（物理电子学专业论文）圆形槽波导双管功率合成器的研究(1).pdf

摘要 随着信息时代的到来，各国军事科技和国民经济对毫米波资源需求日增。而随着毫 米波工作频率的提高，单个固态器件的输出功率迅速下降，这远不能满足实际需求。为 了得到大的毫米波功率源需要采用功率合成技术。 由东南大学杨鸿生教授等人提出的圆形槽波导具有尺寸大、功率容量大和损耗小等 特点，适合毫米波亚毫米波器件设计。为了提高单个固态振荡器的输出功率，本课题 充分利用圆形槽波导的优良特性，提出了圆形槽波导双管功率合成器的研究，本论文主 要工作如下： 本论文首先从理论上应用有限元法( f e m ) 分析了圆形槽波导中径向盘结构的外电 路输入阻抗【2 】【3 】【4 】。通过调整径向盘参数做出了径向盘输入阻抗随径向盘直径、厚度和 位置的变化曲线。 在实际设计过程中依据理论数据的分析和加工工艺要求，来选定径向盘位置和直 径，调节径向盘厚度使合成器工作在最佳工作状态。并对短路器和低通滤波器提出了新 的设计结构，使器件工作过程中损耗大大减少。结合实验室条件建立起实验研究系统， 这为进一步研究工作做好了准备。 关键字：圆形槽波导有限元法完全匹配层径向盘功率合成技术 a b s t r a c t w i t ht h ea d v e n to fi n f o r m a t i o ne r a ，t h ed e m a n do fm i l l i m e t e rw a v er e s o u r c e si s i n c r e a s i n gi nm i l i t a r yt e c h n 0 1 0 9 ya n dn a t i o n a le c o n o m y b u tt h eo u t p u tp o w e ro fs i n 9 1 es o l i d s t a t ed e v i c ed e c r e a s e sq u i c k l yw i t ht h ei n c r e a s eo ft h e 行e q u e n c yo fm i l l i m e t e rw a v e t h i s c a n tm e e tt h ef a c td e m a n d t bo b t a i nh i g h e rp o w e ro u t p u t ，p o w e rs y n t h e s i st e c l l l l o l o g yi s a d o p t e di nm i l l i m e t e rw a v e c i r c u l a rg r o o v eg u i d ew a sf i r s t l yi n t r o d u c e db yp r o f 色s s o r1 gh o n g - s h e n gp ，口，w h i c h h a st h ec h a r a c t e ro fb i gs c a l e s ，l o wl o s s ，h i g hp o w e rh a n d l i n gp ，c a n ds u i tt h ed e s i g no f m i c r o w a v ea n dm i l l i m e t e rw a v ed e v i c e s t h ed o u b l e - b a r r e l e dp o w e rc o m b i n e ri nc i r c u l a r g r o o v eg u i d ei ss t u d i e dt oi n c r e a s et h eo u t p u tp o w e ro ft h es i n g l es o l i ds t a t ed e v i c ea n d o p t i m i z et h ec h a r a c t e r i s t i c so fc i r c u l a rg r o o v eg u i d e t h ef o l l o w i n gi st h em a i nw o r ko ft h i s t h e s i s i n t h i st h e s i s ，f i n i t ee l e m e n tm e t h o d ( f e m ) i su s e dt oc a l c u l a t et h ed r i v i n g _ p o i n t i m p e d a n c eo fr a d i a lt r a n s m i s s i o n - 1 i n es t i r l l c t u r ei nc i r c u l a rg r o o v eg u i d e b yc h a n g i n gt h e c h a r a c t e r so ft h er a d i a lt r a n s m i s s i o n l i n e ，t h ei n p u ti m p e d a n c ef i g u r e sr e l a t