本 及前苏联陆续研制了变压器、发电机的局部放电、泄漏电流等在线监视系 统，有些已经发展成为正式产品。 我国对电机故障诊断技术的重要性也早有认识，2 0 世纪6 0 年代就提 出过不少带电试验的方法，但由于操作复杂，测量结果分散性大而未得到 推广。直到8 0 年代开始出现电机故障在线诊断技术的研究，在近1 0 多年 来得到迅猛的发展。像信号处理中的小波变换技术，由于具有良好的时频 局部化特性，能够快速、准确捕获电机出现故障时的瞬变信号特征，因此 在动态信号分析上有着明显的优势。此外，专家知识方法的人工神经网络 具有自学习和能拟合任意连续非线性函数的能力，以及并行处理的能力， 使它在处理非线性问题和在线估计方面有很强的优势。 从以上对电机故障诊断技术的分析可以看出，电机故障的有效、可靠 渗断必须依赖于先进的信号处理技术。如何在现有故障信号测量设备和技 q 太原理工大学硕士研究生学位论文 既可对信号的整体进行分析，又能反映信号局部细节的内容，能够及时准 确的捕捉到非平稳局部突变信号中的故障特征。因此本文采用小波包分析 法对异步电动机振动和电流信号进行详细的分析，从而实现异步电动机的 故障诊断。本文首先对异步电动机在无故障正常运行和轴承有故障运行情 况下的振动信号分别进行采样。为模拟实际生产中的轴承故障，人为制造 电机滚动轴承故障，使其成为模拟试验样机，从而完成对轴承的故障试验 并采集了相应工况下的电机振动信号。对采集到的信号做了大量的整理、 分析和比较工作，将正常和故障两种状态下的电机振动信号分别进行了八 层小波包分解，并对其分解后的信号进行单支重构，从中提取故障特征频 段，并将正常和故障的特征频段进行了详细的对比，从特征频段重构信号 的波形上可以看出，基于小波包分解和重构的电机故障特征提取方法可以 有效的表征电机故障。不仅如此，本文还将故障特征频段的能量值进行了 对比，从比较结果可以看出，故障与无故障之间存在着明显差异，从而证 明了小波包分析的方法能够对电机实现准确的故障诊断。 本文不仅仅对上述电机轴承故障进行了分析，而且对电机其它故障的 振动特征进行了深入地研究，将其故障特征频段进行了认真地分析，发现 有一些故障仅仅通过振动信号无法准确的进行判断，本文采用了振动和电 流相结合的方法进行故障诊断，对电机故障的机械和电气综合诊断做了的 初步的分析研究。 本文还对异步电动机定子电流信号的进行了采样分析。在上述轴承故 障的基础上对电机进行两根连续导条破坏性试验并采集了相应工况下的 定子电流信号。用电流互感器常常会将故障特征掩盖，本文提出了采用测 量供电线路电压的方法间接对电机定子电流信号进行测量，从而得到了能 够真实的反映电机早期故障的完整信号特征，为准确的捕捉电机早期故障 提供了基础。在此基础上，对电机在f 常和故障两种运行状态下的定子电 1 1 太原理工大学硕士研究生学位论文 流信号进行了八层小波包分解，提取出能够反映电机故障的特征向量，并 将其特征能量进行了对比分析，从正常和故障信号的特征能量对比结果证 明了利用小波包分解和重构的方法能够准确的判断电机故障。 1 2 太原理工大学硕士研究生学位论文 功能以及与硬件实时交互功能，能应用于多种学科。而领域型工具箱专业 性很强，如信号处理工具箱、自动控制工具箱等。 本文所用到的小波工具箱正是信号处理工具箱中的一个。小波工具箱 中有现成的小波函数，如：h a a r 小波、d a u b e c h j e s 小波系、s y m l e t s 小波 系等等。工具箱中还提供了用于小波变换的许多适用性很强的函数，如： w“ters(小波滤波器)、c州(一维连续小波变换)、d姒(单尺度一维离 散小波变换)等其他一些函数。用户通过直接调用这些函数实现小波变换 的功能，从而大大减少了用户编程的工作量。matlab中提供的这些函 数使编程的思路大大简化，编程负担大大减轻。本文利用matlab的小 波工具箱中相关的函数对电机采样信号进行了分析，取得良好的效果。 