（数量经济学专业论文）几类推广风险模型中破产概率研究.pdf

武汉理工大学硕士学位论文 摘要 风险理论是近代应用数学的一个重要分支，主要应用于保险、金融、证券 投资以及风险管理等领域，它借助于概率论与随机过程理论构造数学模型，来 描述各种风险业务过程。如今，风险理论已经成为保险精算学的一个重要分支， 在保险理论与实践中具有十分重要的作用。对保险公司破产概率的研究不仅可 以为保险公司的决策者提供参考，指导其健康发展，同时对稳定整个金融市场 也有很重要的作用。本文在经典的破产理论上，对该模型做了一定的改进，并 研究了其相应的破产概率。全文共分为6 章，具体安排如下： 第l 章主要介绍了该课题的研究背景、研究动机和目前国内外研究的一些 现状。 第2 章介绍风险理论的一些重要知识和破产理论的基本原理，其中简述了 保险风险模型的两个经典模型( 包括短期个别风险模型和短期聚合模型) 并介 绍了它们在保险中的应用。 第3 章在第2 章的基础之上，将经典的p o i s s o n 风险模型推广到更为一般的 情况，建立双复合p o i s s o n 风险模型，其中的保费收入在单位时间内不再是一个 常数，而是一个随机变量，对此模型，推导了最终破产概率的一般表达式和破 产概率上界的一个估计值。 第4 章研究了负风险和过程的破产概率，建立了含有两个类的负风险和模 型，推导了其破产概率的一般表达式，并探讨了两个类之间的相关性对破产概 率的影响。 第5 章在经典的破产模型之上，引入红利支付这一概念，利用概率论的知 识来获得红利支付的期望现值的一般表达式，并证明这些表达式是如何应用于 某种特定的个别理赔量的分布的。然后考虑了基于保险公司破产概率约束之下 的红利支付的期望现值的最大化问题。 第6 章全文总结。 关键词：破产时间；调节系数；双复合p o i s s o n 过程；破产概率；负风险和 武汉理工大学硕士学位论文 a b s t r a c t t h er i s kt h e o r yi st h ei m p o r t a n tb r a n c ho fa p p l i e dm a t h e m a t i c s ，w h i c hi su s e di n i n s u r a n c e 、f i n a n c e 、i n v e s t m e n to fs e c u r i t i e sa n dt h em a n a g e m e n to fr i s k t h er i s k t h e o r y r p 比u rt o p r o b a b i l i t yt h e o r ya n dr a n d o mp r o c e s st h e o r yt oe s t a b i l i s h m a t h e m a t i c sm o d e l ，w h i c hi su s e dt od e s c r i b ed i f f e r e n tk i n d so f r i s kp r o c e s s e s n o w , t h er i s kt h e o r yh a sb e c o m et h ei m p o r t a n tb r a n c ho fa c t u r i a ls c i e n c e ，w h i c hh a sav e r y i m p o r t a n te f f e c ti ni n s u r a n c et h e o r ya n dp r a c t i c e t h er e a r c ho fr u i np r o b a b i l i t yn o t o n l yg i v es u g g e s t i o n st ot h ed e c i s i o nm a k e ro fi n s u r a n c ec o m p a n y , g u i d i n gt h e i r h e a l t h yd e v e l o p m e n t , b u ta l s oh a st h ei m p o r t a n te f f e c tt om a k et h ef i n a n c em a r k e t s t a b l e o nt h eb a s i co fc l a s s i c a lr u i nt h e o r y , w em a k eac e r t a i na m o u n to f i m p r o v e m e n tf o rt h i sm o d e l ，a n dd ot h ec o r r e s p o n d i n gr e a r c ho fr u i np r o b a b i l i t y t h e