（电磁场与微波技术专业论文）电磁散射问题的矩量法建模及其快速算法.pdf

电磁散射矩量法的快速算法与建模 摘要 矩量法是分析电磁散射问题最流行的方法之一。本文着眼于如何快速和有效的 处理理想导电体( p e c ) 的电磁散射问题，和建立能准确计算非均匀介质体的矩量 法模型，主要的工作包括： l 、用矩量法计算p e c 和介质体散射问题。从矩量法的数学模型出发介绍了用表面 场积分方程计算p e c 散射和用体电场积分方程计算非均匀介质体散射的实施过 程，并编程实现之。在处理体积分方程自阻抗单元奇异性的时候，采用了一种 基于坐标变换和数值积分的处理方法，直观有效地完成了奇异性处理。 2 、编程实现用自适应积分法( a i m ) 计算p e c 散射问题。将a i m 应用于精确有效 的计算较大电尺寸的二维平面结构和三维立体结构的p e c 散射问题。在a i m 算 法的实现技术方面作了两个改进：一是采用了新的多极子展开方案，保证了迭 代的数值稳定性；二是在差商逼近偏导数的过程中全部采用二阶形式，保证了 差商逼近偏导数的精度。给出数值算例，验证了方法效率和准确性。 3 、以混合位积分方程组为基础，首次采用三角形离散方案结合插值基函数，建立 计算介质柱体散射的矩量法模型。详细说明了该模型的建模过程以及矩量法的 实施过程，引进了新的测试方案消除了模型中的奇异性，又采用数值的方法结 合一个特殊的坐标系变换法，快速准确地解决了自阻抗单元的的奇异性问题。 给出数值算例，验证了模型的准确性。 装愈：锭砖阮铷 嫦4 獬派岳虢狠r 彳五袒铮弘蚀 东南大学硕士论文 a b s t r a c t m e t h o do f m o m e n t ( m o m ) i st h em o s tp o p u l a rm e t h o di na n a l y z i n g t h e e l e c t r o m a g n e t i cs c a t t e r i n gp r o b l e m s t h i st h e s i sf o c u s e so nc o m p u t i n gt h ep e r f e c t e l e c t r i cc o n d u c t ( p e c ) s c a t t e r i n gf a s ta n de x a c t l y ，a n de s t a b l i s h i n ge x a c ti n h o m o g e n o u s d i e l e c t r i cb o d i e sm o d e l ，t h em a i nw o r k so f t h i st h e s i sa r el i s t e da sf o l l o w ： 1 c o m p u t et h ep e c sa n dd i e l e c t r i cb o d i e ss c a t t e r i n gw i t l lt r a d i t i o n a lm o m s t a r i n gw i t l l t h em a t h e m a t i cm o d e lo fm o m ，i n t r o d u c et h ep r o c e s s e so fc o m p u t i n gt h ep e c s s c a t t e r i n gw i t hs u r f a c ef i e l di n t e g r a le q u a t i o na n dt h ei n h o m o g e n o u sd i e l e c t r i cb o d i e s s c a t t e r i n gw i t hv o l u m ee l e c t r o n i cf i e l di n t e g r a le q u a t i o n t h e np r o g r a mt oi m p l e m e n t t h e s ep r o c e s s e sa sw e l l p r e s e n tam e t h o dt h a t h a n d l i n g t h e s i n g u l a r i t yo ft h e s e l f - i m p e d a n c ee l e m e n t si nm o m m a t r i xs i m p l ya n de f f i c i e n t l ya l s o 2 d e v e l o pt h ec o d eo fa d a p t i v ei n t e g r a lm e t h o d ( a i m ) t h a tc o m p u t e st h ep e cs c a t t e r i n g a p p l ya i mi nc o m p u t i n gt h e3 - dp e c sp l a n sa n d 。