（电路与系统专业论文）04kv配网潮流的收敛性分析.pdf

山东人学坝一i ：学位论文 r 气“” 原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独 立进行研究所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文 不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的科研成果。对本文 的研究作出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。 本声明的法律责任由本人承担。 论文作者签名：叁溘 日 期：呈皇! ! ：皇! ! 多 关于学位论文使用授权的声明 本人完全了解l 1 i 东大学有关保留、使用学位论文的规定，同意学 校保留或向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许 论文被查阅和借阅；本人授权山东大学可以将本学位论文的全部或 部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或其他复 制手段保存论文和汇编本学位论文。 卜 ( 保密论文在解密后应遵守五规定) 论文作者签名： 导师签名：五臣【 日 期：坐s ，t ， 、 一 一_ - i 山东人学硕上学位论文 目录 摘! 要i a b s t r a c t ：i i i 第1 章绪论1 第2 章潮流算法理论3 2 1 潮流分析基本原理一3 2 1 1 潮流的基本解法一节点电压方程过渡到节点功率方程4 2 1 2 节点功率方程的极坐标形式一5 2 1 3 节点功率方程的直角坐标形式5 2 2 牛顿一拉夫逊法潮流计算6 2 2 1 牛顿一拉夫逊法简介7 2 2 2 牛顿法极坐标形式的潮流解9 2 3p - q 分解法潮流计算一l l 2 4 最优乘子法l5 2 5 本章小结1 9 第3 章配电网络2 l 3 10 4 k v 配电网络的特点。2 l 3 23 2 节点配电网络的实例分析2 l 3 2 13 2 节点配电网络简介2 l 3 2 2 理论网损计算2 3 3 3 方均根电流法求解网损2 5 3 4 单相潮流法理论网损计算：2 7 3 5 本章小结3 0 第4 章最佳乘子程序介绍3l 4 1 输入数据文件3l 4 1 1 原始数据的准备工作一3 1 4 1 2 原始数据文件说明3 1 4 1 3 潮流原始数据文件的具体填写格式说明一3 2 4 1 4 运行本程序一3 3 山东大学硕士学位论文 4 1 5 程序输出说明3 4 4 2 程序介绍3 4 4 2 1 程序特点一3 4 4 2 2 程序模块介绍一3 6 第5 章算例及结果分析3 9 5 1 三相不平衡a 相收敛精度比较4 l 5 2 不平衡b 相以及平衡a 、b 、c 三相收敛精度结果比较一4 3 5 3 不平衡b 相以及平衡a 、b 、c 三相网损及迭代次数结果比较4 4 5 4 调整变压器位置计算结果分析：4 6 第6 章结论与展望5 l 6 1 结论5 l 6 2 本论文的不足与发展方向5 l 附录5 2 参考文献6 8 致谢7 0 i 2 1 2p o l a rf o r mo f n o d ep o w e re q u a t i o n 5 2 1 3r e c t a n g u l a rf o r mo f n o d ep o w e r e q u a t i o n 5 2 2n e w t o n l a p h s o nm e t h o d 6 2 2 1t h es u m m a r yo f n e w t o n l a p h s o nm e t h o d ，7 2 2 2p o l a rf o r mo f n e w t o n - l a p h s o nm e t h o d 9 2 3p qd e c o m p o s i t i o nm e t h o d 11 ：! 