（电磁场与微波技术专业论文）边缘元在介质导波结构分析中的应用.pdf

摘要 边缘元是在常规标量有限元的基础上发展起来的，以切向矢量函数作为插值 基函数的一类有限元方法。在保持了常规有限元通用灵活等优点的同时，边缘元 消除了常规有限元经常遇到的伪解问题，大大拓展了有限元的应用范围。 本文以边缘元在介质导波结构分析中的应用为线索，在介绍边缘元的数学理 论的同时，探讨了把边缘元和其它解析或数值分析方法相结合以分析特定介质导 波结构的方法。本文主要包括以下几个部分。 首先，第一章介绍了介质导波结构的发展与现状，简述了介质周期结构与漏 波的现象和理论，归纳了电磁学中一些常见数值方法，最后提出本文的主要思想， 并简要总结了本文的工作。 第二章简述了边缘元的发展历史、数学理论和单元构造准则，说明了边缘元 相对于标量有限元，能够有效地消除伪解。随后根据边缘元的构造准则，重点介 绍了几种常见的边缘元的空间构造。 第三章采用一维边缘元与欧姆损耗微扰法相结合的办法分析了金属包层渐 变平板光波导的传输特性，并与单纯使用边缘元在复数域内分析该问题的方法做 了比较，证明该方法可以有效提高计算效率。 在最后一章里，本论文结合了二维边缘元与多模网络方法，对比横向谐振法 的分析结果，分析了周期单元个数对周期栅水平全向圆介质棒漏波天线的影响， 并提出了单元个数设计时的判定依据。 a b s t r a c t e d g ee l e m e n tm e t h o d , w h i c hu s e st a n g e n t i a lv e c t o rf u n c t i o n sa st h eb a s ef u n c t i o n s ，i s d e v e l o p e df r o mt h et r a d i t i o n a ls c a l a rf i n i t ee l e m e n tm e t h o d ( f e m ) w h i l eh o l d i n gt h ea d v a n t a g e s o fu n i v e r s a la n df l e x i b i l i t yo ft r a d i t i o n a lf e m ，t h ee d g ee l e m e n tm e t h o da l s oe l i m i n a t e st h e s p u r i o u ss o l u t i o n st h a to f t e ne x i s tw h e nu s i n gt h es c a l a rf e m t h e r e f o r e “e x t e n d st h e a p p l i c a t i o n so f f e mg r e a t l y i nt h i sd i s s e r t a t i o n , a f a re x p l a i n i n gt h em a t h e m a t i c a lt h e o r yo fe d g ee l e m e n tm e t h o d ，t h e a p p l i c a t i o no ft h i sm e t h o di np a r t i c u l a rd i e l e c t r i cw a v e g n i d es t r u c t u r e si sd i s c u s s e d i no r d e rt o a n a l y z es o m ep a r t i c u l a rs t r u c t u r e ，s o m em i x e dm e t h o d st h a tc o m b i n e dw i t ht h ee d g ce l e m e n t m e t h o da r ep r o p o s e da n dc a r r i e do u t i nc h a p t e rit h eh i s t o r yo fd i e l e c t r i cw a v e g u i d e sa n dt h e i ra p p l i c a t i o n sa r ei n t r o d u c e df i r s t t h e nt h ep h e n o m e n aa n dt h e o r i e so f p e r i o ds t r u c t u r ea n dt h ec o n c e p to fl e a k y - w a v e8 r ed e s c r i b e d a tl a s tt h em a i ni d e a sa n dw o r k so f t h