e dt ot h ed i a m e t e r ， t h i c k n e s sa n dp o s i t i o no ft h er a d i a lt r a n s m i s s i o n - l i n ea r e g o t t e n a c c o r d i n gt ot h et h e o r ya n a l y s i sa n dp r o c e s sc r a r w o r kr e q u i r e m e n t ，t h ed i a m e t e ra n d p o s i t i o n o ft h er a d i a lt r a n s m i s s i o n l i n ea r ec h o s e na n dt h et h i c k n e s so ft h er a d i a l t r a n s m i s s i o n l i n ei so p t i m i z e d t h e na n e ws t m c t u r eo fb r e a k e ra n dl o w - p a s si sp u tf o r w a r d ， w h i c hr e d u c e st h em i c r o w a v ew a s t eo ft h ed e v i c ei nw o r k t h em e a s u r es y s t e mi sb u i l tb a s e do nt h el a b o r a t o r yc o n d i t i o n ，t h et e s tp r o c e s s e si s e s t a b l i s h e di nd e t a 订a n dt h et e s tn o t i c e sa r ea n a l y z e d t h es t u d i e ds y s t e mo f e x p e r i m e n ti ss e t u pa c c o r d i n gt h el a b o r a t o r yc o n d i t i o n s ，w h i c hi sr e a d yf o rt h em n h e rs t u d i e dw o r k k e yw o r d s ：c i r c u l a rg r o o v eg u i d e ，f i n i t ee l e m e n tm e t h o d ，p e r f e c t l ym a t c h e d l a y e r t h er a d i a ld i s k ，p o w e rs y n t h e s i st e c h n o l o g y i i 东南大学学位论文独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成 果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表 或撰写过的研究成果，也不包含为获得东南大学或其它教育机构的学位或证书而使用过 的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并 表示了谢意。 研究生签名：纽霾 日期：堑芏：3 1 1 罗 东南大学学位论文使用授权声明 东南大学、中国科学技术信息研究所、国家图书馆有权保留本人所送交学位论文的 复印件和电子文档，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文。本人电子文档的内 容和纸质论文的内容相一致。除在保密期内的保密论文外，允许论文被查阅和借阅，可 以公布( 包括刊登) 论文的全部或部分内容。论文的公布( 包括刊登) 授权东南大学研 究生院办理。 研究生签名：垄超丞。 导师签名： 第一章绪论 第一章绪论 毫米波和亚毫米波指频率为3 0 g h z 3 0 0 0 g h z 的电磁破，波长为1 0 0 1 m m 的电磁波。它们位于微波与远红外波之间，因而兼有两种波谱的特点。各自的理 论和技术分别是微波向高频的延伸和光波向低频的发展。毫米波有以下特点：波 长极短( 频率极高) ；带宽很宽；波束窄，定向性好，保密性强；它能通过尘埃 可在战场上应用；以及它能透过等离子体等特点。毫米波系统的应用很大程度上 取决于毫米波功率源的可实现性。功率合成技术是提高毫米波固态功率源输出功 率的有效途径。 1 1 研究背景和意义 毫米波技术是一门正在发展中的学科。发展毫米波技术对巩固国防和发展国 民经济都有重大意义。众所周知，要在现代战争中立于不败之地，取得制电磁权 是极其重要的。而具有毫米波对抗能力则是取得制电磁权的一个重要方面。从发 展国民经济的角度看，现在已进入信息社会时代，仅从毫米波的大信息容量这一 点就可见其重要性，更何况毫米波技术在汽车和直升飞机的防碰撞、遥感技术和 射电天文学等领域都是不可或缺的。 1 1 1 毫米波的优缺点和应用 毫米波的工作频率介于微波和光之间，因此兼有两者的优点。