（电磁场与微波技术专业论文）计算电磁学中低频问题的积分方程方法研究.pdf

摘要 摘要 由于强烈的应用需求背景，计算电磁学中对精细复杂目标的电磁特性分析受到 了广泛的关注。精细复杂目标由于其几何特性，模型的剖分尺寸远小于波长。计 算电磁学中，对这类目标进行电磁分析的问题被称为低频问题。积分方程方法是 一种精确的数值计算方法，它能准确地预测物体电磁行为，并已经在散射问题中 得到了广泛的应用。然而，采用传统的积分方程方法分析精细结构目标的电磁特 性时遇到数值不稳定的困难。本文对积分方程方法解决低频问题进行研究。 首先，从积分方程的原理出发，介绍了积分方程的分类，并详细阐述了电场积 分方程的原理和矩量法的求解过程，然后对求解过程中的预条件方法基本原理作 简要介绍。 接着，本文研究了矩量法中采用环状树状基函数分解的低频处理技术。电场 积分方程方法在计算低频问题时出现数值不稳定现象，这便是所谓的低频崩溃， 本文首先分析了其出现的原因。接着研究环状树状基函数分解的处理技术，同时 讨论了对不同物体结构的环状树状基函数生成算法。然后研究了基函数重组预条 件及其相关技术加快计算的迭代速度。 再次，本文研究了低频快速多极子方法。快速多极子方法是积分方程方法中最 为有效的一种加速算法之一。为了克服传统快速多极子方法在计算低频问题时数 值不稳定的困难，本文采用了基于谱域格林函数展开的快速多极子方法，此方法 将格林函数分离成传播模项与凋落模项来避免低频崩溃的问题。然而，由于此方 法的方向依赖性，使得聚合配置量必须在六个方向上进行计算和存储。本文提出 利用坐标旋转对称性质，结合采用适当的积分策略，推导出对应方向上聚合配置 量的关系，减少了计算量和存储量。 最后，研究了能处理低频问题的增量型电场积分方程方法，这种方法是通过改 变积分方程的形式，分离传统积分方程方法中矢量位和标量位的作用，引入额外 的电荷基函数克服低频问题。本文提出通过改变方程的形式引入分块l u 分解，提 高了求解速度。本文还将此方法成功用于输入导纳参数的提取。计算实验表明， 增量型电场积分方程方法可以有效避免了低频崩溃的问题。 关键词：积分方程低频问题矩量法快速多极子方法 a b s t r a c t a b s t r a c t t h ed e v e l o p m e n to fan u m b e ro fe n g i n e e r i n ga p p l i c a t i o n sh a sc a l l e df o rt h e s o l u t i o no fc o m p l e xa n df i n es t r u c t u r e sw h e nt h es t r u c t u r e sa r es m a l lc o m p a r e dt o w a v e l e n g t h , a n dy e tt h ec o m p l e x i t yo f t h e s es t r u c t u r e sc a n n o tb ei g n o r e d a sak i n do f a c c u r a t en u m e r i c a lm e t h o 也t h ei n t e g r a le q u a t i o nh a st h ec a p a b i l i t yt or e l i a b l yp r e d i c t t h ee l e c t r o m a g n e t i cp e r f o r m a n c e ，w h i c hh a sb e e np r o v e di nw i d ea p p l i c a t i o no f s c a t t e r i n gp r o b l e m w h e ni tc o m e st ot h ec o m p l e xs u b - w a v e l e n g t hs t r u c t u r e s ，h o w e v e r , t h el o w f r e q u e n c yb r e a k d o w np r o b l e mh a sb e e no b s e r v e di nt h ei n t e g r a le q u a t i o nb a s e d m e t h o d t h i st h e s i si sa i m e dt oa n a l y s i st h el o wf r e q u e n c yp r o b l e m si nt e r mo ft h ei n t e g r a l e q u a t i o nb a s e dm e t h o d t h e r ea r es e v e r a ls e c t i o n sa st h ef o l l o w i n g f i r s to fa l l ，t h el o o p - t r e eb a s e sd e c o m p o s i t i o nt e c h n o l o g yi s a p p l i e di ne l e c t r i