（电磁场与微波技术专业论文）微波电路的时域谱元快速分析.pdf

硕士论文微波乜路的时域谱元快速分析 摘要 对于谐振腔或波导之类的电磁器件的设计，数值仿真是相当重要的。由于这个原因， 出现了很多数值仿真方法。在这些方法之中，有限元法( f e m ) 由于其对模型有较好的 拟合性，是比较流行的一种数值方法。但是f e m 存在一个不容忽视的问题即当它应用 到时域时每个时间步都涉及到对一个线性方程组的求解，其计算量非常庞大，很浪费时 间。 本文提出的谱元法是一种特殊类型的有限元方法。它融合了有限元与谱方法的基本 思想。谱元法与普通有限元法最大不同点在于基函数的选取。谱元法中的基函数沿用谱 方法中的正交多项式，所以该方法继承了谱方法的高精度特性，即随着基函数阶数的增 加，计算误差逐渐减少；同时由于所选用的基函数具有正交性，在使用有限元的思路对 偏微分方程进行变分求解时，所得到的质量矩阵将为对角阵( 矩形网格离散) 或块对角阵 ( 曲六面体网格离散) 。当转换到时域时，时域谱元法充分应用了这性质。在时域中， 如果对时间的离散采用中心差分格式、龙格库塔格式或辛格式时，方程组的系数矩阵 将只含有质量矩阵，其逆矩阵很容易求得，从而大大降低方程组求解的复杂度，减少了 计算时间。 在分析微波电路时，需要在计算区域设置适当的边界条件。经研究证明各向异性介 质完全匹配层( p m l ) 作为截断边界不仅容易实现而且对电磁波的吸收效果较好。但是， 用p m l 作为截断边界时，会使未知量增加，于是，将一阶吸收边界条件引入到时域谱 元法( s e t d ) 中，一阶吸收边界不仅降低了未知量，而且对于低频有很好的吸收效果。对 于中高频问题，可用一阶吸收边界代替p e c 截断p m l 外表面，经研究发现利用一阶吸 收边界代替p e c 截断p m l 外表面可降低1 0 d b 左右的反射误差。 在时域分析方法中，主要有时域有限差分( f d t d ) 、时域有限元( f e t d ) 等，本文通 过几个实例仿真分别与这两种方法进行了对比，验证了时域谱元法的高精度特性和快速 的求解速度。 关键词：时域谱元法，时域有限元，时域有限差分，g l l 基函数，各向异性介质完全匹 配层，一阶吸收边界条件 硕十论文 微波电路的时域谱元快速分析 a b s t r a c t n u m e r i c a ls i m u l a t i o ni sv e r yi m p o r t a n tt od e s i g nt h ea p p l i a n c es u c ha st h er e s o n a t o r s a n dt h ew a v e g u i d e s b e c a u s eo ft h i s ，l o t so fn u m e r i c a lm e t h o d sh a dd e v e l o p e d a m o n ga l l t h e s em e t h o d s ，t h ef i n i t e - e l e m e n tm e t h o d ( f e m ) h a sb e c o m eam o r ep o p u l a rn u m e r i c a l t e c h n i q u eb e c a u s e o fi t ss u p e r i o rv e r s a t i l i t yi ng e o m e t r ya n dm a t e r i a lm o d e l i n g b u tt h e r ei s a ni n e v i t a b l ep r o b l e mi nf e m ，t h a ti se a c ht i m ei tm u s ts o l v eal i n e a re q u a t i o n ，a n dt h e q u a n t i t yo ft h i sc o m p u t a t i o ni sv e r yh u g e ，j u s tb e c a u s eo ft h i s ，f e mw a s t e st i m ev e r ym u c h t h es e t d ( s p e c t r a l e l e m e n tm e t h o di nt i m ed o m a i n ) t a l k e di nt h i st h e s i si sas p e c i a l f e m i ti sc o m b i n e db yf e ma n ds p e c t r a lm e t h o d t h eb i g g e s td i f f e r e n c eb e t w e e ns e ma n d f e mi si t sb a s i cf u n c t i o n t h eb a s i cf u n c t i o nu s e di ns e mi so r t h o g o n a