它具有以下主 要特剧5 【6 】【7 】【8 】： 1 极宽的带宽。通常认为毫米波频率范围为3 0 g h z 3 0 0 g h z i 在大气中 传播时使用四个大气窗口，但这四个窗口的总带宽也可达1 3 5 g h z ，为 微波以下各波段带宽之和的5 倍。这在频率资源紧张的今天无疑极具 吸引力。 2 波束窄。在相同天线尺寸下毫米波的波束要比微波的波束窄的多。因 此可以分辨相距更近的小目标或者更为清晰地观察目标细节。 3 与激光、红外和可见光相比，毫米波系统虽没有那样高的分辨力，但 毫米波的传播受气候的影响要小得多，通过烟雾灰尘的传输特性好。 可以认为具有全天候特性。 东南大学硕士学位论文 4 与微波相比，毫米波器件的尺寸要小得多。因此毫米波系统更容易小 型化。 毫米波以上优点给毫米波电子系统带来很大优势： 小天线孔径具有较高的天线增益；高跟踪精度和制导精度；不易受电子干扰： 低角跟踪时多径效应和地杂波干扰小；多目标鉴别性能好；雷达分辨率高：大气 衰减“谐振点”可作保密传输。 其次，毫米波的基本特性也带来一些明显的限制，短波长的一些限制主要表 现在以下几个方面，元件小尺寸制造要求精度高导致价格高，窄波束对目标搜索 和捕获造成一些困难。小的天线使得接收机收集的能量较小降低了灵敏度。大的 多普勒频移有可能跑到接收机频带外引起运动目标的丢失。另外，由于大气衰减 使得通信距离有限( 1 0 2 0 l ( r 1 1 ) 恶劣天气情况下作用距离明显缩减。以及雨的 后向散射严重，容易把目标淹没，且穿透树叶丛的能力较差，对遥感不利。 尽管如此，毫米波具有其他波段( 微波、红外和光波) 所缺乏的许多优点， 加上军事上的需求成为推动毫米波系统发展的重要因素，还有毫米波的源、波导、 元器件以及天线等方面的长足进步，毫米波的开发和应用已被放到重要位置上。 应用主要集中在导弹制导、雷达、辐射测量学、遥感和射电天文学以及毫米波通 信和电子对抗等方面。 导弹制导导弹和炮弹制导是毫米波技术最活跃的研究领域之一。由于毫 米波制导兼有微波制导和红外制导的优点。在大气层内，毫米波四个主要传输窗 口( 3 5 、9 4 、1 4 0 、和2 2 0 g h z ) 虽较微波对云、雨引起的衰减要大一些，但毫米波 系统体积小，重量轻、易于高度集成化，而且频带宽，分辨率高，敌方难于载获，抗 干扰性能强；较之红外则分辨率差一些，但通过烟、雾、灰、尘的能力强，具有较 好的全天候战斗能力。因此，毫米波制导系统己成为精确制导的主要发展方向之 一，特别是寻的制导系统。国外许多导弹的末制导采用了毫米波制导系统。 毫米波雷达毫米波雷达的优点是角分辨率高，频带宽，多普勒频移大和 系统体积小，缺点是作用距离受功率器件限制大。目前大多数火控系统和地空导 弹制导系统中的跟踪雷达均已工作在毫米波频段。为了高空探测飞机和导弹，毫 米波雷达得到了有效的应用，因为毫米波在高空传输损耗很小，地面探测这些目 标则会被很强的大气吸收所遮挡。为了有效跟踪掠海飞行的小型高速导弹( 巡航 导弹) ，舰炮火控系统的跟踪雷达也有使用毫米波段的趋势。现代直升机的空难事 2 第一章绪论 故中，飞机与高压架空电线相撞的事故占相当高的比率，因此直升机防撞雷达需 要采用分辨率极高的毫米波雷达或激光雷达，实际上多用3 m m 雷达。这种雷达技 术还可用于车辆防障和空中交会。毫米波雷达应用日渐由军用深入到人们生活中 的很多领域。 辐射测量学、遥感和射电天文学当前辐射计接收机己用于导弹末制导， 且一些测试辐射计现已用于测量目标和地面特征，这种辐射计通常采用双极化有 时也采用双频段。辐射计其他应用包括温度记录、生物学成像和射电天文学等， 其中射电天文学应用是重点。近年由于使用了高于1 4 0 g h z 的大型、精确的天线 而受益。射电天文学的研究包括对太阳、月亮和一些行星进行亮度温度的测量， 并开辟了研究星云分子光谱学的全新领域。 毫米波通信随着微电子、光电子技术及纳米技术的飞速发展，卫星通信、 遥感技术和全球定位系统、宽频带高速数字综合通信网络、信息压缩与高速传输 技术、人工智能技术、多媒体技术和虚拟现实技术等前沿技术不断取得进展，人 类将逐步地全面进入信息时代。人们对信息业务的要求越来越高，在通信领域， 单靠微波接力通信、同轴电缆通信等手段已不能满足要求，毫米波无线电通信频 带宽、信息容量大刚好弥补这些不足。毫米波通信系统可以分为地球上的点对点 通信和通过卫星的通信或广播。现在地球上的点对点毫米波通信基本上只用于对 保密要求较高的接力通信中。因为地面上的干线通信基本上已实现了光缆化。而 在卫星通信中则由于毫米波段频率资源丰富而得到了迅速发展。 毫米波无线电通信与传统的无线电短波、超短波和微波通信相比，具有不少 独特之处。由于毫米波是以微波和光波作左右邻( 它的波长介于微波和光波之 间) ，因此兼有微波和光波的某些优长。通信设备的体积很小，可利用小巧尺寸 的天线获得很高的方向性，便于通信的隐蔽和保密。毫米波在传播过程中受杂波 影响小，对尘埃等微粒穿透能力强，通信比较稳定。毫米波的传输频带很宽，其 频段是无线电短波、超短波和微波频段总和的十几倍，由于载频很高，瞬时射频 频带可以做得很宽，因此，通信容量很大。