s o l i ds t r u c t u r e ss c a t t e r i n g e s t a b l i s ha s c h e m ei nb a s i sf u n c t i o n st r a n s f o r m a t i o n ，w h i c he n h a n c e st h es t a b i l i t yo fa i mi t e r a t i o n r e d u c et h ec o m p u t i n gc o m p l e x i t yo fm a g n e t i cf i e l di n t e g r a le q u a t i o nw i t hd i f f e r e n t i a l q u o t i e n t ，w h i c hm a k e st h ec o m p u t i n gw h i c hc o m b i n e df i e l di n t e g r a le q u a t i o nm o r e e f f i c i e n t l y p r o p o s e dt h en u m e r i c a lr e s u l t st op r o v et h ec o r r e c t n e s so f t h i sc o d e 3 i m p r o v et h em o mm o d e lb a s e do np o t e n t i a li n t e g r a le q u a t i o n sf o ra c c u r a t e l y c o m p u t i n ge l e c t r o m a g n e t i cs c a t t e r i n gb yi n h o m o g e n o u sd i e l e c t r i cc y l i n d e r e s t a b l i s ht h e m o mm o d e lw i t ht r i a n g l eg r i d s p r e s e n tas c h e m eo ft e s t i n gw h i c he n h a n c et h es t a b i l i t y o ft h i sm o d e l a p p l yh i g ho r d e ri n t e r p o l a t i o nb a s i s e si nt h i sm o d e l ，p r o p o s eae f f i c i e n t m e t h o d ，w h i c hi m p r o v et h ec o m p u t i n gp r e c i s i o n ，h a n d l i n gt h es i n g u l a r i t yo f s e l f - i m p e d a n c ee l e m e n t s a l s od e v e l o pt h ec o d et h a tc o m p u t i n gt h ee l e c t r o m a g n e t i c s c a t t e r i n go fi n h o m o g e n o u sd i e l e c t r i cc y l i n d e r st op r o v et h em o d e lc a nc o m p u t e m e & 徒；崞 - 东南大学学位论文独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得 的研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含 其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得东南大学或其它教育机构 的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均 已在论文中作了明确的说明并表示了谢意。 东南大学学位论文使用授权声明 东南大学、中国科学技术信息研究所、国家图书馆有权保留本人所送交学位 论文的复印件和电子文档，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文。本人 电子文档的内容和纸质论文的内容相一致。除在保密期内的保密论文外，允许论 文被查阅和借阅，可以公布( 包括刊登) 论文的全部或部分内容。论文的公布( 包括 刊登) 授权东南大学研究生院办理。 研究生签名：避导师签名：丝日期 矿矿移 矗7 第一章绪论 1 1 研究背景及现状 第一章绪论 随着电子计算技术和电磁场数值方法的研究不断发展，近几十年来计算电磁学 已经成为一门十分活跃的新科学。计算电磁学是根据m a x w e l l 方程，利用适当的边 界条件，通过数值方法求解，确定所关心区域或物体内的电磁场分布、电位分布或 电流分布，进而算出所需要的物理参量。