（物理电子学专业论文）模式变换器的优化设计.pdf

模式变换器的优化设计 摘要 模式变换器的设计是微波传输的基本课题，国内外学者研制了各种不同类型的模式变 换器，并广泛应用于微波、毫米波设备与电路。波导模式变换器的研究主要是在传统波导 如矩形、圆、同轴等波导上进行。 1 9 8 9 年，东南大学首次提出了一种新型传输线一一圆形槽波导，它有尺寸大、功率容 量大、频带宽、损耗低等优点。圆形槽波导与一般的槽波导相比，它具有独有的圆弧形的 槽边界，这使得圆形槽波导更适合与圆形接口的器件相连接。但在设计基于圆形槽波导的 器件时是经常会遇到圆形槽波导和矩形波导的连接问题，目前这方面的资料较少，根据实 际要求，需要设计一个模式变换器将圆形槽波导的主模疆攀模直接变换到矩形波导的7 硪 模，本文提出并优化设计了一种新型的矩形( z 模) 一圆形槽波导( 阿0 模) 模式变换器。 本文深入地分析了圆形槽波导，利用矢量有限元方法结合模式展开法由分析n 端口波 导结问题过渡到两端口的模式变换器。根据理论分析，利用基于有限元法的h f s s 软件结 合o p t i m e t r i c s 软件分别优化设计了2 4 5 0 m h z 和9 1 5 m h z 的矩形一圆一圆形槽波导模式变 换器和矩形一圆形槽波导波导模式变换器。最后利用软件针对已有文献中设计的变换器的 成品进行优化计算，计算结果与成品的测试结果吻合的很好，甚至更优于原来文献中采用 的设计方法，由此验证了软件计算和优化方法的正确性。最后针对9 1 5 m h z 的矩形一圆波 导模式变换器进行了截面分析，为变换器的加工提供了方法。 关键词一模式交换器，圆形槽波导，有限元方法，优化设计，h f s s + o p t i m e t r i c s 软件 a b s t r a ( 了 o p t i m i z e dd e s i g no nm o d ec o n v e r t e r s a b s t r a c t d e s i g no fm o d ec o n v e r t e ri sab a s a lt a s ko nm i c r o w a v et r a n s m i s s i o n ，m a n yk i n d so fm o d e c o n v e r t e r sh a v eb e e nd e v e l o p e db ys c h o l a r si nt h ew o r l da n dw i d e l yu s e di nm i c r o w a v ea n d m i l l i m e t e rw a v ee q u i p m e n t sa n dc i r c u i t s t h er e s e a r c ho nm o d ec o n v e r t e r si s m a i n l y o n r e c t a n g u l a rw a v e g u i d e ，c i r c u l a rw a v e g u i d e ，c o a x i a lw a v e g u i d ee t c i n l 9 8 9 ，an e wt y p eo ft r a n s m i s s i o nl i n e ，c i r c u l a rg r o o v ew a v e g u i d e ，w a sp u tf o r w a r db y s o u t h e a s tu n i v e r s i t yf o rt h ef i r s tt i m e t h i sw a v e g u i d eh a sm a n ya d v a n t a g e s ，s u c ha sl a r g e d i m e n s i o n s ，h i g hp o w e rh a n d l i n g ，w i d eb a n d w i d t ha n dl o wl o s s e s c o m p a r e dw i t hu s u a lg r o o v e w a v e g u i d e ，c i r c u l a rg r o o v ew a v e g u i d ew i t hp a r t i c u l a rc i r c u l a rg r o o v eb o u n d a r yf i t st oc o n n e c t w i t hr o u n dd e v i c e s b u tt h ep r o b l e m so fc o n n e c t i n gr e c t a n g u l a rw a v e g u i d ew i t hc i r c u l a rg r o o v e w a v e g u i d ea r eo f t e nm e t ，ak i n do fm o d ec o n v e r t e rt h a tc o n v e r t