毫米波不仅是空间通信的良好传输媒 质，在海洋通信中它直接装在潜艇的潜望镜上，只要将潜望镜露出海面就可以通 过卫星进行高速通信，不影响潜艇的隐蔽。毫米波不仅适用于两固定点之间的通 信，在移动通信中毫米波通信系统在图像和高速数字通信等大容量传送信息方面 也能发挥作用。 东南大学硕士学位论文 军用毫米波通信是战场环境下很有发展前途的通信手段，它具有波束窄、数 据率高、电波隐蔽、保密和抗干扰性能好、使用方便灵活以及全天候工作的特点。 军用毫米波通信主要应用有：远( 空间) 近( 大气层) 距保密通信、快速应急通信、卫 星通信、星际通信等。 电子对抗由于毫米波雷达和末制导系统的发展，相应的电子对抗手段也 发展起来了。由于毫米波雷达和制导系统的波束很窄，天线的旁瓣可以做得很低， 使侦察和有源干扰都比较困难。因此无源干扰在毫米波段有较大的发展。目前最 常用的是投放非谐振的毫米波箔片和气溶胶，对敌方毫米波雷达波束进行散射。 它可以干扰较宽的频段而不必事先精确测定敌方雷达的频率。也可以利用爆炸、 热电离或放射性元素产生等离子体对毫米波进行吸收和散射以干扰敌方雷达。在 毫米波段也可以利用隐身技术。对付有源毫米波雷达时，如在微波波段一样可以 采用减小雷达截面的外形设计，或者在表面涂敷铁氧体等毫米波吸收材料以减小 反射波的强度。对于通过检测金属目标的低毫米波辐射与背景辐射之间的反差来 跟踪目标的无源雷达，则要在目标表面涂敷毫米波辐射较强的伪装物，使其辐射 和背景辐射基本相等从而使目标融合于背景中。 生物学和激光光谱学中的应用主要应用为生物成像或热成像技术，用以 确定生物体对毫米波的吸收和发射特性。为进行光谱测量，在早期的激光光谱仪 中常用微波对激光进行调制以得到频率的连续变化。但相对于光的频率而言，微 波调制所能得到的频率变化范围是太窄了。在毫米波技术成熟以后，由于用它对 激光进行调制可以得到宽得多的频率变化范围，自然就取代微波而被用于激光光 谱仪中去了。 除了以上应用外，毫米波还用作引信、地形测绘、卫星遥感、受控核聚变能 源工程等，毫米波能源的应用前景令人瞩目。 1 1 2 毫米波产生和功率合成技术 1 毫米波源n 刚 毫米波技术应用的发展是建立在毫米波元器件发展的基础上的。应用的需要 又反过来推动了元器件的发展。同时材料、工艺和计算机辅助设计的发展也为元 器件的发展创造了条件。毫米波系统的成功应用在很大程度上取决于毫米波功率 源的可实现性。目前毫米波波段中同时并存着真空电子器件和固态功率源。上世 第一章绪论 纪6 0 年代以前，毫米波源几乎全部是由电真空电子器件构成，毫米波真空电子 器件可分为慢波器件和快波器件两大类。前者包括正交场放大器( c f a s ) 、速调 管、磁控管、行波管( t w t s ) 和返波管振荡器( b w o s ) ；后者包括回旋管 ( g g r o t r o n s ) 、莱达管( l e d a t r o n s ) 和潘尼管( p e n i o t r o n s ) 等，这类器件大多数 是工作电压高、耗电多、体积庞大、结构复杂以及成本高等，而且为了聚束电子 流，还需要强磁场和特殊电子枪这些要求导致器件重量增大和制造成本增高。上 世纪6 0 年代以后，随着微波半导体材料技术和工艺水平得到飞速发展，先后出 现了场效应管( f e t ) 、雪崩二极管( i m p a t t ) 、耿氏二极管( g l n 州) 、隧道二 极管和p 烈管等固态器件，它通过电路与微波固态有源器件的相互作用，把直 流功率转换为射频功率。相对真空电子器件，毫米波固态源需要的工作电压很低， 而且不需要电子枪和聚焦磁场。，因此固态器件一般结构紧凑，重量很轻。 岔 蔫 己 薅 壹l o o ：= 蜂 二 蝤 速调管 。沁 回旋管 c n 、1 厂厂 心 t、 、 | j | | 目脚| 三极管 | | | v 漪 蚤 兰 簿 东南大学硕士学位论文 庞大、寿命短等缺点，这限制了其应用范围。对比电真空器件，由图1 2 可以看 出固态器件产生的功率远远低于电真空器件产生的功率，在1 0 0 g h z 附近， i m p a t t 器件和g u n n 器件仅仅能够产生几百毫瓦的功率。但是与毫米波电真空 器件相比，毫米波固态器件具有体积小、重量轻、成本低、可靠性好、工作电压 低等优点，这些优点对空间系统和军用系统应用尤为重要。采用功率合成技术明 显可以提高固态源的输出功率。 随着材料技术和工艺水平的提 高，毫米波固态器件从理论和实验 结果已显示出良好的c w 和脉冲功 率、输出性能和很好的可靠性。在 毫米波功率源中，目前常用的二端 乏 口固态功率源器件仍然以碰撞雪崩薹 羹 渡越时间( i m r 虹t ) 二极管和体效器 麓 应二极管( g u n n ) 为主。雪崩二极警 管是利用渡越时间效应来实现毫米 波负阻状态的，该器件的工作频段 从x 波段直至3 0 0 g h z 。不论是硅 二极管还是砷化钾雪崩二极管，其 输出连续波和脉冲波的功率及效率 1 0 2 0 3 05 08 01 0 0 2 0 0 3 0 0 频率g h z 图1 3c w g u n n 二极管的技术现状 都比较高，可靠性好。