（应用数学专业论文）fn初值敏感与相对于集合f初值敏感.pdf

摘要 本文用族的观点研究n 初值敏感与相对于集合初值敏感，提出了芦伽 初值敏感与相对于集合为芦初值敏感的概念，并对相关性质进行了探讨 证明了如果族厂是满族，则由n 个符号生成的符号动力系统是乒m 初值 敏感的，这里n 关键词：歹- 。伽初值敏感；相对于集合为厂初值敏感；厂传递点 a b s t r a c t i nt h i sp 印e r ，n - s e n s i t i v ea j l ds e n s i t i v er e l a t i v et os e t s 、厂i af i l r 8 t e n b e r g f a m i l i e 8w e r e8 t u d i e d n o t i o n so fj 巳倚s e n 8 i t i v ea n d 芦s e n s i t i v er e l a t i v et o s e t s 伦r ed e f i n e d i t r a 旧p r c l v e dt h a 七i f ，i 8af u uf a m i l y t h e nt h es y i n b o l i c d y n 眦i c a l ls y s t e mg e n e r a t e db yns 皿b 0 1 sw a 峪歹二伽8 e 璐i t i v e ，w 1 1 e r e 住 k e y w o r d s ：乒伽8 e n s i t i v e ；厂n s i t i v er e l a t i v et os e t 8 ；ft r a i l s i t i v ep o i n t 2 引言 动力系统的研究可以追溯到牛顿的经典力学在牛顿的体系中，以时间 为参变量的微分方程占据了主导地位牛顿的经典著作自然哲学的数学 原理在接下来的两个世纪中成为人们研究天体问题的典范，人们甚至乐 观地认为可以像牛顿顺利解决二体问题那样，通过求出微分方程的显式解 来处理任何天体问题遗憾的是，这种愿望从未实现 到了1 9 世纪末，情况发生了一个质的转折著名的法国数学家p o i n c a r g 出 版了天体力学的新方法一个重要的转变在于他将相空间的几何一系 统参数向量所有可能值的空间引入分析过程，将人们的注意力从方程的单 个解转移到所有可能的解曲线及其相互关系上来这种方法将单个解不能 提供太多信息，却能得到一些甚至大部分解曲线的信息运用颇受遍历论 味道的方法，p o i n c 缸百说明了对所有有界h 锄i l t o n 系统，“大部分 解曲线 在p o i s s o n 意义下是稳定的 随着p o i n c a r g 定性分析方法的引入，动力系统研究的焦点从以微分方程 定义系统的模式转到相空间与作用群上b i r k h o e 的工作无疑将使这种转 变更加明朗化在其著作动力系统( 1 9 2 7 ) 中，他以一般度量空间上的群 作用作为动力系统研究众多动力学性质特别地，他在这个一般范畴上重建 了前面提到的p 0 i n c a r 舌的结论 把一个系统所有的状态的全体记为状态空间x ，系统的演化则用变 换t ：x _ x 表示，其中2 k 表示零时刻状态的z 在系统的演化在1 时刻的状 态我们如果想了解系统随时间的连续演化过程，则考虑系统x 到自身的 一族单参数映射 正：t r ) 当控制系统行为的法则不随时间变化时，则我 们自然可以假设正+ t = 正正，于是 互：亡r ) 是r 在x 上的一个群作用， 也称为是一个流单个的可逆变换t ：x _ x 也可以决定一个群作用，称 为z + 作用当然我们还可以考虑更广泛的情形，但是在本文中，我们主要 涉及到由单个变换诱导的z 作用或z + 作用 为了从数学上分析一个系统，我们必须赋予状态空间x 某种结构，对应 3 的变换t 也要有某些限制根据状态空间上赋予的结构的不同及对其上变 换的不同限制，动力系统主要分为微分动力系统，拓扑动力系统和遍历理论 三个较大的子领域当状态空间x 为微分流形，t 为微分同胚，则为微分动力 系统；当状态空间为拓扑空间，t 