（物理电子学专业论文）基于adipmlfdtd的平面光波光路元件分析.pdf

摘要 在现代光通信和其他光子系统中比特率持续增长需要各种能够不依靠光电转换直接处 理光信号的光子集成光路( p i c ) 。同时，随着制造工艺的进步，已经开始可以进行p i c 的 制造。也需要从理论上和数值方法的角度分析这些作为在w d m 系统终端节点的高折射率 差的无源器件。 在本文的工作中篇2 章介绍了光波导中的理论，采用有效折射率法( e i m ) 将一个三 维的波导化为一个二维的问题。 第三章中介绍了传统时域有限差( f d t d ) 分中的各种问题，包括网格划分、差分格式、 激励源设置、边界条件、数值色散和数值稳定性。 第四章中讨论了基于交替方向隐式法的时域有限差分( a d i f d t d ) ，采用传统分析法和 矩阵法分别推导了a d - f d t d 的数值色散和证明了无条件数值稳定性。同时证明a d i f d t d 在时间差分上是基于c r a n k n i c o l s o n 法f d t d ( c n f d t d ) 的：- - 阶微扰。 第五章中讨论了平砸波入射到一个有损媒质空问的物理机理，然后研究垂直入射一维波 无反射传输的条件，最后介绍了p m l 边界条件的原理。 第六章中介绍了总场散射场技术剃连接边界条件讨论了平面波、，f 板波导中的t e 摸和周期结构中的平面波。 基于以上工作，在第七章将a d i p m l f d t d 应用到各类器件的分析里，包括导波模光栅、 微腔和单模波导光栅，证明算法的有效性。 a b s t r a c t t h es t e a d i l yi n c r e a s i n gb i t - r a t e si nm o d e mo p t i c a lc o m m u n i c a t i o n sa n do t h e rp h o t o n i cs y s t e m s n e e d sv a r i o u sp h o t o n i ci n t e g r a t e dc i r c u i t s ( p i c ) t h a tc a l lp r o c e s s e sd i r e c t l yo p t i c a ls i g n a l si na s m a l lc h i pw i t h o u tu s i n ge l e c t r o n i cc o n v e r t i n gw a yi nt h em e a n t i m e ，f a b r i c a t i o nm e t h o d sh a v e b e e l li m p r o v e da n dt h et o l e r a n c e sr e q u i r e df o rt h ef a b r i c a t i o no f p i ca r eb e g i n n i n gt ob em e ta l s o i ti sn e c e s q yt od e v e l o pt h e o r e t i c a la n dn u m e r i c a lm e t h o dt oi n v e s t i g a t eh i g hi n d e x c o n t r a s t ( h i c ) p a s s i v ec o m p o n e n t st h a tc a l ls e l v ea sb u i l d i n gb l o c k sa tt h ee n d - p o i n t sa n dn o d e so fw d m c o m m u n i c a t i o n ss y s t e r n s i nt h i sw o r k ，s o m et h e o r i e so fo p t i c a lw a v e g u i d e si si n u o d u c e di nt h es e c o n dc h a p t e r ，a n d e f f e c t i v ei n d e xm e t h o di sa l s os t u d i e d ，w h i c hm a yt r a n s f e rt h ep r o b l e ma b o u tt h r e ed i m e n s i o n a l w a v e g u i d et oat w od i m e n s i o n a lp r o b l e m i nt h et h i r dc h a p t e r , v a r i o u sp r o b l e m si nf d t di si n t r o d u c e di n c l u d i n gy e e 酣d ，d i f f e r e n c e e x p r e s s i o n s ，s o u r c ee x c i t a t