但是由于雪崩二极管( i m p a t t ) 的噪声高于耿氏管( g u l l l l ) ， 当工作频率为1 0 0 g h z 时，处于自由振荡的雪崩管振荡器的频率漂移为一5 m h z 度，所以i m p a t t 二极管不适合作为接收机在本机振荡器使用。g u i m 氏二极管 是一种转移电子器件，由于它的低噪声特性，并且结构简单，价格低廉等优点被 广泛应用于低噪声接收机的本振。在3 0 1 0 0 g h z 频率范围内，g a a sg u 肌二极 管具有适中的功率容量，它特别适合作为要求低噪声的本振使用。如图1 3 所示 为c wg u r m 二极管的技术现状1 5 j 。 在频率超过1 0 0 g h z 时，这种器件得的输出功率急剧下降。正在研制的铟化 合物作为材料的g u 皿二极管，有望在1 0 0 g h z 以上提供可用功率，而且近几年 体效应谐波模振荡器的进展也使得工作频率提高。为了获得比单个器件更大的输 出功率，就必须采用功率合成技术。 6 第一章绪论 2 毫米波功率合成技术 随着空间技术、军事电子技术以及其他科学技术的发展，单个固态器件的输 出功率满足不了功率要求。为了提高固态振荡器的输出功率，人们提出了毫米波 功率合成的方法。经过几十年的发展，它已经成为了毫米波领域的一个重要研究 分支。毫米波功率合成技术大致可分为四类：管芯功率合成技术、电路功率合成 技术、空间功率合成技术、混合功率合成技术【9 】【10 1 。把毫米波功率合成器可分为 两类：窄带谐振型合成器和宽带非谐振型功率相加器。 管芯功率合成技术管芯功率合成技术是将多个管芯集中于一个小区间 内形成稳定的振荡，以获得较大的输出功率。其制作方案大致有两种，一种是将 管芯或串连，或并联，或串并联直接压焊于石英衬底上；一种是将管芯用金丝并 联在一块基片上。这样，多个管芯排列在一个小空间，从射频等效电路来看相当 于一个单管。由于毫米波波长短，频率高，使得芯片之间的距离非常小，因而散 热问题就成为一个难以克服的问题，另外，这种技术对制作工艺要求非常高，使 得其应用有很大的局限性。 电路功率合成技术电路功率合成器又可分为谐振式和非谐振式两类。谐 振式功率合成器包括矩形波导谐振腔合成器和其它柱形波导谐振腔合成器两类。 它的主要原理是将各器件的输出功率耦合到公共谐振腔的某个谐振模式，然后将 这一谐振模式的合成功率通过某种耦合方式输出。这种合成器的优点是合成效率 高、结构紧凑，缺点是频带较窄，而且模式问题限制了器件数目。非谐振式功率 合成器可以使放大器的带宽更宽。最古老和最著名的就是w i l k i n s o n 型j n 口合 成器。与谐振式合成器相比，非谐振式合成器结构简单，设计方便，端口之间隔 离性能好，另外还可用来合成多只谐振型合成器的输出功率。其缺点是路径损耗 大，合成效率低，最高工作频率受混合电路的上限频率的限制。 空间功率合成技术空间功率合成技术是利用许多辐射元的一定的相位 关系在空i 旬完成功率合成，合成功率可通过另一部天线来收集。空间功率合成器 体积较大，在毫米波段容易加工，因而具有较好的应用前景。 混合功率合成技术混合功率合成技术是将上述三种功率合成技术结合 起来形成的一种多级合成技术。它能够容纳大量的器件，从而实现进一步增加功 率输出的目的。 东南火学硕：l 学位论文 1 1 3 圆形槽波导 圆形槽波导是一种大尺寸、低衰减、低 色散、单模工作、高功率容量、宽频带的毫米 波、亚毫米波传输线。自1 9 8 9 年首次由杨鸿 生教授等人在i s r a m t 国际会议上提出以来， 经过十几年来坚持不懈的研究工作，逐步地在 实验和理论上证实了圆形槽波导的上述优良 特性。在研究圆形槽波导传输线的基础上，实 验室中已经成功地研制出了圆形槽波导模式 变换器、衰减器、振荡器和波长计等部件，且 图1 4 圆形槽波导结构示 实验结果也都证实了预期的优良性能【lj 。如图1 4 所示为圆形槽波导的结构图。 1 1 4 课题提出和意义 在毫米波固态源发展的基础上，全固态的一些雷达、通信或测量系统才能向 毫米波高端延伸。然而这类毫米波器件工艺要求非常高，成本昂贵，且技术受到 拥有国的禁运，因此不能满足我国在该领域的发展需要，基于以上原因，我们开 展毫米波功率合成技术的研究对我国防有很重大的现实意义。 为了充分利用了圆形槽波导结构的优良特性且使得圆形槽波导进一步实用 化，我们提出了w 波段圆形槽波导双管功率合成器的研究。 1 2 论文内容： 本论文共分为四章，主要内容包括： 第一章主要阐述了毫米波技术和圆形槽波导以及课题提出的背景和意义，重 点介绍了毫米波技术的发展现状，毫米波源和毫米波功率合成技术以及开展该课 题研究意义。 第二章论述了有限元法的发展和电磁场有限元原理以及有限元的预后处理 方法，论述了有限元的基本原理以及有限元分析步骤和有限元方程建立和矩阵解 析方法。 第三章讲述圆形槽波导的有限元分析以及圆形槽波导双管功率合成器中径 向盘输入阻抗的有限元分析和数值结果。对含有径向盘的圆形槽波导进行有限元 第一章绪论 分析，并对数值结果进行分析和对比，找出径向盘的最佳位置和结构大小，为下 一步的设计做准备工作。 第四章对圆形槽波导双管功率合成器的测试和试验研究。