i sd i s s e r t a t i o na r ee x p l a i n e d i nc h a p t e r1 1t h ed e v e l o p m e n t , m a t h e m a t i c a lt h e o r ya n dr u l e so fe l e m e n tc o n s t r u c t i o no f e d g ee l e m e n tm e t h o da r ei l l u s t r a t e d a f t e rt h a tt h es p a c ec o n s t r u c t i o n so fs e v e r a lc o m m o ne d g e e l e m e n t sa r eg i v e n i nc h a p t e r1 1 1t h e p r o p a g a t i o nc o n s t a n ta n da t t e n u a t i o n c o e f f i c i e n to ft h em e t a l - c l a d g r a d e d i n d e xp l a n a ro p t i c a lw a v e g u i d e sa t ec a l c u l a t e db yam e t h o dw h i c hc o m b i n e st h ee d g e e l e m e n tm e t h o dw i t hp e r t u r b a t i o nt r e a t m e n t s o m em e t a l - c l a dw a v e g u i d e sw i t ht y p i c a lr e f r a c t i v e i n d e xd i s t r i b u t i o n sa r ca n a l y z e da n dd i s c u s s e d v e r yg o o da g r e e m e n tb e t w e e nt h en u m e r i c a l r e s u l t so b t a i n e dw i t ht h ep r e s e n tm e t h o da n dt h o s eg i v e ni nt h el i t e r a t u r ej u s t i f i e st h ev a l i d i t yo f t h ep r e s e n ta n a l y s i s f i n a l l y , i nc h a p t e rv lt h er a d i a t i o nc h a r a c t e r i s t i c so fam i l l i m e t e r - w a v eo m n i - d i r e c t i o n a l c i r c u l a rd i e l e c t r i cr o dg r a t i n ga n t e n n aa r ec a l c u l a t e du s i n gam e t h o d ，w h i c hc o m b i n e s2 - de d g e e l e m e n tm e t h o dw i t hm u l t i m o d e sn e t w o r kt h e o r y p a r t i c u l a r l y , a na n a l y s i so f t h ea f f e c t i o no f t h e u n i tn u m b e ro fp e r i o ds t r u c t u r et ot h eo m n i - d i r e c f i o n a lg r a t i n ga n t e n n ai sd e m o n s t r a t e d ，b a s e do n w h i c har u l eo f h o wt od e t e r m i n et h er a d i a t i o nu n i tn u m b e ri nt h ea n t e n n ad e s i g ni si n d i c a t e d i i 图1 1 f i 9 1 1 图l2 f i 9 1 2 图2 1 f 遮2 i 图2 2 f i 9 2 2 图2 3 f i 9 2 3 图2 4 f i 9 2 4 图2 5 f i 9 2 5 图2 6 f i 9 2 6 图2 7 f i g2 7 图3 1 f i 9 3 1 插图列表 基本色散关系图3 b a s i cd i s p e r s i o nr e l a t i o n s h i po f p e r i o as t r u c t u r e - j 3 b r a g g 反射：3 b r a g gr e f l e c t o i n 。 - 3 边缘元对伪解的抑制1 4 e l i m i n a t i o nt os p u r i o u ss o l u t i o n so f e d g ee l e m e mm e t h o d - 1 4 一维边缘元的空间结构1 6 s p a c ec o n s t r u c t i o n so fi - dc d g ee l e m e n t 1 6 - 三角形单元的自然坐标系1 7 n a t u r ec o o r d i n a t e so f t r i a n g u l a re l e m e n t 零阶三角形边缘元 1 7 z e r o o r d e r e d g e e l e m e n t o f t r i a n g u l a r - 1 8 一 l l a n o 四边形边缘元1 8 h a n or e c t a n g u l a re d g ee l e m e n t 1 8 三阶边缘元的内插点2 1 i n t e r p o l a t i o nn o d e s f o rt h r e e - o r d e re d g ee l e m e n t - 2 卜 四面体边缘元2 2 - t e t r a h e d r a le d g ee l e m e n t 2 2 一 金属包层渐变介质平板波导2 8 m e t a lc l a d 掣 a d e di n d e xp l a n a ro p t i c a lw a v e g u i d e s - 2 8 一 图3 2 单元剖分与边界条件2 9 f i g3 2e l e m e n t s d i s s e c t i o na n db o u n d a r yc o n d i t i o n s 2 9 图3 3 一维边缘元的空问结构- 3 0 f i g3 3 s p a c ec o n s t r u c t i o no f t h eo n e - d i m e n s i o n a le d g ee l e m e n t 3 0 ， 图3 4 指数折射率分布t e o 模的电场分布3 6 - f i g3 4 e l e c t r i c a lf i e l dd i s t r i b u t i o no ft e 0w i t ht h er e f r a c t i v ei n d e xp r o f i l eo fe x p o n e n t i a l f u n c t i o n ，- 3 6 - v 图3 5 高斯函数型折射率分布砜模的电场分布- 3 6 - f i g3 5 e l e c t r i c a lf i e l dd i s t r i b u t i o no ft e 0w i t ht h er e f r a c t i v ei n d e xp r o f i l eo fg a n s s i a n f u n c t i o n 3 6 图3 6 抛物型折射率分布t e o 模的电场分布一3 7 一 f i g3 6 e l e c t r i c a lf i e l dd i s t r i b u t i o no ft e 0w i t ht h er e f r a c t i v ei n d e xp r o f i l eo fp a r a b o l i c f i m c t i o n 图4 1 f i 9 4 1 图4 2 f i 9 4 2 图4 3 f 9 4 3 图4 4 f i 9 4 4 图4 5 f i 9 4 5 图4 6 f i 9 4 6 图4 7 f i 9 4 7 图4 8 f 培4 8 天线结构示意图及其等效结构4 3 c o n f i g u r a t i o no f t h eo m n i - d i r e c t i o na n t e n n aa n di t se q u i v a l e n c e 。