电磁场求解的数值方法由于其强有力的适 应性与通用性而得到了蓬勃发展，涌现出很多有效的计算方法，例如时域有限差分 法( f d t d ) i - t i 、矩量法( m o m ) 1 p l o 、有限元法( f e m ) 1 1 , 1 2 及边界元法( b e m ) 【1 1 垮，特别是进入二十世纪九十年代以后，随着计算机内存的不断扩大和计算速度 的不断提高以及计算方法的向前发展，计算电磁学已经成为一门非常重要的学科， 在很多工程领域中的作用也越来越显著。 电磁散射问题是计算电磁学主要研究方向之一，随着军事现代化的进程加速以 及通信科技的迅猛发展，对具有复杂形状电大尺寸目标的电磁散射问题的研究变得 越来越重要和迫切事实上，很多国防和民用研究都涉及到复杂目标的电磁散射建 模和快速计算问题，例如军用目标( 飞机、坦克、军舰等) 的隐身与反隐身研究， 雷达系统设计与雷达目标识别，城市电波传播建模等。如果对这些复杂目标先进行 实体建模，然后进行模型实验，通常需要反复多次才能达到较满意的结果。显然， 这样做的代价太高了，不仅浪费大量的人力和物力，而且还会浪费很多宝贵的时间。 采用基于计算电磁学发展起来的计算机软件平台进行快速、精确的电磁仿真，能够 节约人力和物力，并且缩短项目开发周期，从而大大提高经济效益。 自从r f h 明血昏o n 关于矩量法的著作 8 1 问世以来，矩量法( m o m ) 在电磁散射与 辐射问题的数值计算中得到了广泛的应用，已经成为电磁散射问题数值计算领域中最 受欢迎的方法之一矩量法是基于电磁场积分方程的数值方法，积分方程的主要优点 在于，一方面由于格林函数的引入，电磁场在无限远处的辐射条件已经解析的包含在 积分方程之中，这样未知量之间的关系可以准确的得到，避免数值色散；另一方面， 它产生的未知数的数目一般都比微分类方程少很多，比较适用于计算电大尺寸的电磁 散射。然而，由于矩量法的全局性，矩量法所产生的矩阵为稠密矩阵，这样经典矩量 法的数据存储量和计算复杂度都很高。因此快速算法的研究成为矩量法应用研究中的 l 东南大学硕士论文 一个热点。近t 几年来，出现了多种快速算法，如a i m 、c g f f t 、f m m 及m 2 , 。f m a 等“，这些快速算法大大扩展了矩量法的应用范围。与矩量法相联系的另一方面的问 题是离散模型的精确性和数值稳定性。一个精确的、数值稳定的离散模型与快速算法 相结合有着较高的实用价值。 1 2 本文工作 这篇论文主要研究针对理想导电体( p e c ) 和介质体散射的建模和快速算法，内 容包括以下三个方面：第一是对矩量法的原理、建模步骤和求解方法进行学习总结， 为随后的建模和快速算法的研究与应用奠定基础；第二是研究三维自适应积分法 ( a i m ) 在计算p e c 电磁散射中的应用；第三是研究以位积分方程组为基础，精确计 算非均匀介质柱的电磁散射的建模方案。 第二章介绍了矩量法的基本原理。详细介绍了矩量法的建模步骤，并比较了各 种场积分方程在计算电磁散射问题中的特点，包括电场、磁场和混合场积分方程。 叙述了矩量法具体实施细节，包括各种基函数应用，包括r w g 基函数，四面体对 基函数，阻抗矩阵和右边项生成的具体技术，结果的处理等，最后给出一些数值算 例。三维p e c 电磁散射的自适应积分法 第三章研究了三维p e c 电磁散射的自适应积分法a i m 。介绍了a i m 应用的细 节，分析a i m 计算二维平面结构和三维立体结构的计算复杂度和存储量。在a i m 算法的实现技术方面作了两个改进：一是采用了新的多极子展开方案，保证了迭代 的数值稳定性；二是在差商逼近偏导数的过程中全部采用二阶形式，保证了差商逼 近偏导数的精度。最后仍然给出数值算例，验证所论述的方法和方案的效率和准确 性。 第四章以混合位积分方程组为基础，首次采用三角形离散方案结合插值基函数， 建立计算介质柱体散射的矩量法模型。详细说明了该模型的建模过程以及矩量法的 实施过程，引进了新的测试方案消除了模型中的奇异性，又采用数值的方法结合一 个特殊的坐标系变换法，快速准确地解决了自阻抗单元的的奇异性问题，最后给出 一些数值算例以验证模型的准确性。 2 第二章矩量法原理和场积分方程模型 2 1 前言 第二章矩量法原理和场积分方程模型 自从二十世纪六十年代h a r r i n g t o n 提出矩量法【8 1 ( m o m ) 的基本概念以来，它在 理论上日臻完善，并广泛地应用于工程之中矩量法在电磁散射与辐射问题的数值 计算中得到了广泛的应用，已经成为电磁问题数值计算领域中最受欢迎的方法之 一。矩量法的主要优点在于它以积分方程为基础，可以使用任意弯曲几何的单元离 散和单元内未知量的高阶逼近，并且还精确地满足s o m m e r f e l d 辐射条件【h 】等。传 统矩量法是其它新的矩量法模型和快速距离法的基础。其中以场量为未知量的积分 方程模型【l 伽和电通量为未知量的积分方程模型 1 5 , j q 是使用最多的模型。由于对于理 想介质体电通和电场之间是简单的本构关系，二者实际都可以看成以场量为未知量 的积分方程。