i o n ，b o u n d a r yc o n d i t i o n ，n u m e r i c a ld i s p e r s i o na n d n u m e r i c a ls t a b i l i t y i nt h ef o u r t hc h a p t e lf d t db a s e do na l t e r n a t i n gd i r e c t i o ni m p l i c i tm e t h o d ( a d i - f d t d ) i s d i s c u s s e d a p p l y i n gg e n e r a lm e t h o da n dm a t r i xm e t h o d ，w ed e d u c e dt h e n u m e r i c a ld i s p e r s i o n e q u a t i o nf o ra d i - f d t da n d v a l i d a t e di t su n c o n d i t i o n a ls t a b i l i t y m e a n w h i l e ，w ep r o v et h a t a d i f d t di sa no ( r2 ) p e r t u r b a t i o no ft h ei m p l i c i tc r a n k n i c o l s n n ( c n ) f o r m u l a t i o nf o r f d t d i nt h ef i f t hc h a p t e r , w er e v i e w e dt h ep h y s i c se rap l a n ew a v ei m p i n g i n gu p o nac o n v e n t i o n a ll o s s y m a t e r i a lt h e n ，w ed e r i v e dt h ec o n d i t i o no fn o n r e f l e c t i o nf o rao n ed i m e n s i o n a lw a v e ( n o r m a l i n c i d e n c e ) l a s t l y , t h et h e o r yo f p m lb o a n 蛔c o n d i t i o nw a si n t r o d u c e d i nt h es i x t hc h a p t e r , t o t a l - f i e l d s c a t t e r e d - f i e l dt e c h n i q u ea n dc o n n e c t i n gb o u n d a r yc o n d i t i o ni s i n t r o d u c e d ，t h e nn o r m a lp l a n ew a v e ，t em o d ei ns l a bw a v e g u i d ea n dp l a n ew a v ei nap e r i o d s t r u c t u r ew e r ed i s c u s s e d b a s e do nt h ef o r m e rw o r k ，w ea p p l i e da d i p m l f d t dt ot h ea n a l y s i so fv a r i o u sc o m p o n e n t s i n c l u d i n gg u i d e dm o d eg r a t i n g ，m i c r o c a v i t ya n ds i n g l em o d ew a v e g u i d eg r a t i n gi nt h e s e v e n t h c h a p t e r , w h i c hv a l i d a t e dt h ee f f i c i e n c yo f t h i sa l g o r i t h m 东南大学学位论文独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得 的研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含 其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得东南大学或其它教育机构 的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均 已在论文中作了明确的说明并表示了谢意。 研究生签名： 盆i 丛日 期： 东南大学学位论文使用授权声明 东南大学、中国科学技术信息研究所、国家图书馆有权保留本人所送交学位 论文的复印件和电子文档，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文。