4o p t i m u ml a g r a n g i a nm e t h o d ，15 2 5c h a p t e rs u m m a r y 1 9 c h a p t e r3d i s t r i b u t i o nn e t w o r k 21 3 10 4 k vd i s t r i b u t i o nn e t w o r kf e a t u r e s 2 1 3 23 2n o d e sd i s t r i b u t i o nn e t w o r ki n s t a n c ea n a l y s i s 2 1 3 2 13 2n o d e sd i s t r i b u t i o nn e t w o r ki n t r o d u c t i o n 2 1 3 2 2t h e o r e t i c a ln e t w o r kl o s sc a l c u l a t i o n 一2 3 3 3s q u a r er o o tc u r r e n tm e t h o dt os o l v et h en e t w o r kl o s s 2 5 3 4s i n g l e p h a s ef l o wt h e o r yn e t w o r kl o s sc a l c u l a t i o n 2 7 3 5c h a p t e rs u m m a r y 3 0 c h a p t e r 4o p t i m u ml a g r a n g i a np r o g r a mi n t r o d u c t i o n 31 4 1i n p u td a t af i l e 31 4 ，1 1r a wd a t a p r e p a r a t i o n 31 4 1 2r a wd a t af i l ee x p l a n a t i o n 31 4 1 3r a wd a t af i l ew r i t t e nf o r m a te x p l a n a t i o n 3 2 山东大学硕士学位论文 4 1 4r u no ft h ep r o g r a m 3 3 4 1 5o u t p u td a t ae x p l a n a t i o n 3 4 4 2p r o g r a mi n t r o d u c t i o n - 3 4 4 2 1p r o g r a mf e a t u r e 3 4 4 2 2p r o g r a mm o d u l ei n t r o d u c t i o n 3 6 c h a p t e r5i n s t a n c ea n do u t c o m ea n a l y s i s 3 9 5 1c o n v e r g e n c ep r e c i s i o nc o m p a r a t i o no fu n b a l a n c e dap h a s e 4 1 5 2c o n v e r g e n c ep r e c i s i o nc o m p a r a t i o no fu n b a l a n c e dp h a s eb a n db a l a n c e dp h a s eab c 4 3 5 3l o s sa n di t e r a t i o n sc o m p a r a t i o no fu n b a l a n c ebp h a s ea n db a l a n c ea b c p h a s e 4 4 5 4a d j u s tt r a n s f o r m e rp o s i t i o nc a l c u l a t e dr e s u l t sa n a y s i s 4 6 c h a p t e r6c o n c l u s i o n sa n dp r o s p e c t s 5 1 6 1c o n c l u s i o n s 5 1 6 2f l a wa n dd e v e l o p m e n t 5 1 a p p e n d i x 5 2 r e f e r e n c e s 6 8 a c k n o w l e d g e m e n t 7 0 山东人学硕l j 学位论丈 摘要 2 0 世纪9 0 年代中后期，随着计算机相关技术的迅猛的发展，计算机的 都比以前有了质的飞跃。计算机技术在生活中越来越体现着不可或缺的作用。现代电网 也不例外，一样需要计算机应用系统技术。自中国改革丌放以来，随着我踊的电网振兴 计划，本世纪我国的配电网管理系统( d m s ) 已达到了国际先进水平。 本文所介绍的潮流算法以f o r t r a n 语言进行编程，山于p q 分解法计算速度快，收敛 性差，牛顿拉大逊发计算速度慢，收敛性好的特点，因此，把两种方法相结合，取两 种方法的优点，这样就能在计算速度快的的提下又保持了较好的收敛性。