（物理电子学专业论文）电磁辐射场中量子位的消相干特性研究.pdf

唐志祥摘要量子位是量子信息的载体，由于量子位不可能是一个孤立系统，它与环境的相互作用将引起量子位能量耗散或相对位相改变，量子相干性减弱，最终导致量子位由相干叠加态退化为混合态或单一纯态，量子相干性消失，这种现象被称为量子消相干。因此，消除量子消相干成为实现量子信息存储和处理的关键问题和研究热点。本文通过研究几种模型中量子位的消相干特性，探求通过外加驱动场的方法消除由环境引起的消相干，为实现量子信息的存储和处理提供一定的理论指导。测不准关系是引起量子消相干的原因之一，但测量仪器与量子系统的纠缠才是引起量子信息系统丧失其量子相干性的最根本原因。本文利用消相干的形式理论，建立量子位同时存在跃迁和衰变的模型，利用k r a u s 算符计算出量子位密度矩阵。量子位密度矩阵非对角元的衰减表明，量子位与环境的相互作用导致量子位相干性减弱，量子位由相干叠加态坍缩到单一纯态。当系统和环境的相互作用很弱时( 否则我们将无法区分环境和系统) ，我们通常把量子位所处的环境描述成一个多谐振子热库。本文重点利用微扰理论和对热库求迹的方法计算非谐相互作用模型、强度耦合模型和计及s t a r k 位移效应的简并双光子j c 模型中量子位的约化密度矩阵非对角元，根据菲对角元的衰减分析各模型中量子位的消相干特性，并探求通过外加驱动场消除量子位的消相干，从而使得上述模型中的量子位应用于量子信息系统成为可能。在非谐相互作用模型中，由于相互作用过程不引起量子位两个独立态之间的跃迁，因此消相干特性与量子位的跃迁频率无关，量子位的消相干由热库谐振子频率和平均光子数共同决定。对于强度耦合模型和计及s t a r k 位移效应的简并双光子j - c 模曼璺g 三! ! ! ! 竺堡坚竺! ! ! 塑虫里! ! 竺垒苎! ! ! 基! 磐g 竺望里堡! ! ! ! 蔓! !型，由于相互作用直接引起量子位独立态之间的跃迁，因此消相干特性还与量子位的跃迁频率有关。强度耦合模型中量子位的消相干特性表现出对耦合强度的依赖性。在计及s t a r k 位移效应的简并双光子j c 模型中，s t a r k 位移对量子位的消相干有很大的影响。本文在研究量子位消相干特性的同时，得到用于消除消相干的外加驱动场的特性方程。研究表明，无论是量子位的消相干特性还是用于消除消相于的外加驱动场，都与量子位和热库之间的相互作用类型、热库谐振子频率以及热库平均光子数有着比较复杂的函数关系。全文安排如下：引言部分简单地介绍量子信息的研究背景和研究量子消相干的意义。第一章较详细地介绍量子态、量子位和热库等基本概念。第二章对经典相干与量子相干进行比较并介绍量子相干的特性及其在量子信息学中的重要地位。第三章利用消相干的形式理论对同时存在跃迁和衰变的量子位的消相干特性进行探讨。第四章研究非谐相互作用模型、强度耦合模型以及计及s t a r k 位移效应的简并双光子模型中量子位的消相干及其消除。最后一章对研究内容进行总结，并进行学术展望。关键词：量子信息，量子位，热库，电磁辐射场，量子消相干。a b s t r a c tq u b i t ，t h ec a r r i e ro fq u a n t u mi n f o r m a t i o n ，c a nn o tb ea ni s o l a t e ds y s t e m t h ei n t e r a c t i o no ft h eq u b i tw i mi t se n v i r o n m e n tw i l l i n d u c et h eq u b i td i s s i p a t i o no rd e p h a s i n g ，a n dw e a k e ni t sq u a n t u mc o h e r e n c e a sar e s u l t ，i tw i t lc a u s et h eq u b i tc o l l a p s ef r o mac o h e r e n ts u p e r p o s i t i o ns t a t et oam i x e do rs i n g l ep u r es t a t e ，a n dq u a n t u mi n f o r m a t i o n1 0 s t t h i sp r o c e s si sk n o w na sq u a n t u md e c o h e r e n c e s oq u a n t u md e c o h e r e n c ei so n eo ft h em a i nb a r r i e r sw h i c hh o l db a c kt h es t o r a g ea n dp r o c e s s i n go fq u a n t u mi n f o r m a t i o n ，a n dh a sb e c o m ear e s e a r c hh o t s p o t ，1 1 e nt h ed e c o h e r e n tp r o p e r t i e so fs e v e r a lq u b i tm o d e l sa r es t u d i e