- 4 3 零阶三角形边缘元4 4 z e r o - o r d e rt r i a n g u l a re d g ee l e m e n t 4 4 天线结构中的不连续性- 4 7 一 d i s c o n t i n u i t yi nt h ea n t e n n as t r u c t u r e 4 7 等效的末端辐射- 4 9 - e q u i v a l e n te n d - f i r eo f t h ea n t e n n a ，- 4 9 一 介质栅宽度对辐射常数的影响5 2 e f f e c to f a s p e c tr a t i oo nr a d i a t i o nc o n s t a n t 5 2 - 栅层厚度对天线辐射常数的影响- 5 3 - e f f e c t o f l a y e r t h i c k n e s s o nr a d i a t i o nc o n s t a n t 一5 3 - 天线的扫频特性5 4 f r e q u e n c ys c a n n i n gc h a r a c t e r i s t i c s 周期单元个数对辐射常数的影响- 5 5 - e f f e c to f p e r i o du n i tn u m b e ro nr a d i a t i o nc o n s t a n t ，一5 5 - v i 表格列表 表3 i 指数折射率分布( ，o ) = p 。“) t e o 3 5 t a b3 it r a n s m i tc o n s t a n to f t e o w i t ht h er e f r a c t i v ei n d e xp r o f i l eo f e x p o n e n t i a lf u n c t i o n 一3 5 表3 2 高斯函数型折射率分布( 八工) = g 一，7 ，) 砜模3 5 t a b3 2t r a n s m i tc o n s t a n to f t e ow i t ht h er e f r a c t i v ei n d e xp r o f i l eo f o a u s s i a nf u n c t i o n ， 3 5 表3 3 抛物型折射率分布( f ( x ) = 1 一j 2 a 2 ) t e o 模一3 5 t a b3 3t r a n s m i tc o n s t a n to ft e ow i t ht h er e f r a c t i v ei n d e xp r o f i l eo fp a r a b o l i cf u n c t i o n 一3 5 表3 4 两种方法的比较( 厂( 功= 1 - x 2 a 2 ) t e o 模一3 8 t a b3 4 c o m p a r eo ft w om e t h o d st h a tc o m b i n e sa n dd on o tc o m b i n e sp e r t u r b a t i o n 3 8 表4 1 本文方法与文献 i o 方法的结果比较5 l _ t a b4 1 c o m p a r eo f t h er e s u l t sg i v e ni np r e s e n tm e t h o da n dm e t h o di nr e f e r e n c e1 0 5 1 一 v 玎 中国科学技术大学学位学位论文相关声明 本人声明所呈交的学位论文，是本人在导师指导下进行研究 工作所取得的成果。除已特n d i i 以标注和致谢的地方外，论文中 不包含任何他人已经发表或撰写过的研究成果。与我一同工作的 同志对本研究所做的贡献均已在论文中作了明确的说明。 本人授权中国科学技术大学拥有学位论文的部分使用权， 即：学校有权按有关规定向国家有关部门或机构送交论文的复印 件和电子版，允许论文被查阅或借阅，可以将学位论文编入有关 数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、 汇编学位论文。 保密的学位论文在解密后也遵守此规定。 作者签名：里蒸绶 川7 年争月加日 中国科学技术大学硕士学位论文第一章绪论 第一章绪论 【摘要】本文简要介绍了介质波导的发展与应用，简述了介质周期结构与 漏波的现象和理论以及电磁学中一些常见数值方法的应用，最后介绍本文的结构 安排和主要工作。 1 1 介质波导 对介质波导的研究最早可以上溯到1 9 世纪末。早在1 8 9 9 年和1 9 0 7 年， s o m m e f f e l d 和z c n n e c k 便相继提出了表面波的概念f i 。到了1 9 1 0 年，h o n d r o s 等人开始用数学方法分析介质波导中t m 模的传输特性p 】。随后c a r s o n 等人在 3 0 年代进行了更深入的研究，指出介质波导中存在t e 、t m 模以及混合h e 模【4 】。 五、六十年代，由于微波技术向毫米波波段不断发展，使得毫米波元器件的研制 进展迅速。