（物理电子学专业论文）多层结构电磁计算的高效算法研究.pdf

浙江大学硕士学位论文 摘要 本文主要研究了在多平面分层情况下任意形状物体的电磁辐射问题。要解 决该问题需要通过两个步骤，首先需要得到准确的空域格林函数值，其次需要 应用矩量法( m o m ) 或其他加速方法来计算其辐射场。 针对第一个步骤，本文首先分析了混合位电场积分方程( m p i e ) 的三种形 式，分别是f o r m u l a t i o na ，b ，c ，并阐述了选择f o r m u l a t i o nc 的原因。根据该 方程得到谱域格林函数之后，分别使用索末菲尔德积分、离散复镜像法( d c i m ) 和改进型g e 法这三种方法来得到空域格林函数，其中特别考虑了屏蔽结构的 情况。在该结构中，d c i m 由于为了方便的使用索末菲尔德恒等式而引入了人 工支点( 在屏蔽结构中不存在支点) ，使得g p o f 的指数模拟产生误差从而导致 了空域格林函数的震荡，而在改进型g e 法中，g p o f 对谱域格林函数直接进 行模拟，并使用解析恒等式，因此可以在根本上避免人工支点，从而得到准确 的空域格林函数。 针对第二个步骤，本文分析了一种矩量法的加速算法多级别格林函数插值 ( m l g f i m ) ，验证了该方法较之矩量法所显示的加速效果。本文讨论了计算远 场辐射场的方法。这个问题不能简单的通过m p i e 得到，而应该通过互易定理 ( r e c i p r o c i t yt h e o r e m ) 的方法。 最后本文分析了计算波导格林函数的问题。由于集成电路的高速发展，这 一问题日益得到研究人员的关注。之前主要采用的方法包括镜像法和d c i m ， 但是在镜像法中，若采样点较多，其计算虽然准确但是比较缓慢，而在d c i m 中，由于波导结构可以看成是一个屏蔽结构具有多个源点的问题，因此由于前 述的人工支点问题而导致结果的不正确。改进型g e 法可以应用于这类结构中， 并成为一个理想的候选者。 关键词：多层微带天线，离散复镜像法，多级别格林函数插值 一l l 浙江大学硕士学位论文 a b s t r a c t i nt h i sp a p e r , w em a i n l yf o c u so nt h ee mr a d i a t i o no ft h ea r b i t r a r ys h a p e d o b j e c ti nt h em u l t i l a y e r e ds t r u c t u r e t h e r ea r et w os t e p st os l o v et h i sp r o b l e m ：f i r s t w en e e da c c u r a t es p a t i a l - d o m a i ng r e e n sf u n c t i o n s ，a n ds e c o n dw en e e dt oa p p l y m o mo ro t h e ra c c e r a t e dm e t h o d st oc o m p u t et h er a d i a t i o np r o b l e m f o rt h ef i r s ts t e p ，w ea n a l y z et h et h r e ef o r m so fm p i e ，n a m e df o r m u l a t i o na ，b a n dc ，a n di l l u s t r a t et h er e a s o nw ec h o o s ef o r m u l a t i o nc b a s e do nt h eo b t a i n e d s p e c t r a l d o m a i ng r e e n sf u n c t i o n s ，w eu s es o m m e r f e l di n t e g r a l s ，d i s c r e t ec o m p l e x i m a g em e t h o d ( d c i m ) a n dt h ei m p r o v e d g e sm e t h o dt o c o m p u t e t h e s p a t i a l d o m a i ng r e e n sf u n c t i o n s ，r e s p e c t i v e l y e s p e c i a l l yw h e nt h ef i r s ti n t e r f a c e a n dt h el a s ti n t e r f a c ea r eb o t hp e c s ，i nt h ed c i m ，i no r d e rt ou s et h es o m m e r f e l d i d e n t i t yc o n v e n i e n t l yw i t ht h ee