d ，t h i st h e s i sa l s os e a r c h e sf o rt h ee x t e r n a td r i v i n gf i e l d st oe l i m i n a t et h eq u b i t s d e c o h e r e n c ew h i c hi si n d u c e db yt h e i re n v i r o n m e n t s t h e s er e s u l t sw i l lp r o v i d es o m et h e o r yg u i d a n c ef o rt h er e a l i z a t i o no ft h es t o r a g ea n dp r o c e s s i n go fq u a n t u mi n f o r m a t i o n i n d e t e r m i n a c yp r i n c i p l eh a sb e e nr e g a r d e da sas o u r c eo fq u a n t u md e c o h e r e n c e b u tt h em o s tp r i m es o u r c eo fi n d u c i n gt h ed e c o h e r e n c eo fq u a n t u mi n f o r m a t i o ns y s t e mi st h ee n t a n g l e m e n tb e t w e e nm e a s u r ea d p a r a t u sa n dq u a n t u ms y s t e m s aq u b i tm o d e lw h i c ht r a n s i t i o na n dd e c a yc o e x i s th a sb e e nd e s c r i b e db yu s i n gt h ed e c o h e r e n tf o r m a lt h e o r yi nt h i st h e s i s b yu s i n gt h ek r a u so p e r a t o r , t h ed e n s i t ym a t r i xo ft h eq u b i th a sb e e nw o r k e do u t t h ea n a l y s i st ot h ed i m i n i s h m e n to ft h em a t r i xo f f - d i a g o n a le l e m e n t sd e n o t e st h a tt h ei n t e r a c t i o nb e t w e e naq u b i ta n di t se n v i r o n m e n tw e a k e n st h eq u b i t sc o h e r e n c ea n de v o l v e si tf r o mac o h e r e n ts u p e r p o s i t i o ns t a t ei n t oas i n g l ep u r es t a t e t h ee n v i r o n m e n tc a nb et r e a t e da sat h e r m a lr e s e r v o i rw h e nt h ei n t e r a c t i o no ft h eq u a n t u ms y s t e mw i t hi t se n v i r o n m e n ti sv e r yw e a k( o t h e r w i s et h e ya r en o td i s t i n g u i s h a b l e ) n l i st h e s i sl a y si t se m p h a s i so nc a l c u l a t i n gt h eo f f - d i a g o n a le l e m e n t so ft h er e d u c e dd e n s i t ym a t r i xo ft h eq u b i ti nt h en o n r e s o n a n tm o d e l t h ei n t e n s i t yd e p e n d e n t墅g ! ! ! ! ! 坐坚竺堡型! 堡里! ! 兰型! ! ! 茎! 翌壁竺塑! ! ! ! ! ! 