（物理电子学专业论文）长电缆传输研究.pdf

致谢 致谢 本论文的全部工作是在导师王砚方教授悉心指导下完成的。王老师渊博的学识、严谨 的治学态度、对新知识孜孜不倦的追求精神和忘我的工作热情对我影响很大，将使我终生 受益。在我进快电子实验室的五年中，王老师对我的学习、工作、生活等各方面都给予了 真诚的关怀和帮助。在此，向王老师表示衷心的感谢! 感谢那些在快电子实验室一起工作学习并给予我启发和帮助的老师和同学。我加入快 电子学实验室的第一个项目是与武杰博士、乔崇博士、张俊杰博士、唐世悦博士、张万生 博士等合作完成的北桥芯片项目。感谢李玉生博士对论文提出了重要的参考意见，感谢曹 平博士提供了重要的参考数据和方案，感谢在最后一年中一起在实验室学习生活的刘尉悦 博士、王兵博士、郁专硕士、谢明璞硕士等。快电子实验室的程伊敏女士和刘素琴女士也 为本论文的完成提供了诸多重要的帮助。 特别感谢我的女友朱丽学为我的博士期间学习和本论文的顺利完成所做的最大的无私 奉献，并帮助完成了论文的部分校对工作。 我还要感谢我父母多年来对我的关怀和鼓励，没有他们的含辛茹苦，就不会有我的今 天。 摘要 摘要 本文受到国家自然科学基金项目“数字传输信道物理模型的研究”的资助( 编号： 1 0 5 0 5 0 2 0 ) 。 随着国民经济的发展，石油作为战略资源越来越重要。在石油开采过程中，需要通过 各种测井仪器采集井下的各种指标和参数，并经过测井电缆传输到地面的分析控制单元， 从而根据不同的情况采取不同的处理措施，对井下仪器进行控制。常用的电缆的长度一般 4 0 0 0 , - 7 0 0 0 m ，信号衰减很大，传输速度提高很困难。目前井下仪器的发展很迅速，使电 缆传输的速度成为效率提高的瓶颈，因此如何高速可靠的通过长电缆传输数据是一件十分 有意义的课题。 本文将通过仿真的方法建立长电缆传输模型，和实际的测量数据对比以验证模型的正 确性和有效性，进而通过模型去仿真现有的长电缆传输方案，寻找提高传输性能的方法， 为进一步实现我们自己的长电缆传输系统提供参考数据和验证模型。 论文第一章对国内外现有的长电缆传输系统做了简要的介绍。 论文第二章介绍了有限元法( f e m ) 和通过f e m 求解电缆电阻、电感、电容、电导 分布参数的过程。首先通过电磁场的理论对各种参数随频率、介质、距离等变化做了简要 解释，随后仿真了在长电缆传输的工作频带内，各种参数随频率变化的规律。同时考虑到 实际的电缆传输环境中温度场的不均匀性，分析了温度对各种参数的影响。 第三章着重介绍了多导体传输线理论和时域有限差分法( f d t d ) ，利用第二章求得的 分布参数建立了多导体传输线仿真模型，并通过f d t d 进行仿真。特别分析了电缆铠装作 为非理想参考地对传输性能的影响，最后分析了参数随频率变化时，f d t d 的近似处理方 法。 第四章仿真了七芯铠装电缆在各种工作模式下的传输性能，对比了各种模式的优缺点， 进一步给出提高传输速率的多模式复用方法。最后，具体仿真了实际工作中温度对传输| 生 能的影响。 第五章在前面仿真模型的基础上具体仿真了两种国外现有系统实现远距离传输的方 案：通过曼彻斯特编码和a m i 编码的基带传输方法和q a m 调制传输的方法。仿真的同时 给出了提高数据传输率的方法，为进一步设计传输系统提供了参考数据。 第六章介绍了模拟电缆仿真器和基于f f t 和i f f t 的硬件电缆仿真器，提出了通过 f p g a 实现f d t d 的设计方法，进而实现了一种参数可以调整，适合于多导体仿真的电缆 仿真器。同时着重介绍了一种可以满足任意分布输出的噪声源，用于电缆仿真器中噪声的 仿真。 第七章对前面的工作做了一下总结，简要介绍了下一步完成可以实际应用的长电缆传 输系统的工作计划。 2 a b s t r a c t a b s t r a c t w i t ht h ed e v e l o p m e n to fn a t i o n a le c o n o m y , p e t r o l e u mp l a y sam o r ea n dm o r ei m p o r t a n t r o l ea sas t r a t e g yr e s o u r c e d u r i n gt h ee x p l o i t a t i o no fp e t r o l e u m ，v a r i o u sd a t as h o u l db eg a t h e r e d u s i n gm a n ym e t r i c a li n s t r u m e n t s ，a n dd a t as h o u l db et r a n s f e r r e db yt h ec a b l et ot h eg r o u n d i n t h i sc o n d i t i o n ，d i f f e r e n tm e t h o d sw i l lb et a k e na c c o r d i n gt od i f f e r e n ts i t u a t