为其上的连续映射，则为拓扑动力系统；当 状态空间x 为测度空间，t 为保测变换时，则为遍历理论p o i n c a r 是第一个 在动力系统中引入拓扑概念与方法的人在他之后，g d b i r l 【h o e 从1 9 1 2 年 开始系统的研究了拓扑动力系统，他首次定义了极小集并研究了它的性质 极小集是拓扑动力系统中最重要的概念之一，将t 限制在极小集上便得到了 极小系统，极小系统是动力系统中最简单的一类，很多动力学性质的研究都 是从极小系统开始的 b i r k h o 联于拓扑动力系统的工作收集在1 9 2 7 年其著作d y n a i y l i c a l 盯s t e m s 第七章中b i r k h o f r 被认为是拓扑动力系统的奠基人之一 之后g t w h y b u r n 与s t e p a n o v 涉及了拓扑动力系统的一些工作1 9 5 5 年 w h g o t t s c h a l k 与g a h e d l u n d 出版了t 0 p 0 1 0 9 i c a ld y n 锄i c s ，在这本 书中，他们将动力系统的定义放在了最一般的框架下，直接考上一般拓扑群 在拓扑空间上的作用，并充分研究了从微分方程定性理论中提炼出来的概 念这使得拓扑动力系统真正意义上成为动力系统研究的一个重要分支从 此以后许多优秀的数学工作者投身到拓扑动力系统的研究中 其中尤其要提到的是r e l i i 8 与h f 、l r 8 t e n b e r g 的开创性工作e l l i 8 将代 数的工具弓 入拓扑动力系统，为拓扑动力系统建立了一套强有力的工具， 即e l l i s 半群；f 1 i l r s t e n b e r g 在结构定理上的突破，在对系统分类问题是上提出 的不交性的概念以及将动力系统应用到组合数论与e y 理论等其它数 学分支的工作都大大刺激了拓扑动力系统的发展，他获得w b l f 奖的工作中 就包含在拓扑动力系统方面的成果 族的概念最早可以追述到在一般拓扑学与数理逻辑中滤子的使用但这 种用族的观点来研究系统的动力学性质的思想首先由g 0 t t s c h a l k 和h e d l u n d ( 1 9 9 5 ) 引入的之后有许多数学工作者沿着这一思路进行了有意义的讨论， 但真正得到发扬光大是在f u r s t e n b e r g 及其合作者手中他在其经典著作中 4 将这一思想进行了深刻而漂亮的阐述( f l t l 璐t e n b e r g ，1 9 8 1 ) 他的工作将拓扑 动力系统与遍历论的应用深刻地植入组合数论与r 锄= l s e y 理论之中，对相应 数学分支有着广泛而深远的影响 近几十年来，f u r s t e n b e r g 的追随者们用族的方法在研究拓扑动力系统方 面进行了富有成效的研究特别地，a k i n 在拓扑动力系统这个范畴下，在其 专著中系统总结和发展了f u r s t e n b e r g 族的方法( a l ( i n ，1 9 9 7 ) ，形成了族( 满足 一定条件的z + 的子集族) 的初步理论他的工作不同于前人的主要之处在于 极度的一般性，抽象性与系统性近年来，族的理论被g l a s n e r ，w | e i 鼹及国 内很多数学工作者们进一步拓展 本文的主要内容是：第二节证明了在系统( x ，丁) 可逆，并且乒传递 点集非空的前提下，如果厂为滤子且左平移不变，仃2 是正整数 若( x ，t ) 为n 初值敏感，那么q 孑( x ，t ) ( n ) d 进一步的，若( x ，t ) 为可 逆极小系统，且q n ( x ，t ) ( n ) 口，那么系统为乒伽初值敏感的第三节 证明了：若7 r ：x _ y 为系统( x ，t ) 到( ks ) 的因子映射，且厂是一个常义 族，则如果( x ，t ) 的芦传递点集是稠密g 6 集，7 r 为半开的且( vs ) 相对于集 合k 为厂初值敏感，则存在刀cx 使得( x ，t ) 相对于集合k 为召初值敏感 且丌( k 7 ) = k 本文主要分成三个部分，第一部分是预备知识的简单介绍；第二部分提 出乒m 初值敏感的概念，并对相关性质进行探讨；第三部分给出相对于集 合确9 值敏感的定义，并说明了一些定理和命题 5 1预备知识 1 1相关的动力系统基础 偶对( x ，t ) 称为离散拓扑动力系统( 或简称为动力系统) ，是指x 是一个 紧致度量空间，t ：x _ x 为连续映射设d 表示度量空间x 中的度量如 果t 是同胚，则称系统( x ，t ) 为可逆系统 对z x ，称d r 6 ( 。