（物理电子学专业论文）光子带隙金属介质波导有限元分析.pdf

摘要 摘要 随着光子带隙( p b g ) 结构理论的不断成熟，光子晶体已在光波及微波技术领域得剑广泛、成 功应用。由于p b g 的人造周期特性，难以直接采用实验方法确定各类p b g 波导结构，必须构建切 合应用实际的数值分析模型，采用数值模拟手段，以期实现“一次设计制作成功”。有限元法是当前 电磁学数值计算领域主流算法之一，对电磁场计算问题具有很强的适应性，适用于任意复杂的儿何 形状及介质填充，在复杂p b g 结构的数值分析方面具有独特优势。本文研究用于分析金属介质带 隙波导的有限元模型，对实际应用的带隙波导进行模式分析与仿真设计，具有重要的理论与实际意 义。 论文首先从麦克斯韦方程出发，推导并建立了波导模式全矢量有限元分析模型和p b g 有限元分 析模型，并分别对其进行了理论验证。其次，论文分析了微波波段二维金属电磁带隙( e b g ) 结构 的带隙及缺陷导波模式特性。分析了正方形及三角形晶格e b g 结构金属柱人小对带隙的影响，并对 金属e b g 波导导波模式特性进行了初步探讨。接着，论文分析了光频波段介质p b g 波导带隙及模 式特性。对品格完全对称的单柱型正方形晶格p b g 结构和品格对称性减小的双柱型正方形品格p b g 结构的带隙特性进行了对比分析；以三角形格子的光子晶体光纤( p c f ) 为例，分析了各模式的简 并特性，计算并获得了空气孔占空比、空气孔圈数和工作波长分别与有效折射率及限制损耗之间的 关系；此外，还提出了一种高双折射的光子晶体光纤结构，并用全矢量有限元算法对光纤的双折射、 一阶偏振模色散( p m d ) 、限制损耗进行了分析。最后，论文对正方形晶格方形贴片结构、三角形晶 格圆形贴片结构、三角形晶格带周期性缺陷的圆形贴片结构和正方形晶格方形与圆形贴片混合结构 四种高阻抗基板的电磁带隙特性进行了数值仿真，并将前三种基板的仿真结果与对应的实验测试结 果进行对比，数值仿真与实验结果基本吻合。 关键词：有限元法；光子带隙；电磁带隙；模式分析 a bs t r a c t w i l ht h er a p i dd e v e l o p m e n to ft h ep h o t o n i cb a n dg a p ( p b g ) t h e o r y , p b gs t r u c t u r e sh a v eb e e n w i d e l yu s e di nt h ef i e l d so fl i g h t w a v ea n d m i c r o w a v e i ti sd i f f i c u l tt od e s i g np b gw a v e g u i d e sw i t h o u t s u i t a b l en u m e r i c a la l g o r i t h m st oa c h i e v e “f i r s t p a s sd e s i g ns u c c e s s ”t h u s i ti sv e r yi m p o r t a n ta n d n e c e s s a r yt oi n v e s t i g a t er i g o r o u sa n da c c u r a t em e t h o d sf o ra n a l y z i n gt h eb a n dg a pp r o p e r t i e so ft h ep b g s t r u c t u r e s 。t h ef i n i t ee l e m e n tm e t h o d ( f e m ) h a sb e e np r o v e dt ob eaf l e x i b l ea n de 衔c i e n tn u m e r i c a lt o o l t od e s i g nv a r i o u st y p e so fm i c r o w a v ec o m p o n e n t sw i t hi n h o m o g e n e o u sa n dc o m p l e xp e r i o d i cs t r u c t u r e s i n t h i st h e s i s ，af e mb a s e dn u m e r i c a la l g o r i t h mh a sb e e np r e s e n t e dt os i m u l a t ea n dd e s i g nm e t a l l i c d i e l e c t r i c b a n d g a pw a v e g u i d e s ，w h i c hh a sa ni m p o r t a n ts i g n i f i c a n c eb o t hi nt h e o r ya n dp r a c t i c e 1 1 1t h et h e s i s f i r s t l y , af e m b a s e dv e c t o r i a lm o d es o l v e