首先通过理论数值 的分析以及大家共同努力设计出圆形槽波导双管功率合成器的最佳结构，并在此 基础上对合成器进行实验测量和实验数据分析。 最后是结束语和致谢 9 东南大学硕士学位论文 第二章有限元法 2 1 有限元概述 早在几个世纪以前，古代数学家用多边形来逼近圆的方法求出圆的周长，已含有有 限元的思想。1 9 4 3 年c o u r a j l t 在他的应用数学论文中首先提出了一个有限元法类似的近 似方法，该方法利用了在三角形区域上定义的分段连续函数。现在所用的有限元法是由 t u m e r 、c l o u 曲、m a n i n 、t o p p 于1 9 6 0 年提出的【1 2 】。四十多年来，以变分原理为基础建 立起来的有限元法，因其理论依据的普遍性，不仅广泛被应用于结构工程，而且被普遍 推广成功用来解决其他领域中的问题，例如热传导、渗流、流体力学、土壤力学、机械 零件强度分析、电磁场工程问题等。1 9 6 5 年w i n s l o w 首先将有限元法应用于电气工程 问题，其后，1 9 6 9 年s i l v e s t e r 将有限元法推广应用于时谐电磁场问题【1 3 】。 2 2 电磁场有限元基本原理n 4 儿坫3 采用分离变量法等传统的解析法来分析具有规则边界区域的场问题已得出理想的 结果，用解析法去分析不规则边界区域的场问题有很大困难。虽然传统的变分法可以让 我们用一系列的线性无关和完备的近似基函数的叠加来逼近一个难以表述的精确解，但 只有在具有规则边界的区域才能比较容易构造出这些近似基函数。由此看来，具有不规 则边界和结构复杂的区域的场分析问题，不能依靠以上方法去解决。虽然有限差分法避 丌了求解场表达式这样一个问题，通过把微分简化为差分，只求解分布于区域内的一系 列点上的场解，点分布得越密，解就越接近真实的场解，这些特点使得有限差分法具有 解决复杂问题的潜力，但是有限差分法在处理复杂的不规则边界时也显得不足，并且有 限差分法在原理上没有以变分原理为基础，因而其收敛性和数值稳定性往往得不到保 证。随后发展的有限元法正是里兹法与有限差分法相结合的成果。它取长补短地在理论 上以变分原理为基础，在具体方法构造上又利用了有限差分法网格离散化处理的思想。 对于边界不规则的复杂区域的场分析问题，不可能求出精确的解析解，传统的变分 法提出可以用一个近似的解去逼近精确解的思路，这个近似解由一系列的整域基函数叠 加而成，叠加的结果要使得近似解满足所需的边界条件，而叠加系数可以由变分法来决 定。但是，问题的关键在于基函数的决定上，规则边界的简单区域基函数较易构建，而 边界不规则的复杂区域符合边界条件的基函数不易构建或构造不出来。有限元法避开构 建整域基函数这一问题，对于一个复杂的区域场分布，取区域中任何一个足够小的局部， 在这一小局部上的场分布可以用一个简单的函数线性函数或低阶的非线性函数来 1 0 第二章有限元法 近似表示。基于这一现象，可以把整个区域剖分为一系列的小单元，这些小单元在二维 的情况下是三角形或四边形，在三维的情况下是四面体、五面体或六面体，在这些小单 元上用低阶的函数来近似精确的场，各个单元上近似场的综合就是整个区域的场分布的 近似，我们得到总体场分布的一个连续的分片近似表示。在这样的情况下，因为整个区 域的场分布是用所有小单元上的场的综合来表示的，所以只需考虑小单元上的场函数的 表示形式，也就是只用构造单元上的场表示的局部基函数，从而避开了构造整域基函数。 当各个小单元上的局部基函数和场函数的表示形式确定下来之后，我们一般利用变分法 来求各个小单元上的场函数表示式里的系数。系数求解出来之后，各单元上的场分布从 而整个区域上的场分布就确定下来。下面我们将对有限元法的原理及其优点作更详细的 阐述。 基于变分原理的有限元法避开传统变分法构造整域基函数的思想，考虑局域基函数 和求解局部小区域上的场然后综合成整个区域上的场。用有限元法去分析解决问题首先 得建立问题的变分方程式或相应的泛函，然后把问题区域剖分成一系列的小单元，接着 决定单元上的局部基函数和用基函数表示的低阶场表示式，基函数的选择和单元场函数 的构造要使得单元场函数满足相邻单元之间的边界连续条件以及便于应用区域边界上 的边界条件，基函数和单元场函数确定下来之后，就可以把单元场函数等代入问题的变 分方程式或相应的泛函，利用变分法把问题变换成解稀疏线性方程组问题或特征值问 题，解出问题就可以求出各个单元上的场分布，从而也就求出了整个区域上的场分布。 其实我们不单可以求出场分布，如果求解的是特征值问题，波导的模式截止波数、传播 常数或者谐振腔模式的谐振频率是和场分布一起求出的；如果是网络问题，解线性方程 组求出场分布之后，通过场分布我们可以计算网络的s 参数；通过场分布我们还可以计 算出其它的参数。在把区域剖分成一系列的小单元时，如果我们选择统一的单元，如单 形体( 一维的情况下是线段，二维的情况下是三角形，三维的情况下是四面体) ，则单 元局部基函数和单元场表示式都可以采用统一的形式，统一的单元也有利于数据的管 理，这两方面都便于利用计算机进行自动化处理。根据有限元的基本原理，用有限元法 分析问题的步骤可以总结如下： 1 依据问题建立变分方程： 、 2 前处理，包括： ( 1 ) 定义所分析的区域，建立区域的表述模型，以表述所分析的区域。