（电路与系统专业论文）三维复杂目标的电磁散射特性研究.pdf

南京理工大学硕士论文三维夏杂目 标的电 滋散射特性研究 ab s t r z c t 介 r e 日 1 映 e 蛋 d 以 幻 l u 石 。 n时elec 廿 o m 卿e 6 。 伍娜 邻 a ” e d 妇 9丘 0 o i c o m p 】 ex 切9 眺b a s v e 可p r a c t 沁 alv 幻 摊 伽 t h e d 郎 1 即 ofr 目ars y s l 。 山助d记 即石 勿ofr 目 盯 加 名 改了 七 e e 】 ectr o magn以 i c s c 叭幼n g and r a d i 成 i ono f 3 dc o m p 概 妞g e t s b a v e a 位 a ct 目 m u chm o 跨atten t l o n inengi 淤州n g a p p l ic atio ns r 即 e 叫y，访 t e n s i vein 代stig atio nsh a v e 卜 ， n d o 幻 e to6 耐长 以曲d a c 刃 u 拍 t 七 ” 切 m e 行 c a l m h o dstosol ves u c h p r o bl 翻乐 1 碑几e hi g h e r o 笠 d e r 劝 忱 印 。 l at o 口铭c 切 r b a s i s 6 1 力 c t i o n 的m b io . d 从 奴 h ml f 卜 仁 贼 isa p p l i 记to明a l y s 伪 e 日 e c tr o m a gne t 让s c a 幻 e d n g 助d r a d i a t i o nofe 】 e c t 灼 cal一 l ar g e 恤g e 招 . 了 灿p 优 s e ntm e t b o d s 姗 磁苗 n l es s 坦 止 n o 叭 勺 翻d m a i ” 切 1幻 奴 v 互 州 u e ofhi 沙 自 c 心 u 比 日 c 犷 z an 脚 ki nd of址 gh盯。 记 “址 e r a 代 h 鉴 阔 b as i s 丘 川 c t i 秘 isp r o pos 目 to 助a l y s 贻伽 日 伙 廿 。 功 a 助e 石 cs c a 。 耽 访 gand军 司i a 石 叻 成d e c 仕 1 阔刁 留 9 .t 红 g e ts . 此 饭 g h e r o 犷 d 蔚拍 七 成比 j 喇 b as is 细i c ti ons fo r 阮 i m p 比 m 即 协 t i o 。 成。 d a p 石 v e 相 c 恤0 1 0 留 th 我. 沈 沉 d i n g to断 r e q u 扮 me 以 5 叮此 月 “ 以 a y p 阳 b 】 e m ， 功。 a 卫 皿1 仿妙m 以 e 留 m g the b a i c丘 m c t i on a d a p t i 铭 。 川 已 r toac hi e ve the 叫u 针 目 叙 龙 公 a y，sol ution isto 卿oncile比 e朗 c u m c yan dco m p utat io naj co mpl ex ity 如阵 白i ce m 面xbetwe e 幻 1 、 e n ea 比 y忱 n ” s in俪 m l f 入 伍互 b 司 多 s p a ced y a d 记多 e 幼、丘 m 以 1 呱v ia t h em e t 卜 o d成 c o m p le x l m a g e sn o 。 拙叮 b y( 加)m lf入 伍 咬加 t e r 留 t i o ll s ， h an di ed e 伍 ci e 祖yw it hi 刀奴 rn 川 t i l eve l c l 闷e ri o g co 业 就 n 加 t ， 。 即l o y anap p ro x i m at o d y adic 笋e n ， 5 仙比加 t 苗 5 1 5 e 义 p r e s s e d坛记 n ” 5 o f ad 让 即 卜 价 记 i a t i o nt 。 厄 玛p l仙a咖gl e玲 all m 日 g e ， w 拓 。 h招 r e p r e ， n t 伽 出 y m p t o t 沁 佃 加ld多 . e n ，5 允 ” c 行 皿 k 即wo 川5 : m ethodo f m o m e 城m u l ti l ev e l 如t m u l t ip o l e m 毗ed， h i ghe r 。 r d e r 铭c t o r b as is加 n c t i舰， hal公 s p 朗 e d y a d ic green，s丘 m c t l o n ， r e a l l m a g e 旅 声明 本学位论文是我在导师的指导下取得的研究成果，尽我所知，在本 学位论文中，除了加以标注和致谢的部分外，不包含其他人己经发表或 公布过的研究成果，也不包含我为获得任何教育机构的学位或学历而使 用过的材料。