堡塑c o u p l i n gj - cm o d e la n dt h ed e g e n e r a t et w o - p h o t o nj - cm o d e lw i t hs t a r ke f f e c tb yu s i n gp e r t u r b a t i o nt h e o r ya n dt r a c i n go v e rt h e r m a lr e s e r v o i r t h ep r o p e r t i e so ft h e i rd e c o h e r e n c ea r eo b t a i n e db ya n a l y z i n gt h ed e c a yo ft h eo f f - d i a g o n a le l e m e n t s a tt h es a m et i m e ，t h et h e s i sg e t st h ee x t e r n a ld r i v i n gf i e l d sw h i c ha r eu s e dt oe l i m i n a t et h eq u b i t s d e c o h e r e n c e t h i sm a k e si tp o s s i b l ef o rt h e s eq u b i t st ob eu s i n gi nq u a n t u mi n f o r m a t i o ns y s t e m s t h ed e c o h e r e n c eo ft h en o n r e s o n a n tm o d e li si n d e p e n d e n to ft h et r a n s i t i o nf r e q u e n c yo ft h eq u b i tb e c a u s et h en o n r e s o n a n ti n t e r a c t i o nd o e s n ti n d u c et h et r a n s i t i o nb e t w e e nt h et w ol i n e a ri n d e p e n d e n ts t a t e so ft h eq u b i t t h eq u b i t sd e c o h e r e n c ei sd e t e r m i n e db yt h ef r e q u e n c i e so f t h eo s c i l l a t o r so ft h et h e r m a lr e s e r v o i ra n dt h ea v e r a g ep h o t o nn u m b e r so ft h eo p t i c a lf i e l d f o rt h ei n t e n s i t yd e p e n d e n tc o u p l i n gj - cm o d e la n dt h ed e g e n e r a t et w o p h o t o nj - cm o d e lw i t hs t a r ke f f e c t t h ei n t e r a c t i o n sd i r e c t l yi n d u c et h et r a n s i t i o nb e t w e e nt h et w ol i n e a ri n d e p e n d e n ts t a t e s s ot h ed e c o h e r e n c eo ft h e s em o d e l sa r ed e p e n d e n to n 也et r a n s i t i o nf r e q u e n c yo ft h eq u b i ty e t t h eq u b i t sd e c o h e r e n tp r o p e r t i e sa r ed e p e n d e n to nt h ec o u p l i n gi n t e n s i t yi nt h ei n t e n s i t yd e p e n d e n tc o u p l i n gj - cm o d e l ，a n dt h es t a r ks h i f th a v eg r e a te f f e c to nt i l eq u b i t sd e c o h e r e n c ei nt h ed e g e n e r a t et w o p h o t o nj - cm o d e lw i t hs t a r ke f f e c t w i t ht h ed i s c u s s i n go ft h eq u b i t sd e c o h e r e n c e w ea l s os e a r c hf o re x t e m a ld r i v i n gf i e l d st oe l i m i n a t et h e i rd e c o h e r e n c ea n dg e tt h ee x t e r n a ld r i v i n gf i e l d s r e s t r i c t i o ne q u a t i o n s t h es t u d i e si n d i c a t et h a tn o to n l yt h ed e c o h e r e n c eo ft h eq u b i t sb u ta l s ot h ee x t e r n a ld r i v i n gf i e l d sw h i c ha r eu s