（物理电子学专业论文）声场辐射分布的简化计算.pdf

摘要 摘要 研究生姓名：张瑜导师姓名：丁德胜学校名称：东南大学 以前在线性声场和非线性声场的计算中，往往要根据菲涅尔场积分公式对 声场中的每一个点进行数值积分的计算，而这样的积分往往是多维的，强烈振荡 的，计算十分复杂。 在本篇论文中，为了简化声场的计算，我们给出了计算超声换能器声场的 一种方法。在w e n 和b r e a z e a l e 工作的基础上，我们将高斯函数的展开方法推广 到了线性声场，将任一轴对称活塞声源的分布函数展开成一系列的二维高斯函数 的线性叠加，相应的辐射线性声场可以展开成一系y o - - 维高斯束的线性叠加。在 非线性声学方面，我们将高斯函数的展开方法推广到非线性的二阶声场中，将均 匀活塞声源的分布函数展开成一系列的二维高斯函数的线性叠加，相应的基波声 场可以展开成一系列的二维高斯束的线性叠加，二次谐波声场可以展开成这些二 维高斯束的自作用项和相互作用项的线性叠加。这样，就避免了复杂的数值积分 计算，使得计算简化为简单的高斯函数的计算，可以提高工作效率上万倍。我们 的方法突破了圆形轴对称的限制。我们以椭圆形和矩形活塞换能器的辐射声场计 算为例，计算了结果，并与其他工作者运用复杂数值积分计算所得到的结果相比 较，可以看到，二者符合得非常好。 另外，由于在光学、电磁场传播理论中有着与声学相类似的场积分计算公 式，因而我们的方法还可以推广到这些物理学的分支领域中，具有很好的应用价 值。 关键词：声场计算 高斯函数展开 椭圆形声源 菲涅尔场积分 简化计算 矩形声源 a b s t r a c t a b s t r a c t s t u d e n t ：z h a n gy u m e n t o r ：d i n gd e - s h e n g s c h o o l ：s o u t h e a s tu n i v e r s i t y i nt h ec a l c u l a t i o no fl i n e a ra n dn o n l i n e a rs o u n df i e l d ，t h ei n t e g r a lf o r m u l a sa r e u s e dt oe v a l u a t ee v e r yp o i n ti nt h es o u n df i e l d t h e s ei n t e g r a l sa r em u l t i d i m e n s i o n a l a n ds t r o n g l yo s c i l l a t o r ys ot h a tt h e ya r et o od i f f i c u l tt oc o m p u t e i nt h i sp a p e r , t os i m p l i f yt h ec a l c u l a t i o no f s o u n df i e l d ，w ep r e s e n ta na l t e r n a t i v e a p p r o a c ht o c a l c u l a t et h es o u n df i e l do fu l t r a s o n i ct r a n s d u c e r s u s i n gt h er e s u l t so f w e na n db r e a z e a l e s ，w ee x t e n dg a u s s i a nf u n c t i o n se x p a n s i o nm e t h o d t ol i n e a rs o u n d f i e l d t h eu n i f o r ms o u r c ed i s t r i b u t i o nf u n c t i o ni se x p a n d e di n t ot h es u p e r p o s i t i o no fa s e r i e so ft w o d i m e n s i o n a lg a u s s i a nf u n c t i o n s t h ec o r r e s p o n d i n gl i n e a rr a d i a t e d s o u n df i e l di s e x p r e s s e d a st h e s u p e r p o s i t i o no ft h e s et w o d i m e n s i o n a l g a u s s i a n b e a m s i nn o n l i n e a ra c o u s t i c s ，w ee x t e n dg a u s s i a nf u n c t i o n se x p a n s i o nm e t h o dt o s e c o n d o r d e rn o n l i n e a rs o u n df i e l d t h eu n i f o r ms o