c f i e l di n t e g r a le q u a t i o n ( e f i e ) t oo v e r c o m et h el o wf r e q u e n c yp r o b l e m t h et h e s i s d i s c u s s e st h er e a s o no fl o w f r e q u e n c yb r e a k d o w ni ne f i ea n dt h ea l g o r i t h mf o rf i n d i n g t h el o o p t r e eb a s e s m o r e o v e r , t h eb a s i sr e a r r a n g e m e n tp r e c o n d i t i o nm e t h o di ss t u d i e d ， w h i c hc o u l dd r a m a t i c a l l yi m p r o v et h ei t e r a t i o ns p e e d a tt h es e c o n dp l a c e , t h ef a s t m u l t i p o l ea l g o r i t h m ( f m a ) b a s e dt h es p e c t r a l r e p r e s e n t a t i o no ft h eg r e e nf u n c t i o ni si n t r o d u c e d i th a sb e e nv e r i f i e dt h a tt h ef a s t m u l t i p o l ea l g o r i t h mi sh i g h l ye f f i c i e n tt os o l v el a r g e s c a l ee l e c t r o m a g n e t i cs c a t t e r i n g p r o b l e m s b u tw h e nt h ed i s c r e t i z a t i o ni ss m a l lc o m p a r e dw i t ht h ew a v e l e n g t h ，f m a s u f f e r sf r o mt h ep r o b l e mo fs u b w a v e l e n g t hb r e a k d o w n o n ew a yt oo v e r c o m et h e s u b w a v e l e n g t hb r e a k d o w no ft h et r a d i t i o n a lf a s tm u l t i p o l ea l g o r i t h mi s t ou s et h e s p e c t r a lr e p r e s e n t a t i o no ft h eg r e e nf u n c t i o n f u r t h e r m o r e ，an e ws c h e m eo fi n t e g r a l r u l et or e d u c et h em e m o r yc o n s u m p t i o na n dt h ec o m p u t i n gc o s ti sp r o p o s e di nt h i s s e c t i o n t h i r d ，an o v e li n t e g r a lm e t h o dc a l l e da u g m e n t e de l e c t r i cf i e l di n t e g r a le q u a t i o n ( a u g m e n t e de f i e ) i su s e dt os o l v el o wf r e q u e n c yp r o b l e m t h r o u g ht h ep r o c e s so f s e p a r a t i n gt h ec u r r e n t sa n dc h a r g e s ，t h es e p a r a t e dc u r r e n t sa n dc h a r g e se f i ei sf r e eo f l o wf r e q u e n c yb r e a k d o w n t h ea u g m e n t e de f i ei n c l u d e sc h a r g e sa se x t r au n k n o w n st o i i a b s t r a c t s e p a r a t et h ec o n t r i b u t i o no ft h ev e c t o ra n ds c a l a rp o t e n t i a l s f u r t h e r m o r e ，t h eb l o c kl u m e t h o di sa p p l i e