本人 电子文档的内容和纸质论文的内容相一致。除在保密期内的保密论文外，允许论 文被查阅和借阅，可以公布( 包括刊登) 论文的全部或部分内容。论文的公布( 包 括刊登) 授权东南大学研究生院办理。 研究生躲谣塾馨新躲歧日 基于a d i p 虬- j ：d t d 的平面光波光路元件分析 第一章绪论 1 9 6 9 年，随着弯曲波导及波导滤波器分析设计工作的完善“1 。集成光学( 1 0 ) 的概念 诞生了。集成光学器件伴随者光纤通信的兴起和发展已经走过了几十年。集成光学器件不仅 成为光纤网络的重要组成部分，而且也促使光纤通信容鼋爆炸性增长，光纤通信技术和产业 的迅猛发展。加上集成光学器件技术的进一步发展和成熟还将掀起光纤通信技术及其相关产 业发展的新高潮。 1 1 平面光波导光路器件在信息技术领域的应用 为实现光路集成像电路一样，具有二维平面的集成和三维空问集成光器件就要波导 化、阵列化充分利用现有集成电路的微加工工艺。 近些年发展起来的平面光波导光路( p l c ) ，就是希望实现像电路印刷版一样的平面光子 l 口l 路的大规模集成。为二维平面集成。p l c 具有成本低、便于批量生产、易于集成的诸多优 点，被认为足光通信系统产业的救星。分离光器件向光波导的集成器件发展是一种必然趋势 p l c 器件的最小尺寸依赖于构成器件介质层的折射率差高折射率差( h i o 芯层折射 率高，包层折射率低能将光波束缚在光波长量级尺寸的介质中，是集成光学的重要基础 高折射牟差导致器件小境化的思想并不新，只是近些年才得到关注，有以下几个原因“： 役有可用的高折射率差的高质量晶体材料，对器件的缺陷尤其在高低折射率材料界面处要求 很高，以前的刻蚀工艺无法达到l o o n m 大小的临界尺寸。当前纳米工艺进步使得我们可以考 虑集成光学中亚微米尺寸的h i c 结构。 目前，光纤通信中用得最多的集成光学器件主要有：光耦合器( c o u p l e r 、s p 】i t t e r ) 、 光调制器，光开关、可调谐光滤波器( o t f ) 等 1 光耦合器 光耦合器是实现光信号分路合路的功能器件。一般是对同一波长的光功率进行分路和 台路。用于光纤通信的耦合器分为：光纤熔锥型耦合器、微机电元件型( m e m s ) 耦合器和集成 光波导犁耦合器。这里介绍集成光波导型耦合器。 采用平囱光波导技术能做成不同结构与功能的集成光波导型耦合器，其主要工艺过程 肓：沉积、光刻、扩散。图1 1 所示为最简单的y 形( 1 2 ) 分支耦合器的基本结构。 董譬一 。b ，基 匿l i 集成光波导耦合器 2 光调制器 a ) l i n b 0 3 光波导调制器 光纤通信系统的调制器主要是l i n b 0 3 光波导调制器。l i n b 0 3 光波导调制器是利用电光 效应对光波的相位、强度或偏振态进行调制的器件。对高速系统而言，最常见的l i n b 0 3 光 调制器是g a c h z e h n d e r 干涉仪( 舵i ) 耀行波电极强度光调制器，图1 2 是其结构示意图。 这种调制器采用了m z i 的波导结构和行波电极结构，不仪可获得很高的工作速度，而且调制 信号的频率啁啾非常小。 二叁势。 田1 2m z i 行波电极l i n b 0 3 电光调制嚣 i z i 光波导通常是采用t i 内扩散或质子交换工艺制作的。行波电极通常采用不对称条状 线( a s l ) 和共平面波导( c p l ) 电极 b ) 硅基光波导调制器 社基光波导调制器是借助碡晶体的电光效应对光信号进行调制的半导体电光调制器。然 而，辞的电光效应十分微弱。增大电光效应的最佳办法是借助于载流子注入来实现折射率和 或光吸收牛变化( a n 和或da ) 图1 3 足一种硅绝缘体( s 0 1 ) 电光调制器结构示意图， 这是一种基r 大截面单模凸条光波导的光强调制器。其工作原理建立在自由载流子等离子弥 散和波导消失效应的基础上。凸条光波导由s o i 上的硅光波导层构成。 图i 3s o l 光强调制器 c ) 聚合物光波导调制器 聚合物光波导调制器通常是制作在玻璃或硅材料上，其光波导为舵i 型，聚合物光波导 足通过旋转涂复聚合物溶物热固化、光刻和反痤离子刻蚀等工艺制作的。底部和项部电极 足通过蒸发c r a u 制作的 3 光开关 光开关足光交换的核心器件主要用来实现光层面上的路由选择、波长选择、光分插复 用，光交叉连接和白愈保护等功能。高速光纤通信系统中，需要大量的1 n 、n n 光开关。 光开关的实现方法有：微机电光开关( m e i c s ) 、热光开关、电光开关、液晶光开关等。下面 介绍电光开关和热光开关。 a ) 电光开关 电光开关利用波导材料的电光效应对波骨折射率进行调制，通过改变光程达到开关的目 的。适合制作光纤通信系统的光开关的典型材料有s i 、g a a s 、i n p 。 电光开关可以分为三类：定向耦合器犁、干涉氆、y 分支型 定向耦合器型电光开关由一对靠得很近的条形光波导以及分布在条形光波导上的表面 电掇构成。