m e r g e n c yo fa na r t i f i c i a lb r a n c hp o i n t ，w h i c hd o e s n o tp h y s i c a l l ye x i s t ，m a k e st h ei n c o r r e c to ft h ev a l u e ss i m u l a t e db yt h eg p o f , r e s u l t i n gi nt h eo s c i l l a t i o no ft h es p a t i a l - d o m a i ng r e e n f u n c t i o n s ，w h i l ei nt h e i m p r o v e dg e sm e t h o d ，g p o fs i m u l a t e st h es p e c t r a l - d o m a i ng r e e n sf u n c t i o n s d i r e c t l ya n dc a na v o i dt h ea r t i f i c a lb r a n c hp o i n t ，w h i c hm a k e sp o s s i b l eo fo b t a i n i n g t h ea c c u r a t es p a t i a l - d o m a i ng r e e n sf u n c t i o n s f o rt h es e c o n ds t e p ，w ea n a l y z eam o m - b a s e da c c e r a t e dm e t h o d ，t h em l g f i m ， a n dd e m o n s t r a t ei t sc o m p l e x i t yh a sa d v a n t a g eo v e rm o m a l s o ，w ed i s c u s st h e r a d i a t i o np r o b l e mo ft h ef a rf i e l d t h i sp r o b l e mc a n n o tb es o l v e db ys i m p l ya p p l y i n g m p i e ，b u tb ye m p l o y i n gt h er e c i p r o c i t yt h e o r e m a tl a s t ，w ed i s c u s st h ec a l c u l a t i o no ft h el a y e r e dg r e e n sf u n c t i o n si nt h e r e c t a n g u l a rw a v e g u i d e d u et ot h eh i g h - s p e e dd e v e l o p m e n to ft h ei n t e g r a t e dc i r c u i t s ， t h i sp r o b l e ma t t r a c t sm o r ea n dm o r ea t t e n t i o n e a r l i e r , r e s e a r c h e r sm a i n l yu s et h e i m a g em e t h o da n dt h ed c i m ，b u ti nt h ei m a g em e t h o d ，t h o u g ha c c u r a t e ，i tb e c o m e s c u m b e r s o m ew h e nt h en u m b e ro fs a m p l e ds o u c ep o i n tb e c o m e sl a r g e ；i nt h ed c i m ， b e c a u s et h ew a v e g u i d ec a nb es e e na sal o to fs o u c ep o i n t si ns h i e l d e ds t r u c t u r e ，t h e e m e r g e n c yo ft h ea r t i f i c i a lb r a n c hp o i n tm a k e si ti n c o r r e c t t h ei m p r o v e dg e s 一1 1 1 浙江大学硕士学位论文 m e t h o dc a nb ea g o o dc a n d i d a t o rt os o l v et h i sk i n do fp r o b l e m s k e y w o r d s ：m u l t i l a y e r e dm i c r o s t r i pa n t e n n a ，d c i m ，m l g f i m l v 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的 研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其 他人己经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得堑婆苤茎或其他教育机 构的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献 均己在论文中作了明确的说明并表示谢意。 