e dt oe l i m i n a t et h ed e c o h e r e n c eb o t ht i eu pw i t ht h ei n t e r a c t i o nt y p e so ft h eq u b i tw i t ht h et h e r m a lr e s e r v o i r , t h ef r e q u e n c i e so ft h eo s c i l l a t o r so ft h et h e r m a lr e s e r v o i ra n dt h ea v e r a g ep h o t on u m b e r so f t h eo p t i c a lf i e l d t h i st h e s i si so r g a n i z e da sf o l l o w i n g ：i nt h ep a r to fi n t r o d u c t i o n ，w es i m p l yd e s c r i b et h eb a c k g r o u n do fq u a n t u mi n f o r m a t i o na n dt h es i g n i f i c a n c e so ft h es t u d yt oq u a n t u md e c o h e r e n c e i nc h a p t e rl ，t h e庸志祥湘潭大学硕士学位论文vq u a n t u ms t a t e s ，q u b i t sa n dt h e r m a lr e s e r v o i rh a v eb e e ni n t r o d u c e d i nc h a p t e r2 ，c l a s s i c a lc o h e r e n c ea n dq u a n t u r nc o h e r e n c ea r ec o m p a r e d ；t h ep r o p e r t i e so fq u a n t u mc o h e r e n c ea n di t si m p o r t a n c ei nq u a n t u mi n f o r m a t i o nh a v eb e e nd i s c u s s e d i nc h a p t e r3 ，t h eq u a n t u md e c o h e r e n c eo ft h eq u b i tw h i c ht r a n s i t i o na n dd e c a yc o e x i s ti sa n a l y z e db yu s i n gt h ef o r m a lt h e o r yo fd e c o h e r e n c e i nc h a p t e r4 ，w es t u d yt h ed e c o h e r e n tp r o p e r t i e so ft h eq u b i t si nt h en o n r e s o n a n tm o d e l ，t h ei n t e n s i t yd e p e n d e n tc o u p l i n gj - cm o d e la n dt h ed e g e n e r a t et w o p h o t o nj - cm o d e lw i t hs t a r ks h i f t t h ee l i m i n a t i o n so ft h e i rd e c o h e r e n c ea r ed i s c u s s e dt o o i nt h el a s tc h a p t e r , w es u m m a r i z eo h j r e s u l t sb r i e f l y k e yw o r d s ：q u a n t u mi n f o r m a t i o n ，q u b i t ，t h e r m a lr e s e r v o ir e l e c t r o m a g n e t i cr a d i a t i o nf i e l d ，q u a n t u md e c o h e r e n c e湘潭大学硕士学位论文引言经典物理学对宏观世界给出了相当满意和漂亮的描述。然而，随着科学技术的迅猛发展和人类认识水平的不断提高，经典物理的知识体系已经远远不能满足人们认识世界的需要。随着人们对微观世界探索经验的不断积累，2 0 世纪物理学所取得鲋两个划时代的成果之一量子力学迅速产生并蓬勃发展，成为人们认识微观世界的利器，并逐步影响到整个人类社会的生活。电子计算机在过去3 0 年中，每个芯片上集成的晶体管数目随时间呈指数增长，这个被称为摩尔定律【l 】的经验法则预示着，1 0多年以后计算机存储单元将达到原子尺寸，电子在电路中的行为将不再服从经典力学规律，取而代之的是量子力学规律。2 0 世纪6 0 年代至7 0 年代，人们发现能耗会导致计算机中的芯片发热，极大地影响芯片的集成度，从而限制了计算机的运行速度。