sr e c t a n g u l a rw a v e g u i d e ( 畸m o d e ) t oc i r c u l a rw a v e g u i d e ( t e ：i m o d e ) i sn e c e s s a r y i nt h i st h e s i s ，ak i n do fn e wt y p e 域一心：) c o n v e r t e ri s p r e s e n t e da n do p t i m i z e d c i r c u l a rg r o o v ew a v e g u i d ei sa n a l y z e da n dt h ev e c t o rf i n i t ee l e m e n tm e t h o da n dt h em o d a l e x p a n s i o nm e t h o da r ea p p l i e dt oa n a l y z e dn - p o r tw a v e g u i d ej u n c t i o n , t h e nt ot w o - p o r tm o d ec o n v e n e eb a s e d o nt h et h e o r ya n a l y s e ，2 4 5 0 m h za n d9 1 5m l - i zz 写叫：j c o n v e r t e ra n dt r e 。叫：1c o n v e r t e ra r e o p t i m i z e db yu 辩o fh f s sa n do p t i m e t r i c ss o f t w a r e f i n a l l yp r o d u c t so fm o d ec o n v e r t e ri n l i t e r a t u r e sa r ec a l c u l a t e da n do p t i m i z e dw i ms a m ec a l c u l a t i o nm e t h o do fs o f t w a r e t h e c a l c u l a t e dr e s u l t sa n dm e a s u r e dr e s u l t sa r ea c c o r d a n t t h e r e o u t ，t h ev a l i d i t yo fc a l c u l a t i o na n d o p t i m i z a t i o nm e t h o dw i t hs o f t w a r ei sv a l i d a t e d f i n a l l y9 1 5m h z 噶一嘁e o n v e r t e r i sa n a l y z e d o ni t ss e c t i o n s ，t h a tp r o v i d e sm e t h o d so fm a c h i n i n g k e yw o r d s ：m o d ec o n v e r t e r , c i r c u l a rg r o o v ew a v e g u i d e , f i n i t ee l e m e n tm e t h o d ( f e m ) ， o p a n l i z e dd e s i g n , h f s s + o p i i m e t r i c ss o f t w a r e 东南大学学位论文独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成 果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表 或撰写过的研究成果，也不包含为获得东南大学或其它教育机构的学位或证书而使用过 的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均己在论文中作了明确的说明并 表示了谢意。 研究生签名：磁盘皇日期： 东南大学学位论文使用授权声明 东南大学、中国科学技术信息研究所、国家图书馆有权保留本人所送交学位论文的 复印件和电子文档，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文。本人电子文档的内 容和纸质论文的内容相一致。除在保密期内的保密论文外，允许论文被查阅和借阅，可 以公布( 包括刊登) 论文的全部或部分内容。论文的公布( 包括刊登) 授权东南大学研 究生院办理。 研究生签名：盥导师签磊辫期： 第一章绪论 第一章绪论 本章简述了模式变换器分析方法的发展概况和圆形槽波导微波化学反应系统，从而给 出本课题提出的背景，最后概括了本论文的主要工作。 1 1 波导模式变换器分析方法的发展概况 一个较复杂的微波系统常遇到几种不同的波导，并由许多作用不同的元件组成。每 种波导的主模都不同，每个元件都有一定的工作模式。