学位论文作者签名：李玖 签字r 期：函f o年；月同 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解逝望盘鲎 有关保留、使用学位论文的规定， 有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和 借阅。本人授权堑壅苤鲎可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库 进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学位论文作者签名：李玖 导9 币签名： 形纱f 签字日期：支f ，年；月厂日 签字日期： 一扣年) 月x 日 学位论文作者毕业后去向： 工作单位： 通讯地址： 电话： 邮编： 浙江大学硕士学位论文 致谢 在论文完成之际，我要感谢我的导师王浩刚副教授，他在我的专业学习、 业余生活等方面都对我给予了无微不至的关怀。王老师严谨的学术态度、对于 一切科研工作的高标准要求和对于行业未来发展的高瞻远瞩，都给了深刻的印 象。 我要感谢杜阳副教授、李凯研究员在学习上给我的指导。我要感谢已经毕 业的武俊、赵鹏、柳良等师兄，是他们对于我的学业上的问题给予了细心的指 导。我还要感谢我实验室的同学，在与他们的交流中，很多的难题都迎刃而解 了。 最后我还要感谢我的家人和朋友的关心和支持。 浙江大学硕上学位论文 第一章绪论 1 1 研究工作的背景和意义 随着经济和技术的发展，在航空、军事以及一些商业应用上，比如广播和 无线通信，对于尺寸、重量和价格等因素具有很高的限制，而恰恰微带天线可 以满足上述要求。这种天线具有尺寸小、重量轻以及价格便宜等特点，同时可 以很容易用于制作印刷电路板。由此，微带天线从上个世纪7 0 年代开始得到了 大规模的应用。但是微带天线也有其缺点，其中很重要的一点就是其带宽利用 率低，频带比较窄，一般而言，带宽低于1 0 。因此，在保持微带天线的上述 优点的同时如何提高其带宽成为研究人员的一个重要课题。 目前提高带宽的方式有以下几种：采用特殊材料的介质基片、附加阻抗匹 配网络、天线加载、采用l - p r o b e 等特殊形式以及采用多层介质基片【1 】。其中 采用多层介质基片的方法就是将两块甚至更多天线置于介电常数不同的基片 上，并用一个通孔( v i a ) 穿过最底层介质与下层的天线连接，上层的天线称为 寄生天线，下层的天线称为驱动天线。通常这样的馈电方式有两种，一种是在 通孔的下部加电压，另一种是采用磁流环的方式，其工作原理是无论采取何种 馈电方式，其目的是让通孔产生垂直电流，进而激励两块天线也产生感应电流。 采用这样的方法后，在保证微带天线自身的优点的同时，可以加大带宽 2 】。 然而对于在多层结构下的微带天线的研究是一个十分困难的课题，其面临 着多个难题，首先是多层格林函数的计算。其次是在获得格林函数之后，对于 天线的辐射或者散射的计算。 对于第一个问题，多层格林函数的计算，最早采用的索末菲尔德积分是一 个严谨、精确的积分，但是由于其被积分函数的高度震荡性，其数值积分是一 个非常缓慢的过程。研究人员对于如何提高其运算速度想了很多的方法，其中 应用比较广泛的，是方大纲、杨建军、yl c h o w 等人提出的离散复镜像法【3 】- 【4 】， 之后又有很多学者，如f l i n g ，m i a k s u n 等人在此基础上提出了一些改进 【5 】- 【6 】。目前，总体而言，离散复镜像法是计算多层格林函数最有效的方法， 浙江大学硕士学位论文 但是本文会在后面的章节提出，在特定的某些结构下，离散复镜像法并不能得 到令人满意的结果，而我们也会提出一种新的方法来计算离散复镜像所不能计 算的情况。 第二个问题，就是如何来计算多层平面天线的辐射或者散射问题。分析多 层平面天线的辐射或散射问题的实质，就是如何应用矩量法来计算该天线所产 生的场。r o g e reh a r r i n g t o n 于上个世纪6 0 年代提出矩量法的定义和用法，其 基本思想就是变函数运算为矩阵运算，然后通过已经的一些矩阵处理的技术来 解决该运算。该方法的主要特点就是精确，但是其缺点是缓慢。因此，如何来 加速矩量法的计算也是一个非常重要的课题。现有的一些方法，如快速多极子 ( f m m ，f a s tm u l t i p l em e t h o d ) 【7 】，共轭梯度快速傅里叶变换( c g f f t , c o n j u g a t e g r a d i e n tf a s tf o u r i e rt r a n s f o r m ) 【8 】等方法。