，t ) = z ，死，铲z ，) 为z 的轨道设a 为x 的子集， 如果t ( 4 ) 4 ，则称a 为正变集或不变集 称动力系统( x ，t ) 为极小的是指它不含任何非空闭不变的真子集如果 子系统( kt ) 为极小的，那么称子集y 为x 的极小集如果一个点包含在某个 极小集中，那么就称它为一个极小点 ( x ，t ) 是动力系统，配ycx ，定义回复时间集为 ( 以y ) = 【n z + ：unt n y d ) 特别地，对于z x 及纱cx ，令。进入u 的回复时间集为 ( z ，u ) = 扎z + ：7 m ( 茹) 矿) 设( x ，t ) 和( v s ) 为动力系统如果连续满射7 r ：x y 满足：s o 丌= 7 rot ，则称7 r 为同态或因子映射此时，我们称( vs ) 为( x ，t ) 的因子；而 称( x ，t ) 为( s ) 扩充 定义 q n ( x ，t ) = nu ( t ( n ) ) 一歹n ( 1 七) 七；1 j = l 其中n ( s ) = ( z l ，z n ) x n ：d ( 甄，巧) o 及既的每一个邻域阢，存在戤7 阢，1 i n 及七。 n 使得d ( t 七( 既，) p ( 巧，) ) 0 ，使得对任意的i n ， 有口件1 一毗记全体s y l l d e t i c 集为五个点z 是极小点当且仅当对z 的 任意邻域矿，( z ，矿) 只 设族厂c 召，系统( x ，t ) 称为厂传递的是指对x 的任意非空开集v 及y ， ( 阢y ) 厂成立称( x ，t ) 为厂混合的是指( x x ，t 丁) 为厂传递的 1 对于系统( x ，t ) ，设acx ，z x ，如果0 ，a ) 厂，称点z 为集合a 的 一个厂贴附点集合a 的所有尸贴附点构成的集合记作厂( a ) ，称为集合a 的乒贴附集【2 】明显地我们有： 厂( 4 ) = un t n ( a ) f 笋n f 称n r s t e n b e r g 族厂是与系统( x ，t ) 兼容的，如果每一个开集矿cx 的， 贴附集厂( c 厂) 是一个g 6 集 3 】 1 2 佗初值敏感与相对于集合初值敏感 一个动力系统( x ，t ) 称为对初值条件敏感依赖的，或简称初值敏感的， 是指存在g 0 ，使得对任意的z x 及z 的任意邻域矿均存在y u 及n n ， 满足d ( 丁饥z ，丁饥y ) g ( 【4 】) 对给定的整数n 2 ，系统( x ，t ) 称为n 初值敏感的是指，存在g o 使得 任意非空开集u 均存在n 个互异的点z 1 ，z 2 ，n u 和自然数m n 满 足 m i n d ( t m z t ，t m 即) ：1 l 歹佗) g 这样的g o 称为系统( x ，t ) 的一个n 初值敏感常数( 【5 】) 文献 1 】对n 初值敏感概念进行了推广，提出了相对于集合初值敏感的 概念设( x ，t ) 为拓扑动力系统，k 为x 的子集且满足g 吖d ( k ) 2 称系 统( x ，t ) 为相对于集合初值敏感的是指，对任意的( z i ，z n ) k n n ， 对点戤的任意邻域阢及任意z x 和z 的邻域u ，存在后n 和z i u 使得 对任意的l i 佗，t 南( z t 7 ) 以成立这样的集合k 称为是初值敏感集 或g 集 文献【1 】证明了：佗初值敏感性可以被因子映射提升；设( x ，t ) 为传递系 统且n 2 是正整数，如果( x ，t ) 为礼初值敏感的，那么q n ( x ，t ) 谚 逆命题是在( x ，t ) 为极小系统的情况下成立此外，设丌：x _ y 为传递 8 这样的 o 称为系统( x ，t ) 的一个乒m 初值敏感常数 设7 r ：x _ y 为连续映射，如果x 的非空开集在7 r 下的像集具有非空内 部，则称7 r 为半开的下面说明乒伽初值敏感可以被因子映射所提升 命题2 1 尸c 召，设( x ，t ) 和( vs ) 是两个拓扑动力系统且因子映射7 r ： x _ y 是半开的如果( vs ) 是厂一n 一初值敏感的( 几2 ) ，那么( x ，t ) 也 是尸n 一初值敏感的 证设9 7 o 是( ks ) 的了_ - 伽初值敏感常数由丌的连续性知若d ( y 1 ，耽) 且7 r ( 娩) = 玑， = 1 ，2 ，则存在s o 使d ( z 1 ，z 2 ) g 设u 是x 的任意非空开集由于7 r 是半开的，则7 r ( ) 包含了一个y 的非 空开子集y 于是对于7 0 ，存在行个不同的点y 1 ，y ，使得： a = 【m z + ：m i n d ( s m 犰，舻协) ：1 歹n ) 9 7 厂 选取z l ，z n u 且7 r ( 戤) = 玑，1 i n 则有 a _ m z + ：m i n d ( 2 咖既，2 弧) ：1 l j 佗) g 尸 即( x ，t ) 是乒伽初值敏感的 口 定义2 2 ，c 召，( x ，t ) 称为完全弱厂初值敏感的，是指对任意佗2 ，存 在s 0 ，使得对任意非空开集u 有 仇z + ：弓鼢以铂，l i 歹佗，1 热他 d ( p 靓，p 巧) ) s ) 尸 命题2 2 笋cb 。设l x 。玲是一个拓扑动力系统且x 是局部连通空间， 如果( x ，t ) 是尸一2 初值敏感的，那么它是完全弱，初值敏感的 证设g 0 为( x ，t ) 的一个乒2 初值敏感常数，u 为x 的任一非空 开集且任取n 3 因为x 是局部连通空间，所以存在一个连通的非空开 集yc u 由于( x ，t ) 是乒2 初值敏感的，所以存在z ，刃7 y ，使得： a = 仇z + ：d 吕l = d ( 丁m z ，7 帆z ) e 芦 10 vm a ，构造函数厶：p y r 满足厶( y ) = d ( p 刀，秒) 因厶连续并 且p 。y 是连通的，由厶( 丁帆z ) = o 以及厶( 7 忱) = 四，我们就有，m ( p 。y ) ) 【o ，四】于是可以选取佗个不同的点 z ? = p z ，z 孑，z 器1 ，贸= p 。7 p y 使得d ( z ，z ) = 籍四对任意的t = 1 ，2 ，他均成立 选z l = z ，z 2 ，z ”1 ，z n = y 满足p 戤= 印，则我们有： a m z + ：| 【刀1 ，z n ) c 以s 1 当魏n d ( p 甄，p 巧) 石与) 厂 这就证明了( x ，t ) 是芦几- 初值敏感的，由n 的任意性，( x ，t ) 是完全弱厂初值 敏感的 口 尸c 召，定义q 磊( x ，t ) 如下：点( z l ，z 2 ，z ) q 著( x ，t ) 当且仅当对 任意 0 及戤的每一个邻域阢，存在甄7 阢，1 i n ，使得 七z 十：m a x d ( 严z ：，严蟛) ：1 i 歹佗) e ，t 歹 不失一般性，我们假设l i mr m z 尹= 耽，t = l ，n 显然点z 1 ，z n 各 不相同因为( z ，z 0 ) 为x m 的厂回复点，且厂为滤子，得： m = 【忌：( t ( n ) 七( z ? ，。嚣) u m u m ) 厂 由于族厂左平移不变，所以= m 一厂也即 = ( 七一亡仇：( t ( n ) ) 一) ( m z ? ，7 z 孑) u 麓u m ) 厂 于是对任意指定的m n ，以及筑的任意邻域阢，存在p m z 尹仉，i = 1 ，2 ，n 使得： = 七一：( t ( n ) ) 七一( 铲m z ? ，严m z ? ) ) 芦 故( 茁l ，z n ) q 孑( x ，t ) 如果( x ，t ) 为极小系统，假设q n ( x ，t ) ( n ) d ，且( z l ，茁2 ，z n ) q n ( x ，t ) ( 川因为点z l ，z 2 ，z n 互不相同，故存在点甄的两两不交的 闭邻域a ，l = 1 ，佗令6 = m i n d ( a ，如) ：t 歹) 设u 为x 的一个非空开子集由极小性知存在n o n ，使得u 翟ot u = x 设6 为开覆盖 配t 一1 阢，丁一n o 矿】的一个l e b e 8 9 u e 数由z 1 ，z 2 ，z n 的取法知：存在z 7 a 及n l n 使得 。