u r c ed i s t r i b u t i o nf u n c t i o ni s e x p a n d e di n t ot h es u p e r p o s i t i o no f as e r i e so ft w o d i m e n s i o n a lg a u s s i a nf u n c t i o n s t h ec o r r e s p o n d i n gf f m d a m e n t a lw a v er a d i a t e ds o u n df i e l di s e x p r e s s e d a st h e s u p e r p o s i t i o no ft h e s et w o - d i m e n s i o n a lo a u s s i a nb e a m sa n dt h e s e c o n dh a r m o n i c s o u n df i e l di se x p r e s s e da st h es u m m a t i o no fs e l f - a n dc r o s s i n t e r a c t i o nt e r m so f t h e s e t w o d i m e n s i o n a lg a u s s i a nb e a m s t h er a d i a t e ds o u n df i e l di st h e nr e d u c e dt ot h e c o m p u t a t i o no ft h e s es i m p l ef u n c t i o n s t h i st r e a t m e n to v e r c o m e st h e l i m i tt h a tt h e s h a p eo f s o u r c ei so fc i r c u l a ra x i a l s y m m e t r y ，t h en u m e r i c a le x a m p l e sa r ep r e s e n tf o r t h eu n i f o r me l l i p t i c a la n dt h eu n i f o r mr e c t a n g u l a rp i s t o nt r a n s d u c e r sa n di ng o o d a g r e e m e n t w i t ht h er e s u l t sg i v e n b yc o m p l i c a t e dc o m p u t a t i o n b e s i d e s ，t h ei n t e g r a lr e p r e s e n t a t i o n so f f i e l da p p e a ri nm a n yo t h e rb r a n c h e so f p h y s i c sa n de n g i n e e r i n ga p p l i c a t i o ni n v o l v i n gt h ep r o b l e mo fd i f f r a c t i o n ，s u c h a s a b s t r a c t o p t i c s ，t h ep r o p a g a t i o no fe l e c t r o m a g n e t i cf i e l d s ，e t c s ot h ep r e s e n to ra ni m p r o v e d m e t h o di ss t i l la p p l i c a b l ei nt h e s ef i e l d s k e y w o r d s ：s o u n df i e l dc a l c u l a t i o n ，t h ef r e s n e lf i e l di n t e g r a l ，g a u s s i a nf u n c t i o n s e x p a n s i o n ，s i m p l i f i c a t i o no fc a l c u l a t i o n ，t h ee l l i p t i c a ls o u r c e ，t h er e c t a n g u l a rs o u r c e i i i 东南大学学位论文独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得 的研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含 其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得东南大学或其它教育机构 的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均 已在论文中作了明确的说明并表示了谢意。 