但是，这些方法都有一定的局限性， 如快速多极子，该方法依赖于特定问题所使用的格林函数的类型，而共轭梯度 快速傅里叶变换虽然独立于格林函数，并且其复杂度为o ( n l o g n ) ，但是由于其 需要相同刻度的离散，其效率严重依赖于所需解决的问题的几何结构【9 】。因此， 本文研究了一种新的加速算法，称之为多级别格林函数插值，其详细内容将在 后面的章节进行阐述。 1 2 本文的主要工作 本文主要研究内容为以下几个方面： 第一，多层结构中，应用混合位电场积分方程( m p i e ) 【1 0 来得到空域格 林函数之后，如何采用离散复镜像法和我们所提出的一种称之为g e 法来计算 多层格林函数。这部分的工作主要有： 分析混合位电场积分方程的三种方式，并分析何种方式比较适合多层天 线的结构。 应用索末菲尔德积分、离散复镜像法和g e 方法来计算不同类型的多层 格林函数。 从原理上分析为什么在某些情况下离散复镜像法不能精确的计算格林 函数。 第二，应用矩量法和多级别格林函数插值来计算多层天线的辐射和散射问 一2 一 浙江大学硕士学位论文 题。这部分的主要工作包括： 分析在已知入射波的情况下，应用互易定理来分析多层天线的辐射和散 射问题，并推导其全部的过程。 推导在多层结构情况下的多级别格林函数插值公式，并分析其计算复杂 度。 第三，分析在波导结构中，应用g e 法来计算其格林函数，并分析其成为计 算波导格林函数的一个重要的选择的原因。 一3 一 浙江大学硕十学位论文 2 1 引言 第二章多层格林函数计算 在自由空间中，任意形状的物体的电磁辐射和散射问题主要采用的是矩量 法程序。这些程序是基于电场积分方程的。混合位电场积分方程( m p i e ) 较之 于电场积分方程( e f i e ) 的其他形式，有一定的优势，因为m p i e 只要求格林 函数表达为势的形式，这样的话，具有较少的奇异性。r a o ，w i l t o n 和g l i s s o n 在1 9 8 2 年率先提出了对于自由空间中任意形状的完美电导体的电磁建模，使用 了三角形基函数 1 1 】。然而在多层结构中，用m p i e 来分析任意形状物体的电磁 建模并不是一件容易的事情。m i c h a l s k i 和z h e n g 提出的适用于在多层结构中的 任意形状的m p i e 公式具有划时代的里程碑的意义【1 1 】。本章将对该m p i e 的三 组公式进行分析，并说明选择f o r m u l a t i o nc 的原因。 在前面已经说到，对于索木菲尔德积分而言，由于其被积函数是一个震荡 很剧烈并且衰减缓慢的函数，因此可以预料到其积分过程是一个耗时的过程。 方大纲等教授提出的离散复镜像法是一个很好的替代工具，在大多数的情况下， 离散复镜像法都能快速准确的得到多平面分层格林函数。但是我们发现在一些 特定的情况下，离散复镜像法会失效，我们之后会分析为什么离散复镜像法会 得不到正确的结果。最后，还会分析在屏蔽结构中，如何高效的计算其格林函 数。 2 2 混合位电场积分方程 首先我们考虑这样的一个结构，如图2 1 所示，考虑对该任意形状的电磁 建模。该结构有n 个界面，那么就有n + l 层。该任意形状的物体完全在整个多 层结构当中。我们不考虑场点和源点位于第一层或者最后一层的情况，这样的 情况的格林函数都是非常容易计算的。 该完美电导体在该多层结构中占据了p 层，其中1 p n + l 。设s 是该电 导体在f 层的表面，而胁是垂直于该表面的单位向量。时谐场的入射电场是e 。 假设在完美电导体上面的电流密度为，那么考虑边界条件，我们可以得 一4 一 浙江大学硕士学位论文 到： a , ，q 一九已5 ( 芦) = 丸e ：1 ：尹) t z - t 2 ，占2 z2 z l z 2 兰叠兰叠二一一z h z i 1 z f z i + l 兰生二童二一二l 一z 。一， ”n ，s 。 图2 1 完全埋在多层结构中的任意形状的物体 ( 2 1 ) 由于散射场可以很容易由矢量位和标量位表示出来，那么上式中的入射场可以 很容易的写为 一重0 5 ( 芦) = z j 6 0 a ”( 尹) + v 妒”7 ( 尹) ( 2 2 ) ，e 其中矢量位可以表示成 a “( i ) = 1 0 7 ( ri 厂 ) j ( r ) 豳 ( 2 3 ) 其中的格林函数可以有两种形式： = m f g a = ( x x + y y ) g 罢 + z 蝶+ z 群+ z z g 三 ( 2 4 a ) = ：埘j g a = x x g 三；+ j ，y g 嚣+ ( x y + j ，x ) g 万+ z z g 。