总之，m a t l a b 具有强大的数值分析、计算能力和系统仿真能力，这 随着科学的进步不断的完善，为新的问题提供新的解决方案，可以预言， 无论是进行科学研究和产品开发，matlab将长期保持独树一帜的地位。 2 2 傅立叶变换和小波变换4 】【5 】 传统的信号分析是建立在傅立叶变换的基础上的，傅立叶变换是一种 纯频域的分析方法，所反映的是整个信号全部时间下的整体频域特征，而不能提供任何局部时间段上的频率信息。但是。实际中经常碰到一些非平 稳信号，它们的频域特性都随时间而变化，对这些信号进行分析，需要提 取某一时间段(或瞬间)的频域信息或某一频率段所对应的时间信息。因此，寻找具有一定时间和频率分辨率的基函数来分析时变信号，一直是信 号处理界长期以来努力的目标。为了研究信号在局部时间范围的频域特征，科学家对傅立叶分析进行了推广乃至根本性的变革，提出并发展了一系列新的信号分析理论，短时14 太原理工大学硕士研究生学位论文 傅立叶变换( s t f t ) 就是其中之一。由于s t f t 窗函数的大小和形状均与 时间和频率无关而保持固定不变，这对于分析时变信号是不利的。因为高 频信号一般持续时间很短，而低频信号持续时间较长，我们期望对于高频 信号采用小时窗，对于低频信号则采用大时窗进行分析。这种变时窗的要 求与s t f t 的固定时窗的特性是矛盾的，说明s t f t 在处理这一类问题时 已经无能为力了。小波变换作为一种新颖的时频分析工具，其时频窗形状 随频率而变，在分析信号高频时，时窗变窄，频窗变宽；分析信号低频时， 时窗变宽，频窗变窄，具有自适应窗口特性。小波变换不仅继承和发展了 s t f t 局部化的思想，而且克服了s t f t 时频窗口固定不变、缺乏离散正 交基的缺点，是一种理想的时频分析工具。 2 21 傅立叶变换 傅立叶变换是众多科学领域( 特别是信号处理、图象处理等) 中重要 的应用工具之一。从实用的观点看，考虑傅立叶分析的时候，通常是指积 分傅立叶变换。 定义2 1 ：函数 厂( r ) ( 月) 的连续傅立叶变换定义为： f ( 棚) = e 巾) e m ( 2 1 ) 傅立叶变换是时域和频域互相转化的工具，从物理意义上讲，傅立叶 变换的实质是把，( ，) 这个波形分解成许多不同频率的正弦波的叠加，这样 我们就可以把对原函数( ，) 的研究转化为对其权系数，即其傅立叶变换 f ( 出) 的研究。从傅立叶变换中可以看出，这些标准基是由正弦波及其高 次谐波组成的，因此在频域内是局部化的。 虽然傅立叶变换能够分别对信号从时域和频域进行观察，但却不能把 二者有机的结合起来。这是因为信号的时域波形中不包含任何频域信息。 1s 太原理工大学硕士研究生学位论文 从其表达式中也可以看出，它是整个时间域内的积分，没有局部化分析信 号的功能，完全不具备时域信息，也就是说，对于傅立叶谱中的某一频率， 不知道这个频率是在什么时候产生的。这样在信号分析中就面临一对最基 本的矛盾：时域和频域的局部化矛盾。 在实际的信号处理过程中，尤其是对非平稳信号的处理中，信号在任 一时刻附近的频域特征都很重要。如电压的暂态尖峰脉冲，就是一瞬变信 号，仅仅分别从时域和频域上来分析是不够的。这就促使研究者去寻找一 种新方法，能将时域和频域结合起来描述观察信号的时域联合特征，构成 信号的时频谱，这就是所谓的时频分析法。 2 2 2 短时傅立叶变换( s t f t ) 由于标准傅立叶变换只在频域里有局部分析的能力，而在时域里不存 在这种能力，因此d e n n i sg a b o r 于1 9 4 6 年引入了短时傅立叶变换。 短时傅立叶变换的基本思想是：把信号划分成许多小的时间间隔，用 傅立叶变换分析每一个时间间隔，以便确定该时间间隔存在的频率，表达 式为： s ( 町) = e 巾培( ，- r ) e 础 ( 2 2 ) 根据p a r s e v a l 等式，我们可将时间轴上的积分变成频率轴上的积分： s ( 哪) = 去e m ) 和一曲) 。”