i o n si no r d e rt oc o n t r o l t h eu n d e r - w e l li n s t r u m e n t s t h el e n g t ho fc o m m o nc a b l ei s4 0 0 0 6 - - 7 0 0 0 m ，s ot h ea t t e n u a t i o no f t h es i g n a li sv e r yl a r g e ，a n dt h e e l e v a t i o no ft r a n s f e rs p e e di sv e r yd i f f i c u l t a tp r e s e n t ，t h e d e v e l o p m e n to fu n d e r - w e l li n s t r u m e n t si sv e r yf a s t ，b u tt h es p e e do fc a b l et r a n s m i s s i o nb e c o m e s t h eb l o c ko fs p e e de l e v a t i o n ，s oh o wt ot r a n s f e rd a t aw i t hh i g hs p e e dt h r o u g hl o n g - c a b l ei sv e r y s i g n i f i c a n t i nt h i st h e s i s ，t h ea u t h o re s t a b l i s h e sal o n g c a b l et r a n s m i s s i o nm o d e lt h r o u g ht h es i m u l a t i o n m e t h o d s ，a n dc o m p a r e st h ed a t aw i t ht h em e a s u r e dd a t at ov a l i d a t et h ec o r r e c t n e s sa n de f f i c i e n c y o ft h em o d e l t h e nt h ea u t h o rs i m u l a t e st h el o n g c a b l et r a n s m i s s i o ns y s t e me x i s t e d a n di o o k s f o rt h em e t h o d so fi m p r o v i n gt h et r a n s m i s s i o nc a p a b i l i t y , i nt h i sw a y , t h ea u t h o rp r o v i d e s c h e c k i n gd a t aa n dv a l i d a t i n gm o d e lf o ro u rl o n g c a b l et r a n s m i s s i o ns y s t e m i nc h a p t e ro n e ，t h ea u t h o rb r i e f l yp r e s e n t st h ed o m e s t i ca n do v e r s e a ss t a t u so fl o n g c a b l e t r a n s m i s s i o ns y s t e m i nc h a p t e rt w o ，f i n i t ee l e m e n tm e t h o d ( f e m ) a n dt h ep r o c e s so fc a l c u l a t i n gt h ed i s t r i b u t i n g p a r a m e t e r so fc a b l er e s i s t a n c e ，i n d u c t a n c e ，c a p a c i t a n c ea n dc o n d u c t a n c eb yf e m a r ep r e s e n t e d f i r s t ，t h ea u t h o re x p l a i n st h ec h a n g eo fp a r a m e t e r sg o i n gw i t hf r e q u e n c y , m e d i u m ，d i s t a n c ee t c v i ae l e c t r o m a g n e t i cf i e l dt h e o r y t h e nt h ea u t h o rs i m u l a t e st h ec h a n g i n gd i s c i p l i n e so fv a r i o u s p a r a m e t e r si nt h ew o r k i n gf r e q u e n c yo fl o n g c a