擞n 拟p t ，p - 们) 三) 厂 因此( x ，t ) 是歹- - 伽初值敏感的 口 引理2 1 设( x ，t ) 为拓扑动力系统族芦与系统( x ，t ) 兼容当且仅当对 于x 中的任意非空闭集y ，刀= ( y ) 是b 集【4 】 定理2 2 ( x ，t ) 为拓扑动力系统如果厂是滤子对偶，且与系统( x n ，丁( 札) ) 兼 容对于如下命题： ( 1 ) 又x ，n 是笋m 一初值敏感的 例存在毒 o ，使得a s y m ( 一是( x n ，t ( n ) ) 中的第一范畴集 俐存在童 o ，v ( 刀1 ，z n 一1 ) 童a s 可仇驴一1 ( 厂) ，a s y m 争( 一( z l ，z n 一1 ) 是x 中的第一范畴集 心，嵇 o ，使得圹( x 弋矽) 是x n 中的稠密集 则有水) 营( 2 ) 。令( 1 ) 兮( 3 ) 证( 2 ) 号( 1 ) ：若系统不为乒伊初值敏感，则比 o ，j 非空开 集ucx ，v ( z 1 ，z n ) u 以满足( ( z 1 ，z n ) ，x n 矽? ) 碧 厂即z + ( ( z 1 ，z n ) ，修) 隹厂，故( ( z l ，z n ) ，修) k 厂，从 而 1 ，z n ) a s 槽( 厂) 则u c 厂ca s ! ，m 孑( 厂) ，那么4 s m 9 ( 尸) 为 非第一范畴集。矛盾 1 3 系统之间的因子映射，如果丌为半开的且( s ) 相对于k 初值敏感，则存 在k 7cx 使得x 相对于k 7 初值敏感且丌( k 7 ) = k 文献 6 】用族的观点探讨了初值敏感性并得到了族厂为滤子对偶以及与 系统( x x ，t t ) 兼容的前提下，系统( x ，t ) 是厂初值敏感的一些等 价说法文章 7 】运用族的思想研究了测度敏感与攀缘集，证明了当芦为滤 子对偶并且与二维乘积系统兼容时，族胪分段敏感等价于族p 敏感 2 乒几初值敏感 这一节主要探讨互伽初值敏感 本文中，x 的两个非空集合a 和b 之间的距离定义为d ( a ，b ) = t 佗， d ( z ，y ) ： 茁a ，可b ) 令【a 】6 = z a ：d ( z ，a ) c ( z 1 ，茁n 一1 ) = z n x ：( z 1 ，n ) g 定义2 1 厂c 召，对取定的自然数n 2 ，系统( x ，丁) 称为乒伽初值敏感 的是指，存在 0 ，使得对任意非空开集u 均存在n 个互异的点z 1 ，z 2 ，z n u 满足 m z + ：m i n d ( ：r l m z i ，j r m 巧) ：l t 歹几 ) 厂 9 ( 1 ) j ( 3 ) ：因为厂与系统( x 住，t ( n ) ) 兼容，由引理1 得4 s 可m ( 一 是x n 中乃集设a s y 槽( 一= u 墨lg ，其中g 是x n 中的闭子集得： a s y m 乡( 一( ，z n 1 ) = ug ( ，z n 1 ) n 2 l 若vg o ，| ( z 1 ，z 住一1 ) a s m 争一1 ( 厂) ，使得a s 娜9 ( ，) ( z l ，z n 1 ) 不为第一范畴集由b 出r e 定理，存在x 中的非空开集u x 及某个m ，使得： uc c y m ( z 1 ，z n 一1 ) ，故 v 玑u ，1 i n ，( ( z 1 ，z 住一1 ，珧) ，矿? ) ，矿 由族厂是滤子对偶，可得 ( ( y 1 ，耽，) ，讫) k 芦，v 可l ，c 厂 成立于是z + ( ( ! ，l ，) ，x n 赡) 仡厂，即( ( 1 ，：，) ，x n 讫) 盛，这与系统( x ，r ) 是乒伽初值敏感矛盾 ( 2 ) 今( 4 ) 注意到 厂( x n 碟) = x n 妒( 