它们分别是计算p e c 散射和非均匀介质散射最广泛的矩量法模型，因 此我们以一章的篇幅来较为深入系统地加以介绍。 本章从矩量法的数学原理出发，按照以上两种积分方程建立矩量法模型数值求 解的基本步骤来讲述实旅过程，其过程包括：积分方程形式的选取和离散，阻抗矩 阵的生成及自阻抗单元奇异性处理，右边项的生成，矩阵方程的求解及散射场的计 算。由于篇幅有限，只对本人在研究生阶段的工作中涉及到的p e c 和非均匀介质体 的散射问题的矩量法模型、基函数形式、奇异性的处理做详细介绍，主要介绍三维 的情况，一部分二维介质散射问题将在第四章讨论，其余部分只做简单的介绍，感 兴趣的读者可以参考相关文献。本文中时间因子采用e x p ( j c o t ) 。 2 2 矩量法的数学原理 对于实际的电磁散射的数学模型，可以用一个算子方程来描述： k 三f = g( 2 1 ) 其中，工是线性算子。；是己知的源函数或激励函数，7 是待求的未知函数。7 和； 分别定义在不同的函数空间，和g 上，算子云将f 空间的函数映射到g 空间上。 。 j 。 一般要获得方程( 2 1 ) 的精确解是非常困难的，除非z 为非常简单的线性算子。 3 东南大学硕士论文 为了获得方程( 2 1 ) 的数值解，用盂中的基函数万，一f ：，万将7 展开成线性 组合 7 = 万 ( 2 2 ) 式中，是待求的标量系数。如果一m 且瓦 是一完备集，则等式( 2 2 ) 是精确的。 由于计算机容量的有限性，n 必须有限。此时，方程( 2 2 ) 的右边项是待求函数7 的 近似解，定义在f 的子空间，= 印。n 苡，万，万 内。将( 2 2 ) 4 - t ) k ( 2 1 ) ，再利用算子 z 的线性性质，可以得到 苤艺z ：一g ( 2 3 ) 上述方程定义在空间g 内。为了求解方程( 2 3 ) 以确定未知系数，将( 2 3 ) 在n 个 矢量罱，i ，i 。上进行投影，则( 2 3 ) 将转化为一个矩阵方程。如果专。且仁 是 一完备集，则此矩阵方程与( 2 3 ) 完全等价；如果n 为有限，则此矩阵方程是( 2 3 ) 在 g 的予空间g 。= 印a n 氟，一w 2 ，面j 上的投影。上述步骤即为矩量法的基本出发点，诃。 称为权函数。 在矩量法中，矢量于在面上的投影定义为于与面的内积 ( i ，7 ) = i d r 而) 确 ( 2 4 ) 其中+ 表示复共轭因此。方程( 2 3 ) 的近似形式可写为 喜吒仁，z 万) = ( - ，；) ) 坍= 1 , 2 ，n 。上述方程可以简写为矩阵形式 三v 一：一i( 2 6 ) 其中矩阵i 的元素由z 。= ( - ，乏z ) 给出，向量丁的元素为l = ( ，季) 获得。如果 矩阵i 非奇异，则未知向量矿可由方程( 2 6 ) 方便获得。这样，待求未知函数7 便可 由式( 2 2 ) 获得。 第二章矩量法原理和场积分方程模型 2 3 积分方程选取 矩量法使用积分方程，有用于计算理想导电体的表面电、磁场积分方程、组合场 积分方程，有用于计算非均匀介质体的体电场积分方程。 2 3 1 用于分析理想导电体o e c ) 散射的场积分方程 对于一个具有理想导电体( p e c ) 导体v 外表面，单位法向量卉指向外部， 应用边界条件，在足上，总场满足边界条件 矗( 盂。+ 雷) = 卉雷= 0 最o g 。+ 豆1 = 南豆= 7 ( 2 7 ) ( 2 8 ) 了为p e c 表面等效电流，雷( i ) ，雷( 尹) 为总场，p ( i ) ，序( f ) 为入射场，伊( f ) ， 日4 ( ) 为散射场 肚一硒凡l ( 舶，+ 虿1v v i 面， g c h 拶 曰扩) = 一l 7 扩v g 酽一尹凼 ( 2 1 0 ) 将( 2 6 ) 、( 2 7 ) 代入( 2 9 ) 、( 2 1 0 ) 卜h 峨地l ( 了，+ 专v v 诹力 g c 纠拶 。 ( 力= 互1 卉歹( 力+ 尸y l 了( 力v g 扩一即凼， 。 ( 2 1 2 ) 其中，岛，凡是真空中的介电常数和磁导率，积分符号p 矿f 表示c 删h y 主值积 分，【】血表示矢量的切向分量，g ( 尹一尹) 为格林函数，三维自由空间格林函数 g ( 卜即2 乏方丽r l ( 2 1 3 ) p 一向肚 自由空间波数岛= 口瓦i ( 2 1 4 ) 方程( 2 1 1 ) 称为电场积分方程( e f l e ) ，方程( 2 1 2 ) 称为磁场积分方程( m f i e ) ，二者 的线形组合为组台场积分方程( c f i e ) 东南大学硕士论文 a ( e f i e ) 十( 1 一侣) 7 7 0 ix ( m v - l s( 2 i5 ) 自由空间波阻抗 仇2 j 等 亿旧 ( 2 1 5 ) 式中口介于0 和1 之间，波阻抗叩。在( 2 1 5 ) 式中的作用是为了使e f i e 和m f i e 两部分有相同的量纲。 实践表明，e f i e 适用范围最广，它可以用于分析任意结构的p e c 散射体，而 m f i e 和c f i e 只能用于分析封闭的p e c 散射体。采用m f i e 生成的阻抗矩阵的条 件数最好，e f i e 最差。