因此，经典微处理器芯片集成究竟可以达到何种程度，芯片是否存在极限运算速度? 究竟能否实现不可破译的密码和不可窃听的保密通信? 诸如此类信息科学所面临的挑战，一直都是数学家、电子技术专家和计算机科学家所关注的课题。近年来，物理学家也加入了攻克难题的队伍，并成功地将量子理论和信息理论结合起来，提出了很多令人耳目一新的概念、原理和方法。量子信息和量子计算作为新兴的学科分支应运而生，荠取得重要进展。2 0 世纪8 0 年代，e b e n i o f f 根据r l a u n d a u e r 和c h b e n n e t的早期研究成果证明了一台计算机原则上可以以纯粹的量子力学方式运行，并设计了一台可执行的、有经典类比的量子t u r i n g 机量子计算机的雏形1 2 州。此后不久r f e y n m a n 发展了b e n i o f f的设想，提出量子计算机可以模拟量子系统睁冉j ：d d e u t s c h 提出了基于量子干涉的计算机模型以及“量子逻辑门”这一新概念，并指出量子计算机可以通用化、量子计算错误的产生和纠正等问：堕堕垫型竺曼坚竺生型! ! e 里堕! ! 型! ! 兰! 垫壁竺望! 堕! 坚堂!题【7 8 。，并由z u r e k 作了深入地分析和研究 9 , 1 0 1 ，到了8 0 年代中期，这一研究领域由于若干原因而被冷落。首先，当时所有的量子计算机模型都是把量子计算机看成是一个不与外界环境发生作用的理想孤立系统，而不是实际模型。其次，存在许多不利于实现量子计算机的制约因素，如l a n d a u e r 指出的消相干、热噪声等等【1 1 1 。此外，量子计算机还可能容易出错且不易纠错。最后，当时还不清楚量子计算机解决数学问题是否比经典计算快，这1 点直接影响对量子计算机研究的热情。1 9 9 3 年，l l o y d 提出许多量子系统可用于研制量子计算机【l2 1 。1 9 9 4 年，计算机科学家e w s h o r 给出了第一个大数因子分解的量子算法h3 1 ，它能够在几秒内破解常规计算机“无法破解”的密码。这一算法第一次直接地证实了量子计算机远远优于经典计算机，打消了人们对量子计算机优越性的疑虑，极大地刺激了人们对量子计算机研究的热情，掀起了量子信息和量子计算研究的新热潮。1 9 9 6 年，贝尔实验室的l k g r o v e r 设计了未加处理数据库的量子搜索算法 1 4 - 1 6 】，使用这种算法，在量子计算机中可以实现巨数据库的万量级的加速搜索。因此，这种高速的巨数据库搜索法被称为“从干草堆里找到一根针”或“大海捞针”。1 9 9 8 年该算法在实验上得到了证实i l7 ，噶】。在这些神奇算法的刺激下，量子信息学研究在理论上和实验上都取得了突破性的进展。截止到2 0 0 0 年，美国已成功地建立4 个量子位的离子阱量子计算机，同时美国和德国的科学家利用核磁共振技术成功地建立5 个量子位的量子计算系统，在我国则利用核磁共振技术成功地建立3 个量子位的量子计算机。据报道，2 0 0 1 年日本利用核磁共振技术已研制出1 6个量子位的实验性量子计算机原型。在量子通信方面，2 0 0 3 年5月，中国科技大学教授潘建伟博士在奥地利维也纳多瑙河畔的实验站成功地演示量子纠缠态远距离分送；日本则计划在2 0 2 0 年至2 0 3 0 年间，建成绝对安全保密的高速量子信息通信网，以实现通信技术质的飞跃。量子理论与信息论的结合，使得信息科学有了湘潭大学硕士学位论文广阔而灿烂的发展前景，各国正向着建立更多量子位的、实用的量子信息和计算系统的目标努力，并不断取得新进展。量子计算机、量子通信和量子密码术是量子信息学研究的三大热点，它们都以量子信息的存储、处理( 即量子计算) 和传输为基础。量子态是量子信息的载体，对量子信息的处理也就是对量子态实施幺正变换【l9 。但是由于量子位不可能是一个独立于环境之外的孤立系统，它与环境或强或弱的相互作用将引起量子位能量耗散或相对位相发生改变，这最终导致量子相干叠加态坍塌、量子信息散失到我们无法控制的环境中去，这种现象被称为量子消相干( q u a n t u m d e c o h e r e n c e ) 1 1 9 , 2 0 。量子消相干使得量子信息系统丧失体现其优越性的最根本前提之一量子相干，将直接导致量子信息系统的大量计算错误甚至崩溃，成为实现量子信息系统的巨大障碍。因此，量子位与环境的相互作用过程以及量子位相干性损失引起了人们的广泛关注，并成为研究热点。我们通常把量子位所处的环境描述成电磁辐射场，这不仅因为目前量子位的物理实现( 自旋粒子或二能级原子) 都和电磁辐射场发生相互作用，而且这种作为背景的电磁热辐射场无处不在。即使在真空状态下这种场也存在着零点起伏，这也是量子计算机噪声的主要来源。这种电磁辐射场可以等价地看成是无穷多的量子谐振子集合。通常把处于热平衡状态的多量子谐振子系统集合称为热库( t h e r m a lr e s e r v o i r ) 。任何与量子系统弱耦合的环境都可以等价为一个多谐振子热库【2 卜23 1 。围绕以热库作为量子位的环境背景，国内外展开了大量的研究并取得新进展。孙昌璞教授等对一种简单的量子位一热库非谐相互作用模型的消相干特性进行研究【2 4 ，2 5 】，发现初始状态为真空态的热库将引起量子位的量子跳跃，p a l a m 等也对该模型的消相干特性进行了研究，但由于他们忽略了相因子，计算中包含了一定的错误i z6 。