m ( 2 4 b ) 而根据洛伦兹条件，标量位和矢量位又具有以下的关系 一5 一 浙江大学硕士学位论文 2 嚣阢够) 而同时上式中的左边，根据 1 2 】又可以表示为 ( 2 5 ) 西= 一击唾印2 ( 7 ) a s ( 2 6 ) 对上式的右边使用矢量恒等式，那么上式可以表示成 专嗔v 哼( r r 3 j ( 4 r ) d s ( 2 7 ) 那么可以将( 2 3 ) 和( 2 7 ) 代x ( 2 5 ) ，从而得到 学v 面c 7 1 7 ) = 1 扣v w ( r 1 7 5 ( 2 8 ) 上式对于均匀介质可以成立。但是对于更一般的情况而言，上式并不能成立。 因此，需要在上式加入一个修正项才能在多层结构的情况下也成立。所以，需 要将上式修改为 窨v 赘( r l7 3 ：士v ，秽( 币- ) + j e p ”( 币) ( 2 9 ) k m j m 那么很容易可以得到 k 絮，i ，i ) = g ：川r ) + v p ”( r i ，i ) ( 2 1 0 ) 对于上式的推导将会在本章的最后给出。从上面可以看到，需要在并矢核里面 加入了一个新的变量，所以该新的量最好有一项或者两项为零，从而使得该并 矢核可以尽可能的简单一些。由于”的x 和y 分量不独立，因此只能是 ? 。o ，了o ，罗：0 或者，：罗：o ，朋0 ，另外否：有两种形式( 2 4 a ) 和 ( 2 4 b ) ，因此，一共有四种情况，然后由于其中的两种情况是一样的，所以总共 有三种情况，分别被命名为f o r m u l a t i o na ，b ，c 。 f o r m u l a t i o na ： 假设一p ”x = 罗：o ，? o 而格林函数使用( 2 4 b ) ，这样并矢核可以表示为 k a 行予= 妓k ：+ 谤k ：+ 2 2 k 芝+ q 醪+ 秘b k ；+ x z k 。r a l + 辨k ： q 1 1 ) 一6 一 w l l l 八于暇j 于比比x 一 其中的分量分别为 群= 2 击 屯2 氐c 去戗，+ & c 砩，+ c o 义2 力& 毒( 戗一惫戗 c 2 胞， 粝2 啄2 去 砖蹦去戗，+ & c 戗，一c o 文2 。最 毒( 戗一篆戗 c 2 m ， 砖= 瞄2 扣咄。阱2 7 缸7 - 亿 磁：竽_ _ c 。s f s ( 一 (215)ox 、， 鹾= 雩7 = - s i n g 妒) ( 2 1 6 ) k m l = a ：。+ 吉p m l = 而j t 厶i s 。l e ，) ( 2 1 7 ) c l z l 8 、。 弘巾文譬 亿 在( 2 1 8 ) 中，当源点在不同层的界面上时，群i 是连续的，但是当场点在不同层 的界面上的的时候，k g r t l k z ( 册+ 1 ) ，因此f o r m u l a t i o n a 不适用在多层的结构中。 f o r m u l a t i o nb ： 假设? o ，髟o ，? = o ，而格林函数仍然使用( 2 4 b ) ，这样并矢核为 厄( 尹l ， ) = 胍 。r n i + 螂孑+ 蛾+ ( 黟+ 弦) 砖+ 姒 。r a i + 驰箩 ( 2 1 9 ) 其中分量分别为 群= + 罢2 击陋& 陡磁 吲砩) 十c o s 弩逻隐降一篆戡 c 2 加， 磅= 嘭+ 等2 去陋& 怯戗 + s ( 砩) _ c o s 弩，& 窿降一筹磁 c 2 埘， 砖啼- 秽g - = 扫啮是阶2 一矧m i ) 亿2 2 ， 一7 一 浙江大学硕士学位论文 硭= 譬呼文蛩 ? 2 i 占一庀二 磅= 譬蚓畛文瞥 艺 艺 ( 2 2 3 ) ( 2 2 4 ) ( 2 2 5 ) ( 2 2 6 ) q ! e ( 2 2 6 ) q b ，当场点位于不同层之间的界面上时，群是连续的，但是当源点位 于不同层的界面上，很明显可以看到七。k 却+ 1 ) ，因此是不连续的。从而我 们可以知道f o r m u l a t i o nb 在多层结构上同样不适合。 f o r m u l a t i o nc ： 假设卅f ：；：o ，卅f 0 ，而格林函数使用( 2 4 a ) 的形式，这样可以较容易 的得到并矢核为 r a 盱予= i 、效+ s ) 妨k 罢+ 受i k 芝+ p - 乡k 7 + 2 交k 三+ 艺5 ) k ：+ 2 2 k 芝 q 2 7 ) 该式中的分量分别是 硭：畔：_ 1 & ( g 。v h ) 硭=掣一去cosf，s怯pox，c 孵一篆酩) j 缈i 七二 i ( 2 2 8 ) ( 2 2 9 ) 啄= 等= 一旦f l o g , s i n f s 陆c 嘭一等酩) c 2 加， 尺：= g 嚣= 一了b c 。s f s 吉( 等矿：一矿1 ， # 1 1 c 2 3 ， 磅= 哕= 一击s i n f s 吉( 怎形：一旷伪m i c 2 垃， 昏辨攀=兰sp筹(缸坦ral02 j c o c 亿3 3 ，ik 川 尼m lj 。q卟叫 ，l m一2” 驰 戗虿粤l | ：q 嘭 。= 叫 m 碍 k 浙江大学硕士学位论文 尺7 = 缈孓 主c g ：一g 2 ， c 2 3 4 ， 其中引入的变量的意义是 以代表在f 层的相对磁导率，而e 代表在i 层的相对电导率( 这两个系数均包括 了在第f 个界面的情况) 。