在分析封闭结构的时候，当工作频率在电场谐振频率附近时， e f i e 失效。类似地，当工作频率在磁场谐振频率附近时，m f i e 失效。庆幸的是e f i e 和m f i e 是不会同时失效的，因此c f i e 总能很好的分析封闭结构的散射问题。 2 3 2 用于分析非均匀介质散射的积分方程 设介质体是各向同性的，在介质体上的电场满足 e ( i ) = e ( i ) + e ( 尹)( 2 1 7 ) 彦满足( 2 9 ) 式，但是等效电流的定义是不一样的，在介质体中的电流满足 7 妒) = ，岛【i ，( i ) 一1 】丘妒) ( 2 i s ) 叠，( 产) 是位于f 处的相对介电常数。 介质体上的电通量为 西( i ) = 4 ( i ) 岛豆( i )( 2 1 9 ) 将( 2 1 7 ) ( 2 1 8 ) ( 2 1 9 ) 代x ( 2 9 ) 式，得到体电场积分方程( v e f i e ) 阳= 器一簖胁( 时廊，一专v v 删盼， g c w 枷，( 2 其中 岍等 2 4 基函数的选取和积分方程离散化 在矩量法的数学描述中，对算子方程离散实际上就是对未知函数的离散。在实 6 第二章矩量法原理和场积分方程模型 际电磁河题中，如上面所描述的积分方程( 2 1 1 ) 、( 2 1 2 ) 、( 2 2 0 ) ，未知函数就是理想 导体表面或介质体的电流分布函数了( i ) 。显然，对电磁场积分方程的离散就是把电 流分布函数展开成基函数的形式。离散积分方程的第一步就是选取基函数和权函 数。 2 4 1 基函数、权函数的选取 从数学原理可以看出，矩量法的一个关键步骤是基函数和权函数的选择。为 了使矩阵方程( 2 6 ) 的解更接近原问题( 2 1 ) 的解，和瓦应尽可能的完备。理想的 基函数和权函数应具备以下特性：可以获得高精度的解；易于计算矩阵单元z 。； 需要尽可能少的基函数与权函数数目以生成一小的系数矩阵；矩阵z 为良态矩阵。 然而，理想的基函数及权函数并不存在，且上述要求经常发生矛盾。 权函数的选择决定了测试的方式。对应于点匹配、线匹配、g a l e r k i n 匹配方 法，相应的权函数可取为点脉冲、线性函数、与基函数相同的函数。通常采用的 是点匹配和g a l e r k i n 匹配两种方法。虽然g a l e r k i n 匹配方法实施起来较为复杂， 但它的计算生成的阻抗矩阵的条件数最好，在迭代求解的时候效果较好。 根据分析物体的形状，我们有面形式的基函数和体形式的基函数；针对不同的 剖分形式，也有不同的基函数，例如基于矩形网格剖分或者基于三角形网格剖分 的基函数；在具体的剖分情况下又有不同的数学形式。这里只讨论本文工作中将 选用的几种基函数，它们也是实际问题中较为广泛应用的。 本文分析的结构有二维介质和三维p e c 散射体，用三角形离散，前者用脉冲 基函数，后者用r a o w i l t o n - g l i s s o n ( r w g ) 基函数【1 7 】来处理；三维非均匀介质 散射体，用四面体离散，用四面体对基函数i t 5 , 1 6 】来处理。对于脉冲基函数较为简 单，文献【s 1 有详细的介绍，本节中将介绍上面提到的其它基函数。 2 4 2 面基函数 对任意的p e c 表面，使用三角形剖分可以非常简单、有效地刻画出物体的局部 精细特征。对于三角形网格，使用的被广泛使用的r w g 基函数。每个基函数的定 义式为 东南大学硕士论文 露( i ) = 巧i n 露2 南( 卜啪， 0 ， 上2 a 7 , 磊= 冒l n 铲- _ i ) ， 图2 - 1 与内边相关的三角形对 ( 2 2 2 ) 上述基函数定义在一个三角形对鬈和巧之上，与一个内边( 公共边) 联系在一起，如 图2 - 1 所示。图中，乙是内边的长度，巧和巧是与其相联的两个三角形，群和彳 分别是三角形巧和r - 的面积，群是彳中由顶点0 + 指出的位置矢量，废是7 ：中 指向顶点0 一的位置矢量，露分别为0 的坐标。与面电荷密度相关的基函数的散度 为 v 岔( f ) = ( 2 2 3 ) r w g 基函数有非常清楚的物理意义。从定义中我们可以清楚地看到： 1 电流沿着三角形对巧和巧的边界流动，因此在外边界没有线电荷的存在。 2 在公共边( 内边) l 两侧，电流的法向分量连续，因此在内边上也没有电荷 p譬加 巧 一阼 洲 诧 p 憎矸加 巧 m 诧伽 埏 上q 上巧 第二章矩量法原理和场积分方程模型 积累。 3 在两个三角形矸和巧上，面电荷都是常数，同时总的面电荷为零。 从以上分析可以得出结论，r w g 基函数符合物理意义。同样，我们可以简化定义 方式，统一表达为 充= 咧“) 南( f 硼，芦譬， ( 2 “) v 荪栌洲”) 冬，i r ， ( 2 2 5 ) 在这里， = + ，一，s i g n ( + ) = 1 ，s t g ”( 一) = - 1 。 2 4 3 体基函数 d + 图2 - 2 与内面相关的四面体对 d 对任意介质体，使用四面体离散。对于四面体网格，可以采用四面体对基函数。 