研究生签名：毯硷日期： 御3 年 东南大学学位论文使用授权声明 东南大学、中国科学技术信息研究所、国家图书馆有权保留本人所送交学位 论文的复印件和电子文档，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文。本人 电子文档的内容和纸质论文的内容相一致。除在保密期内的保密论文外，允许论 文被查阅和借阅，可以公布( 包括刊登) 论文的全部或部分内容。论文的公布( 包 括刊登) 授权东南大学研究生院办理。 研究生签名：毯逾导师签名：日期：竺，争 第一章绪论 第一章绪论 1 9 7 5 年，c o o k 等人首次提出了束或函数的展开方法。1 9 8 8 年，w e n 和 b r e a z e a l e 采用了高斯函数叠加的方法，他们的展开函数仅含1 0 项高斯项。接 着，一些学者也进行了各种推广。 本课题拟在w e n 和b r e a z e a l e 研究成果的基础之上，将高斯函数展开的方 法推广到非圆形轴对称的声场计算中，研究线性声场与非线性二阶声场的分布 函数。以均匀椭圆形和矩形声源为例，计算出结果，并与其他研究者的数值积 分方法计算的精确值相比较，验证我们工作的有效性。 我们的工作将为这一类的声场计算带来极大的方便，计算量大大地降低， 甚至可以达到上万倍。提高了工作效率。同时，由于具有相同或类似的理论基 础与波动方程，我们的方法还可以推广到光学和电磁场传播理论中，有很高的 应用价值。 东南人学硕+ 学位论文 第二章文献综述 在声学研究中，理想无限大的刚性障板平面换能器所辐射的声场一直是最 重要的问题之一( 光学中对应从有限孔径上辐射的光束) 。这类问题通常可以归 结为一个著名的二重积分，即瑞利( r a y l e i g h ) 表面积分来描述。当声源为圆形 轴对称时，采用柱坐标，该积分变为k i n g 积分。实际中的绝大多数声场都可以 用这类积分来概括。在菲涅尔( f r e s n e l ) 近似下，可以进一步将瑞利积分用菲 涅尔场积分公式近似。然而，菲涅尔场积分公式在大多数情况下，是一个二维 的、强烈振荡的积分，计算十分复杂。 1 9 7 5 年，c o o k 等人首次提出了束或函数的展开方法 1 1 。他们将菲涅尔场积 分公式展开成一系列的高斯一拉盖尔( g a u s s i a n - l a g u e r r e ) 函数( 在柱坐标系中) 和高斯一厄密特( o a u s s i a n h e r m i t e ) 函数( 在直角坐标系中) 的线性叠加，并 计算了圆形均匀活塞换能器的辐射声场，与运用瑞利表面积分所得到的数值精 确解相比，获得了较为满意的结果【2 】。1 9 8 8 年，w e n 和b r e a z e a l e 采用了函数叠 加的方法，将复杂的菲涅尔场积分展开成一系列复系数高斯( o a u s s i a n ) 函数 的线性叠加来计算圆形轴对称声源的声场分布，他们的展开函数仅含1 0 项高斯 项，就获得了相当高的精度【3 o 接着，一些学者也进行了各种推广4 1 。可以 从数学上证明，在实际情形中，几乎所有的轴对称声源可以等效为一系列高斯 函数的线性叠加f 5 】。这类展开方法的明显优点在于，它给出了线性换能器声场 分布的解析表达式，即使对于二阶声场产生的非线性效应也可以给出声场分布 的解析表达式，从而将活塞声源声场分布的复杂计算简化为相对简单的高斯函 数计算，避免了复杂的数值计算，使计算量大大地降低。但是在此之前，其他 学者的论著中所涉及到的实例几乎都是圆形轴对称换能器声源辐射声场的情 形，很少是非圆形轴对称的n 在非线性声学中，作为b u r g e r s 方程的改进形式，2 0 世纪7 0 年代初出现的 著名的k z k ( k h o k h l o v z a b o l o t s k a y a k u z n e t s o v ) 非线性波动方程m 1 在粘滞 2 第二章文献综述 液体和固体中有限振幅声束非线性传播的研究分析中起重要作用 1 0 2 3 】。在菲涅 尔近似的情况下，该方程为具有任意形状、相位、振幅的平面声源的辐射声场 提供了一个很好的模型。另外，该方程还可以用来分析聚焦声源的声场分嘶j 。 在准线性近似下，l u c a s 等学者已经推导出了聚焦声束二次谐波的积分形 式解析解，这包括一个三重积分，对声场分布内的每个点都进行复杂的数值 计算。对于任意一个轴对称声源，各个不同的二次声场谱分量的复数声压振幅 一般可以用一个三维积分表示，求得数值解。相应的，基波声场的线性化解可 以用一维积分表示，即菲涅尔衍射积分。此积分给出了远场和近场的精确描述 ( 在极近场区域内除外) 。用这种数值积分方法得出的理论结果与实验数据符合 得很好。 准线性近似下，k z k 方程基波声场分布可以表示成一个二维积分，即菲涅 尔场积分；而二阶( 二次谐波、差频、和频) 声场分布可以表示成五维的积分 形式，即广义菲涅尔场积分。可以看到，即使在线性近似条件下，也需要用复 杂的数值计算来描述任意声源的基波声场分布。