r ea r es i xc h a p t e r sa sf o l l o w ： i nt h ef i r s tc h a p t e r ，w ec h i e f l yd i s c u s st h eb a c k g r o u n do ft h et o p i c 、m o t i v a t i o n a n ds o m ei m p r o v e m e n t si nd o m e s t i ca n do v g r s c a s i nt h es e c o n dc h a p t e r , w ei n t r o d u c et h eb a s i ck n o w l e d g eo fr i s kt h e o r y a n dt h e p r i n c i p i u mo fr u i nt h e o r y , a n di n t r o d u c et w oc l a s s i c a lm o d e l ( i n c l u d es h o r t - t e r m i n d i v i d u a lr i s km o d e l ，s h o r t - t e r ma g g r e g a t i o nm o d e l ) a n dt h ea p p l i c a t i o n si n i n s u r a n c e t h et h i r di so nt h eb a s i co ft h es e c o n dc h a p t e r , w eg e n e r a l i z et h ec l a s s i c a l c o m p o u n dp o i s s o nr i s km o d e lt oan e wm o d e l ，a n de s t a b l i s ht h ed o u b l ec o m p o u n d p o i s s o nr i s km o d e l i nw h i c ht h ei n c o m eo f p r e m i u mi sn o tac o n s t a n ti nu n i tt i m e ，i t i sav a r i a b l e f i n a l l yw ed e d u c et h ee x p r e s s i o no fr u i np r o b a b i l i t yo ft h ed o u b l e c o m p o u n dp o i s s o nr i s km o d e l ，a n dg e tau p p e rb o u n df o r t h er u i np r o b a b i l i t yo f t h i s m o d e l i nt h ef o u r t hc h a p t e r , w ed i s c u s st h er u i np r o b a b i l i t yo ft h er i s kp r o c e s sw i t h c o r r e l s t e dn e g a t i v er i s ks u m s ，e s t a b i l i s h i n gt h en e g a t i v er i s ks u m sm o d e l w h i c h c o n t a i nt w ok i n d so fr i s k s ，a n dd e d u c et h ee x p r e s s i o no fr u i np r o b a b i l i t yo ft h e m o d e l w e s t u d yh o wt h ed e p e n d e n c eb e t w e e nt h ec l a s i c a li m p a c t so nt h e r u i n p r o b a b i l i t y i nt h ef i t c h , w ei n t r o d u c et h ec o n c e p to f d i v i d e n d so nt h eb a s i co f c l a s s i c a lm o d e l w eu s eap r o b a b i l i s t i ca r g u m e n tt oo b t a i ng e n e r a le x p r e s s i o n sf o r t h ee x p e c t e d 武汉理工大学硕士学位论文 p r e s e n tv a l u eo fd i v i d e n dp a y m e n t s ，a n ds