ra n dab a n dg a pa n a l y s i ss o l v e rf o rp b g sa r e d e r i v e df r o mt h em a x w e i l se q u a t i o n s a n dt h e n t h et w on u m e r i c a l a n a l y s i sm o d e l sa r ev e r i f i e d r e s p e c t i v e l y s e c o n d l 5t h eb a n ds t r u c t u r e sa n dg u i d e dw a v e sp r o p e r t i e so ft h em i c r o w a v ep b g s ，w h i c ha r e u s u a l l yc a l l e de l e c t r o m a g n e t i cb a n dg a p ( e b g ) s t r u c t u r e s ，h a v eb e e ni n v e s t i g a t e d t h ei n f l u e n c eo ft h e m e t a l l i cr o d s s i z e so nt h eb a n dg a po fe b g sw i t hs q u a r eo rt r i a n g u l a rc e l l sh a sb e e nd i s c u s s e d t h em o d e f i e l d so fg u i d e dw a v e si nd e f e c t e de b g sh a v ea l s ob e e na n a l y z e d t h i r d l y , t h eb a n dg a pa n dm o d e c h a r a c t e r i s t i c so ft h ed i e l e c t r i cp b g sh a v em a i n l yb e e ns t u d i e d t h ec o m p a r a t i v er e s e a r c ho nt h ea b s o l u t e b a n dg a pp r o p e r t yb e t w e e nt h e “s i n g l e - r o ds q u a r el a t t i c e ”a n d “d o u b l e - r o ds q u a r el a t t i c e ”p b gs t r u c t u r e s h a sb e e nf i r s t l yd o n e n e x tt h em o d ec h a r a c t e r i s t i c so ft h ep h o t o n i cc r y s t a lf i b e r sf p c f s ) h a v eb e e n i n v e s t i g a t e a tl a s t ，an o v e lh i g hb i r e f r i n g e n c ep c fh a sb e e np r o p o s e d ，a n dt h ed i s p e r s i o nr e l a t i o n sa n d b i r e f r i n g e n c ep r o p e r t i e sa r ea n a l y z e d f i n a l l y , f o u rn e w 够p e so fe b gs t r u c t u r e sh a v eb e e ns i m u l a t e da n d a n a l y z e d ，w h i c ha r eb a s e do ns q u a r el a t t i c es q u a r ep a t c h , t r i a n g u l a rl a t t i c ec i r c l ep a t c h ，d e f e c t e dt r i a n g u l a r l a t t i c ec i r c l ep a t c ha n ds q u a r el a t t i c es q u a r e - c i r c l em i x e dp a t c h r e s p e c t i v e l y t h en u m e r i c a lr e s u l t sa r e c o n s i s t e n tw i t ho u re x p e r i m e n t a lt e s tr e s u l t sb ya g i l e n te 8 3 6 3 bv n a k e y w o r d s ：f i n i t e e l e m e n tm e t h o d ( f e m ) ；p h o t o n i cb a n dg a p ；e l e c t r o m a g n e t i cb a n dg a p ；m o d ea n a l y s i s i i 东南大学学位论文独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成 果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表 或撰写过的研究成果，也不包含为获得东南大学或其它教育机构的学位或证书而使用过 的材料。