lp o l y n o m i a lw h i c h i su s e di ns p e c t r a lm e t h o d ，s os e mh a st h et r a i to fh i g h - o r d e ra c c u r a c y t h i st r a i ti st h a tt h e c o m p u t a t i o ne r r o rd e c r e a s e sa l o n gw i t ht h eo r d e r o fb a s i cf u n c t i o ni n c r e a s e s b e s i d e s ，i ft h e t h o u g h to ff e m i su s e dt os o l v et h ed i f f e r e n t i a le q u a t i o n ，w ec a ng e tad i a g o n a lm a s sm a t r i x w h e nt h em o d e li sd i s p e r s e db yr e c t a n g u l a rh e x a h e d r o no rm a s s - d i a g o n a lm a t r i xi ft h e m o d e li s d i s p e r s e db yc u r v i n gh e x a h e d r o n ，a l lt h e s ea r eb e c a u s et h eb a s i cf u n c t i o ni s o n h o g o n a l w h e ns e m i su s e di nt i m ed o m a i n ，t h i st r a i ti sm a t e r i a l i z e da d e q u a t e l y w h e n t h et i m ed i s c r e t ef o r m a ti sm i d d l e d i f f e r e n c es c h e m e 、r u n g e k u t t as c h e m eo rs y m p l e c t i c s c h e m e ，t h ec o e f f i c i e n tm a t r i xo fe q u a t i o ni so n l ym a s sm a t r i x ，a n di ti se a s yt og e tt h e c o n t r a r ym a t r i x ，s ot h es o l v i n gc o m p l e x i t yo fe q u a t i o ni sr e d u c e dl a r g e l y ，a n dt h es o l v i n g t i m ei sa l s od e c r e a s e d w h e ns e t di su s e dt oa n a l y z em i c r oc i r c u i t s ，i ti sn e e d e dt os e ta p p r o p r i a t eb o u n d a r y c o n d i t i o na tt h et r u n c a t i o no ft h ed o m a i n b ys t u d y i n gt h en u m e r i c a le x a m p l e s ，w ef i n dt h a t t h i sm e t h o di sn o to n l yi m p l e m e n t e de a s i l yb u ta l s oh a sv e r yg o o dp e r f o r m a n c e b u tt h e r ei s ad e f e c to ft h i sm e t h o dt h a ti su n k n o w n si sv e r yl a r g e s o ，t h ef i r s to r d e ra b c si si n t r o d u c e d t os e t d i tn o to n l yd e c r e a s e st h en u m b e ro fu n k n o w n sb u ta l s oh a sv e r yg o o dp e r f o r m a n c e a tl o wf r e q u e n c y f o rs o m ep r o b l e m sa th i g hf r e q u e n c y , w ec a nu s ea b c si n s t e a do fp e ct o t r u n c a t et h eo u t s i d eo fp m l ，i tc a nr e d u c ea tl e