h o wh o wt h e s ee x p r e s s i o n sc a nb ea p p l i e d f o rc 圮r t a i ni n d i v i d u a lc l a i ma m o u n td i s l f t b u f f 0 1 1 8 w et h e nc o n s i d e rt h eq u e s t i o no f m a x i m i s i n gt h ee x p e c t e dp r e s e n tv a l u eo fd i v i d e n dp a y m e n t ss u b j e c tt oac o n s t r a i n t o l lt h ei n s u r e r sr u i np r o b a b i l i t y t h es i x t hc h a p t e ri st h ec o n c l u t i o n k e yw o r d s ：t i m eo f r u i n ；a d j u s t m e n tc o e f f i c i e n t ；d o u b l ec o m p o u n dp o i s s o np r o c e s s ； r u i np r o b a b i l i t y ；n e g a t i v er i s ks u m s 1 1 1 独创性声明 本人声明，所呈交的论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的研 究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其 他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得武汉理工大学或其它教育 机构的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何 贡献均已在论文中作了明确的说明并表示了谢意。 签名：李翌璋日期：丝啤! ! ：当 关于论文使用授权的说明 本人完全了解武汉理工大学有关保留、使用学位论文的规定，。即学校有权保 留、送交论文的复印件，允许论文被查阅和借阅；学校可以公布论文的全部或 部分内容，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文。 ( 保密的论文在解密后应遵守此规定) 签名：扭牛颛虢芦竖限盟 武汉理工大学硕士学位论文 1 1 研究背景 第1 章绪论 现代保险业伴随着人类已经走过了3 0 0 多年的历史。人类历史的发展，一 直与海洋密不可分，于是海上保险自然成为了人类各种保险中起源最早的险种， 由于海上保险的发展，才带动了整个保险业的繁荣与发展。保险业发展到今天， 已与银行业和证券业等一道支撑着全球的金融体制。目前为止，在全球5 0 0 强 企业中保险公司占据了5 0 家以上，显示了其强大的发展势头。在人类长期的生 产和生活实践中保险业发挥了巨大的作用。我国改革开放二十多年，随着社会 保障体制的重新调整和人民生活水平的不断提高，必将有更多的人通过保险来 抵御生活中的风险。1 9 9 7 年以来，日本保险公司破产事件接连不断，1 9 9 7 年， 日本的向日生命保险公司破产，紧接着在日本排名第十位的东邦生命保险也陷 入了财政危机，被美国通用电器下属的财务公司接管，但是它还是以破产而告 终。与此同时，亚洲金融危机的爆发也使得韩国的寿险公司的破产案例接连不 断，这些无疑给保险公司的决策者敲响了警钟。保险业作为金融体系的一个重 要组成部分，与社会公众利益密切相关，尤其是寿险业，对一国金融的稳定、 社会安定和经济发展具有很大的影响。如果保险公司爆发风险，保险公司发生 破产事件，大面积的金融风险会被引发，由此将危机整个经济的正常运行和社 会的稳定，因此对保险公司破产概率的研究，对于金融危机的防范，对经济的 正常运行和社会的安定有十分重要的作用。 我国自1 9 8 2 年恢复国内人身保险业以来，人身保险保费收入得到了快速的 发展，从1 9 8 2 年的1 5 9 万元增加到2 0 0 0 年的9 9 7 5 亿元，到了2 0 0 1 年达到了 1 4 2 4 亿元。1 9 9 0 年至2 0 0 0 年1 0 年间寿险保费收入以每年3 5 1 的速度递增， 寿险占全国g d p 的比重由1 9 8 5 年的o 0 5 增加到2 0 0 0 年的1 1 2 ，人均寿险 保费收入由1 9 8 5 年的0 3 9 元增加到2 0 0 0 年的7 7 3 元。( 见表1 - 1 ) 与此同时， 寿险公司的数量也在明显增加，从一家综合性的保险公司增加到了2 0 0 1 年底的 1 7 家( 其中两家综合性保险公司) ；尤其当2 0 0 1 年1 1 月中国加入世界贸易组织 后，根据入世承诺，我国未来保险公司的数量将会明显增加，相应地，寿险市 场也会增加较快。