结合p q 分解 法和牛顿法，提高了潮流收敛的稳定性。并针对电力网络的特点提出了一种有效的方法 拉格朗同乘子，通过研究拉格朗n 乘子的特点，结合电力系统支路参数特性，潮流 计算的收敛性更好。 配电网潮流算法是配电网综合自动化高级应用软件的基础，潮流算法的性能倍受人 们的关注。配电网的网络结构与高压输电网相比有着明显的差异，导致许多应用于高压 输电网潮流程序，在配电网中收敛凼难；三相负荷不对称问题也比较严重；本文针对配 电网具体情况和潮流计算收敛困难的特点，改进了潮流算法，使配网潮流计算达到比较 理想的结果。基于这样的理论数学模型，编写最优乘子潮流程序。 本论文分别采用3 2 节点例题作为算例，对加入拉格朗日乘子的潮流算法优越性进行 验证。通过它可以了解更清晰的掌握潮流算法，并对潮流有更深刻的理解并体现本潮流 算法的优势，减少了潮流迭代次数，提高了收敛精度，使潮流算法得到了充分的改进。 通过潮流计算前后的收敛情况，本论文的潮流算法达到了预期的效果，具有较好的使用 价值。 关键词：p - q 分解法；牛顿一拉夫逊法；拉格朗日乘子；配网潮流 山东人学硕一 ：学位论文 山东人学硕i ：学位论义 a b s t r a c t i nt h el a t e2 0 t hc e n t u r y , 19 9 0 s ，w i t ht h er a p i dd e v e l o p m e n to fc o m p u t e r - r e l a t e d t e c h n o l o g y t h ec o m p u t e rh a r d w a r ea n ds o f t w a r e l e v e lt h a np r e v i o u s q u a l i t a t i v el e a p c o m p u t e rt e c h n o l o g yi n c r e a s i n g l yr e f l e c t e di nt h el i f eo fa ni n d i s p e n s a b l er o l e t h es a m et o m o d e mg r i d ，t h ec o m p u t e ra p p l i c a t i o n st e c h n o l o g yi sa l s oi m p o t a n t s i n c ec h i n a sr e f o r m a n do p e n i n gu p ，c h i n aw a n tt or e v i v ed i s t r i b u t i o nn e t w o r k ，t h a ti st om a k et h i sc e n t u r y , c h i n a sd i s t r i b u t i o nm a n a g e m e n ts y s t e m ( d m s ) a c h i e v et h ei n t e m a t i o n a la d v a n c e dl e v e l p o w e rf l o wa l g o r i t h mi n t r u d u c e di nt h i sa r t i c l ei sp r o g r a m m e di nf o r t r a nl a n g u a g e ，d u e t ot h ec a l c u l a t i o ns p e e do fp - qd e c o m p o s i t i o nm e t h o di sf a s t ，b u tt h ec o n v e r g e n c ei sp o o r , w h i l en e w t o n r a p h s o ni ss l o wa n dc o n v e r g e n c ei s g o o d ，t h e r e f o r e ，w ek e e pt h ef a s t c a l c u l a t i o ns p e e da n dt h eg o o dc o n v e r g e n c e t h ec o m b i n a t i o no fp qd e c o m p o s i t i o nm e t h o d a n dn e w t o n sm e t h o di m p r o v