通过注入电流改变波导臂的折射率，从而导致两个相邻波导之间的能量耦合来实 现传输通道的切换。耦合器的耦合长度与相邻波导问的间距决定着波导间的能量耦合比。图 1 4 为定向鹕合器型光开关的结构示意图。 基于a d i - p m l p l y r d 的平面光波光路件分析 簟毫曩藏i t 疆 躅1 4 定向耦台器型光开关 干涉型电光开关分为m z i 型和x 交叉型，使用最多的是彪i 型，它由一个2 2 的m z i 和两个3 d b 定向耦合器组成。输入定向耦合器把输入光一分为二并进入l l z i 的两个波导臂传 输在传输期间，通过电极两端的电压，改变波导臂的折射率，使两个波导臂的光束产生相 位差。当具有不同相位的两束光汇集于输出定向耦合器时，两束光发生干涉，通过控制干涉 的状态( 相长或相消干涉) ，达到切换输出端口的目的。x 交叉型开关也属于干涉型电光开 关它是通过交叉部的模式问的干涉实现光的开关。圈1 5 为配i 型和x 交叉型光开关的 结构示意图。 瞎窝陲竭 l 汉= 矧i 匿舞司 鏊= = = = 掣= ! = ：= ：= j 涟二= = = = - = 。二罗 图1 5 干涉型光开关 y 分支埤l 电光开关由输入输出单模光波导、线性y 分支型波导和y 分支上的电极构成。 这种电光开关是通过y 分支的两个输出分支波导的折射率变化，实现数字式输出，放有时将 这种光开关称之为数字光开关 ”热光开关 热光开关是基于热光效应的光开关，所渭热光效应是指光介质的光学性质随温度的变化 而发生变化的物理效应。对半导体热光开关而言，典型的材料是s i 和s i 0 2 。热光开关的最 大优点是可制作光开关矩阵。基于m z i 的热光开关是制作光开关矩阵的首选结构。 1 2 p l c 的数值仿真技术 对于前面介绍的常见平面光波器件的数值仿真，常用的方法是束传输法( b p m ) ”“ 和时域有限，分法( f l y r d ) ”“” 1b p m b p m 是经典分析平面光波器件的数值分析方法，是从亥姆霍兹方程出发，研究时谐场， 考虑波前向传输的情况，在纵向只能允许很小的折射率变化，同时引入了弱导近似，横向折 射率变化也必须很小。 为了消除纵向折射率缓变的限制出现了时域束传输法( t d - b p m ) “，考虑到了时间变 化因数，可以同时处理前向和后向的传输，同时t d - b p m 引入综合道格拉斯法( g d ) 进一步 提高了计算精度一引入交替方向隐式法( a d i ) 实现了计算无条件稳定。但在处理横向折射 率变化较大时( 如波导耦合) 还是不太理想。所以b 刚不是研究h i c 结构的摄佳方案。 2 f d t d f d t d 住设计复杂的r f 和微波器件方面已经有了广泛的应用。在集成光学领域，光器件 2 0 0 6 - l - 2 5 尺寸和波长相当，f d t d 正逐渐成为一个强大的模拟和设计工具。 在离散的网格中，以有限差分代替微分方程，f d t d 无需任何近似求解全矢量m a x w e l l 方程组。在保证通过离散足以描述特征的前提下，比较复杂的结构可以用两维或三维模拟。 在实际应用巾3 d f i ) t d 往往要消耗大量的训算时问和存储空问，2 d 算法结合有效折射率法 ( e i m ) 往咎用得更多，可以精确分析大部分平面器件。f d t d 另一个重要限制是以有限的空 间区域模拟无界结构，则开放边界条件的近似处理必不可少，困难是在网格截至的地方使 散射波在边界上无明显反射的离开计算区域人们已提出了一些处理方案”“”“1 。 尽管f d t d 需要大量的计算，其优点是只要进行一次计算，通过对时域数据离散傅立叶变换 ( d f t ) 或快速傅立叶变换( f f t ) 找到整个系统的宽频带响应。 影响f l y r d 计算效率主要有两方蕊因数：一方面晟大空间步长受到最小模拟波长的限制。 一般不大予培小波长的十分之一；另一方面最大时间步长受到空间步长的限制，必须足够的 小，保持数值计算稳定性。 为改善第一个限制，将场值用完备正交函数集展开，提出了m u l t i r e s o l u t i o n t i m e d o m a i nm e t h o d ( m r t d ) 和p s e u d o s p e c t r a lt i m e d o m a i nm e t h o d ( p s t d ) ”“。空阃 步匠可取到接近最小波长的二分之一但这类方法比较适合于分析简单结构的问题。 为改善第二个限制，时圩】微分项隐式展开提出了a d i f d t d ”“。1 1 3 本文工作 主要工作是围绕2 d _ d i 一阱d 结合经典p m l 边界“”条件的a d i p m l - f d t d 完整模型展开 的，在研究波长量级的小尺寸器件时具有很大的优势，在空间网格细化的同时，在精度保证 的前提下，放宽对时问步长的限制，提高计算效率大大节省计算时间。 第2 章介绍平面光波导的一些理论背景，写得比较平实，不过为后面几部分电磁理论分 析提供了基本保证，使得本文工作在理论上很详尽。第3 章介绍传统时域有限差分( 舯) 中的各种问题，为a d i - f d r d 的引入作铺垫。