从1 9 8 6 年起我国的保险业，尤其是寿险业进入了全面发展的 时期，并逐步走向完善和成熟。但是由于外部经营环境的改变，特别是金融市 场与经济因素的连动反应使保险公司、消费者的行为发生了改变，使我国保险 业存在巨大的潜在风险。中国保险业在9 0 年代中期曾出售大量的高利率产品， 武汉理工大学硕士学位论文 但1 9 9 6 年以后，国家连续8 次降息，这不仅造成极为严重地利差损问题，而且 使保险业于9 0 年代末期进入前所未有地低谷。通过分析日本、韩国的寿险危机， 发现中国寿险业面临着类似的问题，如保单的预定利率高于市场利率、投资收 益率不理想、经营费用居高不下、监管力度不够等。其中尤其是利差损问题已 成为影响我国寿险业稳健发展的最大的潜在隐患。但由于中国寿险业仍处于高 速发展阶段，新增的保费收入源源不断进帐，所以经营风险的压力尚不明显， 然而一旦经营进入稳定发展阶段，而同时给付高峰如期而至，那么支付危机就 有可能会出现。保险业的支付危机已经成为我国未来金融市场稳定地一大威胁 【1 1 。 表1 - 1 中国寿险市场的发展 占总保费比重寿险占g d p人均寿险 年度寿险保费( 亿元) ( )比重( )保费( 元) 1 9 8 54 1 21 2 4 5o 0 50 3 9 1 9 8 61 1 5 82 5 2 8o 1 l1 0 8 1 9 8 72 3 4 1 3 2 9 5 o 2 02 1 4 1 9 8 83 4 2 53 1 2 80 2 33 0 9 1 9 8 93 9 9 92 8 0 4o 2 43 5 5 1 9 9 04 9 0 82 7 5 0 o 2 64 2 9 1 9 9 16 3 1 72 6 3 50 2 95 4 6 1 9 9 29 3 8 62 4 8 30 3 58 0 2 1 9 9 31 4 4 0 72 7 4 4o 4 21 2 1 6 1 9 9 41 6 3 4 52 5 9 4o 3 51 3 6 3 1 9 9 52 0 4 2 0 3 2 0 1 0 3 51 6 8 6 1 9 9 63 2 4 7 74 1 8 50 4 82 6 5 6 1 9 9 76 0 0 2 45 5 5 8o 8 l4 8 5 6 1 9 9 87 4 7 7 05 9 9 50 9 55 9 9 1 1 9 9 98 2 7 1 05 9 3 71 o l6 5 6 9 2 0 0 09 9 7 5 06 2 5 01 1 27 7 0 3 注：该表来源于参考文献 2 】 2 武汉理工大学硕士学位论文 1 2 研究动机和目的 近年来，随着经济的发展，保险行业在各国的金融体系中占有的比重e t 益 增大，保险公司能否健康的发展对整个经济的稳定起着举足轻重的作用，所以 对于保险公司破产的风险度量与管理也日益引起人们的重视。我们知道保险公 司的建立是为了减轻某些意外事件产生的影响。他自身就积聚了大量的风险， 其经营机制是保险公司以一定量的保险费向被保险人出售有某些保障功能的保 单，在保单的有效期内如果产生相关的意外或毁坏，保险公司将按保单的规定向 被保险人支付赔偿金。保险公司的经营目标就是在较长时期建立保险人盈余。 所谓盈余是指某个初始基金加上收取的保费超过理赔的那一部分。如果盈余出 现为负，在保险精算理论中就称为破产发生，一旦出现破产，并不意味着保险公 司已经失去了生存的能力，但也在一定意义上说明了该保险公司的偿付能力【3 】。 所以对于保险公司来说，偿付能力不强，当发生支付危机时，保险公司容易发 生破产。所谓支付危机是指保险公司的责任准备金不足一履行起给付责任，而 必须由其他来源的资金或者是新增的保费收入进行弥补的一种状况。在保险公 司高速发展的阶段，尤其是寿险公司，现金流入远远超过现金流出，因而支付 危机不会显现出来。但寿险公司的保费收入的增长有起固有的规律，不可能长 期保持超常发展。因此，责任准备金长期不足而依赖新的保费收入弥补的状况 从长远来看是难以维持，这样保险公司较易发生破产。特别是在新兴市场中， 保险公司的经营还处于基金积累阶段，大规模的给付阶段还没有到来。此时保 费收入高速增长而给付的负担较小，因此，公司的现金流量状况近期可以满足 高额佣金支出和大规模的固定资产投资。但是，如果长期的责任准备金提取不 足、资金运用不合理，那么到未来的给付阶段，累积的准备金与实际给付之间 很可能出现大量的缺口，而那时候的保费收入增长速度已经趋于平稳，在这种 情况下，有可能爆发支付危机。而偿付能力是指保险公司对所承担责任的经济 补偿能力，几偿付到期债务的能力。它包含两层意思：一是正常情况下，保险 公司具有的完全承担给付责任的能力。