et h es t a b i l i t yo ft h ec o n v e r g e n c eo ft h eo p t i m i z a t i o np r o c e s s a n d b yt h ec h a r a c t e r i s t i c sf o re l e c t r i c i t yg r i dw ep r o p o s e da ne f f e c t i v em e t h o d - l a g r a n g e m u l t i p l i e r s ，b ys t u d y i n gt h ec h a r a c t e r i s t i c so fl a g r a n g em u l t i p l i e r s ，i tm a k et h ec o n v e r g e n c e o fo p t i m i z a t i o nb e t t e rb yc o m b i n i n gt h ec h a r a c t e r i s t i co ft h ep a r a m e t e r t h e nw ep r o g r a m b a s e do nt h i sm a t h e m a t i c a lm o d e l t h ef l o wa l g o r i t h mo fd i s t r i b u t i o nn e t w o r ki st h eb a s eo fd i s t r i b u t i o nn e t w o r ks y n t h e s i s a u t o m a t i ca d v a n c e da p p l i c a t i o ns o f t w a r e ，t h ep e r f o r m a n c eo ft h ea l g o r i t h ma r er e c e i v e dm u c h c o n s i d e r a b l ea t t e n t i o n b e c a u s eo ft h e r ei st o om u c hd i f f e r e n ti nd i s t i l b u t i o nn e t w o r ka n d t r a n s m i s s i o nn e t w o r k ，i tm a k et h ea l g o r i t h md i f f i c u l tt oa s t r i n g ei nd i s t r i b u t i o nn e t w o r k ，a n d t h et h r e ew i r el o a do f c o n v e r g e n c ep r o b l e mm o r es e r i o u s t h ep a p e rp r e s e n ta no p t i m a lf l o w a l g o r i t h mt os o l v et h ep r o b l e mt h a tt h ea s t r i n g e n c yi sb a d ，a n dt h eo p t i m a lf l o wa l g o r i t h ml e a d t oi d e a lr e s u l t ， ，n l i st h e s i su s e si e e e 6n o d e s ，3 2n o d e sa se x a m p l e so ft h es u p e r i o r i t yo f p o w e rf l o w a l g o r i t h mv a l i d a t i o n i tc a nb eu n d e r s t a n d e dm o r ec l e a r l yt h r o u g ht h eg r a s po fp o w e rf l o w a l g o r i t h m ，a n do p t i m i z a t i o no fad e e p e ru n d e r s t a n d i n go ft r e n d sa n db e t t e rr e f l e c tt h e a d v a n t a g eo fo p t i m a lp o w e rf l o wa l g o r i t h m ，r