因此，为了从一种波导元件过渡到 另一种波导元件，或过渡到同种波导元件的另一种工作模式，就需要采用波型变换元件。 波型变换元件又称波型变换器，它能将一种传输波型( 模式) 有效地转换成另一种需要的 传输波型( 模式) ，同时抑制波导中可传输的其他模式l l 】。在微波传输系统中，涉及到不同 波导问的模式转换，例如同轴线一带状线转换器，波导一同轴线转换器，波导一波导模式 转换器。这些波导元件连接不同类型的传输线，或是相同类型但是工作模式不同的传输线。 模式转换器的设计有好几种方法，有阶梯的，有渐变的；有截止波长不变的( 如在 文献 2 】中，s o l y m a r 用很多例子介绍了该方法的设计技巧，但该方法成立的前提是入射波 与反射波及各寄生波的耦合系数较小，所以该方法设计的变换器要有一定的长度，以保证 入射波的波形足够缓慢) ，有截止波长变化的。例如矩形一圆波导模式变换器。矩形波导中 常用的是t e l o 模，圆波导中常用的是t e l l ，t e o l t m o l 模。若把矩形波导中的 r e l o 模转换 为圆波导中的t e u 模，方法之一是采用波导截面尺寸逐渐变化的过渡段，根据边界条件， 矩形波导中t e l o 的场分布，经过渐变过渡段逐渐变成圆波导中t e l l 模的场分布。此外， 渐变过渡段还可以减少波的反射。为了使圆波导只传输t e i i 模，而截止又可能激励出的 t m o l 模的传输，应选取合适的圆波导内直径的尺寸，以使在工作频带内对t m o l 模是截止 的【3 l 。模式转换器的型式是多种多样的，可根据实际情况采用不同结构型式。 设计波型变换器的主要要求是阻抗匹配、端口反射小、频带宽、功率容量大、不存在 杂模。设计的一般原则是抑制杂模的产生和阻抗匹配。由于波型变换器是两种波型的过渡 装置，容易产生杂模，引起反射，所以当变换器不同波型部分的等效阻抗相同或相近时， 主要问题是尽量减小杂模的激励，并选择适当的形状使一种波型缓慢地过渡到另一种波 型，其尺寸则应逐渐过渡( 渐变过渡或阶梯过渡) ；若变换器两部分的等效阻抗不相同， 则需加调配元件或选择变换器的形状和尺寸，使各处产生的反射波在一定频带内相互抵 第一章绪论 消，或采取阻抗匹配方法使其阻抗相等。 模式变换器的分析方法经过几十年的发展应该说较为成熟，传统方法是解析法，如 保角变换法、场匹配法、横向谐振法等。保角变换法概念清楚、意义明确，但最后要遇到 变系数偏微分方程的求解困难，如对矩形槽波导采用保角变换，一般是将其等效为h 波导 来求解，最后只链得到主模的色散关系；场匹配法是电磁场闯题的严格解法，可以得到各 个模式的近似解。解析结果便于公式推演、微分和积分，并且计算速度快，但公式推导复 杂，求解过程不可避免要使用到近似；横向谐振法可以得到精确的色散结果，但一般只是 针对主模建立横向等效电路或等效传输线。在事先缺乏对模式的场结构了解的情况下，无 法建立正确的等效电路或等效传输线来求解，而且要用到一些经验公式h j 最近几十年，由于计算机技术的发展，数值方法如有限元法( f e m ) 、时域有限差分 ( f d t d ) 法或矩量法( m o m ) 等也被应用于分析模式变换器的性能。数值方法将变换器作 为一个电磁场边值问题进行全波分析，最后导出的方程用数值法解出，这种方法有着非常 好的灵活性，能够求解复杂的问题，配合吸收边界条件可以得到比较精确的结果。 f d t d 法几乎能够处理所有的电磁场问题 5 】，它有如下优点：( 1 ) 适合模拟各种复杂 的电磁结构，用f d t d 的离散空间网格可以较精确地模拟各种微波器件的实际结构；( 2 ) 容易得到空间场的瞬态分布情况，这即便于定性理解其工作的物理过程，又便于得到供定 量分析的有关电参量；( 3 ) 通过一次时域计算，可得到一个频域上的器件或天线参数。这 些明显的特点使得f d t d 法逐步得到大家的青睐。人们因此提出了不少有效的吸收边界条 件，如修正完全匹配层吸收边界( m p m l ) ，并且取得了不少研究成果。目前f d t d 法广泛 应用于辐射天线的分析、微波器件和导行波结构的研究、散射和雷达截面的计算、周期结 构分析、电子封装及电磁兼容分析以及准光器件的研究等。目前已有商用软件x f d t d 。 矩量法( m o m ) 包括空域矩量法和谱域矩量法。空域法需求s o m m e r f e l d 积分方程；谱 域法需推导具体器件结构的格林函数表达式且需选择适当的基函数使解收敛。商用软件中 a n s o f t 公司的e n s e m b l e 为基于混合位积分方程( m p i e m i x e dp o t e n t i a li n t e g r a le q u a t i o n ) 的 矩量法。 有限元法( f e m ) 【5 4 明以其灵活性、通用性以及解题能力广等优点，在电磁场数值计算中 锝到了广泛的应用。此方法用四面体和棱柱体单元能够很精确的模拟研究对象，将要求解 的问题空间分割成成千上万个子空间，这些子空间就是有限元法中的单元，而每个单元的 场是用基函数来表示。