b l et r a n s m i s s i o n a tt h es a m et i m e ，t h ea u t h o r a n a l y z e st h ei m p a c to ft e m p e r a t u r eo nv a r i o u sp a r a m e t e r s ，t a k i n gt h en o n u n i f o r mt e m p e r a t u r e f i e l do ft h er e a ll o n g - c a b l et r a n s m i s s i o ns y s t e mi n t oc o n s i d e r a t i o n i n c h a p t e rt h r e e ，t h e a u t h o ri n t r o d u c e st h et h e o r yo fm u l t i c o n d u c t o rt r a n s m i s s i o n l i n e s ( m t l s ) a n d f i n i t e d i f f e r e n c e t i m e d o m a i n ( f d t d ) m e t h o d ，a n de s t a b l i s h e sm t l s s i m u l a t i n gm o d e lu s i n gt h ed i s t r i b u t i n gp a r a m e t e r s ，w h i c hi ss i m u l a t e db yw a yo ff d t d e s p e c i a l l y , t h ea u t h o ra n a l y z e st h ei m p a c to ft h ec a b l ea r m o ra st h en o n i d e a lr e f e r e n c eg r o u n do n t h et r a n s m i s s i o nc a p a c i t y a tt h ee n do ft h i sc h a p t e r , t h ea u t h o ra n a l y z e st h ea a j u s t e dm e t h o do f f d t d ，w h e np a r a m e t e r sc h a n g ew i t hf r e q u e n c y i nc h a p t e rf o u r , t h ea u t h o rp u t sf o r w a r dm u l t i m o d em e t h o d so fi m p r o v i n gt r a n s m i s s i o n s p e e do nt h eb a s eo fs i m u l a t i n gt h et r a n s m i s s i o nc a p a c i t yo fa r m o r e dc a b l ei nd i f f e r e n tw o r k i n g m o d e s ，a n dc o m p a r i n ga d v a n t a g e sa n dd i s a d v a n t a g e so ft h e s em o d e s a l s o ，t h ea u t h o rs i m u l a t e s t h ei m p a c to ft e m p e r a t u r ei nr e a l i t yo nt h et r a n s m i s s i o nc a p a c i t yc o n c r e t e l yi nt h i sp a r t o nt h eb a s eo ft h ea n a l y s e so fs i m u l a t i n gm o d e sm e n t i o n e da b o v e ，t h ea u t h o rs i m u l a t e st w o o v e r s e a ss y s t e m s ，n a m e l yb a s e - b a n dt r a n s m i s s i o nm e t h o do fm a n c h e s t e rc o d i n ga n da m ic o d i n g a n dm o d u l a t e dt r a n s m i s s i o nm e t h o do fq a m a tt h es a m et i m e ，t h ea u t h o rp r e s e n t st h em e t h o d s o f i m p r o v i n gd a t at r a n s m i s s i o nf r e q u e n c y , a n dp r o v i d e