第4 章讨论了本文中所用基于交替方向隐式法 的时域有限差分( d i - f l y r d ) 理论模埤! ，介绍方法与众不同，是比较有特色的一章。第5 审介绍了p m l 边界条件，并和a d i - f i ) t d 结合起来，包括了理论详细推导和数值验证自此 得到a d i - p m l f d t d 完整模型。要应用这一校型，还要解决源的激励，第6 章讨论了数值仿 真中的各类馓励源介绍了两类激励方法，二三种激励源。第7 章，采用 d i p m l f d t d 仿真 了几种器件并将结果与已发表文献进行对比，有力证明了所提出数值模型的有效性第8 幸总结并提出未来可开展的工作。 以上为本人研究生阶段的工作进展，包括数值技术方方面面的内容，以及一些器件的基 本电磁理论。光波导理论部分加入了一点经典理论，全文篇幅可能显得较累赘，不过想通过 这部分内容突出光波器件的分析，也为后面各种理论分析打下基础，有不妥的地方，希望您 及时给与指正。 基于a d i - p m l - f d t d 的平面光波光路元件分析 第二章理论背景 5 本章提出平面光波器件所涉及的基本原理，作为本文工作中解析解和数值解的基础。 平面光波导是构成集成光学光路和半导体激光器的关键器件。通常，矩形光波导是由正 方形或者矩形芯层被低折射率包层包围构成的矩形波导的传输特性须通过三维分析来完 成。然而，严格的三维分析通常需要数值分析因此，这一章首先讨论二维平板波导，获得 对光波导的基本了解。然后介绍矩形波导以及有效折射率法近似将三维分析变到二维分析， 这在f l y r d 分析时意义深远，因为三维时域的数值分析计算量非常大。 2 1 波动理论分析平板波导 用波动理论分析平板波导中的波，就足求满足边界条件的m a x w e l l 方程，在此基础上再 去分析其特性。 2 1 1 基本方程的推导 我们所分析的平板波导结构如图2 1 ，其传输特性已经被详细讨论了“1 “ 图2 1 平板光波导 假设我们研究的只是介质光波导，可设m a x w e l l 方程组中介电常数= 知疗2 ，= 胁： v 雷= - - 4 0 i a h 讲 ( 2 1 i ) v 瓜詈 仁哟 这里 是折射率，光波沿：向传播。波导，方向上的尺寸远远大于善方向上的高度。因此假 设场有如下形式 露= 雷b ，y k ，i “辟) 膏= 厚g ，y k 。i “一犀) ( 2 2 | ) ( 2 2 b ) 将公式( 2 2 a ) 和( 2 2 b ) 代入公式( 2 1 a ) 和( 2 i b ) ，得到关于电磁场府勺方稃组： 玄t 旨 x 酉a e z 峨= 一j l l l j f l e 一? o e = 一j n w 。h ，ox 堡一譬：皿ox 加。 埘妒胁旭 一j b h 。一鼍= j 一e 。 卿 。 孕一掣：，蛳。：丘 四 a y ( 2 3 ) 在图2 1 中的平板波导中，屯磁场雷和詹与y - 轴无关，则设置a 剧aj ，= 0 和 a ，珈y = 0 将以上关系代入公式( 2 3 ) 和( 2 4 ) ，可以得到两个相互独立的电磁场模式， 分别为t e 校和t m 模。 t e 模满足以下的方程： 譬+ 僻 z 磅= 。 h 。：一卫e 。 7 以；上睾 嘞斑 e | = e ：= h t = 0啦s 日 切向分量e 。和日：在两不同介质的分界面上连续同时如公式( 2 5 d ) ，电场的z 一轴向分 最为零( 匪= 0 ) 。由于电场与z 一轴垂直，这种电磁场分布称为横电模( t e ) 模。 i n 模满足以下的方程： 碲d ( 1 ：d 甜h , 、i 睁等卜= 。 出l 刀2 凼j r 月2 厂” q 堕出 专、孑 疋 i | ； 基fa d i - p m l - f d t d 的平面光破光路元件分析 e ，= h 。= h ：= 0 7 公式( 2 6 ) 中磁场的：一轴向分量为零( h ；= 0 ) 由于磁场与z 一轴垂壹这种电磁场 分布称为横磁模( 删) 模 2 1 2 t e 模的色散方程( 本征值方程) t e 模和t m 模的传播常数可以解方程组( 2 5 ) 和( 2 6 ) 得到。以下我们推导计算t e 模的色散方程( 本征值方程) ，t t l 模推导类似，在图2 z 中我们考虑芯层均匀折射奉分布的 平板波导传导的电磁场被局限于芯层中在包层中指数规律衰减，电场分布表达式如下 f a c o s ( 脚一庐x 。9 h ”) g 口) 马= a c o s ( 鼓一力( - 口s x 口)1 2 7 ) j 彳c o s ( 脚+ 弘。“1 g 蔓哪) n o n i l 鹏 田z 2 平板波导折射率分布 这里j r 、口和善是在芯层和包层中沿j 一轴向的波数，表达如下 隹_ 艨2 2 2 在方程组( 2 7 ) 中，电场分量e 在芯包界面处( 善= 口) 连续另外一个边界磊件是磁 场分量日：必须在边界上连续，以可由公式( 2 5 c ) 得到，其连续条件可由吗凼来处 鲁= - 荔：i 学， 由哆出在x = 口处连续，得 副有 f0 , 4 c o s ( 口q 一) = r 4 s i n 汹一矿) 1 一别s i n 汹+ 力= 彰c 汹+ 力 协1 1 0 + 力= 兰 越 t a l l 0 一) = 兰 甜 这里 f ”= 廊 w = 乒 【w = 佣 由公式( 2 1 0 ) 得到本征值方程 。