e d u c i n gt h ec u r r e n tn u m b e ro fi t e r a t i o n s ，s ot h a t t h et i d ew a sf u l l yo p t i m i z e da l g o r i t h m b yo p t i m i z i n gt h ep o w e rf l o wb e f o r ea n da f t e rt h e c o n v e r g e n tc o n d i t i o n ，t h ep a p e rf l o wa l g o r i t h mt oa c h i e v et h ed e s i r e dr e s u l t s ，w i t hb e t t e r i i i l b 东人学硕l ：学位论文 i v m e t h o d ；n e w t o n - r a p h s o n ；l a g r a n g em u l t i p l i e r s ；d i s t r i b u t i o n 山东大学硕 ：学位论文 第1 章绪论 该题f j 是智能电网关键技术研究框架中，配电自动化与配网 美、r 本、韩幽、新加坡等一些工业发达国家里，配网自动化系统受到了广泛的重视， 已经形成了集变电所自动化、馈线分段开关测控、电容器组调节控制、用户负荷控制和 远方抄表等系统于一体的配电网管理系统( d m s ) 。国外配电网规划一定程度上实现了计 算机辅助决策，一些计算机辅助决策系统也基本达到了实用化要求。这些计算机辅助决 策支持系统i l 丁以进行潮流汁算、方案比选以及路径选择等，可以为电网规划决定提供必 要的数据支持。 0 4 k v 配电网络潮流计算的主要用途足，有功的理论网损计算。该系统的电压等级 最低，电流最大，有功网损很大，只用电能表统计，有较大的误差，需要用理论网损进 行核对。 配电系统潮流算法是配电网络分析的基础，其绝大部分的功能都需要调用潮流分析 模块。由于配电网的圃有特点，配电系统潮流的算法研究从十多年前就已成为热点问题。 虽然介绍配电系统潮流算法的文献很多，但大致可分为2 大类：节点法和支路法。节点 法是以节点的电流或功率注入和节点电压作为系统的状态变量，列出系统的状态方程并 求解。此类方法包括网络化简法n 引、隐式z b u s 高斯法1 、牛顿类方法，如传统牛顿法n 引、 传统快速解耦法n 射、改进牛顿法n 4 3 1 和改进快速解耦法d 研等。支路法以配电网的支路流 电流或功率流作为状态量列出系统的状态方程并求解。此类方法包括前推、回推类方法 d 町、回路阻抗法n 7 1 等。其中，文 1 6 提出的面向支路的前推、回推法由于充分利用了配 电网结构特点，编程简单、没有大矩阵计算、计算速度快而被广泛应用。该方法的最大 缺点是处理环网能力弱，对于具有大量回路的网络计算容易发散。 本论文研究了电力系统最优乘子潮流算法，在算法上结合电力系统的p q 解耦特性， 采用先p q 分解法迭代计算然后再用牛顿一拉夫逊法迭代计算来算潮流，改善了算法的收 敛稳定性。p q 分解法提高了计算速度，缩短了每次迭代时间。牛顿一拉夫逊法求解的是 非线性方程，因此使用拉格朗日最优乘子可以解决在有些情况下遇到的不收敛的问题， 从而增强了程序的收敛性能。 p q 分解法。该方法结合电力系统的实际情况，对牛顿一拉夫逊算法进行合理化简， 把有功和无功功率分别进行迭代，简化迭代过程，使雅可比矩阵常系数化该方法具有所 需内存少，计算速度快的特点，但是收敛性较差。牛顿一拉夫逊算法，该方法具有较好 的收敛性，计算速度较慢，迭代次数比p q 分解法少。 2 山东人学硕r j ：学位论文 第2 章潮流算法理论 2 1 潮流分析基本原理 电力系统的潮流足用来计算电力系统稳态运行状况的。电力系统潮流计算是根据给 定的系统运行条件求得表征电力系统运行状态的状态变量。这些给定的条件包括电力网 络的结线、参数、节点类型以及其他参数。 目前广泛应用的潮流计算方法都是基于节点电压法的。应用节点电压法时，以节点 导纳矩阵 y 作为电力网络的数学模型。通常节点导纳矩阵是以三相电路中性点( 地) 作为参考点的。根据节点给定源与负载条件的不同，可以将系统节点分为以下几类： ( 1 ) p q 节点 这类节点注入的有功功率p i 和无功功率q i 均给定，但该节点的复数电压( 电压幅 值v i 和相角值0i ) 需经潮流计算才能确定。系统中的发电机、负荷节点均属这类节点， 他们的注入功率( 有功、无功) 在计算过程都是固定不便的。 ( 2 ) p v 节点 这类节点的节点注入有功功率电压幅值v i 与p i 均给定，该节点的无功功率q i 是 按照满足节点电压幅值的要求进行调整的。其值需要经过潮流计算来确定。同样节点电 压的相角0i 也需经潮流计算才能确定。系统中有一定无功储备的电源节点和有可调无 功功率补偿装置的负荷节点可作为这类节点。 ( 3 ) v 0 节点( 平衡节点) 该节点的复数电压( 电压幅值v i 和相角值0i ) 均给定，但注入的有功功率p i 和 无功功率q i 需经潮流计算才能确定。系统里面只有一个平衡节点。 电力系统中电源总出力应随时等于系统负荷与网络损耗的总和。作潮流计算之前， 系统的发供电平衡不一定合理，网络的损耗也是未知的，因此不能将电力系统所有电源 ， 出力事先确定。为达到功率平衡的目的，应有一个电源节点的出力是不确定的，其值是 在潮流计算之后，由系统中功率平衡条件确定，这就是平衡节点。潮流计算还需电压基 准点( 全网电压相角的参考点) ，平衡节点就是基准点，电压v i 选定为接近1 o 的数值、 0i 选定为0 度。平衡节点是根据功率平衡条件要求设立的，也是由计算要求而设立的。 因而可根据有利于计算的原则选择平衡节点。 电网的实际情况，p q 节点是大量的，p v 节点是少量的，平衡结点是唯一的。由于 山东人学顾l ：学位论文 节点给定条件是功率而不是电流，即电源负载的注入功率为已知组成方程是非线性的， 因此电力系统潮流计算的网络方程不是简单的节点电压方程，而是非线性的节点功率方 程。 2 1 1 潮流的基本解法一节点电压方程过渡到节点功率方程 电路的基本解法有节点电压法和回路电流法，现将这两种方法比较： 两种方法都是由基尔霍夫定律推导出来的。前者的电源为电流源，后者的电源为电 压源。潮流计算与节点电压法的电路计算不同之处是：电路计算是已知全部电流源的电 流，还有伞部支路阻抗，再求解各节点电压与支路电流，它的解是由节点电压方程一次 求解得到的。而潮流计算要的是支路功率而不是电流，这就是根本的差异。 节点电压法潮流计算，已知的是发电机、负荷的注入功率。其电压( 幅值、相角) 未知，注入电流( 电流源) j g ：里云鱼l 也是近似的，设初值为d ：1 0 p 皿。通过迭 u ； 代求解，全部节点电压d 逐次迭代，使其接近真值，即为收敛的结果。 设系统的节点导纳矩阵y 已知，则系统的节点电压方程为： y o ：j( 2 1 ) 其中，j 为节点的注入电流( 电流源) ，0 为节点的电压 而潮流计算是已知发电机和负荷的功率，求解各节点电压和支路电流。从电流到功 率又引入一个电压关系的一次方，节点电压方程变为节点功率方程： 沂d ：o f( 22 2 - 2 )u 】，u =() 发电机或负荷节点的注入功率与节点电压、注入电流的关系为： s = i r ( 2 3 ) 将式( 2 1 ) 代入式( 2 2 ) ( 2 3 ) 得到消去节点注入电流丘的节点功率平衡方程为： s = 毋+ j f g = 玩= 晓磊玩( 2 - 4 ) 矗j 式( 2 3 ) ( 2 - 4 ) 中的节点电压向量可以表示成电压向量的极坐标形式d = u e j o ，也 可以表示成电压向量的直角坐标形式l j r = e + j f 。与此相应的，节点功率方程也有两种 上述形式。 4 山东人学硕i j 学位论文 方程左边是一个任一个节点所连接的支路功率总和，右边为对应节电注入功率( 发 电为正、负荷为负) 总和。方程右边电压与共轭电流相乘变成了注入功率，而方程左边 的共轭导纳矩阵矿两边，有两个电压d 、d ，分别与之序乘、右乘，而使方程变成了非 线性方程。它变就不能像由1 了点电压方程求电压那样，由一次求解得到。而是用非线 性( 二次) 方程的近似解法计算，使方程求解变得困难。 2 1 2 节点功率方程的极坐标形式 将节点电压表示成极坐标形式 o t = u l e j 9 ( 2 5 ) 式巾的u 和秒，分别为节点电压幅值和相角值。若导纳矩阵中的元素表岙为： y 4 = g + j b ， 则式( 2 - 4 ) 可以写成 p l + j q ? = u i e 水1 一j b ，、u j j = u ，u j ( 嘭- j s 盯) p ，旧一o = u ，u ( g 口一码) ( c o s 巴+ j s i n o u ) 式中岛= 包一g ，( 其中：，= j 、2 ， ) 。 将上式的实部和虚部分别展开，得： = u f u j ( g 扩c o s o u + b ys i n o u ) f q = u f q ( g ，s i n o u - b 扩c o s 岛) j e i 这就是n 个节点的电力系统的极坐标形式的节点功率方程。 