a s t10 d bo ft h er e f l e c t i o ne r r o r s i nt h em e t h o d so ft i m ed o m a i n ，t h e r ea r ef e t d ( f i n i t ee l e m e n tt i m e - d o m a i n m e t h o d ) 、f d t d ( f i n i t e - d i f f e r e n c et i m e d o m a i nm e t h o d ) ，w ea n a l y z es o m ee x a m p l e s c o m p a r e dw i t ht h i st w om e t h o d st ov a l i d a t et h eh i g h - a c c u r a c ya n df a s ts o l v i n gt i m eo f s e ：t d a b s t r a c t硕 ：论文 k e y w o r d s ：s p e c t r a l - e l e m e n tm e t h o di n t i m ed o m a i n ( s e t d ) ，p e r f e c t l ym a t c h e dl a y e r s ( p m l ) ，g a u s s l o b a t t o l e g e n d r e ( g l l ) ，t h ef i r s to r d e ra b s o r b i n gb o u n d a r yc o n d i t i o n f i n i t e e l e m e n tt i m e d o m a i nm e t h o d ( f e t d ) f i n i t e - d i f f e r e n c et i m e d o m a i nm e t h o d ( f d t d ) i v 声明 本学位论文是我在导师的指导下取得的研究成果，尽我所知，在 本学位论文中，除了加以标注和致谢的部分外，不包含其他人已经发 表或公布过的研究成果，也不包含我为获得任何教育机构的学位或学 历而使用过的材料。与我一同工作的同事对本学位论文做出的贡献均 已在论文中作了明确的说明。 h b 年。拥臼日 学位论文使用授权声明 南京理工大学有权保存本学位论文的电子和纸质文档，可以借阅 或上网公布本学位论文的部分或全部内容，可以向有关部门或机构送 交并授权其保存、借阅或上网公布本学位论文的部分或全部内容。对 于保密论文，按保密的有关规定和程序处理。 研究生签名： 函扣垒b 扣年。蜩叼日 硕上论文微波i 乜路的时域谱元快速分析 1 绪论 1 1 研究背景及意义 18 6 4 年，麦克斯韦在前人的基础上，提出了著名的麦克斯韦方程，从而开启了电 磁学研究先河，自此电磁场理论的研究逐渐开展到各个领域。例如无线电波传播，光纤 通信和移动通信，雷达技术，微波，天线，电磁成像，地下电磁探测，电磁兼容等等( 1 3 1 - 1 6 j ) ， 大大促进了科学技术的发展和人类生活的变化。 经典电磁学对电磁特性的分析研究一般采用试验和解析求解技术。但是试验的方法 存在测试成本高和研究周期长等缺点；而解析方法只能对一些简单的电磁问题进行分 析，又存在较大的局限性。随着计算机技术的飞速发展，在电磁场与微波技术学科，以 电磁理论为基础，以高性能计算机技术为手段，利用计算数学提供的各种方法，诞生了 - - f - j 解决复杂电磁场理论与微波工程问题的新兴学科计算电磁学。 计算电磁学分析电磁现象时，首先要根据分析对象的特点，建立相应的电磁、数学 模型，然后在计算机上选择合适的算法将问题实现。当前的计算电磁学按算法的解域可以 分为频域法和时域法，频域方法主要有矩量法( m o m ) ，有限元方法( f e m ) 等，时域方法 主要有时域有限差分法( f d t d ) 、时域有限元法( f e t d ) 和时域积分法( t d i e ) 等。 长时间以来，由于计算机硬件资源的限制，频域方法一直处于主导地位，但是我们 研究的问题却越来越复杂，比如说有多种材料成分或者有一些精细结构，致使频域方法 已经解决不了问题。庆幸的是，时域方法的研究也一直处于发展前进中。时域方法的一 个突出优点是可以给出关于问题空间丰富的时域瞬态信息，更能直观的反应问题的物理 现象，在得出时域信息后，可经过简单的时频变换，得到宽频带范围的频域信息。 在时域方法中，时域有限元方法被大量使用l 】，2 j ，但是存在一个缺陷即时域有限元求 解问题所用时间很长，因为它在每个时间步的迭代过程中都涉及到对一个线性方程组的 求解，如果在未知量比较大的情况下，将非常浪费时间。本文研究的谱元法，它不仅继 承了有限元法建模灵活方便以及能有效地求解由任意形状和非均匀介质构成的复杂边 值问题的优点，更有该方法的精度高，求解速度快。该方法能用很低的采样密度就能达 到较高的准确性，这对于节省计算机内存和降低计算时间是非常重要的。