与我一同工作的同事对本学位论文做出的贡献均已在论文 中作了明确的说明。 研究生签名: 年月日 学位论文使用授权声明 南京理工大学有权保存本学位论文的电 子和纸质文档，可以 借阅或 上网公 布本学位论文的部分或全部内容，可以向有关部门或机构送交并 授权其保存、借阅或上网公布本学位论文的部分或全部内容。对于保密 论文， 按保密的有关规定和程序处理。 研究生签名;年月日 南京理工大学硕士论文 三维复杂目 标的电磁散射特性研究 1 绪论 1 . 1研究工作的背景 日 益深入发展的工程应用迫切需要开展复杂三维目 标( 具有复杂几何形体和 复杂材料，电大尺寸或处于复杂环境中的三维目 标) 的电磁散射特性研究。它的研 究在雷达系统设计及权威评价、隐身与反隐身突防、目 标分类与识别、精确制导 与引战配合、 远程预等和跟踪、雷达探测和逆合成孔径成像( i s a r ) 等军事应用中 都有着十分重要的意义。在现代战争中， 双/ 多站雷达是隐身目 标探测和识别的有 效途径，而军事目 标的双站电磁散射特性则是其工作的依据。 由于雷达工作在微波频段，常见军用目 标如导弹、飞机等外形复杂，这类超 大电 尺寸问题的计算求解复 杂度很高。 如何高效求解这类复杂目 标的电 磁散射特 性是从事雷达总体和隐身、 反隐身 研究的 学者、 工程师们共同 关心的问 题。 长期以 来，高频方法如几何光学法( go) ，几何绕射理论( g t d)， 物理光学法 ( po) ， 物理绕射理论就( 盯d ) 等由于具有计算快速、 这些方法的主要优点是简单明 晰， 容易掌握，计算方便，甚至可 “ 实时”显示近似结果。但普遍的缺点则是理 论模型粗糙， 计算精度太低. 产生上述问 题的主要原因是目 标宏观上的电大尺寸与 细节上的电小尺寸并存， 使高频分析方法不满足局部性原理，计算精度大大降低: 一些关键散射部位存在的重要电磁互祸关系被忽略;绝大多数高频分析方法是标 量波动方程典型解的应用， 难以精确描述三维矢量散射问 题的散射场( 文献 4 ) ， 传统的积分方程法如矩量法 ( 文献 6 一 12 )作为一种严格的数值方法，计算 结 果 精 度高 ， 但是 需 要占 用 大 量的 内 存， 并 且 其计 算 复杂 度为 甚 至 可 达0 ( n ， ) ， 所 以 很 难在现有的设备条件下用矩量法完成电 大复杂目 标的计算。比 如:求解具有 十万未知数的问 题， 要生 成并存储一个含1 口 “ 单精度复数类型元素( 每个元素含8 个字节) 的矩阵，需要80gb的内存，长期以来都仅仅用于低频或谐振区目 标的散射 分析. 倘若采用传统的微分方程方法如有限元法(f em) 和时域有限差分法( f d t d)等 求解，虽然得到稀疏阵， 但对于开域问 题的求解必须引入吸收边界条件，并进行 网 格剖分，网格截断误差和网 格色散误差大，而且时域有限差分法难以 精确拟合 复杂目 标表面， 所以 这些方法也不利于三维电 大尺寸目 标散射的求解。 为了 提高 矩量法的求解效率， 很多改 进方法陆续出 现。 其中有快速多极子( 几 翻 ) ( 文献 13。 1 4)， 多层快速多极子( 砒f 翩) ( 文献【 巧 一 1 8 ) ， 矩阵分解算法和 阻抗 矩阵小波稀疏化方法等等。 其中 尤其以 快速多极子和多 层快速多 极子最引 人 注目 . 因 为 它能 使 导 体目 标电 磁散 射的 积 分 方 程方 法 求 解复 杂 度变 为 只 有侧丫勺 南京理工大学硕士论文三维复杂目 标的电 磁散射特性研究 甚至口 ( n l ogn ) 数量级，并快要达到线性的复杂度o(n ) 。 快速多极子算法( f m m ) 是在80年代末，由美国v . r okh l i n 首先提出的 ( 文献 21 ) 。 那时f 朋被用于高效求解二维声波问题的亥姆霍兹方程。 90年代中期， j . m ， 50暗， c.c .l 。 等用f 刚求解了 三维导体的 散射问题， 并提出了 用于计算电 磁散 射 的二维和三维的多层快速多极子算法( 文献 15一 18，2 0 一 2 1 ) 。90年代后期，伊利 诺依大学周永祖教授和de爬co公司联合推出了 f 工 sc 软件， 并用于精确高效地计算 电大复杂目 标的电 磁散射 ( 文献 1 7 )。这标志多层快速多极子算法的研究己 很 成熟了。被认为是计算电磁学精确方法的一个里程碑。 尽管如此，但是对于很多复杂三维目 标而言，在微波频段时其电尺寸是很大 的，剖分的未知量仍然是非常巨大的，由 此将导致非常大的计算量和存储量。 有 时很难在现有的设备条件下完成电大复杂目 标的计算. 因此， 如何在f 朋和mlf m m 的 框架内 进一步降 低计算量、提高计算效率就成为 本文研究工作的重点。 一个很好的解决办法就是高阶方法的应用。这一方法包括了高阶曲面和高阶 基函数两方面。 