介质波导由于技术可靠，可集成化，低损耗和易于加工等特点，逐渐 受到了人们的重视和关注【5 7 l 。6 0 年后，由于对激光在半导体介质中的行为特性 的研究获得进展，人们逐渐意识到光波导的应用前景。二十世纪七十年代以后， 随着光纤通讯技术的发展，光波导的研究工作飞速发展册。 由于传输毫米波的介质波导和光波导都是表面波传输线，虽然使用的频段 不同，但分析方法和传输特性都是相似的，且介质波导理论是光波导理论的基础， 所以二者的研究可以相互借鉴。 近年来，随着新型的微波集成电路，尤其是毫米波集成电路的发展，人们 对非均匀介质填充导波结构，诸如槽线、共面波导、悬置线、介质填充波导及各 种类型的鱼鳍线越来越重视这些结构的复杂传输特性，如复模的出现，使问题 变得较为复杂。另外，随着科学技术的飞速发展，以前在设计和计算中常被忽略 的损耗，现在在m i c 和m m i c 的优化中必须考虑。因此有耗介质填充波导色散 特性的分析也日益受到重视。材料科学的发展产生了许多新的各向异性介质材 料，如手征介质。研究这些新型介质填充波导的各种有趣传输特性也是近年来人 中国科学技术大学硕士学位论文第一章绪论 们的一个研究焦点，对于这些复杂导波结构的分析，不仅准静态方法难以胜任， 即便数值方法，如有限元方法也必须再发展才能满足这些需要。 1 2 周期结构和漏波 1 2 1 周期结构和f l o q u e t 定理 介质周期结构是指存在着周期性变化的介质传输线结构。周期变化的形式 可能是介电常数调制或栅边界周期变化等。周期结构在毫米波和光集成电路领域 有着广泛应用，如波束表面波耦合器、漏波天线、带通或带阻滤波器、分布反 馈放大器和振荡器等。 周期结构中的导波存在着一些独特的物理特性。它的本征模由无穷多次空 间谐波组成，这些空间谐波分别具有从零到无穷大的相速度。周期结构中的导波 仅在一定的频带内传输，通带和阻带交替出现。 周期结构中的导波满足f l o q u c t 定理。假设周期结构沿x 方向周期变化，周 期长度为d 。设、壬r ( x ，) ，z ) 为其导模的时谐电磁场，则： w ( x + d ，y ，z ) = e x p ( 一j k ，o d ) w ( x + d ，y ，z ) ( 1 - 1 ) 也即；周期结构中，经过一个空间周期，场仅仅相差一个相位常数 e x p ( 一j k x 矗、) 周期结构中波的色散关系可以用b r i l l o u i n 图清晰地表示，如图1 1 所示。 当周期结构中除基波外，还同时出现各次谐波，且基波与第n 次空间谐波 沿工方向的传播常数以。与后m 满足：七m = 以o + 2 n n d ，只需在图1 1 中沿以d 轴 作2 m r 的平移，即可得到各次空间谐波的色散关系。特别的。在b r a g g 反射点 以d2 刀石，两两相交的谐波发生耦合，形成阻带，如图1 2 所示。 中国科学技术大学硕士学位论文 第一章绪论 前向 辐射区域 快波v ，l ， 束缚区域 名 馒波，。 口 彤卜矿2 像磐沙叭y y - 翥l ，- l 、ji 露= s + 瞎y o 其中a 为波导芯区的宽度。 ? 、疗；分别为平板波导表面、衬底的相对介电 常数，t l v ) 为【o ，a 】上任意非负实函数。我们将其中折射率连续变化的渐变介质分 中国科学技术大学硕士学位论文 第三章金属包层渐变平扳光波导的边缘元分析 层离散，变成多层均匀介质平板波导。如图3 2 ( b ) 。 一般说来，在8 到1 0 个波长的远处，衬底中的场已基本上衰减到可忽略的 程度，因此可以在距离波导芯区足够远处增加一个理想金属封闭的边界条件r ， 以将无限的求解域截断为有限域。而对于金属包层一侧，由于场在金属内迅速衰 减为零，截断距离可以进一步缩短。一般到3 至5 个波长就不再影响计算结果了。 砰。 - 刀o ) 瑶 y 0 ( | ) 理想金属判圃 理想金属封闭 | z l 乓与+ l ；| | l，fl ； 岁 ： 亡 q 7 t t “ 、 、 l 图3 2 单元剖分与边界条件 f i g3 2 e l e m o n t s d i s s e c t i o na n db o u n d a r yc o n d i t i o n s 3 3 一维边缘元的构造 对于波导本征值问题，其等效变分问题的全磁场矢量变分表达式可以写为 如下形式f 8 l ： 中国科学技术大学硕士学位论文第三章金属包层渐变平扳光波导的边缘元分析 f ( h ) = 儿【( v h ) ( 【，l - 1 v h ) 一k 0 2 l j , ，l - 1 h h l d o ( 3 2 ) v n i ，= o r s ，- = f ， ；韧t p ，- = 以 5i 习 ( 3 3 ) ( 3 - 4 ) 是相对介电常数，以是相对磁导率，是自由空间波数，h 是待求磁场 式( 3 2 ) 给出的全磁场矢量变分式可以通用于各种波导的本征问题的有限元求解。 