以是径向波数，而表示垂直波数。 当m = i 时， 彬= 鑫弦舭小2 引一只q e - j k j i 2 z - ( z + z ) + 2 户，t _ i e - j 2 w s i n 蹦删】 ( 2 3 5 ) 当m i 时， 虬一鲁形， ( 2 3 6 ) 在上面的各个公式里面用到的一些傅里叶变换的关系有 x x = c o s ，y y = c s i n ( 2 3 7 a ) t = c o s a ，k y = k p s i n a ( 2 3 7 b ) 其中 孝= e 了二二巧f j 而，f = a r c t a n l ( y x 一- y 石 ) ( 2 3 7 c ) = 厉，口a n 亿3 7 d ， 叭季( 纠= 去。黔0 w p 彬+ 1 ( 2 3 7 e ) f t 一1 ；( ) ) = & ；( ) 】 ( 2 3 7 0 f t 一1 儿；( ) ) = c o s f s 【；( ) 】 ( 2 3 7 9 ) 刀一1 以；( ) ) = s i n ( s o g ( k p ) ( 2 3 7 h ) 刀一1 ；( ) ) = 一昙 c 。s 2 f 曼【；( 知) 】一& 【磅；( 以) 】) ( 2 3 7 i ) 刀一1 杉；( ) ) = 圭 c 。s 2 f 【；( ) 】+ & 峨( 删( 2 3 7 j ) 浙江大学硕士学位论文 当m i 时， 当m = i 时， 刀一1 t 砖；( 如) ) = 一尹1 2 f ；( 杉) 】( 2 3 7 k ) g ：。( z ，z ) = g ：( z ，z ) 于：。( z ) ( 2 3 8 ) g ：( z ，z 7 ) = z z 。- e - j k , , l - e l + 0 ( z ，z ) ( 2 3 9 ) 弛z ) 2 五1 i = - , f l - j k n ( z + z ) - 2 z , l + f 一一州) 】+ 霉t - 1 e - j 2 ”c o s k 。( z 一硼) ( 2 4 。) 当m o o ，即恕一 0 0 ，那么上式只剩下了一个常数项，一般而言，这个值可 以设为自由空间波长的l e l 5 1 e 2 0 倍。因此，谱域格林函数的准静态部分可以 描述为 o ( k p ) = 瓦x o ( 2 5 7 ) 其次是对于表面波贡献的提取是一个很重要同时也是有一定困难的过程。 在一些文献中，有学者提出可以使用某些路径而避免提取表面波，如 1 5 ，但是 我们通过研究发现，只有在某些特定的情况下可以不提取表面波，而在更一般 一1 5 浙江大学硕士学位论文 的情况下，不提取表面波往往导致最后的结果不如意。b h u 和w c c h e w 提 出了一种适用于多层结构的极点查找法 2 3 ，而f l i n g 和j 一m j i n 则提出 了可以方便的使用索末菲尔德恒等式的表面波的式子 5 。 从留数定理，我们可以知道，其空域的贡献可以表示为 瓯= 2 万尺邸磁( k p ，。p ) ( 2 5 8 ) 如何从其空域的表达式反推到其谱域的表达式? 本章的后面将会给出其推导过 程。其结果是 否w = 瓢2 k r e s g l l p , n j t ” ( 2 5 9 )g w 2 碍了 2 侧 因此，如果我们将提取了准静态项和表面波贡献之后的谱域格林函数用复镜像 来模拟的话，就显得比较容易。提取了这两部分之后的谱域格林函数可以表达 为 酏) = 裂 ( 2 6 。) 其中 e ( 杉) = f ( k p ) 一k 一2 成瓯( ) ( 2 6 1 ) 接下来，最理想的结果就是，我们能够用指数展开的方式来模拟上面的式子。 e ( ) = b , e 墨k ( 2 6 2 ) 这部分的工作，我们可以应用g p o f 来实现。一般而言，g p o f 有足够的精确度 了，但是在某些特定的情况下，例如，谱域格林函数有剧烈的震荡，那么应用 m p m 可以有更好的结果。 下面将简单的介绍一下g p o f 。一般p r o n y 方法的话需要两步来完成，首先 是解一个矩阵方程，其次是解一个多项式的根，另外p r o n y 法对于噪声的抗干 扰能力很弱。而g p o f 一般通过解一个通用的特征值的问题，并且具有一定的抗 噪声能力。首先一个电磁响应的采样可以描述为 以= 岛e 墨跚 ( 2 6 3 ) 其中6 ，就是上面所需要的两个系数。其中k = 0 ，1 ，n - 1 ，令z f = e x p ( s f l t ) 。 一1 6 浙江大学硕士学位论文 考虑这样的信息序列：j i 0 ，y 。j ，萝。其中萝，= 【只，y ，咒+ 士。】7 。定义两个 矩阵，：和k 为 这样我们可以得到 x = 或，萝，萝】 艺= 【只，萝：萝。】 ( 2 6 4 ) ( 2 6 5 ) k = z l b z ：，艺= z l z 2 ( 2 6 6 ) 本章的最后一节将会给出上式的推导过程。 