di nt h ea u g m e n t e de f i et oa c c e l e r a t es o l v i n gp r o c e d u r e f i n a l l y , t h e m e t h o di su s e di nt h es o l u t i o no fe x t r a c t i n gt h ei n p u ti n d u c t a n c ep a r a m e t e rf o rs o m e a p p l i c a t i o nm o d e l ss u c c e s s f u l l y k e y w o r d s ：i n t e g r a lm e t h o d ，m e t h o do fm o m e n t s ，l o wf r e q u e n c yp r o b l e m ，t h ef a s t m u l f i p o l em e t h o d i i i 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工 作及取得的研究成果。据我所知，除了文中特另, j t l 以标注和致谢的地 方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含 为获得电子科技大学或其它教育机构的学位或证书而使用过的材料。 与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均己在论文中作了明 确的说明并表示谢意。 签名：二翌叠峄日期：娜7 年千月彳日 关于论文使用授权的说明 本学位论文作者完全了解电子科技大学有关保留、使用学位论文 的规定，有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁 盘，允许论文被查阅和借阅。本人授权电子科技大学可以将学位论文 的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或 扫描等复制手段保存、汇编学位论文。 ( 保密的学位论文在解密后应遵守此规定) 签名：璺咩导师签名- 二墼 日期；哆年午月吵日 第一章引言 第一章引言 1 1 研究工作的背景和意义 十九世纪中叶，麦克斯韦( m a x w e l l ) 将宏观电磁场的基本规律用一组优美的 数学方程表示，此成果也被誉为1 9 世纪最显著的科学成就之一。此后，电磁场理 论的研究取得了丰硕成果并得到了广泛的应用，大大的促进了科学技术的发展和 人类社会生活的变化。 电磁学研究在很长一段时间关注的是麦克斯韦方程组在各种条件下的解析解。 用解析法求解电磁场的边值问题是一种解决问题的理想方法，然而，由麦克斯韦 方程组导出的数学方程对所求解的问题要求苛刻，只有很小一部分特殊问题能够 获得精确解析解，远远不能满足日益增长的工程需求。 由于解析法的局限性，人们不断致力于发展近似方法甚至数值方法。早在1 9 7 9 年麦克斯韦本人曾试图用一种被称为面积法的近似方法求有关矩形平板电容的积 分方程数值解。后来不少研究者发展了很多有效的近似方法，但缘于计算条件的 限制，其发挥的作用有限，很多实际问题并不能得到有效解决。 电子计算机的出现是上世纪最伟大的科技进步之一，它同时也开创了电磁场计 算的新时代。随着计算机时性能的稳步提高，采用计算机来求解电磁学问题，进 行电磁仿真，具有很多比试验方法的很多优势，因此已成为各种应用领域的通用 方法。在这个领域里，计算电磁学扮演了重要的角色。现代技术的许多方面都与 电磁场有关，对复杂电磁系统的分析与综合，以及对复杂目标的分析与计算，都 成为现代技术发展的重要课题。 在计算机芯片的高速电路设计和封装设计、集成电路设计与器件参数分析、特 殊目标的电磁散射分析，以及一些电磁兼容全波分析中，分析的物体是极其精细 和复杂的。对这些问题进行电磁分析，精确地求解其电磁参数，传统的解析法是 不适用的，因为解析方法只能求解一些极其规则和典型的物体。然而数值方法也 同样遇到困难，其虽能求解复杂目标，但遇到精细复杂物体时，由于物体几何特 性的重要性，其几何建模中剖分尺寸远小于波长，这样导致传统的数值方法出现 数值不稳定性。这些应用领域急需一种当远小于波长的复杂结构进行电磁分析的 精确求解方法。 电子科技大学硕士学位论文 计算电磁学中，当分析的物体剖分尺寸远小于波长，或者计算频率很低，这一 类问题称为低频问题。由于强烈的工程需求，学术界对此问题给予了前所未有的 重视，不少科研团队也对此问题做出了深入和有建设性的研究。 1 2 研究历史与现状 借助计算机用数值法求解问题出现了不同的方法，包括微分方程类方法和积分 方程类方法。微分方程类方法中时域有限差分( f i n i t ed i f f e r e n c e t i m e d o m a i n ，简称 f d t d ) 法是由k s y e e 在1 9 6 6 年发表的论文【i 】中首次提出。时域有限差分法是 直接将含时间变量的麦克斯韦方程在y e e 氏网格空间中转换为差分方程；在每一 个时间步计算网格空间各点的电场和磁场分量，随着时间步的推进，能直接模拟 电磁波的传播与物体的相互作用过程。