与我同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并 表示了谢意。 研究生签名： 至龙整 日 期：迦窆坐口 东南大学学位论文使用授权声明 东南大学、中国科学技术信息研究所、国家图书馆有权保留本人所送交学位论文的 复印件和电子文档，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文。本人电子文档的内 容和纸质论文的内容相一致。除在保密期内的保密论文外，允许论文被查阅和借阅，可 以公布( 包括刊登) 论文的全部或部分内容。论文的公布( 包括刊登) 授权东南大学研 究生院办理。 研究生签名： 乏钽拉 导师签名： 日期：冲识b 第一章绪论 第一章绪论 纳米技术与光波技术的发展与交义结合促进了光子晶体( p h o t o n i cc r y s t a l s ，p c s ) 的产生。光 子晶体是一类介电常数周期性改变的人工材料，它的根本特性是具有“光子”带隙( p h o t o n i cb a n d g a p ，p b g ) 。光子晶体的概念首先出现在光频波段，随即延伸到微波波段。一般而言，频率禁带出 现在光波波段的光子晶体，称之为光子带隙结构；而频率禁带出现于微波、毫米波波段的光子晶体 通常称为电磁带隙( e l e c t r o m a g n e t i cb a n d g a p ，e b g ) 结构。 随着p b g 结构理论的不断成熟，p b g 结构已在光波及微波技术领域得到广泛、成功应用，且正 向用于微波电子器件、集成光子芯片的方向发展。由于p b g 的人造周期特性，难以直接采用实验方 法确定各类p b g 波导结构，必须构建切合应用实际的数值分析模型，采用数值模拟手段，以期实现 “一次设计制作成功”。有限元法作为当前电磁学数值计算领域主流算法之一，主要特点是对于各种 各样的电磁场计算问题具有很强的适应性，适用于任意复杂的几何形状及介质填充，在复杂p b g 结 构的数值分析方面具有独特优势。因此，研究有限元法在光子带隙数值计算中的应用，具有重要的 理论与实际意义。 1 1 光子带隙结构及其应用 1 1 1 光子带隙结构的提出与发展 1 9 8 7 年，e y a b n o l o v i t c h 和j o h n 分别提出了光子品体的概念【l ，2 j 。在固体材料中，由于原子核 周期性势场的作用，电子会形成能带结构，带与带之间( 如价带与导带) 存在带隙，称为“禁带”。 如果介质在空间中周期性排列，并且周期是光波长量级，那么这种周期性的结构也可能形成类似于 电子能带的能带结构，在带与带之间也会出现“禁带”。在固体中，能量处于禁带内的电子是不可能 存在的。与此类似，在具有禁带的周期介质结构中，频率对应于禁带的光不能在其中存在或传播。 人们把这种由于存在禁带而对频率有选择特性的周期性介质结构称为“光子晶体”。光子晶体也被 称为光子带隙材料( p h o t o n i cb a n d g a pm a t e r i a l s ) ，也有人把它叫做电磁晶体( e l e c t r o m a g n e t i c c r y s t a l ) 。相应的，光不能在其中存在或传播的频率范围称为“光子带隙”。 一般地，在微波波段的光子带隙称为“电磁带隙”。由于电磁波与光子的同源性( 都服从麦克斯 韦方程组) ，因此同样能在微波频段实现带阻特性，而这种周期性的结构也就被称为e b g 结构。它 是一种复合材料，在一种背景材料中周期性地排列着由其它材料构成的具有一定形状的单元( 称内 嵌单元) 。适当选择背景和内嵌单元的材料参数、内嵌单元的形状和结构周期的形式，可使电磁带隙 结构对一定频率范围内任意角度、任意极化性的电磁波传播呈现带阻特性【3 j 。 光子晶体概念提出以后，立即激起了众多科学家的研究兴趣，无论是理论研究还是试验与应用 研究都得到蓬勃发展。h okm 等发表论文提出了第一个具有实际可行性的光子晶体结构金刚石结 构。1 9 9 1 年y a b l o n o v i t c h 等提出“y a b l o n o v i t ”结构可形成完全光子带隙，并成功制造出了世界上 第一个具有完全带隙的三维光子晶体，它工作于微波波段。1 9 9 4 年，h okm 提出具有完全带隙的 东南大学硕+ 学位论文 “柴堆”型光子品体结构，可以用照相平版印刷技术制作。1 9 9 7 年v e l e vod 等人首次获得反蛋白 石结构，该结构可获得完全光子带隙。1 9 9 9 年，f l e m i n g jg 等人首次发现了工作于负折射率区的 光子晶体。2 0 0 0 年n o d as 等人用晶片熔接法制备- j ) k 层光子晶体，并在其中引入了可控的缺陷层。 