另外f e m 基于变分原理，采用物理上的单元剖分离散与分片多项 式插值，把电磁场边值问题的求解变为一组线性代数方程的求解。因此有限元法可方便模 拟各种结构，适用于静电场和静磁场的计算、微波和光波导的传播分析、电磁波的散射分 2 蔓二兰丝堡 析、天线的分析和计算以及齐次第二类边值问题等。有限元法主要有变分有限元法1 6 j 、余 量有限元法1 6 、矢量有限元法川以及混合有限元法 7 1 如有限元一吸收边界条件法、有限元一 边界积分方法和有限元一本征函数展开法等。商用软件中a n s o f t 公司的h f s s 采用的就是 矢量有限元法，网格( 子空间) 划分的基本单元是四面体。矢量有限元法的最大优点是克 服了传统有限元法在处理导体和介质边缘及角的问题上的困难。h f s s 需解大量的矩阵方 程而对硬件要求较高。但由于得出的矩阵是稀疏的、对称的和带状的，所以只要使用适合 处理有限元矩阵的特殊算法，就能极大的减少计算资源。 有限元法与有限差分法和矩量法相比，截面剖分灵活、收敛快、精度高。本文的优 化设计采用基于有限元法的a n s o f to p t i m e t r i c s2 5 + h f s s8 0 。o p t i m e t r i c s 是a n s o f t 三维 电磁场解算器的优化模块，该模块向用户提供了集成的参数化、敏感性、优化能力。 模式变换器的应用范围很广，可用于军事或者民用上，例如回旋管与圆波导或圆形槽 波导的模式变换器【i l l 就可用于通讯或雷达上；也可用于高功率或低功率范围，例如在目前 本实验室的微波化学项目中就是用于大功率范围。 1 2 圆形槽波导微波化学反应系统 波导模式变换器的研究主要是在传统波导如矩形波导、圆 波导、同轴波导等上进行。1 9 8 9 年，东南大学首次提出了一种 新型传输线一圆形槽波导f 1 2 1 ( 如图1 1 ) ，杨鸿生教授十几年来坚 持不懈对这种波导结构进行了大量的、多方面的研究工作，不 断的在实验和理论上证实了圆形槽波导独有的优良特性：频带 宽、损耗低、低色散、单模工作大尺寸和高功率容量等优点【i 引。 图1 1 圆形槽波导结构 圆形槽波导的应用开发已经具备了一定的基础。大量的文献展示了多年来，杨鸿生教 授在圆形槽波导研究领域所进行的全面深入的研究工作。例如文献【1 4 一1 6 】中采用了一阶近 似和二阶近似，研究了圆形槽波导的基本传输特性。文献 1 7 1 9 研究了圆形槽波导之间的 耦合特性，文献 2 0 n j 分析了封闭圆形槽波导，文献【2 1 】研究了圆形槽波导泄漏波天线，文 献 2 2 2 3 1 研究了圆形槽波导和传统波导之间的连接问题，并设计了圆一圆形槽波导模式变 换器。在圆形槽波导的实验研究方面，实验室中已经成功地研制出了圆形槽波导模式变换 器、衰减器、波长计和振荡器等部件。这些都证实了圆形槽波导非常适合于制作微波毫米 波器件。 3 第一章绪论 圆形槽波导与一般的槽波导相比，它具有独有的圆弧形的槽边界。这使得圆形槽波导 更适合与圆形接口的器件相连接，近几年来，有一些资料报道了关于圆一圆形槽波导模式 变换器，例如连接大功率毫米波回旋管。但在设计基于圆形槽波导的元件时是经常会遇到 圆形槽波导和更常见的矩形波导的连接问题。通常的办法是先从圆形槽波导变换到圆波导， 再由圆波导变换到矩形波导，目前在本实验室的微波化学项目中就采用这种办法。这种分 两步把圆形槽波导变换到矩形波导的变换器，结构制造容易，能量转换效率高，但结构不 够紧凑，整体尺寸过大。目前关于圆形槽波导直接到传统的矩形波导的模式变换器的资料 比较少见，根据实际要求，需要设计一个模式变换器将圆形槽波导的主模7 e 0 模直接变换 到矩形波导的t 艮模，不必再分两步进行。这种模式变换器可用于本实验室的圆形槽波导 微波化学反应系统中。 基于微波化学研究的具体需要，国内外提出了多种微波化学反应系统，大体上分为两 类：一类是基于多模谐振腔的反应系统，例如用微波炉或稍加改装的微波炉，微波炉改造 后用于化学反应，由于微波炉内部电磁场分布不均匀，而且一般家用微波炉功率实际上并 不真正连续可调，在微波炉内测定反应温度也较困难等，这些都是当前微波化学应用急待 解决的问题；另一类是基于单模谐振腔的反应系统，如圆柱形谐振腔、矩形波导谐振腔【2 4 】 和我们目前采用的基于圆形槽波导谐振腔的微波化学反应系统。 一般的微波化学反应系统框图如图1 2 所示： 图1 2 微波化学反应系统框图 由图可见，该反应系统主要包括如下几大部分： ( 1 ) 微波功率源：根据实际反应物的需要，在选定的频率，为系统提供稳定度较高， 具有特定功率电平的微波功率输出。 ( 2 ) 微波传输系统：将微波功率源提供的微波功率以最低损耗传输给终端反应腔系 统，并确保在反应腔系统中被处理负载特性在较大范围变化时，均能良好传输，不影响 微波源的稳定工作。 。 ( 3 ) 模式变换器：使输入端波导的模式转换到输出端波导需要的模式，同时抑制其 4 第一章绪论 它模式的传输，使微波功率能最大限度的传输，不影响系统的稳定工作。 ( 4 ) 微波反应器及其附属系统：它是根据被处理物的特性，处理量及其它具体要求 而专门设计的加工器。