秽) = x n a s 矽m ( 一 由b a i r e 定理( 2 ) 净( 4 ) 口 定理2 3 ( x ，t ) 是拓抒动力系统数中鼽个非空闭不变集4 l ，a 2 ， a n ，满足m i n l s 锄如 d ( a ，a ) ) o ，且u 墨l t 一( 如) ，歹= l ，扎均舰 的稠密子集，则如果笋为满族，那么l 、x ，q 是笋m 一初值敏感的 证由m i i l l s 向n d ( a ，如) ) o ，可知存在占 o 及g o ，满足陋1 】6 m n 】6cx n 碟由于u 墨1t 一( 4 ) ，j = 1 ，n ，均为x 中的稠密 子集，及4 ，1 歹佗为闭不变集，验证得圪艿( 【a 】占) ，l 歹n 为x 中的稠 密集而 “ k 侈( x n 矿，) 3k 艿( 【a l 】6 【a n 】5 ) 3k b ( 【a 1 】6 ) k 召( 【a n 】6 ) 则仡召( x n 秽) 是x n 中的稠密集如果厂是满族，则k 易c 兀那么厂( x 竹 硭) 也是x n 中的稠密集由定理2 ，动力系统( x ，t ) 是乒伽初值敏感的口 1 4 定理2 a 若动力系统( x ，鼽初值敏感的。且极小点集在x 中稠密。那 么( x ，t ) 是五吼初值敏感的。 证设j o 是( 五砷的一个n 初值敏感常数，u 为x 的任意非空开集，则 存在n 个互异的点z 1 ，z 2 ，z n u 使得 a = ( 七n ：，脚罂 d ( 丁七，矿巧) ) d ) 谚 、 1 6 由 于( p 耽，p 鲰) 为乘积系统( x n ，t ( 哟) 的极小点，因此 ( ( 严v 1 ，t 老蜘) ，k ) 兀 所以存在j 0 ，使得对任意非空开集矿cx ，存在佗个互异的点y 1 ， u ，使得 a = m n ：，鲤翌 d ( 2 弧珑，2 m 协) ) 耐五 1 i 匀n 。、 ” 9 口 设e = l ，2 ，) ( 2 ) 并赋予其离散拓扑令晟= e ，= 兀罂1 墨， 1 取乘积拓扑则为紧致度量空间称为由e = 1 ，2 ，) 生成的符号空间令盯：一为转移映射，定义为口( z l z 2 2 3 ) = z 2 2 3 ，v z l z 2 2 3 此时称( | ，矿) 为符号动力系统记 i l i 2 i n 】= z ：z 1 = i l ，z 2 = t 2 ，z n = i n 我们定义上与乘积拓扑兼容的度量d 如下：vz = z l z 2 ，可= y 1 驰， d c z ，可，二 三k ：三：，n 。i ：z ；轨，一1 1 5 0 2 0 ，n 一1 0 0 0 于是由口确定的子替换极小系统为万一n 一初值敏感 的详情参见文献【1 0 】 证由于这个极小系统是竹初值敏感的f 1 】 用定理4 结论即得 1 6 口 3 相对于集合尸初值敏感 设芦为族，给定点串( z l ，) x n ，定义x 的子集l 芦( z l ，z n ) 如 下：z 厶芦( z 1 ，z 住) 当且仅当对任给鼢的邻域阢以及z 的邻域u ，存 在戤7 u 使得： 七z + ：p ( z 7 ) 阢，1 t n ) 厂成立 若族厂左平移不变，易见此时如( $ 1 ，z n ) 是闭不变集 定义3 1 歹c 艿，设( x ，t ) 为拓扑动力系统，k 为x 的子集且满足c o ? d ( k ) 2 称系统( x ，t ) 是相对于集合k 为厂初值敏感的是指，对任意的( z 1 ，z n ) k 住住，均有l 芦( z 1 ，z n ) = x 成立，即对点黝的任意邻域矾及任 意秒x 和的邻域u ，存在婉7 u 满足： 惫z + ：t 七( 双7 ) 阢，1 t n 芦成立这样的集合k 称为是一个尸初值敏感集或了- - s 一集 对任意n 2 ，令 鼯( x ，t ) = ( z l ，z n ) x n n ：【z l ，z n ) 为一个乒s 集) 定义3 2 集合s x 称为是局部p 玎。