2 0 0 2 年s o s h uk 等h j 立体刻蚀技术、2 0 0 3 年m i k a l a e vy uv 等崩全息平板印刷技术、2 0 0 4 年m u l o tm 等用粒子束刻蚀技术、2 0 0 5 年b a e kkh 等用小粒子自组装聚合技术等成功制作了光子晶体，并研 究了其光学性质。 我国对光子晶体的研究才刚刚起步，主要是光子晶体带隙特性的理论分析和计算，最近几年对 光子晶体的研究已经开始向试验验证和实际应用方向靠拢。国内对光子晶体的研究起初主要局限于 从事凝聚态物理研究的几所高校，不过他们主要的研究工作也仅仅局限于光子晶体带隙特性理论分 析和计算。光子晶体研究方面，1 9 9 9 年国家自然科学基金资助两项课题，2 0 0 0 年资助六项课题，2 0 0 1 年的指南中已列为重点研究项目。所资助领域涉及光子晶体理论研究、制备表征和应用等多个方向。 中科院物理所、浙江大学、清华大学、复旦大学、南京大学、东南大学、香港科技大学等诸多研究 单位也在进行这方面的研究工作。相对于国外研究情况而言，国内光子晶体研究起步晚、投入力度 也较小，目前取得的一些成果仅仅限于基础研究方面，与国外相比还存在较大差距。 1 1 2 光子带隙结构分类 光子带隙结构根据构成材料的不同可以分为介质光子晶体、金属光子晶体和金属介质光子晶体 等类型。介质光子晶体构成材料为电介质，一般工作在光频波段，在本文中统一称为介质p b g 结构。 介质p b g 结构主要包括二维介质杆、介质板打孔空气孔和三维柴堆结构，主要应用于光子晶体光纤 或者用作天线的介质基片，抑制基片对表面波的吸收从而提高天线增益。金属光子晶体构成材料为 金属，一般工作在微波波段，主要应用于微带天线和微波电路。用作微带天线的基片，可以抑制基 底吸收，阻止高次模的激励，提高天线的发射效率，改善天线辐射性能；应用于传统的微波电路中， 可以有效地解决介质的介电常数、介质衬底厚度、介质损耗之间的矛盾，而且表现出了很多新的特 性，又由于阻带的实现无需其他附加器件，便于集成，能与微波集成电路很好的融合。金属介质光 子晶体的主要结构类型有蘑菇( m u s h r o o m ) 型高阻抗表面结构和单面印刷的单平面紧凑型光子带隙 ( u n i p l a n n a rc o m p a c tp h o t o n i cb a n d g a p ，u c p b g ) 结构，前者是在介质表面印刷二维金属贴片，通 过金属过孔将其和接地板相连接，后者在介质表面印刷二维周期金属图案，背衬接地板，没有过孔， 同样可以用于微带天线以阻止表面波的传输，改进天线增益。在本文中我们将金属光子晶体和金属 介质光子晶体统一称为金属e b g 结构。 介质p b g 结构与金属e b g 结构仅仅是在材料、尺度大小及带隙出现的频率范围不同，其周期 性结构的实质是一致的。相对于光频波段的介质p b g 结构，工作于微波毫米波波段的金属e b g 结 构，更利于采用机械精加工的方式来实现。 1 1 3 光子带隙结构特性 光子晶体有两个最重要的特性光子带隙和光子局限，下面分别进行详细叙述。 ( 1 ) 光子带隙 光子晶体最重要的特征就是光子带隙。在周期性介质中，电场e 满足麦克斯韦波动方程： 2 第一幸绪论 一v 2 e + v ( v 豆) 一等毛( ，) 豆：- m 7 r e o e 一 ( 1 1 ) c ， 式中，为常数，可以认为是介质的平均介电常数，q ( ，) = 毛( ，+ ) 是扰动介电常数，c 为真空 中的光速。 在周期性势场中，电子的波函数甲满足薛定谔方程： 南 【一v 2 + y ( r ) 】甲= e 甲 ( 1 2 ) z m 式中，v ( r ) = v ( r + 也) ，壳为普朗克常数，e e 为电子能量，在周期性势场中只能取本征值。 可以看出，方程( 1 1 ) 与( 1 2 ) 的形式完全相似。e 在周期性市场中只能取本征值，因此， 在周期性介电晶体中，c o c 0 2 c 2 也只能取某些特征值，光波的频率也因此只能取某些本征频率，从 而出现了频率禁带，这种禁带叫做光子禁带或者光子带隙。 从物理角度考虑，光子带隙来源于被折射率周期性结构散射的电磁波之间的相互干涉。故周期 性结构决定了散射电磁波之间是否相干，强的折射率变化决定了散射是否足够强，满足这两个条件， 就有可能出现光子带隙。由电子能带理论【4 】可知，光子带隙是能量与波矢的关系在布里渊区边界出 现突变。这里的波矢有两个含义：光波波长与传播方向，因此光子带隙不但与光子频率有关，还与 传播方向有关。光子晶体有两种不同的带隙：完全带隙和不完全带隙。前者是指光在整个空间的各 个方向上都有带隙，且每个方向上的带隙相互重叠；后者是指空间各个方向上都有带隙但不完全重 叠。光子带隙的出现与光子晶体的结构和介电常数的配比有关，光子晶体中两种介质的介电常数比 越大，入射光被散射的越强烈，越有可能出现光子带隙。 ( 2 ) 光子局限 光子晶体的另一个特征是光子局限。如果在理想的周期性结构中引入缺陷，那处于光子带隙范 围内的光波就只能存在于缺陷范围中，这部分光波表现出很强的光子局限性，这种现象被称之为 a n d e r s o n 局限【5 j 。