一般地，作为量子位环境的谐振子热库并不处于真空态，因此对于该模型我们有必要进一步研究非真空态热库对量旦! ! ! ! ! ! 竺翌! ! 兰! ! ! 坚! ! ：! ! ! 苎! ! ! 苎! ! ! g 【竺望! ! ：! ! ! ! 堡!子位相干性的影响。j a y n e s c u m m i n g s 模型( 简称j - c 模型) 是量子光学中一个理想的模型，它描述了一个二能级原子与一个单模量子化光场的相互作用1 2 7 1 。以一- - z 日, u e 级原子作为量子位，将单模光场换成谐振子热库便得到了一种简单的热库一量子位模型，该模型在偶极和旋转波近似下的消相干及其消除已有研究【2 引。由于该模型没有反映原子动力学性质对光场强度的依赖性，因此b u c k 和s u k u m a r l 2 9 , 3 0 等提出了d h 强度耦合j c 模型。在此基础上v b u z e k 提出了原子与热库以任意强度耦合的j c 模型p ”。这些强度耦合模型不但可以精确求解，而且还展示了许多原子与光场相互作用的其他量子特性1 3 2 3 3 】。这类模型的消相干研究有助于我们了解量子位与环境强度耦合时的相干性衰减特性，而且不同的强度耦合将对量子位的消相干性产生不同的影响。原子处于电磁辐射场中，辐射场的电场分量将不可避免地影响到原子的能级，使其发生位移，这就是s t a r k 效应。s t a r k 效应引起的能级移动也必将对原子的动力学性质产生影响 3 4 , 3 5 。文献 3 6 】对简并双光子j c模型的消相干及其消除作了详细的讨论。我们在文献 3 6 1 的基础上考虑s t a r k 位移效应，研究该模型中量子位的消相干及其消除。大量研究表明，以热库作为环境模型，研究处于其中的量子位的消相干特性是研究环境影响量子位相干性的一种可行方法。但是，量子位与热库之间的相互作用非常复杂，不同的相互作用过程将对量子位的消相干性产生不同的影响。本文首先利用消相干的形式理论建立一个量子位同时存在跃迁和衰变的模型，计算出该模型的密度矩阵。结果表明环境使得量子位相干性减弱，量子位由相干叠加态坍缩到单一纯态。本文重点讨论非谐相互作用模型、强度耦合模型和计及s t a r k 位移效应的简并双光子j c 模型中量子位的消相干特性，研究结果表明量子位的消相干特性不仅和热库与量子位之间相互作用类型有关，而且还与量子位的跃迁频率c o o 、热库谐振子频率分布( 9 k 以及热库各模平均光子数瓦有着密切的关系。在研究量子位消相干特性的同时，本文也探求利用唐志祥湘潭大学硕士学位论文外加驱动场的方法消除量子位的消相干，得到消除消相干时外加驱动场必需满足的特性方程。第一节量子态第一章基本概念由测不准关系我们知道，微观粒子的坐标和动量不再同时具有确定值，因此经典描述方法对微观粒子也就不再适用。在量子力学中，量子系统的态由h i l b e r t 空间的矢量完全描写，称表示量子态的矢量为态矢量，h i l b e r t 空间就是由态矢量张起的空间。d i r a c 引入一个称为右矢的符号表示态矢量，一个具体的态矢可以用i 妒) 表示，i b , 是表征具体态矢的特征量或符号。与右矢对应，d i r a c还引入左矢( l 作为右矢l p ) 的共轭矢量。这样，量子系统的态也可以用左矢和右矢来描写。1 1 量子纯态与量子混合态量子纯态指的是可以用h i l b e r t 空间一个态矢量描写的态。两个纯态旧) 和慨) ，通过叠加可以得到另一个态l 妒) = q i 妒。) + c 2 i 妒：)( 1 1 1 )这也是一个纯态。总之，凡是能用h i l b e r t 空间中的一个态矢量描写的态都是纯态。如果一个量子系统是由许多不同的态矢) ( i = l ，2 ，)描写的子系统构成，每个子系统在该系统中以确定的几率出现，这个系统称为混合系综。混合系综的状态称为混合态【1 9 , 3 7 。混合态无法用个态矢量表示，通常可以用子系统的态矢及该子系统在系综中出现的几率来表示。比如，一个混合系综处于眠) 态的几率为鼻，处于i y ：) 态的几率为b ( 其中鼻，p 2 0 且只+ p 2 = 1 ) ，那么这个混合系综所处的混合态可以表示为删舞( 1 1 固，) ：只“。，量子系统处于( 1 1 1 ) 式所描述的纯态的几率为( 妒1 妒) = l c l l 2 ( 妒； 妒) + i c ：1 2 ( p ：1 妒：) + c 。c ；( 妒：i 吼) + c ：c i ( 妒。i 妒：)( 1 1 3 )而对( 1 1 2 ) 所描述的混合态，有( 。l 妒，) 鼻+ ( ：i 2 ) b( 1 1 4 )由此看出，在纯态中两个态旧) 和i 妒：) 发生干涉现象，而混合态则不发生。所以两个态形成纯态是相干叠加，而形成混合态是非相干叠加。前者是几率幅的相加，而后者则是概率本身的相加。在后续的章节中我们将看到，处于相干叠加态的量子系统由于相干性的消失而退化到混合态。我们可以用密度算符来形象而直观地区分量子纯态和混合态。