时域有限差分法是直接从麦克斯韦方程组 出发，不需其它导出方程，避免使用更多的数学工具，是一种简单、直观和容易 掌握的方法。 在f d t d 被提出的同时期，已经在其它学科中获得成熟应用的有限元法( f i n i t e e l e m e n tm e t h o d ，简称f e m ) 被引入电磁计算中，称为一种重要的微分类数值方法。 有限元法是从变分原理和加权残数出发，通过区域剖分和分片插值，将待求解的 数学物理方程的边值问题化为线性代数方程组的求解问题【2 】。其最大特点是，先通 过各种形式将解域划分成有限个单元，再在每个单元构造分域基函数，利用里茨 法或伽略金法构造代数形式有限元方程。有限元方法的有点其离散单元灵活，容 易精确模拟各种复杂的几何结构，并通过选择取样点的疏密情况适应场分布的不 同情况，保证计算精度要求的同时不增加过多计算量。另一个优点是其所形成的 矩阵是稀疏对称的，便于代数方程求解。然而，与积分方程方法相比，它可能比 积分方程方法的解域多一维，未知量相应增大，另外，并须采用吸收边界条件 ( a b s o r b i n gb o u n d a r yc o n d i t i o n ，简称a b c ) 等截断计算空间，将无限大空间的计 算问题限制在有限空间内的方法来计算开放问题，这同时也增加了计算的复杂性。 此外，有限元方法在计算低频问题时也出现了数值不稳定的问题，一些相应的处 理方法也在研究之中。 积分方程方法是计算电磁学中很高效的一类方法，到目前为止此类方法已经成 功的应用在很多领域。根据未知量所在区域的不同，积分方程方法可分为未知量 位于表面的表面积分方程方法( s i e m ) 和未知量位于物体内部的体积分方程方法 ( v i s m ) 。 2 第一章引言 在表面积分方程方法中，可利用电场和磁场的边界条件建立电场积分方程方法 ( e l e c t r i cf i e l di n t e g r a le q u a t i o n ，简称e f i e ) 和磁场积分方程( m a g n e t i cf i e l d i n t e g r a le q u a t i o n ，简称m f i e ) 【3 】。由于对应的阻抗矩阵条件数的不同，磁场积分 方程的收敛速度要比电磁积分方程快得多。但是，磁场积分方程只适用于封闭的 结构，电场积分方程同时适用于封闭和开放的结构。同时，电场积分方程具有更 高的求解精度。 在计算电磁学中低频问题的求解中，传统的电场积分方程会遇到数值不稳定的 情况，这被称为低频崩溃( l o w f r e q u e n c yb r e a k d o w n ) 问题【4 。8 】。低频崩溃导致了 其在低频问题的求解中得不到精确解，同时也阻碍了其在复杂精细结构中的应用。 这个问题首先被w i l t o n 和g l i s s o n 观察到，并采用环状一树状基函数( l o o p t r e e b a s i s ) 方法分析了一个理想导体平面的矩形网格离散模型【4 】。m a u t z 和h a r r i n g t o n 提出了环状星状基函数( l o o p s t a rb a s i s ) 方法，并对在低频时数值不稳定的原因 作了更详细的阐述。l i m ，r a o 和w i l t o n 将环状星状基函数方法应用到他们的三 角形网格离散模型中【9 】。w u ，g l i s s o n 和k a j f e z 分别比较了采用环状树状基函数 和环状星状基函数方法得到的结果【5 1 。 常用的求解积分方程的方法是矩量法( m o m ) 【1 0 1 。r i c h m a n 和h a r r i n g t o n 最 早将矩量法用于电磁问题的求解中，系统的论述被发表于h a r r i n g t o n 的著作计 算电磁场的矩量法( f i e l dc o m p u t a t i o nb ym o m e n tm e t h o d ) 中。此后，矩量法成 为电磁场问题数值求解的主要方法之一，广泛用于许多工程实际求问题的求解。 矩量法存在几个限制，一是必须针对所要求的问题导出相应积分方程并选择、构 造全域或分域上满足边界条件的基函数，这对某些问题来说是相当困难的。由于 所形成的矩阵是满阵，因此未知量增大后，求解异常困难。因此，各种快速方法 被提出，快速多极子方法( f a s t - m u l t i p o l em e t h o d ，简称f m m ) 1 1 1 - 1 6 是发展较为成 熟的一种方法，并得到了广泛的应用。 上世纪8 0 年代，快速多极子方法被提出，开始用于求解拉普拉斯方程。9 0 年 代以来，美国u i u c 的w c c h e w 教授所领导的课题组采用快速多极子方法解决 了很多令人激动的问题，使得此类方法称为业界最为著名的一种数值加速方法。 然而，传统的快速多极子方法是不可用于低频问题的，它建立的机理决定了在低 频必然导致了不稳定。 关于低频问题求解的快速多极子方法，目前国际上存在三类方法。