它确保微波功率能与反应物产生最有效的相互作用，以达到我们 所期望的实验或加工结果。许多情况下，反应器还需附设真空、充气、高温、高压等附 属设施，以确保特定反应的需要。 ( 5 ) 测量系统：根据反应物的需要必须设定的如温度、气压等参数的测量系统。 模式变换器是整个微波化学反应系统的重要组成部分，它的设计及优化对微波实验 起着重要作用。 1 3 本课题的提出 在设计基于圆形槽波导的器件时是经常会遇到圆形槽波导和常见的矩形波导的连接 问题，所以需要设计一个模式变换器将圆形槽波导的主模叫? 模直接变换到矩形波导的 t e 。模，本文提出了一种新型的矩形一圆形槽波导模式变换器。 此外，本实验室目前进行的微波化学项目采用的是基于圆形槽波导谐振腔的微波化学 反应系统。其中就需要将圆形槽波导主模叫：) 模变换到矩形波导主模z 瑶模。此变换器是 分两步进行的，先由圆形槽波导的叫? 模到圆波导的主模? 瑶摸，再由砸嚣模变换到矩形 波导主模t 模。在变换器的设计方面，根据实际要求，本文进行两方面的工作，一是优 化设计了现有的矩形一圆一圆形槽波导模式变换器；二是优化设计了一种新型渐变波导截 面的矩形一圆形槽波导模式变换器。 1 4 本文的研究目的和主要内容 本课题的目的是对波导模式变换器进行研究，利用矢量有限元方法结合模式展开法分 析了波导模式变换器的特性。根据微波化学实验要求结合理论分析，用h f s s 结合 o p t i m e t r i c s 软件优化设计了矩形一圆一圆形槽波导模式变换器和一种新型的矩形一圆形槽 波导模式变换器。 全文共分为五章，各章节的主要内容如下： 第一章介绍介绍本课题的研究背景和目的，给出了般的微波化学反应系统框图， 第一章绪论 明确本文的主要工作。 第二章论述了有限元的基本原理以及有限元分析步骤。由分析含各向异性介质的n 端e l 波导结，继而过渡到两端口的含真空介质的波导模式变换器。并介绍了 仿真软件中使用的有限元分析和优化过程以及用有限元法结合完全匹配层 边界条件分析了圆形槽波导。 第三章根据实验要求，用h f s s 软件优化设计了2 4 5 0 m h z 的矩形一圆一圆形槽波导 模式变换器和新型的矩形一圆形槽波导模式变换器。 第四章用h f s s 软件优化设计了9 1 5 m h z 的矩形一圆一圆形槽波导模式变换器和新型 矩形一圆形槽波导模式变换器。 第五章利用软件计算已有的模式变换器成品，计算结果与测试结果相比较，吻合的 很好，最终验证h f s s 软件采用的优化方法。 最后是参考文献和致谢词。 6 第二章有限元方法的原理 第二章有限元方法的原理 有限元法孓1 伽于二十世纪四十年代提出，五十年代开始用于飞机设计。由于这种方法 可以给出的结果精度比较高，而且也适应各种复杂模型的问题，不仅得到迅速发展，也广 泛应用于各种领域中去，被公认为是工程和数值问题中具有广泛应用性的一般方法。1 9 6 5 年，a m w i n d s l o w 首先将有限元方法应用于电气工程中，之后，p p s i l v e s t e r 于1 9 6 9 年将有限元方法应用于求解时变场的稳态解。现在有限元方法可以与其他方法如有限差分 法，边界元或g a l e r k i n 法等结合求时变场的暂稳态，而且不受场域边界形状和条件的限 制”1 。因此，有限元方法是解决电磁场问题的重要方法之一。 在有限元中，已被采用的有两种：节点元( n o d ee l e m e n t ) 和边元( e d g ee l e m e n t ) 2 5 1 0 节点元从有限元提出开始就被使用，但在利用节点元解决电磁场问题的矢量电场或矢量磁 场过程中，出现许多严重的问题，首先是由于电场和磁场散度条件没有得到满足，出现非 物理意义上的解( 即伪解) ；二是在电壁或磁壁以及介质交界面强制边界条件不方便，三 是处理电壁或磁壁以及会导致场突变的尖角区域难度大。于是具有革命性的方法为人们所 发现，这种方法用的是矢量基矢量元( v e c t o rb a s i s v e c t o re l e m e n t ) ，与节点元不同的 是，这种基元将自由度赋予元的边而不是节点，因此，将这种基元称为边元。采用边元 来处理电磁场问题，节点元中存在的问题都可以解决和满足，即边元中不会出现伪解，同 时也可以获得更为简洁的变分方程 2 6 1 。由于采用边元的有限元方法( 本文称之为矢量有限 元方法) 有这些优点，所以本文采用这种方法对n 端口波导结的外部特性进行分析。 2 1n 端口波导结的理论分析 n 端口波导结是一个三维不连续的电磁场问题，许多文献利用有限元方法结合其他方 法分析这类电磁场问题唧【2 踟。本节介绍了用矢量有限元法结合模式展开法分析了具有普遍 意义的含有各向异性介质的n 端口波导结的外部特性，继而给出了介质为真空介质的两端 口波导变换器的特性。 7 第二章有限元方法的原理 端k 1 ：3 1 k k 端口2 图2 1n 端口微波网络 在微波网络理论中，任何一个线性，无源的网络的散射矩阵总是存在的。对于n 端口 结( 图2 1 ) ，其散射矩阵【捌为： y 。