每个基函数的定义式为 嚣( 尹) = 参群2 砉( 卜魏，巧 0 ，e l s e w h e r e ( 2 2 6 ) 一务厉一舞( 。) ，巧 上述基函数定义在一个四面体对军和巧之上，与一个内边联系在一起，如图2 - 2 9 东南大学硕士论文 所示。图中，是内边的长度，巧和巧是与其相连的两个四面体。巧和吁分别是 四面体巧和巧的体积，露是巧中由顶点0 + 指出的位置矢量，露是巧中指向顶 点0 一的位置矢量，荒分别为0 2 的坐标。与体电荷密度相关的基函数的散度为 v 刀( f ) = 口n 矿+ o 巧 i 露 e l s e w h e r e i 巧 ( 2 2 7 ) 四面体对基函数有非常清楚的物理意义。从定义中我们可以清楚地看到： 1 在每个四面体中的任意方向、大小的电通量西( f ) 可以由四个独立的基函数线 形组合得到。 2 在公共面上，牙没有法向分量，即在内表面上没有电荷的积累。 3 彳和巧上，体电荷都是常数，同时总的面电荷为零。 从以上分析可以得出结论，四面体对基函数符合物理意义。同样，可以简化定义方 式，统一表达为 2 4 4 方程的离散化 - - b ( 驴嘞砉( 卜私硅砰， ( 2 2 8 ) v 宽( 力2 s 劬( “) 专，尹e 砰， ( 2 2 9 ) 对于三维p e c 散射体，将买表面离散为m 个三角单兀，它们司以生成n 个r w g 基函数，未知量为表面等效电流，它可以展开为 了( f ) = 以岔( i ) ( 2 3 0 ) 分别代入方程( 2 1 1 ) 、( 2 1 2 ) ，得 趴叫。= ，风喜( 以r c 力+ 吉v v ，以rc ， g 扩一，凼1 。 c z 引， 曰。( i ) i 。= ，l _ h 了妒) + 尸矿l 以筹( ，) v g 扩一f ，出i ( 2 3 2 ) - 舾1 i 伽 1 0 第二章矩量法原理和场积分方程模型 将( 2 3 0 ) 、( 2 3 1 ) 、( 2 3 2 ) 代x 。( 2 1 5 ) ，可以得到c f i e 的离散形式。 对于三维介质散射体，将其体积离散为m 个四面体，它们可以生成n 个四面体 对基函数，未知量为散射体上的电通量，它可以展开为 西( 尹) = 见r ( 尹) ( 2 3 3 ) 将上式代k ( 2 2 0 ) ，得 阳= 器一瑶胁薹l ( 坩胤伊丢v v 。船，p 嘞 ( 2 3 4 ) 2 5阻抗矩阵生成及奇异性处理 阻抗矩阵元素的积分公式采用通常的数值积分方法计算，如g a u s s 积分等，但 邻近单元必须进行奇异性处理。本节将介绍本文中采用的各种积分方程生成的阻抗 矩阵元素的表达式和部分奇异性处理技术。 2 5 1 阻抗矩阵元素表达式 征式( 2 1 1 ) 甲，米用g a d e r k i n 万纭测试，即用f 4 ( f ) 测试e f i e , 则计算三维p e c 散射体的e f i e 阻抗元素 z l = ，胁 露( 砂露( ，) g ( t r ) d s d s + 赤露c 砂v ”嚣( 尸，g ( t 力西协 = 觑硒 露( - ) 岔( 力g ( ，7 ) d s d s i 1 v 露( 力e v 岔( 尹) g ( 力凼协 ( z ) 由f 2 1 2 、式，用芦f n 测试h m f m 。计算三维p e c 数射体m f i e 阳梳元素 东南大学硕士论文 琵2 圭露( 陟岔( i ) 凼+ 疗x 露t 秒v g ( f 一力露( ，) d s 。s ( 2 3 6 ) 由( 2 1 5 ) 、( 2 3 5 ) 、( 2 3 6 ) 得到c f i e 的阻抗元素 砭= 口聋+ ( 1 一a ) q o 兹 ( 2 3 7 ) 类似地，在计算介质散射体时，用7 。( f ) 测试v e f i e ，得到阻抗元素 壤= 警一胁l 扣僚旁加预刖v 一寺r ( f ) v 露矿贾( 产) g 酽。咖铷j ( 2 3 8 ) 2 5 2 自阻抗单元奇异性处理 对于非临近单元的阻抗元素的计算，( 2 3 5 ) 、( 2 3 6 ) 、( 2 3 8 ) 采用面或体的高斯积 分可以稳定计算，当基函数单元与权函数单元重合或部分重合时，积分有奇异性， 可以采用解析方法加以处理，再进行数值计算求出。对r w g 奇异性的处理，在本 文工作中采用的是【l8 】中的方法，而对于四面体对基函数，由于在局部球坐标系下可 以把积分的奇异性去处，采用数值积分可以稳定地计算。 对于体积分而言，奇异点p 的位置在单元内部，如图2 3 所示，以p 点为极点 建立局部球坐标系，将单元分成四个小四面体。如图2 - 4 以p 点为原点建立球坐标 系下分别计算出每四面体上的积分值，然后相加就得到所求的积分值。 图2 - 3 1 2 第二章矩量法原理和场积分方程模型 尸 图2 - 4 积分( 2 3 s ) t 拘积分中外层关于1 ，的积分仍然采用商斯积分，内层关于1 ，的积分就 出现了奇异性，具有奇异性的积分可以表示为 = i 竹， ) 吾西 ( 2 3 9 ) f ( r ，以口) 表示被积函数的其他部分，= 扩一卅。