其一是c h e w 教授课题组的基于平面波展开的快速多极子算法，为了用在求解低频问题上，这 种方法对贝塞尔函数进行了尺度的归一化，这样避开了由于计算机精度限制所导 3 电子科技大学硕士学位论文 致的转移因子中数值不稳定的问题，从而使其能应用于低频问题。j s z h a o 首先 开发了低频快速多极子程序b 7 1 1 s 。 第二种国际上出现的算法，属于快速非均匀平面波算法( f i p w a ) 在低频的一 种扩展。快速非均匀平面波算法( f i p w a ) 是美国u i u c 的b h u 和w c c h e w 于1 9 9 9 年提出的全新算法【1 9 。2 3 1 。其多层形式的计算复杂度为o ( n l o g 们，与m l f m a 相 当。并且该算法直接基于格林函数谱域展开，其转移因子不再含有特殊函数，而 仅仅含有初等函数，这给数值实现和稳定性控制带来了方便。同时，由于包含分 层信息的广义反射系数在谱域积分的积分核，而其对格林函数展开又直接基于谱 域积分，因此在处理分层问题中界面影响时仅需要在转移因子中增加一项广义反 射系数，不会引入任何近似。这也是该算法的潜在优势所在。低频快速非均匀平 面波算法( l f f i p w a ) 使用了凋落波转移来保证方法的精确性。 第三种是由斯坦福大学e r i ed a r v e 教授提出了另一种实现方式【2 4 】，此种方法能 在低频到高频时都能稳定求解。这种方法和低频快速非均匀平面波算法 ( l f f i p w a ) 都是基于同一个公式，但是两种方法是不同的，因两种方法采用了 不同的积分路径。 1 3 本文研究工作的主要内容 本文的研究内容主要包括： ( 1 ) 分析低频问题中电场积分方程的低频崩溃的原因，并研究了采用了环状 树状基函数分解的处理方法，同时研究了对不同物体寻找环状树状基函数的算法， 并采用基函数重组预条件技术以及利用几何信息加速矩量法的迭代求解过程。 ( 2 ) 研究了传统快速多极子方法在求解低频问题时崩溃的原因，并研究了采用 谱域格林函数展开的频率稳定快速多极子方法，实现低频到高频的稳定计算。 ( 3 ) 研究了处理低频问题的新型积分方程方法增量型电场积分方程方法， 这种方法采用矢量位和标量位分离的技术避免了低频崩溃问题，同时也避免了繁 琐的环状树状基函数寻找过程。 1 4 本文研究工作的主要贡献 本文研究工作的主要贡献如下： ( 1 ) 实现了环状树状基函数在不同结构上的生成过程，并实现了采用环状树状 4 第一章引言 基函数的矩量法中基函数重组预条件技术，加速了计算求解过程。 ( 2 ) 实现了频率稳定的快速多极子算法，能实现当分组盒子小于0 2 2 , 时稳定计 算，可实现低频到高频问题的求解。 ( 3 ) 首次提出了采用坐标对称特性简化低频快速多极子方法中聚合量和配置量 的计算和存储，按照此方法，聚合量和配置量的计算和存储量可降低一半。 ( 4 ) 实现增量型电场积分方程的算法，有效的避免繁琐的环状树状基函数寻找 且能准确的求解低频问题。 ( 5 ) 提出通过改变增量型电场积分方程形式，再应用分块l u 算法加快矩阵求解 速度。 1 5 本文的章节内容安排 第一章介绍了计算电磁学中低频问题的需求背景，简要介绍了相关的研究历史 和研究方法背景。第二章介绍了计算电磁学中积分方程的相关理论和矩量法的相 关背景。第三章介绍了计算电磁学中著名的低频崩溃问题，并研究了其原因，接 着研究了对不同结构物体的环状树状基函数生成算法，并研究基函数重组预条件 技术。第四章首先介绍了快速多极子方法的原理，然后分析了传统快速多极子方 法计算低频问题时不稳定的原因，然后采用谱域格林函数展开的方法开发了能计 算低频问题的频率稳定快速多极子方法，然后陈述了一些改进的过程，降低了计 算量和存储量。第五章研究了解决低频问题的新型积分方程方法，描述了增量型 电场积分方程方法及其相关应用。 5 电子科技大学硕士学位论文 第二章积分方程方法和矩量法原理 积分方程方法是一种应用广泛同时又是一种比较精确的数值方法。它属于泛函 分析的一个重要分支，是研究偏微分方程加边界条件的边值问题的一种重要数学 方法。实际的电磁问题中，很多问题是不能获得严格解的，而积分方程可以利用 许多近似方法来获得具有明确解析表达式的近似解。由于未知量仅定义在源分布 的区域上，积分方程方法比其它方法具有很多优势。比如，一个理想导体的散射 问题，未知电流只需要定义在导体的表面，而不是整个传播空间。这样一来，积 分方程类方法的未知量数目要比微分方程类方法少得多。此外电磁场在无限远处 的辐射条件已经解析的包含在积分方程方法之中，这是因为格林函数被引用进来。 同时，格林函数精确地描述了电磁场的传播过程，其数值色散误差可以减至很小。 但另一方面，此方法所产生的矩阵是一个稠密矩阵。其计算存储量为 o ( n 2 ) o ( n 3 ) 的范围内。对于未知量比较大的问题来说，其往往产生了一个巨大 的线性待求方程组，这就需要高速的求解方法或者高效的迭代方法来加快电磁问 题的求解过程。 2 1 积分方程简介 积分方程是指那些未知函数包含在积分算子里的方程【2 5 1 。常见的傅里叶变换， 拉普拉斯变换以及汉克尔变换都属于积分方程范畴。 线性积分方程是最为常见的积分方程。