与缺陷态频率吻合的光子一旦偏离缺陷位置光将迅速衰减。因此，在光子晶体结 构中引入各种不同形状的缺陷，可以起到控制光波传播方向的作用。光子晶体中引入的缺陷可以是 点缺陷、线缺陷和面缺陷。 1 1 4 光子带隙结构的应用 光子带隙结构表现出来的种种独特的性质给它提供了广阔的应用前景。随着光子晶体理论和实 验两方面研究工作的展开，研究成果不断涌现，尤其是光子晶体制作方法和技术的提高和完善，为 光子晶体的应用打下了坚实的基础，并已经在多方面取得成果。 ( 1 ) 光子带隙结构在微波领域的应用 光子带隙结构在微波波段具有制作简单、体积小、重量轻、便于集成等优点，在微波电路、微 带天线等方面的应用能较大程度地提高系统性能，无论是民用还是军工方面都具有重大的应用价值。 ( a ) 微波滤波器 通过周期性的耦合结构型微带线，可以产生很好的滤波效果，这样的微带传输可以应用为微波 滤波器。如图1 1 所示，w i g g l y 型微带线在2 5 g h z 附近有一个很强的传输峰，最小传输损耗 3 d b ， 带外的抑制比可以达到3 0 d b 以上【6 】。除w i g g l y 线型之外，各种基于e b g 结构的微波滤波器的设计 3 东南大学项k 学位论文 层出不穷，适用于各个不同的场合，如一维、非均匀光子晶体结构的低通滤波器7 1 = 以及可调谐的 t h z 带通滤波器【卅，通过调整金属栅格之间的相对位置来调节滤波器的带通范围。 ( a j 图1 1e b g 结构微渡滤波器 ( a ) w i g g l y 微带线型滤波器( b ) w i g g l y 型滤波器的频率响应 ( b ) 天线村底 除在微波器件方面的应用之外，金属e b g 结构还大量的应用于天线村底。由于光子晶体结构具 有高频率选择性，可以起到抑制旁瓣提高天线定向性的作用。普通的天线采用整块导体作为衬底以 提高天线辐射的方向性，要达到这个目的，天线距离导体衬底的高度需要达到工作波长的l n ，天线 高度越低，天线的性能就越恶化。要降低天线的高度并且得到比较好的效果可以采用e b g 结构的天 线衬底。u c l a 的f a ny a n g 等利用蘑菇型e b g 衬底在天线高度仅为0 _ 0 6 工作波长( 1 2 g h z ) 时。 最好的s 1 1 可达2 7 d b l 9 1 。此外，合理设计e b g 周期单元的结构，可以减少村底尺寸”l ，这在需要 小型化系统的场合尤其重夏。 图12 g p s 天线e b g 结构村底 ( 2 ) 光子带骧结构在光频波段的应用 在光子带隙结构的提出领域- 光波波段，介质p b g 结构同样有着广泛应用。 ( | ) 光子晶件光纤 基于光子晶体对光子独特的控制机制，j r u g e u 等人于1 9 9 2 提出光子晶体光纤( p c f ) 的概念 1 1 1 1 9 9 6 年j c k n i g h t 制作出第一根p c f t 。 p c f 主要由周期性排列的空气孔及介质构成包层结构，光纤横截面在光纤轴向方向上保持不变， 纤芯由大空气孔或者高折射率介质或者缺失空气孔构成。根据结构和导光机理的不同，p c f 可以分 为折射率导引全内反射型光子晶体光纤( t i r p c f ) 和光子、带隙型光子晶体光纤( p b g - p c f ) 。 4 一章绪论 t i r p c f 的纤芯折射率比包层有救折射率 ，导光机理类似于传统光纤，仍可以用全内反射原理来 解释。p b g - p c f 中的包层的品格常数在光波长量级，由此构成的光于晶体可以形成光予带隙，把特 定频率的光束缚在纤芯内传输。 簪o e i 淤磁：鼹蕊 m月 、糍0 搿q 蕊 图i34 种不同的p c f 结构 如图13 所示为4 种不同结构的p c f 截面模型。图1 3 ( a ) 为t i r - p c f ，包层为周期性排列的 气孔：图13 ( b ) 是一种纤芯为空气的空心p b g p c f ；图13 ( c ) 为一种纤芯为石英、包层填充了 高折射率液体的p b g p c f ；图1 3 ( d ) 为利用p b o 原理导光的空心b r a g g 光纤，包层是由径向交 替的高低折射率介质构成的同心圆环层状结构 1 3 , 1 4 i 。 ( b ) 其他应用 利用光子晶体具有光子带隙的基本性质，可以将其用作光子晶体全反射镜和损耗极低的三维光 子晶体天线”：利用光子带隙对原子自发辐射的抑制作用可以大大降低囡自发跃迁而导致复台的 几率，可以设计制作出无闽值檄光器和光于晶体激光二极管”6 】：通过在光子晶体中引入缺陷，使得 光子带隙中产生频率极窄的缺陷态，可以制造高性能的光子晶体光过滤器、单频率光全反射镜和光 子晶体波导：如果引入点缺陷，则可以制作成高品质因子的光子晶体谐振腔7 】。当然，综合利用光 子晶体各种性质，还有其他更广泛的应用，如：光开关、光放大器、光聚焦器等等。 光子晶体作为一种新兴材料，已经引起了光物理学、固体物理学、激光、材料学工作者的广泛 * 趣，相信在不远的将来，人类将真正跨 光子晶体的时代。 