在球坐标系下，有 = i l f ( ， ) r 2 s i n o a r d # d o = 儿，( 唧，o ) r s i n o d r d f 6 d o ( 2 4 0 ) 从上式可以看出积分的奇异性已经消除，数值实验证明，可以采用高斯积分来精确 计算。 2 6右边项和远场计算 2 6 1 入射场和右边项 在计算电磁散射问题时，入射场一般是采用平面波，为了方便定义极化方向， 我们将入射电场分解为x ，y 和z 方向的分量表示 其中传播方向定义为 豆( f ) = ( e 量+ e 夕+ e 2 弦正一= ( 曩每+ & ) p 丘 ( 2 4 1 ) t = 饨 1 3 ( 2 4 2 ) 查堕奎兰堡主堡奎一 坐标位置矢量为 r = h + y y + z z ( 2 4 3 ) 场分量只满足均匀平面波的舀方向的分量为每晷极化，同理可定义 ；极化。单位矢 量定义为 = s i n 9 , c o s , + ) s i n o , s i n 妒, + ic o s 8 , ( 2 4 4 ) 表示在球坐标系下入射方向为( 口，谚) 的平面波，在直角坐标系下的传播方向矢量。 由( 2 1 1 ) 式，用厂3 ( 尹) 测试e f i e ，右边项表达式 蟛= 露( i ) ( i ) 凼 ( 2 4 5 ) 由( 2 1 2 ) 式，f 3 i f ) 测试卉m f ，右边项表达式 嘭= 【嚣( 尹) - h x h l i f ) a s ( 2 4 6 ) w _ 由( 2 2 0 ) 式，f 。( 尹) 测试v e f i e ，右边项表达式 呼= l 刀( i ) ( f ( 2 4 7 ) 2 6 2 矩阵求解和远区r c s 方向图计算 通过本章前面的过程，我们将求解( 2 1 ) 算子方程转化为求解( 2 6 ) 的线性方程， 对线性方程组的求解有l u 分解，s v d 分解，q r 分解，c g 迭代等方法2 2 1 。 散射问题主要关心的是远区场，求解线性方程组之后，计算远区场雷达散射 截面( r c s ) 的过程如下： 远区磁矢量位j ( 尹) ，在，一o o 时 j ：告护( 咖剐一一州叫m 卅出t 4 ，r 7 爿一 从上式可以看出，远区的场近似为平面波，用球坐标表示时，有 e o = t l o h b = 一玎o h o ( e = 0 ，耳。o ) 舍去高阶项，保留主项r 一，就有了扩产生的磁场为 峨= ( v j ) ，= j k 4 ( 2 4 8 ) ( 2 4 9 ) 第二章矩量法原理和场积分方程模型 对应的电场为 峨= ( v x j ) 。= 一风4 ( 2 5 0 ” e 。= 叼o h = 一j ，l 矗。如= 一j p o 如 易= 一吼王= 一，7 0 4 = 一j 翻4 等效电流的两个分量可以表示为 以( ，) = 以( ，) c o s 口c o s + 以( ，) c o s 口s i i l 庐一j a r ) s i n e ( 力= 一正( ，) s i l l 妒+ 以( 力c o s 驴 ( 2 5 1 a ) ( 2 5 1 b ) ( 2 5 2 a ) ( 2 5 2 b ) 惩区天重饺位明两个分重j 以表不力 4 = 等茗以步舻肌州m m = c o s e 叫= 石e - j v 一( 2 - 5 3 b ) 4 = 等茗眇出z 妒m 嘶，帅z 酬拈等z ，的 札为未知量的个数，为第j 个未知量的解，元 ，y ，z ) 表示第j 个基函数r c s 3 n 图 r c s ( = 觋切2 罐= 2 嗡掣 在矩量法求解时，采用了关于空间波长厶的归一化，用了七o = 2 石，故实际的 r c s 为 r c s ( 口，妒) ，智= ( 吼) 21 1 ：；菩i ；学( i c o = 2 z r ) ( 2 5 5 ) 2 7数值结果和分析 首先，为了验证e f i e ，m f i e ，c f i e 在非谐振频段都能准确的计算，我们给 出下面算例。它们是分别用三个积分方程来计算半径口= 凡的p e c 球体的散射场， 九为入射波在自由空间中的波长。如图2 - 5 ，为用e f i e 、m f i e 和c f i e 计算的远 场的r c s 与m c i 级数解析解的对比，用边长不大于0 1 九的三角单元离散球体模型， 东南大学硕士论文 有2 6 7 0 个单元，4 7 3 0 个r w g 基函数，采用g a l e r k i n 方法，在c p u 为p 4 2 0 ，1 g 内存的p c 机上运行，填充矩阵e f i e ，m f i e ，c f i e 分别使用了8 1 4 0 3 3 秒，8 2 0 0 4 0 秒和1 6 7 9 0 3 4 秒，而在求解矩阵采用l u 分解法，采用三种方程计算分别用了 7 1 3 0 2 2 秒，7 1 2 0 3 2 秒和7 1 2 1 3 2 。从计算结果看，采用三种方程都可以精确的计 算非谐振频段内的p e c 散射体的r c s 。 第二个算例，是用v e f l e 计算半径为口= o 1 厶相对介电常数占= 2 0 的介质球体 的散射，用边长不大于o 0 5 四面体单元离散，需要2 3 0 个四面体单元，5 1 3 个未 知量，计算结果r c s 如图2 - 6 。 