通常情况下，线性积分方程可分为两大 类：f r e d h o l m 积分方程和v o l t e r r a 积分方程。其中f r e d h o l m 积分方程分为第一 类第二类和第三类，可分别表示为 ( x ) = 广k ( x ，t ) o ( t ) d t m 厂( x ) = ( f ) 一力f k ( x ，f ) ( f ) d r ( 2 1 ) ( 2 - 2 ) f ( x ) = 口( x ) ( f ) 一兄rk ( x ，t ) t d ( t ) d t ( 2 - 3 ) m 6 第二章积分方程和矩量法原理 式中五是一个标量( 有可能是复数) 参数。o ( x ) 是未知。函数k “f ) 和f ( x ) 以 及积分下限a 和积分上限b 都是已知的。函数g ( x ，t ) 被称为积分方程的积分核 ( k e r n e l ) 。参数兄有时等于1 。 另一方面，第二大类积分方程即v o l t e r r a 积分方程的第一类、第二类和第 三类可分别表示为 厂( 力= r k ( x ，f ) ( f ) 出 厂( 工) = ( f ) 一五r k ( 毛f ) ( f ) 出 ( 2 4 ) ( 2 5 ) 厂( z ) = 口( x ) ( f ) 一五rk ( 五f ) ( f ) 出 ( 2 6 ) 从上面的式子可以看出，v o l t e t r a 积分方程与f r e d h o l m 积分方程不同的地方 是其积分上限是一个变量。 此外，积分方程还有非线性积分方程。如果未知函数( x ) 在方程中以高幂次 的形式出现，那么其积分方程便是非线性的。例如下式表示的积分方程 厂( 功= 西( f ) 一r k ( 五f ) 2 ( t ) d t ( 2 7 ) 便是一个非线性积分方程。另外，如果积分下限a 和积分上限b 以及积分核k ( x ，t ) 是无限的，那么积分方程便是奇异的。 2 2 电场积分方程( e f i e ) 方法 积分方程方法可以通过格林函数推出。在电磁学中，积分方程被称为 s 仃a t t o n c h u 积分方程【2 6 】。 表面积分方程最早是由s t r a t t o n 和c h u 将矢量格林定理与麦斯韦方程相结合而 得出的。通常情况下，表面电流和表面磁流是面积分方程中的待求量。表面积分 方程方法通常有电场积分方程方法( e f i e ) 、磁场积分方程方法( m f i e ) 和混合 场积分方程方法( c f i e ) 。电场积分方程可以用于计算丌放体和闭合体，而磁场积 分方程和混合场积分方程只能用于计算闭合体。在低频问题中，通常待分析的物 7 电子科技大学硕士学位论文 体都是极其精细和复杂，甚至常遇到穿孔、打眼等结构，此外，分析的物体常常 碰到开放体结构，电场积分方程通用性更高。本文主要介绍电场积分方程方法。 如图2 1 所示， 待求物体表面在入射场作用下，产生了表面感应电流i ，和表 面感应磁流m ，域a 的介质常数为占和。 域a m s 图2 - 1 散射体及源的分布 这里我们只分析金属目标，对于金属散射体来说，丝= o 。根据等效原理，我 们可以用e ”和日”表示其在域a 中产生的电场和磁场，那么域a 中的总场为 e = 占“+ e ” ( 2 - 8 ) = h “+ 日“ ( 2 - 9 ) 那么其产生的散射场为 曰“= i o g a - r e ( 2 - 1 0 ) 其中a 为矢量磁位，矽为标量电位，表达式为 ) = 卷f 正- - 等d s 7 ( 2 1 1 ) 船) = 去f p 譬凼 ( 2 - 1 2 ) 上面积分式中其积分域为散射物体表面。k 为自由空间中的波数k = 2 x 2 ，a 为自由空间中波长。，g 分别为自由空间的磁导率、介电常数。r 为表面上场点与 8 第二章积分方程和矩量法原理 源点的距离。 而表面电荷密度p 可由电流连续性定理得出 飞s js = i o p 由金属表面的边界条件，我们可以得到 v , 2 = 一( i o a v ) i 劬 代入矢量磁位和标量电位，可以得到 f 加，) + 万1v 州) v 譬舭矾，) 这样可以得到经简化过的电场积分方程( e f i e ) 公式 墨e 吞( ，r 3 ，( ，) d s ，：e r m ( ，) 4 m 趣 、。 ( 2 1 3 ) ( 2 1 4 ) ( 2 1 5 ) ( 2 - 1 6 ) 其中r 为场点坐标，r 7 为源点坐标。吞( ，i ) = 7 一万1v v 譬为并矢格林函数。 2 3 矩量法 矩量法，又称广义伽略金法，它是求解微分方程和积分方程的一种重要的数值 方法。自从1 9 6 8 年r o g e reh a x r i n g t o n 提出矩量法以来，矩量法在电磁学中得到 了广泛的应用，已经成为求解各种天线辐射、复杂散射体散射、微波网络、生物 电磁学、辐射效应研究、微带线分析以及电磁兼容问题的有效工具。 历史上，采用基函数和权函数离散化的积分方程数值方法被人们称为矩量法； 而同样的过程用于微分方程时通常被称为加权剩余法。 2 3 1 矩量法原理 矩量法的原理是用许多离散的子域来代表整个连续区域，在子域中，未知函数 用带有未知系数的基函数来表示。