= 等+ 三啪。1 ( 詈 + l t a n 。( 鲁 如= 叫名) 妒= 等+ - ：- t a n 。曙) - ： t a n 。 由公式( 2 8 ) 和( 2 1 1 ) 代入公式( 2 1 2 ) ，得到最终本征值方程； ( 2 1 哟 ( 2 1 0 b ) ( 2 1 2 ) ( 2 1 3 ) ：棚一讹- l 妪三至匠一训近三巫三：埘石 r r 如= o j , 2 ，) 归一化横向波数，w 和不相互独立，有如下关系 z + w 2 = 口2 白? 一z ) ；p 2 w 。：历百 ( 2 1 5 4 ) 2 1 y e ) ，= 籍 釉 n i 一吃 这里u 是归一化频率，r 表征了衬底的不对称度，一旦工作波长给定，他们随之确定甜， w 和w 可以通过求解以上方程得到。在图2 2 所示的非对称波导中( 吃 n 0 ) ，较高的折 射率几作为包层折射率，被用于定义归一化频率u 之所以选择较高折射率见，是因为在 截l l 条件下。归一化常数州与较高的包层折射率柏同。当光信号和波导的几何结构给定， l l = l 一化频率u 和不对称参数y 随之定了下来，传播常数可解本征值方稃( 2 1 4 ) 结台- ( 2 8 ) 基于a i ) i p n l f i ) t d 的平面光波光路元件分析9 稍疋由幽2 2 丰口公式( 2 ”【z 8 ) ，横i 可传惜雨毅茁，盯和亏必；兜为买敦，才能将光波 限制在芯层中，保证包层中为衰减波则满足如下条件： 一詈钢 句 因此有效折射率定义为 以= 罢 仁- 订 当有效折射率以( 时，包层中的电磁场在横向震荡，即场将以辐射模耗散掉。由 夕= k o 吃表求场截止井成为非传导波( 辐射模) 的i 涵界条件。被称为截止条件。这里引入 一个新的参数，定义为 a = 籍2 2 则由公式( 2 1 6 ) 和( 2 1 7 ) 得传导模的条件为 0 6 l( 2 1 9 ) 截止条件为 b 为归一化传播常数色散方程公式( 2 1 2 6 ) 苗改写为 ( 2 2 0 ) 为归一化传播常数色散方程公式( 2 可改写为 。 z v 届压耐幅 亿：， 公式( 2 8 ) 可改写为 f ”= p 、而 忙篙 ) t 翮( ”一等) ， = 等 g 2 4 ) 公式( 2 2 】) 可写为 v 历= 等一岳 2 1 3 传播常数的计算 这里对本征值方程进行处理，采用作图法，求解传播常数。对于对称波导可以通过公式 ( 2 2 3 ) 求解，以甜为自变量，作w - - = i 曲线，对于给定波长和波导参数的情况下，归一化 频率u = w 2 + 甜2 为一常量，在作曲线w 2 + 甜2 = c o r t s t ，两曲线的交点为所求的解。 肖然，对称波导的情况下，也可以通过处理公式( 2 2 5 ) 来求解。这足一个比较通用的 方法，因为非对称的波导用同样的方法可以通过处理( 2 2 1 ) 来求解。这里详细介绍这一方 法。 首先，对称波导满足y = 0 ，色散方程( 2 2 5 ) 可以改写为如下形式： 几砌) = v 而一等一t a n 。 = 0 f 2 2 6 ) 波导结构和波长一定时，归化频率u 一定，设u = 4 ，采用离散的数值的方法作 ，以m ，吩一b 图，函数，( v ，m ，6 ) 的零点对应的6 即为所求得归一化的传播常数。如图2 3 所示。 p l o to f 蜘m 。b ) f o rt h ec a l c u l a t i o no f t h ee i g e n v a l u e 4 3 2 1 霉 量口 嘉 # - 乏 毒 - 五 01 0 0 冱硇3 0 04 5 0 0e a 07 0 08 0 09 0 01 0 3 0 0 d 0 b 圈2 3 计算术铜值的，( v ，历，6 ) 一6 图 解得归一化传播常数。就可以通过公式( 2 7 ) 可以求出对应模式的电场分布。本征方程和 横向电场的求解将在第六章中继续展开讨论 基于加i p 吐一f d t d 的平面光波光路元件分析 2 2 矩形波导 矩形波导的分析是三维的，我们首先介绍其基本模式分类，然后讨论使用有效折射率法 ( e l m ) 将一：维问题降阶为二维问题 2 2 1 基本方程 如图2 4 所示的三维光波导，可以通过解析法求解，解析法包括m a r c a t i l i 法、k u m a r 法”“，点匹配法“1 和有敛折射率法( e l m ) i “j 1 3 0 1 。本文中主要讨论了有效折射率法的应用。 渊 y ，k 阏 n o n o n ln o 阏 n o 渊 图2 4 矩形波导横向折射率分布示意图 主要考虑两种情况下的电磁场分布- 一种情况设以= 0 ，e 和h y 占主导地位，称为 模其中，1 0 q 都是整数，分别表示x 和j ，方向上的模阶数。