对i 进行奇异值分解，则可以得到 x = q v 7 = u d v h i = l m 式中， ( 2 6 7 ) u = 【玩，d 2 ，a m 】，v 2 f l ，i 2 ，哥m 】，d = d i a g a l ，盯2 ，盯m 】( 2 6 8 ) 由矩阵运算可以容易知道 ( z z f ，) 乏= 0 ( 2 6 9 ) 由此，可以知道互是z 的特征值，而乙为z 的特征向量。由此，我们可以求出 上面所需6 ，。对于g p o f 的精确问题，我们发现在有些例子中，在提取了表面 波和准静态项贡献后，用指数来模拟并不能取得很好的结果，因此我们采取的 措施是，用这部分的谱域格林函数减去指数后，采用数值计算，而这个部分花 的时间并不多，有时候却能很大程度上提高精度，尤其是在谱域格林函数衰减 很慢的例子中。 g p o f 和p r o n y 方法都需要均匀的采样，因此可能需要几百个采样点来模拟 衰减缓慢且震荡剧烈的函数，即使是在一个很小的区间内，而这通常是谱域格 林函数的常态，由此给后面应用矩量法和其他加速算法带来了一定的困难。因 此，我们需要改变原来的一级近似改为二级近似，这样可以使得谱域格林函数 的贡献可以计算的更准确一些。 在文献 3 卜 4 中，其七，。平面上的积分路径为 一1 7 浙江大学硕士学位论文 k = k , e - j t + ( 1 一) 】，0a t r o ( 2 7 0 ) 0 如图2 5 所示， k n 的最大值为屯= 一风瓦，这个值并不足以使得被积函数的 贡献都被考虑在内。因此，m 1 a k s u n 在【6 】提出了在这个积分路径的基础上进 行延长。这样，使得谱域格林函数的贡献能尽可能的被考虑在内。 j i m ( k ) k s k 透 一j k s r o 图2 5 初始的d c i m 积分路径 改进后的积分路径为 r， k ：j 叫“1 _ 0 o o 的时候有支点) 。而我们一般用离散复 镜像法计算的时候，我们通常在谱域格林函数的分子分母同时乘以2 成，使得 一2 5 浙江大学硕士学位论文 可以方便的应用索末菲尔德恒等式( 如式( 2 5 5 ) ) 。但是这样就会产生一个问 题：当后口= 屯的时候，那么会导致k = 0 ( 在这个例子中，熟= 1 3 3 7 7 9 2 ) ，从 而会产生一个物理上不存在的人工“支点”。而f ( k p ) 在这个所谓的“支点”处 并不可导。我们对该“支点”附近的区域进行采样，发现真实值和采样值并不 吻合，如图2 1 0 ( a ) 所示，而图2 1 0 ( b ) 展示了在该临近区域的采样的详细信息， 很明显可以发现，这里有一个支点，而本来在这样的结构中，是不应该有支点 的。由此可见，离散复镜像法人为的制造了误差，造成了后面的空域格林函数 部分的误差。 r e l k p ) 图2 1 0 ( a ) 谱域格林函数的采样值和g p o f 的模拟值 一2 6 一 c一再eo口i憾j_uo盘田c一一o一 浙江大学硕士学位论文 c 叮 e o i 乞 o 研 c _ 一 图2 1 0 ( b ) 在该人工支点附近的详细的采样值 g e 和e s s e l l e 提出了一种新的算法，我们称之为g e 法【1 5 】。f 向将简单的 分析一下这篇文献中所提出的全新的方法。首先，我们对g ( 吒) 而不是f ( k p ) 用 g p o f 沿着屋顶型的积分路径( 图2 1 1 ) 进行指数展开，并且不需要进行表面波 和准静态项的贡献的提取，然后重新改写索末菲尔德积分为 否( 乃) = 矿嘶 ( 2 7 2 ) f 否( ) 厶( p ) k p d k p = m 勿f p 一岛厶( p ) 嘭 ( 2 7 3 ) 接着，需要使用在【2 5 中出现的一个解析的恒等式 r p 一町9 ，。( 七pp ) 七pd 七p 2i 卉 2 7 4 下面简单分析一下该积分路径，我们发现这是一个屋顶型的积分路径，并且很 容易写出其在路径上的表达式 e ：刮+ 寺，o 佟f o ( 2 7 5 ) 托纠+ 耥，t o t ( 2 7 6 ) 一2 7 浙江大学硕士学位论文 l l m ( k p ) p o l e 夕入 p o l e 图2 1 l 该屋顶型的积分路径 g e ( k p ) 我们按照原著作者的建议，设置r o = 1 0 ，t o = 2 毛，t l = 1 0 k , ，然后来使用该方法 来计算上面的这个屏蔽结构的格林函数，其结果为下图。很明显可以发现，这 个结果并不能令人满意。究其原因，我们认为原来的g e 法有一些地方需要进行 改进。 图2 1 2g e 法所得到的结果和s i 的比较 一2 8 浙江大学硕士学位论文 改进点1 ：提取表面波的贡献 我们都知道，表面波的贡献永远是很大的，甚至在有些例子中，谱域格林 函数主要就是表面波的部分，因此，我们认为在应用g e 法之前，首先需要提取 表面波和准静态项的部分。下图展示的是对原g e 法进行的唯一一点改进就是提 取表面波，我们发现其结果有了明显的好转，这就是说，提取表面波的部分是 必需的。 g ( k p ) = g - g 驴一g 。 ( 2 7 7 ) 其中g 邯表示准静态项的贡献，而g ，表示表面波的贡献。 图2 1 3 提取了表面波之后的g e 法有了明显的改进 改进点2 ：采用全新的积分路径 g e 法之所以要用屋顶型的积分路径是要避开一些支割线和极点，那么如果 没有支割线同时极点的作用也可以准确的提取出来，那么事实上我们完全可以 采取在七。实轴上积分。这样的积分路径有利于编程，比较的简单，对于后。表达 也较容易。同时，我们认为原来的积分路径的k 。的最大值也不够大，需要延长 在实轴上的部分，因此我们建议的新的积分路径如图2 1 4 所示。 一2 9 浙江大学硕士学位论文 j i m ( ) 图2 1 4 我们所建议的积分路径 r e ( k p ) 但是我们发现了另外一个问题，就是提取了表面波之后的谱域格林函数有 时候在某些区域或者只是在一个点并不光滑。而这是由于机器的精度问题，使 用程序得到的极点位置与真实的极点位置总是不完全相同，因此，需要使用一 个平滑技术来光滑这个曲线。其关键步骤是： 1 ) ，首先确定最接近极点位置的一个点p ； 2 ) ，对p 点的左侧进行前向差分； 3 ) ，检查对于p 点左侧的每两个点之间的相对误差是否超过一个临界值，比如 0 0 1 ，如果超过了这个临界值，我们就认定这个点为反常点。否则就认为这个 点是j 下常点。 4 ) ，同样对于p 点的右侧也进行同样的操作。这样，我们可以确定所有的正常 点和反场点。对于反场点，我们用两边的正常点来插值这些反常值。 图2 1 5 ( a ) 展示的是在该极点周围的谱域格林函数平滑前和平滑后的结果( 在 这个例子中，实轴上只有一个极点，为k p = ( 2 8 0 9 7 6 ，- 2 5 5 1 7 7 e 一1 5 ) ) ；图2 1 5 ( b ) 则展示了实轴在2 8 0 到2 8 2 之间的详细信息。从中可以看到，应用了平滑技术 之后，谱域格林函数变得非常光滑，而这对于g p o f 的应用来说，是个非常重要 的前提。 通过上面的步骤之后，再应用解析恒等式，可以得到空域格林函数，拿这 个结果与索末菲尔德积分的结果进行比较的话，会发现他们是非常吻合的，如 图2 1 6 所示。 一3 0 浙江大学硕士学位论文 9 0 8 5 7 0 6 0 5 0 4 0 3 0 02 0 04 0 06 0 08 0 01 0 0 01 2 0 0 r e ( k p ) 图2 1 5 ( a ) 谱域格林函数平滑前后的差别 ： 二 - - - u n s m o o t h e d u ： _- _ ns m o o t h e d ： ，i - _ - 1 jl - j i 。 - i j i ： j 二_ j ： j ： j j i ：- l j i - i - jl ： 一一一， ，一一一一一一- i - - 一一一 一 2 8 02 8 0 52 8 12 8 1 52 8 2 r e ( k p ) 图2 1 5 ( b ) 在该极点附近的详细信息 一3 1 一 c一再eo弓-i曙i_uoc一一o一 0 5 0 5 0 5 0 5 0 8 7 7 6 6 5 5 4 4 c一母eod-i再i_ooq仂c一一)(o一 浙江大学硕士学位论文 图2 1 6 索木菲尔德积分和d c i m 的结果比较 当然这个方法也有局限性，那就是只能计算屏蔽结构的格林函数。对于非 屏蔽的，由于存在着支割线，因此不能沿着实轴进行积分。另外，解析恒等式 成立的条件是r e ( s , p0 ，而这并不是一个可以确保的条件，因为有些时候g p o f 模拟出来的解并不能如意，因此如果有r e ( s , ) 0 的部分，则需要调整程序中的 某些参数，使之符合条件。 2 4 本章的部分推导 2 4 1 对于m p i e 并矢核的推导 从上面已经可以知道， ) 2 虿j w 坶黏( r i r 9 。d ( r g d s ( 2 7 8 ) 而同时 管v 否：h ( r lr 9 = 专v 盯i ) + j w 7 ( 两 ( 2 7 9 ) 那么将( 2 ) 代入( 1 ) ，可以得到 浙江大学硕士学位论文 ( 乃= 万1 v 群( 一r l r 9 一j ( 一r t ) a s + 一矿( 砸) 一j ( r ) d s ( 2 8 。) 对上式右边的第一项使用一个矢量恒等式v a b = v ( a b ) 一a v b ，则有 专v ( k 7 够i ；谚( ；) ) 出一万1 量7 ( ；i ；) v y ( r g a s 再对上式的第一项使用高斯定理，那么，该项可以表达为 一l - - - d 崛k ， 盯i ；) 了( ) 五出一六吨+ 。蟛( r r 9 j ( 一r ) 五一出 将这样得到的”( ；) 代入到( 2 2 ) 中，从而得到了 ( 2 8 1 ) ( 2 8 2 ) 以 弘肛矧尹i ) j f f g d s + v i k ( f i f 9 9 f f 3 d s ，e 【s j墨 + ，。 q qk , ( f i f g j f f g 五, 弘q k , ( f i