但是使用常规的有限元求解，往往会产生伪解。为了抑制伪解，我们引入如图 3 3 所示边缘元。每个单元包括三个节点，两个节点位于单元两端点，每个端点 包括两个自由度，分别代表片； ) 和日，o ，) 。另外一个节点位于单元正中，包括 一个自由度，代表日，( j ，) 【9 】。这样，由于单元之间只有切向量共用节点，在保证 切向量连续的同时没有强加法向量连续的条件，单元在旋度空间内的协调性得到 满足，因而消除了伪解【i o l 。 - z j- 财 e i ， 、厂、勘、， y 、 、_v，v 7 rh 0 i ：i ，l 图3 3 一维边缘元的空间结构 f i g3 3s p a c ec o n s t r u c t i o no f t h eo n e - d i m e n s i o n a le d g ee l e m e n t 每个单元内电场的插值表达式如下： 中国科学技术大学硕士学位论文 第三章金属包层渐变平扳光渡导的边缘元分析 h ： h ； h ； = 【b 龇= f h n 【h 。l = 恒：i | - j ( 3 - 5 ) ( 3 6 ) 兵中： u 7 = 【善1 善o i ( 3 - 7 ) v ) 7 = o 01 】( 3 - s ) n y = 【善l 一鲷( 3 - 9 ) f = 暑 ( 3 1 0 ) _ c ：一x 把卜冰诸式代入( 3 - 2 ) 式，和l 用变分原理，经过一系列数学运算可以得到 k 。】 h 。) 一【k 虹】 h ；) 一2 【m 。 h 。) = o ) 一p k 矗 h 。 + k 。】 h 。) = o ) ( 3 一1 1 ) ( 3 1 2 ) 上式中，【k 。】、【k 。】、【k 。】、【k 。】、d 垤。】的表达式为： 【k t t 】2 莓j g 瑶( u ) u 7 + v v y ) + p u ，p 】砂 ( 3 1 3 ) k 缸】= 【k m r2 ；f p v n ，y 】方( 3 小) 【，。】2 莓j 【g 瑶 n n r p n ，枷，p 】砂 ( 。- 1 5 ) 【m “】2 莓j 【p ( u ) u ) 7 + v ) v 7 ) 】方 ( 3 - 1 6 ) r=翻 h h 日瞳 仁阻阻 圹， l i o o ll r f r r 【 町哪。 中国科学技术大学硕士学位论文 第三章金属包层渐变平板光波导的边缘元分析 由于采用的是全磁场泛函计算，所以p 、q 分别为、，。( 3 - 1 3 ) 至u ( 3 - 1 6 ) u 咖= 华 乃 吨一槲习 p 旧 肌高雕o p 心时水0 11 p 2 i v n ， r 咖= ol ( 3 - 2 0 ) ll f i n i n 协华刚 ( 3 - 2 ，) l n ，枷，p 砂= 石南 二1 - 1 p z z ， 将( 3 1 1 ) 式代入( 3 1 2 ) 式，进一步简化方程，得到： 【k 。】 h 。) 一2 【- 】 h 。 = 0 ) ( 3 - 2 3 ) 瓯】 m 。】+ 【k 。】【k 。】- i 【k 。】( 3 - 2 4 ) 利用( 3 - 2 3 ) 式，可以计算出波导的传播常数。利用( 3 5 ) 式可以得出磁场的场 霹2 脊p ( 扣，) ， h z ) f + 屈 v ) h t 珈 ( ，彩) 彰= 一l u 7 h 。z t - o 鹾= 一脊p 丽 ( 3 2 6 ) ( 3 - 2 7 ) 中国科学技术大学硕士学位论文 第三章金属包层渐变平扳光波导的边缘元分析 3 4 欧姆微扰法简介 在光通信领域，由于对传输损耗的指标要求，金属包层的复介电常数所弓i 起的损耗必须很小，因而其虚部必远小于其实部。这是本文能够应用微扰法的理 论基础。对于金属包层内的复介电常数瑶= 暑+ i s ，因为在光频内l 占i i ， 所以可以首先忽略占。，令厅：= f 。这样上述问题化为实数特征值问题，可以求 出特征值的一级近似：x - - - - k ， 2 。由此求出相对折射率( = ) 实部e 然后再利用欧姆损耗微扰法，求出n 。的虚部，l ：1 2 1 。 - o n 一 n e2 = s( 3 - 2 8 ) 其中x d t 巩 可以用数值微分计算。这样就可以求出金属包层介质波导的复传播 o 常数( 3 2 8 ) 的推导和证明如下： 我们首先考虑关于的特征方程f ( h 。) = 0 ，将其看作关于复变量函数p ) 的参数方程。把弦看作微扰，在占= f 处把”。( ) 在复平面内作泰勒展开，对其 作一阶近似估计，得到： 吣以小“占。) = 乱。占 ( 3 2 9 ) 由于鲁l 是纯实数，扣是纯虚数，所以曲。是纯虚数。她) 为 纯实数，所以以= 怫( 占。) + = t + 以，其中雄：由关于占。