：知 ( 2 - 3 ) ( ，) 为待分析的信号，g ( ，) 一般为高斯函数。g ( ，一r ) 起着时限的作 用。随着时问f 的变化，g ( f f ) 所确定的“时间窗”在t 轴上移动，使，( ，) 被“逐渐”进行分析，因此，g ( ，一r ) 往往被称之为窗口函数( r 反映滑动 窗的位置) 。 1 6 太原理工大学硕士研究生学位论文 他与g r o s s m a n 共同研究，发展了连续小波变换的几何体系；从1 9 8 6 年开 始，小波理论得到迅速发展。这一年，m e y e r 创造性地构造出具有定衰 减性的光滑函数，其二进伸缩和平移构成了r ( r ) 上的规范正交基，从而 证明了小波正交系的存在性；1 9 8 7 年，m a l l a t 将计算机视觉领域的多尺度 分析的思想引入小波分析中，提出了多分辨率分析的概念，成功地统一了 在此之前所有具体的正交小波基的构造，并提出了小波分解和重构的快速 算法，即m a l l a t 算法，它在小波分析中的地位就相当于f f t 在傅立叶分析 中的地位。与此同时，d a u b e c h i e s 构造出了具有紧支集的正交小波基，小 波分析的系统理论得到了初步的建立。此后，w i c k e r h a u s e r 等将m a l l e t 算 法进一步深化，得到了小波包算法f 2 7 】。这样，小波理论不断趋于成熟，并 在许多领域得到了广泛的应用。有关小波变换的发展历史，文献 2 8 中做 出了较为详细地归纳和总结。 定义2 _ 2 ：设( ，) 为一平方可积函数，即妒( ，) r ( r ) ，若其傅立叶 变换( 国) 满足允许性条件： | i 2 。= e 铷 ( 2 - 4 ) 则称y ( ，) 为一个基本小波或小波母函数( m o t h e rw j v e l e t ) 。并称上式为小波 容许性条件。从定义可以看出小波函数具有以下特点： ( 1 ) 小波函数在时域都具有紧支集( 函数非零域有限) 或近似紧支集。 原则上讲，任何满足允许性条件的f ( r ) 空间的函数都可作为小波母函数 ( 包括实数或复数函数、紧支集或非紧支集函数、正则或非正则函数等) 。 不过一般情况下，常常选取紧支集或近似紧支集的( 具有时域的局部性) 、 具有正则性的( 具有频域的局部性) 实数或复数函数作为小波母函数，以 太原理工大学硕士研究生学位论文 使小波母函数在时频域都具有较好的局部特性。 ( 2 ) 由于小波母函数满足允许性条件，则必有( m ) l= o ，也即直流分 量为零。就是说小波必具有正负交替的波动性。 以上可以看出，小波函数应是两端快速衰减的短小波形，从这两点意 义上，我们称之为“小”“波”。 将小波母函数y ( f ) 进行伸缩和平移，设其伸缩因子( 又称尺度因子) 为，平移因子为6 ，令其伸缩平移后的函数为。( r ) ，则有： ( ，) 计啦) ， 删舡r( 2 - 5 ) 称虬。s ( f ) 为依赖于参数岛6 的小波基函数。 小波母函数( f ) 的时频窗为 o 一，o + 1 一；，+ ；j ， 则6 ( f ) 的时频窗为p + q 一以，6 + a o + 以r 。1 7 a 一；忆7 a + ；n j ， 可见，对于低频信号( 口增大) ，时间窗变宽而频率窗变窄；对于高频信号 ( 口减小) ，时间窗变窄而频率窗变宽。因为频率与每单位时间的周期数成 正比，所以取一个窄的时间窗可以更精确地确定高频现象，而取一个宽的 时间窗可以更充分地分析低频特性。小波变换正好满足时频分析中自适应 可调“柔性”窗的要求，克服了加窗f o 们e r 变换“刚性”时频窗的不足， 所以小波变换被称为“数学显微镜”，可以聚焦到信号的任意局部细节。 