采纳非均 * 匀有理b 样条使我们可以用统一的形式去表示各式各样的曲线和曲面，使我们可以用计 算机以统一的方式去表示千变万化的几何实体。 l l 查堕奎堂堡主堂篁丝壅 ( 2 ) 对问题区域剖分为一系列足够小的简单单元，如二维的情况下剖分为三角形 或四边形，在三维的情况下剖分为四面体或者五面体或者六面体。剖分分为人工剖分和 计算机自动剖分两种方式。人工剖分直观易出错，效率低下，只是在简单的情况下采用； 计算机自动剖分快速、高效。 3 中间处理，包括： ( 1 ) 根据问题决定单元的局部场基函数和场函数表达式，把单元场函数表达式代 入前面建立的变分方程，得出每个单元的变分方程式，对每一单元都应用变分法，把 变分方程变换成稀疏矩阵方程稀疏矩阵的线性方程组或特征值问题。 ( 2 ) 解稀疏矩阵线性方程组或特征值问题。可以采用迭代法，如可以用预条件共 轭梯度法( p c g ) 解正定的h e r m i t i a n 稀疏线性方程组；可以用广义最小余量法( g m r e s ) 来解非h e r m i t i a n 稀疏矩阵的线性方程组问题等。解稀疏线性方程组也可以用直接法来 解，比如波前法( f r o n t a lm e t h o d ) 就适合解大规模的稀疏线性方程组，最近由波前法 发展出的多波前法( m u l t i f r o n t a lm e t h o d ) 适合于运行在并行环境中。至于特征值问 题，我们有时往往只需求解两端最大和最小的几个特征值，可以用l a n c z o s 方法来求解 稀疏h e r m i t i a n 矩阵，用幂迭代法求相关在特征向量：而子空间迭代法( s u b s p a c e i t e r a t i o n ) 可以求出连续的一组特征值和特征向量，不管相关的矩阵是h e r m i t i a n 矩 阵还是非h e r m i t i a n 矩阵；在有限元方法中，我们还会遇到高次非线性的广义特征值问 题，对于二次的广义特征值问题，可以转化为一般的广义特征值问题，而更高次的广义 特征值问题，可以用雅可比戴维逊法( j a c c o b i d a v i d s o n ) 来解。 4 后处理，主要是进行误差分析和把计算结果以图和表格等的人们容易理解的形式表 示出来。比如把分析区域里的电场或磁场的矢量分布图画出来，把微波网络某一端口里 某一模式的反射系数随频率的变化以曲线的形式表示出来等。 以上列出了用有限元法分析问题时的一般步骤，以上步骤没有涉及自适应处理的问 题。为了提高分析的精度和避免不必要的资源浪费，我们采用自适应迭代算法分析问题， 自适应迭代的有限元法还要包括如下的两个步骤： 5 把这一轮的计算结果和上一轮的计算结果进行比较，如果精度符合要求则整个计算 过程结束。 6 否则，分析每一个单元上的计算误差，对误差大的单元进行加密剖分，重新生成稀 疏矩阵，重新进行新的一轮计算，然后转步骤5 。 只要计算机资源允许，我们可以重复步骤5 和步骤6 直到计算结果符合精度要求。 第二章有限元法 2 2 1 电磁场边值问题及其变分原理n 6 m 踟 电磁场的边值问题和很多的物理系统中的数学模型中的边值问题一样，都可以用区 域q 内的控制微分方程( 电磁场问题中可以是泊松方程、标量波动方程、和矢量波动 方程等) 和包围区域的边界r 上的边界条件( 可以是第一类的d i r i c h l e t 条件和第二 类的u m a n n 条件，或者是阻抗和辐射边界条件等) 来定义。 有限元法是基于泛函变分原理的分析法，有限元法解题的第一步跟传统的变分法一 样，也是首先把求解微分方程的问题转化为等阶的变分问题，然后通过离散化处理构造 一个分片解析的有限子空间，把变分问题近似地转化为有限子空间中的多元函数极值问 题，求得变分问题的近似解作为所求方程的近似解，这便是有限元法的变分原理。 下面主要介绍微波网络和谐振腔的变分公式，谐振腔是一个由金属壁或磁壁包围的 腔体，里面可能放置各向同性、各向异性甚至双各向异性的介质，为了能使有限元方法 处理绝大数的电磁场问题，我们不但考虑各向同性介质和各向异性介质，考虑无损耗介 质和有损耗介质，而且还要考虑使电场和磁场产生交叉耦合的介质。为了用统一的形式 来表示上述各种情况，我们用( 2 1 ) 来表示电感应强度西、磁感应强度百和电场强度豆、 磁场强度a 之间的关系，这里d 、豆、豆、a 都是空间和+ 时间的函数，应该表示为 6 ( x ，y ，z ) p 川、豆( x ，y ，z ) p 归、巨( x ，y ，z ) p 归、a ( x ，y ，z ) p ，为简略起见，省去了( x ，y ，z ) p 归， 以后各章节除非说明全都类似。 卧m 图 汜， 式中 m ：险 l c ； ( 2 2 ) m 是一个双各向异性的6 x 6 特征张量，岛是自由空间介电常数，风是自由空间的磁 导率，而云是相对介电常数张量，可是相对磁导率张量，喜是磁场到电场的交叉耦合张 量，是电场到磁场的交叉耦合张量，它们都是如下所示的3 x 3 的矩阵， i 氍圣 ( 2 3 ) 东南大学硕士学位论文 瓦= 主三差三差兰 p2 i ” fi i “ 秒 “l 亏= 隧妻 号= j 厶岛厶i f 。