应用高阶曲 面拟合实际目 标表面在获得吏高的 拟合精度的同时能 够用更大的面元，从而减少了面元的数目，也就减少了未知量的数目; 而高阶基函 数的应用又进一步可以用更少的 未知量来更好的 拟合目 标表面的真实电 流分布， 并获得更好的收敛性和更高的求解精度和效率。 所以 总的来说高阶方法能在保证 精度的前提下大大减少未知量数目 ， 它可以 让我们用更大的贴片和更少的未知量 来模拟散射体表面的电流分布。 近年来，诸多工程应用( 例如目 标与环境的一体化建模、 地球物理探测、 遥测 遥感应用) 急需深入开展半空间环境中电 磁辐射与散射数值分析方法的研究。 特别是以 矩量法( m 洲) 为基础的快速多极子方法( f 翩) 和多层快速多极子 ( m l 刚m ) 的提出和实现，克服了 经典高频方法的局限， 使复杂电大尺寸目 标的电 磁 散射特性分析成为可能。但这些方法多建立在均匀空间模型基础之上，即没有考 虑周围环境因素的影响。 积分方程方法在分层介质电 磁辐射与散射问 题求解中得到了 广泛的 应用。 较 早的 研究主要侧重于半空间线天线问 题、 微带天线问题的分析。 早在70年代开始， r . 份 pk i ng、 c . m . b u t l er以 及gj ， burke 等人就结合实验对有耗半空间中的线天 线作了分析 ( 文献 2 3 一 2 5 )。 x . b . xu 等人对跨半空间界面的二维柱体散射作了 系统的研究。 与均匀介质背景问 题类似， 人们倾向于使用混合位积分方程( 淤i e) 来分析分层介质中的三维目 标散射和辐射问 题。 1 9 90年， k . a . 砒chalski 等人 ( 文 献【 2 6 一 28 ) 在前人工作和自 己 工作的 基础之上， 提出了 适合于分析任意分层、 任 意形状及任意跨嵌导体目 标的混合位积分方程形式以及相应的格林函数公式，并 2 南京理工大学硕士论文三维复杂目 标的电磁散射特性研究 被广泛引用。d uke 大学的l . c ari n 课题组 ( 文献 2 9 一 3 2 )将该方法应用于探地雷 达系统设计中的电磁建模， 求解了埋地目 标的时域响应， 便是其成功应用的例证。 为了解决复杂电大尺寸目 标的电 磁散射问 题， l . c arin课题组的n g eng 等人 ( 文献 33一 38 )将f 朋方法引入到半空间环境中目 标r c s 的计算当中。 在国内，也有一些针对半空间电磁散射辐射数值计算、微带天线分析以及分 层介质格林函数求解等方面的 报道。 但对半空间中三维目 标的电磁散射建模基本 上还是一片空白.本文的研究工作就是研究在半空间环境下的雷达散射特性，使 目 标与环境一体化高效建模成为可能。 1 . 2研究工作的应用意义及现状 本课题组多层快速多极子方法分析程序的开发成功，为高阶基函数与其结合 成为了可能。 本研究的完成提高了 快速多极子方法和多层快速多极子方法的求解 能力. 使得许多复杂电 大尺寸目 标的电 磁散射分析可在现有的高 性能小型工作站 上完成。本研究工作由简单到复杂、低阶到高阶、循序渐进的开展理论研究。所 开发的数值程序计算的结果与国外权威刊物上发表的结果进行了对比。表明了本 研究方法与数值程序的正 确性与有效性。 高阶基函数与快速多 极子结合是一种积分方程的高效算法，计算精度高，适 用面广，不仅可用于军用目 标的散射分析，也可应用于民 用。该项目 不但可用于 三维目 标的矢量散射分析， 还可以用于各种线天线、 面天线的辐射研究; 不但可用 于通信、雷达工程中远场方向图的计算，也可用于地球物理探测、医学工程中近 场激励、 近场接收问题的研究; 不但可用于波动问题的求解，也可用于静态问题的 求解如避雷器设计与优化中任意分布的点电荷间电位、电 场计算，任意金属导体 间电容的快速提取等。 迫于实际工程 “ 目 标与环境一体化电 磁建模”的需要以 及更高精度建模的要 求， 本文中还研究了 半空间环境下的雷达散射特性。 充分考虑半空间环境因素对 于目 标电 磁散射特性的影响。 在雷达工作时，目 标和地表面的相互影响， 入射波 和散射波具有表面波的传播和衰减特性， 均匀空间 模型将不再适用，必须建立全 新的电 磁模型。 地表面( 或海面 ) 可以 看作是一种多 层介质或半空间背景， 利用该 模型可以 考虑到地海面等环境因素对近地乃至跨界面目 标电 磁散射特性的影响。 随着卫星技术和信息处理技术的进步，卫星遥测遥感在军事以及民 用领域获 得了 广泛的 应用。如何获取标准目 标体的雷达散射截面 和散射系数， 成为 遥感领 域中 具有重要意义的 课题。 在大多数遥感应用中，定 标目 标体是置于地面附 近的， 因此有必要考虑半空间背景下的散射问 题. 近年来，探地雷达( g p r ) 在地球物理探测领域得到了广泛的应用，包括地下资 南京理工大学硕士论文 三维复杂目 标的电 磁散射特性研究 源勘测、地下障碍物检测以及未爆炸地下武器( u x o)检测等。由于探地雷达系统特 殊的应用环境，探地雷达天线通常是靠近地面工作的，必须考虑地面的影响对于 天线的辐射特性影响。 