2 1 3 节点功率方程的直角坐标形式 若将节点电压表示成直角坐标形式： u i = g f + j f , 与式( 2 。5 ) 比较，则 ( 2 6 ) ( 2 7 ) ( 2 8 ) ( 2 9 ) 山东人学硕1 ：学位论文 e i = u ，c o s t ) , 1 t = u t s i n 9 t ( 2 1 0 ) 以电压的直角形式取代电压的极坐标形式，同一卜推导可以得到按实部和虚部分别展 丌的功率方程 令 p l = e | z ( g u e j b u j ) + j te ( g l j + b ，e j 、 ( 2 1 1 ) q = ，( g , j e ，一色) 一e ，( g , j 。乃+ 色e j ) j e ij f q = ( g 。p 厂色厂) ， 参= ( g 。乃+ b , j e j ) j e i ( 2 1 2 ) q 与包实际上是管点，注入电流t = 墨云鱼的实部和虚部，因而可得到节点功率的直角 坐标形式的另一种表示式： p = e i a i - i - b i q i = 五a s e i b i ( 2 1 3 ) 其中：i = l 、2 ，1 1 无论直角坐标形式还是极坐标形式的节点功率方程都是未知节点电压向量的非线 性方程组。使用牛顿法求解时，可将这两种形式方程写成功率不平衡的形式，其中凡和 以为节点f 给定的注入有功和无功功率。 只= p ，( g ，e j - b u 乃) 一，( g ，乃+ 易巳) ，e ，e ， ( 2 1 4 ) 既= ，( 嘭p ，一岛f j ) + e ，( q 乃+ 岛e j ) je j 自 2 2 牛顿一拉夫逊法潮流计算 在工程计算中，用牛顿_ 拉夫逊法解非线性方程是非常有效的，因此它被广泛的应 用于电力系统潮流计算中。在此基础之上又有了p - q 分解法，该方法结合电力系统的实 际情况对牛顿一拉夫逊法进行合理的简化，将有功功率和无功功率分开进行迭代、使雅 可比矩阵( j a c o b i a n ) 矩阵的元素变成常数与电压的幅值和相角无关。 传统潮流计算方法主要分为牛顿一拉夫逊法和p - q 分解法两种方法，下面简要介绍 6 山东人学硕 ：学位论文 这两种潮流计算方法。 2 2 1 牛顿一拉夫逊法简介 现将牛顿一拉夫逊法( 以下简称牛顿法) 介绍如下。 设白变量为x 的非线性方程式 厂(j)=0(2-1 5 ) 若其近似解为x ( m 而近似解与真解x 的差为血，且有 x = z ( 们一a x ( 2 1 6 ) 其中缸近似解x ( o 的修正量。 将式( 2 - 9 ) ( 2 1 6 ) 按泰勒级数展开，为： m ) - 厂o ) ) - 厂( 一恤+ 竿( 硝删- i ”九一) ) 警一。 ( 2 1 7 ) 式中f ( x 。) 、f ”( x ) 、厂”( x 。) 分别为函数厂( x ) 在x ( 处的一阶导数、二 阶导数和n 阶导数。 若近似解x ( 。与真值相差不大，即a x 很小，式( 2 1 7 ) 中包含( 血) 2 及更高阶 的乘方可以忽略，从而可将式( 2 1 7 ) 简化为 厂( x ) = 厂( x ) - f ( x ) a x = 0 ( 2 1 8 ) 可以看出，式( 2 1 8 ) 是对于修正量缸的线性方程，习惯上称为修正方程式，因 而它很容易求得修正量缸。由于式( 2 1 8 ) 是式( 2 1 7 ) 的近似式，因而解得的只是 缸的近似解缸0 、，并不是真正的修正量缸，将它代入式( 2 1 6 ) 求得的x 并不是 式( 2 1 5 ) 的真解，仍然只是式( 2 1 5 ) 的近似解。设其为x ( 1 即 j c 1 ) = x ( 们一缸( o )( 2 1 9 ) 自然，x ( 1 ) 比x ( o 更趋近于真解。若以x ( 1 作为近似解，同样可得 f ( x 1 ) 一f ( 一) 血1 ) = 0 x ( 2 ) = x ( n a x ( 1 ) ( 2 2 0 ) 7 山东人学硕l ：学位论文 显然，x 2 是更趋近于真解的近似解。如此反复进行，形成非线性方程式逐次线性化 的迭代求解过程。对第( 七+ 1 ) 次迭代，式( 2 2 0 ) 的通式为 或写成 f ( x ) 一f ( x ) 血= 0 x ( k - t - i ) ：x ( 一缸 ) ( 2 2 1 ) f ( x ) = ( 工) a x x 【+ 1 ) = x ( 一x l ) 当k = 0 、1 、2 、k 时，构成了牛顿法的迭代方程式。 