孝：，欠i i = 睡针 c ；= l 厶f f 弦i 。 f 。 f 纠f 。i v 置= 一缈豆 v a = 缈西 ( 2 4 ) ( 2 5 ) ( 2 6 ) ( 2 7 a ) ( 2 7 b ) ( 2 7 c ) v b = o ( 如果我们对( 2 7 a ) 和( 2 7 b ) 应用 ( 2 1 ) ，则可以得到 v e = 一掣。面h 一缈e v h = 歹占o i e + 鼍h 从而导出 掣。a = 一瓦一v 豆一砸一1 亏置 们。巨= _ - 1 v a 一掂一a 上两式两边取旋度得 掣o v a = 一v 瓦一1 v 巨一缈v 瓦一1 亏叠 占o v 置= v i 一1 v a 一缈v i 一a 把( 2 9 b ) 代入 ( 2 1 1 a ) 的左边，同样把( 2 9 a ) 代入 的左边，我们得到如下的等式， 一2 o 占o i 置一2 o 亏a = 一v 瓦一1 v 巨一国v 瓦一1 亏豆 缈2 o 氏瓦a + 缈2 亏巨= v i 一1 v a 一缈v i 一1 弓a 把( 2 1 0 a ) 代入( 2 1 2 a ) ，并且把( 2 1 0 b ) 代入( 2 1 2 b ) ，上两式变为 1 4 2 7 d ) ( 2 9 a ) ( 2 9 b ) ( 2 1 0 a ) ( 2 1 0 b ) ( 2 1 1 a ) ( 2 1 1 b ) ( 2 1 1 b ) ( 2 1 2 a ) ( 2 1 2 b ) 第二章有限元法 2 。占。i 巨+ ( 瓦一1 v 豆+ 瓦一1 亏豆) = v 可一1 v 豆+ _ ，缈v 面一亏豆 ( 2 1 3 a ) 缈2 。s 。耳a 一沅 一1 v a 一国i 一1 亏a ) = v i 一1 v a 一缈v i 一1 亏a ( 2 1 3 b ) 经整理得 v 瓦一1 v 巨+ 缈v 瓦一1 芎巨一国昴一1 v 豆+ 缈2 芎西一1 亏置一缈2 。占o i 置= o ( 2 1 4 a ) v i 一1 v a 一v i 一1 亏a + 器一1 v a + 2 泰一1 芎a 一缈2 。瓦a = o ( 2 1 4 b ) 这就是双各向异性介质中，电场豆和磁场a 各自所遵循的偏微分方程。倘若介质没有电 场和磁场的交叉耦合，也即号= o 和= o ， 异性介质中所遵循的偏微分方程( 2 1 5 ) 。 v 瓦一v 巨一缈2 o i 置= o v 否一v a 一2 o 岛f a = o 则式( 2 1 4 ) 变成了电场和磁场在一般各向 ( 2 1 5 a ) ( 2 1 5 b ) 如果介质进一步变为各向同性介质，则式( 2 1 4 ) 相应变成( 2 1 6 ) 这就是我们经常看 到的矢量亥姆霍兹方程，式中s 是相对节点常数，是相对磁导率。 v v 豆一缈2 o s o s 豆= 0 ( 2 1 6 a ) v v a 一缈2 o 岛掣a = 0 ( 2 1 6 b ) 显然( 2 1 4 ) 式中的两个式子在结构上很相似，这两个式子可以综合起来用如下的一个 式子来表示。 v d v 6 + 菩坚v 霞6 + 害坚吾v 6 + j 殳亍6 一砖审6 ：o ( 2 1 7 ) _ ；u q oq p q s o _ u o s o 式中昧= 缈2 。岛，当6 = 豆时， d = - 1 v = i 良= _ - l i 吾= 一葡。1 i = 葡。1 i 当g = h 时， u = i 1 5 ( 2 1 8 a ) ( 2 1 8 b ) ( 2 1 8 c ) ( 2 1 8 d ) ( 2 1 8 e ) ( 2 1 9 a ) 东南大学硕士学位论文 v = 瓦 良= 一i - | 芎 季：石- t 亍= 矗。1 i 分析区域内的场分布，我们还必须考虑定解条件，定解条件包括初始条件和边界条 件，由于我们这里只考虑稳态电磁波的场分布，所以不用考虑初始条件，只考虑边界条 件，边界条件主要有以下三种： 第一类边界条件( d i r i c h l e t 条件) 第一类边界条件直接给出了电场或磁场在分析区域边界上的分布，用公式表示为 g = 历 历为已知的矢量分布函数； 第二类边界条件( n e u m a n n 条件) 第二类边界条件给出了电场或磁场在边界上的法向导数的分布，表示为 a g - = 了= 矽 d n i i 为边界的外法向单位矢量，万也是已知的矢量函数。 ( 2 2 0 ) ( 2 2 1 ) 第三类边界条件( r o b i n 条件) 第三类边界条件是混合边界条件，它给出了区域边界上电场或磁场及其法向导 数之i 、自j 的函数关系，如下所示 口塑+ 口6 ：詹 口_ = 了+ u = k d n 口和是已知的系数，而后是己知的矢量分布函数。 ( 2 2 2 ) 除了上面三类常规的边界条件以外，我们还经常用到媒质分界面上根据电磁场基本 性质推导出的边界条件，如下式所示， i i ( e l e 2 ) = 一m ， ( 2 2 3 a ) 第二章有限元法 i i ( d l d 2 ) = 成 i i ( b l