的实数域特征方程 用( 占) ) = o 决定。同时由于是关于f 。和占。的函数，所以： a n , 。= ( 吆彬+ ( ( 3 3 0 ) 由于仅有f 为微扰项，所以上式第一项为o 。从而加：= ( t 麓) 占。再 由复变函数( f ) = t ( 占) + ( f ) 在复平面内可微的柯西一黎曼关系，有： 中国科学技术大学硕士学位论文 第三章金属包层渐变平扳光波导的边缘元分析 丝：堕 8 a 毒 ( 3 - 3 1 ) 考虑到a n ：= r ：，占。= p 。，把( 3 3 1 ) 代入( 3 3 0 ) ，即得到( 3 2 8 ) 式。 3 5 数值分析结果 用本文方法分别计算了金包层的指数折射率分布波导、高斯函数折射率分布 波导的复数传播常数= + 班。和银包层抛物型折射率分布波导的复模折射率 以= 吃+ 以( = ) ，其相应数值分别列于表3 1 、表3 2 和表3 3 中。图3 - 4 图3 5 、图3 6 给出了各波导内相应模式的场分布。其中表3 1 ( 图3 4 ) 波导折 射率参数为：拧? - 2 2 9 5 9 ，以；- 2 2 5 ，珂：= 一l o 3 一1 1 0 ( = o 6 3 2 8 u n ) ；表3 2 ( 图3 5 ) 中波导折射率参数为：h ；：4 9 6 6 5 ，一；= 4 8 4 6 9 ，；= 一1 0 3 一i 1 0 ( 旯 ：o 6 3 2 8 t m ) ：表3 3 ( 图3 6 ) 中波导折射率参数为： 行? = 5 2 9 4 1 ，盯；= 5 2 4 1 2 ， 疗；= 一1 6 3 2 一i o 5 4 1 4 ( a = t 3 6 3 2 8 p m ) 。计算中，衬底一侧截断处距芯区边缘约 8 l o 个波长，金属包层一侧截断处距芯区距离约3 5 个波长。在芯区及芯区 附近单元个数为1 0 0 ，远离芯区处单元个数为2 0 。 从表格中可以看到，计算结果与文献中的参考值吻合得非常好。另外，从图 3 4 、3 5 、3 - 6 所画出的场分布中，可以发现，场强在芯区内的两侧边缘衰减很 快，在金属包层一侧，这种衰减是因为金属层造成的。在衬底一侧，进入衬底时， 场强已基本上衰减为零。这是由渐变介质分布所引起的自聚焦效应造成的。从场 分布图中，我们也可以看出，在距离芯区足够远处强加边界条件的处理是符合实 际情况的。 中国科学技术大学硕士学位论文 第三章金属包层渐变平板光波导的边缘元分析 表3 1 指数折射率分布( ，( x ) = e 。“) t e o t a b 3 i t r a n s m k c o n s t a r l t o f t e o w i t h t h e r e f r a c t i v e i n d e xp r o f i l e o f e x p o n e n t i a l f u n c t i o n a o n n ) 口( 文献6 ) 口( 文献7 )口( 本文) 8 1 4 9 9 7 0 - ( i o 1 1 4 5 “1 1 5 o l o l - ( i o 1 1 4 7 e - 4 ) 1 4 9 9 7 5 - ( i 0 i1 4 5 e - 4 ) 5 1 4 9 8 2 9 - ( i 0 2 3 1 2 e - 4 ) 1 5 0 0 3 2 - ( i 0 2 31 7 e - 4 ) 1 4 9 9 3 7 - ( i 0 2 3 1 2 e - 4 ) 表3 2 高斯函数型折射率分布( ，( x ) = p ，7 矿) t e o t a b3 2t r a n s m i tc o n s t a n to f t e ow i t ht h er e f r a c t i v ei n d e xp r o f i l eo f g a u s s i a nf u n c t i o n 口“帅) 口( 文献6 )口( 文献7 )口( 本文) 2 2 2 0 2 1 9 - 0 0 7 5 5 1 8 e - 4 1 2 2 0 2 4 8 - 0 0 7 5 8 6 0 e - 4 1 2 2 0 2 4 t - ( i o 7 5 5 2 8 e - 4 ) 3 2 2 0 5 5 1 - ( i 0 4 4 7 2 6 e - 4 )2 2 0 5 5 6 - 0 0 4 4 9 2 0 e - 4 )2 2 0 5 6 5 - 0 0 4 4 9 2 6 e - 4 ) 4 2 2 0 7 2 4 一( i 0 3 0 2 9 9 e - 4 )2 2 0 7 3 5 - ( i o 3 0 3 1 0 e - 4 )2 2 0 7 2 7 - ( i o 3 0 2 9 9 e - 4 ) 7 2 2 0 9 5 5 - ( i 0 1 3 7 5 3 e - 4 )2 2 0 9 5 9 - ( i 0 1 3 8 6 2 e - 4 )2 2 0 9 5 8 一( i o 1 3 7 6 6 e - 4 ) 表3 3 抛物型折射率分布( ，( x ) = 1 一x 2 a 2 ) t e 。