例如对于寿险公司，在理论上，如果正 常年份没有重大的伤亡事件发生( 发生自然灾害，如地震、洪水等等) ，只要 保险公司厘定适当合理的保险费率，提取各项准备金，并合理投资，使保险公 司的资金按照预定的速度增值，保险公司就有足够的资金给付，维持其偿付能 力。因此，是否具有偿付能力主要取决于保险公司对其所承担的义务是否建立 起足够的准备金。另一含义是在非正常年份，保险公司的实际资产减去负债后 的余额就必须经常保持在一定的最低额度，以应付可能发生的不利情况。但在 本文中主要是考虑当保险公司的保费收入不足以应付大量的索赔而发生的破产 武汉理t 大学硕士学位论文 概率，而没有考虑保险公司将一定的保费进行投资，以及没有考虑利率因素和 通货膨胀因素，之所以这样是为了是模型较为简单，便于求出其破产概率。 在保险中，为了对保险合同的风险进行度量，t e t e n s 把风险定义为：如果合 同导致损失，则合同的预期损失就是风险。自e h a l l e y 于1 6 9 3 年编制了世界上 第一个生命表算起，风险理论的发展已经有3 0 0 多年的历史。风险理论是近代 应用数学的一个重要分支，主要应用于保险、金融、证券投资以及风险管理等 领域，它借助于概率论与随机过程理论构造数学模型，来描述各种风险业务过 程。 风险理论作为经营者或决策者对风险进行定量分析和预测的一般理论已广 泛应用于投资和保险等行业之中。投资者经常需要选择那些损失小、收益大的 项目；而保险公司是获得投保人缴纳的保费收益，同时承担投保人所面临的相 关风险，保险公司和投保人也要面对风险和收益进行风险选择【4 j 。为了更科学的 进行选择，就要对风险过程进行多方面的具体研究，其中对其稳定性的重要指 标破产概率相关问题的研究，形成了一个重要的研究领域，破产理论。 破产理论( r u i nt h e o r y ) 是风险理论s kt h e o r y ) 的核心内容，现己公认，破产 理论的研究溯源于瑞典精算师f i l i pl u n d b e r g 于1 9 0 3 年发表的博士论文，至今 己有百余年的历史。他的工作奠定了非寿险随机模型的基本结构形式，也奠定 了保险风险理论的基础，在此基础上，h a r a l dc r a m e r ( 1 9 5 5 ) 构筑了非寿险数学模 型的概率基础，使得风险理论成为应用概率统计的一个非常活跃的分支。 破产理论是研究风险经营者经营状况的方法理论，主要应用于风险经营过 程的稳定性分析，预测经营者在有限时间内和最终破产的可能性大小，从而对 经营策略起到指导性作用。在进行风险决策前，对将来要进行的风险经营过程 进行稳定性分析有重要的现实意义和理论意义，尤其在投资和保险行业，其现 实意义更加明显，通过对破产概率的估计和预测，可决定是否对一项目进行投 资，通过对一新险种将来经营过程的稳定性分析，可以决定是否开发这一险种， 同时对该险种保费厘定也有指导作用，可以通过调节保费来达到减小风险经营 过程的破产可能性的目的”1 。 如今，风险理论已经成为保险精算学的一个重要分支，在保险理论与实践 中具有十分重要的作用。对保险公司破产概率的研究不仅可以为保险公司的决 策者提供参考，指导其健废发展，同时对稳定整个金融市场也有很重要的作用。 1 3 破产理论的研究现状 破产理论的研究既有其实际的应用背景，也有其概率论上的研究价值。事实 上，一类非常重要的随机过程，r 1 1 p o i s s o n 过程，正是l u n d b e r g 首次在1 9 0 3 年博 4 武汉理工大学硕士学位论文 士论文中提出的，不过l u n d b e r g 的工作不符合现代数学的严格标准，它的严格化 是以h a r a l dc r a m e r 为首的瑞典学派完成的，c r a m e r 将l u n d b e r g 的工作建立在坚实 的数学基础之上，与此同时，c r a m e r 也发展了严格的随机过程理论。另外h a n s g e r b e r 是c r a m e r 之后当代研究破产论的国际领先学者，他不仅将鞅方法引入到破 产论的研究中，而且深化了经典破产论的研究内容。另一方面，人们依据风险 模型的不同提法，针对保险公司运作中遇到的种种问题，通过对概率或统计模 型进行修正，附加必要条件，得到种种在不同方面进行完善的保险风险模型， 使得模型更接近保险公司的实际运作过程，这使得风险模型的研究变得非常富 有挑战性，所以对不同风险模型的破产概率研究在国际上一直是人们关注的一 个焦点，但国内从事这方面研究的人员还比较少，有关破产论的发展和研究现 状的综述性文献和专著有：g e r b e r ( 1 9 7 9 ) ，g r a n d e l l ( 1 9 9 3 ) ，a s m u s s e n ( 2 0 0 0 ) 等。 现已公认，l u n d b e r g 与c r a m e r 的工作为经典破产论的基本定理。 