下面分别给出短时f o u r i e r 变换和小波变换的时频窗特性： 1 9 太原理工大学硕士研究生学位论文 图2 1 短时傅立叶变换时频窗特性 f 唔2 1 t h e 仃a ! ! 耋冀；卜三日j 引鑫打矗 睦节挚囊j 酚爨t 誊 j 篁i 焉螽堕；l 霾撼藩魏弱 ；器孽；p 霉量；嚣f ：；薯茎i ；哪荽。奏! 菩，h “侧i 薹詈毫掌；誊写墨兰；暑餐“；? 譬x 鋈 鏊霉蕊藻嚣黎睡蠢翦羹莲譬挝籍藩蠢躺鹱篓i 舅薹薹冀墓薹萎羹奏 冀萼薹羹薹霎蠢蓊蕊替轵望冀融翌i 转】【6 】f 2 8 】 ”】 小波变换中一种重要的分支是多分辨率分析( m u l t i _ r e s o l u t i o n a n ai y s i s ) ，又称为多尺度分析，它是建立在函数空间概念上的理论。但其 思想的形成来源于工程，是其创建者s m a l l a t 在研究图像处理问题时建立 的。当时人们研究图像的一种很普遍的方法是将图像在不同尺度下分解， 并将结果进行比较，以取得有用的信息。m e y e r 正交小波基的提出，使得 m a l1 a t 想到是否可用正交小波基的多尺度特性将图像展开，以得到图像不 同尺度间的“信息增量”，从而导致了多分辨率分析理论的诞生。多分辨 太原理工大学硕士研究生学位论文 对非平稳信号消噪有着傅利叶变换所不可比拟的优点。 1 0 5 ( c ) 3 o 媸5 诤_ 1 0 2 46008 。01 0 0 01 2 1 4 0 01 6 0 0 ，( m s ) 图2 3 应用小波变换和f f t 对非平稳信号消噪对比图 f i g _ 2 _ 3c o n t r a s to fn o n 一伽1 0 n 哪s i g n a ld e 啪i s i n gb yw a v e l e tt r a n s f o ma n df f t 2 4 多分辨率分析和小波包分析口1 3 1 6 1 2 8 1 ”1 小波变换中一种重要的分支是多分辨率分析( m u l t i _ r e s o l u t i o n a n a i y s i s ) ，又称为多尺度分析，它是建立在函数空间概念上的理论。但其 思想的形成来源于工程，是其创建者s m a l l a t 在研究图像处理问题时建立 的。当时人们研究图像的一种很普遍的方法是将图像在不同尺度下分解， 并将结果进行比较，以取得有用的信息。m e y e r 正交小波基的提出，使得 m a l l a t 想到是否可用正交小波基的多尺度特性将图像展开，以得到图像不 同尺度间的“信息增量”，从而导致了多分辨率分析理论的诞生。多分辨 率分析( m r a ) 不仅为正交小波基的构造提供了一种简单的方法，而且为 正交小波变换的快速算法提供了理论依据，其思想又和多采样率滤波器组 2 2 0 佃 加 一f ，) 蜡p )a( 加5 0 与 旧 | ( 3 蝗世 ) b( 太原理工大学硕士研究生学位论文 不谋而合，可将小波变换同数字滤波器的理论结合起来，因此多分辨率分 析在正交小波变换理论中具有非常重要的地位。 2 41 多分辨率分析 定义2 3 ：多分辨率分析是指满足下述性质的一系列闭子空间 _ ，j z ： ( 1 ) 致单调性：c c kc 亡。c ( 2 6 ) ( 2 ) 渐近完全性： 旦一3 o ；旦_ 。f ( r ) ( 2 7 ) ( 3 ) 伸缩规则性： ( ，) 营( 27 ，) z( 2 8 ) ( 4 ) 平移不变性： 厂( ，) k 厂( ，一七) 女z ( 2 9 ) ( 5 ) 正交基存在性：存在( f ) ，使得 妒( ，一”) ) 。是的正交基，即： 2 掣一”) ，驴( ) 庐( ，一聊) 础2 瓯 x 太原理工大学硕士研究生学位论文 不谋而合，可将小波变换同数字滤波器的理论结合起来，因此多分辨率分 析在正交小波变换理论中具有非常重要的地位。 