比起其它方法， 谱元法是一种高精度的数值算法。 1 2 研究历史与概况 谱方法是一种古老而又新兴的数值方法，从产生至今己有很长历史了。早1 8 2 0 年， 1 绪论硕i ：论文 n a v i e r 就应用双重三角级数来求解四边铰支的长方形薄板，并称之为 n a v i e r 方法”。然 而，由于谱方法计算量大和基函数构造困难，使得它的发展在很长一段时间内受到了限 制。直到1 9 6 5 年，c o o l e y 和t u r k e y 给出了快速f o u r i e r 变换才给谱方法的应用带来了 转机。因此7 0 年代初1 3 3 ，7 j ，出现了许多研究谱方法计算、应用及稳定性方面的理论。例 如，最早将谱方法应用于求解偏微分方程的k r e i s s 、o l i g e r 2 3 1 矛i o r s z a g l 2 4 】等，他们的研究 都取得了令人满意的成果。与此同时，计算机的快速发展在很大程度上解决了谱方法计 算量大的问题，使得谱方法有了实用价值。因此，谱方法从二十世纪七十年代早期开始 逐渐发展壮大【7 】。到目前为止，大量的实际计算证明了谱方法的确是一种十分有效的数 值方法。谱方法己经和有限差分法、4 有限元法一起，成为求解偏微分方程的主要数值方 法，并被广泛应用于流体力学【9 1 、计算物理、大气【2 5 2 们、海洋1 2 7 1 等领域。 随着时代的发展，谱方法的数值分析理论也一直在不断地发展和完善。为了扩大谱 方法的应用范围，将其应用于非规则或者复杂几何区域问题的求解，发展出很多种新方 法，比如映照法、拼接法、区域分解法以及p a t e r a 3 0 】提出的将谱方法和有限元结合的谱 元法。谱元法基于有限元法和谱方法，兼具有低阶有限元和高阶谱方法的优点。谱元法 将谱方法的高阶收敛特性，即随着多项式阶数增加而收敛的特性，与有限元法易于适应 复杂几何模型的优点和随着单元加密而收敛的特性充分结合起来。这种扬长避短的结合 使得谱元法继承了谱方法的高精度和收敛特性，同时又具有了和有限元法一样优异的复 杂几何区域的适应性。 最初，谱元法也只是应用于流体力学的计算，后来由g a r yc o h e n t 3 l j 、q i n gh u o l i u 2 1 , 3 4 , 3 5 】等人将谱元法延伸到电磁场领域中，用来计算物体的散射及电路问题。自此计 算电磁学出现了一种新的数值计算方法谱元法。它已经和有限差分法、有限元法一起， 成为计算电磁学中偏微分方程求解的主要数值方法。 1 3 本文的主要内容和贡献 本文主要研究了基于矢量波动方程的时域谱元法( s e t d ) ，由于微分数值方法在分析 电路问题时，均需强加边界条件，于是在时域谱元法的基础之上，研究了两种吸收边界 条件在其中的应用，一是各向异性介质完全匹配层( p m l ) ，另一个为一阶吸收边界条件， 两者均有比较好的效果，并将两者结合，用一阶吸收边界条件代替p e c 截断p m l ，分 析了其性能。由于谱元法具有高精度和快速的求解速度，所以本文还将该方法与时域有 限元( f e t d ) 和时域有限差分( f d t d ) 进行了比较。 本文正文分为六章，具体安排如下： 第一章：介绍本文的研究背景、意义以及时域谱元方法的研究历史与现状。 第二章：研究了基于矢量波动方程的时域谱元法，通过s e t d 、f e t d 、f d t d 三种 2 硕士论文 微波电路的时域潜元快速分析 方法对谐振腔的仿真比较，验证了时域谱元法的高精度特性。 第三章：研究了各向异性介质完全匹配层在时域谱元法中的应用，通过对微带平面 电路和波导结构的仿真分析，验证了其较好的吸收外向波的性能。同时，比较了s e t d 与f e t d 方法在分析电路结构时的内存及时间消耗。 第四章：将一阶吸收边界条件引入时域谱元法，并将其与p m l 相结合来分析电路 结构。 第五章：在均使用阶吸收边界截断求解问题区域的条件下，对s e t d 与f d t d 两 种方法分析电路问题的性能进行了比较。 第六章：总结和回顾了本文的工作，并对未来的工作做了部分展望。 3 2 基十矢量波动方程的时域谱元法的慕奉理论 硕上论文 2 基于矢量波动方程的时域谱元法的基本理论 谱元法的理论结合了有限元法和谱方法，它的基本思想是在每一个单元上使用谱方 法。其主要步骤是：( 1 ) 首先把计算的区域分成许多子域( 单元) ，每个子域由若干节点 组成；( 2 ) 在每个子域上把近似解表示成截断的切比雪夫正交多项式或勒让德多项式展 丌；( 3 ) 用伽辽金法对波动方程进行测试从而形成矩阵方程；( 4 ) 求解方程。 2 1 谱方法的基本知识 2 1 1 谱方法的定义 设有微分方程 三( 甜) = f ( u )( 2 1 1 ) 上式中三表示微分算子，f ( u ) 是己知函数。下面介绍求解微分方程( 2 1 1 ) 式的谱方法。 首先，用一组完备、线性独立函数族概) 。划，对未知函数“进行展开，展丌式为： 甜= 玩机 k = o 其中函数族鲰k 州，称为基函数，函数“的展丌系数为玩( 七= o ，1 ，2 ，) 。