一 v ； v ； s 1 1s 1 2 s l s 2 1s 2 2 s2 s h t sn t s q _巨 ( 2 1 1 ) y 一= j s y + ( 2 1 2 ) c 式中，散射矩阵s 主对角线上的元素为反射系数，而沿非对角线的元素为传输系数。 0 ，w 分别为端1 3n 的复数入射波和复数反射波的归一化电压，对所有的n 值所传输的 功率可用丢附1 2 表示。 当只有一个端1 3 ( 假设是端1 3n ) 有入射波时，则端i = ln 反射系数以及从端i = ln 到其 他各个端口的传输系数为 s 。： 勘= ，( n ，m = 1 ，2 ，n ，且m n ) 如果所考虑的传输波型的入射波以及反射波为 豆+ = a 谨t + 蚕z ) e j i z 蟊+ ：a i ( h i + h z ) e i 口z 雹一= a r 通t 一圣z 、e + j i z 直一：ar ( 一觅+ 瓦) p + 肌 ( 2 1 3 ) ( 2 1 4 ) 第二章有限元方法的原理 式中，假定波沿着z 传播，右上标+ ，一分别表示入射波，反射波，a ，口，分别表示 入射波复系数，反射波复系数，为该波型的传播常数，茜，鬼分别是波型的横向矢量 函数，乏，吃分别是波型的轴向矢量函数，其中亏，趣满足下列归一化式子： j j ( 瓦 ? ) 列s = 1 ( 2 1 5 ) ， 式中，s 为端口横截面，宰表示复数共轭，为z 轴单位矢量。 假定端口面位于平面z = 0 上，入射波和反射波的归一化电压为：v + = 口，v 一= 口， 则在该端口面上，反射系数可有式( 2 1 3 ) 得到。 同样，如果其他端口面所关心的波型的归一化电压可取波型的复系数，从而由式 ( 2 1 3 ) 得到传输系数。 2 2 各向异性介质的n 端i ：1 波导结蚓 本节利用矢量有限元法结合模式展开法分析n 端口结，并给出它的关于电场的变分 方程，其中在这个波导结内介质的相对介电常数以及相对磁导率用张量表示，它可以是 各向同性介质或者各向异性介质。根据得到的变分方程，通过有限元方法，最后给出有 限元方程，由此可以得到电场的数值解。本节由一般性的各向异性介质n 端口结过渡到 空气介质的n 端口结。 2 2 1 变分方程的推导 墙 y 图2 2n 端口波导结 对任意波导，如n 端口波导结，m a x w e l l 方程微分形式可以写成 9 第二章有限元方法的原理 v 曰= 一j c o 羁g o h v 詹= j 嘱岛豆 v b = v 万目j - d ( 2 2 1 ) v 西= v ( 岛否吾) = 0 式中。是角频率，暑。和o 分别是真空中的介电常数和磁导率。如果波导内介质是各 向同性的，那么孑= 引， i = 【j 】，其中p 和分别是各向同性介质的相对介电常数和相对 磁导率，而是三阶单位矩阵；当波导内有各向异性介质，则在该各向异性介质区域，该 介质的相对介电常数和相对磁导率为张量形式，即 卜岛乞 否= i & 岛& i ， l 乞勺乞j 一卜 = i 心 l 段 伤心 如心i 玛心j 从式( 2 2 1 ) ，可以得到下面矢量波动方程： v 刀。1 ( v 豆) 一露；享。豆= o( 船= a y e o 4 ) ( 2 2 3 ) 式( 2 2 1 ) 中各矢量省略因子p 御。 n 端口波导结如图2 2 所示，假定总体坐标系是( 五只力，各个波导端口的坐标系 为( 工( 彬丘彬z ( 。) ) ( n _ 1 ，n ) ，由于他们都是直角坐标系，因此它们相互之间的关系 很容易得到。 从( 2 2 1 ) 也可以得到如下等式 詹：土矿1 v 豆 ( 2 2 4 ) j o ) “o 如上节那样，这里也引入权函数啻，并强制在电壁上满足豆7 元= 0 ，二是该电壁 上向外的单位法线向量。 由( 2 2 3 ) 得下式 l 豆， v 万一1 ( v 豆) 一七；f 豆 d q = o ( 2 2 5 ) 1 0 第二章有限元方法的原理 其中q 为n 端口波导结区域。 通过第一矢量g r e e n 定理，可得 肌“v 雷，) 础v 豆) 一瑶豆7 甜】d q + 毗蛾( 豆7 百) 栅= o ( 2 2 6 ) 式中s = r ( 。) + s 。是q 区域的表面，l m 是第刀个波导端口的横截面，s m 是金 属壁，再是q 区域表面上向外的单位法线矢量。 由于在电壁上面7 面= o ，因此( 2 2 6 ) 左边第二项面积分只在端i ：1 横截面上进 行，即 3 3 3 j 奶伊l ( v 厕一露；旷捆w q + ，掣莲s ( 豆，豆) a d s = o ( 2 2 7 ) 在第n 个波导内的场由模式叠加表示如下： 豆( 。) ( 尹) = e ( a l 似) e 一扎钆+ 口：协) e 靠- ) 元伽) ( x ( 。) ，y ( ) ) + = l ( a l e 咖巾一a k ( 。) e m ) 死( 。) ( z ( y ( 。) ) 詹( 。) ( ，) = ( n ：协) e 一扎- 一n ：( 。) e 扎。 。) 