纯态的密度算符定义为p = i 妒) ( 妒i( 1 1 5 )它对态矢空间任意矢量的作用为声 矿) = f 力( 妒f ) = c f 妒)( 1 1 6 )其中c = ( p l ) 是态矢j ) 在i 妨上的投影，它是一个数，所以p 也叫投影算符。对于如( 1 1 1 ) 所描写的纯态，其对应的密度算符可以用矩阵表示为非对角元表示两态相加形成纯态是相干叠加。符定义为( 1 1 7 )而混合态的密度算p = f 眇。) 只( ，( 1 1 8 )其中p 是系综处于) 态的几率。对于( 1 1 2 ) 所描写的混合态，其密度算符为p = l y ，) 只( ；f ，i + i 妒：) 晏( 妒：l( 只= 1 )( 1 。1 9 )旦竖垫! ! ! 塑g坚! ! ! ! ! ! ! 堡里堕! 璺! ! ! 竺苎! 竺壁竺望型! ! 堡! 堡!对应的矩阵形式为声= ( 暑昱。，非对角元为0 表明形成混合态是非相干叠加。( 1 1 2 ) 式描写的混合态* l j ( 1 1 1 ) 式描写的纯态区别在于：如果i l i f t ) 和i y ：) 构成正交归一集，那么由他们构成的一个叠加态i ) = 口i ) + 卢i | i c ，：)( 1 1 1 1 )是一个纯态，而不是混合态。但是处于混合态的系综，系综以一定概率只处于m ) ，当它处于这个态时，它具有m ) 态的全部性质，对于l 妒：) 也一样。而处于由) 和l ) 叠加而成的纯态的系综则同时兼有) 和i p ：) 的性质，但不全表现为m ) 或l ：) 的性质，也就是说系综不再具有纯粹m ) 或纯粹 妒：) 的性质。1 2 纠缠态当两个或两个以上部分构成一个复合系统，这个复合系统总可以划分为两个子系。对于多部分构成的复合系统，子系的划分有一定的任意性。如果复合系统的一个纯态不能写成两个子系统纯态的直积态，这个态就是一个纠缠态【1 9 l 。比如l y ) = 口l o m ) 1 0 玎) + b l l 1 ) p )盯+ = 1( 1 1 1 2 )就是由子系1 和子系2 组成的复合系统的一个纠缠态，它不能写成子系1 纯态与子系2 纯态的直积态。而1 妒) = a l o ”) p ) + 6 ) 一)( 1 1 1 3 )则不是纠缠态，因为它可以写成两子系的直积态1 妒) = ( 玎l 0 0 1 ) + 6 1 1 ( 1 ) ) ) o | l ( 2 ) )( 1 1 1 4 )纠缠态可以用h i l b e r t 空间的态矢表示，所以也是纯态。从l ) 可以看到，如果我4 1 i n 量复合系统的子系l 发现子系1 处于，) 态，那么我们无需再对子系2 进行测量就可以断定其必定处于i o 忙，i态。因此纠缠态是复合系统的一种特殊纯态，它反映了处于纠缠态的复合系统子系局域状态并不相互独立，而有一定的内在联系。1 3 约化密度算符即使是由多部分组成的复合系统，我们也可以把它划分为两个子系。设复合系统密度算符为声；子系1 的正交归一化基矢为 “：) j ；子系2 的正交归一化基矢为 v ? ) 。则对子系l 的任意力学量算符户( 1 ，有即= ( 妒。i 矿”l “)= ( “? ( v ：”蚓v 训“：)( 1 1 1 5 )= t r o ( ( v p 纠v 渤触)t r ( ”表示对子系1 的态矢空间求迹。令= ( v ：2 纠v ? ) = 驴啦声t r ( 2 ，表示对子系2 的态矢空间求迹，即部分求迹。系1 的约化密度算符，这样尹( 1 1 = t r ( 1 ( p 声1 )p u ，实际上就是子系1 的密度算符。( 1 1 1 6 )我们称西t 1 ，为子( 1 1 1 7 )对于由两个子系构成的复合系统，如果它处在f 1 1 1 2 ) 所描述的量子态( 显然复合系统处于纯态) ，那么这个态对应的密度算符为声= i y ) ( 。描述子系l 的密度算符为声1 = 护2 1 p= ( o 拉l 妒) ( 矿1 0 让) + ( 1 让l p ) ( y l l 往)= 盯i o m ) ( o i + l b t2 ) ( 1 1( 1 1 1 8 )一201l0l b l 2j由此我们看到，当复合系统处于( 1 1 1 2 ) 所示的纯态时，子系1 却! 翌g 至! 型竺呈竺竺! ! 竖! 虫望! ! 兰塑! ! ! ! 兰i 型竺型! ! ：! 型型! !处于混合态。对子系1 测量得到| 0 ( 1 ) 态的概率为 ，测得| l ( 1 ) ) 态的概率是奸。一般地，即使总系处在一个纯态上，其子系也可能确定到个混合态。第二节量子位在经典信息论中，信息量的基本单位为位( b i t ，又称比特) 。一个位给出经典二值系统一个取值的信息量，在物理上通常以电容器的充放电、高低电平或二极管的导通和截止等两态经典系统来实现。与此对应，量子信息中的基本信息单位是量子位( q u b i t ，又称量子比特) ，一个量子位是一个两态量子系统，这里的两态是指两个线性独立的态。原则上，任何两态量子系统都可以实现量子信息的存储，比如具有两个独立自旋态的电子或原子核、具有两个独立偏振态的光子以及二能级原子等等都可以成为量子信息的物理载体。用量子态来表示信息是量子信息的出发点，有关量子信息的所有问题都必须采用量子力学理论来处理。量子态最显著的特征是相干叠加性和态演化的幺正性：1 对于一个量子体系，量子态的演化由系统的哈密顿量决定，演化规律可以用薛定谔方程来描述a i 。