处理公式( 2 3 ) 和( 2 4 ) 得到： 等+ 等+ 僻 卢2 k = 。 仁研 e = 等q + 丽1 可8 2 h y b = 磊而1 丽8 h , e ：三堡 打：兰堡 另一种情况一= 0 ，易和以占主导地位，称为模代入公式( 2 3 ) 和( 2 4 ) 得到 2 2 2 e i m 等+ 可o z h x + 僻 2 归，= 。 e = 一瓦1 而丽0 2 h ,伽o n 唧 b _ 6 歹o p o 日，一磊而1 矿0 2 h , e = 专警 掰。”一a y 耻孑警 如图2 5 所示的脊波导这种波导结构比较复杂，很难用m a r e a t i l i 法或k u m a r 法来分 析。分析这种结构，一般要用数值方法，例如有限元和有限差分。有效折射率法是一种解析 法，可以分析结构复杂的波导例如脊波导和l i n b o 扩散波导这里详细分析模的情况 脊波导结构如图2 5 。 t d j c o r e n c 4s u b s t r a t e 玛a 圈2 5 脊波导 由公式( 2 2 9 ) 盏模的波动方程为 等+ 等+ k 2 虹= 。 以下为有效折射率法基本假设，电磁场可以由变最分离，表达如下 。x ，) = x b ) y ) 2 3 2 ) 将公式( 2 3 2 ) 代入( 2 3 1 ) 并除以y y 得 专孚+ 三窑+ 附k 力一：】：oy ox 玉2y 2 。 l，tt。j 基于a d i 一蹦l f f f r d 的平面光波光路元件分析 引入与y 无关的变量鳐略o ) ，公式( 2 3 3 ) 可以分解为以下两个方程 7 1 矿d 2 y 十k 一2 一略徘。 i i 矿d 2 x + 瞬一g ) 一声2 】= 。 1 3 h 蚶b ) 为雨效折射率分布，表示与y 一轴乖直平面内的波矢。实际折射率分布，l ( t y ) 如图 2 6 所示，这里巩= 1 m l 啦蚺 n l l l f 123 4 l m j 是脊波导的高度，其与x 方向的位置有关： ，= ? 。藩8 蹦， l 第一个色散方程的求解 首先r 我们求解( 2 3 4 ) 来确定有效折射率分布”咿b ) 如图2 6 所示这是一个关于 四层结构的问题1 区为衬底2 区为芯层，3 区为脊( 其折射率与1 区同) ，4 区为包层。 由方程( 2 3 4 ) ，有两种可能的解形式，一种是震荡解( ”咿x ) ，如y ) ) 。对于传导模式：光信号主要被约束在2 区芯层中，为震荡解；1 区 和4 区必须为指数衰减解解；3 区折射率与1 区同，解构形式同，同为指数解( 不过为衰减 解和增益解的组合) 。则有效折射率必须小于2 区折射率并大于1 区或4 区折射率： 一，如，) ，l 胡心 2 3 7 ) 则y 可写成如下形式 象 其巾 七2 群 一言b 三a p 口 嘭 b s i n ( k 2 y 一妒) y s 由公式( 2 3 8 ) rh ，在边界y = o ，d ，d + s 上连续，得 f y = u a = b 。? 泐 y = d 占c o s ( 屯d 一力= c + d u = d + s c 一+ d 矿= e 由公式( 2 4 9 ) ，e z 在边界j ，= 由等式 1 】一 6 得 d 1 4 】j y = 0 y = d y = d + j 【2 】【5 】j 五c = 【3 】 6 】； c o s ( k 2 d c o s ( k ：d - 班等等咖一一：盯 c p 一4 + e 4 d c p a p “ d ：型蔓尘 s i n ( 2 矿一1 2 d ) 蠕厢 骱盼 = = = 仃k 厂 ，_i_j，_-_【 = 一钞 一矿 虻 坠砂 一矿 虻e m 瞄阱 弦上 得酬哮球 鲰争埘如 连 = o t 雌 肚 叫 一 砒 盯矿嘶弦 盯一也力 t 一矿小 i i 屯 盯一k m s 立t乞ib 归立t n + 诅 力 盯一， 圮一杉 = 基于 d l p 虬一f 廿t d 的平面光波光路元件分析 联立等郯川吼并职设善号= 筹= 鼬y ，矧四层结构的色散方程 s i n ( k 2 d 一2 矿) = s 血化d x - 2 b + ， ( 2 4 i 这里 妒= 咖。( 暑爿y = 协曲。( 吾罚t ：= h 厢一= t 。- n 2 。，= 厢 由方程( z ，4 1 ) 求得疗啊，如图2 7 所示 n x ) 图2 7 有效折射率分布 2 第二个色散方程的求解( 过程同2 2 1 节) 接下来。考察公式( 2 3 5 ) ，所研究的模型结构如图2 7 所示，是一个对称波导，三层 结构，分为芯层和包层，对于传导模式。分析如前，芯层中为震荡解，包层中为指数衰减解， 则 ( f ) 户 o ) ( 2 4 2 ) 则x 可写成如下形式 j = 一p 砜胂一 工 口 忙孺需 。