这是因为场积分中有贝塞尔 ( b e s s e l ) 函数和带虚部的指数函数，因此是强烈振荡的。 本课题将在w e n 和b r e a z e a l e 工作的基础之上，将高斯函数展开的方法做 进一步推广，将任一轴对称活塞声源展开成一系列二维高斯函数的线性叠加， 研究线性和二阶非线性声场的分布，突破了圆形轴对称的限制。之后我们以均 匀椭圆形活塞换能器和均匀矩形活塞换能器声源为例子，用高斯展开的方法计 算了线性声场与二阶非线性声场的分布，并与其他工作者运用复杂数值积分计 算所得到的精确解相比较，来验证我们工作的有效性。可以看到，用这种方法 给出了线性声场与二阶非线性声场的解析表达式，能够避免复杂的多重积分数 值计算，简化了算法，大大提高了计算的效率。 东南大学硕十学位论文 3 1 引言 第三章线性声场的计算 在菲涅尔近似下，瑞利积分可以用菲涅尔场积分近似。所谓菲涅尔近似， 是指( 1 ) ( k a ) 2 l ，也就是声源尺寸远大于声波波长( 至少是十倍的关系) ；( 2 ) 傍轴近似，即观测点在声场中的位置，到声轴的距离与到活塞换能器声源平面 的距离相比很小。其中k = 叫c 。= 2 ，r a 为声波的波数( 0 9 为声波角频率，氏为 媒质中的声速，五为声波波长) ，a 为声源参考半径，对于活塞型声源，a 即为 活塞半径。对于大多数实用中的超声换能器的声场分布，菲涅尔场积分公式已 经可以很好地描述除极近场区域外的辐射声场分布了。 我们提出了另一种方法，即直接从w e n 和b r e a z e a l e 的方法进行推广，来 计算超声换能器的辐射声场分布。我们将声源分布函数扩展为一系列的二维高 斯函数的线性叠加，相应的声场分布计算就简化为对这些简单函数进行的计算。 这种方法不需要声源形状为圆形轴对称这一条件。作为例子，我们计算了椭圆 形和矩形均匀活塞换能器的声场分布，并与其他学者的方法所得到的结果做了 比较，以此表明我们方法的有效性。 3 2 菲涅尔场积分 假设在直角坐标系中，均匀活塞换能器的声源或孔径位于平匦= = 0 处，原 点与孔径中心重合，换能器声源表面的振动速度或声压为“( 一，y ) ，在其他区域 4 第三章线性声场的计算 可视为零。这也可以用来在其他领域里描述场的分布，如光学中光束的分布， 以及电磁学中电磁场强度的分布。在菲涅尔近似下，换能器声源辐射声场的分 布可以表示为 吣出加壶脚降堕掣卜。删 ( 31 ) 这就是菲涅尔场积分公式。这里，传播因子e x p - i ( c o t k z ) 已经忽略不计。引 入三个无量纲变量 古= 拈，f = y 括，叩= 纠硝，( 3 2 ) 其中s 是只与活塞换能器声源的面积相关的量，在许多情况下可直接定义为声 源的面积。将这三个式子进行变形，可以得到 x = 告4 - g ，y = f 括，z = 7 7 硝肛，( 3 3 ) 将上式代入( 3 1 ) 式，经过一些变形可以得到菲涅尔场积分公式的无量纲形式 吣加南唧 z 盟掣卜。埘w 。 ( 3 4 ) 3 3 一维高斯束的线性叠加 从数学意义上来讲，w e n 和b r e a z e a l e 的高斯函数展开的过程意味着有一类 函数可以近似地展开成一系列的高斯函数的线性叠加，即 n 厂( x ) = a 。e x p ( - b k x 2 ) ， ( 3 5 ) 女；1 他们将均匀活塞声源函数( t i r e 函数) c 扣c ( x ) = ，( x ) = ：o x j l i ux 1 ( 3 6 ) 东南大学硕士学位论文 展开成一系列的高斯函数的线性叠加，即( 3 5 ) 的形式。其中，展开系数a ，和高 斯系数玩可以用计算机优化的方法来得到( 有关优化算法的内容见附录a ) 。 w e n 和b r e a z e a l e 通过这种方法得到的是一组只含1 0 项( n = l o ) 的系数，这 些系数在参考文献【3 的表i 中列出，我们将它们重新列于表3 1 中。用这些系 数拟合的c i r c 函数如图3 ，1 所示。可以看出，由这些系数构成的( 35 ) 式可以很 好地拟合c i r c 函数，这种展丌在均方误差最小的意义上，逼近原函数。w e n 和 b r e a z e a l e 用这种方法计算了一个圆形均匀活塞换能器声源的声场分布，通过比 较，在整个声束场中，除了在极近场( o 1 2 倍的菲涅尔距离) 有一定的差异 外，运用该方法进行计算获得的结果均与用数值积分计算所得的结果符合得很 好，而计算量比后者大为降低。对于边缘支撑型活塞声源，仅含6 项高斯项【3 】。 所谓边缘支撑型活塞声源，也称为边缘固定活塞声源，其分布函数为 m ) = 1 苫2 0 箸1 。 ( 3 ，) 这些展开系数和高斯系数还可以用其他学者的些方法，如“高斯函数多项式” 的方法获得【5 1 。 表3 1 4b 女 1 1 4 2 8 + o 9 5 1 7 5 i4 0 6 9 7+ o 2 2 7 2 6 i 0 0 6 0 0 2 0 0 8 0 1 3 i1 1 5 3 12 0 9 3 3 i 4 2 7 4 38 5 5 6 2 i4 4 6 0 8+ 5 1 2 6 8 i l 6 5 7 6 + 2 7 0 1 5 i4 3 5 2 1+ 1 4 9 9 7 i 一5 0 4 18+ 3 2 4 8 8 i4 5 4 4 3+ 10 0 0 3 i 1 1 2 2 7 0 6 8 8 5 4 i3 。