，i h 掣= 疗| y )( 1 2 1 )甜。这是个线性方程。如果) ，k ) ，i ，) ，l ) 都是薛定谔方程的解，那么它们的线性组合l 妒) = c l i ，) + c ：l y ：) + + 毛i i ，f ，。) = q y ，)( 1 2 2 )l ；l也是方程的解( 钆c ：，c 。是任意常数) 。对于具体的量子系统，如果m ) ，l ：) ，1 ) ， ) 是系统的可能量子态，那么它们的线性叠加也是体系的一个可能态。量子态是量子信息的载体，不同的量子态也就载有不同的量子信息。对于一个量子位来说，其量子态可以用二维h i l b e r t 空间的矢量来描写，i o ) 和1 1 ) 是该空间的两个正交基矢，分别载有两种基本量子信息，它们的线性叠加口i o ) + 剧1 ) 也是量子位的一个态( 其中川2 + 例2 = 1 ) ，同样也就载有另一种量子信息。两个基态的任意一个叠加态都能加载不同的量子信息，因此原则上通过适当地确定口和口，可以在一个量子位中编码无穷多种不同信息。一般地，n 个量子位的态张起个2 ”维h i l b e r t 空间，存在2 “个相互正交的基矢。通常取2 “个基底态为i f ) ，i 是一个n 位二进制数。量子信息则可以编码为这些基底态的线性叠加，比如112 “- il 妒) = - 嘉( 阻o ) + i o o - 1 ) + + 1 1 1 1 ) ) = 击l f ) ( 1 2 3 )t - - 0这与经典信息有明显的不同。经典信息的0 和1 分别在物理实现上对应电容的充电和放电或二极管的导通和截止，而它们的线性叠加a o + 口1 将被当作错误信息处理。因此，经典信息只能在0和1 之间跳变，而量子态可以在两个基本态之间连续变化。如果我们把经典位存储的经典信息看作是数轴上的点( 0 或者1 ) ，那么量子位存储的量子信息就是二维平面上的一个向量( 该向量的起点为坐标原点，终点为单位圆上的任意一点) 。因此，从经典信息到量子信息的过渡，就像从数轴到平面、从实数到复数的推广一样自然口引。这样，经典位也可视为量子位的一种特例，就像实数是复数的一个真子集。2 量子态的演化可以用幺正变换来表示。由于幺正变换总有可逆操作，因此量子信息的处理都是可逆的。如果u l y ) ：表示一种量子信息的处理，那么我们可以对得到的结果信息i 实施逆操作而恢复i y ) ：1 y ) = u 。对经典计算机的研究结果表明，计算机芯片的发热是由于计算的能耗引起的，而经典计算的能耗主旦! g 兰! ，! ! ! ! g坚! ! ! ! ! ! 塾垫旦! ! i ! 璺! ! ! ! ! 兰! ! ! 箜塑竺! 立! ! ! ! 堡! !要来源于大量的不可逆计算。因此，从经典信息向量子信息过渡的同时，量子信息处理的幺正性也就取代了经典计算的不可逆性。这样，量子信息处理器毫无疑问也就不存在由于计算不可逆性而带来的能耗问题。第三节电磁环境一热库量子态的演化遵从薛定谔方程，信息的传输就是量子态在量子通道中的传送，信息处理( 计算) 就是对量子态实施幺正变换，信息的提取便是对量子系统实施量子测量。在这一系列的量子信息操作过程中，由予量子位不可能独立于环境而孤立地存在，它与环境或强或弱地相互作用将导致量子干涉性消失，即发生消相干。量子消相干使得量子信息系统丧失其正常运转的根本前提之一量子相干性，导致量子信息系统优越性丧失甚至出现大规模的计算错误。因此，量子消相干成为量子信息系统物理实现的巨大障碍，引起了人们的广泛关注。量子位与环境的相互作用是引起消相干的主要原因之一，也是实现量子信息存储和处理必须解决的问题。环境的作用包含两个方面：一方面它可能会引起量子位的能量散失到环境中去，造成量子位能量的损耗，产生所谓的量子耗散；另一方面，即使量子位能够保持能量守恒，由无规则运动粒子组成的环境与量子位相互作用，也会引起量子位不同状态之间相对位相的不稳定，导致量子相干性的损失量子消相干。通常量子耗散的时间尺度远远大于量子消相干的时间尺度。因此，在研究量子信息时，通常可以把重点放在量子消相干问题上。一般地讲，处理环境中量子系统的消相干问题时，我们并不能任意假定环境与系统的相互作用形式。通常我们无法了解量子系统与环境作用的全部信息，只知道系统和环境的作用是足够弱湘潭大学硕上学位论文1 3的( 否则我们将无法区分环境和系统) 。l e g g e t t 及其合作者证明了如果系统与环境的耦合很弱，环境可以等价为一个多谐振子热库，而且系统与热库的耦合对于热库自由度而言是线性的1 2 1 - 2 3 1 。l e g g e t t 等的这结论，为一般地研究环境对量子系统的相互作用提供了一种普适性的准则。将环境处理为谐振子热库是一个合理的、普适的近似。在这个意义上，任何与量子系统弱耦合的环境均可以等价为多谐振子热库。多谐振子热库的实质就是一个多模电磁辐射场。经典物理中，电磁辐射场可以用矢势五和标势妒描述，常取标势妒为零，采用c o u l o m b 规范，矢势j 满足方程v 古等= 。v j ：0该方程的一般解可表示为( 1 3 1 a )n 3 1 b )j ( i ，f ) = a k ( t ) e x p ( i 已。i ) + 雹( 咖x p ( 一峨- 王) 】( i 3 2 )其中丑( f ) = 4 瓦e x p ( 一f 吼f )