1 . 3本文内 容安排 本文第一章详细介绍了研究工作的背景，给出了本文研究的主要方向，也说 明了本文研究工作的意义。 第二章介绍矩量法基础，并介绍了 快速多极子方法及多层快速多极子的基本 原理。给出其相应的数学描述。这是本文的基础。 第三章给出了任意阶的曲三角形贴片的表达式。 着重介绍了n edelec型的高阶 插值散度共形基函数，并和一些典型验模目 标的数据进行了 对比。 第四章根据l a rs s . a ndersen提出的用于矢量有限元中的高阶叠层旋度共形 基函数，推导了一种新的高阶叠层散度共形基函数运用于矩量法中，并与mlf 刚 方法相结合分析电大尺寸目 标的散射问题。 第五章讨论了半空间环境下，用实镜像法结合 ( 多层)快速多极子计算了远 场区的作用。与文献中给出的数据比对，证明了此方法的正确性和有效性。 南京理工大学硕士论文 三维复杂目标的电磁散射特性研究 2 计算电磁学数值方法简介 2 . 1 引言 作为求 解积分 方程主要方法之一的矩量法( m o m ) ， 由于 所用的 格林函 数直接满 足辐射条件，无须像微分方程的解法，如时域有限差分法( fdt d)， 必须设置吸收边 界条件 ( abc)。加之矩量法数值精度高，所以，该方法在求解复杂几何 目 标的电磁 散射、天线电流分布和微带贴片辐射等许多方面，有着广泛的应用。但是，由于 计算机存储量和计算时间的限制，传统矩量法仅限于求解低频区和谐振区目 标的 散 射问 题。 对高频区电大尺 寸目 标的求解， 往往因为需 要极大的 存储量而难以实 现。近十几年来，随着各种快速方法的提出和计算机性能的飞速提高，以矩量法 为 基础的一些高效方法，如 快速多 极子方法，己 经可用于电大 尺寸目 标散射的 求 解。 本章将具体介绍 矩量 法和 ( 多层) 快速多极 子方法的 基本原理和相关内 容， 作为 本文后续章节的 基础和铺垫， 为后续研究打 下基础。 2 . 2 矩量法的 基本原理 矩量 法是一 种将连续方程离散 化为代数方 程组的 方法。它既适用于求解微分 方程，又适应于求解积分方程。由于己有有效的数值计算方法求解微分方程，故 目 前矩 量法大都用来求解积分方程。 对于不同的问 题应采用不同形式的矩量法才 能奏效。 根 据线性空间的 理论， n个线性方程的联立 方程组、 微分方程、 差分方程、 积分方程等均属于希尔伯特空间中的算子方程，这类算子方程可化为矩阵方程求 解。由于在求解过程当中，需要计算广义矩量，故此种方法又称为矩量法。事实 上， 矩量法是将方程化为矩阵 方程， 然后求解矩阵方 程的 方法， 进一步 分析还 会 看到， 它实质上是内 域基加 权余量法。 设有算子方程 l ( 力= 9( 2 . 2 . 1 ) 式中l 为算子， 算子方 程可以 是微分方程、 差 分方程或积分方程， 9 是己 知函 数 如 激 励 函 数 ，f 为 未 知函 数 如电 流。 假 定 算子 方 程的 解 存 在且 唯 一 的， 于 是 有 逆 算 子 f ， 存 在， 则 使f = l- ， ( 9)成 立 。 算 子l 的 定 义 域 为 算 子 作 用于 其 上的 函 数f 的集 合， 算子l 的 值域为算子在其定义 域上运算而 得的函数9 的 集合. 5 南京理工大学硕士论文三维复杂目标的电磁散射特性研究 假定 两 个函 数石 和几以 及 两 个 任 意 常 数a : 和几 有 如 下 关 系 : l(气 人十 几 儿 ) = 乌 l( 厂 ) 十 几 l( 人)(2. 22) 则称l为线性算子。 在 应 用 矩 量 法 处 理 问 题的 过 程 中 ， 需 要 求内 积( 五 劝的 运 算 内 积 定 义 为 ( f ， 9 ) = 工 f ( x )g ( x ) ( 2 2 3 ) 式中 9 ( x)是9 ( x)的 复 共 辘 在希尔伯特空间h中两个元素f 和9 的内 积是一个标量( 实数或复数) ， 记为 。 (f， 厂) 二 0 扩 f笋 0 犷 f= 0 ( 2 . 2 . 6 ) 式 中气 ， 几 为 标 量， 厂为f 的 共 辘 量 . 下面 用线性空间 合算子的概念来 解释矩量法的含义。 一类fr e d h olm 积分 方程 山 假设 有一算子方程为第 归2 ，z) f(z肺= 扮 ) ( 2 . 27 ) 式中 g 怀丫 ) 为 核， 9 伙 ) 为已 知函 数 ，f( 约为 未 知函 数。 首 先用 线 性独 立 的函 数 天 (z ) 来 近 似表 示 未 知 函 数 ， 即 : f ( 了 ) 、 艺 气 人 ( 了 ) ( 2 . 2 . 8 ) 气 为 待 定 系 数 ， 人 (z ，) 为 算 子 域内 的 基 函 数。 n为 正 整 数 ， 其 大小 根 据 要 求的 精 度 确定。 将f “) 的 近似表达式代入算子方 程的 左端， 所得 艺 久 l 吠汉 )j “ g( z) ( 2 . 2 . 