l u n d b e r g c r a m e r 经典风险模型是这样描述的( 以下简称l - c 模型) ： 1 ) 理赔的到达次数用p o i s s o n 过程来表示； 2 ) 由保险公司支付的个别理赔额表示为一类独立同分布的随机变量序列； 3 ) 理赔过程与表示理赔额的随机变量序列是独立的； 4 ) 单位时间保费收入是常数。 f f ) 其风险过程定义为：u ( f ) = 甜+ c t 一罗x t 0 = 其实际背景为：u ) 是保险公司f 时刻的盈余资产，u 是保险公司的初始盈 余，c 是单位时间保费收入率，置是个体理赔额，( f ) 是表示理赔到达的p o i s s o n 过程 6 1 。 l u n d b e r g 和c r a m e r 给出了关于破产概率的近似式及指数型上界他们指出：初 始盈余为0 时，破产概率矿( o ) 的解仅依赖于相对安全负载口，而和个体理赔额分 布的具体形式无关；若初始盈余很大，保险公司在经营“小索赔”业务时，破产是 不易发生的。 虽然l u n d b e r g 和c t a n l e r 刍的工作奠定了风险论的基础，并为精算师处理绝大 多数实际的保险问题提供了主要的分析工具，但其分析方法较冗繁，其后最令 人瞩目的方法论的改进就是w i l l i a i mf e l l e r 的更新论证技巧和h a n sg e r b e r 的鞅证 明方法。w i l l i a i m f e l l e r i 正明了破产概率满足的更新方程，运用关键更新定理得 到了破产概率的近似表达式。h a n sg e r b e r 通过盈余过程构造鞅，运用停时定理 及鞅收敛定理证明了破产概率满足的l u n d b e r g 型指数上界。这两种方法已成为后 续研究该领域的主要方法。 关于风险模型中破产概率的研究，可以根据风险模型的不同提法，再针对 武汉理工大学硕士学位论文 保险公司运作中遇到的种种实际问题，通过对概率或统计模型进行修正，附加 种种条件，使得模型更接近保险公司的实际运作。因此破产概率的研究变得非 常富有挑战性，一直成为人们关注的焦点。常见的对三一c 经典风险模型的推广， 主要分为四类： 第一类：理赔到达过程的推广。 将理赔到达过程推广为更薪过程、广义复合p o i s s o n 过程、c o x 过程、g a m m a 过程和逆高斯过程等等。这些过程的推广可以顾及到由于季节或政治等因素所 引起的理赔到达过程中其强度不是常数的性质，所以在理论界与实务界得到了 广泛的应用。 第二类：对保费到达过程的推广。 同理赔到达过程的推广类似，保费到达过程也可推广为p o i s s o n 过程、c o x 过程、更新过程等。同时，保费收入率不再是一成不变的常数，而是更贴近实 际情况的随机变量。 第三类：引入利率和投资因素，考虑w i e n e r 过程等对盈余过程的干扰，或者 考虑支付红利情形，从而使得风险模型更接近保险公司的实际运作。 实际中，保险公司的大部分盈余来自于投资的收入，所以具有利率因素的 风险模型正日益受到人们的关注。s u n d t 和t e n g e l s ( 1 9 9 5 ) 研究了常利率下复合 p o i s s o n 模型的最终破产概率。在常利率且有随机投资收入的假设下，p a u l s e n 和 c o e s s i n g ( 1 9 9 7 ) 得到了破产概率的l u n d b e r g 指数型上界 7 1 。 此外，外部因素的干扰及保险公司管理或经营的偏差，都会对保险公司的 财务造成影响，因此考虑受到随机干扰的风险过程就显得尤其要。g e r b e r ( 1 9 7 0 ) 首先提出了带干扰的经典风险模型，d u r f e s n e 和g e r b e r ( 1 9 9 1 ) 发现该模型中生存 概率满足的亏损更新方程，讨论了经典风险模型在有不同干扰时破产概率的上 下界问题 7 1 。 由于保险业的竞争日益激烈化和人们对保险产品认知程度的逐渐提高，带 有分红性质的保险产品已经进入大家的实际生活中，同时保险公司如何回馈股 东使得股东利益最大化也随之成为一个重要的话题。因此研究支付红利情形下 保险公司的破产概率及何时实施最优红利策略就十分具有现实意义。 此外，近年来，随着风险管理的发展，人们越来越重视风险理论，并对其 某些方面进行了深入研究。例如，( 1 ) 混合分布的研究，考虑理赔量的分布次数 的分布中的参数也是随机变量，所得的总理赔量的分布即为混合分布，混合 分布更适宜于描述实际情况。( 2 ) 如何根据保险实际，利用极大似然法等统计方法 选择符合实际的风险模型，并对模型中的有关参数进行估计。( 3 ) 破产概率的其它 更为简便的求解方法，有限时间内的破产概率、破产时间、停时等问题的研究。 6 堇堡里三盔堂堡主兰焦鲨奎 ( 4 ) 再保险的不同形式对风险控制的作用。( 5 ) 考虑通胀和利率因素的风险模型。 ( 6 ) 各种风险模型的数值计算方法等。