知t k ( n ) ( z 恤) ，y ( 。) ) + t = 1 ( 4 ：( 。) e 一“钆+ 口：( 引e “ 。) 廿佃) ( 工( 。) ，y ( 。) ) ( 2 2 8 ) ( 2 2 9 ) 其中孑甘甜和瓦纠是第t 个模式的横向矢量函数，毛纠和无倒是第k 个模式的正锄j 矢 量函数，扎。是传播常数，。和d ；。分别是第个模式的入射波幅度( 即入射系数) 和反 射波幅度( 即反射系数) 。 由波导模式场得正交性，有 f f r 【( ；加( 。) j i 目_ ) ) ( 一三( ) ) 】d r = 以g ( n = 1 ，n ；p ，q = 1 ，2 3 ) ( 2 2 1 0 ) “ 其中， 屯= ：；，= 三伽) 是局部坐标系中的z 佃) 轴正方向得单位矢量，并且有乏( 。) = 元。 在波导n ( n - - 1 n ) 得端口面上，有下列式子 第二章有限元方法的原理 哥h = 西b 瓦忆，= 万k 式( 2 2 1 1 ) 两边同时) ( j ；：( | ) ，并在r ( ) 上进行面积分，可得 m ( 夏磊) ，动s = 口枷1 ) + 露 则该波导内第k 个模式场得反射波振幅啦 ( 2 2 1 1 ) ( 2 2 1 2 ) 4 ：= r 。( 可石) 动s 一口 ( 2 2 1 3 ) 将( 2 2 1 3 ) 代入( 2 2 9 ) ，则可得 酉j r ( - ，= 酉( 一，i r 佃，= 砉 【物：一肌。( 耳赢c 旬。r i d s h 一帅，+ 【r ( 哥砬t 砧勰】如m 】h ( 2 2 1 4 ) 因此，将( 2 2 1 4 ) 代入( 2 2 7 ) ，有 觚 ( v 万) ( _ - v x 云) 一露；矿一2 e 一 d q 一_ ，矗粪薹m ( 形j i 帅) ) 劢s 盯m ，( 吾威) 初s ( 2 2 1 5 ) + 2 ，掣。薹薹畋。，j j r 。，( 矿h 一帅) ) 动s = o 上式就是关于电场露的变分方程。 2 2 2 有限元分析过程 对一个边值问题，有限元分析过程由四个基本步骤：( 1 ) 对问题相关的区域进行 分解成子区域( s u b d i v i s i o no ft h ed o m a i n ) ；( 2 ) 在每个子区域那选择合适的多项式函数 ( s e l e c t i o no f t h ei n t e r p o l a t i o nf u n c t i o n s ) ；( 3 ) 根据变分方程导出代数线性方程组，即有限元 方程( f o r m u l a t i o n o f t h es y s t e m o f e q u a t i o n s ) ；( 4 ) 求解有限元方程( s o l u t i o n o f t h es y s t e m o f t h e e q u a t i o n s ) 。 ( 1 ) 对问题相关的区域进行分解 分解区域是有限元方法中最关键的一步，因为分解的结果影响着计算机的内存，计算 时间以及所求的数值解的精度。 分析三维区域，子区域可以采用四面体，三棱柱以及长方体，其中四面体( 如图2 3 ) 最适合任意形状的区域。本文采用四面体单元作为子区域。 第二苹有限元方法的原理 在分解区域中，必须对点、波导端口面上的三角形以及四面体进行编号，并储存相关 信息。点的信息有坐标值、全局编号、局部编号以及点的特性如电性或磁性或为介质，边 的信息有两端顶点( 有次序) 、全局编号、局部编号以及边的特性如电性等，三角形单元的 信息有三角形的三个顶点( 有次序) 、三条边、编号以及介质参数。其中局部编号是对整个 区域而言，而局部编号则是对三角形子区域来说的。四面体单元的信息有四个顶点( 有次 序) 、六条边、编号等。 ( 2 ) 在四面体单元内选择合适的多项式函数 有限元分析方法的第二步是在子区域选择合适的多项式函数( 下面称为基函数) ，这些 多项式可以是一次的，蹲次的，也可以是更高次的多项式，并通过这些基函数来表示该子 区域内场的近似解。 4 边编号i 点i t点i 2 1l2 2l3 3 l4 4 2 3 5 4 2 634 图2 3四面体单元表l 边与顶点的关系 在直角坐标系中，设四面体的四个顶点的坐标值为( z ；，y 厶露) ，( f = l ，2 ，3 ) 。而边与顶点 的关系如表1 所示。由于自由度可以赋予点或边，因此四面体内有两种不同的多项式基函 数：如果自由度赋予点，则其基函数为标量形式；若自由度赋予边，则为矢量基函数。 标量基函数形式如下： 1 乓( 五只z ) = 若孑位；+ 睇x + 巧y + 蟛z ) ，( f = 1 ，2 ，3 ，4 )( 2 2 1 6 ) 其中y 一 6 lll 彰孵虻 荔 a ；= 钟= 巧= 彬= ，口：= - 以= ，蟛= 矢量基函数： 丙；= ( e v 吃一e v 毛) 鬈 第二章有限元方法的原理 彰= - = ，蟛= 其中，譬：厄i 而石再再虿。 n ：= ，彰= - ，c ：= - 彤= ( i = l ，6 ；i l ，i 2 是边i 的两个顶点编号) ( 2 2 1 7 ) 在四面体内，有了上述这些基函数，那么四面体内的场可以由这些基函数来近似表示。 