9 南京理工大学硕士论文三维复杂目标的电磁散射特性研究 由于f (z 勺 用近似式表示，因此 算子方 程的左 端近似值与右端精确值g(z)之 间存在如下的关系: 5 ( : ) = 艺a ， l 人 ( 2 ) 一 9 ( 2 ) ( 2 . 2 . 1 0 ) 减 习称为 余量或残数。如果算子方 程的 加权平 均值为零，即: ， ( m 二 1 ， 2 ， ， . ， ， n )( 2 . 2 . 1 1 ) 式 中 孔是 权函 数 序列 ， 这 就 是 加 权 余 量 法 . 将 上 式 展 开 便 可 得到 典 型 的 矩 量 方 程。 所 谓内 域 基 ， 是 指 基 函 数 天必 须 在 算 子 的 定 义 域 内 选 择 并 且 满 足 边 界 条 件。 矩 量 法 是 数 值 求 解 场 问 题 的 统 一的 处 理 方 法， 对 于 算 子方 程城 力= 9 的 矩 量 法 解， 可以 归纳成统一的求 解步 骤， 它包括三个基本的求 解过程。 ( 1) 离散化过程 这一过程的主要的目 的在于 将算子 方程化为代数方 程，其具体步骤如下: 1 在算子l 的定 义域内 适当 地 选择一 组基函 数( 或称为 展开函 数 ) 石 ，人 ，” ， 天 ， 它 们 应 该 是 线 性 无关 的 。 2将未知函 数八工 ) 表示为 该组基的线性组合，并且取有限项近 似，即: f ( x) = 艺气 fn 。 九 (x ) = 艺 气 天 ( 2 . 2 . 1 2 ) 3将式(2 . 212 ) 代入式(2 . 2 ， 1)， 利用算子的线性， 将算子 方程化为 代数 方程，即: 艺a 。 l ( 人) = 9 ( 2 . 2 . 1 3 ) 于 是 ， 求 解了 扛 ) 的问 题 转 化 为 求 解天的 系 数 气的 问 题。 (2 ) 取样检验过 程 为了 使f ( x)的 近 似函 数 寿(x)与f(x) 之 间 的 误 差 极 小， 必须 进 行 取 样 检 验 ， 在 抽 样 点 上 使 加 权 平 均 误 差为 零， 从 而 确 定 未 知 系 数气， 这一 过 程 的 基 本 步 骤为 : 1 在算子l 的 值域内 适当 地选择一组权函数( 又 称检验函数) 孔， 它们 南京理工大学硕士论文 三维复杂目标的电磁散射特性研究 也应该彼此线性无关。 2 . 将呱 与式(2 2 . 1 3)取内 积进行抽样 检验，因为 要确定n个未知数， 需要进行n次抽样检验，则 ( l (f ) ， 嗽) 二 (g， 叭) 利用算子的线性和内积的 性质， 万 艺气 (l (几 ) ， 呱 二 (g ， 嗽) 伽 =1 ， 2，. ， n )( 2 . 2 . 1 3 ) 将式( 2 . 2 . 1 3)化为 矩阵 方程，即 ( 脚= 1 ， 2 ， ， n)( 2 . 2 . 1 5 ) 将它写成矩阵形式 lia ， 卜肠 ， 式中 ( 功= 1 ， 2 ， ， 二 ， n) ( 2 . 2 ， 1 6 ) 卜 9 ，当 ! ! ia ，” 1份 1 肠 ，= 1“兰 一 l a ， j廿 9 ， 伴 、 ) (2. 2 . 1 7 ) 叫 ( 乙 (fz)， 叫 一 似动， 叱 ( l ( 人 ) ， 巩 )一 ( l ( 几 ) ， 叽)似fz)， 叽)似动， ( 2 ， 2 . 1 8 ) )、少二、如 厂石.厂 lll r1胜胜t卜百宜.1，11月. 一- 编 于是， 求解代数方程的问 题转 化为 求解矩阵方程的问 题。 (3 ) 矩阵的求逆过程 一旦得到了矩阵方程，通过常规的矩阵求逆或求解线性方程组，就可以得到 矩阵方程的解 阮卜 1 气 。 一 ， 【 氏 ( 2 . 2 . 1 9 ) 式 中 ilwe厂 是 矩 阵 11-1 的 逆 矩 阵 。 将 求 得 的 展 开 系 数 气 代 入 到 式 (2 . 2 ， 12 ) 中 ， 便 得 到原 来算子方程式(2 . 2 1)的 解 f( x) 二 艺 气 天 ( x )( 2 . 2 . 2 0 ) 以 上所述是矩量法求解算子方程的基本 过程， 在矩量法的所有应用中，通常都要 遵循这个统一的过程。 南京理工大学硕士论文三维复杂目 标的电 磁散射特性研究 2 . 3 快速多极子方法的基本原理 快速多极子方法的数学基础是矢量加法定理，即利用加法定理对积分方程中 的格林函数进行多极子展开。而在转移步骤当中，转移函数可以在角谱空间中展 开，再利用平面波进行算子对角化。最终将稠密矩阵与矢量的相乘计算转化为几 个稀疏矩阵与该矢量的相乘计算。 由加法定理，将积分方程中的标量格林函数展开成: = ik 艺 ( 一 1 ) ( 公 + 1) 乃 ( 材 ) 人 ，( 树君 位 为 ， j x ( 2 . 3 . 1 ) 其中 x 、 d 为空间 位置矢量: 交 、 a 分 别 是 x 、 d 的 单 位 矢 量 ; x = xl ，d = 同 : jl ( kd) 为 球贝塞函 数; 丫 1) ( 解) 为 第 一 类 球汉 克 尔函 数 ; 积 a 。 