另外，鞅方法的引入也给风险理论的研究 注入了新的活力。 1 4 本章小结 本章系统地介绍了该课题的研究背景、研究动机和目的以及风险管理的定 义，最后描述了该课题在国内外的研究现状并进一步指出课题的研究方向、思 路和方法。 武汉理工大学硕士学位论文 第2 章风险理论 风险理论有三个基本的模型：短期个别风险模型、短期聚合风险模型、长 期聚合风险模型。前两个模型可直接应用于保险产品纯保费的计算，而长期聚 合风险模型对再保险、保险监管、非寿险利润与定价的有关测算等都有重要的 作用。在本章中只介绍前两个基本模型，并阐述破产理论的基本原理。 2 1 短期个别风险模型 在介绍短期个别风险模型之前，先介绍风险理论的2 个重要函数( 矩母函 数与l a p l a c e 变换) 及2 个条件期望和条件方差的基本公式。 设x 为一随机变量，其分布函数为f ( 幻。令吖x ( f ) = 研p “】= i p “d f ( x ) ， 称m 。( f ) 为x 的矩母函数( 简记为m g f ) 。矩母函数可以完全刻画随机变量的 分布特征：如果2 个随机变量具有相同的矩母函数，则它们的分布函数也相同。 由于这种一一对应的关系，矩母函数便成为研究随即变量的一个得心应手的工 具，以矩母函数表达的结论均可以转换成关于分布的结论。另外，矩母函数与 原点矩有关系： ，i 研彳。】= 肘( o ) = 二m x ( t ) i ，。 ( 2 - 1 ) f 对于任意k 1 成立，这也就把m ，( f ) 称为矩母函数的原因l s l 。 矩母函数有一个很好的性质：独立和的矩母函数等于各个变量的矩母函数 之积，即设：s = x 1 + x ：+ j 0 ，其中五，x 2 ，k 相互独立，则有： f s ( ，) = m 函8 ) w x ：) z j 二9 ) 这性质在研究总理赔量的分布时具有重要的意义。 再来看随机变量的另一个常用函数，上j ( ，) = t i e 4 】= i 口一d f ( x ) ，对任意 的t 0 成立，则称t ( ，) 为彳的l a p l a c e 变换( 简记为l t ) 。显然t ( ，) = m j ( - t ) 。 利用全概率公式，可以得到下列2 个条件期望和条件方差的基本公式1 9 l ： 研】，】= e e r i x 盯( 2 - 2 ) v a r y 】= 日v a r rl 捌】+ f a r 研yix 】( 2 - 3 ) 公式( 2 - 2 ) 称为期望的累计法则。公式( 2 3 ) 则表明，总的方差可以分解为方 差的期望与条件期望的方差之和。 下面来介绍短期个别风险模型。对于保险机构，设其某种风险的随机损失 ( 理赔量) 为s ，且s = x i + x ：+ j 。，其中z 是保单i 的损失，其分布函数 为f ( x ) ，疗是保单数。假定x i ，肖：，以相互独立，现在的问题是求出s 的分 茎堡里三盔堂堡主兰壁垒奎 布，主要有两种方法： 方法l ， 由概率论可知，s 的分布函数r s = f ( ，其中f ( ”为分布函数 e ，最，e 的卷积，其计算采用递归的方法，f 1 = e ，f 2 = e f m ， f “= e f “。特别地，当墨，x 2 ，x 。都具有同一分布函数f ( x ) 时，f “记 为f ”，称为f 的刀重卷积。 方法2 ，利用矩母函数性质rs 的矩母函数膨s ( f ) = 膨z ( o m x , 8 ) m x ， 特别地，当五，x 2 ，j 0 都和z 具有同一分布时，即具有相同的矩母函数m ，( f ) 时，m 。( f ) = 【m 。o ) 】”，求出矩母函数后，利用矩母函数的连续性与唯一性，便 可以得到s 的分布。 对于方法1 ，当疗较大时，卷积的计算是相当复杂的。而方法2 的优点是 m 。( f ) 的计算非常简便，其难点在于识别出m 。( f ) 是何种分布的矩母函数，有时 需要高深的数学工具才能求出s 的分布。因此，在实际应用中往往是求得s 的分 布的数值近似。利用x 。，x 2 , - - , 以的独立性，有： 研跚= y e x , i v a r s 詈陆瞄】 而由中心极限定理，当当理较大时( 在保险中月一般都比较大) ，= ；= f i t 坚q ；l 近似 f ；l 鼻一 4 v 甜t s 】 服从标准正态分布n ( o ，1 ) 。 短期个别风险模型可用于单险种的有关问题的研究，如人寿保险、汽车保 险、火灾保险等；也可用于某一险种的再保险研究，如自留额的计算等，在这 里就不作详细的介绍了。 2 2 短期聚合风险模型 在上一节我们讨论的个别风险模型是基于对个别保单理赔量分别考虑的， 保单数是非随机的，且总理赔量为所有保单理赔量的总和。