对函数甜的 有限项展开，记为u v ，即 ， 甜= 玩机 k = o 称上式为函数, 的截断级数展开。谱方法就是应用“来近似函数u 。 ( 2 i 2 ) 其次，将u 。代入微分方程( 2 1 1 ) 式，将产生的误差称为余量( 残量) ，并用r 表 示，即 r = l ( u ) 一f ( u )( 2 1 3 ) 再选择另一组完备线性独立函数族却。) 。圳，作为权函数( 检验函数) ，权函数与基 函数需满足如下正交关系： 4 硕十论文 微波l 乜路的时域谱元快速分析 q 咖。咖暑 ( 2 - ) 式( 2 1 4 ) 中积分区域q 为求解区域。然后对余量加权积分并令其值为零，即 j q ( “) 一f ( u n ) 。d q = o ( 2 1 劲 在求解问题时，基函数和权函数是已知的，而且它们满足( 2 1 4 ) 式，因此对余量加权积 分后的( 2 1 5 ) 式是展开系数玩( 七= o ，1 ，2 ，) 的一个代数方程组。求解该代数方程组，解 出玩( 忌= o ，1 ，2 ，) 并代入( 2 1 2 ) 式，就得到了微分方程( 2 1 1 ) 式的近似解。 任何逼近方法总会存在误差，谱方法进行数值逼近也会产生误差，称之为截断误差， 也可称为谱方法的固有误差。记为r u ) ，表达式如下式： r n ( u ) = u - - u = 玩机 七= + l 截断误差r n ) 的大小取决于谱展开精度。 2 1 2 谱方法的数值积分公式 ( 2 1 6 ) 当所求禾知量用基函数展开后，在应用诸方法逼近时，经常会用剑数值积分。谱万 法中的数值积分公式主要有以下三种方法： ( 1 ) g a u s s 积分( 开型) 假设节点 _ ) 二是+ 1 次多项式p 州的解，而 一) 二是下述线性方程组的根， n 1 ( _ ) 坳= j = ，x w ( x ) 出，o 尼 ( 2 1 7 ) 则t=fl 羔p ( _ ) 叶：l p ( x p ( x ) 出，o 七，印最卅 ( 2 1 8 ) 其中罡村是定义在某个指定区间上，所有不高于2 + 1 次的多项式构成的空间，称上式 中的 心) 二为权函数，且其值非负。 ( 2 ) g a u s s r a d a u 积分( 半开型) 如果节点= 一1 和 _ ) 二是如下+ 1 次多项式的零点： 2 基于矢量波动方程的时域谱兀法的基本理论 硕i j 论文 g ( z j2 p + l ( 了j + ( x ) 在上式中系数a 是使得g ( 一1 ) = 0 的常数，且 w ， ”是下述线性方程组的解：。 j ，d ， z ( x j ) _ 一j = 。w ( z ) 出，o 七) _ = f 。z w ( z 皿，o 七 ，- - - - 0 则 羹p ( _ ) w j = ，p ( x 少( x ) 也o k sn , 印罡 ( 3 ) g a u s s l o b a t t o 积分( 闭型) 如果节点而= 一1 ， x ，n 闰- 1 和h 三l 是如下+ 1 次多项式的零点： q ( x ) = p n + l ( z ) + 印( x ) + b p n l ( x ) 其中系数口，6 是使得g ( 一1 ) = g ( 1 ) = o 的常数，且 ) 二是下述线性方程组的根 羔( x j ) w j ：f 。 ( z 皿，o 后 ) = f 。w ( z 皿，o 后 ，- - - 0 则 丢n p ( _ ) m = m x p ( x ) 毗。后 ，印最州 2 1 3 谱方法中的诈夺名丽式 基函数和权函数的选取是应用谱方法进行数值计算的首要问题，也是关键问题。由 于权函数的选择依赖于基函数，因此问题的核心是基函数的确定。基函数的选取不仅依 赖于问题的求解区域，同时也与所求函数的特性有关。基函数的选取不同，不仅会影响 数值结果的精度，也会影响数值算法的有效性，因此选择适当的基函数是非常重要的。 在具有空间周期性或统计平均性的空间方向上，基函数通常取f o u r i e r 级数；对于其它 情况可选择区间卜1 ，1 】上的c h e b y c h e v 多项式和l e g e n d r e 多项式，或者是定义在区间 ( 娟，o o ) 上的h e r m i t e 多项式和区间【0 ，佃) 上的l a g u e r r e 多项式【1 们。这罩主要介绍具有 正交特性的基函数。 ( 1 ) l e g e n d r e 多项式 方程式 ( ( 1 一工2 ) 厶( x ) ) 。+ 七( j i + 1 ) 厶( x ) = 0( 2 1 1 5 ) 6 $ d 动 ” l j j j 2 j j j _ j 0 q q 亿 亿 硕i ：论文 微波电路的时域谱元快速分析 的特征函数构成了l e g e n d r e 多项式系( 厶( x ) ) 二，k 次l e g e n d r e 多项式的表达式为 l k ( x ) = 砉舢心心1 x k - 2 1 仁116)i=0 = 吉( 一1 ) f l i l “。 “ ( 2 二 其ml n 2 j 是n 2 的整数部分，该多项式系具有以下主要性质 且满足递推关系 厶( 1 ) = ( + 1 ) 七 厶( 1 ) = ( 圳互1 七( | j + 1 ) h 砒( x ) 出= ( 七+ 扩6 厶( x ) 导1 厶( x ) = x 厶十。( x ) = 百2 k + l 也( x ) 一鬲k 以一m 后 ( 2 1 1 7 ) l ( 2 1 1 8 ) i = 1 , 2 ，l j 对于任意属于r 【- 1 ，1 】的函数”，它关于 厶( x ) ) 。o o = 0 级数展开的系数为 缸( 七+ 批吣纵x 进( 2 1 1 9 ) 对于离散级数展丌的系数计算，为了提高积分精度，通常应用g a u s s 积分，对于不 同的g a u s s 积分公式取不同的插值节点和权函数。但是l e g e n d r e 多项式的g a u s s 求积节 点不能显示表示，只能用数值方法求解该多项式的零点来获得。这里给出几种基于 l e g e n d r e 多项式的g a u s s 型求积公式。 ( a ) l e g e n d r e g a u s s 求积公式的权函数： x j ( j = 0 ，l ，n ) 为k “的零点 = _ 鬲可，= o ，i ，i n ( 2 1 2 0 ) 7 ( 1 - x 2 ) 厶+ 。( _ ) 2 ，j 一 、 ( b ) l e g e n d r e - g a u s s r a d a u 求积公式的权函数： x j ( j = 0 l i ) 为“+ k + 。的零点 ：忐，：忐急：o ，1 ， _ 丽川2 而面苛划1 、， 7 l2l2 ，l 三苎于矢量波动方程的时域潜元法的堆奉理论 硕十论文 ( c ) g a u s s - l e g e n d r e l o b a t t o 求积公式的权函数： 而= 一1 ，h = l , x j ( j = l ，2 ，n 1 ) 为厶的零点 肾而丽而对 ( 2 ) c h e b y s h e v 多项式 方程式 ，= 0 ，1 ，n + 善驰) ：o + 万i 驰) 2 0 ( 2 1 2 2 ) ( 2 1 2 3 ) 的特征函数构成c h e b y s h e v 多项式系 瓦( 功) 二。该函数系是f 。x 、p a r k e r 【2 川正式提出 的。七次c h e b y s h e v 多项式的表达式为 荆= 兰。j ( - d ( - d 罴岩陬广2 ， 或者也可以写为 瓦( z ) = c o s k 0 ，0 = a r c c o s x c h e b y s h e v 多项式系有以下几个主要性质 t k ( - + 1 ) = ( + 1 ) 瓦( + 1 ) = ( + 1 ) k 2 腑x ，志出= 哇，其吣群冀 对应的递推关系式为 瓦( x ) = 1 石( z ) = z 瓦+ l ( x ) = 2 x t k ( x ) - t k l ( x ) ，七= 1 ，2 ， 任意函数材l w 2 一l ，1 】的c h e b y s h e v 级数展开系数为 玩= 去f ，甜( x 珥( z ) 以z ) 出 ( 2 1 2 4 ) ( 2 1 2 5 ) ( 2 1 2 6 ) ( 2 1 2 7 ) ( 2 1 2 8 ) ( a ) c h e b y s h e v g a u s s 求积公式的插值点和权函数如下： _ 紫，= 斋= 0 l ，( 2 1 2 9 1 ) j 2 n + 2 ： j n + “ j 。 8 硕士论文微波电路的时域谱兀快速分析 f 彘咿甍之州 亿。， ( c ) c h e b y s h e v - g a u s s l o b a t t o 求积公式的插值点和权函数如下： = c o s 等，_ = 妻，二兰i 耋一。 ( 2 1 3 1 ) 选定基函数之后，根据权函数的选取不同，谱方法可分为三大类，分别是g a l e r k i n 法，t a n 方法和c o l l o c a t i o n 法。 谱方法最初只能用于简单问题的求解，为了扩大谱方法的应用范围，将其应用于非 规则或者复杂几何区域问题的求解，发展出很多种新方法，比如映照法、拼接法、区域 分解法以及p a t e r a 4 3 1 提出的将谱方法和有限元结合的谱元法。最初，谱元法也只是应用 于流体力学的计算，后来由g a r yc o h e n 4 4 1 、q i n gh u ol i u t 3 0 1 将谱元法延伸到电磁场领域 中，自此计算电磁学出现了一种新的数值计算方法谱元法。它已经和有限差分法、有限 元法一起，成为计算电磁学中偏微分方程求解的主要数值方法。 2 2 时域谱元法s e t d 的原理 2 2 1 基函数的构造1 3 4 1 谱方法中基函数取为整体区域上的无穷可微函数，但对于一个较大的区域，整体上 的无穷可微函数比较复杂，对二维和三维问题尤其如此，为了克服这种困难，谱元法利 用了有限元的思想，把整个区域离散为有限个小单元，再在每个小单元上利用谱方法的 基函数，这样不仅使基函数简化，而且还能达到比有限元的矢量棱边基更高的精度。 