8 4 7 8+ 2 0 0 7 8 i 1 0 1 0 6 0 2 6 9 5 5 i2 5 2 8 0 1 0 _ 3l o i 2 5 9 7 4+ 3 2 2 0 2 i3 3 1 9 74 8 0 0 8 i 0 1 4 8 4 0 0 3 1 1 9 3 i 1 9 0 0 215 8 2 0 i 0 2 0 8 5 0 0 2 3 8 5l i2 6 3 4 0+ 2 5 0 0 9 i 6 第三章线性声场的计算 c ir c ( x ) 函数 x 图3 1高斯函数拟合的c i r c 函数 后面，我们将( 3 5 ) 式看作是一个已知结果，作为c i r c 函数的一个近似，来 进行线性声场与非线性声场的计算。 3 4 二维高斯束的线性叠加 在无量纲的直角坐标系中，一个二维高斯声源的形式为 “( 孝，f ) = e x p - ( b 名2 + 风f 2 ) 】， ( 3 8 ) 其中，两个系数b ，和色通常为复数，其实部大于零a 将( 3 8 ) 式代入( 3 4 ) 式，可 以得到二维高斯束声场分布，用记号g ：表示为 7 东南大学硕士学位论文 盟丛争型i 。x p 【_ ( 聒n 坞n k w 町l ( 3 9 ) 利用一个数学等式 f e x p ( 一毛一，t ) a t = 2 厢e x p ( f 1 7 2 ) ， ( 3 1 0 ) 并对( 3 9 ) 式进行变形( 具体过程见附录b ) ，得到 吲崩即_ 南e 卅篙， 南唧c 一篙) = g i ( 善，r ；b 。) g l ( f ，r ；b ，) ，( 3 1 1 ) 其中，两个g 分别等于( 3 1 1 ) 式中的两个方括号中的式子，实际上就是一维高斯 声束的表达式。当b ，= b ，= b 时，( 3 ，1 1 ) 式就变成了一般的圆形活塞声源的高 斯声束。这里，我们称( 3 1 1 ) 式为高斯函数的菲涅尔变换。 后面，我们将解释如何将任意一个轴对称声源函数表示成为一系列的二维 高斯函数的线性叠加，并进行我们的推导。作为例子，我们将计算均匀椭圆形 活塞换能器声源和均匀矩形活塞换能器声源的声场分布，并与其他学者的著作 中运用数值积分精确计算所得的结果相比较，来验证我们方法的有效性。 3 5 利用高斯束的叠加计算椭圆形声场 设在直角坐标平面内，一均匀椭圆形活塞换能器的振动平面位于z = 0 平面 内，椭圆形活塞的几何中心位于原点d ，不失一般性，可设a 为长半轴长，b 为 短半轴长，并分别位于x 轴和y 轴上，如图3 2 所示。 第三章线性声场的计算 l y ( j 。 厂 、 0 毋。 x ；| 图3 2 椭圆彤沽蓉声源 因此，椭圆形声源函数可以表示为 帅弘 几r 巍佃户引， 令s = a b ，o r - 代入无量纲变量( 3 2 ) ，可以得到 蟛伽 ：扳圳裂，2 引， 则此椭圆形均匀活塞换能器的声源鬲数可以表示曲 “c 孝，f ，= c 挣c ( 脬) = 兰k = l 一。e 冲 一( 鲁毋善。+ 詈岛f 1 2 。 ( 31 2 ) ( 3 1 3 ) ( 3 1 4 ) 由( 3 1 1 ) 式和( 3 1 4 ) 式，椭圆形换能器声源辐射声场的分布函数可以表示为 “( 玎) = 兰a k g 2 ( 即；二b bkg 0 b 。b k ) 。(315)k=l “( ，f ，玎) = ( 掌，f ，即；_ 。 ( 3 “。 可以看出，这是由n 项二维高斯声束线性叠加而成，若取w e n 和b r e a z e a l e 所 给出的1 0 对系数，即是1 0 项二维高斯声束的线性叠加。 正如圆形均匀活塞换能器那样，椭圆形均匀活塞换能器的辐射声场分布是 没有解析表达式的( 除了在远场区域，即f r a u n h o f e r 区域，声场分布可以简单 地用一阶第一类贝塞尔函数来描述) 。t h o m p s o n 等人川给出了椭圆形活塞换能 器辐射声场的声轴上的声场分布积分表达式。我们这里用我们的符号将积分表 达式重新写出来 9 东南大学硕士学位论文 羽，o ，俨去卜唧l 而瓦p b 旧 其中，占= b a 是椭圆形活塞换能器声源的短半轴与长半轴长度之比。在轴外的 声场中，他们利用了c o o k 等人的方法，将声场分布函数展开为一系列的高斯 一厄密特函数的线性叠加，项数多至2 0 0 0 项以上( 比如4 7 x 4 7 ) 。我们给出利 用我们的方法得出的椭圆形均匀活塞换能器声场分布的计算结果，所有的参数 与t h o m p s o n 等人【4 】取的相一致。图3 3 为取不同的占= b a 值( 即椭圆形均匀 活塞换能器的短半轴长与长半轴长的长度之比) 时，椭圆形均匀活塞换能器声 源的声轴上的声场分布情况。同时，作为比较，图中也给出t ( 3 1 6 ) 式推出的精 确计算结果。