1 2 光子带隙理论 1 2 1 基本概念 在光子晶体带隙结构分析中，将用到布喇菲( b r a v a i s ) 晶格、原胞、倒格子、第一布里渊区与简 约布里渊区、布洛赫( f l o q u 邮h h ) 定理等基本概念，下面本文将分别予以简要介绍。 ( 1 ) 布喇菲晶格 在固体物理中，用布喇菲( b r a v 莉曲晶格来描述周期结构单元的排列规律，它和单元自身结构 类型无关，而是一系列离散点的集台。这些点的位置矢量表达式为： r = 码匾+ 心是+ 悔吗 ( 13 ) 其中，n 、n ：和h ，为任意整数；磊、毛和匾为任意三个不共面的矢量，称为布喇菲晶格的基矢。 由于周期结构无固定的坐标原点，因此，i 表示格点之问的连接矢量，也可咀表示为矢量化周期。 5 东南人学坝l ：学1 吐论文 布喇菲品格决定了品体中原子排列的基本周期结构，原子之间的相对位置是严格按照品格的基欠方 向排列，相互之间的距离保持一定。不同原子按照布喇非品格的相对位移排列而构成复式结构的晶 体。 ( 2 ) 原胞 在l 占i 体物理中，原胞表示一个周期单元，它有一定的形状和体积。无论是点阵或品格，理论上 都是空间无限延伸的图形，若取任意一个格点为顶点，以基欠历。、幺和石，边构成最小的平行六面体 单元，则整个晶体便由该最小单元在空间以面、历，和历，为周期无限重复排列所构成，称这种最小重 复单元为初基原胞或简称原胞。在结晶学中它既能反映晶体的周期性，又能反映其对称特性。图1 4 ( a ) 中，正方形单元( a 、b 、c 、d ) 表示二维正方形品格排列的原胞；图1 4 ( b ) 中，正六边形 单元( e 、f 、g 、h 、l 、j ) 表示二维三角形品格排列的原胞。 o q g 与o ( a )( b ) 图1 4 二维周期结构原胞示意图 ( a ) 正方形品格；( b ) 三角形晶格 ( 3 ) 倒格子 倒格子概念是相对，( 物理) 空间的b r a v a i s 晶格( 正格子) 来说的，由k ( 波谱) 空间中的一 些特殊格点所构成，倒格子的位矢6 满足： p 归”：1 ( 1 4 ) 可以证明：由倒格子的格点所构成的晶格也属于b r a v a i s 晶格。 通常用包、玩和6 3 来表示倒格子空间的基矢，它们表达形式为： 反= 等秀砖 匠= 等忍磊 匠= 等蟊乏 ( 1 5 ) 其中，矿= 蟊o ( a ：秀) ，其绝对值是原胞的体积( 二维为面积，一维为长度) 。倒格子空间中的任 意一格点矢量都可表示为： g = 铂包+ 如+ 伤岛 ( 1 6 ) 其中，、鸭和鸭为任意整数。云、匠和丘为倒格子空间的基矢，与正格子空间基矢蟊、秀和秀 之间存在下列关系： 柏= 2 碱= 伪善一心3 ， 7 ， 第一章绪论 对二维b r a v a i s 晶格来说，通常取6 3 = 三，此时，倒格子空间基矢可以表示为： 廛薹 ( 1 8 ) 对一维b r a v a i s 品格来说，通常取6 = 夕，如= 三，此时，倒格子空间基矢可以表示为： 一 ” 6 l = 二二a ， ( 1 9 ) 矿 ( 4 ) 第一布里渊区与筒约布里渊区 第一布里渊区是固体物理中一个很重要的概念，它定义为k 空间中的一个原胞。对于给定的厂空 间的b r a v a i s 晶格，首先要根据式( 1 5 ) 给出k 空间中的基矢，然后再根据相邻格点之间连线的中 点来划出第一布里渊区。 在第一布里渊区中，根据其结构的对称性，其中不可再划分的最小区域称为简约布里渊区 ( i r r e d u c i b l eb r i l l o u i nz o n e ) 。布里渊区的其他部分可以看成是简约布里渊区的对称旋转。因此，我 们只需要研究简约布里渊区内的传播特性即可。 图1 5 ( a ) 与图1 5 ( b ) 分别表示图1 4 ( a ) 原胞与图1 4 ( b ) 原胞对应的布里渊区。其中， 图1 5 ( a ) 中的正方形区域和图1 8 ( b ) 中的正六边形区域均表示第一布里渊区；f 、x 、m 所围 成的阴影区域表示简约布里渊区。在布里渊区内，常用i 、x 、m 等符号来表示各个高对称点。一 切波矢从r 点出发，其长度表示波矢k 的幅值大小，其指向表示k 的方向。线段所表示的波矢 量k 的方向保持不变、大小在变：线段f m 所表示的波矢量k 的大小及方向均在变。 o o ( a )( b ) 图1 5 二维周期结构对应第一布里渊区与简约布里渊区 ( a ) 正方形品格；( b ) 三角形品格 1 2 2 布洛赫定理 布洛赫( f l o i u e t b l o c h ) 定理 1 8 - 1 9 1 是研究周期结构中电磁波传播的基本定理之一。对于无限周期结 构中确定的传播模式，可以证明：相距为空间周期a 的两个横截面上的场，仅有一个复常数因子的 差异。即 杪( x ，y ，z + 口) = 妙( x ，y ，z ) p 一“和 ( 1 1 0 ) 这里沙( x ，y ，z ) 表示场函数，屁是相移常数。我们做如下简要证明： 假设 ，y ，z ) 具有以下形式： 7 o o o 东南大学硕上学位论义 沙( x ，y ，z ) = 缈( x ，y ，z ) e 一7 触 这里妒( x ，y ，z ) 表示以a 为z 向周期的周期性函数，则： l 矿( x ，y ，z + 口) = 缈( x ，y ，z + a ) e 一岛2 + 。 