谱元法其特点是具有高精度。为了达到这种谱精度，我们采用 g a u s s l o b a t t o l e g e n d r e ( g l l ) 基函数，该基函数定义在参考单元内。在一维标准参考单 元芎卜1 ，l 】中，阶g l l 基函数为列 屯州( 亏) = 一1 ( 1 一号2 ) ( 号) n ( n + i ) l u ( 亏，)( 亏一亏，) ( 2 2 1 ) 其中，= 0 ，1 ，n ，“( 号) 是阶勒让德多项式。其中g l l 积分点为方程式 9 2 基于矢量波动方程的时域i 元法的慕本理论硕十论文 ( 1 一号，2 ) 厶( 亏) = o 的( + 1 ) 个根，它们均定义在式亏卜1 ，1 内。式( 2 2 1 ) 中的基函数 满足屯( 号，) = 6 。的特性。 为了确保在相邻单元边和单元表面上场的切向连续性，我们采用矢量基函数。对于 三维空间一个标准的参量立方体单元儒，”，) - 1 ，1 x - 1 ，1 i x - 1 ，1 】( 见图2 2 1 ) 内，该基 函数为 图2 2 1 在参考单元内的矢量基函数。为了表示清晰一点，这里只给出了心= “= 乜= 2 的 情况，代表；，一代表，个代表西 面笔，= 勖_ i ! 心( 亏冲：“m 冲j ( ) 吒= 州舻m 埘代) ( 2 2 2 ) 面毛= 廓j ! 性( 芎冲! m 冲j ( ) 、。 这里壤，“，分别是参考域内沿着芎， 1 ， 三个方向上的基函数的插值阶数。基 函数西毛平行于亏方向，类似地，观，配分别平行于1 ， 方向。 由于g l l 基函数是定义在参考域内的，所以需要将其转换到直角坐标系中，它们 的映射关系为： f 面= 一面 卜= 扣加 q 2 3 其中，西代表参考域内的基函数，物理区域内的基函数为上式中的西，j 为雅克比矩阵。 硕上论文微波电路的时域谱，己快速分析 j = 上式中，( x ，y ，z ) 是参考单元内的结点坐标。 2 2 2 直边六面体网格离散及其参量变换 ( 2 2 4 ) 在选取适当的基函数之后，我们需要对整个计算区域进行离散。有限元对区域的剖 分要求很少。但如果在四面体里使用谱元法，则需要建立起四面体区域的正交多项式， 这些多项式必然有很复杂的结构，不利于设计好的谱元法。所以我们用六面体进行离散， 在六面体单元里使用谱元法更自然简单。 在使用六面体进行剖分时，分为以下三种情况：一是矩形六面体剖分，该方法适用 于一些方方正正的结构；二是直边六面体剖分，使用范围更为普遍，对于带有拐角或者 圆柱之类的模型它也能拟合的很好；三为曲六面体剖分，它的适用性则更为普遍。 对于剖分出束的每个单元格，其中的结点坐标需与参考区域内的结点坐标进行参量 变换，形成一一对应的关系。 7 a ，( b ) 图2 2 2 ( a ) 物理区域下的直边六面体( b ) 参考坐标系下的标准八面体 上图中，( a ) 图为真实坐标系下离散的单元网格，( b ) 图为参考区域内的单元网格。若 使用直边六面体剖分，真实坐标系下各结点的坐标值( t ，y i ，刁) 与参量坐标下各结点的坐 标值( x ，y ，z ) 的映射关系如下： 出一必七一卸瑟一必钞一必钞一饥砂一必缸一鸽苏一卸缸一必 2 基于矢量波动方程的时域谱元法的基本理论硕十论文 x = 尸( 亏，t 1 ， ) ，= l y = 只( 芎，t 1 ，) 只 ，- l z = p ( 亏，t 1 ， ) 弓 ( 2 2 5 ) 其中，聊是一个单元内的几何结点总数，p 为形函数。 只= 吉( 1 + 芎，亏) ( 1 4 - t i 几) ( 1 + ，) ( 2 2 6 ) 在这种情况下，式( 2 2 4 ) 所表示的雅克比因子j 可具体表示为： j = 善扣堋) ( 1 k 姚 善扣髂m 1 k ) x t 善扣洲1 堋) ，葺 善长( 1 + r 1 7 1 ) ( 1 + “沙， 吉( 1 + 亏，亏川，( 1 + ， ) 只 ，一t 0 善如删1 堋) ，乃 2 2 3 矩形六面体网格离散及其参量变换 t = l 吉芎r ( 1 + n 门) ( 1 + ，) 乙 吉( 1 + 亏焉川羽+ ， ) 乙 ，一l0 善扣锹1 堋蚝互 ( 2 2 7 ) f x = o 5 i x o + x + ( _ 一) 号 y = 0 5 b + 乃+ ( m y o ) n ( 2 2 8 2 ) z = 0 5 z o + 而+ ( 勿一面) 在矩形六面体中，由于x 只和参量号有关，y ，z 也分别只与参量 1 和 有关，则形成 lo 5 ( 五一x o ) 0 0 l j 2 1 0 o 5 ( m y o ) 0 l ( 2 2 9 2 ) 【- 0 0 o 5 ( 毛一z o ) - j 1 2 硕上论文 微波电路的时域谱兀快速分析 雷( 亏，t 1 ， ) = 西毛莎( 亏，1 1 ，) r = o _ = ot = o n l n nn + w - q 脚( 1 1 心1 1 ，) ( 2 2 1 0 ) r = os - - o ，= o n t n nn t n + 面三，恁，t 1 ，) = 面，e j 上式中，n 为未知量个数为3 ( 壤+ 1 ) ( + 1 ) ( 投+ 】) ，莎( 芎，q ， ，) ，印鸦，r l 。