当i 厂( x 1 ) l q ，因而町将式( 2 3 9 ) 式中的q 略去，变 为 h”=ujbn(2-40) l 。i = u b 。 这样经过简化后，h 与l 矩阵都变成有相同的元素表达式的对称矩阵。它可进一 步化简为： u l 且l u lu i 。e 2 u 2u i 局3 以 岛i uc ，2 岛2 u 2 口2 3 u ， u 3 岛l ( ，iu 3 岛2 以u 易3 u 3 一 u 1 且 色。 b 1 b 1 2 岛： 岛2 ( 2 - 4 1 ) 将它代入式( 2 3 6 ) 中并按矩阵运算规则将两个电压对角阵分别合并到功率不平衡 向量和修正向量中，可得 皱u 。 心i l u i 心、| u n 一1 阶矩阵方程 u 1 q 0 2 u 3 a 0 3 ( 2 4 2 ) 一 郧励励 1 4 原则上也可以按 的实部和虚部组成的 这里就不作介绍。 图2 37 卜顿一拉火逊法与p - q 分解法的收敛特性 由图2 3 可见，p q 分解法的收敛特性接近直线，而牛顿一拉夫逊法的收敛速度虽 然一开始较慢，但是到后来则要比它快得多。虽然，如前所述，由于p q 分解法每次迭 代所耗费的时间比牛顿一拉夫逊法少得多，p q 分解法的计算速度，总的说来，仍较牛 顿一拉夫逊法高。为此工程上常用的潮流算法是第一、二步采用p q 分解法，到后来转 为牛顿一拉夫逊法。 2 4 最优乘子法 本章前几节所叙述的一些潮流问题解法，如：牛顿法，非线性快速潮流计算法等， 能解决电力系统正常条件( w e l l c o n d i t i o n ) 下的潮流计算问题。对于病态条件 ( i 1 1 c o n d i t i o n ) 即包括重负荷、梳子状的放射形或有相接近的多根运行条件的系统，用 上述诸方法计算，其结果多是发散或振荡，这时无法断定指定的运行条件是无解还是有 解而不收剑。 ， 把潮流问题作为非线性规划问题来处理，即使某一目标函数极小化来决定解的方向 和大小，按照这样的数学模型进行计算绝不会发散：给定条件有解时，目标函数会达到 零；给定条件无解时，目标函数会平稳地下降到某一非零值。但传统的非线性规划方法 由于存储量大，计算时间长而难以实用化。根据非线性规划的原理。提出了决不会发散 的新的潮流计算法( 我们称之为最优乘子法) 。对于用前述方法计算不收剑的问题，用 该方法可以求出其解或断定问题无解。 1 5 山东人学硕 ：学位论文 下面叙述最优乘子法的导出过程： ( 1 ) 潮流问题的非线性规划算法 记表示为变量二次式的潮流方程式为： y s l = y i l 、x 、 根据最小二乘法公式构造一目标函数如下： ，：昙自妇一肌( 驯： g - j = l ( 2 4 5 ) ( 2 - 4 6 ) 凶此将潮流l 、u j 题化为无约束的非线性规划j 、u j 题。由于【坛一( x ) l z 0 ，因此当 f d 时，弘，嘶仞一0 ，故满足潮流问题的方程式。 设第t 次迭代的目标函数为： m = 虿1 一喜眠州钟) ) 】2 ( 2 - 4 7 ) 则非线性规划的计算步骤如下： 第一步，确定某一计算值x ，) ( x o 给定) 。 第二步，按照目标函数下降的方向求修j f 向量5 x o 。 第三步，在a x ( 方向上寻找目标函数最小的标量乘- t ：u ( ，并乘以修正向量x m 。 第四步，计算新值x ( ，+ 1 ) ：x ( ，+ ( r 似( r ) 第五步，若收敛结束计算，否则t = t + l 返回第一步。 在第三步中，标量乘子。的计算尽管已有不少研究，但对于潮流计算，在该新方 法提出之前，一直没有很好的方法。我们称标量乘子的最优值t 为最优乘子，该新方 法给出了求最优乘子的简单有效的方法。 ( 2 ) 最优乘子的导出 上一节中，叙述了潮流问题完整的台劳展开式为： t = 】，( x e ) + j a x + 】，( x ) 假设用某种算法，求出了对变量x 的修正向量麟，则代入上式，并将右边各 1 6 山东大学硕，j j 学位论义 项移到左边： k y ( x 7 ) 一j a x 一y ( a x ) = 0 ( 2 叫4 8 ) 式中向黾a x 的大小变化，可以通过乘以标量来实现，即k t 。a x ( ，则式( 2 4 8 ) 变为： r y ( x ) 一d , u a x 一y ( u a x 7 ) = 0 ( 2 - 4 9 ) 由于为标量，因此上式第三项的u 7 可以提到j 阵前面。同时根据式( 2 4 7 ) 上 式第四