其中，( a ) 和( e ) 是特殊情形，即圆形均匀活塞换能器辐射声场的情 况；( a ) - - ( d ) 表示的是近场区域的情况；( e ) 一( f ) 表示的是近场到远场的区域。可 以看到，我们的方法仅用了1 0 项高斯函数展开项，其结果却明显优于t h o m p s o n 等人所用的4 7 4 7 或4 1 4 1 项高斯一厄密特函数展开项所得的结果( 与 t h o m p s o n 等人的f i g 6 和f i g 7 比较，参考文献【4 ) 。图3 4 为典型的轴外声场 声强的分布情况。我们将我们的方法与远场的解析计算结果( 光束的指向性) 进行了比较，可以看到二者符合的很好。然而遗憾的是，其他文献没有提供椭 圆形均匀活塞换能器声源辐射声场的近场中声轴外的声场分布情况，因此不能 进行比较。 1 0 第三章线性声场的计算 25 20 m 15 口 j 拿1 0 d5 口口 0002d406口810 n o r ma l i z e dd i s t a n c es ( a ) 占= 1 ，a s s = 0 odd 204口60 日10 n o r m a l i z e dd i s l a n c es ( b ) 占= o 9 0 4 5 ，a s s = 0 1 0 8 6 4 2 0 b 6 4 2 0 2 1 1 ， ， 1 0 0 0 d d 口暑=alu 东南大学硕士学位论文 20 18 16 14 m 12 卫 暑1 0 拿0 8 06 04 02 0 0 0 0d 204060 81d n o r ma i i z e dd i s t a n c es 15 12 m d9 口 - m 0 6 03 d0 ( c ) 占= 0 7 7 3 8 ，a s s = 0 3 0口020 40 60 日10 n o r ma i i z e dd i s l a n c es f d ) 8 = 0 5 ，a s s = 0 6 1 2 第三章线性声场的计算 o 。d 三 = e m a 三 = 包 e n o r ma i i z e dd i s t a n c es ( e ) 占= 1 ，s s = 0 n o r m a l i z e dd i s l a r l c es ( f ) j = 0 5 ，；s = 0 6 1 3 东南大学硕士学位论文 15 12 o 0 9 可 3 e c z 0 6 口3 00 0 00 5101s20 n o r ma l i z e dd i s t a n c es ( g ) 占= 0 2 5 ，s s = 0 8 8 2 图3 3 变量万= b a 取不同的值时，沿声轴上的声场分布 归一化距离s 定义与t h 。m p s 。n 等人一致，叩= 七船，s = 罢( 占+ 去) 刁 s s = ( 1 一万2 ) ( 1 + 艿2 ) 。 1 4 第三章线性声场的计算 x 图3 4 分别使用高斯函数的展开方法与精确的解析表达式方法，对一个椭圆形 均匀活塞换能器声源的辐射声场的指向性类型( 在x z 平面内) 所做的比较。 这里。x = 砂2 研= b x 。 t h o m p s o n 等人也涉及到由一个双柱面镜头聚焦后的椭圆形活塞换能器声 源辐射的声场【4 1 。我们要指出的是在聚焦声场的情况下，也可以用我们的方法 方便地求出声场的分布函数。聚焦的效应可以( 近似) 等效为对平面活塞换能 器声源声场分布的空间调制。参考文献 7 和 8 o e 给出了具体的步骤，不过所涉 及的是圆形聚焦活塞换能器的辐射声场。这里我们仅给出椭圆形聚焦活塞换能 器声场分布的计算结果，如图3 5 所示。在所有的计算中，我们均采用表3 1 中 的1 0 对系数。 h皇c叫c一口n=嘟eioz 东南大学硕士学位论文 40 32 翟2 4 差 e 1 1 6 略 暑 de 00 000204060810 3 口 24 弓1 8 _ 兰 e 1 e 1 12 壁 聋 06 0 口 s ( a ) c 五4 d2 = 0 , 3 7 2 ，e = c o 0 口02d40 6081 口 s ( b ) t 4 口2 = 0 7 4 4 ，e = 。 e 和e 为参考文献 4 中定义的焦距 图3 5 用高斯展开方法计算的柱面圆形活塞( 占= b a = 1 ) 轴上声场分布 1 6 第三章线性声场的计算 3 6 利用高斯束的叠加计算矩形声场 假设在直角坐标平面内，一均匀矩形活塞换能器的振动平面位于z = 0 平面 内，矩形活塞的几何中心位于原点d ，不失一般性，可设a 为长半边长，b 为 短半边长，如图3 6 所示。 jl y ( ， 西 d a l 石r j 图3 , 6 矩形活塞声源 凼此，矩彤声源分币凼数口j 以定义为 m ，= 兰搿蚰， b ， 应用无量纲变量 2 ) 式，并令s = a b ，我们可以推出 吣。) = ：憎1 壤r 峰瓜， ( 3 18 ) 经过一定的变化，上式可以改写成 “( 孝，f t ) = c 护c ( i ? 谤) c 扣c ( ；i ? 百f ) ：f 羔4 懿p _ b ( 6 。) 尹】 f 兰a 。e x p _ b k ( 。6 ) 】 。 