嫡m a l 集( 或q 集) 是指对任意的n 2 及任意点串( z l ，z n ) 铲，均有 l ，z n ) q n ( x ，t ) 【1 】 定义3 3 厂c8 ，集合s x 称为是厂局部p r o 函m a l 集( 或乒q 一集) 是指 对任意的几2 及任意点串( z 1 ，z n ) 伊，均有( z l ，) q 孑( x ，邳 定理3 10 x ，n 为动力系统。t 为开映射如果系统的笋传递点集非 空。族笋为滤子且左平移不变。则任一s 集必为芦q 集；在上述条件下 当0 x 。卧为极小系统时，则任q 一集登为尹s - 集 证设a 为一个孓集且( z l ，z n ) 晶( x ，t ) 取秒x 且对任意忌 1 令巩为y 的非空开邻域且满足以a 仇( 巩) 壬设k 为甄的邻域，则对任 意的后1 ，存在k n 和 ，城巩满足七( 谚) k 因为( x ，t ) 的厂 回复点集稠密，不妨设( 计，破) 为歹回复点又由于族厂左平移不变， 得( 霉l ，z n ) q 著( x ，t ) ，故( z 1 ，z n ) 为乒q 一集若( z l ，z n ) n ，显然( z 1 ，z n ) q 著( x ，t ) 从而a 为乒q 一集 1 7 现在假设( x ，t ) 为可逆极小系统设a 为一个q 集且( 1 ，铆) 1 对任意的n l 及甄的任意邻域阢，存在订阢和k n 满 足 1 仇n z o 为一个常数显然z 7 r _ 1 ( y n ) ，并且1 i mz = z 对任意 的t = 1 ，z 成立令。1 1 骢p n 四= z 5 f i 】，且l i mz = 戤，t = 1 ，z 则7 r ( 戤) 芎玑且m i n d ( z ，巧) ：1 t 歹f 6 于是z l 8 ( 。l ，铆) ， 因此 z l ，铆) 为一个良s 集 现在取 y 1 ，垅，) 为k 的稠密子集对任意的z n ，令 z i ，z ) 为( x ，t ) 的一个召- s 集且满足7 r ( z ：) = 犰，1 z 不妨设l i 驰。z = z l ，l i 驰。z = z 2 ，其中 以+ 1 ) 为( 璃) 的子序列，歹= l ，2 ，于是c f ( z ，z 2 ，) ) 就 是我们所要的集合 口 命题3 2 系缄x ，t ) 厅氯尹一传递点集是稠密的晚集，如果( x ，t ) 是芦n 初 值敏感的2 ) ，那么碟( x ，t ) 匝 证设( x ，t ) 是乒伽初值敏感的设点z n 咖s ，( x ，t ) ，为点z 的开 邻域且满足对任意的仇n ，出口仇( ) o 使得 对任意的自然数m ，存在z r ，z 2 ，满足： a = k n ：m i n d ( t z ? ，t 哆) ：1 i j n ) e ) 厂 不妨设。l i m m z 尹= z ：删，且l i mz ：叫= 玩，i = 1 ，他显然z l ，茹n 是 t m a 。 m _ 。 两两互不相同的佗个点且z 三8 ( z 1 ，z n ) ，又由于族召左平移不变， 得l 8 ( z 1 ，) = x 因此( z 1 ，) 畿( x ，t ) 口 2 0 参考文献 【1 】张瑞丰，动力系统初值敏感性，序列熵及相关问题的研究，博士学位论 文，中国科学技术大学，2 0 0 8 【2 】j x i o n g ， j l 证，f t a n ，f u r s t e n b e r g i l i e 8a d l dc h a ， s c i e n c ei n c h i n a ( a ) ，3 7 ( 2 0 0 7 ) 2 2 阻2 2 8 3 】w h u a n g ，s s h a 0 ，x y e ，m i ) d n ga n dp r 喇m a lc e l l sa l o n gs e q u e n c e s ， 蚤沁i d i n e 盯i 坝1 7 ( 2 0 0 4 ) 1 2 4 5 1 2 6 0 【4 】 j g u c l l c e n h e i m e r ，s e n 8 i t i v ed e p e n d e n c eo ni n i t i a lc o n d i t i o n sf o ro n e d i m e n s i o n a lm a p s ，c o m m m a t h p h y