幻为 勒 让 德 函 数 ; 了 为虚数单位，k 为波常数。 在 执 行 远 场 相 互 作 用时， 设r 为 观察 点空 间 位 置， r 为 源点 空 间 位置，x 。 为 观察 点 所 在 组的 组 中 心 空间 位 置，x ， 为 源点 所 在 组 的 组中 心空间 位 置。 注 意到 : r 一 r = r 一 x 。 + x 。 一 茂+ x ， 一 r “( 2 . 3 . 2 ) 如图2 ， 3 。 1 所示。 图2 . 3 ， 1 观察点、源点及其所在组的关系示意图 南京理工大学硕士论文 三维复杂目 标的电 磁散射特性研究 由 于r 与x 。 接 近， r 与x ， 接 近， 而x . 与x ， 相隔 较 远， 定 义 d r 一 x 。 + x 。 一 r ， x二 瓦 一 茂 ( 2 3 . 3 ) 则d x。 又 因 为 4 二 il jl ( 材 ) 月 ( a 。 又 ) 可 以 在 角 谱 空 间 中 展 开 成 平 面 波 形 式 : 4 二 ，jl ( 。 ) 君 (a 又 ) = 工 d ， 忘 八 君 ( k . x ) ( 2 . 3 . 3 ) 上 式 积 分定 义 在单 位 球面5 上， 其中 : 丘 为 单位 球角 谱向 量， k = 成， 球面上 的 积 分可以写成: 介 ，“ 二 r r ，in “ “ d 护 ( 2 . 3 . 5 ) 将式 ( 2 . 3 . 3 )代入到式 ( 2 . 3 ， 1 ) ， 可得 护沐 叫 又 百 可 =尝 身 (2i 十 l)fy 山 (kx ，夕 “ 君 (k. x) ( 2 . 3 . 6 ) 将无穷级数截断并调换积分和求和符号，得 e 肠 卜 +d f 琢 画” 竺份 2应 ， 女 ，。21 ， :* (j) 4 才j灯 ( 片) 君 你. x) ( 2 . 3 7 ) 式 ( 2 . 3 . 6) 中的 积分可以 用数值求积公 式近似求得: wk e 饱 ， 刁 艺 “ ( 2 1 + 1 ) 气 ，( 片 ) 月 ( 益 * . 文 ) ( 2 ， 3 . 8 ) k艺润 跳一肠 其 中 叭 是 角 谱 分 量 吸 上 的 积 分 权 重 ， k 为 数 值 积 分 点 个 数 。 记转移因子 片(k ， 均二 斋、 享 (2i 1)4 (1) (kx 、 * 幻 ( 2 . 3 . 9 ) 由此可得: e 位 沐 + 碱 4 二 x + d 二 艺 产弓 片 (k ， x) ( 2 . 3 . 1 0 ) 由 前 面 的 推导 知 道， x 二 x 。 一 x 。 ， d = r 戈十 气一 r ， 则 e 瓜 * d = 。 瓜 ， . ( r 一 x 。 + x 一 已 ) = e 爪 k ( r 一 x ， 场 ik * 代 、 一 尸 )( 2 . 3 。 1 1 ) 将式 (2 3 . u) 代入式 (2. 3 ， 1 。 ) 可得: 南京理工大学硕士论文 三维复杂目标的电磁散射特性研究 e 法 沐 词 4 问 又 平 可 全 尹 * “ 一 x ， ，玲 (、 ，、 一 x 。 )e 众“ 一 ， ( 2 3 . 1 2 ) 注 意到， 转 移因 子玲(k ， x 。 一 茂) 与 观 察点 和 源点 的 空间 位置 无 关， 而仅 仅 与 组中 心 的 空 间 位 置 矢 量x 。 ， 气相关 ， 从 而 减 少 了 源点 与 观察 点 作 用的 操作 次 数. 2 。 4 快速多极子方法中矩阵矢量乘的计算 对于三维导电物体，电场积分方程 (ef i e) 的并矢格林函数表达形式为: 证 夕 (r ， f ) j (犷 )山 = 4 汀 1 二 二 二 玄 . e ， ( r 工 k 刀 r5( 2 . 4 1 ) 利用式 ( 2 . 4 . 6) 和式 ( 2 . 410)可以 得到: “ (r ，r，) 二 釜 j ( 一 )e 妈 一 毋 (、 自 ( 24 。 2 ) 其 中 ， 瑞表 示 观 察 点 与 所 在 组 的 中 心 之 间 的 位 置 矢 量 ， 表 示 源 点 与 所 在 组 的 中 心 的 之 间 的 位 置 矢 量， 蠕是 观 察 点 所 在 组 的 中 心 与 源 点 所 在 组 的 中 心 之 间 的 位置矢量。 用矩量法，可以 将方程式 ( 24 . 1) 离散为矩阵方程 艺 zj， 儿 二 科 ，j = 1， 2 ， ， 万 ( 2 . 4 . 3 ) 其中，左端为矩阵矢量乘，且有 zj， = 沁， (r ) . 娜 (r r ) . j 诬(r ) ( 2 . 4 ， 3 ) 4 对 护 。 _ . _ _ 称 = 亩) 改 ，(r ) 记 (r) 2. 4. 5) 如果用共辘梯度法来迭代求解方程式 ( 24 . 3) 时， 矩阵矢量乘在每一步迭代 中都需要进行。 现对矩阵矢量乘应用快速多极子算法。首先把n个基函数分为g个组，并用 字母爪 标 识。 每一 组 含有m二 n / g 个基函 数。 