2 41 多分辨率分析 定义2 3 ：多分辨率分析是指满足下述性质的一系列闭子空间 _ ，j z ： ( 1 ) 致单调性：c c kc 亡。c ( 2 6 ) ( 2 ) 渐近完全性： 旦一3 o ；旦_ 。f ( r ) ( 2 7 ) ( 3 ) 伸缩规则性： ( ，) 营( 27 ，) z( 2 8 ) ( 4 ) 平移不变性： 厂( ，) k 厂( ，一七) 女z ( 2 9 ) ( 5 ) 正交基存在性：存在( f ) ，使得 妒( ，一”) ) 。是的正交基，即： 2 掣一”) ，驴( ) 庐( ，一聊) 础2 瓯，。 ( 2 - l o ) 其中正交基存在性条件可放宽为r i e s z 基存在性。若 庐( f 一女) 为空间 的正交基，则 力。( f ) ) 。必为子空间的标准正交基。 由多分辨率分析定义可知，所有的闭子空间 匕) 都是由同一尺度函数 ( f ) 伸缩后的平移系列张成的尺度空间，它们具有包含关系，但是不具有 正交性，因此它们的基 谚，t ( f ) l ；：在不同尺度间不具有正交比即 一，t ( ，) 。不能作为r ( 月) 空间的正交基。 为了寻找一组r ( r ) 空间的正交基，定义尺度空间 _ 。的补空间如 下： 设，为在。中的补空间，即： 2 3 太原理工大学硕士研究生学位论文 _ 一，= 一o ，上_ ，z ( 2 1 1 ) 显然，任意子空间，与是相互正交的( 空间不相交) ，并且 彬，上，当聊行且啪，n z 时。由多分辨率分析定义知，r ( r ) 可以表 示为： r ( 月) 2 曼髟 ( 2 1 2 ) 因此， 嘭) ，。构成了r ( 尺) 的一系列正交子空间，并且由式( 2 1 1 ) 得： = 一一t 一_ ( 2 - 1 3 ) 若，( ，) ，则，( 2 1 ，) 一一一，也即： 厂( ，) 厂( 2 一，) 杉 ( 2 1 4 ) 若设 雌( f ) 。为空间的一组正交基( 的正交基可能有许多，取其 中一组来讨论并假设妒( ，) 满足允许性条件) ，由式( 2 1 4 ) 对所有尺度 ，e z ， 小( ，) = 2 叫2 y ( 2 一。卜- 女) ；j ，k z 必为空间的正交基。y 卅( f ) 的 整个集合 卅( ，) ) 。必然构成了空间r ( 尺) 的一组正交基。妒小( ，) 正是由 同一母函数伸缩平移得到的正交小波基，称妒( ，) 为小波函数，相应地称嘭 是尺度为的小波空间。 2 42 双尺度方程和正交小波基的构造 双尺度方程是多分辨率分析赋予尺度函数和小波函数的最基本特征， 它反映的是两个相邻尺度空间或相邻尺度空间和小波空间基函数之间的 内在联系，也是由尺度函数构造小波函数的桥梁。 ，4 太原理工大学硕士研究生学位论文 尺度函数和小波函数的双尺度方程如下： ( ，) = 吃仁( 小= 2 p ( 2 f - n )( 2 1 5 ) y ( ) = g 。让。o ) = 2 毋妒( 2 ，一”)( 2 1 6 ) 双尺度方程存在于任意相邻尺度_ ，- l 之间。尺度函数和小波函数的 系数吃和岛称为滤波器系数，它们的频域表示( 国) 和g ( 国) 分别对应了 一个低通滤波器和高通滤波器。由于尺度函数妒( f ) 和小波函数y ( f ) 满足双 尺度方程，因此，可以通过尺度函数构造小波函数，它们的系数曩，和器满 足如下关系： 岛= ( 一1 ) “垃。 ( 2 1 7 ) 因此，由尺度函数构造的小波函数为： y ( f ) = 岛伊( 2 ，一n ) = 三( 一1 ) “伊( 2 ，一”) ( 2 1 8 ) 从而由y ( r ) 的二迸伸缩和平移便可形成整个r ( r ) 的标准正交基。 2 4 3 正交小波变换的快速算法一m a | ia t 算法 正交基是h i i b e n 空间最理想的基底，小波正交基的存在是小波分析最 重要的特点之一。