又由于 妒( x ，y ，z ) = 妒( x ，y ，z + 口) 所以式( 1 1 2 ) 可以表示为： l y ( x ，y ，z + 口) = 缈( x ，y ，z ) p 一儡2 + 。= 杪( x ，y ，z ) e 低4 根据傅立叶级数理论，具有周期性幅度的函数，均可以展开成傅立叶级数，则： 其中： 。( x ，y ) = 吉r 妒 ，少，z 弘等。出 ( t 6 ) 成= p o + 丝 ( 1 1 7 ) 由此可知，在周期性结构中传播的波可以看成是离散模式的片面波无穷序列的叠加。其相移常 数满足式( 1 1 7 ) ，并且其振幅函数满足式( 1 1 3 ) 。利用布洛赫定理可以简化周期结构中电磁波的计 算，对于无限周期结构的计算只需要计算一个周期单元即可。 1 2 3 光子带隙的产生 固体物理理论表明，晶体是多电子系统，其电子在周期性排列的、带正电的原子所产生势场中 运动，这种势场具有晶格周期性，即矿( 芦) = y ( 尹+ 天) 1 1 8 - 1 9 。在绝热近似、单电子近似及平均周期场 近似下，晶体多电子体系简化为周期场中单电子运动问题。单电子的薛定谔方程为： 【一二hv 2 + 矿( 芦) ；f ，( 尹) ：五( 尹) ( 1 1 8 ) z m 其中，7 l 为普朗克常数，e 为电子的能量，y ( 芦) 为电子波函数。 根据布洛赫定理，电子波函数5 f ，( 尹) 是被周期函数调幅的平面波，其表达式为： v , f f 、= u ( y ) e 腑7 且 u f f ) = u f f + r 1 将式( 1 1 9 ) 代入单电子的薛定谔方程式( 1 1 8 ) ，得到： 卜_ h 【_ 1v + 七) 2 + v f f ) “i f ) ：e u f f ) ( 1 1 9 ) ( 1 2 0 ) ( 1 2 1 ) 在倒格子空间中求解上述方程，可以得到能量本征值 e = e ( j ) ( n = l ，2 ，) ( 1 2 2 ) 乞( 七) 可以近似看成是k 的连续函数。 由式( 1 2 2 ) 可知，能量本征值与量子数i 和波失k 有关。对于给定的玎，本征能量包含着由 不同的k 值所对应的许多能级，这些能级组成的带称为能带，不同的i 代表不同的能带。本征能量 与波矢k 的关系在布里渊区边界出现突变，于是在相邻的两个能带之间出现了电子不允许有的能量 r 、， ) )， 2 3 4 l l l 1 1 l l l ，ll，ll )5，、 屏 一 p 、，y x l 。 | | 岛 一 p 塑。 一 p 、，y x ，l y 。 l i 岛 一 p 、， z y x ，l 缈 i i 、， z y x ，- 少 第一帝绪论 悔】隙，称为电子带隙或禁带。 光子带隙与晶体中的电子能带有一定类似，而光子禁带理论也正是从固体物理中的能带理论类 推得剑的。由电磁场理论，在各向同性理想介质中，时谐麦克斯韦方程组的旋度方程可写为 v x 丘( 尹) ：一竺曰( 尹) ( 1 2 3 ) c v 疗( 尹) ：丝s ( 尹) 丘( 尹) ( 1 2 4 ) c 联拙a _ l n 式，消掉豆( 尹) ，可得到单色电磁波在介电常数周期性变化的无损介质中传播时，磁场矢 量满足的方程为 v x 【= 姿v 疗( 芦) ：( 竺) 2 疗( 尹) ( 尹) ( 1 2 5 ) 占l 厂j c 其中s ( 尹) = s ( 尹+ r ) 是空间周期函数，并且磁场矢量满足散度条件： v h ( 尹) = o ( 1 2 6 ) 式( 1 2 5 ) 与单电子薛定谔方程式( 1 2 1 ) 形式类似，同理可解得其本征值为彩= 缈( 七) ，与电 子的能谱相类似，光子晶体也具有能带结构，即只有在特定的频率范围内，式( 1 2 5 ) 才有解，而 在某些频率是被禁止的，这些被禁止的频率区间称为“光子带隙”。 1 3 数值分析方法 光在光子晶体中传播满足m a x w e l l 方程组，由于问题的复杂性，传统的电磁理论不能直接使用， 要得到封闭的解析解十分困难。而且由于电子和光子的量子状态服从不同分布规律，也不能直接使 用电子能带理论来分析。随着电子计算机技术的应用与发展，人们已经发展了多种用于光子晶体模 拟分析的理论和数值方法，从最初的标量法到矢量法，目前国6 j 夕t - 已经建立了多种用于分析光子带 隙的数值方法，如平面波展开法、有限差分法、有限元法等等。每一种方法都有自己的特点和局限 性，在实践中常常根据需要选择不同的方法，或者把它们相互配合而形成混合方法。由于光子晶体 的理论研究涉及大规模的数值计算，所以寻求简单、精确、高效的分析方法一直是该领域的重要课 题。 1 3 1 平面波展开法 平面波展开法( p l a n ew a v ee x p a n s i o nm e t h o d ，p w m ) 1 2 0 - 2 u 是光子晶体理论中物理概念最清晰的 一种方法，可以用于处理一维、二维、三维复杂的周期性结构问题。它可以计算光子晶体的能带结 构，得到光子带隙的位置和宽度，也可以处理光子晶体结构缺陷问题。该方法从麦克斯韦方程得到 电磁场的全矢量方程后，将模场分解为平面波分量的叠加，同时将折射率展开为傅立叶级数之后， 代入全矢量方程求解。 