对于 近邻两组伽碑争 ， 用直 接方法 计算 其中 阻抗 元 素。 对 于远 区 组(m， m ) ， 将 式(2 . 4 . 2) 代 入式(24 . 3)， 从 而 得 到: 扮尝 夕 呱(i).杯 、 ，)vl 、(k) ( 2 . 4 . 6 ) 南京理工大学硕士论文 三维复杂目 标的电磁散射特性研究 其 中 嗦( 自 是 嵘，诉 ) 的 复 共 扼 ， 而 v 丽 ， (k) = 工 俨 加 戌 一 峋 j，(. ( 2 ， 4 . 7 ) 瑞 少卜工 “ ， 匡 一 袄 ， ， (r) ， ) ( 2 . 4 . 8 ) 是 源 点 与 所 在 组 的 中 心 的 矢 量 ， 瑞观 察 点 与 所 在 组 的 中 心 的 矢 量 . 有了式 ( 2 . 4 ， 6) 矩阵矢量乘式 ( 24 . 3) 可以 重新写成下列的形式: 艺吞 乙 =艺艺2， 不 + . 井 拓曰 ， j 民 ik ， . ， 产 _ _ 才、 且 a “ 盆 丫 ( k 4 汀子， ， ，_ 。 艺 片 位 。 瑞) 艺 哈位 ) ( 2. 4. 9 ) 上式的 第一项为近邻组的贡献， 第二项则为 用快速多极子算法计算的远区互 作用。 对于混和场积分方程c f 工 e ，同样可以把它写成式 ( 2 . 49) 的形式，仅需把 瑞面改 成 瑞 (k ) = a工 “ ， 匡 一 袄1 . ， ( rjm) 一 ( 1 一 a ) k x工 ， ， . ， (、 ) x ( 24 . 1 0 ) 即可。 2 。 5 多层快速多极子方法的基本原理 不同 于快速多极子算法， 快速多极子算法只有一层分组， 而m l f 以是需要多层 分组的。分组的步骤为: ( 1) 首先用一个足够大的立方体， 将目 标体包围住。该立方体就定义为第 零层的第一个且是最后一个组结点， 立方体的中心就为该组的组中心; ( 2 ) 其次， 把该立方体等分为八个子立方体结点形成第一层组结点， 其中的 某些不含导体的子散射体的立方体称为无效的组结点或者空组，反之称 为有效的组结点或者非空组: ( 3) 然后再对每个子立方体进行与上一步相同的细分， 并以 此类推直到最细 层立方体的 尺寸达到合适的 大小为止，一般为0. 从 0. 5 兄 之间， 这就是 第l 层; ( 4 ) 其中最细层的组结点个数不会超过2 3 乙 。 上述分组的过程如图2 . 5 . 1 所示.由于三维分组示意图不够直观， 所以该图只 1 2 南京理工大学硕士论文三维复杂目 标的电 磁散射特性研究 是三维分组的一个二维剖面。经过上述分组， 所有的组结点构成一棵子结点数不 大于八的空间八叉树. 口口 口口 戒哟宁尺叫0十晰密 图2 . 5 . 1 大立方体的一个二维剖面。 该正方体被递归地分为4 层， 在最细层子立方体的 边长点 尺寸约等于0. 2 之 、 0. 5 兄 多 层快速多 极子中， 矩阵矢量乘的第一步是层层 上聚的过程也即分层多极子 聚 合 过 程 。 在 第 l 层 己 求 得 隘( 自 和 际 诱 ) ， 其 中 1， j = 1 ， 一 n( n 为 未 知 量 的 数 目 ， 应 为 角 谱 空 间 单 位 矢 量 ) 。 在 第 l 层 ， 吸 需 取 凡个 方 向 。 由 5 、 位 ) = 2 呱去 位 ) 不 ( 2 . 5 . 1 ) 可 获 得 第l 层 第屏组 的 所 有 聚 合 项 ， 共 有k : 项 . 然 后 使 用 拉 格朗日 内 插 方 法 5 帐 ，氏一 1)n.)=艺 殉 “司 目e 一、 一 全 嵘 5 。 ，(* .n )， 二 3 ，一 ，; ( 2 . 5 . 2 ) 可求出 第工 一 1 ， l 一 2， l 一 3 ， ， 2 层中 各组的聚合项. 矩阵矢量乘的第二步则为层层下推，求解局域展开。该步骤由以下递推公式 实现: 、 、 ) = 全 ; 、 气 沂 a 一、 )e 。 (，4 ，、 、 / 、 十 艺 片 沂 扩 司肠 气 两班 气司 。 . 气 砂5 叫 (k 衬 ( 2 . 5 3 ) 上式的意义为局域多极展开，包含两部分。第一部分来自当前组所属的父层 南京理工大学硕士论文 三维复杂目 标的电 磁散射特性研究 组 贡 献 ， 其 中 使 用 到 了 平 移( 即 产 ij-l “ 嘛， 项 ) 以 及 外 插( 即 利 用 嗽 、 气/ 气) 。 第 二部分则来自 于当前组本层的堂兄弟组的贡献( 当前组的堂兄弟定义为在本层互 为远区组， 但是两组各自 所属的父层组之间属于非远区。) 。这部分形式上与快速 多 极 子 的 转 移 项 丫 致 。 第二 步 直 观 上 就 像 一 层 层 地 往 下 推 进( 即 外 插) ， 从 而 求 解 局 域 多 极 展 开 ， 获 得 各 层 的 ) 凡 ，位 ， )，i= 2 ， 3 ， 二 ， l 。 第三步为第l 层对第l +l层 ( l +l层为单元子结点所在层)的配置，从而获 得矩阵矢量乘的远区组作用部分的结果。 