sp a r a m e t e rd a t af o rd e s i g n i n g t r a n s m i s s i o ns y s t e m i nc h a p t e rs i x ，t h ea u t h o ri n t r o d u c e sa n a l o gc a b l es i m u l a t o ra n dh a r d w a r ec a b l es i m u l a t o r w h i c hi sb a s e do nf f ta n di f f t , a n dp u t sf o r w a r dt h em e t h o do f r e a l i z i n gf d t dt h r o u g hf p g a 一3 一 a b s t r a c t m o r e o v e r ，t h ea u t h o rp u t sf o r w a r dac a b l es i m u l a t o r , w h i c hi sf i tf o rm u l t i - c o n d u c t o rs i m u l a t i o n a n dt h ep a r a m e t e r sc a r lb ea d j u s t e d m e a n w h i l e ，t h ea u t h o rp r e s e n t sak i n do fn o i s eg e n e r a t o r w h i c hc a np r o v i d ea r b i t r a r yd i s t r i b u t i o np s e u d o r a n d o mn o i s eo u t p u t ，a n du s e si ta st h en o i s ei n t h ec a b l es i m u l a t o r i nc h a p t e rs e v e n ，t h ea u t h o rs u m m a r i z e st h ew o r ka b o v e ，a n di n t r o d u c e st h ef o l l o w i n gw o r k p l a no fa p p l y i n gl o n gc a b l et r a n s m i s s i o ns y s t e mi n t op r a c t i c e 4 术语表 ( 1 ) 物理量符号和单位 术语表 符号物理量( 单位) 符号物理量( 单位) ? 长度( 米，、m ) ， 时间( 秒，s ) r 电阻( 欧姆，q ) l 电感( 亨利，h ) c 电容( 法拉，f ) g 电导( 西门子，s ) q 电荷( 库仑，c ) p 电荷密度( c m 3 ) 占 介电常数( f m 2 ) s ，相对介电常数 p 磁导率( h m ) p ， 相对磁导率 v 电压( 伏特，v ) i 电流( 安培，a ) 仃 电导率( s m ) w 磁通量( 韦伯，w b ) e 电场强度( v m ) d 电通量密度( c m 2 ) h 磁场强度( a m ) b 磁通量密度( 、b m 2 ) j 电流密度( a m 2 )耽 磁场能量 频率( h z ) 缈 角频率 p 电阻消耗 ( 2 ) 英文缩写 f e m ( f i n i t ee l e m e n tm e t h o d ) ： f d t d ( f i n i t e d i f f e r e n c et i m e d o m a i n ) ： m t l s ( m u l t i c o n d u c t o rt r a n s m i s s i o nl i n e s ) f f t ( f a s tf o u r i e rt r a n s f o r m ) i f f t ( i n v e r s ef a s tf o u r i e rt r a n s f o r m ) l m s ( l e a s t m e a ns q u a r e ) n l m s ( n o r m a l i z e dl e a s t - m e a ns q u a r e s ) r l s ( r e c u r s i v el e a s ts q u a r e s ) a m i ( a l t e m a t i v em a r ki n v e r s i o n ) q a m ( q u a d r a t u r ea m p l i t u d em o d u l a t i o n ) d m t ( d i s c r e t em u l t i - t o n e ) 8 有限元法( 有限元素法) 时域有限差分 多导体传输线 快速傅立叶变换 快速傅立叶反变换 最小均方 归一化的最小均方 递推最d , - 乘 信号交替取反 正交幅度调制 离散多音 第1 章绪论 1 1 课题背景 第1 章绪论 随着国民经济的发展，石油作为战略资源越来越重要。