而本节要介绍的聚 合风险模型则将个别理赔的产生视为一随机过程，短期聚合风险模型简述如下： 设是给定时期中保单的理赔次数，它是一个取非负整数的随机变量，z 是第i 次的理赔量( f = 1 , 2 ，) ，则这一时期的总理赔量s 可以表示为； s = x i + x l + xv 这里我们假定：( 1 ) x ，x ：，x 。都是和x 同分布的随机变量，分布函数为p ( 力； ( 2 ) 随机变量，x i ，托，x 。相互独立。 本节的主要问题仍然是求出s 的分布，令p k = 研x 】为x 的k 阶原点矩。 首先由( 2 - 2 ) ，( 2 - 3 ) 式有： e 【鄙= 研x 】研n 】= p 。研n 】( 2 - 4 ) 9 武汉理工大学硕士学位论文 v a r s = 哳【】( 目z 】) 2 + e n v a r x = p ? v a r n + ( p 2 - p 1 ) e n ( 2 5 ) 这两个等式的证明过程如下： 证明：研明= g e s i r 刀= e 瞄+ x 2 + + “i n ；n p r n = 疗】 n - 0 = s x l + 五十+ x i n = n p r n = 行】 n f f i 0 = e x l + 工2 + + x 。 p r n = 厅】 n f f i 0 = m p r n = h i = p l e 【】 即等式( 2 - 4 ) 得证( 注意其中的置与是相互独立的) 。 v a r s 】= e v a r ( s i ) 】+ v a r e s i 】= 目n 阮r ( x ) 】+ v a r 肋1 】 = v a r ( x ) e 【】+ p ；v a r n 】 = ( p ：一p ；) 日 ，】+ p ? v a r n 】 即等式( 2 5 ) 得证c 注意其中的与x 是相互独立的) ( 2 - 4 ) 式表明，总的理赔量的期望值等于理赔次数的期望值与个别理赔量的 期望的乘积，而( 2 5 ) 式则表明，总的理赔量的方差可以分解为两个分量：第 一个分量反映了理赔量次数是随机的，第二个分量反映了个别理赔量是随机的。 5 的矩母函数为： 以( r ) = 研p 4 】= m 。 1 n m f 】( 2 - 6 ) 其中m 。，肘，分别为和x 的矩母函数。该式的证明如下： 证明：m s ( f ) = 研p 6 】= e e e 8i 】= e 峭+ 局。”“i n = n l p r ( n = n ) = e 置+ 也”以】p “= 帕 n f f i o = 【膨，掰p r ( n = 露 = 昱m 删) 】 = m “l i l m x ( r ) j 即等式( 2 6 ) 得证。 利用全概率公式，可以知道s 的分布函数为： f ( x ) = z p ”( x ) p r ( n = 行) ( 2 - 7 ) 其中尸“为尹 ) 的捍阶卷积，特别规定歹= ? ：至： 1 0 武汉理工大学硕士学位论文 特别，如果个别理赔量是离散型分布，其概率函数为p ( x ) = p r ( x = x ) ，则总 理赔量s 也是离散型的，其概率函数为： 厂( x ) = p r ( s = x ) = p “( x ) p r ( = n ) 其中p ( 工) = p + p + p = p r ( x l + x 2 + x 。= x ) 。 理赔次数取不同的分布，个别理赔量取不同的分布p ( x ) ，就得到了总理 赔量s 的不同复合分布。如果为p o i s s o n 分布，则s 的相应分布便成为复合 p o i s s o n 分布；当为负二项分布时，s 的分布则称为负二项分布。也可以取 二项分布，对数分布等。 对于个别理赔量x 的分布，由于计算s 的分布f ( x ) 时需要作卷积运算，所 以应该尽可能选择便于计算的分布函数。下面介绍2 种重要的复合分布：复合 p o i s s o n 分布和复合负二项分布。 1 复合p o i s s o n 分布。当理赔次数服从参数为五的p o i s s o n 分布，个别理 赔量的分布函数为p ( x ) 时，称s 的分布为由参数五，分布函数p ( x ) 决定的复合 p o i s s o n 分布，由( 2 - 4 ) 至( 2 7 ) 式有： e s 】= 印l ，v a r s 】= 勿2 t ( f ) = p 研”“卜1 1 ，f ( z ) = p “( 肝) 毛严。 n = o ，“ 复合p o i s s o n 分布有一个非常好的性质，如定理2 1 所示。 定理2 1 1 川( 复合泊松的和仍然是复合泊松分布) 如果墨，s 2 ，s 。是一系 列独立的复合泊松随机变量，分别具有参数 和理赔分布，i = 1 , 2 ，i n ，那 么s = 墨+ 岛+ 仍然是一个复合泊松随机变量，具有参数： a = 和p ( x ) = 争( 功 t = li - ! 由定理2 1 ，我们知道辨个独立复合泊松保单的总和仍然服从复合泊松分布， 或者对同一个复合泊松保单观测m 年且假设逐年的结果相互独立，则m 年结果