， ，) ， 小心，t 1 ，) 是电场在积分点( 亏，t 1 ，) 三个方向上的分量，即待求的未知量。但式( 2 2 1 0 ) 所求出的电场并不是真实坐标系下的电场值，若希望得到真实坐标下的电场值须进行转 换。 2 2 4 基于矢量波动方程的时域谱元法方程的建立及其差分离散格式 谱元法的求解过程与有限元法类似，分为以下几个步骤：( 1 ) 区域的离散和划分；( 2 ) 插值函数的选取；( 3 ) 方程组的建立；( 4 ) 方程组的求解。在一个区域q 内，它的边界 为s ，用和p 来表示区域内部的媒质特性，假设该区域内不存在电流分布。则q 内的 电场满足麦克斯韦旋度方程 v = _ p a - v 疗= 百o e o t ( 2 2 1 1 ) 研 、7 上面两式联立求解，可得到 v 吉v ) ：( 盹警o t = o ( 2 2 1 2 u 把( 2 2 1 2 ) 式称之为矢量波动方程。利用谱元法求解电路问题时，须强加边界条件： 五雷= 0 o r ，h x vx 丘= 0 o k 瓯( 2 2 1 3 ) 上式中为理想电壁，最是理想磁壁。 将式( 2 2 1 2 ) q b 的雷用基函数展开，并对该式利用变分原理和g a l e r k i n 法进行测试， 可得到频域谱元法的公式如下： 上( 蚧圣，p 警+ l ( 古( v 媳帆西砂觚( 2 2 1 4 ) 其紧凑格式为： 【s 】p + 吲萨d 2 c = o ( 2 2 1 5 ) 2 基于矢量波动方程的时域i 孚元法的基本理论硕i ：论文 冥中： 丁卜，肛和，函，咖 屹 吼= j ( v 西( v 面，) 咖 式( 2 2 1 4 ) 中的旋度可表示为： v 哦；= 矗警一等栌 v 面) m t q 拿警h 镟叫一渺警 d 。 d ( 1 v 哦e = 渺等妒一矗警舻也心 ( 2 2 1 6 ) ( 2 2 1 7 ) ( 2 2 1 8 ) 对于常微分方程的差分离散格式有前向差分、后向差分、中心差分和n e w m a r k d 差分法。在时域谱元法中采用中心差分，现给出用中心差分离散的原因。在式( 2 2 1 6 ) 中的 丁】，矩阵可具体表示为如下的式子： 【丁】 2p j = ，j = 。f ，i t 7 l ( 1 7 一l 西，) 7 ( 歹- l 西，) d 亏咖此 f 22 】9 ) = 肛j ：! ，。f 。吲( 了一帆心帆啦) 7 ( 了一1 屯心屯，心心) 必咖此、 。 在使用矩形六面体网格离散的情况下，为对角阵，且由于g l l 基函数的正交特性， 致使上式只有在m = m ，刀= n ，p = p ，的情况下才有非零值，则 丁 ，为对角质量阵。若 使用中心差分时间格式： z ，= 甜” ( 拟 甜”+ 1 一“”一1 斑2 d 2 z ，甜”制一2 “”+ “”一1 d t 2 ( f ) 2 ( 2 2 2 0 ) 对式( 2 2 1 5 ) 进行时频转换之后，得到的时域谱元法的公式为： 【t e ”+ 1 = ( 2 【r 卜( f ) 2 【s 】) e ”一【丁】p ”一 ( 2 2 2 1 ) 从上式中可以看出，用矩形六面体网格离散时，电场n + l 时亥un , j 的系数矩阵为对角质量 阵。在时间步的迭代求解时，可将【丁】矩阵直接求逆至方程式的右边，这样就能不用求 解矩阵，使求解时间大大减少，这是时域谱元法求解速度快的主要原因。 1 4 硕士论文 微波电路的时域谱元快速分析 2 3s e t d 、f e t d 、f d t d 方法数值精度的比较 在本节中，我们分析几个谐振腔算例，来说明基于矢量波动方程的时域谱元法的高 精度特性。 实例l ：用矩形六面体网格离散一个3 m x 2 m x 4 m 的谐振腔，时域加源采用正弦调 制高斯脉冲。图2 3 1 给出了s e t d 方法观察点时域波形的f f t 变换。表2 3 1 则给出了 s e t d 、f e t d 、f d t d 三种方法所得谐振频率与解析解之间的误差比较。 5 06 07 08 09 01 0 0 频率( 姗剔 图2 3 1s e t d 法观察点时域波形的f f t 变换 表2 3 13 m x 2 m 4 m 的谐振腔的谐振频率比较 解析值 s e t df e t df d t d 6 2 56 2 4 5 36 2 3 9 66 2 4 3 谐振频率( m h z ) 9 0 1 3 99 0 0 1 88 9 8 4 38 9 9 2 0 0 1 2 0 1 6 6 0 0 1 2 相对误差( ) 0 1 2 0 3 2 8 0 2 4 3 未知量1 9 8 36 3 9 61 4 4 0 0 剖分尺寸o 2 3 k o 0 3 k i no 0 6 k 实例2 ：用矩形六面体