通过这种方法，有限个自由度的问题可以来近 似逼近无限个自由度的待求问题，然后， 配法或伽略金方法) 得到一组代数方程， 9 用适当的匹配方法( 如点匹配法、线匹 通常可称为矩阵方程，求解这一矩阵方 电子科技大学硕士学位论文 程便可获得最终结果。 矩量法是指将算子方程化为矩阵方程，通过求解这一代数矩阵方程来求解问题 的数学方法。若待求解问题有如下形式的非其次方程 ( 门= g( 2 1 7 ) 为算子，算子方程可以是微分方程、差分方程或积分方程，g 是已知函数如 激励函数，厂为未知函数如电流。矩量法就是将( 2 1 7 ) 式所描述的连续方程离散化 为代数方程组，用数值法求出近似解，它包括三个基本的求解过程： 离散化过程：这一过程的主要的目的在于将算子方程化为代数方程。设空间为 线性的，在算子三的定义域内选取一组基函数眠) ，将待求函数厂展开为它们的线 性组合： ， = z ( 2 1 8 ) 式中，为带求系数，z 称为基函数或展开函数， 入( 2 1 7 ) 式，并因为线性算子，可得 玩g n = l 由我们选取。将( 2 - 1 8 ) 式代 检验过程：在三域内选择一组加权函数( 或检验函数) 彬， 合 ) ，并以每一既对( 2 1 9 ) 式两边求内积，得到 吒( ，玩) ( 既，g ) ( m = 1 2 ，n ) n = l 函数形( x ) 与( x ) 的内积定义为 ( 形( x ) ，厂( 石) ) = 少( z 沙( x ) 出 可有如下矩阵形式 】 】_ 【】 式中 1 0 ( 2 1 9 ) 臊 圳 划 呦 吸 0 0 0 第二章积分方程和矩量法原理 ( ，研) ( 彤，玩) ( 磁，玩) ( 呒，颈) ( ，职) ( 哆，玩) ( ，研) ( ，玩) ( ，玩) k 卜 口i ： o 【n ，【g 研】= ( 彬，g ) ( 吸，g ) ( ，g ) ( 2 2 3 ) ( 2 - 2 4 ) 于是，求解代数方程的问题转化为求解矩阵方程的问题。 矩阵的求逆过程：一旦得到了矩阵方程，通过常规的矩阵求逆或求解线性方程 组，就可以得到矩阵方程的解 【】= 【乙。】- l 【】 ( 2 - 2 5 ) 式中k 】- 1 是矩阵【f 川。】的逆矩阵。将求得的展开系数吼代入到式( 3 2 ) 中，便得 到原来算子方程( 3 1 ) 的解 厂( 力吒z ( 功 n = l ( 2 - 2 6 ) 以上所述是矩量法求解算子方程的基本过程，在矩量法的所有应用中，通常都 要遵循这个统一的过程。 2 3 2 目标的几何建模 采用矩量法分析电磁问题都是要从由几何建模开始的。所谓几何建模，便是采 用参数曲面或者参数单元模拟真实曲面或真实物体区域的过程。在低频问题的求 解中，实际问题可能包含多种器、互连，几何建模要能准确抓住其结构特征。电 磁建模是采用相应的电磁学计算方法求解问题的过程。几何建模是基础，一个散 射体几何建模的好坏，直接影响着电磁计算的精度与效率。 在散射问题的分析中，常用的目标表面的拟合方法主要有三种：细线模型、平 面贴片模拟、曲面贴片模拟。这三种方法均在电磁散射的分析中有着各自的应用。 1 1 电子科技大学硕士学位论文 对于计算电磁学中低频问题所通常遇到的情况，细线模型显然是不可能准确抓住 复杂结构的几何特征的。因此，使用较多的情况是平面贴片模拟和参数贴片模拟。 2 3 3 基函数和权函数 基函数和权函数的选择是矩量法实际应用中一个十分重要的问题。实际应用中 很多必须考虑的问题，包括求解问题的精度要求、阻抗矩阵的复杂度以及矩阵规 模的限制，都影响着基函数的选择。基函数和权函数一般都是线性独立的，能够 很好的逼近电流所展开的空间。 总的来说，基函数可分为全域基函数和分域基函数。在这当中，分域基函数是 被广泛应用的一类基函数。常用的分域基有：脉冲基，三角基，屋脊基( r o o f t o pb a s i s f u n c t i o n s ) 2 7 1 ，适合于三角贴片剖分的r a o w i l t o n , g l i s s o n 基函数，简称r w g 基 【2 8 】【2 9 】。 选取合适的基函数、权函数是非常关键的。因为基函数、权函数选取的好坏， 直接影响着： ( 1 ) 计算结果的精度。一个好的基函数应该能够模拟目标表面感应电流的 连续分布，不造成人为电荷的堆积； ( 2 ) 阻抗矩阵计算的难易； ( 3 )阻抗矩阵的阶数即未知量的多少。通常脉冲基的剖分密度是一个波长 划分8 1 0 个单元，三角基可通过采用更少的剖分从而降低未知量的 个数； ( 4 ) 阻抗矩阵的条件数的大小。不同的基函数、权函数所得到的矩阵的条 件数并不同。即使是相同的基函数，在不同的权函数下得到的矩阵性 质也不同。如同样都是三角基和线匹配法，定义在相邻单元中心连线 ( 或连线的延长线) 上的权函数与基函数内积所得矩阵为良态，而定义在 相邻单元非中心连线上的权函数与基函数内积所得矩阵为病态。 在计算电磁学中，r w g 基函数是最为著名和最被广泛应用的一种基函数，本 文以后的分析中均是基于这种基函数，下面将对其做仔细介绍。 2 3 4 r w g 基函数 r w g 基函数是r a o ，w i l t o n ，g l i s s o n 于1 9 8 2 年提出定义在相邻平面三角贴片上 的基函数，又称为广义屋脊基函数。