模 t a b3 3t r a n s m i tc o n s t a n to f t e e w i t ht h er e f r a c t i v ei n d e xp r o f i l eo f p a r a b o l i cf u n c t i o n a o r a ) ( 文献6 )以( 文献7 )以( 本文) 2 2 2 9 3 5 ( i o 1 5 3 9 e - 5 )2 2 9 3 5 ( i o 1 5 3 8 e 一5 )2 2 9 3 6 - ( i o 1 5 3 9 e 一5 1 3 5 2 2 9 6 6 - ( i o 6 5 2 5 e 5 、 2 2 9 6 6 ( i o 6 5 31 e 5 )2 2 9 6 6 一( - i o 6 5 2 6 e - 5 1 - 3 5 中国科学技术大学硕士学位论文第三章金属包层渐变平板光波导的边缘元分析 图3 4 指数折射率分布( ，( x ) = e ”“) t e o 模的电场分布口( ，肼) f i g3 4 e l e c t r i c a lf i e l dd i s t r i b u t i o no f t f _ o w i t ht h er e f r a c t i v ei n d e x p r o f i l eo f e x p o n e n t i a lf u n c t i o n 图3 5 高斯函数型折射率分布( ，( 石) = e 一) 砜模的电场分布a ( m n ) f i g3 5 e l e c t r i c a lf i e l dd i s t r i b u t i o no f t e ow i t ht h er e f r a c t i v ei n d e x p r o f i l eo f g a u s s i a nf u n c t i o n 3 6 - 中国科学技术大学硕士学位论文 第三章金属包层渐变平扳光波导的边缘元分析 图3 ，6 抛物型折射率分布( ( 工) = i x 2 a 2 ) 砜模的电场分布口( ，聊) f i g3 6 e l e c t r i c a lf i e l dd i s t r i b u t i o no f t e o w i t ht h er e f r a c t i v ei n d e x p r o f i l eo f p a r a b o l i cf u n c t i o n 3 6 使用欧姆损耗法对计算效率的改善 对于有损介质波导，其传播常数= 卢+ j p 及相应模式的折射率 = + 都可以用复数域内的本征值问题求解来得到，但是在复数域内求解本 征值及本征函数会极大地降低计算效率。我们单纯使用边缘元法在复数域内求解 本文问题，并将其与本文算法得到的复模折射率及机器时间作一个对比，如表 3 4 所示。其中金属包层为银，折射率分布为抛物线型。n ；= 5 2 9 4 1 0 ， 疗；= 5 2 4 1 1 8 ，瑶= 一1 6 3 2 一i o 5 4 1 4 ( 旯= o 6 3 2 8 u n ) 。单元划分为，芯区内及附 近区域1 0 0 个单元，其它区域2 0 个单元。使用m a t l a b 编程在p e n t i u m l i l 笔记本 电脑上运行 中国科学技术大学硕士学位论文 第三章金属包层新变平扳光波导的边缘元分析 表3 4 两种方法的比较( ，( x ) = l - x 2 a 2 ) t e o 榜奠 t a b3 4 c o m p a r eo f t w om e t h o d st h a tc o m b i n e sa n dd on o tc o m b i n e sp e r t u r b a t i o nt r e a t m e n t 使用欧姆损耗微扰法近似， 直接在复数域内求解 分别求解f 。的实部和虚部 a ( j m ) c p u 时间( s ) 以 c p u 时间( s ) 2 2 2 9 3 6 i o 1 7 1 7 e - 5 ) 1 4 9 2 2 2 9 3 6 一( i o 1 5 3 9 e 5 1 0 3 3 0 3 5 2 2 9 6 6 - ( io 6 4 0 2 e 6 、 1 4 2 2 2 2 9 6 6 - o i o 6 5 2 6 e 一们 0 4 2 l 从中可以看出，在相同单元数下，使用有限元直接对复数域内的本征值问题 求解得到的复传播常数，与