平面波展开法的优点是没有引入假设条件，为频带结构的计算提供了一个稳定可靠的算法；编 程直观简单，可以直接借助现有算法库中的傅立叶变换、矩阵对角化等标准程序。缺点是计算量较 大，与平面波数量成立方关系；当处理结构复杂的光子晶体结构或处理光子晶体结构缺陷问题时， 计算量较大，可能会由于计算机的硬件条件的限制不能计算或难以准确计算；由于使用周期性边界 q 东南大学硕士学位论文 条件，对于不规则分布结构无法处理；如果介电常数随频率变化，就没有确定的本征方程形式，计 算过程比较复杂与困难；由于介电常数的不连续性，傅立叶级数展开时收敛很慢，必须采取额外措 施来确保计算频谱的正确性，介电常数的不连续性会严重影响计算精度1 2 2 i 。 1 3 2 有限差分法 有限差分法主要包括时域有限差分( f i n i t ed i f f e r e n c et i m ed o m m n ，f d t d ) 法和频域有限差分 ( f i n i t ed i f f e r e n c ef r e q u e n c yd o m a i n ，f d f d ) 法。f d t d l 2 3 - 2 4 1 法作为一种主要的电磁计算方法，通过 将麦克斯韦方程转化为有限差分式而直接在时域进行迭代求解。通过建立时间离散的差分方程，在 相互交织的网格空间中交替计算电场与磁场。它直接将随时间变化的麦克斯韦方程组中时域旋度方 程的微分式转化为有限差分方程。利用y e e 氏空间网格及电磁场的初值和边界条件，可以直接得到 方程的数值解。 f d f d l 2 5 1 法利用有限差分原理，将麦克斯韦方程组化为矩阵形式的特征方程，通过求解特征方程 直接得到模场分布和能带图。无论是差分方程还是边界条件的差分近似都较时域法简单、方便。用 f d f d 法可快速得到整个剖分域中的场值，而不必人为细分总场值，因而简单易行。其生成的矩阵 为稀疏矩阵，其中只有一些为数不多的非零矩阵元，求逆时间为o f n 2 ) ，明显减少了计算量，节省 了计算机内存。 f d t d 法精度较高，能得到电磁波的时域解，通过傅里叶变换可得到频域解。但是f d t d 法的 计算需要大量存储空间，且计算时间较长。与f d t d 相比，f d f d 法可以直接求解亥姆霍兹方程， 更适合计算禁带结构和本征值，也可以求解带隙图、模场分布及有效折射率分布问题。同时在频域 中不必对时间做量化处理，可以减少迭代过程，计算效率较高。但是，随着离散节点数的增加，f d f d 法的计算时间会变得相当长，这一点极大地限制了该方法在分析实际问题中的应用。 1 3 3 有限元法 有限元法( f i n i t ee l e m e n tm e t h o d ，f e m ) 2 6 1 是2 0 世纪5 0 年代发展起来的一种十分有效的数值 分析方法。1 9 4 3 年，c o u r a n t 首次明确提出了有限元的思想一最小位能原理与分片插值的离散形式2 7 1 。 1 9 6 0 年c l o u g h 正式提出“f i n i t ee l e m e mm e t h o d ”这一术语【2 8 1 。六十年代中期，数值分析学家意识 到有限元思想的重要性，将偏微分方程理论、泛函分析、逼近论等引入到有限元的理论体系，建立 了有限元方法的数学基础。1 9 6 9 年，r e s i l v e s t e r 有关波导模求解的文章是个里程碑，标志着电磁学 有限元方法出王见【2 9 1 。随后，有限元法的应用被迅速推广到了热传导、电磁场、流体力学等领域。到 了九十年代，有限元法已经同矩量法、时域有限差分法共同构成屯磁学三大主流算法。 有限元法是逼近论、偏微分方程及变分形式和泛函分析的巧妙结合。利用有限元法求解电磁学 问题，首先需要将所求解的带边界条件的h e l m h o l t z 方程( 边值问题) 转化为相应的变分问题，即 泛函的极值问题，然后数值离散化变分问题为普通多元函数的极值问题，最终近似为一组多元代数 方程组，求解该方程组即可得到待求问题的数值解。从数学上讲，里兹( r i t z ) 方法和伽辽金( g a l e r k i n ) 方法共同构建了现代有限元的基础p o l 。 有限元法的主要特点是对于各种各样的电磁场计算问题具有很强的适应性。其主要优点：( 1 ) 变分原理描述了支配物理现象的最小作用原理，因此，基于问题固有的物理特性而予以离散化处理， 1 0 第一章绪论 可以保证方法的正确性、数值解的存在与稳定性等前提要素。( 2 ) 有限元法在适应场域边界条件几 何形状及媒质变异情况复杂的问题求解上，有突出优点。离散点配置比较随意，并且取决于有限单 元剖分密度和单元插值函数的选取，可以获得较高的数值计算精度。( 3 ) 生成的代数方程具有系数 矩阵对称、正定、稀疏笛特点，求解容易、收敛性好、占用计算机内存比较少。( 4 ) 可方便的编写 通j 【 计算程序，使之构成模块化的自程序集合，适应计算功能延拓的需要，从而构成各种高效能的 计算软件包。 有限元法在具有复杂结构的光子晶体的光子带隙分析方面具有独特优势，它适用于任意复杂的 几何形状及介质填充。本文正是利用有限元法对金属介质波导带隙及模式特性进行分析。 1 4 本文主