憋 几口 ( 丘 l 。 ) 几拣 : 。 ，) ( 2 ， 5 ， 4 ) 龙梦白祠 马 第四步则为用直接法求矩矢乘法的近场部分结果，即由 马 二艺 艺乙 弄(2 5 . 5) 城. 气 ， .二 . : 即近作用部分的稀疏矩阵与矢量的乘积，算出式( 6 . 4 . 9 ) 中的第一项。 最后一步则由 艺2， 禹 = 马 + 几 ( 2 . 56 ) 两矢量之和，可获得矩阵矢量乘的最终结果。 从上述步骤可看出用多层快速多极子算法实现矩阵矢量乘的关键是分层多极 聚合和分层局域多极子展开。 南京理工大学硕士论文 三维复杂目 标的电 磁散射特性研究 3n e d e l e c 型高阶插值矢量基函数结合多层快速多极子方法 3 ， 1 概述 矩量 法中， 将待求解积分方程离散后， 就要 选择合适的基函数。 平面r 叨 g 基 函数 ( 文献t l l ) . 是矩量法中广泛使用的一种基函数，它把通过三角形贴片边上 的电 流表示为常数， 所以，在阶数为零时是完备的。 这样，要得到足够精确的 解， 必须使用很小的三角形贴片。这样对于电大尺寸的散射体将产生大量的未知量。 而 且， 它 具 有 低 阶 收 敛率， 也 就 是 说 随 着 未 知 量 增 加结 果 的 精确 度 增 加的 很 慢. 所以要想获得高精确度的解，使用这种低阶基函数的代价非常大，尤其是当目 标 体表面不是平面的情况下4。一个解决办法就是使用高阶基函数。本章将研究高阶 方法中的n edelec型高阶插值矢量基函数。 一直以来，高阶基函数的研究受到了广大学者的重视。在矩里法( m o m ) 中， 日 曲主 i t o n 等人提出了 包括基于边的 模和基于贴片的模的高阶基函数: 翻n g k a n g ， 工 m ，5 叭9 等人提出了一种新型的“ 鲁棒性” 高阶矢量基函 数。在有限元方法( f 刚) 里， 基于边的高阶基函数的研究也得到了 很多发展。基于 n ede 比c提出的方法， r . d . gragl 扭等人提出了 一套统一的高阶 插值矢量基函 数表示形式， 本文就采用 了 这种高阶插值矢量基函数 ( 文献【 3 引) 。 3 . 2 曲面三角元的描述 在有限元方法的分析中，根据结点的物理量值，选择一组插值函数来唯一的 确定各个小单元内的物理量. 这一方法在平面三角元和曲 面三角元以 及四面体单 元中 有着很好的 应用， 在矩量法的 研究中 也借用了 这些在有限元分析中行之有效 的工具，成功地将r 切 g 电流基函数扩展到三角曲 面元。 对于平面三角元，入们习惯于利用归一化的面积坐标描述其上任意一点的 位 置: r ， 爵 rl 十 最 几 + 蚕 几 ( 3 . 2 . 1 ) 其 中 片( 卜 1，2，3)是 三 角 形 三 个 顶 点 的 坐 标 ， 夺( j 月 ，2， 3)是 三 角 形 的 面 积 坐 标， 图 中 三 角 形内 任意 一 点 p 与 三 个 顶点 构 成 三 个 小 三角 形， 各自 的 面 积 分 别 为鸿 ， 人， 凡。 其 与 总 面 积 的 比 值 = 普 (二 ， ，)， ， 2 ， 称为三角形的任意一点的面积坐标。 1 ， 南京理丁大学硕士论文三维复杂目 标的电 磁散射特性研究 图 3 .21 中还根据这一定义给出了三个顶点和三条边的面积坐标。显然， 奋 + 最 + 易 司。 因 此， 三 个 面 积 坐 标中 只 有 两 个 独 立 参 量 。入 选 取或 ， 氛 为 独 立 参量，则有: 参+ 么 1 ( 3 . 2 . 3 ) 或 ， 最之 0 可以认为式 ( 3. 2 . 1) 将图3 2.2 中的面积坐标下的三角形映射成了一般坐标下的三 角形。 式 ( 3 2 . 1) 实际上是利用三角形的三个顶点对三角面元上的任意一点进行 线形插值。对平面三角元来说， 这一表达是完全正确的。如需要描述曲面三角形， 则 可 利 用 较为 精 确的 高 阶 插 值， 此 时 不 仅咨 的 阶 次 提高， 插 值点 的 个 数也 会相 应 得 增多。常见的二阶差值形式为 r ( 务 务 、 务 ) = 艺马 ( 塌 ， 蚕 ， 易 ) 朴(32 4 j . 1 气 是 六 个 控 制 点 的 位 置 坐 标 ， 妈 是 定 义 在 参 数 临 摄， 二 ) 上 的 形 函 数 ， 夺 ， 最 凑的 变 化 范 围 都 在 0 ， 11 之间， 只 有参 ， 系是 独 立 变 量， 因 此， 可 将 式 (3 . 2 . 4) 改写 成 r ( 或 ， 橇 ) = 艺 鸟 ( 参 ，么 ) rj ( 3 一 2 . 5 ) 其中形函数的数学表达式为 妈 = 参 ( 2 参 一 1 ) 仇 = 二 ( 2 最 一 1) 妈= 氛 ( 2 么 一 1) = (l 一 参 一 蚕 ) (1 2 夺 一 2 么 ) 乳 二 叭 = 汽 = 4 或 最 4 最 磊， 4 最 0 一 点 一 系 ) 蛤奋= 4 奋 (l 一 奋 一 蕊 ) 由 式(3 . 2 .