第三个算例，是用v f i e 计算内外半径为“= o 1 ，a s = o 1 5 ，内外层相对介电 常数巨= 4 0 ，岛= 2 0 的非均匀球体的散射，用边长不大于四面体单元离散模型， 需要3 1 1 个四面体单元，6 3 0 个未知量，计算结果r c s 如图2 7 。通过第二和第三 个算例，可以看出，虽然散射体不是很大，但是未值量却相对较大，当球体半径达 到0 5 时，以这两个算例中的相同大小的四面体单元离散，需要3 8 2 7 1 个单元，可 见用四面体对基函数离散v e f i e ，计算电大尺寸介质体的未知量是非常大，但是如 果介质体是薄板结构，或者体积较小，仍然可以有效的计算。 2 8 小结 在本章中，我们从矩量法的数学原理出发，介绍了几种常用矩量法的建模过程 与数值技术。这些模型有计算p e c 散射的表面积分方程：e f i e 、m f i e 、c f i e ，计 算非均匀介质体散射的v e f i e 。还详细地介绍了常用的r w g 基函数和四面体对基 函数。阐述了e f i e 、m f i e 、c f i e 和v e f i e 的优缺点，最后给出几个数值算例以 证明之。在后续章节中，我们将有针对性地围绕矩量法建模及其快速算法来展开研 究。 第二章矩量法原理和场积分方程模型 e 口 一 o o r e e 昌 已 冬 ) r e m e i 级数解 o 2 04 0 l o o1 2 01 4 01 6 01 s o 2 0 0 0o ) 图2 - 5 平面波从口= o 入射，否舀极化，金属球半径口= 厶 埘o2 04 01 0 呻 1 0 0 1 = 91 4 0t 8 01 8 02 e ( 。) 图2 6 平面波从口= o 入射，舀台极化，介质球体半径为口= 0 1 九。介电常数= 2 1 7 侣 5 o 毒 邯 啪 渤 渤舢搴：事舢舢舢舶舶 舶舶帕 东南大学硕士论文 e 口 一 ， o 比 5 0 m e i 级数解 - 2 0o2 04 08 01 0 0 1 2 01 4 01 6 01 8 02 0 0 图2 - 7 平面波从p = o 。入射，扫西极化，介质球体为q ：o 1 ，口2 ：0 1 5 ， 内外层相对介电常数毛= 4 0 ，岛= 2 0 1 8 第三章三维p e c 电磁散射的自适应积分法研究 第三章三维p e c 电磁散射的自适应积分法研究 3 1 前言 第二章提到的经典矩量法在解决电大尺寸物体的散射问题时，对内存和计算时 间的消耗比较大，存储量的量级o ( n 2 ) ，计算量的量级为o ( n 3 ) 。因此，降低存储 需求和提高计算速度的快速算法越来越受到人们的关注。白适应积分法( a i m ) 是当 前最流行的快速算法之一【2 3 之7 】，它的主要思路是用均匀的笛卡儿网格划分散射体所 在的空间区域，这个均匀网格划分的目的是为将快速f o u r i e r 变换f f t 用于矩阵向 量积的计算奠定基础。在生成矩阵元素时，近场区元素采用直接数值积分计算，而 远场区元素则用在网格节点上的辅助基函数相互作用关系代替原来基函数之间的 关系 在a i m 中，阻抗矩阵分成两个矩阵之和，一个是近场矩阵，一个是远场矩阵。 近场矩阵是一个稀疏矩阵，远场矩阵用两个稀疏矩阵和一个t o e p l i t z 矩阵的乘积表 示因此，为了计算矩阵元素，需要存储三部分数据：近场区的矩阵元素，基函数 到辅助基函数之间的转换关系，以及离散网格点之间的相互作用关系。因此所需要 的存储空间就大大减少。对于三维立体结构和二维平面结构，其存储量分别降为 o ( n ”2 ) 和0 ( ) 具体的储存需要量必须根据所设定的近场判定准则确定。 t o e p l i t z 矩阵与向量的乘积可以借助快速傅立叶变换( f f t ) 来实现圆，大大降 低了计算量。这个技术结合共轭梯度法( c g f f d 可以快速求解矩阵方程。对于三维 立体结构和二维平面结构其存储量分别降为o ( n 3 ”l o g n ) 和d ( n l o g n ) 。 本文的工作是在前人研究成果的基础上，提出一个从基函数到辅助基函数转化 的新的多极子展开方案，这个方案改变了多极矩量近似最优点的位置，进一步保证 了迭代的数值稳定性。为了减少f f t 的不必要的重复使用次数，提高了计算的效率， 可以用差商逼近偏导数伫8 1 。在用差商逼近偏导数的方案中，首次全部采用二阶差商 形式，具体而言，在均匀笛卡儿网格的边界点处采用“二阶偏心差商”替换通常的 一阶偏心差商，保证了逼近方案的高精度。最后给出数值算例，验证所论述的方法 和方案的效率和准确性。下面将按照a i m 算法实施的步骤依次介绍，包括基函数 的转换、a i m 算法中的矩阵元素生成、矩阵的迭代求解、误差估计、存储量和复杂 1 9 东南大学硕士论文 度估计及参数设定。 3 2 基函数的转换 在a d “算法中，从原基函数到辅助基函数之阳】的转换技术是非常重要的一步。 与以往的文献相比较，本文提出的转换方案改变了多极矩量近似最优点的位置，提 高算法的精度和稳定性。 从(