其简单示意图如图2 4 所示。通常，选择权函 1 2 第二章积分方程和矩量法原理 数与基函数形式一样，即采用伽略金法。 d r w g 基函数定义式为： 图2 4 三角形对的r w g 基函数 工( ，) = ，r ，瓦 0，o t h e r s ( 2 - 2 7 ) 其中，矸，巧为第1 1 个基函数所对应的两个相邻三角形，厶为公共边长度。 群，彳分别为三角形矸，巧的面积。由定义式( 2 2 7 ) ，我们可得到 v z ( ，) = 每 ，耳 一砉 ，瓦 ( 2 - 2 8 ) 0，o t h e r s 由式( 2 2 8 ) 可以看出在矸，r - 上电荷密度均匀。两相邻三角形的总电荷为零， 1 3 一以 l 钟l 巧土珥上珥 电子科技大学硕士学位论文 并无线电荷的堆积，保证了相邻三角单元两边电流的连续性。 r w g 基函数能较好模拟散射体表面感应电流分布，不会造成人为电荷的堆积， 保证了电流的连续性，因此，r w g 基函数符合物理意义。由于平面三角贴片能模 拟任意复杂的三维几何形体如尖点、凹槽及目标表面的突起物，因此r w g 基函数 和平面三角贴片具有非常高的灵活性。 2 3 5 积分方程离散 这里我们以电场积分方程( e f i e ) 为例说明如何将积分方程转化为矩阵方程。 e f i e 表达式为 尹茆，) 坝，3 d s = 筹嘲r ) ( 2 - 2 9 ) c t ( r ，r t ，= 卜护1 似，) - 7 甲1v 篙 倍3 。， 是s 上任意的单位切向量，e 是激励场。将未知电流用基函数无( ，) 展开， ，( ，) = a l ( ，) ( 2 3 1 ) 再用伽略金方法即采用权函数与基函数形式一样可以得到下面的线性代数方 程组 乙。= l 厶以一舌v 厶v 以 嬲锻 ( 2 - 3 2 ) z m 。= 圪，m = 1 2 匕= 瓦4 n - il 厶+ e 加。( ，) 船 1 4 ( 2 3 3 ) ( 2 - 3 4 ) 第二章积分方程和矩量法原理 2 3 6 阻抗矩阵方程的数值求解 通过矩量法把表面积分方程离散化为阻抗矩阵方程后，面临的问题是如何求解 这一矩阵方程。一般来说求解方法分直接法和迭代法之分1 3 0 。 直接方法的是一类理论基础比较成熟的求解方法。直接方法的好处是对于小阶 数矩阵的求解快速准确，而且非常矩阵规模较小以及需多次求解的应用场合。常 用的直接法有：高斯消元方法( g a u s s i a ne l i m i n a t i o nm e t h o d ) ，l u 分解求逆方法 ( l uf a c t o r i z a t i o nm e t h o d ) ，s v d 分解求逆等等。由于l u 分解所生成的逆矩阵刚 好覆盖原矩阵，是一种节约内存的方法，所以l u 分解是最常用的直接求逆方法。 s v d 分解求逆主要用于求解矩阵的广义逆，这适用于对病态矩阵或矩阵秩小于矩 阵阶数的矩阵进行求逆。 当矩阵阶数增加时，计算复杂性随阶数的立方次增加，用直接法求解问题是非 常耗时的，这时就需要通过迭代法来进行求解。当前迭代法的求解已经成功应用 到很多实际问题中，而好的迭代法的计算复杂度则是矩阵阶数的平方，这使得求 解更为方便和迅速。 几十年里，关于迭代求解线性系统的理论和应用有了很大的发展，很多学者为 此做出了很大的贡献。目前，常用的迭代法有：雅可比( j a c o b i ) 迭代法，高斯一 塞德尔( g a u s s s e i d e l ) 迭代法，超松弛( s o r ) 迭代法，以及基于k r y l o v 子空间 迭代方法，如：共轭梯度法( c g ) 、双共轭梯度法( b c g ) 、一般最小余量迭代法 ( g m r e s ) 。 2 4 预条件技术 计算电磁学中，通过积分方程矩量法对电磁问题进行求解的过程中，由于所涉 及的问题众多，其形成的阻抗矩阵也有不同的特性，因此其收敛特性各不相同。 这种现象在低频问题中尤为突出，这一点也阻碍这众多迭代算法在低频问题众多 的应用。 预条件技术是通过在方程两边同时作用一个适当的矩阵改变阻抗矩阵的性态， 使之更便于迭代求解的一种技术。这种计算或基于数学方法的作用，或基于电磁h 物理现象的理解加以相应的变化。 对于矩阵方程 z x = v ( 2 - 3 5 ) 1 5 电子科技大学硕士学位论文 可对其进行矩阵作用 圻1 z m ；1 y = m i l v ( 2 3 6 ) 其中m = m 鸠称为预条件矩阵。当m 为单位矩阵时，上式左边称为右边预 条件，同样当尬为单位矩阵时，上式左边称为左边预条件。肘的构造不仅可基 于数学理论中对矩阵的变换，同时也可以基于特定电磁问题的理解，在低频问题 中更多的情况便是如此。 2 5 本章小结 本章首先介绍了积分方程方法的原理，并推导了在低频问题经常遇到的金属结 构的电场积分方程( e f i e ) 公式。接着，介绍了常用的求解积分方程方法的矩量 法，矩量法是一种非常通用的方法，它是通过对积分方程的离散，通过有限的基 函数展开的空间来逼近解空间，本章还详细介绍了矩量法的求解步奏。计算电磁 学中另一个研究热点便是矩阵方程的求解方法以及迭代方法的预条件加速技术， 本章中对其方法和概念做简要介绍。