在石油开采过程中，需要通过 各种测井仪器采集井下的各种指标和参数，并经过测井电缆传输到地面的分析控制单元， 从而根据不同的情况采取不同的处理措施，对井下仪器进行控制。常用的电缆的长度一般 4 0 0 0 , 7 0 0 0 m ，信号衰减很大，速度提高很困难。目前井下仪器的发展很迅速，使电缆传 输的速度成为效率提高的瓶颈，因此如何高速可靠的通过长电缆传输数据是一件十分有意 义的课题。 目前远距离传输主要通过光纤通信，但在测井传输系统中要求承受拉力和高温高压的 工作环境，使得光缆在工程设计上难度大，维护成本高，因此电缆的远距离传输不可替代。 1 2 长电缆传输系统的现状与发展 1 2 1w t s 系统1 该系统以曼彻斯特码传输，并采用了3 种电缆传输方式： 方式2 ：下传命令时，速率为2 0 8 3 k b s ，上传数据时，速率为4 1 6 6 k b s ，工作方式为 半双工； 方式5 ：用来上传数据，速率为9 3 7 5 k b s ； 方式7 ：用来上传数据，速率为9 3 7 5 k b s ； 可以看出，方式5 和方式7 的传输速率高，适宜用来传输信息量大的测井数据。方式 2 除向井下传送命令外，也可用来传送数据量不大的测井信息。如果方式2 、5 、7 同时传 输，那么最大的总传输速率可达2 2 9 1 6 k b s 。 该系统目前应用于阿特拉斯公司的e c l i p s 5 7 0 0 测井系统i l 。2 j 。 1 2 2d t d 系统1 下传信息采用b p s k 码，传输速率为7 0 k b s 。上传信息采用q a m 制，传输速率为 4 2 0 k b s 。实际上有2 1 0 、2 8 0 、3 5 0 、4 2 0 、5 6 0 、7 0 0 、8 4 0 k b s 等七档。其中包括电缆复用 时的总传输速率。d t s 由井下传输单元和地面接收模块组成，其传输速率达2 5 m b s 。 下传信息以电缆方式5 进行，上传信息有方式5 和方式7 两种模式。方式5 和方式7 是两个独立的通道。实际工作时，如果有一种方式出了故障，系统能自动转用另一种方式 来传输。 该系统目前应用于斯伦贝谢公司的m a x i s - 5 0 0 成像测井系统。代表了当前的国际先 进水平。 9 第1 章绪论 1 2 3d i t s 系统1 1 - 1 i d i t s 系统是美国哈里伯顿公司开发的全双工电缆传输系统，同样采用曼彻斯特编码， 上传速率达2 1 7 6 k b s 。用于该公司的e x c e l l 一1 0 0 0 及e x c e l l - 2 0 0 0 型测井系统中。 1 2 4国内的发展现状- 目前国内通常使用国外的设备，还没有开发出实际应用的高速长电缆传输系统，因此 独立开发传输系统，掌握核心技术有着重要的意义。上个世纪7 0 年代后期国内研制成相当 于2 0 k b p s 的传输系统，9 0 年研制出1 0 0 k b p s 的传输系统，目前国内已经有3 0 0 k b p s 传输系 统的样机，但还没有实际应用。 1 3 本文的研究方法 本文将电缆作为多导体传输线进行仿真，通过有限元分析方法( f e m ) 精确求解各种 电缆的r ，l ，c ，g 等参数，再通过时域有限差分方法进行电缆仿真。仿真的数据与实际 测量的数据进行对比，一方面保证仿真的正确性，另一方面可以修正仿真结果。 通过仿真不仅可以得到可测量的一些参数，还可以得到不易测量的参数。如互容和互 感两个参数对串扰的研究很重要，但比较难测量。有了充分的电缆参数就可以建立仿真模 型，进而对基带，调制等各种传输方案进行仿真对比，找到可以提高传输数据率的方法。 文章最后介绍了通过硬件( f p g a ) 实现时域有限差分的方法，进而可以实现参数可 调的电缆仿真器，建立更实际的电缆模型。 本章参考文献 【1 - 1 】朱江陈四平电缆遥测技术江汉石油职工大学学报2 0 0 4 1 1 【1 2 】张宸胨光辉刘江龙，张利2 5 7 0 0 测井系统3 5 1 4 x a 遥测仪石油仪器2 0 0 4 0 4 1 0 。 第2 章电缆信道分布参数求解 第2 章电缆信道分布参数求解 电缆信道的仿真关键在于分布参数的正确求解。本章首先介绍了相关的电磁场理论， 随后介绍了有限元法( f e m ：f i n i t ee l e m e n tm e t h o d ) ，并通过有限元法详细分析和求解电 缆的r ，l ，c ，g 等分布参数，为后续的仿真做准备。 2 1 电缆简介 绝缘 一一燮i 麟j 一竺 刍南躐蚕置叠暑昌 图2 - 1 多芯电缆示意图 如图2 一l ，常用电缆一般包括导体、绝缘层、屏蔽层和护套等几部分组成。电缆内部 芯线一般有绞合，如双绞线。 图2 - 2 七芯铠装电缆截面示意图1 2 i i 如图2 2 是本文重点分析的七芯铠装电缆截面示意图，其内部7 根缆芯自身也是7 根 直径0 3 2 m m ( o 0 1 2 6 i n c h ) 的铜线绞合而成，外部是绞合的双层铁质铠装。 为了仿真的简化，在仿真的时候忽略绞线的影响。