l = ljl 女= 】j 1 7 东南大学硕十学位论文 ( 3 1 9 ) 我们可以用推导( 3 8 ) 式的方法来将( 3 1 9 ) 式进一步展开成一般的二维高斯函数 的叠加，也可以直接从f 3 1 i ) 式推出矩形活塞换能器的声场分布为 蚶丘咖阻；斟阻g 心矧剐a b z 可以看出，这是由n 2 项的二维高斯声束线性叠加而成的，若取w e n 和 b r e a z e a l e 所得到的1 0 对系数，即n = 1 0 ，就是2 0 项的叠加。 直接从无量纲形式的f r e s n e l 场积分公式，即( 3 4 ) 式，可以写出矩形活塞声 源的场分布表达式为 吣蘑加刍陈陈唧 r l 蟛d f = 面1 s 东a l b e x ，华卜陈唧 ，坠箸p ( 3 2 1 ) 进一步可以得到 蟛寿加如后盼防f c 后萨倒 惰肛c 艮料 z z ， 这里的f ( z ) = c ( z ) + s ( z ) 是菲涅尔函数，是一种广泛应用于解决衍射问题的特 殊函数，有关内容在附录c 中将简单介绍。 我们分别应用( 3 2 0 ) 式和( 3 2 2 ) 式计算了矩形均匀活塞换能器声源的声场分 布函数，并比较结果。图3 7 给出了短半边长与长半边长之比b a 取不同的值 时，声轴上的声场场强分布情况。可以看到，用高斯展开方法计算所得到的结 果与用解析方法计算得到的精确解符合得非常好。仅仅在极近场区域内会有一 些差异。为了与以前其他学者计算的结果 2 5 ，2 6 1 ( 参考文献【2 6 】中的图3 和图5 ) 相比较，在这里所取的参数与参考文献f 2 6 1 中的一致。图3 8 给出了典型的声轴 外声场的声压分布情况。我们用高斯展开的方法计算了距离声源平面不同距离 的6 处声场的分布情况，并分别与运用( 3 2 2 ) 式，即用菲涅尔函数的方法进行数 1 8 塑三兰垡垡兰堑堕盐墨 。 值计 2 5 2 0 15 10 05 00 a x i a ld i s t a n c ez z ( a ) 正方形声源( b a = 1 ) 0 口0 000 50 1 口0 15口2 002 5口3 003 5口4 0 a x i a ld i s t a n c e z z o ( b ) 矩形声源( b a = 2 3 ) 精确的解析解高斯展开方法的结果 知= 4 a 2 五，z z o 为标准化坐标 图3 7 矩形均匀活塞换能器辐射声场的声轴( z ) 上声强分布情况( 高斯展开 方法的结果与精确解的比较) 1 9 东南大学硕士学位论文 罢 星 盖 苫 岩 至 墨 14 1 2 10 d8 翟g 6 皇 篓。4 。o z0 2 d0 r a d i a id i s t a n c e ( a ) t = o 0 2 0 002040 60 b101 214 161b20 r a d i a ld i s t a n c e ( b ) r = o 0 4 口3兰一c|l_c 第三章线性声场的计算 12 00 000 204060b1 d121416 1b2d r a d i a id i s t a n c e ( c ) t = 0 1 0002040 60b10 1 214161b20 r a d i a ld i s t a n c e ( d ) 叩= 0 2 0 8 6 4 2 1 d 0 0 口 刁了艘一cii_专dmnll幡luloz 6 4 2 0 8 6 4 2 d 1 1 1 1 0 d 口 0 d m可：息一c|山vnii略；jjoz 东南大学硕士学位论文 12 10 0 8 0 5 刁 m n 焉o 4 e 墨0 2 0 口 0 0d510152025303 540 r a d i a id i s t a n c e 亭 ( c ) 叩= 0 5 0 00 510152d253 03540 r a d i a ld i s t a n c e ( f ) 即= 1 精确的解析解一高斯展丌方法的结果 图3 8 矩形均匀活塞换能器辐射声场的声轴外声压分布情况的比较( x z 平面 上，在声轴上不同距离处) 6 4 2 0 8 6 4 2 0 1 1 1 1 0 0 0 口 d 可3兰一ci盖可mnll佰e_ioz 口=兰cie 第三章线性声场的计算 算得到的精确结果相比较。可以看到，除了在极近场区域内会有差异外，二者 的结果再一次符合得很好。 值得我们指出的是，我们的方法可以在其他的条件下应用。比如，带状活 塞换能器声源的辐射声场可以归结为一种特殊的矩形活塞换能器声源的情形。 3 7 小结 总之，我们已经提出了一种新的处理超声换能器辐射问题的方法，此方法 将复杂的菲涅尔场积分公式简化为一系列二维高斯束的线性叠加，可以方便地 运用在声源分布均匀的活塞声场计算中，并且换能器声源的形状没有圆形轴对 称的限制，并以椭圆形和矩形均匀活塞换能器声源为例，计算了其辐射声场的 分布，与相关参考文献中的结果进行了对比，表明了我们方法的有效性。 此外，场积分的表达式，即方程( 3 1 ) 和( 3 4 ) 也出现在许多其他涉及了衍射 问题的物理学分支学科和工程应用中，比如光学、电磁场的传播等。