它不仅能为信号提供唯一的表示形式，而且为小波变换 的快速算法提供可能。 正交小波变换分解与重构的快速算法，也称为m a l l a t 算法，是m a j i a 在多分辨分析的基础上提出的。它在小波分析中的地位就相当于f f t 在经 典傅立叶变换中的作用。正是由于快速算法的提出，才使得小波变换的优 良特性得以充分发挥，从而在众多领域有着广泛地应用。其算法基本思想 是：信号，( r ) 的某层小波分解是将，( ，) 以某个尺度变换到空间r ( r ) 的 2 5 太原理工大学硕士研究生学位论文 两个正交子空间巧和上，由得到离散逼近值4 厂，由得到离散逼 近值q l 厂；下一层分解中是以尺度p 1 再将4 厂分解到子空间+ l 和形+ ， 中，这样按照式( 2 - 1 9 ) 不断分解下去，从而对信号进行了多分辨率的分 解。其分解过程如图2 4 所示，其中 和g 是双通道滤波器组，爿，称为 逼近信号或平滑信号，它对应着信号的低频成分；d ，称为细节信号，它 对应着信号的高频成分。 f 0 、= a 。f + d 。f = a l f + d ：f + d 、f = = a ，f + d n ，十d 。_ 1 f + d + 一2 ，+ + d 1 ，+ d l f ( 2 一、9 ) 重构过程是分解的逆过程，相应的重构方法为： a ，f + d ，f + d ，_ f + d 。一2 f + + d 1 ，+ d l f = ，0 、 ( 2 2 0 ) f ( t ) 、 d 2 f d l f a 3 fd 3 f 图2 4 正交小波分解结构示意图 f 嘻24o r t h o n o r m a lw a v e l e td e c o m p o s i t i o “ 小波分解与重构的m a i l a t 塔式算法的数学表达式见式( 2 2 1 ) ，若五为 信号厂( ，) 的离散采样数据，以= c o 则信号厂( ，) 的正交小波变换的分解 公式为： 2 6 火 发 h 太原理工大学硕士研究生学位论文 ( 2 2 1 ) 其中巳，t 为尺度系数，哆t 为小波系数，为分解的层数，为离散采样点 数。正交小波变换的重构过程是分解过程的逆运算，相应的重构公式为： c 小= o ，。玩。+ t ，。颤。 ( 2 2 2 ) 2 44 小波包分析 前面用到的多分辨率分析的基本思想是把信号投影到一组互相正交 的小波函数构成的子空间上，形成了信号在不同尺度上的展开，从而提取 了信号在不同频带的特征，同时保留了信号在各尺度上的时域特征。虽然 多分辨率分析是一种有效的时频分析方法，但它每次只对信号的低频部分 进行分解，高频部分保留不动。而且它的频率分辨率与2 ，成正比，因此高 频部分频率分辨率差。小波包分析对此进行了改进，它同时可在低频和高 频部分进行分解，自适应地确定信号在不同频段的分辨率。 在多分辨率分析中，( r ) 2 星，表明多分辨率分析是按照不同的 尺度因子，把空间f ( j r ) 分解为所有子空间( ，z ) 的正交和。其中， 为小波函数( ，) 的闭包( 小波子空间) 。现在希望进一步对小波子空间形 按照二进制分式进行频率的细分，以达到提高频率分辨率的目的。 一种自然的做法是将尺度子空间一和小波子空间眵用一个新的子空 2 7 ( 2 2 3 ) 一20 = ，k 卟 之 a 椭 1 卜 q d 。 。 = 1 | o 嘭 ，r，、【 太原理工大学硕士研究生学位论文 则h i i b e r t 空间的正交分解+ r2 o 彤即可用”的分解统一为 u ，+ i 。= u j o o 己， ，z ( 2 2 4 ) 令正交小波基的滤波器系数分别为囊，= ( ”) 和晶= 岛( ”) ，并将尺度 函数妒( ，) 改记为( f ) ，小波函数y ( r ) 改记为川( f ) ，于是原来关于妒( ，) 和 妒( ，) 的二尺度方程变为： ) = 压莩魄( 2 h ) ，) _ 压