这样会带来一定的仿真误差。如芯 线绞合造成有效距离比长度略长，因此直流电阻会大一些，同时对分布电感和电容有一定 影响。 第2 章电缆信道分布参数求解 2 2 电磁场理论基础 2 2 1麦克斯韦方程组 用长电缆传送信息，最早的应用是电报。一百多年前铺设的横跨大西洋的海底电缆， 它的中心导体是由七根导线绞成的铜线，直径1 2 2 m m ，外面涂三层胶。在麦克斯韦方程 以前，应用双导体原理，已经初步建立了电报方程。但只有在麦克斯韦方程的基础上，才 建立了传输线的完整理论。 电磁场的能量在导波系统中沿着介质表面进行。一般的系统，由导体和导体间的电介 质( 绝缘体) 组成，导体中的电流引导电磁波的传播。要研究电缆中电磁波的传播，必须 从麦克斯韦方程开始。以下理论部分的叙述主要根据参考文献 2 2 】和【2 3 】。 电动力学中三个基础性的正比关系式为： ( 1 ) 对于各向同性的导体媒质： d = s e 其中西为电感应强度矢量，豆为电场强度矢量，s 为介电常数。 ( 2 ) 对于各向同性的导电媒质： j = 仃e 其中1 7 为传导电流密度矢量，仃为电导率。 ( 3 ) 对于各向同性的非铁磁媒质： b = , u h ( 2 1 ) ( 2 2 ) ( 2 3 ) 其中云为磁感应强度矢量，曰为磁场强度矢量，为磁导率。 以上三个也称为物构方程，参数间的关系为本构关系。 麦克斯韦方程组的具体形式与电磁单位制有关，当采用国际单位制时，方程组的形式 如下： v d = p v b = 0 v 膏：1 7 + 丝 研 v x 丘：一一0 7 a t 1 2 ( 2 4 ) ( 2 5 ) ( 2 6 ) ( 2 7 ) 第2 章电缆信道分布参数求解 其中公式( 2 6 ) 也称为安培全电流定律，公式( 2 7 ) 也称为法拉第定律，而各个物理量单 位如下： e = 电场强度( v m ，伏特米) d =电通量密度( c m 2 ，库仑米2 ) h = 磁场强度( a m ，安培米) b = 磁通量密度( w b m 2 ，韦伯米2 ) j = 电流密度( a m 2 ，安培米2 ) p = 电荷密度( c m 3 ，库仑米3 ) 另一个基本方程是连续性方程，可以写成 v ，：一望 西 它表示电荷守恒。 2 2 2t e m 波 由麦克斯韦方程组可以推演出以下仅含有豆或雷的二阶偏微分方程： v 2 云一掣雾= v ( 加仃鲁 守叠硝p 等叩强- 5 7 t 2 t 。d f 对于不含电荷源、电流源的空间，且盯= 0 时，则： ( 2 8 ) ( 2 9 ) ( 2 1 0 ) ( 2 1 1 ) ( 2 1 2 ) 这称为电磁波的波方程。对于简谐波，即可以用正弦波表示的场量，可以用时间约定 8 埘表示为复数形式，而且可以不必在方程中出现。则电磁波的波方程的时谐形式为齐次 亥姆霍茨( h e l m h o l t z ) 方程： v 2 豆+ 国2 掣豆= 0 v 2 豆+ s t c 0 2 豆= 0 令尼= 国再，则 1 3 ( 2 1 3 ) ( 2 1 4 ) o 一 “ 一 锄一酽 粕矿 砂 掣 一 一 一e 日 阱。 驴。 第2 章电缆信道分布参数求解 ( v 2 + 后2 ) 豆= 0 ( 2 1 5 ) ( v 2 + 忌2 ) 豆= 0 ( 2 1 6 ) 假定导波系统使导引的电磁波按z 轴进行，对简谐波时变场可表示为： 豆( x ，y ，z ，f ) = 豆( ) c ，y ) e 埘叻。 h ( x ，y ，z ，f ) = 厶乙( x ，y ) 口纠一7 弦 ( 2 1 7 ) ( 2 1 8 ) 在公式( 2 1 7 ) 和( 2 1 8 ) 6 7 ，场量( 电场云和磁场厅) 表示为沿z 前进的简谐振荡。将公 式( 2 1 7 ) 矛n ( 2 1 8 ) 中的雷和厅取实部就有c o s ( c o t r z ) 的形式，而常矢量部分既或风只是 x ，y 的函数。这是齐次h e l m h o l t z 方程解的一般形式，7 称为传输常数。 公式( 2 1 5 ) 和( 2 1 6 ) 矢量方程相当于六个标量方程，即对于e ，e ，e ，且，h ，日：各有 一个方程。在解齐次h e l m h o l t z 方程时，可以先解疋，e ，月，月，四个横向分量，再求出纵 向分量e ：，日：。当然也可以先求纵向分量再求横向分量。在选用圆柱坐标时，用后一种方 式比较方便。j ，故可以研究： ( v 2 + k z ) e = 0 ( v 2 + 后2 ) 皿= 0 公式( 2 1 9 ) 和( 2 2 0 ) 按照公式( 2 1 7 ) 和( 2 1 8 ) 展开，即： ( v 2 + k 2 ) t = ( v , 2 + k 2 ) e , + 可0 2 e = ( v ，2 + 尼2 一y 2 ) e a x ，y ) p 脚一7 弦 1 主t ( 2 1 9 ) 式，上式应为零，但e 埘一肛0 ，故有： ( v ，2 + 尼2 - y 2 ) e ( x ，少) = 0 同理有： ( v 。