罾以及权函数形表示为； 形：6 丙；彬c ：i n ， 7 ， 其中，i n 。 = 丽l = 陋l ，p 1 = 啤。l 姐。 1 4 ( 2 2 1 8 ) 佗2 1 9 ) 巧孵苟 j 孵彰j 彰 巧孵巧孵西 j 孵巧j 虻 j 巧 j 孵，虻 j 巧j 彤j孵荔j 孵巧 j 孵 j 虻露j虻j j 孵j 鬈必 j 虻，孵j 虻孵苟j孵，巧j蔓 孵苟 孵j 孵苟 蝣苟 j 蝣 j j 巧孵j 孵，苟，巧孵 j j 虻 6 f11 dy卜唧p 怕 肾一小一加 f ，if d c， ，、 j j + 叫 i ， 晰纛 、， j 咄 锐饿 吒小吒嘲啪毗脚辛辛寿簿 1 j f e l t r _ j f r l = 髟 p l 一 。 = f e 第二章有限元方法的原理 ( 3 ) 根据变分方程导出代数线性方程组，即有限元方程 将( 2 2 1 8 ) ，( 2 2 1 9 ) 代入( 2 2 1 5 ) ，得 f 。w 。 7p 酽 一k 0 2 w 7 q 一豇荟n 荟u 1 。) 。) ” 酽 + 2 j m g 。粪弘一 7 嘲 式中 p = 巧 。， q 。 = 蟛 。， 鳞。帕 = 曲 。 巧= f j ( v 面：万一v 丽b d v ， p 。 g e = j ( 张否丙：) d y ， v 。 ，= j ( 丙：础。，) 赫d s ， v 面：= 2 f v v 旺 2 南 ( c i 吒一线c ：) ；+ ( 盛一咙引歹+ ( c ：一c ：) i ( i = 1 ，6 ；i j ，i 2 是边i 的两个顶点编号) 式中，是四面体单元位于波导端口上的三角形单元，玩( ) 是第个模式的数值解， 如果四面体单元没有一个面位于波导端口面，则其面积分为零。 所有四面体单元同样可以得到式( 2 2 2 0 ) ，将它们组合并整理，最后可得 w 7 ( p 一躲q j 改j n 反( 。，螈) ) e 十2 ，锄n 抽a ( 。) 】= 0 ( 2 2 21 ) 因为权函数谚在条件万再= o 下任意取值，因此，对来说，也是任意取值的所以 由上式可有 ( p 一露把一豇羔妻晚佃鳃，) 层+ 巧n 哦。a = 0( 2 2 2 2 ) 在求解式( 2 2 2 2 ) 之前，必须将边界条件加到式( 2 2 2 2 ) 中。由于式( 2 2 2 2 ) 是根据关于电场的变分方程，即式( 2 2 2 1 ) 得到的是有限元方程，因此，就本节的问 苎三兰童里歪立鲨竺堕墨 题，如果边是电性的，则将该边所对应的行和列删去，也就是这些边相应的待定系数为零。 由此得到的方程式( 形式与( 2 2 2 2 ) 相同) 是最终的方程式。 ( 4 ) 求解有限元方程 如果入射系数口，给定，利用线性代数中的l u 分解来求解式( 2 2 2 2 ) ，e 就解得， 从而雷的数值解也就可以得到。将豆的数值解代入式( 2 2 1 3 ) ，则反射波幅度口r 可有 下式得到 n = ( ) 叩层口 ( 2 2 2 3 ) 波导结的外部特性可以由这些模式场及其反射波幅度得到。 2 3 真空介质的两端口模式变换器的分析 本节利用各向异性介质的n 端口波导结的分析来计算真空介质的n 端口波导结的有限 元分析，并得出两端口的模式变换器的有限元方程。 2 3 1 真空介质的n 端口波导绪 ( 1 ) 在真空介质中，公式( 2 2 i ) 中的万= 1 ，否= 1 ，代入式( 2 2 1 5 ) ，可以得到真 空中关于电场雷的变分方程。 肌【( v 形) ( v 万) 一丘；矿哥】d q 一_ 掣。耋薹肌( ) ( 形元帅) ) 劢l s 肌( 町( 吾瓦( _ ) ) 。初s ( 2 3 1 ) + 2 ，n 三n r 。( 形瓢t ”) 甜s = o ( 2 ) 根据变分方程导出有限元方程。 用有限元分析任意一个四面体单元，可以得到 p = 妒 7 p 弘。 一瑶旷 7 q 9 e 刁 一，掣。窆妻pr 7 。，- l l b ：, 。) ”e + 2 j 吐窆妻i 。，w 一 7 坛。) “ 1 6 ( 2 3 2 ) 第二章有限元方法的原理 式中 p 1 = k l ，p = 匣1 晒，陬。， = 心。l 巧= ( v 丙；) ( v x k b d v ， 蟛= j ( 矾- d ；) a v ， = ( 丽，) - z , d s ， v 两= 2 1 ：v l ；v t 2 ( 6 2 y z 7 ，) f ：戎一线f 盼一或) 歹+ 阮e f 矧刁 ( i _ 1 ，6 ；i l ，i 2 是边i 的两个顶点编号) 所有四面体单元都可以得到式( 2 3 2 ) ，将它们组合整理，并满足权函数谚在条件 w 再= 0 下任意取值( 即对w 来说，也是任意取值) ，最后得到真空介质的n 端口结的有 限元方程。 ( p 一七；q j c o z 。童妻巩。声磊，) 层+ 2 j w z 。兰主口：。，以( 町= o ( 2 3 3 ) l i ii s l t z l 反射波的波幅可由( 2 3 4 ) 求得。 n 刖r = ( 厂