删 即警斟蓦 誊口 由日，和月：必须在边界j = - a ，a 处连续，得 这里，= 砸w = r a a = b c o s 向+ 口) ( 1 ) a c o s ( r a - b ) = c ( 2 ) 卅= r b s i n ( m + b ) 一r b s i n ( m 一们= - r c ( 3 ) ( 砷 黧三：籍得 l ( 2 ) ( 4 ) t a 嘶一印2 詈 嘞詈 ( 2 4 6 ) ( 2 4 ，) 3 e l m 中层二模色散方程 e i m 中e 二校色散方程包括公式( 2 4 1 ) 和( 2 4 7 ) ，有效折射率”够g ) 的求解主要通过( 2 4 1 ) 解，如下写出模色散方程 f s i n 化d 一2 妒) = s i n ( k 2 d - - 2 恼”) i材t a n 甜= w f 2 4 8 a ) ( 2 4 8 b ) 其巾，表求( 2 4 8 a ) 中本征值有效折射率月b ) 解的阶数，g 表示( 2 4 8 b ) 中本征值 传播常数解的阶数 2 3 小结 本章详细讨论了平面光波导中的- 二维情况下的一些理论的闯题，井详细推导了采用等效 折射率法( e i m ) 将脊波导三维情况划归到：维问题。这些都是理论分析解析解法，为后面 的数值方法提供了有益的指导。 哪 口 l i = l 旧 口 = l l x j ，cl 基于a d i - p i i l - f d t d 的平面光波光路元件分析 第三章时域有限差分( f d t d ) 1 前一章我们讨论了光波导中的一些理论。一方面这些理论很难提供直观的分析光波在波 导中演变的方法，另一方面对于稍复杂的结构无法分析。数值方法能够弥补这一不足，这一 章主要对本文工作中用到的数值解法f d t d ”1 作一定介绍。 3 i f d t d 简介 时域有限差分( f d t d ) 已经被广泛用于复杂的r f 和微波器件的设计中他们的尺寸与 工作波长相当光子器件的尺寸也在波长量级，作为广泛应用的束传输法( b 蹦) 的补充， f d t d 在设训光器件中发挥了同样的作用 b p i i 法忽略了反射，主要仿真沿传播方向缓变的导波结构。文献”1 首次提出。文献“中 提出了一种史有效的形式为了克服最初b p m 法的限制，提出了各种改进，例如广角全矢量 b p m o 和双向b p i ( 1 然而，实际上，对于具有强导向性和在传播方向上剧烈变化的高折射 率差结构，b p g 并不是一种合适的仿真方法。在这种情况之下，肿可能是比较好的选择。 与其他非差分处理方法相比f d t d 求解全矢量m a x w e l l 方程不需要任何近似。在空间 上分为2 d 和3 d 网格两种情况，假定一个初始的激励源，在每个时问步上。电场和磁场满足 y e e 算法“。 接下来具体说明f d t d 算法。包括算法中的一些假设，y e e 网格划分、差分格式，激励 源的设置。边界条件，数值色散数和值稳定性分析 3 2 基本假设 h a “e “方程组，即公式( 2 1 ) 完整形式我们在这里重新写一下 v 。盂：一望 a f v 曰；了+ 望 日 电场的高斯定律： v 西= 0 舻面= o 磁场的高斯定律： v 雪= o 妒厕= o 这里 o 1 曩) 3 i ” ( 3 2 4 ) l ，撕 ( 3 3 时 0 3 m d 2 4 e + p l + p t l b = n h + m 其中，只足电场线性极化部分，k 是电场的非线性极化部分，m 是磁极化。 本文工作所讨论集成光学器件的问题有如下假设： 不考虑损耗 不考虑再向异性 不考虑1 # 线性 无磁性 则矢量方籽( 3 1 ) 可以写为以下六个偏微分方程 占堡：里一堡 a 砂 出 a e 。a h , 8 h a f 勿函 占堡一o h j , 堡 a ta ) 【 却 。坐：生一堡 儿矿。i 芦一贯 口。生：堕一生 o1 产2 言一言 盟：堡一生 鳓1 产2 贯一言 3 3 y e e 网格划分 ( 3 4 ) ( 3 5 ) 一个实际模型抽象成为一个数学模理，需要将这个实体在空间上离散化，在比较简单的 商角坐杯系中，有工，y 和z 二个方向，坐标离散后分别用，、，和k 表示空问的离散同 格点定义为 ( f ，j ，i ) = 陋，j a y ，t & )1 37 ) 其巾a x 、岁和：为空间离散三个方向上的步攮 对于一个与时间和空间有关的函数，在网格空问可如下表示 f ( 心，j a y , k 止，出) = f 0 ( 3 8 ) 1 9 6 6 年，k a n ey e e ，不考虑损耗，第一次提出时域l _ a x w e l l 旋度方程( 3 1 ) 的有限差 分方程组形式。y e e 的构想保留了m a x w e l l 方程的最基本特征用途广功能强。 1 y e e 算法使用耦合m a x w e l l 旋度方丰早，在时f h j 和空间上同时求解电场和磁场，而不是由 单一的电场或磁场通过波动方拧来求解。 2 0 0 6 - 1 - 2 5 基于a d i 一蹦l f d t d 的平面光玻光路元件分析1 9 与矩量法( 删) 混合场积分方程形式相似。e 和胃边界条件强制在材料结构的表 面。 同时用到豆和詹的信息，得到解比单一场的情况更健壮( 例如。对多类结构f d t d 都能得到精确的解) 可以直接的同时仿真材料的电和磁的特性，这在雷达散射截 面( r c