2 + 尼2 - y 2 ) 皿( x ，y ) = 0 上边引入了 v 一导+ y 矿0 2 0 y o 一 一 称为横向拉普拉斯算符，它同一般的拉普拉斯算符的关系是： 1 4 ( 2 1 9 ) f 2 2 0 ) ( 2 2 1 ) ( 2 2 2 ) ( 2 2 3 ) f 2 2 4 ) 第2 章电缆信道分布参数求解 v 2 + 秀 ( 2 2 5 ) 其中曼，夕，三分别为x ，y ，z 坐标轴上的单位矢量。式( 2 2 2 ) * 1 1 ( 2 2 3 ) 是用由横截面( x ，y ) 上确定的纵向分量表示的标量函数。令： 则： h 2 = k 2 7 2 = 缈2 a s 一2 ( v ，2 + 办2 ) e z ( x ，y ) = 0 ( v 。2 + j l z 2 ) 皿( x ，y ) = 0 式中h 是本征值，也叫截止波数，当h = 0 ，即7 2 = 0 9 2 , a c 时，有： v ，2 t ( x ，y ) = 0 v ，2 皿( x ，j ，) = 0 ( 2 2 6 ) f 2 2 7 ) ( 2 2 8 ) ( 2 2 9 ) ( 2 3 0 ) 这是在横截面上算子等于零的l a p l a c e 方程，它与无源时静电场所满足的l a p l a c e 方程 的形式一致，这种情况称为t e m 波模式。因此，对于传输t e m 波的传导系统( 双导体波 系统属此类) ，分析时完全可以采用静态场的数学方法( 如保角变换法等) 来处理问题，而 得到的结果可用于国0 的情况。 当h 0 时，必须有彩 q ，q 称为截止频率，它由h 确定，即： h 织2 产= 0 s p ( 2 3 1 ) 也就是说除了t e m 模式外，要出现更高阶的模式，工作频率必须大于皱。 在我们讨论的频率范围内，工作频率远小于敛( 高阶模式的最低截止频率可证明为千 兆赫以上) ，因此只有t e m 波。所以可以直接用静电场方法求出电缆的参数，称为准静态 方式，下面我们将循着这样的思路去做。 无损耗传输线的电报方程是我们过去已经熟悉的： ( 2 3 2 ) ( 2 3 3 ) 这可由分布参数及基尔霍夫( k i r c h h o f ) 定律得出，就是电路的计算方法，上式中“( z ) 是z 处导体间的电压，f ( z ) 是导体在z 处的电流，厶c 则分别为单位长度传输线的电感和 电容。下面我们直接用麦克斯韦方程计算同轴传输线来验证上面的t e m 波假定。 1 5 反一西 锄一钟 上 c 一 一 = = 抛一瑟 研一如 第2 章电缆信道分布参数求解 横截面t ：， y ：图2 - 3 柱形双导体结构 如图2 3 ，在t e m 波假定下，即e ，日均在横截面t 上，传播方向为三，则公式( 2 6 ) 成为： v 豆= 盯丘+ 占鲁 ( 2 3 4 ) 其中互= e 曼+ b 多，耳= 皿叠+ q 夕，由v ，表示横截面上的算苻，则： 但： v ，豆+ 拿o z ( 三豆) = 盯豆+ s 孚o t v ，z - i , ：三(堡一一ohm)o、x o y 7 只有三分量，而公式( 2 3 5 ) 右边没有三分量，因此必然有： 同理： 1 6 ( 2 3 5 ) ( 2 3 6 ) ( 2 3 7 ) ( 2 3 8 ) f 2 3 9 ) ( 2 4 0 ) 堕钟 s+ f 巨 盯 i | o ) = 一z q ， 则 q a 一瑟 亟钟 一 f 1 0 ) = 一巨 一e 默 e a 瑟 第2 章电缆信道分布参数求解 如图2 - 3 中所设坐标，用三叉乘公式( 2 4 0 ) 中第二式，由于三( 三巨) = 一e ，则： 鲁丘= 昙豆) 将公式( 2 4 1 ) 两边点乘万，再从导体( 1 ) 向导体( 2 ) 积分，即： 鲁童丘万= 昙了c 三豆，万= 一昙童扈c 三万， 公式( 2 4 2 ) 左边的积分即导体间的电压u ，定义单位长线的链磁通为： = f _ f 豆( 三万) 所以： a “ ，a f 一= 一l 一 即公式( 2 3 2 ) 。同样由公式( 2 3 8 ) - - 得： 一鲁c ：i 豆三x 万，= 盯“二s 鲁 即： ： o i t r y “so u 一一= 。“+ l 一 然而l c = , u c ，则： 4 = o - 里= o - e 代入( 2 4 6 ) 得： 垦：一缸一c 丝 在无损耗假定下孝= 0 ，因此公式( 2 4 8 ) 成为： 仂 ，1 咖 一= 一乙一 即公式( 2 3 3 ) 。 上面的分析证明了，在t e m 模式假定下，用麦克斯韦方程对柱形双导体结构传输线 进行分析，其结果同用静电场分布参数和基尔霍夫定律得到的电报方程一致，说明用t e m 模式计算传输线的方法是正确的。 上面的分析中我们认为绝缘介质和导体都是理想的的材料，即绝缘介质电导率为 1 7 d 劲 动 q 协 嗡 忉 呦 柳 钔 饿 4 4 4 一 m m m m 亿 亿 亿 亿 q q q 第2 章电缆信道分布参数求解 仃= 0 ，导体的电导率盯= 0 0 ，在有损耗的介质中，上面的假设不再成立。 