我们提供 的方法或者其改进形式仍然可以在这些领域中使用。 东南大学硕士学位论文 4 1 引言 第四章非线性声场的计算 2 0 世纪6 0 年代以来，声学中的非线性现象研究受到各国声学研究者的重 视，许多学者对些学科中的有限孔径声束非线性问题产生了浓厚的兴趣。这 些学科包括声学显微术( 如超声成像技术) 2 7 - 2 9 、超声致热3 ”、超声医疗( 如 超声碎石机) 、声参量阵【1 7 , 2 1 ，以及对有限振幅的声波进行声学非线性参数的测 量1 3 2 1 等。在这些声学系统中，声波的传播基本上都伴随有非线性效应和衍射现 象，同时还有媒质的声衰减和吸收效应。在许多场合下，早期的些关于聚焦 球面声源的理论分析难以精确地描述实验结果。 k z k 方程出现以来，许多学者对其进行了理论分析和实验研究，出现了各 种基于k z k 方程的数值计算方法，它们被应用到有限孔径声束的非线性传播的 研究中，包括聚焦声束。对于任意的声源，k z k 方程的数值解已经显示了其明 显的有效性，所得到的结果与相关的实验结果符合得很好【1 8 ，2 0 , 2 川。在这些方法 中，一个得到广泛应用的方法是傅立叶( f o u r i e r ) 展开方法( 也叫完全非线性 理论) ，也就是将声压函数展开成关于延迟时间的f o u r i e r 级数。相应的，谐波 ( 以及不同频率声波产生的谱分量) 就可以表示为无限个耦合微分方程，可以 用数值近似的方法，如有限差分法，截断并求出。 然而，用k z k 方程要得到高次谐波的解，必须运用一些复杂的计算方法， 费时费力，效率低下。在准线性近似( 也叫弱非线性近似) 条件下，许多学者 给出了非线性的二次、差频、和频声场分布的解析描述。所谓准线性近似，是 指以下两个条件下的近c a 0 ) 声压级或声强不太很高( 2 ) 所有高于二次的谐波认 为可以忽略不计。 幸运的是，一系列的研究成果已经部分克服了这个困难【2 ，3 ，7 1 。关键的思想 2 4 第四章非线性声场的计算 是基于一个假设，即声柬函数可以展开成为一系列基本函数的线性叠加，如高 斯函数、高斯一拉盖尔厄密特函数等1 3 1 。这样，就将菲涅尔场积分进行了展开， 研究声束函数的性质就变成对这些基本函数性质的研究，得出声场分布的解析 表达式，简化了计算。 这里，我们将w e n 和b r e a z e a l e 的工作【3 】作为一个已知结果，即任意一个轴 对称声束可以近似地展开成一系列的复系数高斯声束的线性叠加，将这一方法 推广到非线性二阶声场分布中，这样在准线性近似条件下得到作为所有高斯声 束自作用和相互作用的非线性项。得出的结果与先前的复杂方法得到的数值积 分结果符合得很好。 4 2k z k 方程的推广 f 商写出k z k 方程的无量纲形式 v 2 , _ 4 嗍8 2 蛳钟邓。等办 t ， 这里，可i = a 2 a 軎2 + a 2 o f 2 是横向拉普拉斯( l a p l a c i a n ) 算子；三个无量纲 坐标分别为告= i ，f = y i ，刁= 纠硝，s 是仅与声源面积相关的量，丑 为声波波长；归一化延迟时间f = c o ( t z 岛) ，珊为声波振动角频率，c 。为媒质 中声波的传播速度； f f = 知口，口为基波角频率q ( 即振动频率z = 甜2 x ) 时传播媒质的线性声吸收系数，z 。= k s 2 是半径为a 的圆形轴对称声源的瑞利 距离，而不是一般的形式胁2 2 ；芦= p p 。为无量纲声压，即归一化声压： = 驯2 a + 1 ，纠a 为非线性参量；k = 叫c 。为波数；为声马赫数。 在准线性近似下，k z k 方程的基波声场分布解以复数形式表示为 似劫= 等唧 z 盟学k n 彤够， 东南大学硕士学位论文 ( 4 2 ) 这就是菲涅尔场积分，通常是个二维积分。对于二次谐波声场分布可以表示为 聪绷= 石1e m ”i ：。一。k 4 酬而1 ( 善一舌。) 2 + ( f f ) 2 叩一可 玩2 c 考，f ，叩，d 孝d f d 印 ( 4 3 ) 这就是广义菲涅尔场积分，通常是个五维积分。不失一般性，我们在下面的分 析中忽略了方程( 4 2 ) 和方程( 4 3 ) 中含瓦的项。 设一个二维高斯束声源函数为 g 2 ( 掌，f ；坟，b ，) = e x p - ( b ，f 。2 + b ，f 1 2 ) 】， ( 4 4 ) 其中，峨和b 。一般为两个实部为正的复数。则由这个声源产生的高斯束辐射声 场分布函数可以表示为 g 2 ( 掌，f ，q ；b ，b ，) = g i ( 已r ；b ，) g 1 ( 厶r ；b ，) ， ( 4 5 ) 其中，两个g 的形式为 g 心朋耻而1e x p ( 一堕1 + i b z l ，) s ， 表示的是一维高斯束声场分布函数。在这其中的推导过程中，我们用到了等式 关系( 3 1 0 ) ，具体推导步骤可以参考附录b 的相关内容。 现在，我们假设声源分布函数玩( 掌，f 。) 可以用一系列的二维高斯函数展开 为 玩( 舌，f ) = a 。g 2 ( 毒，f ；占，( 七) ，b ，( 七) ) ， ( 4 7 ) 所