传导电流是由云造成的，为和场源分开，我们用以表示传导电流密度，得下式： jc = o e 这样，在简谐场下，公式( 2 6 ) 表示为： v h = j c o d + 以 对于各向同性介质，公式( 2 1 ) 和( 2 5 0 ) 代入上式，则： v f t ：j c o ( 6 一里) 豆 国 如果定义复数介电常数： 仃 2 一1 一 国 它反映了介质的电导率对介电常数的影响，则麦克斯韦方程为： v e = 0 可h = 0 v h = j c o f e v x e = - j c o , u h 同前面的分析类似，我们可以写出有损介质中的波方程： ( v 2 + 彩2 手) 豆= 0 ( 2 5 0 ) ( 2 5 1 ) ( 2 5 2 ) ( 2 5 3 ) ( 2 5 4 ) ( 2 5 5 ) ( 2 5 6 ) ( 2 5 7 ) ( 2 5 8 ) 令k 2 = 国2 , u g ，则公式( 2 5 8 ) 的解也是平面波，即同相位点位于一个垂直于霞的平面 上的波。霞是波矢量，这里不作详细分析。在特定的坐标系下，e 一，h 一，k 一都只有一个分量： 蠢= 瓮e 痧j x z 膏：多( 昼) g 一脾 甜 其中材= ：万为导电介质的波阻抗，为复数。k 和甜也可以表示为： k ：彩万( 1 一旦) ；：群一成 缈s 1 8 ( 2 5 9 ) ( 2 6 0 ) ( 2 6 1 ) 第2 章电缆信道分布参数求解 “= jue 伸 ( 2 6 2 ) 其中巧，k 分别为k 的实部和虚部，l “l 和驴分别为本征阻抗的模和相角。将这些公 式代入( 2 5 9 ) 得： e = 曼e ) e k t z e 一脚= 受e i 因此波的速度： 国 v = 一 k 。 f 2 6 3 ) r 2 6 4 ) 而其幅度按照指数规律衰减，定义穿透深度咖，当场幅度衰减到1 e 时，显然有： 一 1 a p = 。 。k t f 2 6 5 ) 以上讨论表面，当介电常数为复数时，虚部影响波衰减，故虚部表示介质损耗。 由方程( 2 5 8 ) 的形式看，电磁波在有损介质内的波动方程也是平面波方程，也就是横向 电磁波( t e m ) 模式。因此在无损介质中关于t e m 波的分析结论都在有损介质中成立。 下面分析不同电导率盯对波传播的影响。 ( 1 ) 电导率很小时，州国s l ，公式( 2 6 1 ) 近似如下： 所以： k = 彩 攻, 4 - y ( 1 _ 。_ o o t - ：) k r _ 厩飞= 延 ( 2 6 6 ) ( 2 6 7 ) 因此，在电导率很小的介质中，波以传播常数e 沿z 方向传播，其幅度逐渐衰减，每 前进咖，幅度衰减为1 e ，a p 的值为： 勿= 吾居 6 8 ， ( 2 ) 电导率很大的介质， 0 9 6 1 ，此时公式( 2 6 1 ) 近似如下： 压巧压o g , u ”， 因此，穿透深度为 1 9 ( 2 6 9 ) 第2 章电缆信道分布参数求解 d p = = 艿 ( 2 7 0 ) 习惯上把万称为趋肤深度，这就是说在良导体中，电磁场集中在表面深度为万的薄层 内，这种效应叫做趋肤效应。 从前面的分析可以看出，求解传输线方程关键是分布参数的求解，分布参数的求解均 为给定边界条件下的电磁场问题，有很多求解方法，如图解法、模拟法、解析法、分离变 量法、保角变换法、有限差分法( f d m ：f i n i t ed i f f e r e n c em e t h o d ) 、有限元法( f e m ：f i n i t e e l e m e n tm e t h o d ) 、积分方程法、边界元法等等。本文使用有限元法求解电磁场参数。 2 3 有限元法 2 3 1有限元法简介 有限元法( f e m ：f i n i t ee l e m e n tm e t h o d ) 或有限元素法是基于变分原理，即通过求解一 个泛函取极小值的变分问题。例如函( z ，y ) 是一个函数集，形( 函( x ，y ) ) 是定义在该函数集 中的一个泛函，w 在嘞处取极值，则该处的泛函应该等于零： 8 w ( e o ) = 0( 2 7 1 ) 有限元法可以用来求解给定边界条件下的电磁场问题。电磁场问题中其泛函形具有如 下形式2 4 】： 形( 痧) = 丢r 驴痧d q 一r f d o 力力 其中是微分算符。其求解基本步骤【2 。4 1 1 2 。5 】女口下： 1 区域的离散或子域划分 ( 2 7 2 ) 在任何有限元分析中，区域离散是第一步，也是最重要的一步，区域离散的方式将影 响计算机内存的需求、计算时间合数值结果的精确度。假设区域是q ，这一步要将全区域 分成许多小区域，用q 8 ( e = ，2 ，3 ，m ) 表示，m 表示子域总数，这些子域通常成为单元。 如图2 - 4 是二维区域常用的三角形划分。三角形e 三个顶点编号为i ，j ，k 。 图2 - 4 二维区域三角形划分示意图 2 0 第2 章电缆信道分布参数求解 2 差值函数的选择 有限元分析第二步是选择能近似表达一个单元中未知解的插值函数。通常，插值函数 可选择为一阶( 线性) 、二阶( 二次) 或高阶多项式。尽管高阶多项式的精度较高，但通常 得到的插值公式也比较复杂。因此线性插值最简单，应用广泛。 以二维三角形划分为例，如图